第一章第一讲--状态空间与图搜索

等于连接这条路径各节点间所有代价（耗散值）的总和。
代价树：边上标有代价的树状结构图
若干记号：
S0－初始态；Sg－目标态； g(x)－从S0到节点x的代价；g(xj)=g(xi)+ C(xi, xj) C(xi, xj)：从父节点xi到子节点xj的边代价（耗散值） 。
《人工智能》
例：4-皇后问题 规则集Rij：
算符：将皇后添加到棋盘上的任一空格 目标测试：8皇后都在棋盘上，且互相攻击不到 路径耗散函数：每一步耗散值1 •8皇后：92种解，本质解12个
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•找到一般n皇后问题复杂度为O(n)的算法(1989)
《人工智能》
n 皇后问题解的个数:独立解U;互不相同的解D 现在还没有已知公式可以对 n 计算 n 皇后问题的解的个数。
Q
() Q Q ((1,2))
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,2) (2,4))
((1,1) (2,4) (3.2))
((1,2) (2,4) (3,1))
《人工智能》
Q
() Q Q ((1,2)) Q
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
《人工智能》
Q
() Q
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
《人工智能》
Q
() Q Q
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,1) (2,4) (3.2))
《人工智能》
Q
() Q
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
•NP－hard(Karp,1972) •有效的启发式算法（1973） •完全多项式近似方案（1998） •……
《人工智能》
与搜索相关的基本概念
图是由结点（顶点）的有穷集合V和边的集合E组成。边是顶 点的有序偶对，若两顶点间存在一条边，就表示这两个顶点
具有相邻关系。
有向图：每条边都有方向；无向图：每条边都无方向。 树是包含n（n>0）个结点的有穷集合，其中： （1）每个元素称为结点（node，或节点）； （2）有一个特定的结点被称为根结点或树根。
n
1 2
3 0 0
4 1 2
5 2
6 1
7 6
8
9
10 92 724
11 341 2680
12 1787 14200
13 9233 73712
14 45752 365596
U 1 0 D 1 0
12 46
10 4
40 92 352
《人工智能》
例：数独，Latin square
5 3 4 6 7 8 9 1 2 6 7 2 1 9 5 3 4 8 1 9 8 3 4 2 5 6 7
《人工智能》
m c m 1 3 m 3 c 3 m 1 m 0 m c 1,2 m 3 m c 1,2
m m x b 1 : c c y , b 0
m m x b 0 : c c y , b 1
((1,1) (2,4) (3.2))
《人工智能》
Q百度文库
()
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,1) (2,4) (3.2))
《人工智能》
()
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,1) (2,4) (3.2))
《人工智能》
Q
《人工智能》
1.2 图搜索算法：一般框架
保留全部搜索路径，便于信息利用； 根据可用算符集合（相当于回溯搜索算法中 的规则集合）扩展当前节点（状态）的全部 （可能）子节点（即生成新状态） 引入open表和closed 表，对搜索过程进行控 制，实现不同方式的搜索策略（包括回溯） 从隐含的状态空间图中产生包含解路径的显 式搜索子图（产生的搜索图越小、搜索效率 越高）
x m y c , x y 2
x 3 m y 3 c , x y 2
(3,3,1) (3,2,0) (2,2,0) (3,2,1) (3,0,0) (3,1,1) (3,1,0)
0<x+y≤2: (x,y)=(2,0), (0,2),(1,1),(1,0),(0,1)
路径耗散函数：设定每一步算符操作的耗散值
问题的解：从初始状态到目标状态的路径 最优解：所有解中耗散值最小的解
《人工智能》
例：二阶梵塔问题（习题1.1） 状态描述：（SA,SB） 可能状态：S0=(1,1),S=(1,2),S=(1,3),S=(2,1),Sg=(2,2),S=(2,3) S=(3,1),S=(3,2),Sg=(3,3) 算符：A(i,j)—将A从i轴移至j轴; B(i,j)—将B从i轴移至j轴
可能算符：A(1,2), A(1,3), A(2,1), A(2,3), A(3,1), A(3,2) B(1,2), B(1,3), B(2,1), B(2,3), B(3,1), B(3,2)
1,1 2,1 2,3 3,3 1,3 1,2 A(1,3) 3,1 B(1,2) 3,2 A(3,2) 2,2
《人工智能》
状态空间表示法
状态：描述问题求解中任一时刻的状况；变量的有序组合 算符：一个状态→另一状态的操作
状态空间：所有求解路径构成的图；{状态，算符} 表示
问题求解过程：
初始状态：描述问题求解中的初始状况 算符(规则应用）：一个状态→另一状态的操作 目标测试：确定给定的状态是否为目标状态
人工智能（Artificial Intelligence）
《人工智能》
第一章 搜索问题
内容： 状态空间的搜索问题。 搜索方式：
盲目搜索 启发式搜索
关键问题： 如何利用知识，尽可能有效地找到问题的 解（最佳解）。
《人工智能》
搜索问题（续1）
S0
Sg
搜索的含义
基本概念
依问题寻找可用的知识，构造代价少的推理路径从而解决问题的过程 离散的问题通常没有统一的求解方法
可能状态：(b,a,b,0,0)
(c,a,c,1,0) (c,a,c,1,1) ……
(w,t,x,y,0) → (u,t,x,y,0) (w,t,w,0,0) →(v,t,v,0,0)
Climb: 猴子爬上箱子
Grasp: 猴子拿到香蕉
(w,t,w,0,0) →(w,t,w,1,0)
(a,a,a,1,0) →(a,a,a,1,1)
搜索策略的优劣涉及能否找到最好的解、计算时间、存储空间等
搜索分为盲目搜索和启发式搜索
盲目搜索：按预定的策略搜索，未用问题相关的或中间信息改进搜索。 效率不高，难求解复杂问题，但不失可用性 启发式搜索：搜索中加入问题相关的信息加速问题求解，效率较高， 但启发式函数不易构造
讨论的问题
–有哪些常用的搜索算法? －问题有解时能否找到解?(完备性) –找到的解是最佳的吗？(最优性)－ 什么情况下可以找到最佳解？ –求解的效率如何?（时间、空间复杂度）
《人工智能》
例：TSP问题
Traveling Salesman Problem
从某城市出发遍历所有n个城市 一遍且仅一遍再回到出发地，求 最短路径 初始状态：在某一城市 算符：移向下一个未访问过的城市 目标测试：是否处于出发地且访问过所有城市一次 路径耗散函数：路程长度，旅行费用等
•No general method of solution is known
（3）除根结点外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相
交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m） 本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。
《人工智能》
树节点深度： 根节点深度=0 其它节点深度=父节点深度+1
0 1 2 3
《人工智能》
路径的代价（耗散值）
((1,1) (2,3))
注1：按顺序，(2,1),(2,2)分别对应的状态是不合法的，
故而回溯到（1,1）；
注2：(3,1),(3,2) ,(3,3),(3,4)分别对应的状态都是不
合法的，故而回溯到（2,3）
《人工智能》
Q
()
((1,1))
((1,1) (2,3))
注： (2,3)不存在可用规则，故而又回溯到（1,1）；
((1,2) (2,4))
((1,1) (2,4) (3.2))
((1,2) (2,4) (3,1))
((1,2) (2,4) (3,1) (4,3))
《人工智能》
存在问题及解决办法
当前状态

问题：
– 深度问题
– 死循环问题
解决办法：
对搜索深度加以限制（有界深度） 记录从初始状态到当前状态的路径, 避免重复
i=1:（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）
i=2:（2,1）（2,2）（2,3）（2,4） i=3:（3,1）（3,2）（3,3）（3,4） i=4:（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）
Q Q Q Q
《人工智能》
()
《人工智能》
Q
()
((1,1))
《人工智能》
Q
() Q
((1,1))
例：修道士与野人问题(1968)
S0：河左岸有3个Missionaries和3个Cannibals,1条boat
条件：1）M和C都会划船，船一次只能载2人 2）在任一岸上，M人数不得少于C的人数，否则被吃 目标：安全抵达对岸的最佳方案 状态描述：左岸(m,c,b);0≤m≤3,0≤c≤3,b∈{0,1}; S0:(3,3,1);Sg(0,0,0) 状态总数：4×4×2=32种，但合法状态16种
A B A B
1
《人工智能》
2 S0
3
1
2 Sg
3
猴子摘香蕉问题
c
a
《人工智能》
b
状态：(w,t,x,y,z) w:猴子的水平位置 {a,b,c}
初始状态：(c,a,b,0,0) 目标状态：(a,a,a,1,1)
t:天花板上香蕉对应的地面位置 {a,b,c}
x:箱子的水平位置 y:猴子是否在箱子上 z:猴子是否拿到香蕉 操作符： Goto(u):猴子走到u处 Push(v):猴子推箱到v处 {a,b,c} {0,1} {0,1}
8 5 9 7 6 1 4 2 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1 7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5 3 4 5 2 8 6 1 7 9
Sudoku is a logic-based, combinatorial number-placement puzzle. The objective is to fill a 9×9 grid so that each column, each row, and each of the nine 3×3 boxes (also called blocks or regions) contains the digits from 1 to 9 only one time each. The puzzle setter provides a partially completed grid.
《人工智能》
《人工智能》
2 8 1 6 （九宫重排问题） 7 例：八数码游戏
3 4 5
1 2 3 8-Puzzle 8 4 7 6 5 sliding-block puzzle
初始状态：任一状态都可为初始状态 算符：将空位移向四个方向 目标测试：确定当前状态是否为目标状态 路径耗散函数：每一步耗散值1 •其状态可以划分为两个不相交的集合。(证明) •8数码， 9！/2＝181440 ；15数码，1.3万亿；24数码,1025 •一般n×n数码:NP－hard（1986）
()
((1,1))
((1,2))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,1) (2,4) (3.2))
《人工智能》
Q
() Q ((1,2))
((1,1))
((1,1) (2,3))
((1,1) (2,4))
((1,2) (2,4))
((1,1) (2,4) (3.2))
《人工智能》
(0,2,1) (0,1,0) (0,3,1) (0,0,0) (1,1,1)
(1,1,0)
(2,2,1)
(0,2,0)
例：皇后问题 （1850）
Q
Q Q
Q
初始状态：棋盘上无皇后
Put n queens on an n × n board with no two queens on the same row, column, or diagonal