等腰三角形中常见辅助线
等腰三角形中的常见辅助线
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）试说明：PD=QD（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，DG⊥BE于G，求证：BG=EG.方法5补形法构造等腰三角形5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.方法6 倍长中线法构造等腰三角形6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.方法8 截长补短法构造等腰三角形8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。
等腰三角形中常见辅助线(中考)
等腰三角形中常见辅助线一、等腰三角形中底边中点常作底边的中线1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.证明：连接AD，∵AB＝AC且BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AE＝AF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD(SAS)，∴DE＝DF二、利用“三线合一”作等腰三角形底边上的高2．如图，AB＝2AC，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且AE＝BE.求证：CE⊥AC.证明：作EH⊥AB于H，∵AE＝BE，∴AH＝BH，又∵AB＝2AC，∴AC＝AH，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAH，又∵AE＝AE，∴△AHE≌△ACE(SAS)，∴∠AHE＝∠ACE＝90°，∴CE⊥AC1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证DE＝DF.练习：证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.又∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.三、作平行线构造等腰三角形如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.求证：AD＝CE.练习如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与边BC相交于点D .(1)求证PD＝QD.证明：如图，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F .∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP ＝CQ .∵PF ∥AQ ，∴∠PFB ＝∠ACB ，∠DPF ＝∠CQD .又∵AB ＝AC ，(1)求证PD ＝QD.∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PFB ，∴BP ＝PF ，∴PF ＝CQ .在△PFD 和△QCD 中，∴△PFD ≌△QCD (AAS)．∴PD ＝QD .DPF DQC PDF QDC PF QC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E，在P，Q移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．解：ED的长度保持不变.理由如下：由(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=EF由(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=DC,∴ED=EF+FD=BE+DC= BC∴ED为定值四、用截长补短法构造等腰三角形如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD ＝60°.求证BD ＋DC ＝AB.练习：证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，即BD＋DC＝AB.五、作垂直构造K字型全等如图，将等腰Rt△ABC斜放在平面直角坐标系中，使直角顶点C与点(1，0)重合，点A的坐标为(－2，1)．(1)求点B的坐标；(2)求△ABC的面积．六、常将等腰三角形转化为等边三角形如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P为形内一点，若∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
专题课堂(四)-等腰三角形中的证明
【对应训练(xùnliàn)】 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是高，相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝ 2BD.
证明(zhèngmíng)：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝ 90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH，可证 △BCE≌△AHE(ASA)，∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC ＝2BD，∴AH＝2BD
证明：连接(liánjiē)AD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠B＝45°， ∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴AD＝BD，∠B＝∠CAD.∵AB＝AC， AE＝CF，∴BE＝AF.在△BDE和△ADF中，∵AD＝BD，∠B＝∠CAD， BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴DE＝DF，∠BDE＝ ∠ADF.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∴∠ADF＋∠EDA＝90°，即∠EDF ＝90°，∴△DEF是等腰直角三第四角页，共形10页。
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内容(nèiróng)总结
专题课堂(四) 等腰三角形中的证明。分析：过点E作EG∥AC交BC于G，构造等腰△EBG，可 得EB＝EG＝FC，再证△EGD≌△FCD即可．。【对应训练】。3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD
No ，BE是高，相交(xiāngjiāo)于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD. Image
＝CF，∴EG＝CF.在△EGD 和△FCD 中，∠∠DEDEGG＝＝∠∠FF，DC，∴△EGD EG＝FC，
≌△FCD(AAS)，∴DE＝DF
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等腰三角形的常用辅助线
等腰三角形的常用辅助线等腰三角形的常用辅助线，这个话题一说到，很多小伙伴可能会皱起眉头，觉得“哎呀，又是数学的那些东西”！其实呢，没那么复杂，只要把它看成一块小蛋糕，我们就能轻松地吃掉它。
等腰三角形，顾名思义，就是两条边相等的三角形。
它的特性呢，大家都知道，底边两侧的角度相等。
可是呀，单纯的等腰三角形有时候看着不太显眼，搞不好就会错过一些隐藏的“玄机”。
这个时候，辅助线就派上用场了。
你可别小看这些不起眼的辅助线，它们可真是神奇的工具，让我们在解题时游刃有余。
那这些辅助线到底有哪些呢？今天我们就来聊聊这个。
最常见的辅助线，就是垂直平分线。
哎呀，这个名字一听就有点严肃是不是？不过其实呢，它就是把等腰三角形的底边“砍”成两段一样长的线。
如果你仔细看看，垂直平分线还跟三角形的顶点连在一起，那是有多神奇！它不仅能把底边分成两段一样长的部分，还能让顶点到这条线的距离是最短的。
更妙的是，它还能帮助你把三角形分割成两个完全对称的小三角形，哇，简直是像拆解拼图一样，一块一块的弄清楚，结果一下子问题就解决了。
所以啊，碰到等腰三角形，想要对称性好一点，垂直平分线一定得用起来！然后，还有个很重要的辅助线，那就是角平分线。
角平分线啊，说白了，就是把三角形的一个角一分为二，把两边分成对称的部分。
好家伙，你看，这个角平分线的作用可大了。
它不仅能帮助你把角度弄清楚，还能直接给出一些相等的比值。
简直是无敌的“妙招”，解题时能带来不小的帮助。
你知道吗？有时候你在一个等腰三角形里，角平分线不仅能告诉你角度之间的关系，还能帮助你计算一些线段的长度。
不管是在解几何题目，还是在日常的数学练习中，这个“神器”都能让你快速抓住关键，给出精准的答案。
所以呢，如果你遇到需要计算比例关系的题目，角平分线就是你最好的朋友。
不过，别以为只有垂直平分线和角平分线才厉害，还有一个秘密武器叫做中线。
中线呢，就是从顶点往下拉，连接底边的中点。
看起来像是个平凡无奇的小线段，可实际上它的功能不容小觑。
(完整)等腰三角形时常用的辅助线作法
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，求证:DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC中,AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC,F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF,连结DE求证:EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形---—--等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,∠BAC = 80o，P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数。
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线,底边高线例：已知，如图，AB = AC,BD⊥AC于D，求证:∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE,交BC于E,则∠1 = ∠2 = 12∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC(方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）(方法三）取BC中点E，连结AE(过程略)⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,D为BC中点,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF21EDC BA证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC 中，AB = AC,在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ， 求证：EF ⊥BC证明:延长BE 到N ，使AN = AB ，连结CN ，则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC ⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANCF E DCBAN FE CBA∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC,D 在AB 上,E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF证明：（证法一)过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB,∠NDE = ∠E ，∵AB = AC, ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF(证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M ，则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线21NFED C BA21MFED CBA例:已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 延长线上，且AD = AE ，连结DE求证：DE ⊥BC证明：（证法一）过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，则∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE ＋∠AEF ＋∠AED ＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF ＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o∴DE ⊥FE 又∵EF ∥BC ∴DE ⊥BC（证法二）过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N,(过程略） （证法三）过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形————--等边三角形例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC,∠BAC = 80o ，P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数. 解法一：以AB 为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oN M FE D CBA PECBAAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12（180o－∠EAC）= 80o∵∠ACB= 12（180o－∠BAC)= 50o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12（180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
等腰三角形几种常见辅助线精典题型
等腰三角形几种常见辅助线精典题型
等腰三角形是指两边相等的三角形。
在解决等腰三角形相关题目时，常常使用辅助线来辅助推导和证明。
以下是几种常见的等腰三角形辅助线题型：
1. 画中线
对于一个等腰三角形ABC，如果我们画出边AC的中线DE，那么DE就会和边AB、边BC的中点F、G分别重合。
这是因为等腰三角形的两底角相等，所以边DE和边AB、边BC同样长度，且平行。
因此，边DE和边AB、边BC的中点会重合在一条直线上。
2. 画高线
另一个常见的辅助线是画出等腰三角形ABC的高线AD，垂直于底边BC。
根据等腰三角形的性质，高线AD会和底边BC的中点E重合。
这是因为高线AD与底边BC垂直，而等腰三角形的两底角相等，所以高线AD与边AB和边AC平行。
因此，高线AD 和底边BC的中点会重合在一条直线上。
3. 划分等腰三角形
我们还可以使用辅助线将等腰三角形划分为更小的等腰三角形。
例如，我们可以从等腰三角形ABC的顶点A开始，划分出三角形ABD和三角形ACD。
这样，我们就得到了两个与原等腰三角形相
似的等腰三角形。
通过划分等腰三角形，我们可以更方便地推导和
证明相关问题。
在解决等腰三角形的相关题目时，使用这些常见的辅助线题型
能够帮助我们更好地理解等腰三角形的性质，简化问题的处理过程，并得到准确的结论。
> 注意：以上内容仅供参考，具体问题具体分析。
专题 等腰三角形中常用的辅助线作法(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》专题等腰三角形中常用的辅助线作法解题技巧提炼当遇到等腰三角形时，常利用“三线合一”的性质，若已知图中无此线，可将其构造出来以辅助解决问题，通常是作底边上的高，再证底边上的中线或顶角的平分线.【例题1】（2022秋•秦淮区月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，F是CD的中点，连接AF．求证：AF⊥CD．【变式1-1】如图，△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE，求证：DE⊥AB．【变式1-2】（2022秋•新洲区期中）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．【变式1-3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于E，CE=12BC，E在△ABC外，求证：∠ACE＝∠B．【变式1-4】（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【变式1-5】（2022秋•大足区期末）如图所示，△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数；（2）若点D是AB的中点，求证：∠BDE=12∠ACB．【变式1-6】（2022秋•南乐县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝4．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝5，求ED的长．【变式1-7】如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB+CD．（1）求证：BE＝CE；（2）求证：AE⊥DE；（3）求证：AE平分∠DAB．【例题2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 交AB 于点E ，交BC 与点D ．交AC 的延长线于点F ，且BE ＝CF ．求证：DE ＝DF ．【变式2-1】如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 延长线上一点，E 是BC 延长线上一点，CE ＝AD ，求证：DB ＝DE．【变式2-2】如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB＝EF．【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于点G．（1）试说明EG＝FG；（2）试说明AB+AC＞2EG．【变式2-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数；（2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．【变式2-5】如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．（1）当∠DQC＝30°时，求AP的长．（2）作PE⊥AC于E，试探究DE、AE、CD三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【变式2-6】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【变式2-7】如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G．（1）求证：AF＝AG；（2）求证：BF＝CG；（3）求AB AC CG的值．【例题3】如图，△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：AB ＝AD +BC ．【变式3-1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E 为BC 上一点，BE ＝DE ．求证：BC ＝CD +AD．解题技巧提炼对于线段和差问题，利用“截长补短法”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化.【变式3-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD延长线于点M．求证：AM=12（AB+AC）．【变式3-3】如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．【变式3-4】（2022秋•崇川区校级月考）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【变式3-5】在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【例题4】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【变式4-2】如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE ＝AC ．若∠C ＝70°，∠DAC ＝50°，求∠EBD的度数．解题技巧提炼当题目中已知某线段的中点时，通过倍长中点处的线段构造全等三角形，从而将题目中的相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形.【变式4-3】（2022秋•文峰区月考）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD ＝∠BDA，求证：AC＝2AE．【变式4-4】阅读并完成以下填空：如图1，已知：AD为△ABC的中线，求证AB+AC＞2AD．证明：延长AD至E使得DE＝AD．连接EC，则AE＝2AD．∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD．在△ABD和△CED中，BD＝CD， ， ．∴△ABD≌△CED．∴AB＝EC．在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC AE．而AB＝EC，AE＝2AD，∴AB+AC＞2AD．这种添加辅助线的方法，我们称为“倍长中线法”．请利用这种方法解决下列问题：问题1：如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF 交AC于点E．求证AE＝EF．【变式4-5】（2023春•汉寿县期中）已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，连接DF，BF．（1）观察发现：图1中DF，BF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）拓展延伸：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动任意角度（转动角度在0°到90°之间），再连接CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．【例题5】如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD＝BC．【变式5-1】在△ABC中，AD是BC边上的高，CD＝AB+BD．求证：∠B＝2∠C．【变式5-2】如图，在△ABC中∠ABC＝2∠C，若AD⊥BC于D，BD＝4，CD＝16，求AB的长．【变式5-3】（2022•南京模拟）小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图1所示的△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．他发现，除了方法1直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD，并写出其证明过程．。
2等腰三角形中作辅助线的四种常用方法
方法 4 加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点D，且AB＋BD＝DC，
求∠C的度数．
解： 如图，在DC上截取DE，使DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)． ∴AB＝AE，∠B＝∠AEB. ∵AB＋BD＝CD，DE＝BD， ∴AB＋DE＝CD.
求证：BD＋DC＝AB．
证明： 如图，延长BD至点E，使BE＝AB， 连接CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE. 又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE. ∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC. ∴DC＝DE. ∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD， 即BD＋DC＝AB.
而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC. ∴AE＝EC. ∴∠EAC＝∠C. 设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x. ∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
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即180°－4x＋x＝120°. 解得x＝20°，则∠C＝20°.
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∴DE＝DF.
方法 2 作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA 移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动， 点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)求证：PD＝QD． (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E， P，Q在移动的过程中，线段BE，DE， CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法
技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法方法1.三线合一法例1.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A点的直线EF//BC,且AE=AF.求证: DE=DF.方法2.作一腰的平行线构造等腰三角形法例2.如图，AB=AC,F 为DE的中点，求证BD=CE.例3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法3.截长补短构造等腰三角形法例4.如图，在△ABC中，AB=AC, D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证:BD+DC=AB例5.如图，在AABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.方法4.证与底有关的线段时，通常作底的平行线例6.如图，等边△ABC中，D是边AB延长线上一点，延长BC至E点，使CE=AD, DG⊥BE 于G,求证BG=EG.方法5.加倍折半法，倍长中线法例7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.方法6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠PCA=∠PAB=20°.求∠PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.课后培优练习题1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF.求证:△DEF 是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于点E,判断△ADE的形状，并证明你的结论.3.如图，△ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别为E, F.(1)求证: DE=DF;(2)若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段? (不需说明理由)4.如图，△ABC中，AC=2AB, AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点，且EA=EC,求证: EB⊥AB.5.如图，△ABC的面积为1cm2, AP垂直∠ABC的平分线BP于P，求△PBC的面积.6.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E、F分别在AC、BC 上，求证: DE=DF.7.如图，已知AB=AC, ∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D.求证: BC=AB+CD.8.如图，在△ABC中，AB=AC, AE⊥BE于点E,且BC=2BE,若∠EAB=20°，求∠BAC的度数.9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, CE ⊥BD. 求证: BD=2CE.10.如图，等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1).求证: PD=DQ;(2).若△ABC的边长为1，求DE的长.。
北师大版八年级下册数学：等腰三角形常见辅助线作法总结(超详细,经典!!!)
等腰三角形常见辅助线做法总结一、常见辅助线添加方法Ⅰ利用等腰三角形“底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线”相互重合解题．1．有底边中点时常连接底边上的中线⑴如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF．求证：DE=DF．⑵如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点,过A的直线EF∥BC，且AE=AF．求证：DE=DF．⑶如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF．2．遇到等腰常作高⑷如图，△ABC中，2AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB．⑸如图，点D、E分别在BA、AC的延长线上，且AB=AC、AD=AE，求证：DE⊥BC．Ⅱ利用平行线构造等腰三角形3．遇到等腰常平移腰构造等腰三角形⑹如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．4．遇到等腰常平移底构造等腰三角形⑺如图，△ABC中，AB=AC，E在AC上，点D在BA的延长线上，且AD=AE，连DE，求证：DE⊥BC．5．利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形⑻如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F，求证：AB=EF．Ⅲ折半加倍方法处理二倍角问题6．作二倍角的平分线构造筀等腰三角形7．将小角加倍成和大角相等构造等腰三角形8．构造等腰三角形，使二倍角是这个等腰三角形顶角的外角(9) 如图，在△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求证：2AC＞AB．（10）如图，在△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC （用两方法）．Ⅳ线段的截长补短法9．当已知或求证中有一条线段大于另一条线段时可考虑截长补短法(11) 如图，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠B．10．当已知线段或求证中涉及线段的和（差）问题时可考虑截长补短法(12) 如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，且∠BDA=∠ADC=60°，求证：BD+CD=AD．(13) 如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠D AB的度数．（用两种方法）(14) 如图在△ABC中，∠BAC=108°,AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求证：BC=CD+AB．(用两种方法)二、等腰三角形综合训练1．如图，点E为△ABC边AB上一点，AC=BC=BE，AE=EC，BD⊥AC于D，则∠CBD= 度．2．如图，已知等边△ABC，D在BC延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD，求证：△ADE是等边三角形．3．如图，已知AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于D ， EF ∥BC 交AC 于F ，求证：EC 平分∠DEF ．4．如图，∠AOB =30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任一点，PD ∥OA 交OB 于D ，PE ⊥OA 于E ，OD =6，求PE 的长．5．如图，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D 点，若AD =BC ，（1）求∠A BC ；（2）若点E 在BC 的延长线上，且CE=CD ，连AE ，求∠CAE ．6．如图，已知等边△ABC ，D 在AC ，延长BC 至E ，使CE =CD ，若 DE =BD ，给出下列结论：①BD 平分∠ABC ；②AB AD 21=；③BC CE 21=；④∠A =2∠E ．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．已知，AB =BC ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE =α，M 、N 分别是AD 、CE 的中点．（1）如图①，若α=60°，求∠BMN ；（2）如图②，若α=90°，求∠BMN= ；（3）将图②的绕B 点逆时针旋转一锐角，在图③中完成作图，则∠BMN= ．。
中考数学复习指导：解等腰三角形问题时常用的辅助线
解等腰三角形问题时常用的辅助线等腰三角形是平面几何中的一种重要图形，等腰三角形问题大多需要添加适当的辅助线．下面谈谈等腰三角形问题中的几种常用的辅助线.一、作底边上的中线或高或顶角的平分线例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E,F分别在AB.AC上，且AE＝CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．分析由点D是等腰三角形底边BC的中点，容易联想作底边上的中线，利用等腰三角形的“三线合一”的性质证明．证明如图1，连接AD．∵AB＝AC，∠A＝900，∴∠B＝∠C＝45°．∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠A＝45°．∴∠EAD＝∠C，∠CAD＝∠C．∴AD＝CD．又AE＝CF，∴△AED≌△CFD，∴DE＝DF，∠1＝∠2．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠2＋∠3＝90°．∴∠1＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形．二、作腰或底的平行线例2 如图2，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于点E，判断△ADE的形状，并证明你的结论．分析猜想△ADE是等边三角形．由∠CDE＋∠ADE＝∠ADC＝∠BAD＋∠B可得∠CDE＝∠BAD．要证DE＝AD，可先证DE所在的△DEC与AD所在的△ABD全等，而由已知可知，∠DCE＝120°，∠ADB<120°，显然两个三角形不全等，而且△ABD比△DEC大，所以可以尝试在大△ABD中截出一个三角形和△DEC全等．过点D作DG∥AC，则可达到目的．解△ADE是等边三角形．如图2，过点D作DG∥AC交AB于点G，则∠BGD＝∠BAC．∠BDG＝∠BCA．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC．∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴∠BCD＝∠BDG＝60°，∴BG＝BD．∴△ADE是等边三角形．三、作以底或腰为边的等边三角形例3如图3，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，点P为三角形内一点，且∠PCA＝∠PAB＝20°．求∠PBC的度数．分析由图中的40°＋20°＝60°，联想到等边三角形．于是以某一边为边作等边三角形．如图3，以等腰△CAP的底AP为边在点C一侧作等边△APD，连接CD，则AP＝AD＝PD．∠DAP＝∠DPA＝60°∴∠DAC=∠DPC＝180°－60°＝20°＝∠PAB．注：例3还有以下作等边三角形的方法．①以底BC为边在点A一侧作等边△BCD，连接AD；②以腰AC为边在点B－侧作等边△ACD，连接BD．以等腰三角形的底或腰为边作等边三角形是常用的辅助线，练习中的第3题也可以用这两种方法求解．四、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例4如图4，在△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC．求证：PC>PB．分析要证PC>PB，自然想到证∠PBC>∠PCB．但是“∠APB>∠APC”这个条件用不上，所以将∠APB所在的△ABP绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合．证明设∠BAC＝n°．如图4，将△ABP绕点A逆时针旋转n°，得△ACQ，连接PQ．则。
三角形常见辅助线的作法
三角形中作辅助线的常用方法举例常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;（1）在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ； （2）在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ； （3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC（法二：）如图1-2， 延长BD 交 AC 于F ，延长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB ＋AF ＞ BD ＋DG ＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF ＋FC ＞GE ＋CE （同上） (2)DG ＋GE ＞DE （同上） (3)AB C D E N M 11-图A B C D EF G 21-图由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (2)【题型3】过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 (3)【题型4】过一腰上的某一已知点做底边的平行线 (4)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (5)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (6)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (7)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【题型3】过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线【例3】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，ABC V 是等边三角形，D 是AC 的中点，点F 在AB 上，点E 在直线BC 上，120EDF ∠=︒(1)当点E 与C 重合时，判断ADF △的形状，并说明理由?(2)当点E 在BC 的延长线上时，求证：DE DF =．【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边ABC V 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，以DE 为边作等边DEF ，连接CF ．若1BD =，3AE =．则CF 的长是．【变式2】（22-23八年级下·广西南宁·开学考试）如图，等边三角形ABC 中，D 为AC 上一点，E 为AB 延长线上一点，DE AC ⊥交BC 于点F ，且DF EF =．若12AB =，则BF 的长为．【题型4】过一腰上的某一已知点做底边的平行线【例4】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，在等边ABC V 中，点M 为AB 上任意一点，延长BC 至点N ，使AM CN =，连接MN 交AC 于点P ．(1)求证：MP NP =；(2)作MH AC ⊥于点H ，设AB a =，请用含a 的式子表示PH 的长度．【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如图，已知E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且BAE CDE ∠=∠．求证：AB CD =．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF DE =，连接BF ；②如图2，过点B 作BF DE ⊥，交DE 的延长线于点F ，过点C 作CG DE ⊥，垂足为G ．(2)请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明．【变式2】（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D 在AC 上，延长BC 至点E ，使CE AD DF BC =⊥，于点F ．(1)如图①，若点D 是AC 的中点，求证：BF EF =；(2)如图②，若点D 是AC 上任意一点，BF EF =是否仍然成立？请证明你的结论；(3)如图③，若点D 是AC 延长线上的任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？画图并写出你的结论，不必证明．【题型5】倍长中线构造等腰三角形【例5】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE AC =，BE 的延长线交AC 于点F ，若60ACB ∠=︒，44DAC ∠=︒，则求FBC ∠的度数为．【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图在四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接AE ，AE 平分DAB ∠，90D C ∠=∠=︒，32AD BC ==，则线段AB 的长为．【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．(1)如图（1），AD 是ABC V 的中线，且AB AC >，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，可证得ADC EDB V V ≌，其中判定两个三角形全等的依据为________．(2)如图（2），在ABC V 中，点E 在BC 上，且DE DC =，过E 作EF AB ∥，且EF AC =．求证：AD 平分BAC ∠．【题型6】截长补短构造等腰三角形【例6】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC V 中，40ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，三角形内有一点P ，连接AP ，BP ，CP ，若BP 平分ABC ∠，13BCP ACB ∠=∠，则PAC ∠=．【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 在BA 的延长线上，DB DE =，若62BC AE ==，，则线段AD 的长为．【变式2】（2024·陕西西安·三模）如图，ACB △是等边三角形，D 为ACB △外一点，且60ADB ∠=︒，连接CD ，若6,4BD CD ==，则AD 的长为．【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形【例7】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在ABC V 中，6BC =，EF BC ∥，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，CBP ∠的平分线交CE 于Q ．则当12CQ CE =时，EP BP +=．【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，D 为ABC 外一点，BD AD ⊥，B 平分ABC 的一个外角，若2180C BAD ∠+∠=︒，5AB =，3BC =，则B 的长为．【变式2】（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，AB CD ∥，60BCD ∠=︒，点E 为AD 的中点，若2AB =，6,BC =，8CD =，则BE 的长为．。
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法如下：
1.作腰的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理，得出线段之间的关系，然后利用等腰三角形的性质可得出结论。
2.作底边上的高：利用“面积法”或“全等法”进行证明，利用等腰三角形的“三线合一”性质可得出线段之间的关系。
3.作腰的延长线：根据等腰三角形的性质，利用“三角形中位线”定理或“全等”得出线段之间的关系。
4.作底边的中线：根据“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”的性质，利用“全等法”或“面积法”进行证明。
5.过顶点作底边的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理和“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”的性质，可得出线段之间的关系。
6.过一腰上的某一点作另一腰的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理和等腰三角形的性质，可得出线段之间的关系。
7.作一角平分线：利用角平分线的性质，可得出线段和角度之间的关系，然后利用等腰三角形的性质可得出结论。
等腰三角形常见的辅助线的做法
等腰三角形常见的辅助线的做法
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法
方法一：做三线合一中的一线
三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
方法二：做平行线法
这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法
简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研
方法四：加倍折半法，倍长中线法。
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法以等腰三角形中做辅助线的八种常用方法为标题，写一篇文章。
一、连接底边中点和顶点的直线在等腰三角形中，连接底边中点和顶点的直线是最常见的辅助线之一。
通过连接底边中点和顶点的直线，可以将等腰三角形分为两个等边三角形，从而为解决问题提供了更多可能性。
二、平分底角另一种常见的辅助线是平分底角。
通过连接底边两个顶点与底角的平分线，可以将等腰三角形分成两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加简单明了。
三、平分顶角平分顶角也是一种常用的辅助线方法。
通过连接顶点与底边中点的直线，可以将等腰三角形分为两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加方便。
四、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线通过连接底边两个顶点与三角形顶点的直线，可以形成一个内切等边三角形。
这个内切等边三角形可以为解决问题提供更多线索。
五、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点通过连接底边两个顶点与顶角平分线的交点，可以形成一个四边形。
这个四边形可以为解决问题提供更多线索。
六、连接底边两个顶点与底边中点的连线通过连接底边两个顶点与底边中点的连线，可以形成一个等腰梯形。
这个等腰梯形可以为解决问题提供更多线索。
七、连接底边两个顶点与对边中点的连线通过连接底边两个顶点与对边中点的连线，可以形成一个平行四边形。
这个平行四边形可以为解决问题提供更多线索。
八、连接对边中点的连线通过连接对边中点的连线，可以形成一个等腰三角形的中线。
这个中线可以为解决问题提供更多线索。
在解决等腰三角形相关问题时，可以灵活运用以上八种常用的辅助线方法。
通过合理选择辅助线，可以使问题的解决更加简单明了。
当然，在运用辅助线的过程中，需要注意辅助线与等腰三角形的关系，确保辅助线的引入能够帮助解决问题，而不会导致问题的复杂化。
总结起来，通过连接底边中点和顶点的直线、平分底角、平分顶角、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点、连接底边两个顶点与底边中点的连线、连接底边两个顶点与对边中点的连线以及连接对边中点的连线这八种常用的辅助线方法，我们可以更加灵活地解决等腰三角形相关问题。
人教版八年级数学上册等腰三角形中作辅助线的八种常用方法
∵AB＝AC，O 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°， ∠OAM＝12∠BAC＝45°.
∵BM＝AN，∴AB－BM＝AC－AN，即 AM＝CN. 在△OAM 和△OCN 中， O∠AO＝AOMC＝，∠C＝45°， AM＝CN， ∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°， ∴∠AOM＋∠AON＝90°， 即∠MON＝90°. ∴△MON 是等腰直角三角形．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D. 求证∠BAC＝2∠DBC.
证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE. 又∵BD⊥AC，∴∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°. ∴∠CAE＝∠DBC. ∴∠BAC＝2∠DBC.
∴CF＝CD. ∴CD＝2CE.
6．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°， BF 平分∠ABC，CD⊥BF 交 BF 的延长线于点 D.求证 BF＝
2CD.
证明：如图，延长 BA，CD，交于点 E.
∵BF 平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD， ∴△BDC≌△BDE(ASA)． ∴CD＝ED，即 CE＝2CD.
CD＝DM＋MC＝DM＋BM. ∵CD＝DE，∴AB＋(BM－DM)＝DM＋BM.
∴DM＝12AB.
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD＝60°.求证 BD＋DC＝AB.
证明：如图，延长 BD 至 E，使 BE＝AB，连接 CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE 为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
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二、利用“三线合一”作等腰三角形底边上的高
2．如图，AB＝2AC，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且
AE＝BE.求证：CE⊥AC.
证明：作EH⊥AB于H，∵AE＝BE，∴AH＝BH，又∵AB＝2AC，
∴AC＝AH，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAH，又∵AE＝
AE，∴△AHE≌△ACE(SAS)，∴∠AHE＝∠ACE＝90°， ∴CE⊥AC
第十三章
专题课堂(七)
轴对称
等腰三角形中常见辅助线
一、等腰三角形中底边中点常作底边的中线 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是 AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
证明：连接AD，∵AB＝AC且BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，又∵AE＝AF，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD(SAS图，将等腰Rt△ABC斜放在平面直角坐标系中，使直角顶点 C与点(1，0)重合，点A的坐标为(－2，1)． (1)求点B的坐标； (2)求△ABC的面积．
解：(1)分别过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D，E，则有∠ ADC＝∠BEC＝90 °，∴∠ACD＋∠CAD ＝90°.又∵∠ACB ＝90 °，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE.又∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE(AAS)， ∴AD＝CE， CD＝BE.∵点 A 的坐标为(－ 2，1)，点 C 的坐标为(1，0)，可得 OC＝1，AD＝CE＝1，OD＝2， ∴CD＝CO＋OD＝3＝BE，OE＝OC＋CE＝2，故点 B 的坐标为(2， 3) 1 (2)S△ABC＝S 梯形 ADEB－S△ACD－S△BCE＝S 梯形 ADEB－2S△ACD＝ ×(1 2
三、作平行线构造等腰三角形
3．(2016· 铜仁)如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC
上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.求证：AD＝CE.
证明：作 DG∥BC 交 AC 于 G，则∠DGF＝∠ECF，在△DFG 和△ ∠DGF＝∠ECF， EFC 中 ， ∠DFG＝∠EFG， ∴△ DFG ≌△ EFC(AAS) ， ∴ GD ＝ CE. FD＝EF， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B ，∠AGD＝∠ACB ，∴∠A＝∠ ADG＝∠AGD＝60 °，∴△ADG 是等边三角形，∴AD＝GD，∴AD＝CE
1 ＋3)×4－2× ×3×1＝5 2
四、用截长补短法构造等腰三角形
4．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点
D.求证：BC＝AB＋CD.
证明：在线段 BC 上截取 BE＝BA，连接 DE.∵BD 平分∠ABC， 1 ∴ ∠ ABD ＝ ∠ EBD ＝ ∠ ABC. 又 ∵ BD ＝ BD ， ∴ △ ABD ≌ △ 2 EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB，∴∠DEC ＝180°－108°＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝ 1 ∠ABC＝ ×(180°－108°)＝36°，∠CDE＝180°－∠DEC－∠ 2 ACB ＝ 180 °－ 36 °－ 72 °＝ 72 ° ， ∴∠ CDE ＝∠ DEC ， ∴ CD ＝ CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD