全等三角形单元复习教案

知识点一：全等三角形

1、全等三角形的定义

能够完全重合的两个图形叫做_______。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

要点诠释：

（1）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________。

（2）记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在______的位置上。例如，△ABC 与△DEF全等，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，记作△ABC≌△DEF，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式。

2、全等三角形的性质

全等三角形的__________、_______________．

要点诠释：找对应边、对应角通常有下面两种方法：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

3、三角形全等的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。（5）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成）。

要点诠释：

（1）没有“SSA”、“AAA”这样的判定定理。

（2）“HL”定理是直角三角形，对于一般三角形不成立。

（3）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另两个条件即可，而这两个条件中必须有一边对应相等。能够完全的两个图形叫做全等形．

知识点二：角平分线的性质

（1）角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个。（2）角的平分线的判定定理角的内部到的点在角的平分线上。要点诠释：

三角形的三条角平分线交于一点。

注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：例：如图

怎么运用角的平分线的性质定理：

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，

∴PD=PE

怎么运用角的平分线的判定定理：

∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE

∴点P在∠AOB的平分线上

类型一：全等三角形的性质

例1．如图，△ABC≌DEF，DF和AC，FE和CB是对应边。若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于（）

A. 100°

B. 53°

C.47°

D. 33°

类型二：全等三角形的证明

例2．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．

类型三：角平分线的性质与判定

例3．已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．

【变式】如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到 三条公路的距离相等，试问：

可选择的地点有几处？

你能画出塔台的位置吗？

【变式2】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º

类型四：利用三角形全等知识解决实际问题

例4．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=•BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC •≌△ABC ，•得到ED=AB ，21N P F C

B A

因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（）

A．边角边公理B．角边角公理；C．边边边公理D．斜边直角边公理

【变式】如图,工人师傅要检查模型中的∠A和∠B是否相等,但他手边没有量角器,只有一把刻度尺,请你设计一个方案来说明∠A和∠B是否相等。

1、总结寻找对应边、角的规律：

（1）有公共边的，公共边一定是对应边；

（2）有公共角的，公共角一定是对应角；

（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等。

2、证明三角形全等的一般步骤及注意的问题

（1）先指明在哪两个三角形中研究问题；

（2）按边、角的顺序列出全等的三个条件，并用大括号括起来；

（3）写出结论，让两个全等三角形中表示对应顶点的字母顺序对齐；

（4）在证明中每一步推理都要有根据，不能想当然。

3、常用添加辅助线的方法

（1）作公共边构造全等三角形；

（2）有中点倍长构造全等三角形（中线法）；

（3）有角平分线，向角两边引垂线或通过翻折构造全等三角形（截长补短）；

（4）利用平移、轴对称、旋转变换构造全等。