第五章 薄板弯曲问题有限元讲义

第五章薄板弯曲问题有限元法

第一节薄板弯曲问题的有关概念

一、基本概念

1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。

2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。

3．薄板的两类问题：

（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。。

（2）薄板弯曲问题：其特点为：

a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）

b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。

c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。

研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：

一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。

(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。

（2）厚板：当1

二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）

1．法线假设

垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0

根据几何方程，可得

因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。2．正应力假设

在平行于中面的截面上，应力分量σz、τzx及τyz远小于其他三个应力分量，可忽略不计。

3．小挠度假设

板中面只发生弯曲变形而没有面内变形，即中面内各点没有平行于中面的位移，表示为：

在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应力都可用挠度w表示。由于w仅为x、y的函数，因此实际薄板的复杂三维问题就可简化为二维问题来进行分析和计算。其中位移d 与挠度w的关系为

应变ε与w的关系为：

应力σ与w的关系为：

[D]称为薄板弯曲问题的弹性矩阵，该矩阵和平面应力问题的弹性矩阵完全相同。

三、工程中的薄板弯曲问题

车辆工程中的车体地板、高速车辆的顶板及墙板，发动机缸体、齿轮箱箱体，建筑结构的楼板、桥梁桥面等都属于薄板弯曲结构，这类结构的几何模型是由薄板中面构成的平面模型，可用相应的弯曲板单元划分网格。

现在，一些专业有限元软件在弯曲板单元和平面应力单元的基础上发展了6自由度的板单元，这种单元可用于离散受一般载荷（包括面内与垂直板面载荷）的作用。

第二节 弹性薄板弯曲的能量泛函和微分方程式 一、位移向量

根据克希霍夫假设中的小挠度假设，薄板中任意一点没有平行于中面(即xoy 平面)的位移，即0;00

====z z v

u

,而在垂直于板面的载荷作用下也没有绕轴的转动，即θz=0。在变

形前垂直于x-y 面的任一直线m-n ，在弯曲变形后在垂向产生了一个位移w, 同时也分别绕y 轴产生了一个转角

x

w

∂∂和绕x 轴产生了一个转角y w ∂∂(图中完整没有表示出来)。这时直线m

—n 上任意一点既有垂向位移，又有沿x 轴和y 轴的转角位移：所以在进行有限元分析时，

薄板任一点有三个位移分量：挠度w 、法线绕x 轴的转动θx 和绕y 轴的转动θy ，即

对薄板进行网格划分时，通常采用矩形或三角形单元。矩形板单元的节点位移向量为

二、广义应变分量和曲率

根据克希霍夫的法线假设，可知，所以此时薄板的应

变只有εx, εy,νxy 三个分量，表达式分别为：

令：

式中，称为薄板弯曲的广义应变，和分别称为板中面在x、y方向的变形曲率和在xy面上的扭率，并且有

三、应力—应变关系

由克希霍夫法线假设和正应力假设，有，由弹性力学物理方程得由上述三式即得到薄板弯曲的应力—应变关系为

四、广义应力

从上式中可以看到，当z=0时，即在板的中面上，所有的应力均为零，而且在板的截面上，应力沿板厚按线性关系分布(见图左)，这些应力在各截面上形成了相应的力偶，这些力偶就是各截面上所作用的弯矩和扭矩(图右)。若用Mx，My和Mxy．，分别表示单位长度上的弯矩和扭矩，根据图可以得到:

同理有：

将前述薄板内应力表达式代入上面表达式并对z积分，可得：

因而，薄板弯曲的广义应力为：

式中，Mx、My分别是绕x轴和y轴的截面上单位长度的弯矩；Mxy是垂直于z轴截面上单位面积内的扭矩；[D]是薄板弯曲问题的弹性矩阵，其表达式为

五、能量泛函和微分方程式

弹性体的应变能为：

对于薄板弯曲问题，上式中的应变{ε}与应力{σ}应分别使用广义应变{}χ和广义应力{M}来代替。由于求{M}时，已经对微分体的厚度积分，所以此时应只在板面范围内对dxdy 进行积分，即

设平板受有强度为Ps的均布载荷作用，此时外力位能为

将应变能与位能相加，得到板弯曲时的总位能为