三线八角图
三招破解“三线八角”难点
两旁的两个角 ； “ 同旁 内角” 指在第三条直线 的 同 旁， 且在两条直线 之间（ 内部） 的两 个角。这样 ， 三
刻 理解 三 种角 的概 念 ， ｃ 的同旁 ， 即第三条直线 ｃ的同旁 。这
样概念名称 “ 同位角” 、 “ 同旁 内角” 中的“ 同” 的含
义就明确 了。 另外 ， １ 与 ５ 、 ２ 与 ６ 都在 直线
《 福 建教 育研 究》 Ａ ２ ０ １ ３ ． ４ ・ ３ ９・
教学中许多学生很难分清“ 三线八角” ， 直接影响了 平行线判定 与性 质 的学 习。本 人认 为在 “ 三 线八 角” 教学中 ， 可从下 面三个方面破解难点。
一
、
抓关 键 宇词 。 理解 本 质
“ 若要记得 ， 必先懂得” 。理解是记忆 的前提和
基础 ， 理解 是 最基 本 、 最有 效 的记 忆 方 法 ， 理 解 了 的
们。 ” 理解记忆的方法很多， 抓关键字词是其 中的一
种重 要 方法 。韩 愈在 他 的《 进学解》 中所 说 的“ 提 要
钩玄 ” ， 指的就是记忆要 抓关键 ， 找到文章 的要 点、 关键和难点 ， 弄 明白， 牢牢记住。数学也是如此 ， 理 解了概念中的关键字词 ， 抓住其本 质 ， 就 能融会贯
Ｌ４ 、 ２与 Ｌ３是对顶 角 ； １ 与 Ｌ２ 、 ２与 Ｌ４ 、 ４
生对平行线判定与性质 的学习 ， 故其重要性不容置
疑 。但 是 “ 三线 八 角 ” 又是 本 章 的一 大 难 点 ， 在实 际
与 Ｌ３ 、 Ｌ３与 １是 邻补 角 。这 为 “ 三 线八 角 ” 与对 顶角、 邻 补角 的区分奠 定基 础 。
点 ？揭示它们都在直线 ａ 与直线 ｂ之间， 也称直线
三线八角
三线八角
两条直线被第三条直线所截，所得的八个角，叫做三线八角．如图：
图中的l
1、l
2
、l
3
和∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8就是三线八
角．按上述八个角的相互位置，给以下列不同名称：
①同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角．
如图中的∠1与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8、∠3与∠7都是同位角．
②内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角．
如图中的∠6与∠6、∠4与∠5都是内错角．
③外错角：如果两个角都在两直线的外侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做外错角．
如图中的∠1与∠8、∠2与∠7都是外错角．
④同旁内角：如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角．
如图中的∠3与∠5、∠4与∠6都是同旁内角．
⑤同旁外角：如果有两个角都在两条直线的外侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁外角．
如图中的∠1与∠7、∠2与∠8都是同旁外角．。
七年级数学下册教学课件《同位角、内错角、同旁内角》
Z “_________” 都没有公共
顶点 ③都表示角
U “_________” 之间的位置
关系
例1 如图，直线 DE，BC 被直线 AB 所截. 【教材P7 例2】 （1）∠1 和∠2， ∠1 和∠3，∠1 和∠4 各是什么 位置关系的角？ 分析：描角 找公共边 判断角的类型
（3）∠4 和∠7是内错角，是直线 DC和AB被DB所截形成的； ∠2和∠6是内错角，是直线AD和 BC被AC所截形成的； ∠ADC和∠DAB是同旁内角，是直线 DC和AB被AD所截形成的.
对应训练
如图所示. （1）直线CE，BC被直线BE所截形成的 同旁内角是 _∠__C_B_E_与__∠__B_E__C_； （2）直线AC，BC被直线BE所截形成的 内错角是_∠__A__E_B_与__∠__C_B__E_;
（3）∠BED 与∠CBE是直线_D_E__,B_C__被直线_B_E_所截形成的内__错__角; （4）∠A与∠CED是直线A__B_,D__E_被直线_A_C_所截形成的_同__位__角.
随堂训练，课堂总结 知识结构
同位角、 内错角、 同旁内角
结构特征
图中判断三线 八角（描图法）
同位角：“_F_”_型 内错角：“_Z_”_型 同旁内角：“_U_”_型
1.如图，下列各组角中，是内错角的是（ B ）
A.∠1和∠2
B.∠2和∠3
C.∠1和∠3
D.∠2和∠5
2.如图，∠1和∠2是由直线__A_B__和__C_D__被直线 __A_C___所截形成的_内__错___角.
观察∠4 与∠5 的位置关系：
①在直线 AB、CD 之间
同旁内角
②在直线 EF 的同一旁（右侧）
初中数学06-三线八角及平行线的判定-教师版
数学寒假班（教师版）模块一：三线八角的意义知识精讲同位角、内错角、同旁内角（三线八角）若直线 a， b 被直线l 所截：（ 1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如1和5）（ 2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．（如3和5 ）（ 3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如3和6 ）注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 2 178三线八角及平行线的判定34知∠2 与∠4 是 __ 角． ∠2 与∠5 是 __ 角． ∠1 与∠5 是 __ 角． ∠3 与∠5 是 __ 角． ∠3 与∠7 是 __ 角． ∠3 与∠8 是 __ 角． ∠2 与∠8 是 __ 角．例题解析1】如图，∠______________ 2 与∠ 3 是 角． (1)∠ B 和∠ 1 是两条直线 ___ ___和 __ ___被第三条直线 __ ___ 所截构成的 ___ __ ___(2)ACB 与∠ 7 是两条直线_____ 和 _ ___ 被第三条直线___ _ ___ 所截构成的____ __ ___ (3)∠ 3 与∠ 5 是两条直线 ____ ___和 ____被第三条直线 __所截构成的 __ ___角． (4) 3 与∠ B 是两条直线 ___和 __ __被第三条直线 ___ __所截构成的 __ ___角． (5) 2 与∠ 7 是两条直线 ___和 __ __被第三条直线 __所截构成的 __ ___角．BC 、 DE 、 AB 、同位角；( 2) BC 、 DE 、 AC 、同位角；3) BA 、 CA 、 DC 、内错角； 4) DC 、 BC 、 B A 、同旁内角；5) DC 、 AC 、 DE 、内错角．C3】如图，同旁内角有 ( A ． 4对B ． 3对C ． 2对3 对．2】角角EBD24】如图，同位角共有( )对．A． 1 对B． 2对C． 3对【答案】 BF 形，由 F 形找同位角．5】如图，是同位角关系的是( )．A．∠ 3 和∠ 4 B．∠ 1 和∠ 4【答案】 BA 是内错角；B 内错角；C 同旁内角．6】如图，内错角共有( )对．A． 1 对B． 2对C． 3对【答案】 DEDB 与∠DBC、∠ EDB 与∠DBA、∠ FDB 与∠ DBC、∠ FDB 与∠ DBA，共 4 对7】如图，同旁内角共有( )对．A． 10对B． 8对C． 6对【答案】 C4 组，四边形上方和右边各有一组，共 6 组．8】如图，∠ 1 与∠ 2 是两条直线 _____ 和被第三条直线所截构成的 _____ 角．3 与∠4 是两条直线___ _______ 和被第三条直线______ 所截构成的______ 角．AD、 BC、 AC、内错角； AB、 CD、 AC、内错角．Z．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．9】 如图， ∠ C 的同位角有同旁内角是 _________________1 与∠2 是 _____ 角． 直线 AB 和 CD 被 AD 所截， ∠ A 的内错角是 _ _________________ ， ∠ A 与∠ ADC 是 __ 角．ADE 、∠ BDE ；∠ABC 、∠ D BC 、∠ A DC 、∠BDC ；内错角；∠ ADE ；同旁内角． F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ．10】如图，∠ 1 的同位角是∠ _____ ，∠ 1的内错角是∠ _____ ，∠ 1 的同旁内角是____ ， ∠ 1 的对顶角是∠ ___ ，∠ 1 的邻补角是∠ _____ ．DEB 、∠ EBH ；∠ AEF 、∠ IBF ；∠ BEF 、∠ EBF ； ∠ CFG ；∠ CFD 、∠ GFH ．F ，内错角像字母 Z ，同旁内角像字母找的时候要注意找全．11】 如图， DC 垂直于 AE ，已知∠ DCE 的同位角是它的一半，∠ B=2∠ ACB ，试判断 △ ABC 的形状．DC ⊥ AE ，∴∠ DCE=90 DCE 的同位角是∠BAC ，由题已知∠ BAC=45 B+∠ ACB=180° -45° =135° 又∵∠ B=2∠ ACB ∴∠ B=90°，∠ ACB=45° ∴△ ABC 为等腰直角三角形模块二：平行线的意义和性质知识精讲2、平行线的基本性质1 ）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；2）平行线之间的距离处处相等；3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．12】已知直线________________________ a// b ，b //c，那么a c 【答案】平行13】 a、 b、 c 是直线，且a//b， b⊥ c，则a 与 c 的位置关系是．【答案】垂直a∥ b， b⊥ c，∴a⊥ c．14】下列说法中，正确的是（）．A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行【答案】 CA、 B 错； D 错误．15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A． 0个B． 1 个C． 2个D． 3个C16】下列说法中，错误的有（）．①若 a 与 c相交， b与 c相交，则 a 与 b 相交；②若 a∥ b， b∥ c，那么a∥ c；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种A． 3 个B． 2 个C． 1 个D． 0 个【答案】 Aa 与b 可能平行，错误；②平行线的传递性，正确；③这个点必须不在已知直线上，错误；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误．17】如图，按要求画平行线．（ 1）过P 点画AB 的平行线EF；（ 2）过P 点画CD 的平行线MN ．18】如图，点A， B 分别在直线 l1， l2上，（ 1 ）过点 A 画到l 2的垂线段；（ 2）过点 B 画直线 CD∥ l1．模块三：平行线的判定知识精讲平行线的三种判定方法： （ 1 ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两【答案】∠DCE=∠ A等．CEAB19】如图，请写出能判定CE∥ AB 的一个条件．D20】如图， AB∥ CD， AC⊥BC，∠【答案】25°．AB∥ CD（已知），所以ACE BAC（两直线平行，内错角相等），因为∠BAC =65°（已知），所以BAC =65°，则∠_________ BCD = 度．ACE 65o（等量代换）．E C D ACB 90o（垂直的意义）ACE ACB BCD 180o（邻补角的意义），21】如图，下列说法错误的是（）．A．∠ 1 和∠ 3 是同位角；B．∠C．∠ 1 和∠ 2 是同旁内角；D．∠【答案】 BZ．22】已知，△ ABC 中， DE 垂直于AC 于E，1和∠ 5 是同位角；5和∠ 6 是内错角．1 2365 4△ ACB=90° ，试说明DE△ BC 的理由．E CAD因为∠ACB=90°（已知），所以∠ACB=∠ AED（等量代换），所以 DE ∥ BC（同位角相等，两直线平行）例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD +∠CDA=180° ，填空：5=∠ CDA（已知）______ // ____ （内错角相等，两直线平行）5=∠ ABC（已知）______ // ____ （同位角相等，两直线平行）2=∠ 3（已知）______ // ____ （内错角相等，两直线平行）BAD+∠ CDA=180° （已知）∴ _____ // ____ （同旁内角互补，两直线平行）∵∠5=∠ CDA（已知），又∵∠ 5 与∠ BCD 互补，∠C DA 与互补（邻补角定义）∴∠B CD=∠ 6（等角的补角相等）∴ _____ // ____ （同位角相等，两直线平行）AD、 BC； AB、CD； AB、C D；AB、CD；∠6；AD、BC．AB⊥ BC，∠1+∠ 2=90° ，∠2=∠ 3，那么BE 与24】如图，DF 平行吗 ?为什么AB⊥ BC（已知），所以∠ ABC=90 °（垂直的意义），即 3 4 90o（角的和差）因为∠2=∠ 3（已知），所以 2 4 90o（等量代换）因为∠1+∠ 2=90°（已知），所以∠1=∠ 4（同角的余角相等），所以 BE∥ DF （同位角相等，两直线平行）1+∠ 3=90° ，试说明 AB//CDE B 2 3CDAFCDGQP1C2MNBCHBAEOD10/ 18所以 GOHAC 、 BC 分别平分∠ QAB 、∠ ABNO 、点 E ， GO ⊥ OH ， OH 平分∠ AOC2=3∠1AC 、 BC 分别平分∠ QAB 、∠ ABN （已知）1∠ QAB ，∠ 2= 1 ∠ ABN （角平分线的意义）B1E所以AOH COH （角平分线的意义）．因为 BOC COA 180o（邻补角的意义），所以∠GOB+∠ HOC=90°（等式性质）因为∠EDO+∠ GOB=90°（已知）所以∠EDO =∠ HOC （同角的余角相等）所以 OH ∥ EF（同位角相等，两直线平行）【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及同角的余角相等的综合运用，解题时认真分析，找出角度间的关系．29】如图，∠ABE=∠ E+∠ D，试说明A B//CD 的理由．【答案】略D E ECD 180o（三角形内角和等于又 ECD DCB 180o（邻补角的意义）所以∠ DCB=∠ E+∠ D（等式性质）因为∠ABE=∠ E+∠ D（已知）所以∠DCB=∠ ABE（等量代换），所以AB ∥ CD（内错角相等，两直线平行）综合性较强，解题时要认真分考查平行线的判定定理及三角形内角和的综合运用，析1】观察图，下列说法中，正确的是（习题2】如图，能使AB∥ CD 的条件是（）．A. ∠ 1=∠ BC．∠1+∠ 2+∠ B=180B ．∠3=∠AC 选项满足条件．3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次 拐弯的角度是（ ）A ．第一次向左拐 30o，第二次向右拐 30oB ．第一次向右拐 50o，第二次向左拐 130oC ．第一次向右拐 50o，第二次向右拐 130oD ．第一次向左拐 50o，第二次向左拐 130o【答案】 A B 向左拐了50°， C 、 D 都朝相反方向开去．4】如图，在下列条件中，能判定AB//CD 的是（）A ．∠ 1=∠ 3B ．∠ 2=∠ 3 CA 错误；B 能推出 AD ∥ BD ； D 错误．5】如图，图中所标号的 8 个角，是∠ C ．∠ 1=∠ 4 D ．∠ 3=∠ 4 A2143DB C1 的同位角的是 ______ ；∠ 3 的内错角是4 的同位角是 ______ ；∠ 6 的内错角是 2；∠ 5；∠ 6、∠ 8；∠ 3、∠ 7； ∠ 4；∠ 5． 习题 6】 如图，已知直线b ⊥ a ，c ⊥ a ．那么直线 b 与 如果不平行，举出反例． b ⊥ a ， c ⊥ a （已知），∴∠ 1=∠ 2=90°（垂直的意义）， ∴ b ∥ c （同位角相等，两直线平行）．76284315c 平行吗？如果平行，请给出证明； bc 1 a7】如图，已知AC⊥ AE， BD⊥ BF，∠1=35°，∠2=35°， AC 与 BD 平行吗 ?AE 与 BF平行吗?为什么?1=35° ，∠2=35°（已知），所以∠ 1=∠ 2（等量代换），因为 AC⊥ AE， BD⊥ BF（已知），所以∠ NBF=∠ BAE（等式性质）所以 AE ∥ BF（同位角相等，两直线平行）FA 8】如图，∠1+∠ 2=180° ． AE 与 FC 会平行吗? 说明理由． D【答案】平行．1+∠ 2=180°（已知），∠2+∠ BDC=180°（邻补角的意义） B1 所以∠ 1=∠ BDC（同角的补角相等）CE 所以 CF ∥ AE（同位角相等，两直线平行）9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）1 ）∵∠1= ∠ 4（已知）2）∵∠ ABC +∠ ____ =180°（已知）∴ AB∥ CD（3）∵∠______ =∠ _______ （已知）∴ AD ∥ BC（）4）∵∠5=∠ ______ （已知）∴ AB∥ CD（）1 ） AB ∥ CD、内错角相等，两直线平行；（ 2）∠ BCD 、同旁内角互补，两直线平行；（ 3）∠2=∠ 3、内错角相等，两直线平行；（ 4）∠ ABC 、同位角相等，两直线平行．10】已知DE⊥ BC， FG⊥ BC，∠ DEH=∠ GFC，试说明EH∥ FC 的理由．DE⊥ BC， FG⊥ BC（已知）所以∠ DEC=∠ FGC=90°（垂直的意义）所以∠ GFC+∠ FCG=90°（三角形内角和等于DEH =∠ GFC（已知），所以∠ HEC=所以 EH ∥ FC（内错角相等，两直线平行）AE//BC 的理由．11】已知∠EDC+∠ B=180°，∠EDC=∠ A，试说明【答案】略EDC+∠ B=180°，∠EDC=∠ A（已知）所以∠ A+∠ B=180 °（等量代换）所以 AE ∥ BC（同旁内角互补，两直线平行）习题12】已知：∠ABC＝∠ADC， BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ ADC， 1 2．试说明 DE∥ BF 的理由．BF 和 DE 分别平分∠ABC 和∠ ADC（已11所以 1 ADC ， ABF ABC （角平分线的意义）ABC＝∠ADC（已知），所以∠1=∠ ABF（等式性质）因为∠1=∠ 2（已知），∴∠2=∠ FBA（等量代换）所以 DE ∥ BF（同位角相等，两直线平行）13】已知直线a， b， c被直线 d所截，1 3， 3 4 1800，试说明 a∥ c．所以 a∥ b（同位角相等，两直线平行）因为∠ 3+∠ 4=180°（已知），∠3+∠ 5=180°（邻补角的意义）所以∠ 4=∠ 5（同角的补角相等）所以 b∥ c（同位角相等，两直线平行）所以 a∥ c（平行的传递性）课后作业【作业 1 】下列说法中正确的是（）A．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【难度】★【答案】D【解析】 A 这个点必须是直线外的点，错误； B 同位角相等的前提是两直线平行，错误；C 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误；故选 D【总结】考查平面内直线的位置关系．2】在同一平面内，若a⊥ b，c⊥ b 则 a 与 c的关系是（）A．平行B．垂直C．相交 D ．以上都不对【答案】 A3】如图，∠ADE 和∠ CED 是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角【答案】 BZ．C4】如图，属于内错角的是（）A．∠1 和∠ 2 B．∠ 2 和∠ 3 C．∠1 和∠ 4 D ．∠ 3 和∠ 4DZ．5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；③同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直；其中说法正确个数有（）A． 3个B． 2个C． 1 个D． 0个【答案】BC．6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A．①、②是正确的命题B．②、③是正确命题C．①、③是正确命题D．以上结论皆错【答案】A90°，即垂直，正确；③这个点必须是直线外的一点，错误，故选A．7】如图，能与构成同旁内角的角有（）A． 5个B． 4个C． 3个D． 2个【答案】AU8】如图，AB⊥ BD， CD⊥ MN，垂足分别是B、 D 点，∠FDC =∠ EBA．1）判断CD 与 AB 的位置关系；2） BE 与 DF 平行吗?为什么 ?1 ）平行（ 2）平行1 ）因为AB⊥ BD， CD⊥ MN（已知），所以CD ∥ AB（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；2）因为∠CDM=∠ ABM 90o（垂直的意义），又∠FDC=所以∠MDF =∠ MBE（等式性质）所以 BE∥ DF（同位角相等，两直线平行）作业9】如图 CD⊥ AB， EF⊥ AB，∠ 1=∠ 2，试说明DG//BC 的理由．CD ⊥ AB， EF⊥ AB（已知），所以EF ∥ CD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠2=∠ DCB（两直线平行，同位角相等）因为∠2=∠ 1 （已知），所以∠ 1=∠ DCB（等量代换）所以 DG∥ BC（内错角相等，两直线平行）作业10】如图，AB、 CD 被 EF 所截， MG 平分∠ BMN ， NH 平分∠ DNM ，已知∠GMN +∠ HNM =90°，试问：AB∥ CD 吗？请说明理由．MG 平分∠ BMN， NH 平分∠DNM（已知）所以∠BMN=2∠ GMN，∠DNM =2∠ HNM （角平分线的意义）因为∠FMG+∠ HNM =90°（已知）所以∠BMN+∠ DNM =180°（等式性质）所以A B ∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）所以 1 A B ， 2 C D （等式性质）B=∠ C ，∠ A=∠ D （已知）， 所以 1 2（等式性质），所以 AE ∥ DF （内错角相等，两直线平行）【总结】 考查平行线的判定定理及三角形内角和定理的综合运用，择性讲解．12】如图，已知：∠ B+∠ D ＝∠BED ． AB 与 CD 平行吗，说明理由．E 作 EF ∥ AB ，则∠ B=∠ BEF （两直线平行，内错角相等） 因为∠ BED =∠ BEF+∠ FED =∠ B+∠ D （已知），所以∠ FED =∠ D （等式性质）所以 CD ∥ EF （内错角相等，两直线平行）所以 AB ∥ CD （平行的传递性） 11】 如图， 因为 A B=∠ C ，∠ B AEB又 AEB 1 180o ， 2 A=∠ D ，试说明 AE//DF ． 180o ， C D CFD 180o （三角形内角和等于CFD 180o （邻补角的意义） 180°) D 综合性较强， 建议老师选。
对顶角,垂直,同位角,内错角,同旁内角
对顶角、垂线、三线八角、邻补角一、基础知识点：1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
2.相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。
3.邻补角：（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
（2）性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）4.对顶角：（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角（2几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）5、邻补角和对顶角的区别和联系注意：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
1、如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数.解：∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角∴ ＝ ＝ °（ ）∵ 与 是邻补角∴∠AOD ＝180°－∠AOC ＝180°－50°＝130° ∵ 与 是对顶角∴∠BOC ＝∠AOD ＝130°（ ）2、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD 、50 OADCB∠AOC 的度数.【基础知识点】 6、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
同位角、内错角、同旁内角
同位角、内错角、同旁内角本文介绍了“三线八角”模型中同位角、内错角、同旁内角的概念和识别方法。
同位角是指在直线AB、CD的同一方，且在直线EF的同侧的一对角；内错角是指在直线AB、CD之间，且在直线EF的两侧的一对角；同旁内角是指在直线AB、CD之间，且在直线EF的同一旁的一对角。
文章还提供了两种识别方法：口诀和方位判断。
最后给出了两道例题供读者练。
同位角、内错角、同旁内角的概念比较抽象，需要通过图形来理解。
在“三线八角”模型中，两条直线AB、CD与同一条直线EF相交，构成八个角，其中每个角都是由截线与一条被截线相交而成的。
同位角、内错角、同旁内角分别是指不同位置关系的一对角。
其中，同位角的位置关系是在直线AB、CD的同一方，且在直线EF的同侧；内错角的位置关系是在直线AB、CD之间，且在直线EF的两侧；同旁内角的位置关系是在直线AB、CD之间，且在直线EF的同一旁。
为了更好地识别同位角、内错角、同旁内角，文章提供了两种方法。
一种是记口诀，即“一看三线，二找截线，三查位置来分辨”。
另一种是借助方位来识别，根据这三种角的位置关系，在图形中标出方位，依方位来判断。
最后，文章给出了两道例题供读者练。
第一道题是关于判断某个角是否属于“三线八角”模型的问题，需要根据截线和被截线的位置关系来判断。
第二道题则是让读者通过识别同位角、内错角、同旁内角来判断截线和被截线的位置关系。
2.直线BC截出了两个角，被截线是直线BF和DE。
3.∠B和∠E不是同位角，因为它们的两边中任一边没有落在同一直线上。
举一反三：在图中，判断错误的是C，因为∠5和∠6不是同旁内角。
4.同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠XXX；同旁内角：∠B与∠XXX，∠A与∠B，∠A与∠XXX，∠B与∠XXX。
举一反三：在图中，同位角是∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；内错角是∠2与∠8，∠3与∠5；同旁内角是∠2与∠5，∠3与∠8.5.直线DE和BC被直线AB所截，∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角。
2.2同位角、内错角、同旁内角(三线八角)-北师大版七年级数学下册(教案)
学生小组讨论环节，我尽量扮演好引导者的角色，让学生在探讨中自己发现问题、解决问题。但从成果分享来看，部分学生的思考深度仍有待提高。为了激发学生的思考，我决定在下一节课增加一些开放性问题，引导学生从多角度分析问题，培养他们的逻辑思维能力。
2.2同位角、内错角、同旁内角（三线八角）-北师大版七年级数学下册（教案）
一、教学内容
2.2同位角、内错角、同旁内角（三线八角）-北师大版七年级数学下册（教案）
本节课，我们将深入学习以下内容：
1.同位角的定义及性质；
2.内错角的定义及性质；
3.同旁内角的定义及性质；
4.三线八角的关系及其应用。
-能够识别并画出同位角、内错角、同旁内角；
3.增强学生的数学抽象能力，使学生能从具体的几何图形中抽象出同位角、内错角、同旁内角的数学概念，形成数学模型；
4.培养学生的数学应用意识，将所学知识应用于解决实际问题，体会数学在生活中的价值。
这些目标旨在帮助学生深入理解几何图形的基本概念，提高学生的数学思维品质，为后续学习打下坚实基础。
三、教学难点与重点
（2）难点突破：通过举例和练习，让学生在实际问题中学会找出三线八角的关系。如给出一个图形，要求学生找出所有的同位角、内错角、同旁内角，并说明它们之间的关系。
（3）难点应用：在几何证明中，引导学生运用三线八角关系进行推理。例如，在证明两个三角形全等时，通过证明它们的一对同位角、一对内错角和一对同旁内角分别相等，从而得出两个三角形全等的结论。
直线的相交、垂直、三线八角
北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：直线的相交、垂直、三线八角）（一）知识梳理回顾 一、直线的相交 1．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行．【注】两条直线：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合，视为一条直线．2．直线的相交——两线四角（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角．【例】如图1，∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4互为邻补角． 【注】互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角．（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．【例】如图1，∠1和∠3，∠2和∠4，互为对顶角．【注】互为对顶角的两个角一定相等，但两个角相等不一定互为对顶角．图1 图2 图3二、垂直1．垂直：一条直线与另一条直线相交成90︒，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．【例】如图2，AB CD ⊥，垂足为O ，可记为“AB CD ⊥于点O ”． 2．性质：4321DCBADC BAO87654321FE DCBA（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 三、三线八角1．同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（即两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同侧），叫做同位角．【例】如图3，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角．2．内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错的一对角（即两个角分别在第三条直线的两侧），叫做内错角．【例】如图3，∠3和∠5，∠4和∠6都是内错角．3．同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同侧的一对角，叫做同旁内角．【例】如图3，∠3和∠6，∠4和∠5都是同旁内角． 4．角的计数技巧：（1）“F ”字型中的同位角，如下图所示：（2）“Z ”字型中的内错角，如下图所示：（3）“U ”字型中的同旁内角，如下图所示：FMNDB F M N CAMNDB EMNECANMDANM B C（二）例题精讲 1、直线的相交（1）在同一平面内的两条直线的位置关系有（ ）A ．平行或垂直B ．垂直或相交C ．平行，垂直或相交D ．平行或相交（2）判断正误：①两条直线的位置关系只有两种：平行或相交． （ ） ②平面内，两条线段不相交，则平行． （ ） ③平面内不平行的两条射线必定相交．（ ）（1）D ；（2）①错误，异面；②错误；③错误．（1）下列图中∠1和∠2是对顶角的有（ ） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对（2）下列四个图中，α∠与β∠成邻补角的是（ ）NMCAMNDB（4）12（3）12（2）12（1）12αβαβαβαβA ．B ．C ．D ．（3）下列各项中，①有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；②如果两个角是对顶角，则这两个角相等；③相等的两个角是对顶角；④如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角，其中正确的有________．（填序号）【解析】（1）A ；（2）C ；（3）②⑤．（1）如图3-1，AB 、CD 、EF 交于点O ，AOE ∠=25︒，DOF ∠=45︒，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．（2）如图3-2，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，BOC BOD ∠=∠-30︒，求COE ∠的度数．图3-1 图3-2【解析】（1）由对顶角相等可知，COE DOF ∠=∠=45︒，故AOC AOE COE ∠=∠+∠=25︒+45︒=70︒．由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，AOD ∠=180︒-70︒=110︒ 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角BOC ∠=110︒． （2）由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，BOC BOD ∠+∠=180︒．又BOC BOD ∠=∠-30︒，故BOD ∠=105︒，BOC ∠=75︒． 由对顶角相等可知，AOD BOC ∠=∠=75︒．AECBODAEF D CBO又OE 平分AOD ∠，故.AOE ∠=375︒， 从而可知，..COE ∠=375︒+105︒=1425︒．【提示】两线四角倒角，规范书写．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，COF ∠=90︒．（1）若BOE ∠=70︒，求AOF ∠的度数； （2）若::BOD BOE ∠∠=12，求AOF ∠的度数．【解析】（1）50︒；（2）54︒．求证：成对顶角的两个角的平分线在同一直线上．【解析】如图，AB 、CD 交于点O ，则AOC ∠与BOD ∠成对顶角．设OE 、OF 分别为AOC ∠、BOD ∠的平分线，则AOE COE AOC 1∠=∠=∠2，BOF DOF BOD 1∠=∠=∠2，∵AOC BOD ∠=∠，∴AOE BOF ∠=∠． 又∵BOF DOF AOD ∠+∠+∠=180︒， ∴AOE DOF AOD ∠+∠+∠=180︒，即EOF ∠=180︒，∴OE 、OF 在同一直线上．【提示】可补充证明：成邻补角的两个角的平分线互相垂直． 2、垂直（1）下列说法中正确的是（ ） ①点到直线的距离是点到直线所作的垂线；②两个角互为邻补角，这两个角的角平分线互相垂直； ③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直；ECBDAOF④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④（2）P 为直线外一点，点A 、B 、C 为l 上的三点，且PB l ⊥，下列说法错误的是（ ） A ．P A 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 B ．线段PB 叫做点P 到直线的l 的距离 C ．PB 是点P 到l 的垂线段D ．线段AB 的长是点A 到PB 的距离【解析】（1）D ；（2）B ．（1）如图7-1，直线AB 与CD 相交于点O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，DOF ∠=65︒，求BOE ∠和AOC ∠的度数．（2）如图7-2，已知直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，OF 平分AOE ∠，COF ∠=35︒，求BOD ∠的度数．图7-1 图7-2【解析】（1）∵OF AB ⊥，∠DOF =65︒∴BOD ∠=90︒-65︒=25︒（垂直定义）． ∴AOC BOD ∠=∠=25︒（对顶角相等）． ∵OE CD ⊥，∴BOE ∠=90︒-25︒=65︒（垂直定义）． lCBAPF ACDBOEFA CDB OE（2）∵COE ∠是直角，∴COE ∠=90︒． 又∵COF ∠=35︒，∴FOE COE COF ∠=∠-∠=90︒-35︒=55︒． ∵OF 平分AOE ∠， ∴AOF FOE ∠=∠=55︒．∴AOC AOF COF ∠=∠-∠=55︒-35︒=20︒． ∵BOD AOC ∠=∠， ∴BOD ∠=20︒．【提示】利用垂直的定义来倒角，倒角一定要反复练习．如图所示，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路AE ．现有一辆装满货物的卡车停放在D 点，如果卡车的速度是每分钟96米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？【解析】由垂线段最短，可知比较D 到AE 的垂线段长度与卡车行驶11分钟路程的大小，即可得出结论．如右图所示，汽车由D 到AE 的最短距离是由D 向AE 引的垂线DH ，连结DE ．则△AED ABCD S S 11==1843200⨯=92160022正方形，又△AED S AE DE DH DH 11=⋅=⨯1600⋅=800⋅22，解得DH =1152（米）． A BCD EHEDCBA而卡车行驶11分钟的路程为96⨯11=1056（米）<1152（米），所以11分钟内不能将这车货物由D 点运到铁路线旁． 3、三线八角如图，填空：①∠1与∠2是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．②∠1与∠3是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．③∠2与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ④∠3与∠4是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角． ⑤∠5与∠6是两条直线______与______被第三条直线______所截构成的________角．【解析】①∠1与∠2是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的同位角．②∠1与∠3是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的同位角． ③∠2与∠4是两条直线l 2与l 3被第三条直线l 1所截构成的内错角． ④∠3与∠4是两条直线l 1与l 3被第三条直线l 2所截构成的内错角． ⑤∠5与∠6是两条直线l 1与l 2被第三条直线l 3所截构成的同旁内角．过点O 任意作7条直线，求证：以O 为顶点的角中，必有一个小于26︒．【解析】如图所示，点O 把7条直线分成14条射线，记为OA 1，OA 2，…，OA 14.相邻两射线组成14个角，记为α1，α2，…，α14. 其和为一个周角：ααα1214+++=360︒L . 若结论不成立，则i α≥26︒，(,,,)i =1214L . 相加，得ααα1214360︒=+++≥26︒⨯14=364︒L .l 2l 1l 3124563A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O这一矛盾说明，在α1，α2，…，α14中，必有一个角小于26︒．（三）课后作业设计1、（1）如图1-1所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1∠的邻补角是______，1∠的对顶角是______．若125∠=︒，则2∠=______，3∠=______，4∠=_______．（2）如图1-2，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，图中对顶角共有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对图1-1 图1-2【解析】（1）2∠和4∠，∠3，155︒，25︒，155︒．（2）D ．2、（1）如图2-1，已知直线a 、b 、c 相交于点O ，∠1=30︒，∠2=70︒，则∠3=______．（2）如图2-2，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分AOD ∠，若BOD ∠=100︒，则AOE ∠=___________．图2-1 图2-2∴∠3=180︒-∠1-∠2=80︒．O c ba321CBODEA ACD B1234A FCEOBD（2）40︒．3、如图，已知直线AB 和CD 相交于点O （AOC ∠为锐角）（1）写出AOC ∠和BOD ∠的大小关系；判断的依据是_____________． （2）过点O 作射线OE 、OF ，若COE ∠=90︒，OF 平分AOE ∠，求AOF COF ∠+∠的度数，说明你的理由．（3）在（2）的条件下，若AOD ∠=120︒，请计算COF ∠的度数．【解析】（1）AOC BOD ∠=∠；对顶角相等．（2）AOF COF ∠+∠=90︒． （3）COF ∠=15︒．4、如图，已知∠ACB =90︒．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段________的长；线段DB 的长为点________到直线________的距离．【解析】AC ，B ，CD ．5、已知：如下图A 、O 、B 三点共线，OC 为任意一条射线，OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．求证：OD OE ⊥．【解析】∵A 、O 、B 三点共线∴AOB ∠=180︒，∵OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠， ∴COE BOC 1∠=∠2，DOC AOC 1∠=∠2，∴()COE DOC BOC AOC BOC AOC 111∠+∠=∠+∠=∠+∠222AOB 11=∠=⨯180︒=90︒22又∵DOE COE DOC ∠=∠+∠，∴DOE ∠=90︒， ∴OD OE ⊥．6、如图，A 点处是一座小屋，BC 是一条公路，一人在O 处． （1）此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？FE ODCBAAC D BE（2）此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？【解析】（1）走线段OA最近，因为两点之间线段最短；（2）如图，过点O作OD BC⊥，垂足为D，则走线段OD最近，因为垂线段最短．7、如图，判断下列各对角的位置关系：①∠1与∠4；②∠2与∠6；③∠5与∠8；④∠4与BCD∠；⑤∠3与∠5．【解析】①∠1与∠4是同位角，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角，∠4与BCD∠是同旁内角，∠3与∠5是内错角．。
三线八角的题型及解答
三线八角的题型及解答1. 什么是三线八角？三线八角是一种数学题型，常见于中小学的数学考试中。
它的名称源自题目的形状，由三条线段和八个角构成。
这种题型通常要求解答与几何形状相关的问题，涉及到线段长度、角度大小、面积计算等内容。
2. 常见的三线八角题型2.1 线段长度计算这种题型要求根据给定的条件计算出某条线段的长度。
常见的条件包括已知两点坐标、已知与其他线段之间的关系等。
示例题：已知平面直角坐标系中，点A(3,4)和点B(7,9)，求线段AB的长度。
解答：根据两点间距离公式可得：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((7-3)^2 + (9-4)^2) = √(16 + 25) = √41 所以线段AB的长度为√41。
2.2 角度计算这种题型要求根据给定条件计算出某个角度的大小。
常见的条件包括已知两条直线之间的夹角、已知三个点的坐标等。
示例题：已知平面直角坐标系中，点A(3,4)、点B(7,9)和点C(1,8)，求∠ABC的大小。
解答：根据向量的内积公式可得：cos∠ABC = (AB·BC) / (|AB|·|BC|) 其中，AB = B - A = (7-3, 9-4) = (4, 5) BC = C - B = (1-7, 8-9) = (-6, -1) 所以，AB·BC = 4(-6) + 5(-1) = -24 - 5 = -29 |AB| = √(4^2 + 5^2) = √41 |BC| = √((-6)^2 + (-1)^2) = √37 代入公式计算可得：cos∠ABC ≈ -0.897 ∠ABC ≈ arccos(-0.897) ≈ 152.35° 所以∠ABC的大小约为152.35°。
2.3 面积计算这种题型要求根据给定条件计算出某个几何形状的面积。
常见的条件包括已知图形的边长、已知图形的高等。
示例题：已知平面直角坐标系中，正方形ABCD，顶点A(-2,-2)，边长为4，求正方形ABCD的面积。
同位角、内错角、同旁内角及平行证明
同位角、内错角、同旁内角【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.1图要点诠释：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别,根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．同位角、内错角、同旁内角测试题A卷一、填空题1.如图1，直线a、b被直线c所截，∠1和∠2是，∠3和∠4是，∠3和∠2是。
2.如图2，∠1和∠2是直线和直线被直线所截得的角。
3.如图3，∠1的内错角是，∠A的同位角是，∠B的同旁内角是。
4.如图4，和∠1构成内错角的角有个；和∠1构成同位角的角有个；和∠1构成同旁内角的角有个。
5.如图5，指出同位角是，内错角是，同旁内角是。
二、选择题6.如图6，和∠1互为同位角的是( )(A)∠2； (B)∠3；(C)∠4； (D)∠5。
四法巧辨三类角
四法巧辨三类角侯怀有两条直线被第三条直线所截，构造了八个角，一般称为“三线八角”，其中没有公共顶点的角可分为三类：同位角、内错角、同旁内角.现有四种方法辨别这三类角，一起去看一下吧！一、特征判断法同位角的特征：同旁、同侧，即在两条被截线的同旁，截线的同侧；内错角的特征：内部、两旁，即在两条被截线的内部，截线的两旁；同旁内角的特征：内部、同旁，即在两条被截线的内部，截线的同旁.二、形象识别法如图1，直线a ，b 被第三条直线l 所截得到八个角，其中同位角有4对：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.不难发现，每一对同位角的边所在直线均可构成“F”型.内错角2对：∠3与∠5，∠4与∠6，每一对内错角的边所在直线均可构成“Z”型. 图1同旁内角2对：∠4与∠5，∠3与∠6，每一对同旁内角的边所在直线均可构成“U”型.三、图形分离法由于较复杂的图形都是由一些基本图形组合而成的，因此，在识别这三类角时，可以把相关的基本图形从复杂的图形中分离出来，排除其他直线的干扰，从而把问题转化为对简单的基本图形的识别.如图2所示，图中∠1与∠4，∠2与∠3，∠1与∠BAD ，∠2与∠BAD ， ∠2与∠CAE 分别是什么位置关系的角.分别把这些角所对应的基本图形从图2中分离出来，如图3所示.这样很容易判断出∠1与∠4是内错角，∠2与∠3是同旁内角，∠1与∠BAD 是内错角，∠2 图2与∠BAD 是同位角，∠2与∠CAE 是同旁内角.1423D1A A B 2D 2C E A图 3四、手型识别法如图4，“手型”辨别，其形式既好玩、易于接受，又能加深对同位角、同旁内角、内错角的印象.同位角 内错角 同旁内角图4 54321E D CB A。
2022年初中数学同步 7年级下册 第02课 同位角、内错角、同旁内角(教师版含解析)
第02课同位角、内错角、同旁内角课程标准1.了解“三线八角”模型特征；2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．知识点01 同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图.注意：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图，(1)同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.(2)内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.(3)同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.注意：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.目标导航知识精讲(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．基本图形注意：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图．与两直线的位置关系与截线的位置关系同位角两直线同侧截线的同旁内错角两直线之间截线两侧同旁内角两直线之间截线同侧知识点03 截线与被截线的判断判断截线与被截线的步骤：(1)找出两个角的边所在直线，得到三条直线；(2)公共直线即为截线，另外两条直线即为被截线；考法01 同位角的判断【典例1】如图，∠B的同位角可以是()A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4【答案】D【分析】直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案．【详解】∠B的同位角可以是：∠4．故选D．【点睛】此题主要考查了同位角的定义，正确把握定义是解题关键．【即学即练】如图，直线AB，CD被射线CE所截，与1构成同位角的是( )能力拓展A ．2∠B ．3∠C ．4∠D ．5∠【答案】D 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：直线AB ，CD 被射线CE 所截，与1∠构成同位角的是5∠， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了同位角，记住同位角、内错角、同旁内角的定义及结构是解答此题的关键，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【即学即练】下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( )A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④【答案】C 【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案． 【详解】图①中的∠1与∠2是同位角， 图②中的∠1与∠2是同位角， 图③中的∠1与∠2不是同位角， 图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．【即学即练】在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是( )图① 图② 图③ 图④A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】B【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，由此判断即可．【详解】①∠1 和∠2 是同位角；②∠1 的两边所在的直线没有任何一条和∠2 的两边所在的直线公共，∠1 和∠2 不是同位角；③∠1 和∠2 是同位角；④∠1 的两边所在的直线没有任何一条和∠2 的两边所在的直线公共，∠1 和∠2 不是同位角．故选B．【点睛】本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形．【即学即练】如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是( )A．B．C．D．【答案】D要想成为同位角，两个角必须有一对边在同一条直线上，依据这一条件分析判断即可． 【详解】A 、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； C 、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； D 、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； D 、∠1、∠2的两条边都不在一条直线上，不是同位角； 故选：D 【点睛】本题考查同位角的定义，解题的关键是熟悉三线八角的位置关系．考法02 内错角的判断【典例2】如图,∠1的内错角是( )A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠5【答案】D 【详解】试题分析：根据内错角位于截线异侧，位于两条被截线之间可知∠1的内错角是∠5． 故选D ．点睛：本题考查了内错角的辨识，熟记内错角的概念是解决此题的关键． 【即学即练】如图，直线a b ，被直线c 所截，则4 的内错角是 ( )A ．∠1B ．∠2C ．∠3D ．∠4【答案】B 【分析】根据内错角的定义判断即可. 【详解】解：4∠的内错角是∠2. 故选择：B. 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等定义，能熟记内错角的定义是解此题的关键． 【即学即练】下列图形中1∠与2∠是内错角的是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】A. <2与<1是内错角，故此选项正确；B. <2与<1的对顶角是内错角，故此选项错误；C. <2与<1 是同旁内角，故此选项错误；D. <2与<1的邻补角是内错角，故此选项错误； 故选A.点睛：本题主要考查的知识点为内错角，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.掌握内错角的定义是解答本题的关键. 【即学即练】如图，B 的内错角是( )A ．1∠B ．2∠C ．3∠D ．4∠【答案】A 【分析】根据内错角的定义判断即可； 【详解】解：A 、B 的内错角是1∠，故此选项符合题意；B 、B 与2∠是同旁内角，故此选项不合题意；C 、B 与3∠是同位角，故此选项不合题意；D 、B 与4∠不是内错角，故此选项不合题意； 答案：A ． 【点睛】本题主要考查了内错角的判定，准确分析判断是解题的关键． 【即学即练】如图，下列各组角是内错角( )A ．∠1和∠2B ．∠3和∠4C ．∠2和∠3D ．∠1和∠4【答案】B 【详解】A 、∠1和∠2不是内错角，故本选项错误；B 、∠3和∠4是内错角，故本选项正确；C 、∠2和∠3不是内错角，故本选项错误；D 、∠1和∠4不是内错角，故本选项错误， 故选B ．【点睛】本题考查了内错角，熟知内错角的定义以及位置特征是解题的关键. 【即学即练】如图，属于内错角的是( )A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠4D ．∠3和∠4【答案】D【详解】试题解析：A、∠1和∠2不是内错角，故本选项错误；B、∠2和∠3不是内错角，故本选项错误；C、∠1和∠4不是内错角，故本选项错误；D、∠3和∠4是内错角，故本选项正确；故选D．点睛：两条直线被第三条直线所截，不在同一个顶点的两个角中，如果在这两条直线之间，并且在第三条直线的两旁，这两个角就叫内错角．考法03 同旁内角的判断【典例3】下列图形中，1∠与2∠是同旁内角的是()A．B．C．D．【答案】A【分析】根据同旁内角的定义去判断【详解】∵A选项中的两个角，符合同旁内角的定义，∴选项A正确；∵B选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项B错误；∵C选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项C错误；∵D选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，∴选项D错误；故选A．【点睛】本题考查了同旁内角的定义，结合图形准确判断是解题的关键．【即学即练】如图，2∠的同旁内角是( )A ．3∠B ．4∠C ．5∠D ．1∠【答案】B 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解：由图可得，∠2与∠4是BD 与EF 被AB 所截而成的同旁内角， ∴∠2的同旁内角是∠4， 故选B ． 【点睛】此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．【即学即练】下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】首先弄清各图中，∠1，∠2是哪两条直线被另一条直线所截形成的角；接下来根据互为同旁内角的两角的位置特点，进行判别即可.【详解】解：A.∠1，∠2在截线的同旁，夹在两条被截线之间，是同旁内角；B.∠1，∠2不是两条直线被第三条直线所截形成的角，谈不上是同位角，同旁内角，还是内错角；C.如图C，∠1，∠2在截线AE的同旁，两条被截线AB，EF同侧，是同位角；D.如图D，∠1是直线a，b相交形成的角，∠2是直线c，d相交形成的角，所以不是同旁内角(也不是同位角，更不是内错角).故选A.【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角，熟悉掌握定义是解题关键.【即学即练】如图，与∠1是同旁内角的是()A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【答案】A【分析】根据同位角、内错角、同旁内角定义逐个判断即可．【详解】A.∠1和∠2，是同旁内角，故本选项正确；B.∠1和∠3是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；C.∠1和∠4是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；D.∠1和∠5不是同旁内角，故本选项错误；故选A.【点睛】考查同位角、内错角、同旁内角的定义，掌握它们的判断方法是解题的关键.【即学即练】如图，与∠α构成同旁内角的角有()A．1个B．2个C．5个D．4个【答案】C【详解】试题分析：根据题意可知与∠α构成同旁内角的角有如图5个．考点：三线八角点评：本题难度较低，主要考查学生对三线八角的掌握．分析这类题型是，主要抓住已知角两边与第三边相交的构成三线基础，为解题关键．【即学即练】如图，直线l与∠BAC的两边分别相交于点D、E，则图中是同旁内角的有()A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【分析】根据同旁内角的定义依次【详解】解：直线AC与直线AB被直线l所截形成的同旁内角有：∠ADE与∠AED、∠CDE与∠BED；直线AC与直线DE被直线AB所截形成的同旁内角有：∠DAE与∠DEA；直线AB与直线DE被直线AC所截形成的同旁内角有：∠EAD与∠EDA；故选C．【点睛】此题主要考查同旁内角的定义，解题的关键是每条直线依次判断.【即学即练】下列选项中，∠5和∠6不是同旁内角的是( )A．B．C．D．【答案】B【分析】根据同旁内角的定义:两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角.进行解答【详解】A. ∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误.B.∠5和∠6不是同旁内角,符合题意,故此选项正确C.∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误D.∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误【点睛】本题考查同旁内角的定义,理解掌握同旁内角定义是解题关键考法04 角的判断【典例4】如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是( )A．同位角B．内错角C．对顶角D．同旁内角【答案】B【分析】图中两只手的食指和拇指构成”Z“形，根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成“Z” “形即可解答．【详解】两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是内错角．故选B.【点睛】本题考查了内错角的定义，熟知内错角的定义是解决本题的关键．【即学即练】如图所示，下列说法不正确的是( )A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角【答案】A【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．【详解】A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；故选A.【点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义.【即学即练】如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是()A．∠1与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角C．∠2与∠4是同位角D．∠3与∠4是内错角【答案】D【详解】解：∠3与∠4是同旁内角．故选：D【即学即练】如图，下列说法错误的是()A．∠A与∠EDC是同位角B．∠A与∠ABF是内错角C．∠A与∠ADC是同旁内角D．∠A与∠C是同旁内角【答案】D【详解】解：根据同位角的意义，可知∠A与∠EDC是同位角，故A不正确；根据内错角的意义，可知∠A与∠ABF是内错角，故B不正确；根据同旁内角的特点，可知∠A的同旁内角为∠ADC或∠ABC，故C不正确，D不是同旁内角，故正确．故选D．【点睛】本题考查两直线被第三条直线所截，同位角在截线的同侧，在被截线的同旁，同旁内角是在被截线之间，截线的同侧，内错角在被截线之间，截线的两侧．【即学即练】如图，下列说法错误的是()A．∠1与∠3是对顶角B．∠3与∠4是内错角C．∠2与∠6是同位角D．∠3与∠5是同旁内角【答案】C【分析】根据对顶角定义、内错角定义、同位角定义、同旁内角定义进行分析即可．【详解】A、∠1与∠3是对顶角，故A说法正确；B、∠3与∠4是内错角，故B说法正确；C、∠2与∠6不是同位角，故C说法错误；D、∠3与∠5是同旁内角，故D说法正确；故选：C．【点睛】本题考查对顶角、内错角、同位角和同旁内角的定义，掌握其定义是选择本题答案的关键．、被AC所截，下列说法，正确的有( )【即学即练】如图，直线AB BE①1∠与2∠是同旁内角；②1∠是内错角；∠与ACE③B与4∠是同位角；∠是内错角．④1∠与3A．①③④B．③④C．①②④D．①②③④【答案】D【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义可直接得到答案．【详解】解：①1∠与2∠是同旁内角，说法正确；②1∠是内错角，说法正确；∠与ACE③B与4∠是同位角，说法正确；∠是内错角说法正确，④1∠与3故选：D．【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F” 形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．【即学即练】如图所示，下列结论中正确的是( )A．∠1和∠2是同位角B．∠1和∠4是内错角C．∠2和∠3是同旁内角D．∠3和∠4是对顶角【答案】C【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．【详解】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；B、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；C、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；故选：C．【点睛】考查了同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．【即学即练】如图，下列判断中，正确的是( )A．∠2和∠4是同位角B．∠1和∠B是内错角C．∠3和∠5是同旁内角D．∠5和∠B是同旁内角【答案】D【分析】根据三线八角的相关定义逐个判断，同位角在截线的同侧，在被截线的同一方向上，内错角在截线的两侧，在被截线的内侧，同旁内角在截线的同侧，在被截线的内侧.A、∠2和∠4无关系；B、∠1和∠B无关系；C、∠3和∠5是内错角；D、∠5和∠B是同旁内角，正确，故选D.【点睛】熟记三线八角的相关定义是解题关键.考法05 截线与被截线的判断【典例5】如图，直线AB，CD与EF相交．(1)图中∠1和∠2分别在直线AB，CD的同_______，并且都在直线EF的_____，具有这样位置关系的一对角叫做______；(2)图中∠2和∠8都在直线AB，CD____，并且分别在直线EF的___，具有这样位置关系的一对角叫做_____；(3)图中∠2和∠7都在直线AB，CD____，且都在直线EF的____，具有这样位置关系的一对角叫做______．【答案】(1) 同一方(或上方)，同侧(或右侧)，同位角；(2)之间，两侧，内错角；(3)之间，同一旁(或右侧)，同旁内角．【解析】【分析】(1)根据同位角的定义进行解答即可。
2.2同2.2同位角、内错角、同旁内角(“三线八角”)1
②∠4 与∠5 是由直线 _______所截而成的 角；
是内错角。
E G
D A
B
③∠2 与∠5 是由直线 所截而成的 问 题 导 学 角；
和直线______被第三条直线_______
2 C 3
1 2
E
4
D F H
问题
你还能找到其它的同位角、内错角、同旁 内角吗？它们都有怎样的特征？
学生 展示 纠错
(1)
B
C
(2) (2)∠1 与________是同位角；∠C 的内错角是_______；∠B 的同旁内 角有______________________________。 （三）知识拓展
A 1 3 F 4 2 B
合作探究
同位角、内错角、同旁内角的特征（简称“三线八角” ）如下表
例 3、已知 AB⊥BC 于点 B，BC⊥CD 于点 C， （1）∠1 与∠3、∠2 与∠4 关系是___________________；
七年级下册数学学科导学案
1 _
主 备 课 题 班 级
合 作
2.2 同位角、内错角、同旁内角 （ “三线八角” ）1
审 核
2 _
”F 型”
时 间 组 别
编 号 等 级
4 3
姓 名
”Z 型”
使用说明 让学生学会认识各种图形中的角 学法指导 通过观察，比较，发现等方法区分各种角 教学目标 会找同位角（ “F 型” ） 、内错角（ “Z 型” ） 、同旁内角（ “U 型” ） 教 学 重 难 点 重点 难点
l1 l2
作业布置
8 7
D E B
1 A 2 3
2
4 3 5
12
6 5 3 4
5.1.3同位角内错角同旁内角课件
1 2 (10)
同旁内角
例1
如图，直线DE截直线AB，AC，构成8
个角。指出所有的同位角、内错角和同旁内角。
A
截线
同位角
D B
被截线
2 1 3 4 5 8 6 7
∠2和∠5 ∠3和∠6
∠4和∠7 ∠1和∠8
E
C
内错角
∠4和∠5
∠1和∠6
同旁内角
∠1和∠5
∠4和∠6
例2
如图：直线DE,BC被直线AB所 截.
【答案与解析】 解：(1)∠1 和∠2 是内错角；∠1 和∠3 是同旁内角； ∠1 和∠4 是同位角． 每组中两角的大小均不确定． (2) ∠1 与∠2 相等，∠1 和∠3 互补. 理由如下： ① ∵∠1=∠4（已知） ∠4＝∠2（对顶角相等） ∴∠1＝∠2. ② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义) ∠1＝∠4(已知) ∴∠1＋∠3＝180° 即∠1 和∠3 互补. 综上，如果∠1=∠4，那么∠1 与∠2 相等，∠1 和∠3 互补．
4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
【答案与解析】 解： 同位角：∠B 与∠ACD，∠B 与∠ECD； 内错角：∠A 与∠ACD，∠A 与∠ACE； 同旁内角：∠B 与∠ACB，∠A 与∠B， ∠A 与∠ACB，∠B 与∠BCE．
举一反三： 【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．
图形结构特征 形如字母“F” (或倒置) 形如字母“Z” (或反置) 形如字母“U”
内错角
同旁内角
课堂练习
1 2 （1）
同位角
识别哪些角是同位角、内错角、 同旁内角。
1 1 （4）
同位角
2 1
2 （5）
1 （2）
三线八角
三线八角【知识要点】一、互余、互补的概念及性质1．定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补.如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余.2．性质：（1）同角或等角的补角相等（2）同角或等角的余角相等二、邻补角、对顶角1．两条直线相交成四个角.其中相邻的两个角是邻补角，其中不相邻的两个角是对顶角.2．对顶角相等三、同位角、内错角，同旁内角的概念如图所示，直线AB,CD被直线EF所截，形成八个角1.同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角. 如图中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.2．内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角.如图中的∠4与∠6，∠3与∠5是内错角.3．同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.如∠4与∠5，∠3与∠6是同旁内角.【典型例题】例1（1）一个角的余角比它的补角的13还少20°，求这个角.23 418567A BCDEF（2） 如图1，已知AOB 是一直线，OC 是∠AOB 的平分线，∠DOE 是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？分别写出3对.例2 如图所示，已知直线1,2,34l l l l 和相交于一点O ，请问有多少对对顶角？例3 如图所示，已知AB ∥CD ，分别找出同位角，内错角和同旁内角各5对.ABO CE 12 3 4图（1）DO1l2l3l4lABC DE【初试锋芒】1．如右图所示，∠1和∠2是直线___ ___和直线___ __ 被直线_______所截得的同位角。
∠2和∠3是直线_____ _ 和直线__________被直线____ ___所截得的____ ___角. 2．五条直线相交于一点，总共有对顶角（ ） A ．5对B ．10对C ．12对D ．20对3．如图1，AB 与CD 为直线，图中共有对顶角（ ） A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．如图2所示，三条直线123l l l 、、相交于点O ，则∠1+∠2+∠3等于（ ） A ．90° B ．120°C ．180°D ．360°5．如图3所示∠AOC ，∠BOC ，∠DOE 都是直角，则相等的角有（ ） A ．2对 B ．3对C ．4对D ．5对6．如图4所示，同旁内角共有（ ） A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．如图5所示，同位角共有（ ） A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．如图6所示，图中内错角的对数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4图（4）图（5）ABCFDE图（6）A BCDEF图（1）ABO CDE图（3）1 2 3 4 5 6o 图（2）1l2l3lABC D E F2 1 3。
《同位角》ppt3
被BC所截构成的
角.
3．如图，只用数字表示的内错角有( )
图D．中∠的2与内∠错4角是还同有位哪角些∠？ A与∠5是直线AB，DE被直线AC所截形成
的同旁内角. 下列图形中，∠1和∠2是同位角的有( )
图中还有哪些同旁内角？
D 21
3 B
4
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
∠A与∠6是直线AB，DE被直线AC所截形成 解：(2)如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.
A．1 B．2 C．3 D．4
突破练习
3．如图，只用数字表示的内错角有( C )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图，下列判断正确的是( C ) 内错角有：∠1与∠2，∠3与∠4，
× A．∠是同1指位，两角∠个，2角内，之错∠间角3的和是位同同置旁旁关内系内角.角 × B．∠∠11与与∠∠22是是同内旁错内角角
2．如右图，与∠1构成同位角的个数是( )
的同位角.
点名
A 58
67 E C
新知演练
1.如图，∠DAB和∠ABC的位置关系是( C )
A．同位角 B．同旁内角
D
C．内错角 D．以上结论都不对
B
2.如图，∠1和∠2不能构成同位角的图形是( D )
检测 抢答
A
E
C
新知演练
3.看图填空： 这三类角都是没有公共顶点的.
(1) ∠1与∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？
C．内错角
D．以上结论都不对
同旁内角有：∠1与∠5，∠4与∠6.
②在直线AB、CD之间
图中还有哪些同旁内角？
B．∠2与∠3是内错角
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
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A D
12 B3 5 C
4
E
F
（3）∠3与∠4是直线 B和C 被E直F 线 DE 所截而得的 内错角 .
（4）∠2与∠4是直 线__B_C__ 和 EF 被直 线 DE 所截而得的 __同__位_角.
（5）∠4与∠5是直 线_B_C__和_E__F_被直 线_D_E__所截而得的 __同__旁__内__角_.
图5－1－18
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
探究问题二 复杂图形下的同位角、内错角、同旁内角 例2 如图5－1－19所示，∠1和∠B是_同__位___角，∠A与 ∠2是__内__错__角，∠ACE与__∠__A__是内错角，∠BCD与 ∠B是__同__旁__内__角，∠A与∠B是___同__旁__内___角，∠ACE与 ∠3是___邻__补___角．
阅读教材P166～P167中的三个“观察”，结合图5－1－16完成 下列表格：
5.1.3 同位角、内错角表、一同旁内角
∠1和∠5 ∠2和∠6
位置1(与截线的位置) 处于直线c的同侧
处于直线c的__同____侧
位置2(与被截线的位置)
处于直线a，b的同一方
处于直线a，b的 _同__一__方_____
结论
这样位置的一对角就称 为同位角
这样位置的一对角就称 为___同__位__角___
表二
∠4和∠6 ∠3和∠5
位置1(与截线的位置) 处于直线c的两侧
处于直线__c____的两侧
位置2(与被截线的位置) 处于直线a，b之间 处于直线_a_，__b__之间
结论
这样位置的一对角就称 为内错角
这样位置的一对角就称 为_内__错__角_____
，∠3和∠6．
图5－1－17
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
重难互动探究
探究问题一 识别同位角、内错角、同旁内角
例1 如图5－1－18所示，填空： (1)∠1和∠2是直线____A_B___和直线___C__B___被第三条直 线___A__C___所截而成的__内__错__角__； (2)∠2和∠3是直线___A__B___和直线___A__C___被第三条直 线____C_B___所截而成的__同__位__角__； (3)∠1和∠3是直线____C_B___和直线____A_C___被第三条直 线___A__B___所截而成的__同__旁__内__角__．
5.1.3 同位角、内错角、 同旁内角
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
探究新知
活动1 知识准备 1．如图5－1－14，直线AB，CD相交于点O，图中的对顶 角 有 __∠__A__O_D___与 ___∠__B_O__C___， __∠__A__O_C__与 ____B_O_D___ 两对，邻补角有四对，请你写出其中的一对 _______答__案__不__唯__一__；__如__∠__A_O__D_与__∠__B__O_D_____．
边构成字母“U” 或它的变换
做一做： 1、如图，直线DE，BC被直线AB所截，
∠1与∠2是 内错角角，∠1与∠3是 角同，旁内角
∠1与∠4是 同位角角。
A
4
D 23
E
C
1
B
2、
同位角
内错角
同旁内角
辩一辩 ： 如图：∠1与∠2是同位角吗？
如图：∠1与∠2是内错角吗？
如图：∠1与∠2是同旁内角吗？
有两条直线被第三条直线所截的条件时 才能产生同位角、内错角、同旁内角.
AC
E 1 45 8
三线 八角
2
F
36 7
B
D
试一试:
根据图形按要求填空：
（1）∠1与∠2是直线
和AB 被直线DE
所BC截 而得的 同位. 角
A D
12 B3 5 C
4
E
F
（2） ∠1与∠3是直 线 A和B D被E直线 BC所截而得的 内.错角
图5－1－19
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
[归纳总结] 同位角、内错角、同旁内角的特征：
角的名 称
位置特征
在两条被截直 同位角 线的同一方，在
截线同侧
在两条被截直 内错角 线之间，在截线
两旁(交错)
同旁内 角
在两条被截直 线之间，在截线 同侧
基本图形
图形结构特征
边构成字母
“F”或它的变换
边构成字母“Z” 或它的变换
A D
12 B3 5 C
4
E
F
4、应用举例
例.找出图中∠B所有的同位角和同旁内角及
内错角.
A
E
32 1
B
CD
同同旁位内角角：：∠∠BB与与∠∠13；
∠B与∠A.
练习： 下列各图中的∠1与∠2是不是同位 角？是
1
2
（3）不是
同位角：如直线AB，CD被直线EF所 截，在截线_同__侧____，被截两直线的 _同__一__方__的一对角是同位角．如∠1和∠5
，∠3和∠7 内错角：在截线的__两__侧__，被截两直线
_之__间___的一对角是内错角．如∠4和∠6，
∠3和∠5． 同旁内角：在截线的__同__侧__，被截两直线 __之__间__的一对角是同旁内角．如∠4和∠5
图5－1－14
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
2．如图5－1－15，两条直线被另一条直线所截，构成__8__个小 于平角的角，这些角都有一个共同的特点，每个角都有一条边 在直线__E_F_上，我们称EF是AB，CD的截线，AB，CD是被截 线．
图5－1－15
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
表三
∠3和∠6 ∠4和∠5
位置1(与截线的位置) 处于直线c的同侧 处于直线c的同侧
位置2(与被截线的位置) 处于直线a，b之间 处于直线a，b之间
结论
这样位置的一对角就称为 同旁内角
这样位置的一对角就称为 __同__旁__内__角__
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
新知梳理
知识点 同位角、内错角、同旁内角的概念