等腰三角形辅助线的做法
构造等腰三角形解题的辅助线做法
构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。
那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。
△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.）[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。
证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中*∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。
△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB.[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。
证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2…∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。
2022七年级数学上册第二章轴对称阶段核心方法等腰三角形中作辅助线常用的八种方法鲁教版五四制
解法三：如图③，在BC上截取CE＝CA，连接DE. 因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠ECD. 又因为CD＝CD，所以△ACD≌△ECD(SAS)． 所以AD＝DE，∠BAC＝∠DEC. 因为∠BAC＝2∠B，且易知∠DEC＝∠B＋∠BDE， 所以∠BDE＝∠B.所以DE＝BE， 所以AC＋AD＝CE＋BE＝BC.
所以△ABE≌△PBE(AAS)．所以 BA＝BP. 所以 BC＝CP＋BP＝CE＋AB.
(2)DE⊥DF. 解：因为△BED≌△AFD， 所以∠BDE＝∠ADF. 所以∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°. 所以∠EDF＝90°. 所以DE⊥DF.
2 如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于 D，E是AD上一点，且EA＝EC.试说明：EB⊥AB.
解：如图，作EF⊥AC于点F. 因为EA＝EC，所以AF＝FC. 因为AC＝2AB，所以AF＝AB. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAE＝∠FAE. 又因为AE＝AE，所以△ABE≌△AFE(SAS)． 所以∠ABE＝∠AFE＝90°.所以EB⊥AB.
过点 E 分别作 EM⊥BA 交 BA 的延长线于点 M，EN⊥BC 于点 N. 因为 BE 平分∠ABC，EM⊥BA，EN⊥BC，所以 EM＝EN. 因为∠BAC＝100°，所以∠CAM＝180°－100°＝80°.
∠EAM＝∠NDE＝80°， 在△EMA 和△END 中，∠AME＝∠DNE＝90°，
第二章
轴对称
阶段核心方法 等腰三角形中作辅助线常用的八种方法
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答案呈现
1 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为 BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝ AF.试说明： (1)DE＝DF； (2)DE⊥DF.
等腰三角形中的常见辅助线
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）试说明：PD=QD（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，DG⊥BE于G，求证：BG=EG.方法5补形法构造等腰三角形5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.方法6 倍长中线法构造等腰三角形6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.方法8 截长补短法构造等腰三角形8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。
专题训练(一) 等腰三角形中常见辅助线的作法
证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12 AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAE 和△FAE 中，A∠BB＝AADF＝，∠CAD， ∴△ABE≌△AFE(SAS)，
AE＝AE， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB
证明：过点 E 作 EG∥AC 交 BC 于点 G，则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝GE.
又∵BE＝CF，∴GE＝CF.在△CDF 和△GDE 中，∠ ∠FC＝ DF∠＝D∠EGG， DE， CF＝GE，
∴△CDF≌△GDE(AAS)， ∴DE＝DF
方法2：截长补短构造等腰三角形 技巧点拨：对于线段和差问题，利用“截长补短”的思想，添加辅助线，可构 造等腰三角形来实现边角之间的转化． 7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D， 求证：AB＝AD＋BC.
证 明 ： 方 法 一 ： ( 截 长 法 ) ， 如 图 ① ， 在 AB 上 截 取 BE ＝ BC ， 连 接 ED ， 易 证 △BCD≌△BED，∴∠DEB＝∠ACB＝108°.又∵∠A＝∠ABC＝36°，∴∠AED＝ ∠ADE＝72°，∴AD＝AE，∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD.
解：如图，过点 C 作 BA 的垂线，交 BA 的延长线于点 D. ∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵AC＝2ห้องสมุดไป่ตู้CD 是 AB 边上的高，∴CD＝12 AC＝12 ×2＝1. ∴AB 边上的高是 1
4．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°. 若AB＝2，CD＝8，求AD的长．
(完整)等腰三角形时常用的辅助线作法
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，求证:DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC中,AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC,F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF,连结DE求证:EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形---—--等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,∠BAC = 80o，P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数。
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线,底边高线例：已知，如图，AB = AC,BD⊥AC于D，求证:∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE,交BC于E,则∠1 = ∠2 = 12∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC(方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）(方法三）取BC中点E，连结AE(过程略)⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,D为BC中点,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF21EDC BA证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC 中，AB = AC,在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ， 求证：EF ⊥BC证明:延长BE 到N ，使AN = AB ，连结CN ，则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC ⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANCF E DCBAN FE CBA∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC,D 在AB 上,E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF证明：（证法一)过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB,∠NDE = ∠E ，∵AB = AC, ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF(证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M ，则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线21NFED C BA21MFED CBA例:已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 延长线上，且AD = AE ，连结DE求证：DE ⊥BC证明：（证法一）过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，则∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE ＋∠AEF ＋∠AED ＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF ＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o∴DE ⊥FE 又∵EF ∥BC ∴DE ⊥BC（证法二）过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N,(过程略） （证法三）过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形————--等边三角形例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC,∠BAC = 80o ，P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数. 解法一：以AB 为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oN M FE D CBA PECBAAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12（180o－∠EAC）= 80o∵∠ACB= 12（180o－∠BAC)= 50o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12（180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
专题 等腰三角形中常用的辅助线作法(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》专题等腰三角形中常用的辅助线作法解题技巧提炼当遇到等腰三角形时，常利用“三线合一”的性质，若已知图中无此线，可将其构造出来以辅助解决问题，通常是作底边上的高，再证底边上的中线或顶角的平分线.【例题1】（2022秋•秦淮区月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，F是CD的中点，连接AF．求证：AF⊥CD．【变式1-1】如图，△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE，求证：DE⊥AB．【变式1-2】（2022秋•新洲区期中）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．【变式1-3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于E，CE=12BC，E在△ABC外，求证：∠ACE＝∠B．【变式1-4】（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【变式1-5】（2022秋•大足区期末）如图所示，△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数；（2）若点D是AB的中点，求证：∠BDE=12∠ACB．【变式1-6】（2022秋•南乐县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝4．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝5，求ED的长．【变式1-7】如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB+CD．（1）求证：BE＝CE；（2）求证：AE⊥DE；（3）求证：AE平分∠DAB．【例题2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 交AB 于点E ，交BC 与点D ．交AC 的延长线于点F ，且BE ＝CF ．求证：DE ＝DF ．【变式2-1】如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 延长线上一点，E 是BC 延长线上一点，CE ＝AD ，求证：DB ＝DE．【变式2-2】如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB＝EF．【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于点G．（1）试说明EG＝FG；（2）试说明AB+AC＞2EG．【变式2-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数；（2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．【变式2-5】如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．（1）当∠DQC＝30°时，求AP的长．（2）作PE⊥AC于E，试探究DE、AE、CD三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【变式2-6】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【变式2-7】如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G．（1）求证：AF＝AG；（2）求证：BF＝CG；（3）求AB AC CG的值．【例题3】如图，△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：AB ＝AD +BC ．【变式3-1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E 为BC 上一点，BE ＝DE ．求证：BC ＝CD +AD．解题技巧提炼对于线段和差问题，利用“截长补短法”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化.【变式3-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD延长线于点M．求证：AM=12（AB+AC）．【变式3-3】如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．【变式3-4】（2022秋•崇川区校级月考）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【变式3-5】在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【例题4】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【变式4-2】如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE ＝AC ．若∠C ＝70°，∠DAC ＝50°，求∠EBD的度数．解题技巧提炼当题目中已知某线段的中点时，通过倍长中点处的线段构造全等三角形，从而将题目中的相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形.【变式4-3】（2022秋•文峰区月考）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD ＝∠BDA，求证：AC＝2AE．【变式4-4】阅读并完成以下填空：如图1，已知：AD为△ABC的中线，求证AB+AC＞2AD．证明：延长AD至E使得DE＝AD．连接EC，则AE＝2AD．∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD．在△ABD和△CED中，BD＝CD， ， ．∴△ABD≌△CED．∴AB＝EC．在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC AE．而AB＝EC，AE＝2AD，∴AB+AC＞2AD．这种添加辅助线的方法，我们称为“倍长中线法”．请利用这种方法解决下列问题：问题1：如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF 交AC于点E．求证AE＝EF．【变式4-5】（2023春•汉寿县期中）已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，连接DF，BF．（1）观察发现：图1中DF，BF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）拓展延伸：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动任意角度（转动角度在0°到90°之间），再连接CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．【例题5】如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD＝BC．【变式5-1】在△ABC中，AD是BC边上的高，CD＝AB+BD．求证：∠B＝2∠C．【变式5-2】如图，在△ABC中∠ABC＝2∠C，若AD⊥BC于D，BD＝4，CD＝16，求AB的长．【变式5-3】（2022•南京模拟）小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图1所示的△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．他发现，除了方法1直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD，并写出其证明过程．。
2等腰三角形中作辅助线的四种常用方法
方法 4 加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点D，且AB＋BD＝DC，
求∠C的度数．
解： 如图，在DC上截取DE，使DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)． ∴AB＝AE，∠B＝∠AEB. ∵AB＋BD＝CD，DE＝BD， ∴AB＋DE＝CD.
求证：BD＋DC＝AB．
证明： 如图，延长BD至点E，使BE＝AB， 连接CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE. 又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE. ∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC. ∴DC＝DE. ∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD， 即BD＋DC＝AB.
而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC. ∴AE＝EC. ∴∠EAC＝∠C. 设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x. ∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
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即180°－4x＋x＝120°. 解得x＝20°，则∠C＝20°.
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∴DE＝DF.
方法 2 作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA 移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动， 点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)求证：PD＝QD． (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E， P，Q在移动的过程中，线段BE，DE， CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法
技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法方法1.三线合一法例1.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A点的直线EF//BC,且AE=AF.求证: DE=DF.方法2.作一腰的平行线构造等腰三角形法例2.如图，AB=AC,F 为DE的中点，求证BD=CE.例3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法3.截长补短构造等腰三角形法例4.如图，在△ABC中，AB=AC, D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证:BD+DC=AB例5.如图，在AABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.方法4.证与底有关的线段时，通常作底的平行线例6.如图，等边△ABC中，D是边AB延长线上一点，延长BC至E点，使CE=AD, DG⊥BE 于G,求证BG=EG.方法5.加倍折半法，倍长中线法例7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.方法6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠PCA=∠PAB=20°.求∠PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.课后培优练习题1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF.求证:△DEF 是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于点E,判断△ADE的形状，并证明你的结论.3.如图，△ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别为E, F.(1)求证: DE=DF;(2)若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段? (不需说明理由)4.如图，△ABC中，AC=2AB, AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点，且EA=EC,求证: EB⊥AB.5.如图，△ABC的面积为1cm2, AP垂直∠ABC的平分线BP于P，求△PBC的面积.6.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E、F分别在AC、BC 上，求证: DE=DF.7.如图，已知AB=AC, ∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D.求证: BC=AB+CD.8.如图，在△ABC中，AB=AC, AE⊥BE于点E,且BC=2BE,若∠EAB=20°，求∠BAC的度数.9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, CE ⊥BD. 求证: BD=2CE.10.如图，等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1).求证: PD=DQ;(2).若△ABC的边长为1，求DE的长.。
中考数学复习指导：解等腰三角形问题时常用的辅助线
解等腰三角形问题时常用的辅助线等腰三角形是平面几何中的一种重要图形，等腰三角形问题大多需要添加适当的辅助线．下面谈谈等腰三角形问题中的几种常用的辅助线.一、作底边上的中线或高或顶角的平分线例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E,F分别在AB.AC上，且AE＝CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．分析由点D是等腰三角形底边BC的中点，容易联想作底边上的中线，利用等腰三角形的“三线合一”的性质证明．证明如图1，连接AD．∵AB＝AC，∠A＝900，∴∠B＝∠C＝45°．∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠A＝45°．∴∠EAD＝∠C，∠CAD＝∠C．∴AD＝CD．又AE＝CF，∴△AED≌△CFD，∴DE＝DF，∠1＝∠2．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠2＋∠3＝90°．∴∠1＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形．二、作腰或底的平行线例2 如图2，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于点E，判断△ADE的形状，并证明你的结论．分析猜想△ADE是等边三角形．由∠CDE＋∠ADE＝∠ADC＝∠BAD＋∠B可得∠CDE＝∠BAD．要证DE＝AD，可先证DE所在的△DEC与AD所在的△ABD全等，而由已知可知，∠DCE＝120°，∠ADB<120°，显然两个三角形不全等，而且△ABD比△DEC大，所以可以尝试在大△ABD中截出一个三角形和△DEC全等．过点D作DG∥AC，则可达到目的．解△ADE是等边三角形．如图2，过点D作DG∥AC交AB于点G，则∠BGD＝∠BAC．∠BDG＝∠BCA．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC．∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴∠BCD＝∠BDG＝60°，∴BG＝BD．∴△ADE是等边三角形．三、作以底或腰为边的等边三角形例3如图3，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，点P为三角形内一点，且∠PCA＝∠PAB＝20°．求∠PBC的度数．分析由图中的40°＋20°＝60°，联想到等边三角形．于是以某一边为边作等边三角形．如图3，以等腰△CAP的底AP为边在点C一侧作等边△APD，连接CD，则AP＝AD＝PD．∠DAP＝∠DPA＝60°∴∠DAC=∠DPC＝180°－60°＝20°＝∠PAB．注：例3还有以下作等边三角形的方法．①以底BC为边在点A一侧作等边△BCD，连接AD；②以腰AC为边在点B－侧作等边△ACD，连接BD．以等腰三角形的底或腰为边作等边三角形是常用的辅助线，练习中的第3题也可以用这两种方法求解．四、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例4如图4，在△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC．求证：PC>PB．分析要证PC>PB，自然想到证∠PBC>∠PCB．但是“∠APB>∠APC”这个条件用不上，所以将∠APB所在的△ABP绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合．证明设∠BAC＝n°．如图4，将△ABP绕点A逆时针旋转n°，得△ACQ，连接PQ．则。
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (6)【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 (10)【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 (14)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (20)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (24)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (28)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【答案】(1)452DCB ∠=+︒α(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，（1）根据等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，设ACD β∠=，DCB x ∠=，解出方程组，即可求解；（2）延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．根据180∠+∠=︒ABD BAC ，可得ABF BAC α∠=∠=．再由等腰三角形的性质可得1122D DAB ABF α∠=∠=∠=，从而得到1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =，进而得到DAB BAE ∠=∠，然后根据角平分线的性质定理，可得BH BE =，即可求证．解：（1）∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．设ACD β∠=，DCB x ∠=，则()452180x βαβα+=︒⎧⎨++=︒⎩解得：452x α=+︒，即452DCB ∠=+︒α；（2）如图，延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．∵180∠+∠=︒ABD BAC ，180ABD ABF ∠+∠=︒．∴ABF BAC α∠=∠=．又∵AB BD =，∴1122D DAB ABF α∠=∠=∠=∵AB AC =，∴1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =∴DAB BAE ∠=∠．又∵BH AD ⊥，BE AE ⊥，∴BH BE =，∴12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．作EF AC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质得出12AF FC AC ==，再证明 ≌ABE AFE 即可得出结论．证明：如图，作EF AC ⊥于点F．EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，AF AB ∴=．AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．在BAE 和FAE 中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴ ≌，90ABE AFE ∴∠=∠=︒，EB AB ∴⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；12a (2)①60︒；②2BAC DAE∠=∠【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①求解60ACD ∠=︒，可得60ACB ACB '∠=∠=︒，由AB AC =，可得60ABC ACB ∠=∠=︒，可得60BAC ∠=︒；②过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴AD CB '⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，∴1122CM BM BC a ===，在ACD 与ACM △中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACD ACM ≌，∴12CD CM a ==，即CD 的长为12a ，（2）解：①∵90DAE ACD ∠+∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60ACD ∠=︒，∴60ACB ACB '∠=∠=︒，∵AB AC =，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒；②当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，∴90CAN ACB '∠+∠=︒，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，∴DAE CAN ∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22CA B C A A M B M ∠∠=∠=，在ACN △与ACM △中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ACM ≌，∴CAN CAM ∠=∠，∴222BAC CAM CAN DAE ∠=∠=∠=∠；【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质可得==45ABE ECN ∠∠︒，利用三角形外角的性质与等量代换可得BAE CEN =∠∠，在根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接AE ，在AC 上截取AM CG =，根据等腰直角三角形的性质可得AE EC =，===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，证得()AME CGE SAS ≌，可得=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，利用等量代换可得==45MEN GEN ∠∠︒，证得()MEN GEN SAS ≌，可得MN GN =，即可得证．解：（1）证明：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴==45ABE ECN ∠∠︒，∵==45AEC AEN CEN CEN ∠∠+∠︒+∠，又∵==45AEC ABE BAE BAE ∠∠+∠︒+∠，∴BAE CEN =∠∠，又∵BE CN =，∴()ABE ECN AAS ≌；（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM CG =，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点，∴AE BC ⊥，AE EC =，∴===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，在AME △和CGE 中，AM CG MAE GCE AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME CGE SAS ≌，∴=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，∵90AEG GEC ∠+∠=︒，∴=90MEA AEG ∠+∠︒，即90MEG ∠=︒，∵45DEF ∠=︒，∴==45MEN GEN ∠∠︒，又∵NE NE =，=ME GE ，∴()MEN GEN SAS ≌，∴MN GN =，∵=CN CG GN +，∴=CN AM MN +．【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明AED AFD ≌，进而可得结论．证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，∴∠∠EAD FAD =，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED AFD SAS ∴ ≌，DE DF ∴=．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)80︒。
初中数学等腰三角形添加辅助线方法与常见陷阱
初中数学等腰三角形添加辅助线方法与常见陷阱方法一：做三线合一中的一线三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出AD⊥BC.方法二：做平行线法这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。
第①小题，得出三角形全等，得出PD=QD。
第②小题，过点P做PF∥AC，因为△PBF是等腰三角形，PE⊥BF，三线合一得出BE=EF。
又因为三角形全等，得出FD=CD。
所以，得出ED=BC的一半，即为定值。
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。
例题3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。
例题4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。
方法四：加倍折半法，倍长中线法例题5，解析说过点B做BF∥AC，最后得出的还是线段相等。
其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。
因为CE是△ABC的中线，倍长中线CE。
延长CE 至F，使EF=CE，连接BF。
倍长中线，必出三角形全等，最后得出，△DBC≌△FBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。
初中数学常见陷阱陷阱1：在较复杂的运算中，因不注意运算顺序或者不合理使用运算律，致使运算出现错误。
常见陷阱是在实数的运算中符号层层相扣。
陷阱2：要求随机或者在某个范围内代入求值时，注意所代值必须要使式子有意义，常见陷阱是候选值里有一个会使分母为零。
陷阱3：注意分式运算中的通分不要与分式方程计算中的去分母混淆。
陷阱4：非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个式子都为0；常见非负数有：绝对值，非负数的算术平方根，完全平方式。
等腰三角形证明以及辅助线做法
巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题学习了等腰三角形的三线合一后;笔者认为;可以根据学生的实际情况;补充“三线合一”的逆命题的教学;因为这种逆命题虽然不能作为定理用;但它在解题中非常常见的..掌握了它;可以为我们解题增加一种重要思路..它有以下几种形式：①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．线段垂直平分线的性质②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.因此;三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆;笔者简言之：两线合一;必等腰..本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线;构建等腰三角形且证明之来解决问题..一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1;△ABC中;AD是BC边上的中线;又是BC边上的高..求证：△ABC是等腰三角形..分析：AD就是BC边上的垂直平分线;利用线段垂直平分线的性质;可以推出AB=AC;所以△ABC是等腰三角形..具体证明过程略..证明②：已知:如图1;△ABC中;AD是∠BAC的角平分线;AD是BC边上的高..求证：△ABC是等腰三角形..分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD;由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形..具体证明过程略..证明③：已知:如图2;△ABC中;AD是∠BAC的角平分线;AD是BC边上的中线..求证：△ABC是等腰三角形..方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC;直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行;那就换种思路;经验告诉我们;在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”即通过延长三角形的中线使之加倍;以便构造出全等三角形来解决问题的方法;即延长AD到E点;使DE=AD;由此问题就解决了..证明：如图2;延长AD到E点;使DE=AD;连接BE在△ADC和△EDB中AD=DE∠ADC=∠EDBCD=BD∴△ADC≌△EDB∴AC=BE;∠CAD=∠BED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠BED=∠BAD∴AB=BE又∵AC=BE∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形..方法二：分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦;经验告诉我们;遇到角的平分线;我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线;从而构造出了高;再利用面积公式开辟出新思维..具体做法是：如图2;过点D作DF⊥AB;DE⊥AC垂足分别为F、E..又因AD是∠BAC的角平分线;所以DF=DE..因为BD=DC;利用“等底同高的三角形面积相等”的原理;所以=;再根据“等积三角形高相等则底也相等”;因为===;又因DF=DE;所以AB=AC;可见“面积法”给解题带来了简便;这种方法也正是被人们易忽视的..当然;学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时;很容易形成思维定势;证明两组直角三角形分别全等;从而证明∠B=∠C;所以AB=AC;此法明显较麻烦些;但是思路要给予肯定..需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性;但是这种逆命题不能作为定理来用;掌握了它和它的证明过程;其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法..二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线;构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题①的应用即线段垂直平分线的性质的应用例1人教版八上第十二章章节复习题中的第5题：如图4;D、E分别是AB、AC 的中点;CD⊥AB于D;BE⊥AC于E;求证：AC=AB..经笔者验证;学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形;所以连接AO图略;证明△AOC≌△AOB或者三组直角三角形分别全等;其中还要用到线段的垂直平分线的性质;证明OA=OB=OC;方法相当地麻烦..分析：题目没有直接给出“CD、BE分别是AB、AC的垂直平分线”这样的语句;所以学生最初拿到这个题目;很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起..如果学生有“两线合一;必等腰”的思维;很容易想到CD、BE分别可以是以AB、AC为底边的等腰三角形底边上的高和中线;即“两线合一”;因此添加辅助线;构造等腰三角形..简单证明：连结BC;∵CD⊥AB;AD=BD∴AC=BC注：利用线段垂直平分线的性质同理可得：AB=BC∴AC=AB由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致;所以笔者在此就不过多的举例..2、逆命题②的应用例2已知：如图5;在△ABC中;AD平分∠BAC;CD⊥AD;D为垂足;AB>AC..求证：∠2=∠1+∠B分析：由“AD平分∠BAC;CD⊥AD”可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高和底边所对角的平分线;即“两线合一”;因此添加辅助线;构造等腰三角形..简单证明：延长CD交AB于点E;由题目提供的条件;可证△AED≌△ACD;∠2=∠AEC;又∠AEC=∠1+∠B;所以结论得证..例3在学习等腰三角形知识时;会遇到这个典型题目：如图6;在△ABC中;∠BAC=900;AB=AC;BE平分∠ABC;且CD⊥BE交BE的延长线于点D;求证：CD=BE分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”;所以延长CD和BA;交于点F;补全等腰三角形..简单证明：由所添辅助线可证△BFD≌△BCD;可知△BCF是等腰三角形∴CD=DF=CF再证△ABE≌△ACF∴BE=CF∴CD=BE可见;学会“两线合一;必等腰”的思维;对满足“三线合一”性质的逆命题的条件;添加适当的辅助线来构造等腰三角形;为我们解决相关问题开辟了新思维..笔者认为;三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出..例4逆命题②还可以与中位线综合应用：已知：如图7;在△ABC中;AD平分∠BAC;交BC于点D;过点C作AD的垂线;交AD 的延长线于点E;F为BC的中点;连结EF..求证：EF∥AB;EF=AC-AB分析：由已知可知;线段AE既是∠BAC的角平分线;又是EC边上的高;即“两线合一”;就想到把AE所在的等腰三角形构造出来;因而就可添辅助线：分别延长CE、AB交于点G..简单证明：由所添辅助线可证△AGE≌△ACE;得出△AGC是等腰三角形;AG=AC ∴EG=CE又∵点F是BC的中点∴EF是△BGC的中位线∴EF∥AB;EF=BG=AG-AB=AC-AB3、逆命题③应用：例5已知：如图8;△ABC中;AD是它的角平分线;且BD=CD;DE∥AC、DF∥AB分别与AB、AC相交于点E;F..求证：DE=DF分析：根据已知条件;利用相似性知识;可证：点E;F分别是AB、AC的中点初中阶段不能用三角形的中位线的逆定理;又因点D是BC的中点;再利用三角形中位线的性质可知;DE=AC;DF=AB;可见只要证明AC=AB;题目所求证的结论就可得证..因为AD既是∠BAC的角平分线;又是BC边上的中线;即“两线合一”;所以△ABC是等腰三角形可证;方法见逆命题③的证明..证明：过程略..还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件;而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件;使题目符合“两线合一”思路..例6如图9;梯形ABCD中;AB∥CD;E是BC的中点;DE平分∠ADC;求证：AD=CD+AB例7分析：拿到这个题目;学生的思维很活跃;有的用“截长补短法”；有的用“角的平分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题”的方法；笔者发现有几个学生延长DC、AE相交于点F;易证△ABE≌△FCE;所以AB=CF;AE=EF;可见只要证明AD=FD;题目所求证的结论就可得证..可是学生想到这一步;思维受阻：DE此时既是∠ADC的角平分线;又是AF边上的中线;△DAF肯定是等腰三角形;就是不知道怎么证明..可见;学生如果有“两线合一;必等腰”的思维和掌握了它的证明方法;那么此法是可行..只是此法用于这个题目较为麻烦、不可取;但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的..由于笔者在研究过程中;发现逆命题③的应用不是很多;所以在此就不过多的举例..三、请读者小试牛刀学习了以上“两线合一;必等腰”的新思路;笔者最后再一次警告读者：由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合;所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明;不能作为定理用;切记切记谨防与“三线合一”性质搞混淆..请读者试解下面问题前2题提示;后3题不予提示1、已知;如图10;△ABC中;∠BAC＝90°;AD⊥BC于D;∠ABC的平分线交AD于E;交AC于P;∠CAD的平分线交BP于Q..求证：△QAD是等腰三角形..提示：可证∠AQB=90°;延长AQ..此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用解法：AD⊥BC于D;∠ADF=∠ADB=90°;∠ABC+∠BAD=90°;∠CAD+∠BAD=90°;∠AB C=∠BAD∠ABC/2=∠BAD/2;∠DBE=∠QAE;∠BED=∠AEQ;对顶角;故∠BDE=∠AQE=9 0°;∠ABQ=∠FBQ;BQ=BQ;∠BQA=∠BQF=90°;RT△BQA≌RT△BQF;ASAAQ=FQ;Q为RT △ADF斜边AF的中点;AQ=DQ;△QAD是等腰三角形.2、如图图略;读者自己画;在△ABC中AB≠AC;M为BC的中点;AD平分∠BAC交BC于点D;BE⊥AD于E;CF⊥AD于F．求证：ME=MF．提示：延长BE、CF．3、如图图略;BE、CF是△ABC的角平分线;AM⊥CF于M;AN⊥BE于N．求证：MN∥BC．画图时;注意AB≠AC解法∵BE为∠ABC的角平分线;BE⊥AG;∴∠BAM=∠BGM;∴△ABG为等腰三角形;∴BM也为等腰三角形的中线;即AM=GM．同理AN=DN;∴MN为△ADG的中位线;∴MN∥BC．4、如图图略;已知梯形ABCD中;AB∥CD;∠C的平分线CE⊥AD于E;且DE=2AE;CE 把梯形ABCD分成两部分;求这两部分面积之比．画图时;注意AB为上底;CD为下底;E 点在线段AD上5、BD、CE是△ABC的两个外角的平分线;AD⊥BD于D;AE⊥CE于E．求证：1DE∥BC．2DE 等于△ABC的周长的一半．画图时;注意BD;CE在直线BC的同侧等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维;强化了学生通过添加辅助线解题的能力;而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想..。
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法如下：
1.作腰的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理，得出线段之间的关系，然后利用等腰三角形的性质可得出结论。
2.作底边上的高：利用“面积法”或“全等法”进行证明，利用等腰三角形的“三线合一”性质可得出线段之间的关系。
3.作腰的延长线：根据等腰三角形的性质，利用“三角形中位线”定理或“全等”得出线段之间的关系。
4.作底边的中线：根据“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”的性质，利用“全等法”或“面积法”进行证明。
5.过顶点作底边的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理和“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”的性质，可得出线段之间的关系。
6.过一腰上的某一点作另一腰的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理和等腰三角形的性质，可得出线段之间的关系。
7.作一角平分线：利用角平分线的性质，可得出线段和角度之间的关系，然后利用等腰三角形的性质可得出结论。
(完整版)初二数学辅助线常用做法及例题(含答案)
DCB A常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案 )总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接那么成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一〞法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法〞或“补短：法〞遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折〞法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转〞法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，〔1〕可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折〞，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．〔2〕可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
等腰三角形常见的辅助线的做法
等腰三角形常见的辅助线的做法
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法
方法一：做三线合一中的一线
三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
方法二：做平行线法
这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法
简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研
方法四：加倍折半法，倍长中线法。
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法以等腰三角形中做辅助线的八种常用方法为标题，写一篇文章。
一、连接底边中点和顶点的直线在等腰三角形中，连接底边中点和顶点的直线是最常见的辅助线之一。
通过连接底边中点和顶点的直线，可以将等腰三角形分为两个等边三角形，从而为解决问题提供了更多可能性。
二、平分底角另一种常见的辅助线是平分底角。
通过连接底边两个顶点与底角的平分线，可以将等腰三角形分成两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加简单明了。
三、平分顶角平分顶角也是一种常用的辅助线方法。
通过连接顶点与底边中点的直线，可以将等腰三角形分为两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加方便。
四、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线通过连接底边两个顶点与三角形顶点的直线，可以形成一个内切等边三角形。
这个内切等边三角形可以为解决问题提供更多线索。
五、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点通过连接底边两个顶点与顶角平分线的交点，可以形成一个四边形。
这个四边形可以为解决问题提供更多线索。
六、连接底边两个顶点与底边中点的连线通过连接底边两个顶点与底边中点的连线，可以形成一个等腰梯形。
这个等腰梯形可以为解决问题提供更多线索。
七、连接底边两个顶点与对边中点的连线通过连接底边两个顶点与对边中点的连线，可以形成一个平行四边形。
这个平行四边形可以为解决问题提供更多线索。
八、连接对边中点的连线通过连接对边中点的连线，可以形成一个等腰三角形的中线。
这个中线可以为解决问题提供更多线索。
在解决等腰三角形相关问题时，可以灵活运用以上八种常用的辅助线方法。
通过合理选择辅助线，可以使问题的解决更加简单明了。
当然，在运用辅助线的过程中，需要注意辅助线与等腰三角形的关系，确保辅助线的引入能够帮助解决问题，而不会导致问题的复杂化。
总结起来，通过连接底边中点和顶点的直线、平分底角、平分顶角、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点、连接底边两个顶点与底边中点的连线、连接底边两个顶点与对边中点的连线以及连接对边中点的连线这八种常用的辅助线方法，我们可以更加灵活地解决等腰三角形相关问题。
人教版八年级数学上册等腰三角形中作辅助线的八种常用方法
∵AB＝AC，O 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°， ∠OAM＝12∠BAC＝45°.
∵BM＝AN，∴AB－BM＝AC－AN，即 AM＝CN. 在△OAM 和△OCN 中， O∠AO＝AOMC＝，∠C＝45°， AM＝CN， ∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°， ∴∠AOM＋∠AON＝90°， 即∠MON＝90°. ∴△MON 是等腰直角三角形．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D. 求证∠BAC＝2∠DBC.
证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE. 又∵BD⊥AC，∴∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°. ∴∠CAE＝∠DBC. ∴∠BAC＝2∠DBC.
∴CF＝CD. ∴CD＝2CE.
6．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°， BF 平分∠ABC，CD⊥BF 交 BF 的延长线于点 D.求证 BF＝
2CD.
证明：如图，延长 BA，CD，交于点 E.
∵BF 平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD， ∴△BDC≌△BDE(ASA)． ∴CD＝ED，即 CE＝2CD.
CD＝DM＋MC＝DM＋BM. ∵CD＝DE，∴AB＋(BM－DM)＝DM＋BM.
∴DM＝12AB.
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD＝60°.求证 BD＋DC＝AB.
证明：如图，延长 BD 至 E，使 BE＝AB，连接 CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE 为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
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等腰三角形辅助线的做法 Prepared on 22 November 2020
专题：等腰三角形辅助线的作法
类型一：利用三线合一作辅助线
（1）等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线
1、如图ΔABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的
点且AE= AF，求证：DE=DF
2、如图，在ΔABC中，D是BC的中点，过A作EF‖BC且AE= AF，求
证：DE=DF
（2）没有底边中点时作底边上的高
3、如图，在ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，
求证：∠BAC=2∠DBC
类型二：做平行线构造等腰三角形
（1）作腰的平行线构造等腰三角形
4、如图，ΔABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF
（2）作底边的平行线构造等腰三角形
5、如图，AB=AC，点D是BA的延长线上一点，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC
（3）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
6、如图，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，点Ｅ为ＣＤ上一点，
且ＡＤ＝ＤＥ，ＥＦ‖ＢＣ交BD于F，求证：AB=EF
类型三:用“截长补短法”构造等腰三角形
7、如图，ΔABC中，∠BAC=120，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C 的度数。
8、如图，ΔABC中，∠BAC=108，AB=AC，BD平分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，求证：BC=CD+AB
类型四：运用角平分线作垂线
9、如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180，CD⊥OA于D。
（1）求证：OC平分∠AOB；
（2）若OD=3DA =6,求OB的长。
10、如图，已知等腰RTΔABC中，∠ACB=90，AC=BC=4，D为ΔABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC=45，ＣＤ交ＡＢ于Ｅ，
（1）求证：ＡＤ＝ＣＤ
（２）求ＡＥ的长。