高中数学数列的类型

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足

211=

a ，n n a a n n ++=+2

11

，求n a 。

例：在数列{a n }中，a1=1,a n+1=n n n a n

21)1

1(+++

（1）设n

a b n

n =

，求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和。

类型2 n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)

求解。

例:已知数列{}n a 满足321=

a ，n

n a n n

a 11+=+，求n a 。

例:已知31=a ，

n

n a n n a 23131+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

例已知数列{a n }，满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项a n =_____

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其

中

p q

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

例：设数列{a n }满足a 1 =a,a n +1=c a n +1－c,n ∈N *，其中a 、c 为实数，且c ≠0

求数列{a n }的通项公式； 类型4 n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（

1n

n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：

q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：

q b q p b n

n 1

1+=+再待定系数法解决。 例:已知数列{}n a 中，

651=

a ,11)21

(31+++=n n n a a ，求n a 。

例：设数列{a n }的前n 项的和...3,2,1,3

2231341=+⨯-=+n a s n n n 求首项a 1与通项a n 。

例：设数列{a n }的前n 项的和24,1,11+==+n n n a s a s 已知

（1）设n n n a a b 21-=+，证明数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式。

【例】、已知数列}

{n a 满足

1

1=a ，

)

2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式

=n a 312n

-

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)

(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩⎨

⎧-==+q st p

t s

解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，

βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02

=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若2

1,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为

1

2

11--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和

2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当2

1x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决

定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B

的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，

b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

32,121=

=x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1

)

32(-⋅+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是

⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪

⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1

)32)((323--+-=n n

b a a b a

例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 31

3212+=++，求n a 。

例：已知数列{a n }满足1a =1,2a =3，2132n n n a a a ++=-（n N *∈）。

（1）证明：数列{}2n n a a +-是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式； 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 例：已知数列{}n a 前n 项和221

4--

-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；

（2）求通项公式n a . （2）应用类型4（

n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，

)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以12+n

例：已知数列{a n }的前项和S n = -n a -1

12n -⎛⎫

⎪⎝⎭

+2（n 为正整数）

，令n b =2n n a ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式

类型7 b an pa a n n ++=+1)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)

()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转