第5节 单纯形法的进一步讨论
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运筹学-第一章-单纯形法进一步讨论
退化 即计算出的 θ（用于确定换出变量）存在有两个以上 相同的最小比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基 变量等于零，这就是退化（会产生退化解）。 为避免出现计算的循环，勃兰特(Bland)提出一个简 便有效的规则（摄动法原理）： ⑴ 当存在多个 j 0 时，选下标最小的非基变量为换 入变量；
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x 2 x 3
4 x1 3 x 2 x 3 x 4 4 系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 立初始单纯形表。 2 x 2 x x 1 2 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
1
0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
0
0 0
8/3
—— —— ——
j
x2 x5 x3 x2 x1 x3
x3
31/3 →
j
j
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.11 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 x2 x3
x1 2 x2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 +x3 1 2 x1 解：首先将数学模型化为标准形式 x1、x2、x3 0
max z=-2x1-3x2+0x3 -M x4-M x5 s .t x1+x2 -x3+ x4 =3 x1+2x2 +x5 =4 xj0, (j=1,2,3,4,5)
这种处理方法称为大M法，以下则可完全按单纯形法 求解。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 4 x1 x 2 2 x 3 10 2 x 1 2 x 2 x 3 1 x1、x 2、x 3 0
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x 2 x 3
4 x1 3 x 2 x 3 x 4 4 系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 立初始单纯形表。 2 x 2 x x 1 2 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
1
0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
0
0 0
8/3
—— —— ——
j
x2 x5 x3 x2 x1 x3
x3
31/3 →
j
j
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.11 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 x2 x3
x1 2 x2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 +x3 1 2 x1 解：首先将数学模型化为标准形式 x1、x2、x3 0
max z=-2x1-3x2+0x3 -M x4-M x5 s .t x1+x2 -x3+ x4 =3 x1+2x2 +x5 =4 xj0, (j=1,2,3,4,5)
这种处理方法称为大M法，以下则可完全按单纯形法 求解。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 4 x1 x 2 2 x 3 10 2 x 1 2 x 2 x 3 1 x1、x 2、x 3 0
《最优化技术》课程教学大纲
《最优化技术》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标本课程是信息与计算科学专业的专业核心课，是培养数学建模能力的核心理论基础之一。
通过学习，使学生掌握最优化方法的基本概念和基本理论，使学生掌握整体优化的基本思想，培养学生的逻辑思维能力和创新素质，培养应用最优化方法解决实际问题的能力，熟练掌握最优化方法的程序设计方法，培养学生运用模型和算法并借助计算机手段解决实际问题的能力。
1.掌握整体优化的基本思想，具有应用最优化方法解决实际问题的能力；2.掌握最优化方法的程序设计方法；3.掌握建立数学模型的基本方法和应用计算机解决实际问题的能力；三、教学学时分配《最优化技术》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
《最优化技术》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章线性规划（10学时）（一）教学要求通过本章内容的学习，了解线性规划模型的基本特征、基本概念及基本理论；理解单纯形法的基本思想方法；掌握单纯形法的基本步骤，并能利用单纯形法求解线性规划问题；理解人工变量法和两阶段法的基本思想。
（二）教学重点与难点教学重点：单纯形法的基本步骤教学难点：单纯形法的基本思想（三）教学内容第一节线性规划问题及其数学模型1．线性规划问题的数学模型；2．线性规划问题的标准形式。
第二节图解法1．图解法的步骤；2．线性规划问题求解的几种可能结局；3. 由图解法得到的启示。
第三节单纯形法原理1．线性规划问题的解的概念；2．单纯形法的迭代原理。
第四节单纯形法计算步骤1．单纯形法的步骤；2．单纯形法求解举例。
第五节单纯形法的进一步讨论1．人工变量法（大M法）；2．两阶段法。
第六节应用举例1．生产计划问题；2．混合配料问题。
本章习题要点：1. 线性规划化为标准形式；2. 利用图解法求两个变量的线性规划问题；3. 利用单纯形法求解线性规划问题；4. 利用人工变量法或两阶段法求解线性规划问题；5. 建立实际问题的线性规划模型。
线性规划与单纯形法(4)
• 右端常数项非正
两端同乘以 -1
• 约束条件为不等式
– 当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量， 就把不等式变成了等式；
– 当约束条件为“≥”时，不等式左端减去一个非负的剩余 变量(也可称松弛变量)即可。
• 决策变量xk没有非负性要求 令xk=xk′-x k〃， xk=xk′，x k〃 ≥0
例1是二维空间（平面）线性规划问题，可用作 图法直观地来表述它的求解。
因存在 x1,x2 0
必须在直角坐标的第1象限内作图，求解。
23
图1-2
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8
4 x1
16 4x2 12
x1, x2 0
24
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 max z 2x1 3x2
约，用量不能突破。
– 生产单位甲产品的零部件需耗用A车间的生产能力 1工时，
– 生产单位乙产品不需耗用A车间的生产能力， – A车间的能力总量为8工时，则A车间能力约束条件
表述为
x1
≤8
– 同理，B和C车间能力约束条件为
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
16
(3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则
1
S.t. x1 -3 x2 ≥3
x1 ≥0, x2 ≥0 -1
x1 -3 x2
1
2
=3
3
x1
-1
36
1.3 线性规划问题的标准型式
一 、标准型
• 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如 – 目标函数有极大化和极小化； – 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； – 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
单纯形法-人工变量法
θ
11 3/2 1
第一阶段求得的结果是ω = 0,最优解是（0,1,1,12,0,0,0）T 一阶段求得的结果是ω 0,最优解是 最优解是（ 12, 一阶段求得的结果是 是原线性规划问题的基可行解。 因人工变量 x6= x7=0，所以 ，所以(0,1,1,12,0)T 是原线性规划问题的基可行解。
第二阶段运算:
例:
max z=3x1+4x2 x1 +x2 ≤40 2x1+x2≤60 x1-x2 =0 x1 ,x2 ≥0
cj→ CB XB b x 3 40 0 x 4 60 0 0 -M x 5 cj - zj 0 0 3 4 0 3 x3 x4 x1 40 60 0 3 x1 1 2 [1] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4 x2 1 1 -1 [2] 3 -1 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/3 1/3 1/3 -7/3 -M x5 0 -1 1 0
大M法 法
在目标函数中加上惩罚项。 在目标函数中加上惩罚项。
max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 3 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 其中 为充分大的正数。 = 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 x3 + x7 = 1 − 2 x1 + x1 ,L , x7 ≥ 0 只要原问题有可行解， 只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善 人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， ，人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， 进而得到基最优解。 进而得到基最优解。 反之， 反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量 为基变量，便说明原问题无可行解。 的单纯形表格为： 为基变量，便说明原问题无可行解。例8的单纯形表格为： 的单纯形表格为
单纯形法的进一步讨论课件
详细描述
在金融领域，投资者需要选择不同的投资工 具（如股票、债券、基金等）来构建自己的 投资组合。投资组合优化问题旨在找到一种 投资组合方案，使得在给定风险水平下获得 最大的预期收益或在给定预期收益下承担最 小的风险。单纯形法可以用于解决这类问题 ，通过迭代和优化，找到最优的投资组合方
案。
物流配送优化问题Байду номын сангаас
线性规划问题在生产计划、资源分配 、运输、分配等问题中有着广泛的应 用。
单纯形法的求解步骤
初始化
选择一个初始可行基，并确 定相应的初始单纯形表格。
迭代
通过迭代过程，不断寻找最 优解。在每次迭代中，根据 单纯形表格进行相应的操作 ，包括进基、出基、换基等
步骤。
最优解判定
通过检验当前单纯形表格的 各列，判断是否达到最优解 。如果所有基变量的检验数 都小于等于0，则当前解为最 优解。
详细描述
在生产制造过程中，企业需要制定生产计划以确保生产顺利进行。生产计划优化问题涉及到确定各产品、各车间 的生产顺序、生产批次和生产量等，以实现生产效率最大化、资源利用最优化和生产成本最低化。单纯形法可以 用于解决这类问题，通过迭代和优化，找到最优的生产计划方案。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是一个重要的金融应用场 景，通过单纯形法可以找到最优的投资组合 方案，实现风险和收益的平衡。
物流运输
用于优化运输路线和策略，降低运输成本。
金融投资
用于确定最佳投资组合，降低风险并最大化 收益。
科研领域
在科研领域中，单纯形法可用于优化实验设 计、数据分析等方面。
02
单纯形法的基本原理
线性规划问题
线性规划是数学优化技术的一种，旨 在找到一组变量的最优解，使得一组 线性不等式约束下的线性目标函数达 到最优。
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
单纯形法的进一步讨论
B −1 P 2 = (2 / 3,4 / 3,1 / 3) T
θ = min{9 / 4,21 / 8,21 / 2} = 9 / 4, r = 1, J r = 3
3 / 2 0 −1/ 4 −1 = (9 / 4,1 / 2,11 / 4) B = − 2 1 1 / 2 , −1/ 2 0 1/ 4 T cB = (−1,0,−2) xB = ( x2 , x4 , x1 )
0
0
1/4
-8
-1
9
0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1/2 0 3/4
-12 0 -20
-1/2 1 1/2
3 0 -6
0 1 0
0 -
Bland规则
避免循环的方法有”摄动法“、”字典序法 “等 Bland法： 在检验数为正的非基变量中，选下标最小的 进基； 若有几个基变量都取最小比值，选其中下标 最小的基变量出基。 已经证明，Bland规则一定能避免循环。
x1 + 2 x 2 + x3 + x 4 = 10
大M法
加入人工变量，形成人工问题
min w = c T x + M ( y1 + y2 + L + ym ) Ax + Iy = b s.t. x ≥ 0, y ≥ 0.
其中，M为任意大的正数。 例3 求解线性规划问题
min z = −3x1 + x 2 + x3 s.t. x1 − 2 x 2 + x3 ≤ 11 − 4 x1 + x 2 + 2 x3 ≥ 3 2 x1 − x3 = −1 x1 , x 2 , x3 ≥ 0
θ = min{9 / 4,21 / 8,21 / 2} = 9 / 4, r = 1, J r = 3
3 / 2 0 −1/ 4 −1 = (9 / 4,1 / 2,11 / 4) B = − 2 1 1 / 2 , −1/ 2 0 1/ 4 T cB = (−1,0,−2) xB = ( x2 , x4 , x1 )
0
0
1/4
-8
-1
9
0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1/2 0 3/4
-12 0 -20
-1/2 1 1/2
3 0 -6
0 1 0
0 -
Bland规则
避免循环的方法有”摄动法“、”字典序法 “等 Bland法： 在检验数为正的非基变量中，选下标最小的 进基； 若有几个基变量都取最小比值，选其中下标 最小的基变量出基。 已经证明，Bland规则一定能避免循环。
x1 + 2 x 2 + x3 + x 4 = 10
大M法
加入人工变量，形成人工问题
min w = c T x + M ( y1 + y2 + L + ym ) Ax + Iy = b s.t. x ≥ 0, y ≥ 0.
其中，M为任意大的正数。 例3 求解线性规划问题
min z = −3x1 + x 2 + x3 s.t. x1 − 2 x 2 + x3 ≤ 11 − 4 x1 + x 2 + 2 x3 ≥ 3 2 x1 − x3 = −1 x1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学教案(胡运权版)
《绪论》（2课时）【教学流程图】运筹学运筹学与数学模型的基本概念管理学本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法,过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。
自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。
学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。
【教学内容】一、教学过程：（一）举例引入：（5分钟)（1)齐王赛马的故事（2)两个囚犯的故事导入提问：什么叫运筹学？（二）新课：绪论一、运筹学的基本概念(用实例引入）例1—1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者.当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。
但孙膑给田忌出主意,可使田忌反输为赢。
试问:如果双方都不对自己的策略保密,当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢?例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯,若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。
求双方的最优策略。
乙囚犯抵赖坦白甲囚犯抵赖—1，-1 -10，0坦白0，—10 -8，—8定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。
它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。
二、学习运筹学的方法1、读懂教材上的文字;2、多练习做题，多动脑筋思考；3、作业8次;4、考试;5、EXCEL操作与手动操作结合.二、学生练习（20分钟）三、课堂小结（5分钟）《线性规划及单纯形法》（2课时)【教学流程图】运筹学运筹学与线性规划的基本概念线性规划(线性规划的标准型目标函数约束条件的右端常数约束条件为不等式本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法,过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
问题的提出 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
max (min)
Z = CX
AX ≤ ( = , ≥ ) b X ≥ 0
3、线性规划的标准形式 、
ma0
4、线性规划问题的解 、 （一）求解方法
一 般 有 两种方法 图 解 法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、 适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 可行解：满足约束条件② 的解为可行解。 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 最优解： 达到最大值的可行解。 ⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 是矩阵A ≠0）， ），则 是一个基。 （∣B∣≠0），则B是一个基。
§2 图 解 法
例一、 例一、 max
Z = 2 x 2 x 2 x 4 x
2 2 1
+ 3 x
2
2 x1 + x + 1 4 x1 x1 ≥
≤ 12 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2
0, x
≥ 0
max
Z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x
2 2
当xj=0时, 必有 j=zj=0, 因此 时 必有y
∑P x = ∑P y = ∑P z
j =1
r
r
r
r
j
j
j =1
j
j
j =1
j
j
=b
∑(y
j =1
j
− z j ) Pj = 0
单纯形法
-M X6 0 1 0 0 0 1
-M X7 0 0 1 0 -1 -2 1 θ 11 3/2 1
-1
X3 cj-zj
1
-2 -1
0 -1+M
0 1 0 0
1 0
0 0 1 0
0 0
1 0 0 0
0 -M
-2 -1 0 -1
0 0
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
人工变量
第2页
cj CB 0 -M -M XB X4 X6 X7 cj-zj b 11 3 1
3 X1 1 -4 -2 3-6M
-1 X2 -2 1 0 -1+M
-1 X3 1 2 1 -1+3M
0 X4 1 0 0 0
0 X5 0 -1 0 -M
-M X6 0 1 0 0
-M X7 0 0 1 0 θ
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
X4 X2 X3 cj-zj
12 1 1
3 0 -2 1
4 -
第14页
cj CB 0 -1 -1 XB X4 X2 X3 cj-zj 3 X1 4 b 12 1 1
3 X1 3 0 -2 1 1
-1 X2 0 1 0 0 0
-1 X3 0 0 1 0 0
-1 X3 1 2 1 -1+3M 0 0 1 0 0 0
0 X4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 X5 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1
-M X6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1
单纯形法人工变量法
用两阶段法求下面线性规划问题旳解
Max Z=2x1+ x 2+ x 3 s.t. 4x1+2x2+ 2x 3≥4
2x1+4x2 ≤20 4x1+8x2+ 2x 3≤16
x1，x2，x 3≥0
5. 4 线性规划问题解旳讨论
一、无可行解
max z=2x1+4x2
x1 +x2 10
两阶段法
2x1 +x2 40
添加松弛变量、人工变 量 列出初始单纯形表
对目旳函数求极大值原则型线性规划 问题，单纯形法计算环节旳框图：
计算非基变量
各列旳检验数бj
全部бj0
基变量中
否
某非基
否
是
有非零旳 人工变量
变量检 验数为
唯一最优解
否
是
零
对任一 бj≥0 有aik否≤0
无可行解 是
无界解
无穷多最优解
令бk=max{бj}
xk为换入变量
3
1 x6 1
0
0 x3 1 -2
0
0 x4 12
3
0 x2 1
0
0 x3 1 -2
00
0
0
00
1
x2
x3
x4
x5
x6
-2
1
1
0
0
1
2
0 -1 1
0
[1] 0 0
0
-1 -3 0 1
0
-2
0
10
0
[1]
0
0 -1 1
0
1
00
0
-1
0
01
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添加人工变量 x 6 ,x 7 ，并在目标函数中分别赋予-Ｍ
maxZ= -x1 +2x 2 -Mx 6 -Mx 7 x6 2 x1 x 2 -x 3 -x x -x 4 x7 1 1 2 x2 x5 3 x j 0,j 1,2,3,4,5,6,7
2
考虑线性规划问题： maxZ=
c x
j j=1
n
j
n a i j x j =bi ,i=1,2,...,m j=1 x 0,j=1,2,....,n j
为了在约束方程组的系数矩阵中得到一个m阶单位矩阵作为 初始可行基，在每个约束方程组的左端加上一个人工变量
x n+i (i=1,2,
x 7 ,x 8，
并利用大M法求解
C
CB 0 -M -M Z’ 0 -M -2 Z’ -3 -M -2 Z’ x1 x7 x2 x4 x7 x2 XB x4 x7 x8
b 6 4 3
-7M 3 4 3 -6-4M 3 1 3 -15-M
-3 x1
1 1 0
-2 x2
1 0 1
-1 x3
1 -1 -1
第5节 单纯形法的进一步讨论
借助人工变量求初始的基本可行解
单纯形表与线性规划问题的讨论
改进单纯形法
1
借助人工变量求初始的基本可行解
若约束方程组含有“≥”不等式，那么在化标准形时除了在方程 式左端减去剩余变量，还必须在左端加上一个非负的人工变量。 因为人工变量是在约束方程已为等式的基础上，人为的加上去 的一个新变量，因此加入人工变量后的约束方程组与原约束方程组 是不等价的。 加上人工变量以后，线性规划的基本可行解不一定是原线性规 划的问题的基本可行解。只有当基本可行解中所有人工变量都为取 零值的非基变量时，该基本可行解对原线性规划才有意义。因为此 时只需去掉基本可行解中的人工变量部分，剩余部分即为原线性规 划的一个基本可行解．而这正是我们引入人工变量的主要目的。
处理人工变量的方法。 两阶段法的步骤： 求解一个辅助线性规划。目标函数取所有人工变量之和，并取极 小化；约束条件为原问题中引入人工变量后包含一个单位矩阵的标准 型的约束条件。 如果辅助线性规划存在一个基本可行解，使目标函数的最小值等于 零，则所有人工变量都已经“离基”。表明原问题已经得了一个初始 的基本可行解，可转入第二阶段继续计算；否则说明原问题没有可行 解，可停止计算。 求原问题的最优解。在第一阶段已求得原问题的一个初始基本可 行解的基础上，继续用单纯形法求原问题的最优解
可得到：
m)
maxZ= c j x j
j=1
n
n a i j x j +x n+i =bi ,i=1,2,...,m j=1 x 0,j=1,2,....,n+m j
3
————————————————————————
m) 为基变量，
bm )T
n a i j x j =bi ,i=1,2,...,m a i j x j +x n+i =bi ,i=1,2,...,m j=1 j=1 x 0,j=1,2,....,n+m x j 0,j=1,2,....,n j
添加人工变量x6,x7,并建立辅助线性规划如下：
minZ=x 6 +x 7 x6 2 x1 x 2 -x 3 -x x -x 4 x7 1 1 2 x2 x5 3 x j 0, j 1,2,3,4,5,6,7
由于辅助线性规划的目标函数 是极小化，因此最优解的判别 准则应为：
0
x3 -1 0 0 -M -1 0 0 -M -1/2
0
x4 0 -1 0 -M 1 -1 1 2+M 1/2
0
x5 0 0 1 0 0 0 1 0 0
-M
x6 1 0 0 0 1 0 0 1/2
-M
x7 0 1 0 0 -1 1 -1 -1/2
θ
2/1 1/1 3/1 1/2 2/1
0 -2-2M
-M x6 1/2 -1/2 1 1
-M x7 1/2 -1/2 -1 0
θ
1/2/1/2 3/2 /1/2
1/2 -1/2
-1/2 -1/2
Z
0 2 0 Z 0 2 0 Z X4 X2 X3 X4 X2 X5
5/2
1 2 1 4 2 3 1 6
0
2 1
0
0 1
1/2
-1 -1
3/2
1 0
0 -1/2-M -3/2-M
0
0 0
1
0 0
-1/2
1/2 1/2
-1/2
1/2 3/2
0
1
1/2
-1/2
1/2
-1/2
-
0 -1/2-M -3/2-M
7
C CB -1 2 0 XB X1 X2 X5 b 1/2 3/2 3/2
-1 X1 1 0 0
2 x2 0 1 0
0 x3 -1/2 1/2
0 x4 1/2 1/2
0 x5 0 0 1 0 0
0 x4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 x5
0 -1 0 -M 0 -1 0 -M
0 -M -M x6 x7 x8
0 0 -1 -M 1 0 -1 -2 0 1 0 0 0 0 1 0
θ 6/1 3/1
-3+M -2+M -1-2M 1 1 0 -3+M 0 0 1 0 2 -1 -1 -3-M
0 x3 -1
0 0 1 -1 0 0 1 -1/2 1/2 0
0 x4 0
-1 0 1 1 -1 1 -1 1/2 1/2 0
0 x5 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 x6 1
0 0 0 1 0 0 0
1 x7 0
1 0 0 -1 1 -1 2
θ 2/1 1/1 3/1 1/2 2/1
5
例4、用大M法求解下面的线性规划问题: 解： 首先将原问题化为标准型
maxZ=-x1 +2x 2 x1 x 2 2 -x x 1 1 2 x2 3 x1 ,x 2 0
2 x1 x 2 -x 3 -x x -x 4 1 1 2 x2 x5 3 x j 0,j 1,2,3,4,5
4
大M法
大M法首先将线性规划问题化为标准型。如果约束方程组中包含 有一个单位矩阵 I，那么已经得到了一个初始可行基。否则在约束方 程组的左边加上若干个非负的人工变量，使人工变量对应的系数列向 量与其它变量的系数列向量共同构成一个单位矩阵。以单位矩阵为初 始基，即可求得一个初始的基本可行解。 为了求得原问题的初始基本可行解，必须尽快通过迭代过程把人 工变量从基变量中替换出来成为非基变量。为此可以在目标函数中赋 予人工变量一个绝对值很大的负系数 -Ｍ。这样只要基变量中还存在 人工变量，目标函数就不可能实现极大化。 以后的计算与单纯形表解法相同，Ｍ只需认定是一个很大的正数 即可。假如在单纯形最优表的基变量中还包含人工变量，则说明原问 题无可行解。否则最优解中剔除人工变量的剩余部分即为原问题的初 始基本可行解。
故引入人工变量
Z' = -Z ，则
maxZ' = -3x1 -2x 2 -x 3 -Mx 7 -Mx 8 =6 x1 +x 2 +x 3 +x 4 x -x 3 -x 5 +x 7 =4 1 -x 6 +x 8 =3 x 2 -x 3 xj 0, j=1,2, 8.
15
6
C CB -M -M 0 Z -M 2 0 Z -1 2 0 Z X1 X2 X5 X6 X2 X5 XB X6 X7 X5 b 2 1 3 -3M 1 1 2 2-M 1/2 3/2 3/2 5/2
-1
X1 1 -1 0 -1 2 -1 1 1+2M 1
2
x2 1 1 1 2+2M 0 1 0 0 0
σ N =CN -CB N 0
10
C CB 1 1 0 W 1 0 0 W 0 0 0 W X1 X2 X5 X6 X2 X5 XB X6 X7 X5 b 2 1 3 3 1 1 2 1 1/2 3/2 3/2 0
0 x1 1
-1 0 0 2 -1 1 -2 1 0 0 0
0 x2 1
1 1 -2 0 1 0 0 0 1 0 0
-1
-3 1 0 -1 -1
T
0
0 0 1 0 0
1
2 0 0 1 0
0
0 1 0 0 0
1
0 1 1 1 -2
-1
-2-M 0 0 -1 -M
0
-M -1 0 0 -M
X 0,3,1, 2, 0 最优解
最优值
Z 6
8
两阶段法
两阶段法引入人工变量的目的和原则与大M法相同，所不同的是
9
例5、用两阶段法求解例4中的线性规划问题。maxZ=-x +2x 1 2 解：首先将问题化为标准型
2 x1 x 2 -x 3 -x x -x 4 1 1 2 x2 x5 3 x j 0, j 1,2,3,4,5
x1 x 2 2 -x x 1 1 2 x2 3 x1 ,x 2 0
n
添加了 m个人工变量以后，在系数矩阵中得到一个 m阶单位矩阵， 以该单位矩阵对应的人工变量 x n+i (i=1,2, 即可得到一个初始的基本可行解
X(0) =(0,0,
,0,b1 ,b2 ,