【试卷】相似三角形练习题及答案
相似三角形测试题及答案(全)
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1、两个相似三角形对应边之比是1:5,那么它们的周长比是( )。 (A)
;(B)1:25;(C)1:5;(D)
。 2、如果两个相似三角形的相似比为1:4,那么它们的面积比为( )。 (A)1:16;(B)1:8;(C)1:4;(D)1:2。 3、如图,锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O,则与△DOB相似的三角 形个数是( )。 (A)1;(B)2;(C)3;D)5。
3、如图,△ABC中,D是AC中点,AF∥DE, =1:3,则 =( )。 (A)1:2;(B)2:3;(C)3:4;(D)1:1。 4、如图,平行四边形ABCD中,O1、O2、O3为对角线BD上三点,且BO1= O1O2=O2O3=O3D,连结AO1并延长交BC于点E,连结EO3并延长交AD于F, 则AD:FD等于( )。 (A)19:2;(B)9:1;(C)8:1;(D)7:1。 三、(本题8分) 如图,已知矩形ABCD中,AB=10cm,BC=12cm,E为DC中点,AF⊥BE于 点F,求AF长。 四、(本题8分) 如图,D、E分别是△ABC边AB和AC上的点,∠1=∠2,求证:AD·AB= AE·AC。 五、(本题8分) 如图,ABCD是平行四边形,点E在边BA延长线上,连CE交AD于点F, ∠ECA=∠D,求证:AC·BE=CE·AD。
4、如图,∠ACD=∠B,AC=6,AD=4,则AB=________。
5、如图ABCD是平行四边形,F是DA延长线上一点,连CF交BD于G,交AB 于E,则图中相似三角形(包括全等三角形在内)共有________对。 6、如图,△ABC中,BC=15cm,DE、FG均平行于BC且将△ABC面积分成 三等分,则FG=________ cm。 7、如图,AF∥BE∥CD,AF=12,BE=19,CD=28,则FE:ED的值等于 ________。 8、如图,△ABC,DE∥GF∥BC,且AD=DG=GB,则 =________。
相似三角形试题及答案
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相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似,下列说法正确的是()
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案:C
2. 若两个三角形的相似比为2:3,则下列说法正确的是()
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案:C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE=2:3,则BC:EF=______。
答案:2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且相似比为1:2,则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。
答案:1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,AB=6cm,DE=9cm,求BC和EF 的长度。
答案:由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应边成比例。
因此,BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。
设BC=2x,则EF=3x。
由于AB:DE=2:3,所以2x/3x=6/9,解得x=3cm。
因此,BC=6cm,
EF=9cm。
2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且三角形ABC的面积为24平方厘米,三角形DEF的面积为36平方厘米,求相似比。
答案:设相似比为k,则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。
因此,k^2=24/36=2/3,解得k=√(2/3)。
所以相似比为√(2/3)。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
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类似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F.在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上.(1)填空:∠ABC=_________°,BC=_________;(2)断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问:(1)经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD 面积的?(2)是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似?若消失,求t的值;若不消失,请解释来由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;(留意:全等算作类似的特例)(2)请你任选一组类似三角形,并给出证实.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证实;(2)图中有无类似三角形?如有,请写出一对;若没有,请解释来由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对类似三角形(不需证实);(3)M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P.Q 两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒.问:①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分?若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似?若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形?若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC 上活动的两点.若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N(不含A.B),使得△CDM与△MAN类似?若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动.若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上肯定点P 的地位,使得以P,A,D为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形类似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动.假如P.Q同时动身,用t (秒)暗示移动的时光,那么当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA地点的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了照样变短了?变长或变短了若干米?23.阳光亮媚的一天,数学兴致小组的同窗们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不轻易到达),他们带了以下测量对象:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们供给的测量对象中选出所需对象,设计一种测量计划.(1)所需的测量对象是:_________;(2)请鄙人图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母暗示)求出x.24.问题布景在某次活动课中,甲.乙.丙三个进修小组于统一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们经由过程测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根竖立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得黉舍旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细疏忽不计)的高度为200cm,影长为156cm.义务请求:(1)请依据甲.乙两组得到的信息盘算出黉舍旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请依据甲.丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友谊提醒:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;须要时可采取等式1562+2082=2602)25.阳光经由过程窗口照耀到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下漫步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的程度距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请解释来由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的偏向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分离用S1,S2,S3暗示,则不难证实S1=S2+S3.(1)如图②,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证实)(2)如图③,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,请你肯定S1,S2,S3之间的关系并加以证实;(3)若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)雷同的关系,所作三角形应知足什么前提证实你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD.CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两类似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.解答:证实:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考核的是平行线的性质及类似三角形的剖断定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:(1)证实:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证实:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释:△ABF∽△EAD.解答:证实:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考核类似三角形的剖断定理,症结是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:(1)证实:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M.N分离是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.(2)解:(1)中的两个结论仍然成立.(3)证实:在图②中准确画出线段PD,由(1)同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN 都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F.在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实.剖析:依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形类似这一剖断定理可证实图中类似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:类似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上.(1)填空:∠ABC=135°°,BC=;(2)断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论.解答:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)类似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问:(1)经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似?若消失,求t的值;若不消失,请解释来由解:(1)设经由x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解方程,得x1=1,x2=2,(3分)经磨练,可知x1=1,x2=2相符题意,所以经由1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分)(2)假设经由t秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,是以有或(5分)即①,或②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经磨练,t=或t=都相符题意,所以动点M,N同时动身后,经由秒或秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似.(8分)9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;(留意:全等算作类似的特例)(2)请你任选一组类似三角形,并给出证实.解答:解:(1)任选两个三角形的所有可能情形如下六种情形:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)个中有两组(①③,②④)是类似的.∴拔取到的二个三角形是类似三角形的概率是P=(4分)证实:(2)选择①.③证实.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)选择②.④证实.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).点评:此题考核概率的求法:假如一个事宜有n种可能,并且这些事宜的可能性雷同,个中事宜A消失m种成果,那么事宜A的概率P(A)=,即类似三角形的证实.还考核了类似三角形的剖断.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证实;(2)图中有无类似三角形?如有,请写出一对;若没有,请解释来由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.解答:解:(1)AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.(2)图中有三角形类似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;(3)作AF⊥BD的延伸线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:本题重要考核了直角三角形的性质,类似三角形的剖断及三角形面积的求法等,规模较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对类似三角形(不需证实);(3)M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论.解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释:△ADM∽△MCP.解答:证实:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P.Q 两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒.问:①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分?若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似?若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形?若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由.解答:解:(1)过D 作DH ∥AB交BC于H 点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴SABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长等分.②第一种情形:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情形:8<t≤10,P.A.D三点不克不及构成三角形;第三种情形:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不类似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE类似.③第一种情形:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E.H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(不合题意舍去)∴t=第二种情形:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情形:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC 上活动的两点.若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,因为∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴经由秒或2秒,△PBQ∽△BCD.15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似.解答:设经由秒后t秒后,△PBQ与△ABC类似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP:AB=BQ:BC,即(10﹣2t):10=4t:20,解得t=2.5(s)(6分)当△QBP∽△ABC时,有BQ:AB=BP:BC,即4t:10=(10﹣2t):20,解得t=1.所以,经由2.5s或1s时,△PBQ与△ABC类似(10分).解法二:设ts后,△PBQ与△ABC类似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情形:(1)当BP与AB对应时,有=,即=(2)当BP与BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经由1s或2.5s时,以P.B.Q三点为极点的三角形与△ABC类似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似.解答:解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形类似,有两种情形:1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,2)有=,∴AB==3;3)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,4)有=,∴AB==3.故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形类似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N(不含A.B),使得△CDM与△MAN类似?若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由.解答:证实:分两种情形评论辩论:①若△CDM∽△MAN,则=.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a.②若△CDM∽△NAM,则.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意.所以,能在边AB上找一点N(不含A.B),使得△CDM与△MAN类似.当AN=a时,N点的地位知足前提.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动.若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似?解答:解:设经由x秒后,两三角形类似,则CQ=(8﹣2x)cm,CP=xcm,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形类似.(3分)(1)当时,,∴x=;(4分)(2)当时,,∴x=.(5分)所以,经由秒或秒后,两三角形类似.(6分)点评:本题分解考核了旅程问题,类似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上肯定点P 的地位,使得以P,A,D为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形类似.解答:解:(1)若点A,P,D分离与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若点A,P,D分离与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.磨练:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.是以,点P的地位有三处,即在线段AB距离点A的1..6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论.解答:证实:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)与(1)同理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN.(12分)21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动.假如P.Q同时动身,用t(秒)暗示移动的时光,那么当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似.解答:解:以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍去).故当t=6或t=时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA地点的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了照样变短了?变长或变短了若干米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光亮媚的一天,数学兴致小组的同窗们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不轻易到达),他们带了以下测量对象:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们供给的测量对象中选出所需对象,设计一种测量计划.(1)所需的测量对象是:;(2)请鄙人图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母暗示)求出x.解答:解:(1)皮尺,标杆;(2)测量示意图如图所示;(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分离为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.(7分)24.问题布景在某次活动课中,甲.乙.丙三个进修小组于统一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们经由过程测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根竖立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得黉舍旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细疏忽不计)的高度为200cm,影长为156cm.义务请求:(1)请依据甲.乙两组得到的信息盘算出黉舍旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请依据甲.丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友谊提醒:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;须要时可采取等式1562+2082=2602)解答:解:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴,即,(2分)∴DE=1200(cm).所以,黉舍旗杆的高度是12m.(3分)(2)解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)在Rt△NGH中,依据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.(5分)设⊙O的半径为rcm,衔接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(6分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴(7分),又ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)设⊙O的半径为rcm,衔接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(5分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,(6分)∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8.(7分)在Rt△OMN中,依据勾股定理得:r2+(r)2=(r+8)2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3(不合题意,舍去),∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)25.(2007•白银)阳光经由过程窗口照耀到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题根本上难度不大,应用类似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下漫步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的程度距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请解释来由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的偏向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:(1)由已知:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.(2)∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.(3)依据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长(如图).由(1)可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时刻,他的影子也从C移到C',是以速度与旅程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分离用S1,S2,S3暗示,则不难证实S1=S2+S3.(1)如图②,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证实)(2)如图③,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,请你肯定S1,S2,S3之间的关系并加以证实;(3)若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)雷同的关系,所作三角形应知足什么前提证实你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC.CA.AB的长分离为a.b.c,则c2=a2+b2(1)S1=S2+S3;(2)S1=S2+S3.证实如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;(3)当所作的三个三角形类似时,S1=S2+S3.证实如下:∵所作三个三角形类似∴∴=1∴S1=S2+S3;(4)分离以直角三角形ABC三边为一边向外作类似图形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,则S1=S2+S3.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=(AB+BD):AB,∴AE:9=(15+5):15.∴AE=12.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD.CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:(1)Rt△ABC中,依据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;(2)在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两类似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.解:(1)设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,因为3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分离为240cm,800cm。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
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初中数学经典相似三⾓形练习题(附参考答案)经典练习题相似三⾓形(附答案)⼀.解答题(共30 ⼩题)1..如图,在△A中B,C DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC .2..如图,梯形A BCD 中,AB∥CD,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G.(1 )求证:△CDF∽△BGF;(2 )当点 F 是BC 的中点时,过 F 作EF∥C D交AD 于点E,若AB=6cm ,EF=4cm ,求CD 的长.3..如图,点 D ,E 在BC 上,且FD∥ AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE .4..如图,已知E是矩形ABCD 的边CD 上⼀点,BF⊥A于E F,试说明:△ABF ∽△EAD.5..已知:如图①所⽰,在△和△ABA C DE中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC= ∠DAE,且点B,A ,D 在⼀条直线上,连接BE,CD ,M ,N 分别为BE,CD 的中点.(1 )求证:①BE=CD ;②△A是MN等腰三⾓形;(2 )在图①的基础上,将△绕点AD A E 按顺时针⽅向旋转180 °,其他条件不变,得到图②所⽰的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成⽴;(3 )在(2 )的条件下,请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P.求证:△PBD∽△AMN.6..如图,E 是? ABCD 的边BA 延长线上⼀点,连接EC,交AD 于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三⾓形,并任选⼀对相似三⾓形给予证明.和A△BC DE的F顶点都在边长为 1 的⼩正⽅形的顶点上.7..如图,在 4 ×3的正⽅形⽅格中,△(1 )填空:∠A BC= °,BC= ;(2 )判断△AB与C△DEC是否相似,并证明你的结论.8..如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ,BC=6cm .某⼀时刻,动点M 从A 点出发沿AB ⽅向以1cm/s的速度向 B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA ⽅向以2cm/s 的速度向 A 点匀速运动,问:(1 )经过多少时间,△的A M⾯N积等于矩形ABCD ⾯积的?(2 )是否存在时刻t ,使以 A ,M ,N 为顶点的三⾓形与△相A似CD?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.9..如图,在梯形ABCD 中,若AB∥DC,AD=BC ,对⾓线BD 、AC 把梯形分成了四个⼩三⾓形.(1 )列出从这四个⼩三⾓形中任选两个三⾓形的所有可能情况,并求出选取到的两个三⾓形是相似三⾓形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2 )请你任选⼀组相似三⾓形,并给出证明.10 .如图△AB中C,D 为AC 上⼀点,CD=2DA ,∠BAC=45 °,∠BDC=60 °,CE于⊥EB,D连接AE .(1 )写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2 )图中有⽆相似三⾓形?若有,请写出⼀对;若没有,请说明理由;(3 )求△BE与C△BEA的⾯积之⽐.11 .如图,在△A中B,C AB=AC=a ,M 为底边BC 上的任意⼀点,过点M 分别作AB 、AC 的平⾏线交AC于P,交AB 于Q .(1 )求四边形AQMP 的周长;(2 )写出图中的两对相似三⾓形(不需证明);(3 )M 位于BC 的什么位置时,四边形AQMP 为菱形并证明你的结论.12 .已知:P 是正⽅形ABCD 的边BC 上的点,且BP=3PC ,M 是CD 的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13 .如图,已知梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=2 ,AB=BC=8 ,CD=10 .(1 )求梯形ABCD 的⾯积S;(2 )动点P 从点 B 出发,以1cm/s 的速度,沿B? A ? D ? C ⽅向,向点 C 运动;动点Q 从点 C 出发,以1cm/s 的速度,沿C? D? A ⽅向,向点 A 运动,过点Q 作QE⊥BC 于点E.若P、Q 两点同时出发,当其中⼀点到达⽬的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒.问:①当点P 在B? A 上运动时,是否存在这样的t ,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D 为顶点的三⾓形与△相C似Q?E 若存在,请求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t ,使得以P、D、Q 为顶点的三⾓形恰好是以DQ 为⼀腰的等腰三⾓形?若存在,请求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.14 .已知矩形ABCD ,长BC=12cm ,宽AB=8cm ,P、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点.若P ⾃点 A 出发,以1cm/s 的速度沿AB ⽅向运动,同时,Q ⾃点 B 出发以2cm/s 的速度沿BC ⽅向运动,问经过⼏秒,以P、B、Q 为顶点的三⾓形与△相B似DC?15 .如图,在△A中B,C AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点 A 开始沿AB 边向 B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点 C 以4cm/s 的速度移动,如果P、Q 分别从 A 、B 同时出发,问经过⼏秒钟,△PBQ与△ABC相似.16 .如图,∠ACB= ∠ADC=90 A°C,= ,AD=2 .问当AB 的长为多少时,这两个直⾓三⾓形相似.17 .已知,如图,在边长为 a 的正⽅形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找⼀点N(不含 A 、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18 .如图在△A中BC,∠C=90 °B,C=8cm ,AC=6cm ,点Q 从B 出发,沿BC ⽅向以2cm/s 的速度移动,点P 从C 出发,沿CA ⽅向以1cm/s 的速度移动.若Q 、P 分别同时从B、C 出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q 为顶点的三⾓形与△相C似B?A19 .如图所⽰,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90 °A B,=7 ,AD=2 ,BC=3 ,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A ,D 为顶点的三⾓形与以P,B,C 为顶点的三⾓形相似.20 .△ABC和△DE是F两个等腰直⾓三⾓形,∠A= ∠D=90 °的,顶△点E D E位F于边BC 的中点上.(1 )如图 1 ,设DE 与AB 交于点M ,EF与AC 交于点N ,求证:△BEM∽△CNE;(2 )如图 2 ,将△D E绕F点E 旋转,使得DE 与BA 的延长线交于点M ,EF 与AC 交于点N ,于是,除(1)中的⼀对相似三⾓形外,能否再找出⼀对相似三⾓形并证明你的结论.21 .如图,在矩形ABCD 中,AB=15cm ,BC=10cm ,点P 沿AB 边从点 A 开始向 B 以2cm/s 的速度移动;点Q 沿DA 边从点 D 开始向点 A 以1cm/s 的速度移动.如果P、Q 同时出发,⽤t(秒)表⽰移动的时间,C那么当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三⾓形与△相A似B.22 .如图,路灯(P 点)距地⾯8 ⽶,⾝⾼ 1.6 ⽶的⼩明从距路灯的底部(O 点)20 ⽶的 A 点,沿OA 所在的直线⾏⾛14 ⽶到B 点时,⾝影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少⽶?23 .阳光明媚的⼀天,数学兴趣⼩组的同学们去测量⼀棵树的⾼度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量⼯具:⽪尺,标杆,⼀副三⾓尺,⼩平⾯镜.请你在他们提供的测量⼯具中选出所需⼯具,设计⼀种测量⽅案.(1 )所需的测量⼯具是:;(2 )请在下图中画出测量⽰意图;(3 )设树⾼AB 的长度为x,请⽤所测数据(⽤⼩写字母表⽰)求出x.24 .问题背景在某次活动课中,甲、⼄、丙三个学习⼩组于同⼀时刻在阳光下对校园中⼀些物体进⾏了测量.下⾯是他们通过测量得到的⼀些信息:甲组:如图 1 ,测得⼀根直⽴于平地,长为80cm 的⽵竿的影长为60cm .⼄组:如图 2 ,测得学校旗杆的影长为900cm .丙组:如图 3 ,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的⾼度为200cm ,影长为156cm .任务要求:(1 )请根据甲、⼄两组得到的信息计算出学校旗杆的⾼度;(2 )如图 3 ,设太阳光线NH 与⊙O相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提⽰:如图 3 ,景灯的影长等于线段NG 的影长;需要时可采⽤等式156 2+208 2 =260 2)25 .阳光通过窗⼝照射到室内,在地⾯上留下 2.7m 宽的亮区(如图所⽰),已知亮区到窗⼝下的墙脚距离EC=8.7m ,窗⼝⾼AB=1.8m ,求窗⼝底边离地⾯的⾼BC.26 .如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的⾝⾼AB=h ,灯柱的⾼OP=O′P′=两l 灯,柱之间的距离OO′=m.(1 )若李华距灯柱OP 的⽔平距离OA=a ,求他影⼦AC 的长;(2 )若李华在两路灯之间⾏⾛,则他前后的两个影⼦的长度之和(DA+AC )是否是定值请说明理由;(3 )若李华在点 A 朝着影⼦(如图箭头)的⽅向以v 1匀速⾏⾛,试求他影⼦的顶端在地⾯上移动的速度v 2.27 .如图①,分别以直⾓三⾓形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其⾯积分别⽤S1,S2 ,S3 表⽰,则不难证明S1 =S 2 +S 3 .(1 )如图②,分别以直⾓三⾓形ABC 三边为边向外作三个正⽅形,其⾯积分别⽤S1 ,S2,S3 表⽰,那么S1,S2 ,S3 之间有什么关系;(不必证明)(2 )如图③,分别以直⾓三⾓形ABC 三边为边向外作三个正三⾓形,其⾯积分别⽤S1、S2、S3 表⽰,请你确定S1 ,S2,S3 之间的关系并加以证明;(3 )若分别以直⾓三⾓形ABC 三边为边向外作三个⼀般三⾓形,其⾯积分别⽤S1 ,S2 ,S3 表⽰,为使S1,S2,S3 之间仍具有与(2)相同的关系,所作三⾓形应满⾜什么条件证明你的结论;(4 )类⽐(1 ),(2 ),(3 )的结论,请你总结出⼀个更具⼀般意义的结论.28 .已知:如图,△ABC∽△AB A=D1E5,,AC=9 ,BD=5 .求AE .29 .已知:如图Rt △ABC∽Rt △BDC,AB若=3 ,AC=4 .(1 )求BD 、CD 的长;(2 )过 B 作BE⊥ DC 于E,求BE 的长.﹣2y=40 ,求x,y,z 的值;30 .(1 )已知,且3x+4z(2 )已知:两相似三⾓形对应⾼的⽐为 3 :10 ,且这两个三⾓形的周长差为560cm ,求它们的周长.参考答案与试题解析⼀.解答题(共 30 ⼩题)1..如图,在△ A 中B ,C DE ∥ BC , EF ∥ AB ,求证:△ ADE ∽△ EFC .ADE ∽2. .如图,梯形 A BCD 中, AB ∥ CD ,点F 在 BC 上,连 DF 与 AB 的延长线交于点 G .考点:相似三⾓形的判定;平⾏线的性质。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
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相似三角形之阳早格格创做一.解问题(共30小题)1.如图,正在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,供证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,面F正在BC上,连DF与AB的延少线接于面G.(1)供证:△CDF∽△BGF;(2)当面F是BC的中面时,过F做EF∥CD接AD于面E,若AB=6cm,EF=4cm,供CD的少.3.如图,面D,E正在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.供证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一面,BF⊥AE 于F,试道明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,正在△ABC战△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且面B,A,D正在一条曲线上,对接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中面.(1)供证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)正在图①的前提上,将△ADE绕面A按逆时针目标转动180°,其余条件稳定,得到图②所示的图形.请间接写出(1)中的二个论断是可仍旧创造;(3)正在(2)的条件下,请您正在图②中延少ED接线段BC于面P.供证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延少线上一面,对接EC,接AD于面F.正在不增加辅帮线的情况下,请您写出图中所有的相似三角形,并任选一对于相似三角形赋予道明.7.如图,正在4×3的正圆形圆格中,△ABC战△DEF 的顶面皆正在边少为1的小正圆形的顶面上.(1)挖空:∠ABC=_________°,BC=_________;(2)推断△ABC与△DEC是可相似,并道明您的论断.8.如图,已知矩形ABCD的边少AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动面M从A面出收沿AB目标以1cm/s的速度背B面匀速疏通;共时,动面N从D面出收沿DA目标以2cm/s的速度背A面匀速疏通,问:(1)通过几时间,△AMN的里积等于矩形ABCD里积的?(2)是可存留时刻t,使以A,M,N为顶面的三角形与△ACD相似?若存留,供t的值;若不存留,请道明缘由.9.如图,正在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对于角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从那四个小三角形中任选二个三角形的所有大概情况,并供出采用到的二个三角形是相似三角形的概率是几;(注意:齐等瞅成相似的惯例)(2)请您任选一组相似三角形,并给出道明.10.如图△ABC中,D为AC上一面,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,对接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以道明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对于;若不,请道明缘由;(3)供△BEC与△BEA的里积之比.11.如图,正在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC 上的任性一面,过面M分别做AB、AC的仄止线接AC 于P,接AB于Q.(1)供四边形AQMP的周少;(2)写出图中的二对于相似三角形(不需道明);(3)M位于BC的什么位子时,四边形AQMP为菱形并道明您的论断.12.已知:P是正圆形ABCD的边BC上的面,且BP=3PC,M是CD的中面,试道明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)供梯形ABCD的里积S;(2)动面P从面B出收,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C 目标,背面C疏通;动面Q从面C出收,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A目标,背面A疏通,过面Q做QE⊥BC 于面E.若P、Q二面共时出收,当其中一面到达手段天时所有疏通随之中断,设疏通时间为t秒.问:①当面P正在B⇒A上疏通时,是可存留那样的t,使得曲线PQ将梯形ABCD的周少仄分?若存留,哀供出t 的值;若不存留,请道明缘由;②正在疏通历程中,是可存留那样的t,使得以P、A、D为顶面的三角形与△CQE相似?若存留,哀供出所有切合条件的t的值;若不存留,请道明缘由;③正在疏通历程中,是可存留那样的t,使得以P、D、Q为顶面的三角形恰佳是以DQ为一腰的等腰三角形?若存留,哀供出所有切合条件的t的值;若不存留,请道明缘由.14.已知矩形ABCD,少BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上疏通的二面.若P自面A出收,以1cm/s的速度沿AB目标疏通,共时,Q自面B出收以2cm/s的速度沿BC目标疏通,问通过几秒,以P、B、Q为顶面的三角形与△BDC相似?15.如图,正在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,面P 从面A启初沿AB边背B面以2cm/s的速度移动,面Q 从面B启初沿BC边背面C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B共时出收,问通过几秒钟,△PBQ 与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的少为几时,那二个曲角三角形相似.17.已知,如图,正在边少为a的正圆形ABCD中,M 是AD的中面,是可正在边AB上找一面N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出道明,若不克不迭,请道明缘由.18.如图正在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,面Q从B出收,沿BC目标以2cm/s的速度移动,面P 从C出收,沿CA目标以1cm/s的速度移动.若Q、P 分别共时从B、C出收,试商量通过几秒后,以面C、P、Q为顶面的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试正在腰AB上决定面P 的位子,使得以P,A,D为顶面的三角形与以P,B,C为顶面的三角形相似.20.△ABC战△DEF是二个等腰曲角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶面E位于边BC的中面上.(1)如图1,设DE与AB接于面M,EF与AC接于面N,供证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕面E转动,使得DE与BA的延少线接于面M,EF与AC接于面N,于是,除(1)中的一对于相似三角形中,是可再找出一对于相似三角形并道明您的论断.21.如图,正在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,面P沿AB边从面A启初背B以2cm/s的速度移动;面Q沿DA边从面D启初背面A以1cm/s的速度移动.如果P、Q共时出收,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以面Q、A、P为顶面的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P面)距大天8米,身下1.6米的小明从距路灯的底部(O面)20米的A面,沿OA天圆的曲线止走14米到B面时,身影的少度是变少了仍旧变短了?变少或者变短了几米?23.阳光彩媚的一天,数教兴趣小组的共教们来丈量一棵树的下度(那棵树底部不妨到达,顶部阻挡易到达),他们戴了以下丈量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小仄里镜.请您正在他们提供的丈量工具中选出所需工具,安排一种丈量规划.(1)所需的丈量工具是:_________;(2)请正在下图中绘出丈量示企图;(3)设树下AB的少度为x,请用所测数据(用小写字母表示)供出x.24.问题背景正在某次活动课中,甲、乙、丙三个教习小组于共一时刻正在阳光下对于校园中一些物体举止了丈量.底下是他们通过丈量得到的一些疑息:甲组:如图1,测得一根曲坐于仄天,少为80cm的竹竿的影少为60cm.乙组:如图2,测得书院旗杆的影少为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其细细忽略不计)的下度为200cm,影少为156cm.任务央供:(1)请根据甲、乙二组得到的疑息估计出书院旗杆的下度;(2)如图3,设太阳光芒NH与⊙O相切于面M.请根据甲、丙二组得到的疑息,供景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影少等于线段NG的影少;需要时可采与等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗心映照到室内,正在大天上留住2.7m 宽的明区(如图所示),已知明区到窗心下的墙足距离EC=8.7m,窗心下AB=1.8m,供窗心底边离大天的下BC.26.如图,李华早上正在路灯下集步.已知李华的身下AB=h,灯柱的下OP=O′P′=l,二灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的火仄距离OA=a,供他影子AC 的少;(2)若李华正在二路灯之间止走,则他前后的二个影子的少度之战(DA+AC)是可是定值请道明缘由;(3)若李华正在面A往着影子(如图箭头)的目标以v1匀速止走,试供他影子的顶端正在大天上移动的速度v2.27.如图①,分别以曲角三角形ABC三边为曲径背中做三个半圆,其里积分别用S1,S2,S3表示,则不易道明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个正圆形,其里积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么闭系;(不必道明)(2)如图③,分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个正三角形,其里积分别用S1、S2、S3表示,请您决定S1,S2,S3之间的闭系并加以道明;(3)若分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个普遍三角形,其里积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具备与(2)相共的闭系,所做三角形应谦足什么条件道明您的论断;(4)类比(1),(2),(3)的论断,请您归纳出一个更具普遍意思的论断.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.供AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)供BD、CD的少;(2)过B做BE⊥DC于E,供BE的少.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,供x,y,z的值;(2)已知:二相似三角形对于应下的比为3:10,且那二个三角形的周少好为560cm,供它们的周少.一.解问题(共30小题)1.如图,正在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,供证:△ADE ∽△EFC.解问:道明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.面评:原题考查的是仄止线的本量及相似三角形的判决定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,面F正在BC上,连DF与AB的延少线接于面G.(1)供证:△CDF∽△BGF;(2)当面F是BC的中面时,过F做EF∥CD接AD于面E,若AB=6cm,EF=4cm,供CD的少.解问:(1)道明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中面,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC ∥EF,F为BC中面,∴E为AD中面,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)3.如图,面D,E正在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.供证:△ABC∽△FDE.解问:道明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一面,BF⊥AE 于F,试道明:△ABF∽△EAD.解问:道明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)面评:考查相似三角形的判决定理,闭键是找准对于应的角.5.已知:如图①所示,正在△ABC战△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且面B,A,D正在一条曲线上,对接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中面.(1)供证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)正在图①的前提上,将△ADE绕面A按逆时针目标转动180°,其余条件稳定,得到图②所示的图形.请间接写出(1)中的二个论断是可仍旧创造;(3)正在(2)的条件下,请您正在图②中延少ED接线段BC于面P.供证:△PBD∽△AMN.解问:(1)道明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中面,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.(2)解:(1)中的二个论断仍旧创造.(3)道明:正在图②中精确绘出线段PD,由(1)共理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE战△ABC皆是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD战△AMN皆为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延少线上一面,对接EC,接AD于面F.正在不增加辅帮线的情况下,请您写出图中所有的相似三角形,并任选一对于相似三角形赋予道明.分解:根据仄止线的本量战二角对于应相等的二个三角形相似那一判决定理可道明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解问:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.正在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)7.如图,正在4×3的正圆形圆格中,△ABC战△DEF 的顶面皆正在边少为1的小正圆形的顶面上.(1)挖空:∠ABC=135°°,BC=;(2)推断△ABC与△DEC是可相似,并道明您的论断.解问:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,已知矩形ABCD的边少AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动面M从A面出收沿AB目标以1cm/s的速度背B面匀速疏通;共时,动面N从D面出收沿DA目标以2cm/s的速度背A面匀速疏通,问:(1)通过几时间,△AMN的里积等于矩形ABCD里积的?(2)是可存留时刻t,使以A,M,N为顶面的三角形与△ACD相似?若存留,供t的值;若不存留,请道明缘由解:(1)设通过x秒后,△AMN的里积等于矩形ABCD里积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解圆程,得x1=1,x2=2,(3分)经考验,可知x1=1,x2=2切合题意,所以通过1秒或者2秒后,△AMN的里积等于矩形ABCD里积的.(4分)(2)假设通过t秒时,以A,M,N为顶面的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,果此有或者(5分)即①,或者②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经考验,t=或者t=皆切合题意,所以动面M,N共时出收后,通过秒或者秒时,以A,M,N为顶面的三角形与△ACD相似.(8分)9.如图,正在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对于角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从那四个小三角形中任选二个三角形的所有大概情况,并供出采用到的二个三角形是相似三角形的概率是几;(注意:齐等瞅成相似的惯例)(2)请您任选一组相似三角形,并给出道明.解问:解:(1)任选二个三角形的所有大概情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)其中有二组(①③,②④)是相似的.∴采用到的二个三角形是相似三角形的概率是P=(4分)道明:(2)采用①、③道明.正在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)采用②、④道明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴正在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).面评:此题考查概率的供法:如果一个事变有n种大概,而且那些事变的大概性相共,其中事变A出现m种截止,那么事变A的概率P(A)=,即相似三角形的道明.还考查了相似三角形的判决.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一面,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,对接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以道明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对于;若不,请道明缘由;(3)供△BEC与△BEA的里积之比.解问:解:(1)AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴正在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.(2)图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;(3)做AF⊥BD的延少线于F,设AD=DE=x,正在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.正在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.面评:原题主要考查了曲角三角形的本量,相似三角形的判决及三角形里积的供法等,范畴较广.11.如图,正在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任性一面,过面M分别做AB、AC的仄止线接AC 于P,接AB于Q.(1)供四边形AQMP的周少;(2)写出图中的二对于相似三角形(不需道明);(3)M位于BC的什么位子时,四边形AQMP为菱形并道明您的论断.解问:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是仄止四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周少=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当面M中BC的中面时,四边形APMQ是菱形,∵面M是BC的中面,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是仄止四边形,∴仄止四边形APMQ是菱形.12.已知:P是正圆形ABCD的边BC上的面,且BP=3PC,M是CD的中面,试道明:△ADM∽△MCP.解问:道明:∵正圆形ABCD,M为CD中面,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)供梯形ABCD的里积S;(2)动面P从面B出收,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C 目标,背面C疏通;动面Q从面C出收,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A目标,背面A疏通,过面Q做QE⊥BC 于面E.若P、Q二面共时出收,当其中一面到达手段天时所有疏通随之中断,设疏通时间为t秒.问:①当面P正在B⇒A上疏通时,是可存留那样的t,使得曲线PQ将梯形ABCD的周少仄分?若存留,哀供出t 的值;若不存留,请道明缘由;②正在疏通历程中,是可存留那样的t,使得以P、A、D为顶面的三角形与△CQE相似?若存留,哀供出所有切合条件的t的值;若不存留,请道明缘由;③正在疏通历程中,是可存留那样的t,使得以P、D、Q为顶面的三角形恰佳是以DQ为一腰的等腰三角形?若存留,哀供出所有切合条件的t的值;若不存留,请道明缘由.解问:解:(1)过D做DH∥AB接BC于H面,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是仄止四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是曲角梯形.∴SABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD 周少仄分.②第一种情况:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三面不克不迭组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或者t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q面做QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(分歧题意舍来)∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒创造.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒创造.综上所述,t=或者8≤t <10或者10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ创造.14.已知矩形ABCD,少BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上疏通的二面.若P自面A出收,以1cm/s的速度沿AB目标疏通,共时,Q自面B出收以2cm/s的速度沿BC目标疏通,问通过几秒,以P、B、Q为顶面的三角形与△BDC相似?解问:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴通过秒或者2秒,△PBQ∽△BCD.15.如图,正在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,面P 从面A启初沿AB边背B面以2cm/s的速度移动,面Q 从面B启初沿BC边背面C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B共时出收,问通过几秒钟,△PBQ 与△ABC相似.解问:设通过秒后t秒后,△PBQ与△ABC相似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP:AB=BQ:BC,即(10﹣2t):10=4t:20,解得t=2.5(s)(6分)当△QBP∽△ABC时,有BQ:AB=BP:BC,即4t:10=(10﹣2t):20,解得t=1.所以,通过2.5s或者1s时,△PBQ与△ABC相似(10分).解法二:设ts后,△PBQ与△ABC相似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分二种情况:(1)当BP与AB对于当令,有=,即=(2)当BP与BC对于当令,有=,即=,解得t=1s所以通过1s或者2.5s时,以P、B、Q三面为顶面的三角形与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的少为几时,那二个曲角三角形相似.解问:解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使那二个曲角三角形相似,有二种情况:1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,2)有=,∴AB==3;3)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,4)有=,∴AB==3.故当AB的少为3或者3时,那二个曲角三角形相似.17.已知,如图,正在边少为a的正圆形ABCD中,M 是AD的中面,是可正在边AB上找一面N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出道明,若不克不迭,请道明缘由.解问:道明:分二种情况计划:①若△CDM∽△MAN,则=.∵边少为a,M是AD的中面,∴AN=a.②若△CDM∽△NAM,则.∵边少为a,M是AD的中面,∴AN=a,即N面与B沉合,分歧题意.所以,能正在边AB上找一面N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似.当AN=a时,N面的位子谦足条件.18.如图正在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,面Q从B出收,沿BC目标以2cm/s的速度移动,面P 从C出收,沿CA目标以1cm/s的速度移动.若Q、P 分别共时从B、C出收,试商量通过几秒后,以面C、P、Q为顶面的三角形与△CBA相似?解问:解:设通过x秒后,二三角形相似,则CQ=(8﹣2x)cm,CP=xcm,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或者时,二三角形相似.(3分)(1)当时,,∴x=;(4分)(2)当时,,∴x=.(5分)所以,通过秒或者秒后,二三角形相似.(6分)面评:原题概括考查了路途问题,相似三角形的本量及一元一次圆程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试正在腰AB上决定面P的位子,使得以P,A,D为顶面的三角形与以P,B,C为顶面的三角形相似.解问:解:(1)若面A,P,D分别与面B,C,P对于应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或者AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若面A,P,D分别与面B,P,C对于应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.考验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.果此,面P的位子有三处,即正在线段AB距离面A的1、、6处.20.△ABC战△DEF是二个等腰曲角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶面E位于边BC的中面上.(1)如图1,设DE与AB接于面M,EF与AC接于面N,供证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕面E转动,使得DE与BA的延少线接于面M,EF与AC接于面N,于是,除(1)中的一对于相似三角形中,是可再找出一对于相似三角形并道明您的论断.解问:道明:(1)∵△ABC是等腰曲角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰曲角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)与(1)共理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN.(12分)21.如图,正在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,面P沿AB边从面A启初背B以2cm/s的速度移动;面Q沿DA边从面D启初背面A以1cm/s的速度移动.如果P、Q共时出收,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以面Q、A、P为顶面的三角形与△ABC相似.解问:解:以面Q、A、P为顶面的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或者△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍来).故当t=6或者t=时,以面Q、A、P为顶面的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P面)距大天8米,身下1.6米的小明从距路灯的底部(O面)20米的A面,沿OA天圆的曲线止走14米到B面时,身影的少度是变少了仍旧变短了?变少或者变短了几米?解问:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;共理,由△NBD∽△NOP,可供得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光彩媚的一天,数教兴趣小组的共教们来丈量一棵树的下度(那棵树底部不妨到达,顶部阻挡易到达),他们戴了以下丈量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小仄里镜.请您正在他们提供的丈量工具中选出所需工具,安排一种丈量规划.(1)所需的丈量工具是:;(2)请正在下图中绘出丈量示企图;(3)设树下AB的少度为x,请用所测数据(用小写字母表示)供出x.解问:解:(1)皮尺,标杆;(2)丈量示企图如图所示;(3)如图,测得标杆DE=a,树战标杆的影少分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.(7分)24.问题背景正在某次活动课中,甲、乙、丙三个教习小组于共一时刻正在阳光下对于校园中一些物体举止了丈量.底下是他们通过丈量得到的一些疑息:甲组:如图1,测得一根曲坐于仄天,少为80cm的竹竿的影少为60cm.乙组:如图2,测得书院旗杆的影少为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其细细忽略不计)的下度为200cm,影少为156cm.任务央供:(1)请根据甲、乙二组得到的疑息估计出书院旗杆的下度;(2)如图3,设太阳光芒NH与⊙O相切于面M.请根据甲、丙二组得到的疑息,供景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影少等于线段NG的影少;需要时可采与等式1562+2082=2602)解问:解:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴,即,(2分)∴DE=1200(cm).所以,书院旗杆的下度是12m.(3分)(2)解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)正在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.(5分)设⊙O的半径为rcm,对接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(6分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴(7分),又ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)设⊙O的半径为rcm,对接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(5分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,(6分)∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8.(7分)正在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+(r)2=(r+8)2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3(分歧题意,舍来),∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)25.(2007•黑银)阳光通过窗心映照到室内,正在大天上留住2.7m宽的明区(如图所示),已知明区到窗心下的墙足距离EC=8.7m,窗心下AB=1.8m,供窗心底边离大天的下BC.解问:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗心底边离大天的下为4m.面评:此题基原上易度不大,利用相似比即可供出窗心底边离大天的下.26.如图,李华早上正在路灯下集步.已知李华的身下AB=h,灯柱的下OP=O′P′=l,二灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的火仄距离OA=a,供他影子AC 的少;(2)若李华正在二路灯之间止走,则他前后的二个影子的少度之战(DA+AC)是可是定值请道明缘由;(3)若李华正在面A往着影子(如图箭头)的目标以v1匀速止走,试供他影子的顶端正在大天上移动的速度v2.解问:解:(1)由已知:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.(2)∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.共理可得:,∴=是定值.(3)根据题意设李华由A到A',身下为A'B',A'C'代表其影少(如图).由(1)可知,即,∴,共理可得:,∴,由等比本量得:,当李华从A走到A'的时间,他的影子也从C移到C',果此速度与路途成正比∴,所以人影顶端正在大天上移动的速度为.27.如图①,分别以曲角三角形ABC三边为曲径背中做三个半圆,其里积分别用S1,S2,S3表示,则不易道明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个正圆形,其里积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么闭系;(不必道明)(2)如图③,分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个正三角形,其里积分别用S1、S2、S3表示,请您决定S1,S2,S3之间的闭系并加以道明;(3)若分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个普遍三角形,其里积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具备与(2)相共的闭系,所做三角形应谦足什么条件道明您的论断;(4)类比(1),(2),(3)的论断,请您归纳出一个更具普遍意思的论断.解:设曲角三角形ABC的三边BC、CA、AB的少分别为a、b、c,则c2=a2+b2(1)S1=S2+S3;(2)S1=S2+S3.道明如下:隐然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;(3)当所做的三个三角形相似时,S1=S2+S3.道明如下:∵所做三个三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3;(4)分别以曲角三角形ABC三边为一边背中做相似图形,其里积分别用S1、S2、S3表示,则S1=S2+S3.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.供AE.解问:解:∵△ABC∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=(AB+BD):AB,∴AE:9=(15+5):15.∴AE=12.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)供BD、CD的少;(2)过B做BE⊥DC于E,供BE的少.解问:解:(1)Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;(2)正在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,供x,y,z的值;(2)已知:二相似三角形对于应下的比为3:10,且那二个三角形的周少好为560cm,供它们的周少.解:(1)设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周少为Ccm,则另一个三角形周少为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周少分别为240cm,800cm。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
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经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠A BC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.BC==22、,可得BC=∵BC=EC=;∴,∴8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.面积的面积的则有:(×3×6,即面积的因此有①,或t=(t=t=都符合题意,同时出发后,经过秒或9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.P=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.CE=.AE=∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=∴.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.∴QM=PM=AB=12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.(AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=∴t=t=时,△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=,,,>∴t=t=14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?时,有:;时,有:∴经过15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.=,即=,解得对应时,有=,即=16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.解:∵AC=∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:时,有=,∴AB==3时,有=,∴AB=.317.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.a①若△CDM∽△MAN,则=∴AN=②若△CDM∽△NAM,则AN=18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?或)当,∴x=;)当,∴x=.所以,经过秒或19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.∴=,∴=,∴=,∴=,∴=,∴AP=.AP=时,由BP=,∴=,、20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.∴∴中有21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.所以所以;=,即=,;=,即=,t=时,以点22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?∴,23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.∴∴,∴.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)∴,即与①类似得:∴∴,与①类似得:,∴,∴MN=r(25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.AE∥BD,所以△ECA∽△DCB,则有∴∴26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.∵∴∴解得:.∴,,即.∴同理可得:,∴=)可知,即,同理可得:∴,由等比性质得:∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
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相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF和AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC和△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形和△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC和△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A 方向,向点A 运动,过点Q 作QE⊥BC 于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形和△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形和△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ和△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM和△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s 的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形和△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE和AB交于点M,EF和AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE和BA的延长线交于点M,EF和AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm .丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH和⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有和(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF和AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF ≌△BGF ,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.(2)解:(1)中的两个结论仍然成立.(3)证明:在图②中正确画出线段PD,由(1)同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.分析:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= 135°°,BC= ;解答:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形和△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由解:(1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解方程,得x1=1,x2=2,(3分)经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分)(2)假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形和△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或(5分)即①,或②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形和△ACD相似.(8分)9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)解答:解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)其中有两组(①③,②④)是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=(4分)证明:(2)选择①、③证明.在△AOB和△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB和△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC 和△BEA的面积之比.解答:解:(1)AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.(2)图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;(3)作AF⊥BD的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:本题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定及三角形面积的求法等,范围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形和△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH 2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD 是直角梯形.∴S ABCD=(AD+BC )AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t ,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形和Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD和△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(不合题意舍去)∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形和△BDC相似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ∽△BCD.15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ和△ABC相似.解答:设经过秒后t秒后,△PBQ和△ABC相似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP:AB=BQ:BC,即(10﹣2t):10=4t:20,解得t=2.5(s)(6分)当△QBP∽△ABC时,有BQ:AB=BP:BC,即4t:10=(10﹣2t):20,解得t=1.所以,经过2.5s或1s时,△PBQ和△ABC相似(10分).解法二:设ts后,△PBQ和△ABC相似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情况:(1)当BP和AB对应时,有=,即=,解得t=2.5s(2)当BP和BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s或2.5s时,以P、B、Q三点为顶点的三角形和△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.解答:解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,2)有=,∴AB==3;3)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,4)有=,∴AB==3.故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM和△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明解答:证明:分两种情况讨论:①若△CDM∽△MAN ,则=.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a.②若△CDM∽△NAM,则.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点和B重合,不合题意.所以,能在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM和△MAN相似.当AN=a时,N点的位置满足条件.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s 的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形和△CBA相似?解答:解:设经过x秒后,两三角形相似,则CQ=(8﹣2x)cm,CP=xcm,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.(3分)(1)当时,,∴x=;(4分)(2)当时,,∴x=.(5分)所以,经过秒或秒后,两三角形相似.(6分)点评:本题综合考查了路程问题,相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似.解答:解:(1)若点A,P,D分别和点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若点A,P,D分别和点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB距离点A的1、、6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE和AB交于点M,EF和AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE和BA的延长线交于点M,EF和AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你解答:证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)和(1)同理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN和△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN .(12分)21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍去).故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.解答:解:(1)皮尺,标杆;(2)测量示意图如图所示;(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.(7分)24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH和⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)解答:解:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴,即,(2分)∴DE=1200(cm).所以,学校旗杆的高度是12m .(3分)(2)解法一:和①类似得:,即,∴GN=208.(4分)在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.(5分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(6分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴(7分),又ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)解法二:和①类似得:,即,∴GN=208.(4分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(5分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,(6分)∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8.(7分)在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+(r)2=(r+8)2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3(不合题意,舍去),∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题基本上难度不大,利用相似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:(1)由已知:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.(2)∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.(3)根据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长(如图).由(1)可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时候,他的影子也从C移到C',因此速度和路程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有和(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2(1)S1=S2+S3;(2)S1=S2+S3.证明如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;(3)当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3.证明如下:∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3;(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S2、S3表示,则S1=S2+S3.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=(AB+BD):AB,∴AE:9=(15+5):15.∴AE=12.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:(1)Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;(2)在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,解:(1)设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm。
相似三角形经典练习题(4套)附带答案
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练习(一)一、填空题:1. 已知a ba b+-=2295,则a b:=__________2. 若三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边是21cm,则其余两边之和是__________cm3. 如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=6,则DE=__________;△ADE与△ABC的面积之比为:__________。
题3 题7 题84. 已知线段a=4cm,b=9cm,则线段a、b的比例中项c为__________cm。
5. 在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,如果AD=8,DB=6,EC=9,那么AE=__________6. 已知三个数1,2,3,请你添上一个数,使它能构成一个比例式,则这个数是__________7. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,若AD=12cm,BC=18cm,AE:EB=2:3,则EF=__________8. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥CD,AD=6,BC=10,则梯形的面积为:__________二、选择题:1. 如果两个相似三角形对应边的比是3:4,那么它们的对应高的比是__________A. 9:16B. 3:2C. 3:4D. 3:72. 在比例尺为1:m的某市地图上,规划出长a厘米,宽b厘米的矩形工业园区,该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知,如图,DE∥BC,EF∥AB,则下列结论:题3 题4 题5①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似,则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE⊥AD,交CB的延长线于点E,则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题:1. 如图,AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9,AE:AB=2:3,求GF的长。
相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典题(含答案)相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEFS,求CDFS∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似.(2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似.(4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D点是ABC∆的边AC上的一点,过D点画线段DE,使点E在ABC∆的一个顶点组成∆的边上,并且点D、点E和ABC的小三角形与ABC∆相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE的画法.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A .(2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明ACDC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图),然后沿BC方向走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C、D两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使BCAB⊥,然后再选点E,使BCBD米,=EC⊥,确定BC与AE的交点为D,测得120 EC米,你能求出两岸之间AB的大致距离吗?=60DC米,50=例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB的高度,在D和F 处树立标杆DC和FE,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB、CD和EF在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G处,可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上,从标杆FE退后127步的H处,可看到山峰A和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC的边AB=32,AC=2,BC边上的高AD=3.(1)求BC的长;(2)如果有一个正方形的边在AB上,另外两个顶点分别在AC,BC上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似 例2. 解 ABCD Θ是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3.又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDFAEF S SS,∴)cm (542=∆CDFS.例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证. 证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠. 又DAC BAD BAC ∠+∠=∠Θ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠.∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同.(3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C , 则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,,∴a ac c b b aa '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆.(4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆. 答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确. 例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GF EC DF =,从而可以求出BC 的长. 解ECDF EC AE //,⊥Θ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAFEC DF =.又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//,∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGFEC DF =. 又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米.例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆. 所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ).说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度. 解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E ,又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆;(2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆. 例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等;(5)ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36Θ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD Θ平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CDAB BC⋅=2,∴CDAC AD⋅=2.说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bca=2,一般都是证明比例式,b d c a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB +=Θ,∴︒=∠90C .又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ,又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S . 例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F 作ABFG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求. 解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆.因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH .由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米)所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行. 例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB Θ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米.例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4.如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB,162=BC ,∴222BC AC AB=+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴ACFCAB GF =,即2232x x -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形.如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1,∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵xxx -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此,正方形的面积为3612-或121348156-.。
初中数学《相似三角形》压轴30题含解析

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一.填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片,底边长为15cm ,底边上的高长22.5cm .现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是第6张.【分析】设第x 张为正方形,如图,△ADE ∽△ABC ,则DE BC =AM AN,从而计算出x 的值即可.【解答】解:如图,设第x 张为正方形,则DE =3(cm ),AM =(22.5-3x )(cm ),∵△ADE ∽△ABC ,∴DE BC =AM AN ,即315=22.5-3x 22.5,解得x =6.故答案为:6.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质以及正方形的性质,注:相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比.2(2019秋•浦东新区校级月考)如图,在平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果BE BC=23,那么BF FD =23.【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ,再根据相似三角形的性质得BE :DA =BF :DF 即可解.【解答】解:ABCD 是平行四边形,∴BC ∥AD ,BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE :DA =BF :DF∵BC =AD∴BF :DF =BE :BC =2:3.【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质.3(2017秋•虹口区校级月考)如图,直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AB =10,BC =6,在线段AB上取一点D ,作DF ⊥AB 交AC 于点F ,现将△ADF 沿DF 折叠,使点A 落在线段DB 上,对应点记为A 1;AD 的中点E 的对应点记为E 1,若△E 1FA 1∽△E 1BF ,则AD =165.【分析】利用勾股定理列式求出AC ,设AD =2x ,得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ,然后求出BE 1,再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ,然后利用勾股定理列式求出E 1F ,然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值,从而可得AD 的值.【解答】解:∵∠ACB =90°,AB =10,BC =6,∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8,设AD =2x ,∵点E 为AD 的中点,将△ADF 沿DF 折叠,点A 对应点记为A 1,点E 的对应点为E 1,∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ,∵DF ⊥AB ,∠ACB =90°,∠A =∠A ,∴△ABC ∽△AFD ,∴AD AC =DF BC ,即2x 8=DF 6,解得DF =32x ,在Rt △DE 1F 中,E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2,又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ,△E 1FA 1∽△E 1BF ,∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ,∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1,即(13x 2)2=x (10-3x ),解得x =85,∴AD 的长为2×85=165.故答案为:165.【点评】本题考查了相似三角形的性质,主要利用了翻折变换的性质,勾股定理,相似三角形对应边成比例,综合题,熟记性质并准确识图是解题的关键.4(2021秋•普陀区校级月考)如图,在△ABC 中,4AB =5AC ,AD 为△ABC 的角平分线,点E 在BC 的延长线上,EF ⊥AD 于点F ,点G 在AF 上,FG =FD ,连接EG 交AC 于点H .若点H 是AC 的中点,则AG FD的值为43.【分析】解题关键是作出辅助线,如解答图所示:第1步:利用角平分线的性质,得到BD =54CD ;第2步:延长AC ,构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ;第3步:过点M 作MN ∥AD ,构造平行四边形DMNG .由MD =BD =KD =54CD ,得到等腰△DMK ;然后利用角之间关系证明DM ∥GN ,从而推出四边形DMNG 为平行四边形;第4步:由MN ∥AD ,列出比例式,求出AG FD的值.【解答】解:已知AD 为角平分线,则点D 到AB 、AC 的距离相等,设为h .∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54,∴BD =54CD .如图,延长AC ,在AC 的延长线上截取AM =AB ,则有AC =4CM .连接DM .在△ABD 与△AMD 中,AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS ),∴MD =BD =54CD .过点M 作MN ∥AD ,交EG 于点N ,交DE 于点K .∵MN ∥AD ,∴CK CD =CM AC =14,∴CK =14CD ,∴KD =54CD .∴MD =KD ,即△DMK 为等腰三角形,∴∠DMK =∠DKM .由题意,易知△EDG 为等腰三角形,且∠1=∠2;∵MN ∥AD ,∴∠3=∠4=∠1=∠2,又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1,∴DM ∥GN ,∴四边形DMNG 为平行四边形,∴MN =DG =2FD .∵点H 为AC 中点,AC =4CM ,∴AH MH=23.∵MN ∥AD ,∴AG MN =AH MH ,即AG 2FD =23,∴AG FD =43.故答案为:43.方法二:如图,有已知易证△DFE ≌△GFE ,故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3,又∠1=∠2,所以∠3=∠B ,则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ,则AC =4a ,AH =2a ,所以AG /AD =AH /AB =2/5,而AD =AG +GD ,故GD /AD =3/5,所以AG :GD =2:3,F 是GD 的中点,所以AG :FD =4:3.【点评】本题是几何综合题,难度较大,正确作出辅助线是解题关键.在解题过程中,需要综合利用各种几何知识,例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等,对考生能力要求较高.5(2022秋•普陀区校级月考)如图,点A 1,A 2,A 3,A 4在射线OA 上,点B 1,B 2,B 3在射线OB 上,且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3.若△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为10.5.【分析】已知△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,且两三角形相似,因此可得出A 2B 2:A 3B 3=1:2,由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形,所以面积之比即为底边之比,因此这两个三角形的面积比为1:2,根据△A 3B 2B 3的面积为4,可求出△A 2B 2A 3的面积,同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积.即可求出阴影部分的面积.【解答】解:△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,又∵A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2,∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3,∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3,∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3,∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3,∴A 2A 3A 3A 4=12.∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12,△A 3B 2B 3的面积是4,∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比).同理可得:△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8;△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5.∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5.故答案为:10.5.【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似,再根据已给的面积,求出相似比,从而求阴影部分的面积.6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1,如图①,将边BC 、AC 分别2等分,BE 1、AD 1相交于点O ,△AOB 的面积记为S 1;如图②将边BC 、AC 分别3等分,BE 1、AD 1相交于点O ,△AOB 的面积记为S 2;⋯,依此类推,则S n 可表示为 12n +1 .(用含n 的代数式表示,其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1,设AD 1、BE 1交于点M ,先求出S △ABE 1=1n +1,再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM :S △ABE 1=(n +1):(2n +1),最后根据S △ABM :1n +1=(n +1):(2n +1),即可求出S n .【解答】解:如图,连接D 1E 1,设AD 1、BE 1交于点M ,∵AE1:AC =1:(n +1),∴S △ABE 1:S △ABC =1:(n +1),∴S △ABE 1=1n +1,∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ,∴BM BE 1=n +12n +1,∴S △ABM :S △ABE 1=(n +1):(2n +1),∴S △ABM :1n +1=(n +1):(2n +1),∴S n =12n +1.故答案为:12n +1.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积,关键是根据题意作出辅助线,得出相似三角形.7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6,点E 在直线AD 上,DE =3,连接BE 与对角线AC 相交于点M ,则MC AM的值是 2或23 .【分析】由菱形的性质易证两三角形相似,但是由于点E 的位置未定,需分类讨论.【解答】解:分两种情况:(1)点E 在线段AD 上时,△AEM ∽△CBM ,∴MC AM =BC AE=2;(2)点E在线段AD的延长线上时,△AME∽△CMB,∴MCAM =BCAE=23.【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想;其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键.注意:求相似比不仅要认准对应边,还需注意两个三角形的先后次序.8(2020秋•虹口区校级月考)如图,在△ABC中,∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E,BC=2.5AC,则ABAD+ABAE=5.【分析】根据CD平分∠ACB,可得ABDA=BCAC,根据CE平分∠ACB的外角,可得DEAE=BCAC,进而可得结果.【解答】解:∵CD平分∠ACB,∴AB DA =BC AC,∴BD+DADA =BC+ACAC,∴AB DA =BC+ACAC,①∵CE平分∠ACB的外角,∴DE AE =BC AC,∴BE-AEAE =BC-ACAC,∴AB AE =BC-ACAC,②①+②得,AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5.故答案为:5.【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答.9(2022秋•黄浦区校级月考)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点P在BA的延长线上,PA=1 4AB,点D在BC边上,PD=PC,则CDBC的值是 34 .【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ,根据等腰三角形判定与性质,平行线的性质可证PB =PE ,再证△PCE ≌△PDB ,可得BD =CE ,再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ,结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论.【解答】解:如图,过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ,∵AB =AC ,∴∠B =∠ACB ,∵AC ∥PE ,∴∠ACB =∠E ,∴∠B =∠E ,∴PB =PE ,∵PC =PD ,∴∠PDC =∠PCD ,∴∠BPD =∠EPC ,∴在△PCE 和△PDB 中,PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE,∴△PCE ≌△PDB (SAS ),∴BD =CE ,∵AC ∥PE ,∴PA AB =CE BC ,∵PA =14AB ,∴CE BC =14,∴BD BC =14,∴CD BC =34.故答案为:34.【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线分线段成比例,以及全等三角形的判定,解决问题的关键是正确作出辅助线,列出比例式.二.解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中,∠CAB =90°,AD ⊥BC 于点D ,点E 为AB 的中点,EC 与AD交于点G ,点F 在BC 上.(1)如图1,AC :AB =1:2,EF ⊥CB ,求证:EF =CD .(2)如图2,AC :AB =1:,EF ⊥CE ,求EF :EG 的值.【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ,根据AC :AB =1:2及点E 为AB 的中点,得出AC =BE ,再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ,即可得出EF =CD ;(2)作EH ⊥AD 于H ,EQ ⊥BC 于Q ,先证明四边形EQDH 是矩形,得出∠QEH =90°,则∠FEQ =∠GEH ,再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ,得出EF :EG =EQ :EH ,然后在△BEQ 中,根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ,在△AEH 中,根据余弦函数的定义得出EH =32AE ,又BE =AE ,进而求出EF :EG 的值.【解答】(1)证明:如图1,在△ABC 中,∵∠CAB =90°,AD ⊥BC 于点D ,∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB .∵AC :AB =1:2,∴AB =2AC ,∵点E 为AB 的中点,∴AB =2BE ,∴AC =BE .在△ACD 与△BEF 中,∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE,∴△ACD ≌△BEF ,∴CD =EF ,即EF =CD ;(2)解:如图2,作EH ⊥AD 于H ,EQ ⊥BC 于Q ,∵EH ⊥AD ,EQ ⊥BC ,AD ⊥BC ,∴四边形EQDH 是矩形,∴∠QEH =90°,∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ,又∵∠EQF =∠EHG =90°,∴△EFQ ∽△EGH ,∴EF :EG =EQ :EH .∵AC :AB =1:3,∠CAB =90°,∴∠B =30°.在△BEQ 中,∵∠BQE =90°,∴sin B =EQ BE =12,∴EQ =12BE .在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,∴cos∠AEH=EHAE =32,∴EH=32AE.∵点E为AB的中点,∴BE=AE,∴EF:EG=EQ:EH=12BE:32AE=1:3=3:3=33.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形,并且证明四边形EQDH是矩形.11(2021秋•杨浦区校级月考)如图,已知在菱形ABCD,点E是AB的中点,AF⊥BC于点F,连接EF、ED、DF,DE交AF于点G,且DE⊥EF.(1)求证:AE2=EG•ED;(2)求证:BC2=2DF•BF.【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE,根据菱形的性质得到AD∥BC,求得∠DAG=∠AFB =90°,然后证明△AEG∽△DEA,即可得到结论;(2)由AE=EF,AE2=EG•ED,得到FE2=EG•ED,推出△FEG∽△DEF,根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵AF⊥BC于点F,∴∠AFB=90°,∵点E是AB的中点,∴AE=FE,∴∠EAF=∠AFE,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠DAG=∠AFB=90°,∵DE⊥EF,∴∠FEG=90°,∴∠DAG=∠FEG,∵∠AGD=∠FGE,∴∠EFG=∠ADG,∴∠EAG=∠ADG,∵∠AEG=∠DEA,∴△AEG∽△DEA,∴AE DE =EG AE,∴AE2=EG•ED;(2)∵AE=EF,AE2=EG•ED,∴FE2=EG•ED,∴EF DE =EGEF,∵∠FEG=∠DEF,∴△FEG∽△DEF,∴∠EFG=∠EDF,∴∠BAF=∠EDF,∵∠DEF=∠AFB=90°,∴△ABF∽△DFE,∴AB DF =BF EF,∵四边形ACBD是菱形,∴AB=BC,∵∠AFB=90°,∵点E是AB的中点,∴FE=12AB=12BC,∴BC DF =BF12BC,∴BC2=2DF•BF.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,菱形的性质,直角三角形的性质,正确的识别图形是解题的关键.12(2021秋•杨浦区校级月考)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE:ED=1:2,点F为DC的中点,连接BE、AF,BE与AF交于点H.(1)求EH:BH的值;(2)若△AEH的面积为1,求平行四边形ABCD的面积.【分析】(1)延长AF,BC交于点G,证明△ADF≌△GCF(AAS),可得AD=CG=BC,所以BG=2BC,根据AE:ED=1:2,可得AE:AD=1:3,AE:BG=1:6,,证明△AEH∽△GBH,即可解决问题;(2)在△AEH中,设AE=x,AE边上的高为h,△BGH中,BG边上的高为h′,可得平行四边形ABCD的高为h+h′,BC=3x,根据△AEH的面积为1,可得x•h=2,所以h′=6h,进而可以求平行四边形ABCD 的面积.【解答】解:(1)如图,延长AF,BC交于点G,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD ∥BC ,AD =BC ,∴∠D =∠DCG ,∠DAF =∠G ,∵点F 为DC 的中点,∴DF =CF ,在△ADF 和△GCF 中,∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF,∴△ADF ≌△GCF (AAS ),∴AD =CG ,∴AD =CG =BC ,∴BG =2BC ,∵AE :ED =1:2,∴AE :AD =1:3,∴AE :BG =1:6,∵AD ∥BC ,∴△AEH ∽△GBH ,∴EH :BH =AE :BG =1:6;(2)在△AEH 中,设AE =x ,AE 边上的高为h ,△BGH 中,BG 边上的高为h ′,∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′,BC =3x ,∵△AEH 的面积为1,∴12x •h =1,∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ,∴h :h ′=1:6,∴h ′=6h ,∴h +h ′=7h ,∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,平行线分线段成比例等知识,添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.13(2021春•徐汇区校级月考)如图,在菱形ABCD 中,点E 在对角线AC 上,点F 在BC 的延长线上,EF =EB ,EF 与CD 相交于点G ;(1)求证:EG •GF=CG •GD ;(2)联结DF ,如果EF ⊥CD ,那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系?证明你的结论.【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ,得∠EDC =∠EBC ;利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ,即可得到EG •GF =CG •GD.(2)利用第(1)题的结论,可证明△DGE ∽△FGC ,再利用三角形内角外角关系,即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系.【解答】解:(1)证明:∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上,∴∠ECB =∠ECD ,∵BC =CD ,CE =CE ,∴△BCE ≌△DCE ,∴∠EDC =∠EBC ,∵EB =EF ,∴∠EBC =∠EFC ;∴∠EDC =∠EFC ;∵∠DGE =∠FGC ,∴△DGE ∽△FGC ;∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ;(2)∠ADC =2∠FDC .证明:∵EG CG =GD FG ,∴EG DG =CG FG,又∵∠DGF =∠EGC ,∴△CGE ∽△FGD ,∵EF ⊥CD ,DA =DC ,∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ,∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC .【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用,解题时注意:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.14(2021秋•宝山区校级月考)如图,四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形,AB =BC =6cm ,∠B =45°,则正方形DEFG 的面积为多少?【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ,交GF 于M ,于是得到△ABH 是等腰直角三角形,求得AH =BH =2222AB =32cm ,由△AGF ∽△ABC ,得到GF BC =AM AH,求得GF =(62-6)cm ,即可得到结论.【解答】解:过A 作AH ⊥BC 于H ,交GF 于M ,∵∠B =45°,∴AH =BH =22AB =32cm ,∵GF ∥BC ,∴△AGF ∽△ABC ,∴GF BC =AM AH,即GF 6=32-GF 32,∴GF =(62-6)cm ,∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm .【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的四条边都相等的性质,利用相似的性质:对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键.15(2021秋•松江区月考)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 为边BC 上一点,联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ,交BD 于点G ,过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F .求证:DF FC =DM CD.【分析】由GF ∥BC ,根据平行线分线段成比例定理,可得DF FC,又由四边形ABCD 是平行四边形,可得AB =CD ,AB ∥CD ,继而可证得DM AB =DG BG ,则可证得结论.【解答】证明:∵GF ∥BC ,∴DF FC =DG BG,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ,AB ∥CD ,∴DM AB =DG BG ,∴DF FC =DM CD.【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.16(2021秋•松江区月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 的中点,DE 的延长线与BC 的延长线交于点F .(1)求证:FD FC =BD DC ;(2)若BC FC =54,求BD DC的值.【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ,推出∠EDC =∠ECD ,求出∠FDC =∠B ,根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ,即可;(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54,S △BDF S △FDC =94,根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94,即可求出BD DC.【解答】(1)证明:∵CD ⊥AB ,∴∠ADC =90°,∵E 是AC 的中点,∴DE =EC ,∴∠EDC =∠ECD ,∵∠ACB =90°,∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°,∠DCB +∠B =90°,∴∠ECD =∠B ,∴∠FDC =∠B ,∵∠F =∠F ,∴△FBD ∽△FDC ,∴FD FC =BD DC(2)解:∵BC FC =54,∴S △BDCS △FDC =54,∴S △BDFS △FDC =94,∵△FBD ∽△FDC ,∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94,∴BD DC=32.【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形的面积,注意:相似数据线的面积比等于相似比的平方,题目比较好,有一定的难度.17(2021春•黄浦区校级月考)如图,四边形ABCD 是矩形,E 是对角线AC 上的一点,EB =ED 且∠ABE =∠ADE .(1)求证:四边形ABCD 是正方形;(2)延长DE 交BC 于点F ,交AB 的延长线于点G ,求证:EF •AG =BC •BE .【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明;(2)由AD ∥BC ,推出EF DE =EC EA ,同理DC AG =EC EA,由DE =BE ,四边形ABCD 是正方形,推出BC =DC,可得EFBE =BCAG解决问题;【解答】(1)证明:连接BD.∵EB=ED,∴∠EBD=∠EDB,∵∠ABE=∠ADE,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.(2)证明:∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC,∴EF DE =EC EA,同理DCAG=ECEA,∵DE=BE,四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∴EF BE =BC AG,∴EF•AG=BC•BE.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.18(2021秋•浦东新区校级月考)如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,求证:AD2=AF•AB.【分析】由DE∥BC,EF∥CD,可得△ADE∽△ABC,△AFE∽△ADC,然后由相似三角形的对应边成比例,证得结论.【解答】证明:∵DE∥BC,EF∥CD,∴△ADE∽△ABC,△AFE∽△ADC,∴AD:AB=AE:AC,AF:AD=AE:AC,∴AD:AB=AF:AD,∴AD2=AF•AB.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.注意掌握相似三角形的对应边成比例.19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC,与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:△ABC∽△FCD;(2)若DE=3,BC=8,求△FCD的面积.【分析】(1)由DE⊥BC,D是BC的中点,根据线段垂直平分线的性质,可得BE=CE,又由AD=AC,易得∠B=∠DCF,∠FDC=∠ACB,即可证得△ABC∽△FCD;(2)首先过A作AG⊥CD,垂足为G,易得△BDE∽△BGA,可求得AG的长,继而求得△ABC的面积,然后由相似三角形面积比等于相似比的平方,求得△FCD的面积.【解答】(1)证明:∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴BE=CE,∴∠B=∠DCF,∵AD=AC,∴∠FDC=∠ACB,∴△ABC∽△FCD;(2)解:过A作AG⊥CD,垂足为G.∵AD=AC,∴DG=CG,∴BD:BG=2:3,∵ED⊥BC,∴ED∥AG,∴△BDE∽△BGA,∴ED:AG=BD:BG=2:3,∵DE=3,∴AG=92,∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14.∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18,∴S△FCD=14S△ABC=92.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.20(2021春•静安区校级月考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E在边BC上,点F在BA的延长线上,BE=AF,CF∥AE,CF与边AD相交于点G.求证:(1)FD=CG;(2)CG2=FG•FC.【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ,根据全等三角形的性质得到FD =EA ,于是得到结论;(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ,根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ,根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ,等量代换得到∠DCF =∠FDA ,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵在菱形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠FAD =∠B ,在△ADF 与△BAE 中,AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA,∴△ADF ≌△BAE ,∴FD =EA ,∵CF ∥AE ,AG ∥CE ,∴EA =CG ,∴FD =CG ;(2)∵在菱形ABCD 中,CD ∥AB ,∴∠DCF =∠BFC ,∵CF ∥AE ,∴∠BAE =∠BFC ,∴∠DCF =∠BAE ,∵△ADF ≌△BAE ,∴∠BAE =∠FDA ,∴∠DCF =∠FDA ,又∵∠DFG =∠CFD ,∴△FDG ∽△FCD ,∴FD FC=FG FD ,FD 2=FG •FC ,∵FD =CG ,∴CG 2=FG •FC .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,菱形的性质,熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.21(2021秋•浦东新区校级月考)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC =2AD ,点E 为边DC 的中点,BE 交AC 于点F .求:(1)AF :FC 的值;(2)EF :BF 的值.【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ,如图,先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ,则有DH BC =DE CE,易得DH =BC ,加上BC =2AD ,所以AH =3AD ,然后证明△AHF ∽△CFB ,再利用相似比可计算出AF :FC 的值;(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH :BE =DE :CE =1:1,则BE =EH =12BH ,由△AHF ∽△CFB 得到FH :BF =AF :FC =3:2;于是可设BF =2a ,则FH =3a ,BH =BF +FH =5a ,EH =52a ,接着可计算出EF =FH -EH =12a ,然后计算EF :BF 的值.【解答】解:(1)延长BE 交直线AD 于H ,如图,∵AD ∥BC ,∴△DEH ∽△CEB ,∴DH BC =DE CE,∵点E 为边DC 的中点,∴DE =CE ,∴DH =BC ,而BC =2AD ,∴AH =3AD ,∵AH ∥BC ,∴△AHF ∽△CFB ,∴AF :FC =AH :BC =3:2;(2)∵△DEH ∽△CEB ,∴EH :BE =DE :CE =1:1,∴BE =EH =12BH ,∵△AHF ∽△CFB ,∴FH :BF =AF :FC =3:2;设BF =2a ,则FH =3a ,BH =BF +FH =5a ,∴EH =52a ,∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ,∴EF :BF =12a :2a =1:4.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要通过相似比得到线段之间的关系.22(2021秋•浦东新区校级月考)已知:如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,过点D 作DE ∥CB ,交AB 于点E ,AD DC =13,DE =6.(1)求AB 的长;(2)求S △ADE S △BCD.【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ,DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ,进而推出∠ABD =∠EDB ,由此可得BE =DE =6,由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13,进而证得AE =2,于是可得结论;(2)△ADE 看成以DE 为底,高为h 1,△BCD 看成以BC 为底,高为h 2,由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13,DE BC =14,进而证得结论.【解答】解:(1)BD 平∠ABC ,∴∠ABD =∠CBD ,∵DE ∥BC ,∴∠EDB =∠CBD ,∴∠ABD =∠EDB ,∴BE =DE =6,∵DE ∥BC ,∴AE EB =AD DC =13,∴AE 6=13,∴AE =2,∴AB =AE +BE =8;(2)△ADE 看成以DE 为底,高为h 1,△BCD 看成以BC 为底,高为h 2,∵DE ∥CB ,∴△AED ∽△ABC ,∴h 1h 2=AD DE =13,DE BC =14,∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质,三角形的面积等知识,熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键.23(2022春•长宁区校级月考)已知:如图,在平行四边形ABCD 中,AC 、DB 交于点E ,点F 在BC 的延长线上,联结EF 、DF ,且∠DEF =∠ADC .(1)求证:EFBF =AB DB;(2)如果BD 2=2AD •DF ,求证:平行四边形ABCD 是矩形.【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ,再由相似三角形的性质:对应边的比值相等即可证明:EF BF =AB DB;(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ,又因为BD 2=2AD •DF ,所以可证明BF =DF ,再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°,所以∠ADC =∠DEF =90°,进而可证明平行四边形ABCD 是矩形.【解答】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD ,∴AD ∥BC ,AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°,又∵∠BEF +∠DEF =180°,∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ,∵∠DEF =∠ADC ,∴∠BAD =∠BEF ,∵AD ∥BC ,∴∠EBF =∠ADB ,∴△ADB ∽△EBF ,∴EF BF =AB DB;(2)∵△ADB ∽△EBF ,∴AD BD =BE BF,在平行四边形ABCD 中,BE =ED =12BD ,∴AD •BF =BD •BE =12BD 2,∴BD 2=2AD •BF ,又∵BD 2=2AD •DF ,∴BF =DF ,∴△DBF 是等腰三角形,∵BE =DE ,∴FE ⊥BD ,即∠DEF =90°,∴∠ADC =∠DEF =90°,∴平行四边形ABCD 是矩形.【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断,其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键.24(2021秋•宝山区校级月考)已知,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=6,点P是射线AD上的点,BP交AC于点E,∠CBP的角平分线交AC于点F,且CF=13AC时.求AP+BP的值.【分析】延长BF交射线AP于M,根据AD∥BC,根据两直线平行,内错角相等可得∠M=∠CBM,再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM,从而得到∠M=∠PBM,根据等角对等边可得BP=PM,求出AP+BP=AM,再根据AC=13CF求出AE=2CF,然后根据△MAF和△BCF相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.【解答】解:如图,延长BF交射线AP于M,∵AD∥BC,∴∠M=∠CBM,∵BF是∠CBP的平分线,∴∠PBM=∠CBM,∴∠M=∠PBM,∴BP=PM,∴AP+BP=AP+PM=AM,∵CF=13AC,则AF=2CF,由AD∥BC得,△MAF∽△BCF,∴AMBC =AFCF=2,∴AM=2BC=2×6=12,即AP+BP=12.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,角平分线的定义,平行线的性质,延长BF构造出相似三角形,求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键,也是本题的难点.25(2020秋•虹口区校级月考)已知:如图,已知△ABC与△ADE均为等腰三角形,BA=BC,DA= DE.如果点D在BC边上,且∠EDC=∠BAD.点O为AC与DE的交点.(1)求证:△ABC∽△ADE;(2)求证:DA•OC=OD•CE.【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE,由于BABC=DADE=1,根据得到结论;(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE,于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE,证得△COD∽△EOA,根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA,由∠AOD=∠COE,推出△AOD∽△COE,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ,∴∠B =∠ADE ,∵BA BC=DA DE =1,∴△ABC ∽△ADE ;(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴∠BAC =∠DAE ,∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ,∵∠COD =∠EOA ,∴△COD ∽△EOA ,∴OC OE =OD OA,∵∠AOD =∠COE ,∴△AOD ∽△EOC ,∴DA :CE =OD :OC ,即DA •OC =OD •CE .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形的外角的性质,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.26(2021秋•金山区校级月考)已知:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在边AD 上,CE 与BD 相交于点F ,AD =4,AB =5,BC =BD =6,DE =3.(1)求证:△DFE ∽△DAB ;(2)求线段CF 的长.【分析】(1)AD ∥BC ,DE =3,BC =6,DF FB =DE BC=36=12,DF DA =DE DB .又∠EDF =∠BDA ,即可证明△DFE ∽△DAB .(2)由△DFE ∽△DAB ,利用对应边成比例,将已知数值代入即可求得答案.【解答】证明:(1)∵AD ∥BC ,DE =3,BC =6,∴DF FB =DE BC =36=12,∴DF BD =12,∵BD =6,∴DF =2.∵DA =4,∴DF DA =24=12,DE DB =36=12.∴DF DA=DE DB .又∵∠EDF =∠BDA ,∴△DFE ∽△DAB .(2)∵△DFE ∽△DAB ,∴EF AB =DE DB .∵AB =5,∴EF 5=36,∴EF =52=2.5.∵DE ∥BC ,∴CFEF =BC DE .∴CF 2.5=63,∴CF =5.(或利用△CFB ≌△BAD ).【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握,第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长,不管学生用了哪种方法,只要是正确的,就要积极地给予表扬,以此激发学生的学习兴趣.27(2020秋•宝山区月考)如图,正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上,顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上,已知△ABC 的边BC =15,高AH =10,求正方形DEFG 的边长和面积.【分析】高AH 交DG 于M ,如图,设正方形DEFG 的边长为x ,则DE =MH =x ,所以AM =10-x ,再证明△ADG ∽△ABC ,则利用相似比得到x 15=10-x 10,然后根据比例的性质求出x ,再计算x 2的值即可.【解答】解:高AH 交DG 于M ,如图,设正方形DEFG 的边长为x ,则DE =MH =x ,∴AM =AH -MH =10-x ,∵DG ∥BC ,∴△ADG ∽△ABC ,∴DG BC =AM AH,即x 15=10-x 10,∴x =6,∴x 2=36.答:正方形DEFG 的边长和面积分别为6,36.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;也考查了正方形的性质.28(2021秋•闵行区校级月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,M 是CD 上的点,DH ⊥BM 于H ,DH 的延长线交AC 的延长线于E .求证:(1)△AED ∽△CBM ;(2)AE •CM =AC •CD .【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形,易得∠A +∠ABC =90°,而CD ⊥AB ,易得∠MCB +∠ABC =90°,利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ,同理可证∠1=∠2,而∠ADE =90°+∠1,∠CMB =90°+∠2,易证∠ADE =∠CMB ,从而易证△AED ∽△CBM ;(2)由(1)知△AED ∽△CBM ,那么AE :AD =CB :CM ,于是AE •CM =AD •CB ,再根据△ABC 是直角三角形,CD 是AB 上的高,易知△ACD ∽△CBD ,易得AC •CD =AD •CB ,等量代换可证AE •CM =AC •CD .【解答】证明:(1)∵△ABC 是直角三角形,∴∠A +∠ABC =90°,∵CD ⊥AB ,∴∠CDB =90°,即∠MCB +∠ABC =90°,∴∠A =∠MCB ,∵CD ⊥AB ,∴∠2+∠DMB =90°,∵DH ⊥BM ,∴∠1+∠DMB =90°,∴∠1=∠2,又∵∠ADE =90°+∠1,∠CMB =90°+∠2,∴∠ADE =∠CMB ,∴△AED ∽△CBM ;(2)∵△AED ∽△CBM ,∴AE BC =AD CM,∴AE •CM =AD •CB ,∵△ABC 是直角三角形,CD 是AB 上的高,∴△ACD ∽△CBD ,∴AC :AD =CB :CD ,∴AC •CD =AD •CB ,∴AE •CM =AC •CD .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似.解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB .29(2022秋•徐汇区校级月考)如图,在直角坐标平面内有点A (6,0),B (0,8),C (-4,0),点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点,点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动,点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动,MN 交OB 于点P .(1)求证:MN :NP 为定值;(2)若△BNP 与△MNA 相似,求CM 的长;(3)若△BNP 是等腰三角形,求CM 的长.【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ,然后分两种情况进行讨论,综合两种情况,求得MN :NP 为定值53.(2)当△BNP 与△MNA 相似时,当点M 在CO 上时,只可能是∠MNB =∠MNA =90°,所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ,所以AM AN =AB AO ,所以10-2k 5k =106,k =3031,即CM =6031;当点M 在OA 上时,只可能是∠NBP =∠NMA ,所以∠PBA =∠PMO ,根据题意可以判定不成立,所以CM =6031.(3)由于等腰三角形的特殊性质,应分三种情况进行讨论,即BP =BN ,PB =PN ,NB =NP 三种情况进行讨论.【解答】证明:(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ,设AN =5k ,得:AH =3k ,CM =2k ,①当点M 在CO 上时,点N 在线段AB 上时:∴OH =6-3k ,OM =4-2k ,∴MH =10-5k ,∵PO ∥NH ,∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53,②当点M 在OA 上时,点N 在线段AB 的延长线上时:∴OH =3k -6,OM =2k -4,∴MH =5k -10,∵PO ∥NH ,∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53;解:(2)当△BNP 与△MNA 相似时:①当点M 在CO 上时,只可能是∠MNB =∠MNA =90°,∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ,∴AMAN =AB AO,。
相似三角形练习题(解析)
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相似三⾓形练习题(解析)相似三⾓形练习题⼀、选择题1、下列各组图形中不是位似图形的是()A.B.C.D.2、若2:3=7:x,则x=()A.2B.3C.3.5D.10.53、两个相似三⾓形的⼀组对应边分别为5cm和3cm,如果它们的⾯积之和为136cm2,则较⼤三⾓形的⾯积是()A.36cm2B.85cm2C.96cm2D.100cm24、如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中⼼的位似图形,相似⽐为1:2,∠OCD=90°,CO=CD,若B(1,0),则点C的坐标为()A.(1,-2)B.(-2,1)C.()D.(1,-1)5、如图,已知点A在反⽐例函数y=(x < 0)上,作Rt△ABC,点D是斜边AC的中点,连DB并延长交y轴于点E,若△BCE的⾯积为8,则k的值为( )A .8B .12C .16D .206、如图,平⾯直⾓坐标系中,直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A,与反⽐例函数y=-的图象交于点C,若BA:AC=2:1,则a的值为()A.2B.-2C.3D.-37、如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似⽐为2:3,已知AB=4,则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .8、如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB=3:5,那么CF:CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶59、如图所⽰,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=;④=AD?AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图,菱形ABCD的对⾓线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,动点P从点B出发,沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动,运动到点D停⽌,点P′是点P 关于BD的对称点,PP′交BD于点M,若BM=x,△OPP′的⾯积为y,则y与x之间的函数图象⼤致为()A.B.C.D.11、在平⾯直⾓坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平⾏于对⾓线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正⽅向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M,N,直线m运动的时间为t(秒).设△OMN的⾯积为S,则能反映S与t之间函数关系的⼤致图象是()A.B.C.D.12、如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,如果对⾓线AC与BD相交于点O,△AOB、△BOC、△COD、△DOA的⾯积分别记作S1、S2、S3、S4,那么下列结论中,不正确的是()A.S1=S3B.S2=2S4C.S2=2S1D.S1?S3=S2?S4⼆、填空题13、如图,将边长为6的正⽅形ABCD折叠,使点D落在AB边的中点E处,折痕为FH,点C落在点Q处,EQ与BC交于点G,则△EBG的周长是 __________ cm.14、如图,在△PMN中,点A、B分别在MP和NP的延长线上,==,则= __________ .三、解答题15、已知=,求下列算式的值.(1);(2)16、如图,△ABC为锐⾓三⾓形,AD是BC边上的⾼,正⽅形EFGH的⼀边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.(1)求证:△AEH∽△ABC;(2)求这个正⽅形的边长与⾯积。
(完整版)《相似三角形》单元测试题(含答案)
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《相似三角形》单元测试题一、精心选一选(每小题4分,共32分)1.下列各组图形有可能不相似的是( ).(A)各有一个角是50°的两个等腰三角形 (B )各有一个角是100°的两个等腰三角形 (C)各有一个角是50°的两个直角三角形 (D)两个等腰直角三角形2。
如图,D 是⊿ABC 的边AB 上一点,在条件(1)△ACD =∠B ,(2)AC 2=AD·AB,(3)AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个,(4)∠B =△ACB 中,一定使⊿ABC ∽⊿ACD 的个数是( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )43.如图,∠ABD =∠ACD ,图中相似三角形的对数是( ) (A)2 (B)3 (C )4 (D )54。
如图,在矩形ABCD 中,点E 是AD 上任意一点,则有( ) (A )△ABE 的周长+△CDE 的周长=△BCE 的周长 (B )△ABE 的面积+△CDE 的面积=△BCE 的面积 (C )△ABE ∽△DEC (D)△ABE ∽△EBC5。
如果两个相似多边形的面积比为9:4,那么这两个相似多边形的相似比为( )A.9:4B.2:3 C 。
3:2 D 。
81:16 6. 下列两个三角形不一定相似的是( )。
A. 两个等边三角形B. 两个全等三角形C. 两个直角三角形 D 。
两个等腰直角三角形 7. 若⊿ABC ∽⊿C B A '',∠A=40°,∠B=110°,则∠C '=( )A 。
40° B110° C70° D30°8.如图,在ΔABC 中,AB=30,BC=24,CA=27,AE=EF=FB ,EG ∥FD ∥BC,FM ∥EN ∥AC,则图中阴影部分的三个三角形的周长之和为( )A 、70B 、75C 、81D 、80二、细心填一填(每小题3分,共24分)9.如图,在△ABC中,△BAC=90°,D是BC中点,AE∥AD交CB延长线于点E,则⊿BAE相似于______.10、在一张比例尺为1:10000的地图上,我校的周长为18cm,则我校的实际周长为。
相似三角形练习题(超经典含答案)

1.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比为k(k≠1),则k的值是A.∠A︰∠A′B.A′B′︰ABC.∠B︰∠B′D.BC︰B′C′2.如图,在△ABC中,D、E分别在AB、AC上,且DE∥BC,下列比例式不成立的是A.AD AEDB EC=BAD DEDB BC=.CAD AEAB AC=.DAB ACDB CE=.3.如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E,B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=A.7 B.7.5 C.8 D.8.54.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD︰DB=3︰5,那么CF︰CB等于A.5︰8 B.3︰8 C.3︰5 D.2︰55.如图,已知在等腰△ABC中,顶角∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,则一定相似的三角形是A.△ABC和△BAD B.△ABD和△BDCC.△BDC和△ABC D.△ABD和△BDC和△ABC6.在相同时刻的物高与影长成正比例,如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米,那么影长为30米的旗杆的高是A.25米B.24米C.20米D.18米7.△ABC和△A′B′C′相似,记作__________,相似三角形__________的比叫__________,当相似比为1时,两个三角形__________.8.如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=60°,∠B=40°,∠A′=60°,当∠C′=__________时,则△ABC∽△A′B′C′.9.若△ABC与△A′B′C′相似,一组对应边的长为AB=6cm,A′B′=8cm,那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________.10.如图,矩形ABCD中,点E是边AD的中点,BE交对角线AC于点F,则AFE△与BCF△的面积比等于__________.11.如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且14FC BC.图中相似三角形共有__________对.12.如图,要使△ABC 与△DBA 相似,则只需添加一个适当的条件是________.(填一个即可)13.如图,要测量池塘两端A 、B 的距离,可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ,连接AC并延长到D ,使12CD CA =,连接BC 并延长到E ,使12CE CB =,连接ED ,如果量出DE 的长为25米,那么池塘宽AB 为________米.14.如图,在ABC △中,90C ∠=︒,在AB 边上取一点D ,使BD BC =,过D 作DE AB ⊥交AC 于E ,86AC BC ==,.求DE 的长.15.如图,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.(1)求ADAB的值;(2)求BC的长.16.如图,△ABC∽△DEC,CA=CB,且点E在AB的延长线上.(1)求证:AE=BD;(2)求证:△BOE∽△COD;(3)已知CD=10,BE=5,OD=6,求OC的长.17.如图,甲、乙两人分别从A(1)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向,乙沿BO方向均以4的速度行走.t h后,甲到达M点,乙到达N点.(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行;(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?18.如图,点F是ABCD的边AD上的三等分点(靠近A点),BF交AC于点E,如果△AEF的面积为2,那么四边形CDFE的面积等于A.18 B.22C.24 D.4619.在矩形ABCD中,点E、F分别在AD、CD上,且∠BEF=90°,则三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ一定相似的是A.Ⅰ和ⅡB.Ⅰ和ⅢC.Ⅰ和ⅣD.Ⅲ和Ⅳ20.如图,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果边AB上的点P使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似,则这样的P点共有A.1个B.2个C.3个D.4个21.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,△DEF的面积与△BAF的面积之比为9:16,则DE:EC=__________.22.如图1,正方形ABCD的边长为4,把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处,三角板绕点E旋转,三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F.(1)求证:△GBE∽△GEF.(2)设AG=x,GF=y,求y关于x的函数表达式,并写出自变量取值范围.(3)如图2,连接AC交GF于点Q,交EF于点P.当△AGQ与△CEP相似,求线段AG的长.23.(2018•绥化)两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ,它们的周长之差为12cm ,那么大三角形的周长为 A .14cm B .16cm C .18cmD .30cm24.(2018•毕节市)如图,在平行四边形ABCD 中,E 是DC 上的点,DE :EC =3:2,连接AE 交BD 于点F ,则△DEF 与△BAF 的面积之比为A .2:5B .3:5C .9:25D .4:2525.(2018•巴中)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别是边AC ,AB 的中点,BD 与CE 交于点O ,连接DE .下列结论:①OE OB =OD OC ;②DE BC =12;③DOE BOC S S △△=12;④DOE DBES S △△=13.其中正确的个数有A .1个B .2个C .3个D .4个26.(2018•阜新)如图,在矩形ABCD 中,点E 为AD 中点,BD 和CE 相交于点F ,如果DF =2,那么线段BF 的长度为__________.27.(2018•吉林)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=___________m.28.(2018•陕西)如图,已知:在正方形ABCD中,M是BC边上一定点,连接AM.请用尺规作图法,在AM上作一点P,使△DPA∽△ABM.(不写作法,保留作图痕迹)29.(2018•上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.(1)求证:EF=AE–BE;(2)连接BF,如果AFBF=DFAD.求证:EF=EP.1.【答案】D【解析】对应边的比是相似比,且有顺序性,故△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比k 的值为BC ︰B ′C ′. 2.【答案】B【解析】∵DE ∥BC ,,,AD AE AD AE AB ACDB EC AB AC DB CE∴===,∴选项A ,C ,D 均正确;故选B . 3.【答案】B【解析】∵a ∥b ∥c ,∴AC BD CE DF =,即436DF =.∴364.54DF ⨯==.∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5.4.【答案】A【解析】∵DE ∥BC ,∴AE ︰EC =AD ︰DB =3︰5, ∵EF ∥AB ,∴BF ︰FC =AE ︰EC =3︰5, 故CF ︰CB =5︰8.故选A . 5.【答案】C6.【答案】B【解析】设旗杆的高是x 米,则1.6230x=,解得x =24. 7.【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′;对应边;相似比;全等【解析】ABC △和'''A B C △相似,记作ABC A'B'C'△∽△,相似三角形对应边的比叫相似比,当相似比为1时,两个三角形全等.故答案为:ABC A'B'C'△∽△,对应边,相似比,全等. 8.【答案】80°【解析】60,40A B ∠=︒∠=︒,180604080C ∴∠=︒-︒-︒=︒,,ABC A'B'C'△∽△80C C'∴∠=∠=︒,∴当80C'∠=︒时 ,△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为:80.︒ 9.【答案】34【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比,即相似比为6384AB A B ==''.故答案为:34. 10.【答案】14【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方,∵E 为AD 的中点,四边形ABCD 为矩形,∴12AE BC =,∴21124AEF BCFS S⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:1:4.11.【答案】312.【答案】∠ADB =∠BAC (或∠BAD =∠C 或BD BABA BC=) 【解析】∵∠B 是△ABC 与△DBA 的公共角,∴添加∠ADB =∠BAC 或∠BAD =∠C 都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证;也可添加BD BABA BC=,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证. 13.【答案】50【解析】∵12CD CA =,12CE CB =,∴12CD CE AC CB ==.∵∠ACB =∠DCE ,∴△ACB ∽△DCE .∴12DE CD AB AC ==. ∵DE =25米,∴AB =50米.故答案为:50. 14.【答案】3【解析】在ABC △中,9086C AC BC ∠===,,,10AB ∴==.又6BD BC ==,4AD AB BD ∴=-=.DE AB ⊥,90ADE C ∴∠=∠=︒.又A A ∠=∠,AED ABC ∴△∽△.DE ADBC AC∴=. ∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=. 15.【解析】(1)48,AD DB ==,4812.AB AD DB ∴=+=+=41.123AD AB ∴== (2)DE ∥BC ,,ADE ABC ∴△∽△1,3DE AD BC AB ∴==3,DE =31,3BC ∴=9.BC ∴=16.【解析】(1)∵△ABC ∽△DEC ,CA =CB ,17.【解析】(1)因为A点坐标为(1),所以OA=2,由题意知OM=2-4t,ON=6-4t,若246426t t--=,解得t=0.即在甲、乙两人到达O点前,只有当t=0时,△OMN∽△OAB,所以MN与AB不可能平行.(2)因为甲到达O点的时间为21h42t==,乙到达O点的时间为63h42t==,所以12t=或32时,O、M、N三点不能连接成三角形.①当12t<时,如果△OMN∽△OBA,则有246462t t--=,解得122t=>(舍去);②当1322t<<时,∠MON>∠OAB,显然△OMN不可能相似于△OBA;③当32t>时,424662t t--=,解得322t=>.所以当t=2时,△OMN∽△OBA.18.【答案】B【解析】∵AD∥BC,∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC;∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF∽△BEC,∴AFBC=AEEC=13,∵△AEF与△EFC高相等,∴S△EFC=3S△AEF,∵点F是ABCD的边AD上的三等分点,∴S△FCD=2S△AFC,∵△AEF的面积为2,∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B.19.【答案】B20.【答案】C【解析】若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴AD APBP BC=,∴273APAP=-,∴AP2−7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴AP AD BC BP=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.若点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴AP ADBP BC=,∴273APAP=-,∴AP=145.检验:当AP=145时,BP=215,AD=2,BC=3,∴AP ADBP BC=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,故选C.21.【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴DE∥AB,DC=AB,∴△DEF∽△BAF.∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9:16,∴3=4 DEBA,∵3=343DE DEEC CD DE==--.故答案为:3:1.22.【解析】(1)如图1,延长FE交AB的延长线于F',∵AG=x,∴BG=4–x,∴242xCF-=,∴CF=44x-,由(1)知,BF'=CF=44x-,由(1)知,GF'=GF=y,∴y=GF'=BG+BF'=4–x+44x-,当CF=4时,即:44x-=4,∴x=3,(0≤x≤3),即:y关于x的函数表达式为y=4–x+44x-(0≤x≤3);。
三角形相似练习(中等50道+提高30道) 含答案

三角形相似(中等50道+提高30道)含答案一.中等题(共50小题)1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AD=3,BD=6,求CD的长.2.如图,是一块三角形材料,∠A=30°,∠C=90°,AB=6.用这块材料剪出一个矩形DECF,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,要使剪出的矩形DECF面积最大,点D应该选在何处?3.如图,BD,CE是△ABC的高.求证:BA•AE=AC•AD.4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.求证:DC2=DA•DB.5.已知:如图所示,直线AE、BD、CF相交于点O,AC∥EF,BC∥DF,求证:AB∥DE.6.如图,在矩形ABCD中,已知AD>AB.在边AD上取点E,连结CE.过点E作EF⊥CE,与边AB的延长线交于点F.(1)证明:△AEF∽△DCE.(2)若AB=3,AE=4,AD=10,求线段BF的长.7.如图,已知AB∥MN,BC∥NG.(1)求证:;(2)在此图中你还有什么发现?请直接写出2个结论.8.如图,矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6,现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE,P是线段AB上一动点,试确定AP的长为多少时,矩形PMDN的面积取得最大值.9.如图,在△ABC中,DE∥AC,DF∥AE,BD:DA=3:2,BF=6,DF=8,(1)求EF的长;(2)求EA的长.10.如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD:DE=3:5,AE=16,BD=8,(1)求证:△ACD∽△BED;(2)求DC的长.11.如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.(1)求证:BE=DG;(2)若∠B=60°,且四边形AECG是正方形时,求的值.12.如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且∠BEF=90°,延长EF交BC的延长线于点G.(1)求证:△ABE∽△EGB;(2)若AB=4,求CG的长.13.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF经过O,分别交AB、CD于点E、F,EF的延长线交CB的延长线于M.(1)求证:OE=OF;(2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的长.14.如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC交于点F,G.(1)求证:BF=CF;(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线交BC 于点E,连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.16.如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,求△BEF与△DCB的面积比.17.如图,在▱ABCD中,E是BC延长线上的一点,AE与CD交于点F.求证:△ADF∽△EBA.18.如图,在△ABC中,点D在BC边上,BC=3CD,分别过点B,D作AD,AB的平行线,并交于点E,且ED交AC于点F,AD=3DF.(1)求证:△CFD∽△CAB;(2)求证:四边形ABED为菱形;(3)若DF=,BC=9,求四边形ABED的面积.19.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,F为AD上一点,且BF=BD.BF的延长线交AC 于点E.(1)求证:AB•AD=AF•AC;(2)若∠BAC=60°.AB=4,AC=6,求DF的长;(3)若∠BAC=60°,∠ACB=45°,直接写出的值.20.如图,△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,D为BC上一点,DE⊥AC于E.(1)求证:△ADC∽△BEC;(2)若点D为BC的中点,AB=4,求BE的长.21.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证:△AFG∽△DFC;(2)若正方形ABCD的边长为8,AE=2,求⊙O的半径.22.已知:AB为⊙O的直径,延长AB到点P,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,且∠A=30°.(1)求证:AC=PC;(2)若点D是弧AB的中点,连接CD交AB于点E,且DE•DC=18,求⊙O的面积.23.如图,已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E,DF过圆心O交AB于F,AF=FB,连接AC.(1)求证:△ACD∽△EAD;(2)若圆O的半径为5,AF=2BE=4,求证:AC=AD.24.如图,已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为4,弦AC与BD的交点为E,OA与BD相交于点F,AB=AD.(1)求证:AB2=AE•AC;(2)若AE=EC,AF=2,求△BCD的面积.25.如图,已知四边形ABCD是菱形,点E是对角线AC上一点,连接BE并延长交AD于点F,交CD的延长线于点G,连接DE.(1)求证:△ABE≌△ADE;(2)求证:EB2=EF•EG;(3)若菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,AE:EC=1:3,求BG的长.26.如图,点D,E在线段BC上,△ADE是等边三角形,且∠BAC=120°(1)求证:△ABD∽△CAE;(2)若BD=2,CE=8,求BC的长.27.如图,已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点D作AC的平行线,过点C作CD的垂线,两线相交于点E.(1)求证:△ABC∽△DEC;(2)若CE=2,CD=4,求△ABC的面积.28.如图,已知AB∥CD,AC与BD相交于点E,∠ABE=∠ACB.(1)求证:△ABE∽△ACB;(2)如果AB=6,AE=4,求CD的长.29.已知:如图,在正方形ABCD中,Q是CD的中点,PQ⊥AQ.求证:BP=3CP.30.如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,点P在BC的延长线上,AP与DE、CD分别交于点G、F.DF=2CF,AB=6,求DG的长.31.已知,在Rt△ABC中,以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆,圆心为点O,这个圆交线段BC于E 点,点G为BD的中点.(1)求证:GE为⊙O的切线;(2)若=,GE=6,求AD的长.32.如图,▱ABCD中,E是AB中点,AC与DE交于点F.(1)求证:△DFC∽△EF A.(2)若AC⊥DE,AB=2,AF=2,求DF长.33.已知四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,点F为AB上一点,且EF=EB,△DGC∽△ADC.(1)求证:CD=CF;(2)H为线段DG上一点,连结AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=5,DC=3,求的值.34.如图,⊙O中弦AB与CD交于M点.(1)求证:DM•MC=BM•MA;(2)若∠D=60°,⊙O的半径为2,求弦AC的长.35.已知:如图,在△ABC中,D在边AB上.(1)若∠ACD=∠ABC,求证:AC2=AD•AB;(2)若E为CD中点,∠ACD=∠ABE,AB=3,AC=2,求BD的长.36.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,EF⊥CE于点E(1)求证:△AEF∽△BCE.(2)若,求的值.37.如图,已知▱ABCD,点E在边BC延长线上,连接AE,如果∠EAC=∠D.(1)求证:△EAC∽△EBA;(2)若=,求的值.38.如图,E是边长为4的正方形ABCD的边AB上的点,且AE=1,EF⊥DE交BC于点F,求线段CF 的长.39.如图,AB∥CD∥EF,点C在AE上,点G在EF上,AF、BG交于点D,已知CD=5米,EG=6米,GF=9米,求AB的长.40.已知:如图,△ABC中,AD是角平分线,点E在AC上,∠ADE=∠B,求证:AD2=AE•AB.41.如图,在矩形ABCD中,点M是CD的中点,MN⊥BM交AD于N,连BN;(1)求证:BM平分∠NBC;(2)若=,求的值.42.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AB上,且∠ADE=60°.求证:△ADC∽△DEB.43.如图,△ABC中,DE∥BC,△ADE的面积等于6,△DEC的面积等于9,OE=4,求BE的长.44.如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点,且∠1=∠2=∠3.(1)求证:DE•AB=BC•AE;(2)求证:∠AEB=∠ADC.45.已知:如图,在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点E,∠BED=60°,DE=OE=4.求:(1)CE的长;(2)⊙O的半径.46.如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由;(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若BE=5,CD=8,求⊙O的半径.47.如图,点C,P均在⊙O上,且分布在直径AB的两侧,BE⊥CP于点E.(1)求证:△EPB∽△CAB;(2)若BP=5,BE=4,AB=10,求CE的长.48.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,弦AD与OC相交于点E,与BC相交于点F,AE=DE.(1)求证:∠CBD=∠OCB;(2)若⊙O的半径为2,BC=8,求DF的长.49.如图(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO =20°,∠OAC=80°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2),请回答:∠ADB=°,AB=.(2)请参考以上思路解决问题:如图3,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC⊥AD,AO=6,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的长.50.如图,在△ABC中,∠C=90°,F为射线BA上一点,且满足CB2=CE•CA,过B作BD⊥DF于D,交AC边于E.证明:∠BFD=2∠CBD.二.提高30道1.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EF=DE.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长.2.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点E.(1)求证:EF=DE;(2)若AD=4,DE=5,求BD的长.3.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点F.(1)求证:EF=ED;(2)如果半径为5,cos∠ABC=,求DF的长.4.如图,△ABC是⊙O的内接圆,且AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,BD平分∠ABC交AC于点E,DF⊥BC交BC延长线于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线.(2)若BD=4,sin∠DBF=,求DE的长.5.如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BE于点E,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若DF=3,DE=2①求值;②求图中阴影部分的面积.6.如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BE于点E,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若DF=3,DE=2,求的值.7.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=m(m>1),点E是AD边上一定点,且AE=1.(1)当m=3时,AB上存在点F,使△AEF与△BCF相似,求AF的长度.(2)如图②,当m=3.5时.用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F.(不写作法,保留作图痕迹)(3)对于每一个确定的m的值,AB上存在几个点F,使得△AEF与△BCF相似?8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE.点P 从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s.解答下列问题:(1)当t为何值时,以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似?(2)当t为何值时,△EPQ为等腰三角形?(直接写出答案即可).9.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE =∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=4,AD=,AE=3,求AF的长.10.如图,等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,使AE=CF,连接AF,BE相交于点P.(1)求证:AF=BE,并求∠APB的度数;(2)若AE=2,试求AP•AF的值.11.如图,AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,CO⊥AB于点O,弦CD与AB交于点F.过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E,过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.(1)求证:△EFD为等腰三角形;(2)若OF:OB=1:3,⊙O的半径为3,求AG的长.12.已知:AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,AB=4,CD=6,BC=14,点P在BC上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,求PB的长?13.如图所示,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上,截取一个矩形EFGH,使点H 在AB上,点G在AC上,点E、F在BC上,AD交HG于点M.(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函数关系式;(提示:S△ABC=S△AHG+S梯形BCGH)(2)设矩形EFGH的面积为S,确定S与x的函数关系式;(3)当x为何值时,矩形EFGH的面积S最大?14.如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)试说明△ABD≌△BCE;(2)△EAF与△EBA相似吗?说说你的理由.15.如图,在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F,延长BC到点E,使得四边形ACED是一个平行四边形,平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H.(1)证明:DG2=FG•BG;(2)若AB=5,BC=6,则线段GH的长度.16.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,点E在BC的延长线上,且∠DEC=∠BAC.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AC∥DE,当AB=8,CE=2时,求AC的长.17.(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).请回答:∠ADB=°,AB=.(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的长.18.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与⊙O交于点F.(1)求∠DAF的度数;(2)求证:AE2=EF•ED;(3)求证:AD是⊙O的切线.19.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证:△AFG∽△DFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.20.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EF A;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.21.如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.(1)△ABE与△ADF相似吗?请说明理由.(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.22.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点F,点E在BD上,且==.(1)试问:∠BAE与∠CAD相等吗?为什么?(2)试判断△ABE与△ACD是否相似?并说明理由.23.已知,如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠ACB,延长AD、BC相交于点E.求证:(1)△ACE∽△BDE;(2)BE•DC=AB•DE.24.如图,在△ABC中,AC=8厘米,BC=16厘米,点P从点A出发,沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动,点Q从点C出发,沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动,如果P与Q同时出发,经过几秒△PQC 和△ABC相似?25.已知:如图,MN为⊙O的直径,ME是⊙O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME 平分∠DMN.求证:(1)DE是⊙O的切线;(2)ME2=MD•MN.26.如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)求证:△PBD∽△DCA;(3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长.27.如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE的长.28.如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.(1)求证:BD∥EF;(2)若=,BE=4,求EC的长.29.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.30.如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.(1)求证:△AEH∽△ABC;(2)求这个正方形的边长与面积.31.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,点E为OB的中点,连接CE并延长交⊙O于点F,点F恰好落在的中点,连接AF并延长与CB的延长线相交于点G,连接OF.(1)求证:OF=BG;(2)若AB=4,求DC的长.参考答案与试题解析一.中等题(共50小题)1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AD=3,BD=6,求CD的长.【解】由射影定理得,CD2=AD•DB=3×6=18,∴CD==3.2.如图,是一块三角形材料,∠A=30°,∠C=90°,AB=6.用这块材料剪出一个矩形DECF,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,要使剪出的矩形DECF面积最大,点D应该选在何处?【解】∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB=3,由勾股定理得,AC===3,在Rt△ADF中,∠A=30°,∴AD=2DF,AF=DF,∴CF=AC﹣AF=3﹣DF,则矩形DECF面积=DF×(3﹣DF)=﹣DF2+3DF=﹣(DF﹣)2+,当DF=时,剪出的矩形DECF面积最大,则AD=2DF=3,∴使剪出的矩形DECF面积最大,点D应该选在AB的中点.3.如图,BD,CE是△ABC的高.求证:BA•AE=AC•AD.【解】∵BD,CE是△ABC的高∴∠ADB=∠AEC=90°又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AEC∴=∴AD•AC=AE•AB即BA•AE=AC•AD.4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.求证:DC2=DA•DB.【解】证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°,∴∠DCB+∠B=90°,∵∠ACB=90°,∴∠DCB+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B,又∠ADC=∠CDB=90°,∴△ACD∽△CBD,∴=,∴DC2=DA •DB.5.已知:如图所示,直线AE、BD、CF相交于点O,AC∥EF,BC∥DF,求证:AB∥DE.【解】证明:∵AC∥EF,∴=,∵BC∥DF,∴=,∴=,∵∠AOB=∠DOE,∴AB ∥DE.6.如图,在矩形ABCD中,已知AD>AB.在边AD上取点E,连结CE.过点E作EF⊥CE,与边AB的延长线交于点F.(1)证明:△AEF∽△DCE.(2)若AB=3,AE=4,AD=10,求线段BF的长.【解】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠AEF+∠F=90°∵EF⊥CE,∴∠CED+∠AEF=90°∴∠CED=∠F,∴△AFE∽△DEC.(2)∵△AFE∽△DEC.∴,∵AB=CD=3,AE=4,AD=10,∴DE=6,∴,∴BF=5.答:线段BF的长为5.7.如图,已知AB∥MN,BC∥NG.(1)求证:;(2)在此图中你还有什么发现?请直接写出2个结论.【解】证明:(1)如图所示:∵AB∥MN,∴△AOB~△MON,∴,又∵BC∥NG,∴△BOC~△NOG,∴,∴;(2)△AOB~△MON,△BOC~△NOG,△AOC∽MOG 等,证明过程见第(1)的步骤.8.如图,矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6,现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE,P是线段AB上一动点,试确定AP的长为多少时,矩形PMDN的面积取得最大值.【解】延长MP,交EF于点Q.如图所示:设AP的长x,矩形PMDN的面积为y.∵四边形CDEF为矩形,∴∠C=∠E=∠F=90°.∵四边形PMDN为矩形,∴∠PMD=∠MPN=∠PND=90°.∴∠PMC=∠QPN=∠PNE=90°.∴四边形CMQF、PNEQ为矩形.∴MQ=CF,PN=QE,且PQ∥BF.∵EF、FC 的中点分别为A、B,且EF=8,CF=6,∴AF=4,BF=3,∴AB==5,∵PQ∥BF,∴△APQ ∽△ABF.∴==.即==.解得:AQ=x,PQ=x.∴PN=QE=AQ+AE=x+4,PM=MQ﹣PQ=6﹣x.∴y=PN•PM=(x+4)(6﹣x)=﹣x2+x+24.当x=﹣=时,y取得最大值.即当AP=时,矩形PMDN的面积取得最大值.9.如图,在△ABC中,DE∥AC,DF∥AE,BD:DA=3:2,BF=6,DF=8,(1)求EF的长;(2)求EA的长.【解】(1)∵DF∥AE,∴=,即=,解得,EF=4;(2)∵DF∥AE,∴△BDF∽△BAE,∴=,即=,解得,EA=.10.如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD:DE=3:5,AE=16,BD=8,(1)求证:△ACD∽△BED;(2)求DC的长.【解】(1)∵∠C=∠E,∠ADC=∠BDE,∴△ACD∽△BED;(2)∵△ACD∽△BED,∴=,又∵AD:DE=3:5,AE=16,∴AD=6,DE=10,∵BD=8,∴=,即=.∴DC=.11.如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.(1)求证:BE=DG;(2)若∠B=60°,且四边形AECG是正方形时,求的值.【解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD,∠B=∠D,由平移的性质得:AE∥GC,∵AE是BC边上的高,∴AE⊥BC,∠AEB=90°,∴GC⊥AD,∴∠CGD=90°,在△ABE和△CDG中,,∴△ABE≌△CDG(AAS),∴BE=DG;(2)解:∵∠AEB=90°,∠B=90°,∴∠BAE=30°,∴BE=AB,AE=BE,∵四边形AECG是正方形,∴CE=AE=BE,∴BC=CE+BE=(+1)BE,∴==.12.如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且∠BEF=90°,延长EF交BC的延长线于点G.(1)求证:△ABE∽△EGB;(2)若AB=4,求CG的长.【解】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,且∠BEG=90°,∴∠A=∠BEG,∵∠ABE+∠EBG=90°,∠G+∠EBG=90°,∴∠ABE=∠G,∴△ABE∽△EGB;(2)∵AB=AD=4,E为AD的中点,∴AE=DE=2,在Rt△ABE中,BE===2,由(1)知,△ABE∽△EGB,∴=,即:=,∴BG=10,∴CG=BG﹣BC=10﹣4=6.13.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF经过O,分别交AB、CD于点E、F,EF的延长线(1)求证:OE=OF;(2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的长.交CB的延长线于M.【解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD,BC=AD,∴∠OAE=∠OCF,在△AOE和△COF中,,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF;(2)解:过点O作ON ∥BC交AB于N,则△AON∽△ACB,∵OA=OC,∴ON=BC=2,BN=AB=3,∵ON∥BC,∴△ONE∽△MBE,∴=,即=,解得,BE=1.14.如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC交于点F,G.(1)求证:BF=CF;(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.【解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△EBF∽△EAD,∴==,∴BF=AD=BC,∴BF=CF;(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CF,∴△FGC∽△DGA,∴=,即=,解得,FG=2.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.【解】证明:(1)连接OD,如图所示:∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∵OA=OD,∴∠CAB=∠ADO,∴∠BDE=∠CBA,∴EB=ED,∴△DBE是等腰三角形;(2)∵∠ACB=90°,AC是⊙O的直径,∴CB是⊙O的切线,∵DE是⊙O 的切线,∴DE=EC,∵EB=ED,∴EC=EB,∵OA=OC,∴OE∥AB,∴△COE∽△CAB.16.如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,求△BEF与△DCB的面积比.【解】在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∵E是AB的中点,∴BE=AB=CD,∵AB∥CD,∴△BEF∽△DCF,∴,∴,又∵,∴.17.如图,在▱ABCD中,E是BC延长线上的一点,AE与CD交于点F.求证:△ADF∽△EBA.【解】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB∥CD,∴∠DF A=∠BAE,∴△ADF∽△EBA.18.如图,在△ABC中,点D在BC边上,BC=3CD,分别过点B,D作AD,AB的平行线,并交于点E,且ED交AC于点F,AD=3DF.(1)求证:△CFD∽△CAB;(2)求证:四边形ABED为菱形;(3)若DF=,BC=9,求四边形ABED的面积.【解】(1)证明:∵EF∥AB,∴∠CFD=∠CAB,又∵∠C=∠C,∴△CFD∽△CAB;(2)证明:∵EF ∥AB,BE∥AD,∴四边形ABED是平行四边形,∵BC=3CD,∴BC:CD=3:1,∵△CFD∽△CAB,∴AB:DF=BC:CD=3:1,∴AB=3DF,∵AD=3DF,∴AD=AB,∴四边形ABED为菱形;(3)解:连接AE交BD于O,如图所示:∵四边形ABED为菱形,∴BD⊥AE,OB=OD,∴∠AOB=90°,∵△CFD ∽△CAB,∴AB:DF=BC:CD=3:1,∴AB=3DF=5,∵BC=3CD=9,∴CD=3,BD=6,∴OB=3,由勾股定理得:OA==4,∴AE=8,∴四边形ABED的面积=AE×BD=×8×6=24.19.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,F为AD上一点,且BF=BD.BF的延长线交AC于点E.(1)求证:AB•AD=AF•AC;(2)若∠BAC =60°.AB=4,AC=6,求DF的长;(3)若∠BAC=60°,∠ACB=45°,直接写出的值.【解】(1)∵AD平分∠BAC∴∠BAF=∠DAC又∵BF=BD∴∠BFD=∠FDB∴∠AFB=∠ADC∴△AFB∽△ADC∴.∴AB•AD=AF•AC(2)作BH⊥AD于H,作CN⊥AD于N,则BH=AB=2,CN=AC =3∴AH=BH=2,AN=CN=3∴HN=∵∠BHD=∠CDN∴△BHD∽△CND∴∴HD=又∵BF=BD,BH⊥DF∴DF=2HD=(3)由(1)得①,易证△ABD,△AEF,△BFD均为顶角为30°的等腰三角形∴AB=AD,AE=AF,BF=BD易证△ABD∽△AEF∴②∴①×②得==,过F作FG⊥AB于G,设FG=x,则AF=2x,BF=x,AG=x,BG=x∴AB=(+1)x,∴==4﹣220.如图,△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,D为BC上一点,DE⊥AC于E.(1)求证:△ADC∽△BEC;(2)若点D为BC的中点,AB=4,求BE的长.【解】(1)∵在四边形ABDE中,∠ABD+∠AED=180°,∴∠BAE+∠BDE=180°,∴点A、B、D、E 四点共圆,∴∠DAE=∠DBE.又∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC;(2)∵AB=4,∠C=30°,∠ABC=90°,∴BC=.∵D为BC中点,∴BD=DC=2.在Rt△ABD中,AD=.在Rt△CDE 中,∠C=30°,CD=2,所以CE=3.∵△ADC∽△BEC,∴,即,解得BE=.所以BE长为.21.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证:△AFG∽△DFC;(2)若正方形ABCD的边长为8,AE=2,求⊙O的半径.【解】(1)∵∠GAF+∠ADF=90°,∠CDF+∠ADF=90°,∴∠GAF=∠CDF.∵⊙O经过点C、D、G、F,∴∠FCD+∠FGD=180°.又∵∠AGF+∠FGD=180°,∴∠AGF=∠DCF.∴△AFG∽△DFC;(2)在Rt△AED和Rt△AFD中tan∠ADF=.∵△AFG∽△DFC,∴,即,解得AG =2.∴GD=8﹣2=6.连接GC,∵∠GDC=90°,∴GC为直径.在Rt△GDC中,GC==10,所以⊙O的半径为5.22.已知:AB为⊙O的直径,延长AB到点P,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,且∠A=30°.(1)求证:AC=PC;(2)若点D是弧AB的中点,连接CD交AB于点E,且DE•DC=18,求⊙O的面积.【解】(1)证明:连接OC,∵PC为⊙O的切线,∴∠OCP=90°,即∠COP+∠P=90°,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°,∵∠COP是△AOC的一个外角,∴∠COP=2∠CAO=60°,∴∠P=∠CAO=30°,∴AC=PC;(2)解:连接AD,∵D为的中点,∴∠ACD=∠DAE,又∠ADC=∠EDA,∴△ACD ∽△EAD,∴=,即AD2=DC•DE,∵DC•DE=18,∴AD=3,∵=,∴AD=BD=3,∵AB是⊙O的直径,∴△ADB为等腰直角三角形,∴AB=6,∴OA=AB=3,∴S⊙O=π•OA2=9π.23.如图,已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E,DF过圆心O交AB于F,AF=FB,连接AC.(1)求证:△ACD∽△EAD;(2)若圆O的半径为5,AF=2BE=4,求证:AC=AD.【解】(1)∵DF过圆心O交AB于F,AF=FB,∴DF垂直平分AB.∴弧AD=弧BD,∴∠DCA=∠DAB.又∵∠ADC=∠EDA,∴△ACD∽△EAD;(2)连结OA,在Rt△AFO中,OF=3,DF=8,在Rt△DEF中,EF=6,∴DE=10.∵AE=10,∴DE=AE.∴∠ADE=∠DAE.∴弧AC=弧BD.∴AC=BD.又弧AD =弧BD,∴AD=BD.∴AC=AD.24.如图,已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为4,弦AC与BD的交点为E,OA与BD相交于点F,AB=AD.(1)求证:AB2=AE•AC;(2)若AE=EC,AF=2,求△BCD的面积.【解】(1)证明:∵AB=AD∴∠ABD=∠ADB又∵∠ADB=∠ACB∴∠ABD=∠ACB而∠BAE=∠CAB∴△ABE∽△ACB∴即:AB2=AE•AC得证.(2)连接OB,如下图所示∵AE=EC∴S△BAE=S△BCE,S△DAE=S△DCE∴S△BCD=S△BAD又∵AB=AD∴OA⊥BD且BF=DF∵AF=2,OA=OB =4∴BF=DF=2∴BD=4∴S△BAD=×BD×AF=×4×2=4而S△BCD=S△BAD故△BCD的面积为4.25.如图,已知四边形ABCD是菱形,点E是对角线AC上一点,连接BE并延长交AD于点F,交CD的延长线于点G,连接DE.(1)求证:△ABE≌△ADE;(2)求证:EB2=EF•EG;(3)若菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,AE:EC=1:3,求BG的长.【解】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,又AE=AE,∴△ABE≌△ADE(SAS);(2)∵AB∥CG,∴∠ABG=∠EGD,由(1)得△ABE≌△ADE,∴ED=EB,∠ABG=∠ADE,∴∠EGD =∠ADE,∵∠FED=∠DEG,∴△EDF∽△EGD,∴,所以ED2=EF•EG;∴EB2=EF•EG;(3)∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB=4.连接BD交AC于O,则AC⊥BD,OA=OC=2,OB=2,∵AE:EC=1:3,∴AE=OE=1.∴BE=.∵AD∥BC,∴,∴EF=BE=.由(2)得EB2=EF•EG,∴EG=,∴BG=BE+EG=4.26.如图,点D,E在线段BC上,△ADE是等边三角形,且∠BAC=120°(1)求证:△ABD∽△CAE;(2)若BD=2,CE=8,求BC的长.【解】(1)证明:∵∠BAC=120°,∴∠BAD+∠EAC=60°,∵△ADE是等边三角形,∴∠ADE=∠AED =60°,∴∠BAD+∠B=60°,∠ADB=∠AEC=120°,∴∠B=∠EAC,又∠ADB=∠AEC,∴ABD∽△CAE;(2)解:∵ABD∽△CAE,∴=,即AD2=BD•CE=16,解得,AD=4,则DE=4,∴BC=BD+DE+EC=14.27.如图,已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点D作AC的平行线,过点C作CD的垂线,两线相交于点E.(1)求证:△ABC∽△DEC;(2)若CE=2,CD=4,求△ABC的面积.【解】证明:(1)∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD=AB=AD,∴∠A=∠ACD.∵DE∥AC,∴∠CDE=∠ACD=∠A,又∵∠ACB=∠DCE=90°,∴△ABC∽△DEC.(2)在Rt△DEC中,DE=,△CDE的面积为×2×4=4.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴AB=2CD=8.∵△ABC∽△DEC,∴,即,∴△ABC的面积为.28.如图,已知AB∥CD,AC与BD相交于点E,∠ABE=∠ACB.(1)求证:△ABE∽△ACB;(2)如果AB=6,AE=4,求CD的长.【解】证明:(1)∵∠ABE=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABE∽△ACB;(2)∵△ABE∽△ACB,∴,即,解得AC=9.∴CE=9﹣AE=5.∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴,即,解得CD=.29.已知:如图,在正方形ABCD中,Q是CD的中点,PQ⊥AQ.求证:BP=3CP.【解】证明:∵PQ⊥AQ,∴∠AQD+∠PQC=90°.∵∠C=∠D=90°,∴∠DAQ+∠AQD=90°.∴∠DAQ=∠PQC.∴△DAQ∽△CQP.∵Q是CD的中点,∴.∴,∴AD=4CP..∵AD=BC,∴BC=4CP,∴BP=3CP.30.如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,点P在BC的延长线上,AP与DE、CD分别交于点G、F.DF=2CF,AB=6,求DG的长.【解】在正方形ABCD中,有△PCF∽△PBA∴而DF=2CF,即CF=CD∴=∴=即而AB=BC=6,∴PC=3又∵点E是BC的中点∴DE=3,PE=6∵AD∥EP∴△PGE∽△AGD ∴而PE=AD=6,∴GE=GD=故DG的长为.31.已知,在Rt△ABC中,以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆,圆心为点O,这个圆交线段BC于E点,点G为BD的中点.(1)求证:GE为⊙O的切线;(2)若=,GE=6,求AD的长.【解】(1)证明:连接OE、DE、OG,∵CD为⊙O的直径,∴∠CED=90°,∵点G为BD的中点,∴GE=BD=DG,在△GEO和△GDO中,,∴△GEO≌△GDO(SSS)∴∠GEO=∠GDO=90°,∴GE为⊙O的切线;(2)解:∵∠ACB=90°,∠CDA=90°,∴∠ACD=∠B,∴tan B==,∴tan∠ACD==,∴AD=CD=GE=3.32.如图,▱ABCD中,E是AB中点,AC与DE交于点F.(1)求证:△DFC∽△EF A.(2)若AC⊥DE,AB=2,AF=2,求DF长.【解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,AB=CD,∴△DFC∽△EF A;(2)解:∵E 是AB中点,∴AE=AB=,∵AC⊥DE,∴∠AFE=90°,∴FE==1,∵△DFC∽△EF A,∴==,∴DF=2EF=2.33.已知四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,点F为AB上一点,且EF=EB,△DGC∽△ADC.(1)求证:CD=CF;(2)H为线段DG上一点,连结AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=5,DC=3,求的值.【解】(1)证明:∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,在△ADC和△ABC中,∴△ADC ≌△ABC(SAS),∴CD=CB,∵CE⊥AB,EF=EB,∴CF=CB,∴CD=CF;(2)解:∵△DGC∽△ADC,∴∠DGC=∠ADC,∵∠ADC=2∠HAG,∴∠DCG=2∠HAG,∵∠DGC=∠HAG+∠AHG,∴∠HAG=∠AHG,∴HG=AG,∵∠GDC=∠DAC=∠F AG,∠DGC=∠AGF,∴△DGC∽△AGF,∴△AGF∽△ADC,∴==,即=.34.如图,⊙O中弦AB与CD交于M点.(1)求证:DM•MC=BM•MA;(2)若∠D=60°,⊙O的半径为2,求弦AC的长.【解】(1)证明:∵=,∴∠D=∠B,又∵∠DMA=∠BMC,∴△DMA∽△BMC,∴=,∴DM•MC=BM•MA;(2)连接OA,OC,过O作OH⊥AC于H点,∵∠D=60°,∴∠AOC=120°,∠OAH=30°,AH=CH,∵⊙O半径为2,∴AH=∵AC=2AH,∴AC=2.35.已知:如图,在△ABC中,D在边AB上.(1)若∠ACD=∠ABC,求证:AC2=AD•AB;(2)若E为CD中点,∠ACD=∠ABE,AB=3,AC=2,求BD的长.【解】(1)在△ABC和△ACD中,∠ACD=∠ABC,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD,故,即AC2=AD⋅AB,(2)过C作CF∥EB交AB的延长线于F,由于E为CD中点,故BF=BD,∠F=∠ABE,而∠ACD=∠ABE,∴∠ACD=∠F,∴在△AFC和△ACD中,∠ACD=∠F,∠A=∠A,∴△AFC∽△ACD,∴,∴AC2=AD•AF,又∵AB=3,AC=2,∴22=(3﹣BD)(3+BD),∴BD=.36.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,EF⊥CE于点E(1)求证:△AEF∽△BCE.(2)若,求的值.【解】(1)∵∠A=∠B=90°,∠FEC=90°,∴∠AEF+∠AFE=90°,∠AEF+∠CEB=90°.∴∠AFE =∠CEB.∴△AEF∽△BCE;(2)由,设BE=x,则AE=2x,AB=3x=BC.∵△AEF∽△BCE,∴=.37.如图,已知▱ABCD,点E在边BC延长线上,连接AE,如果∠EAC=∠D.(1)求证:△EAC∽△EBA;(2)若=,求的值.【解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,∵∠EAC=∠D,∴∠EAC=∠B,又∠E =∠E,∴△EAC∽△EBA;(2)解:△EAC∽△EBA,=,∴===,∴EC=EA,EB =EA,则=.38.如图,E是边长为4的正方形ABCD的边AB上的点,且AE=1,EF⊥DE交BC于点F,求线段CF的长.【解】∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,∴∠ADE+∠AED=90°,∵EF⊥DE,∴∠BEF+∠AED=90°,∴∠ADE=∠BEF,∴△ADE∽△BEF,∴=,即=,解得,BF=,∴CF=BC﹣BF=.39.如图,AB∥CD∥EF,点C在AE上,点G在EF上,AF、BG交于点D,已知CD=5米,EG=6米,GF=9米,求AB的长.【解】∵CD∥EF,∴△ACD∽△AEF,∴=,即==,∴=,∵AB∥EF,∴△ADB ∽△FDG,∴=,即=,解得,AB=4.5(米).40.已知:如图,△ABC中,AD是角平分线,点E在AC上,∠ADE=∠B,求证:AD2=AE•AB.【解】证明:∵AD是角平分线,∴∠BAD=∠DAC,又∵∠ADE=∠B,∴△ABD∽△ADE,∴=,∴AD2=AE•AB.41.如图,在矩形ABCD中,点M是CD的中点,MN⊥BM交AD于N,连BN;(1)求证:BM平分∠NBC;(2)若=,求的值.【解】(1)证明:延长BM交AD的延长线于H,在△BMC和△HMD中,,∴△BMC≌△HMD,∴BM=MH,又MN⊥BM,∴NB=NH,∴∠NBM=∠NHM,∵AH∥BC,∴∠MBC=∠NHM,∴∠MBC=∠NBM,即BM平分∠NBC;(2)解:设DN=a,则DC=AB=4a,∴DM=MC=2a,由勾股定理得,MN==a,由(1)得,∠BNM=∠MND,∠BMN=∠MDN,∴△BMN∽△MDN,∴==,∴BM=2a,由勾股定理得,BN==5a,则AN==3a,∴==.42.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AB上,且∠ADE=60°.求证:△ADC∽△DEB.【解】证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+60°,∵∠ADE=60°,∴∠ADB=∠BDE+60°,∴∠CAD=∠BDE,∴△ADC∽△DEB.43.如图,△ABC中,DE∥BC,△ADE的面积等于6,△DEC的面积等于9,OE=4,求BE的长.【解】∵△ADE的面积等于6,△DEC的面积等于9,∴=,∴==,∵DE∥BC,∴△ADE ∽△ABC,∴===,∵DE∥BC,∴△DOE∽△COB,∴==,∴OB=10,∴BE=OB+OE=14.44.如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点,且∠1=∠2=∠3.(1)求证:DE•AB=BC•AE;(2)求证:∠AEB=∠ADC.【解】(1)证明:∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠EAD,∵∠AED=∠1+∠ABD,∠ABC=∠3+∠ABD,∠1=∠3,∴∠ABC=∠AED,∴△ABC∽△AED,∴=,∴DE•AB=BC•AE;(2)证明:∵△ABC∽△AED,∴=,∴=,∵∠1=∠2,∴△ABE∽△ACD,∴∠AEB=∠ADC.45.已知:如图,在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点E,∠BED=60°,DE=OE=4.求:(1)CE的长;(2)⊙O的半径.【解】(1)作OF⊥CD于F,如图1所示:则CF=DF,∠OFC=∠OFE=90°,∵∠OEF=∠BED=60°,∴∠EOF=30°,∴EF=OE=2,∴CF=DF=DE+EF=4+2=6,∴CE=CF+EF=6+2=8;(2)连接OC,如图2所示:∵∠EOF=30°,∴OF=EF=2,由勾股定理得:OC===4,即⊙O的半径为4.46.如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若BE=5,CD=8,求⊙O的半径.【解】(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切,理由如下:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∵∠CDA=∠CBD,∴∠DAB+∠CDA=90°,∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO,∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,∴OD⊥CE,∴直线CD是⊙O的切线;(2)∵CD是⊙O的切线,BE是⊙O的切线,∴DE=BE=5,∠CBE=90°=∠CDO,∴CE=CD+DE=13,∴BC===12,∵∠C=∠C,∴△COD∽△CEB,∴=,即=,解得:OC=,∴OB=BC﹣OC=,即⊙O的半径为.47.如图,点C,P均在⊙O上,且分布在直径AB的两侧,BE⊥CP于点E.(1)求证:△EPB∽△CAB;(2)若BP=5,BE=4,AB=10,求CE的长.【解】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,BE⊥CP,∴∠ACB=∠BEP=90°,∵∠CAB=∠BPC,∴△EPB ∽△CAB;(2)解:∵△EPB∽△CAB,∴=,即:=,解得:BC=8,∴CE===4.48.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,弦AD与OC相交于点E,与BC相交于点F,AE=DE.(1)求证:∠CBD=∠OCB;(2)若⊙O的半径为2,BC=8,求DF的长.【解】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AD,∵AE=DE,∴OE⊥AD,∴OE∥BD,∴∠CBD=∠OCB;(2)解:连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACD中,AC===4,∵OE⊥AD,∴=,∴∠CAD=∠ABC,又∠ACF=∠BCA,∴△ACF∽△BCA,∴=,即=,解得,CF=2,∴BF=BC﹣CF=8﹣2=6,∵∠ABC=∠CBD,∠ACB=∠FDB,∴△ABC∽△FBD,∴=,即=,解得,DF=.49.如图(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=20°,∠OAC=80°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2),请回答:∠ADB=80°,AB=8.(2)请参考以上思路解决问题:如图3,在四边形ABCD 中,对角线AC、BD相交于点O,AC⊥AD,AO=6,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的长.【解】(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=80°,∵∠BOD=∠COA,∴△BOD∽△COA,∴==,∵AO=6,∴OD=AO=2,∴AD=AO+OD=6+2=8,∵∠BAD=20°,∠ADB=80°,∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=80°=∠ADB,∴AB=AD=8,故答案为:80,8;(2)过点B 作BE∥AD交AC于点E,如图3所示:∵AC⊥AD,BE∥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°,∵∠AOD=∠EOB,∴△AOD∽△EOB,∴==,∵BO:OD=1:3,∴==,∵AO=6,∴EO=AO =2,∴AE=AO+EO=6+2=8,∵∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB =2BE,在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即(8)2+BE2=(2BE)2,解得:BE=8,∴AB=AC=16,AD=3BE=24,在Rt△CAD中,AC2+AD2=DC2,即162+242=DC2,解得:DC=8.50.如图,在△ABC中,∠C=90°,F为射线BA上一点,且满足CB2=CE•CA,过B作BD⊥DF于D,交AC边于E.证明:∠BFD=2∠CBD.【解】证明:如图,作AH⊥BD于H点,∵CB2=CE•CA,即.又∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB.∴∠CBD=∠CAB.∵∠BCE=∠AHE=90°,∠CEB=∠HEA,∴∠CBD=∠CAH.∴∠BAH=2∠CBD.∵AH∥DF,∴∠BAH=∠BFD.∴∠BFD=2∠CBD.二.提高30道1.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EF=DE.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长.【解答】(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE.∴∠CBD=∠BDE.∵ED=EF,∴∠EDF=∠EFD.∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°,∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.∴OD⊥DF.∵OD是半径,∴DF是⊙O的切线.(2)解:连接DC,∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=∠BCD=90°.∵∠ABD=∠CBD,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴CD=AD=4,AB=BC.∵DE=5,∴,EF=DE=5.∵∠CBD=∠BDE,∴BE=DE=5.∴BF=BE+EF=10,BC=BE+EC=8.∴AB=8.∵DE∥AB,∴△ABF∽△MEF.∴∴ME=4.∴DM=DE﹣EM=1.2.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E.(1)求证:EF=DE;(2)若AD=4,DE=5,求BD的长.【解答】(1)证明:∵DF为切线,∴BD⊥DF,∴∠1+∠2=90°,∠3+∠F=90°,∵BD平分∠ABC,∴∠3=∠4,∵DE∥AB,∴∠2=∠4,∴∠2=∠3,∴∠1=∠F,∴EF=ED;(2)解:∵∠2=∠3,∴BE=DE=5,而EF=ED=5,∴BF=10,∵BD为直径,∴∠BAD=90°,∵∠3=∠4,∠BDF=∠BAD =90°,∴△BDF∽△BAD,∴=,∴BD2=BF•AB=10AB,在Rt△ABD中,BD2=AD2+AB2,∴AB2﹣10AB+16=0,解得AB=2或AB=8,当AB=2时,BD=2<DE(舍去);当AB=8时,BD=4,∴BD的长为4.3.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点F.(1)求证:EF=ED;(2)如果半径为5,cos∠ABC=,求DF的。
相似三角形练习题及答案
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相似三角形练习题及答案一、选择题1. 若两个三角形的对应角相等,且对应边成比例,则这两个三角形是相似的。
这种说法正确吗?A. 正确B. 错误2. 三角形ABC和三角形DEF相似,AB=6cm,DE=3cm,那么AC的长度是多少?A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm3. 在三角形ABC中,∠A=60°,∠B=40°,那么∠C是多少度?A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE=2:3,BC=8cm,求DE的长度。
5. 在三角形ABC中,若∠A=30°,∠B=70°,求∠C的度数。
三、解答题6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AC=4cm,DF=6cm,AB=5cm,求EF的长度。
7. 在三角形ABC中,已知AB=6cm,AC=4cm,BC=8cm,判断三角形ABC 是否为直角三角形,并说明理由。
四、证明题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且∠A=∠D,∠B=∠E,证明∠C=∠F。
9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB/DE=2/3,AC/DF=2/3,证明BC/EF=2/3。
五、应用题10. 在平面直角坐标系中,点A(-3,4),B(1,-2),C(5,6),点D(-1,1),E(3,-6),F(7,3),判断三角形ABC与三角形DEF是否相似,并求出相似比。
答案:1. A2. B3. C4. 6cm5. 80°6. 7.5cm7. 是直角三角形,因为AB²+AC²=BC²。
8. 由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应角相等,所以∠C=∠F。
9. 根据相似三角形的性质,对应边的比值相等,所以BC/EF=AB/DE=2/3。
10. 三角形ABC与三角形DEF相似,相似比为3/2。
相似三角形测试题及答案
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相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE = 2:3,则BC:EF的比值为:A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案:B2. 在相似三角形中,对应角相等,对应边成比例。
以下哪项不是相似三角形的性质?A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案:D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似,相似比为2:3,则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。
答案:2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 6cm,DE = 9cm,则BC 与EF的比值为______。
答案:2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 8cm,DE = 12cm,求三角形ABC的周长,已知三角形DEF的周长为36cm。
答案:三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且∠A = ∠D = 50°,∠B =∠E = 60°,求∠C和∠F的度数。
答案:∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB = 4cm,DE = 6cm,BC = 5cm,EF = 7.5cm,证明AC = 6.25cm。
答案:由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应边成比例,所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。
已知EF = 7.5cm,所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。
因此,AC = 6.25cm。
8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且∠A = ∠D,∠B = ∠E,求证:∠C = ∠F。
答案:由于三角形ABC与三角形DEF相似,根据相似三角形的性质,对应角相等。
已知∠A = ∠D,∠B = ∠E,所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
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经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠A BC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.BC==22、,可得BC=∵BC=EC=;∴,∴8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.面积的面积的则有:(×3×6,即面积的因此有①,或t=(t=t=都符合题意,同时出发后,经过秒或9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.P=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.CE=.AE=∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=∴.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.∴QM=PM=AB=12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.(AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=∴t=t=时,△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=,,,>∴t=t=14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?时,有:;时,有:∴经过15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.=,即=,解得对应时,有=,即=16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.解:∵AC=∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:时,有=,∴AB==3时,有=,∴AB=.317.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.a①若△CDM∽△MAN,则=∴AN=②若△CDM∽△NAM,则AN=18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?或)当,∴x=;)当,∴x=.所以,经过秒或19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.∴=,∴=,∴=,∴=,∴=,∴AP=.AP=时,由BP=,∴=,、20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.∴∴中有21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.所以所以;=,即=,;=,即=,t=时,以点22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?∴,23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.∴∴,∴.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)∴,即与①类似得:∴∴,与①类似得:,∴,∴MN=r(25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.AE∥BD,所以△ECA∽△DCB,则有∴∴26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.∵∴∴解得:.∴,,即.∴同理可得:,∴=)可知,即,同理可得:∴,由等比性质得:∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;。
相似三角形试题及答案
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相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中,对应角相等的条件是:A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案:A2. 下列选项中,哪一项不是相似三角形的性质?A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案:B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE=2:3,则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。
答案:4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似,且∠A=∠A'=60°,则∠B与∠B'的关系是________。
答案:相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中,对应边长的比等于对应角的正弦值之比。
答案:在相似三角形中,由于对应角相等,根据正弦定理,对应边长的比等于对应角的正弦值之比。
这是因为正弦值与角的大小成正比,而相似三角形的对应角大小相同,因此它们的正弦值之比也相同。
四、计算题6. 在三角形ABC中,已知AB=5cm,AC=7cm,∠A=60°,求三角形ABC的面积。
答案:首先,利用余弦定理计算BC的长度。
根据余弦定理,BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。
代入已知值,得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39,所以BC = √39 cm。
然后,利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A,代入已知值,得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。
7. 若三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE=3:5,求三角形ABC与三角形DEF的面积比。
答案:由于相似三角形的面积比等于边长比的平方,所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。
相似三角形经典练习题及答案
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相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4,则它们的周长之比为()A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案:A解析:相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4,所以相似比为 1∶2,那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,若 AD∶DB = 1∶2,则下列结论中正确的是()A AE∶EC = 1∶2B AE∶EC = 1∶3 C DE∶BC = 1∶2 DDE∶BC = 1∶3答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB =1∶2,所以 AD∶AB = 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例,所以AE∶AC = AD∶AB = 1∶3,所以 AE∶EC = 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C',相似比为 3∶4,△ABC 的周长为 6,则△A'B'C'的周长为()A 8B 7C 9D 10答案:A解析:因为相似三角形周长的比等于相似比,所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x,则6∶x =3∶4,解得 x = 8。
4、如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且DE∥BC,如果 AD = 2cm,DB = 1cm,AE = 15cm,则 EC =()A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以 AD∶AB =AE∶AC。
因为 AD = 2cm,DB = 1cm,所以 AB = 3cm。
所以 2∶3= 15∶(15 + EC),解得 EC = 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是()A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案:B解析:等边三角形的三个角都相等,都是 60°,所以两个等边三角形一定相似。
中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)
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中考数学专题训练:相似三角形(附参考答案)1.若a3=b2,则a+bb的值为( )A.32B.53C.52D.232.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为( )A.3 B.4C.5 D.63.如图,AD∥BE∥FC,直线l1,l2分别与三条平行线交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,BC=5,DF=12,则EF的长为( )A.4.5 B.6C.7.5 D.84.如图,小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时,测得标杆BE高1.2 m,又知AB∶BC=1∶8,则建筑物CD的高是( )A.9.6 m B.10.8 mC.12 m D.14 m5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2).现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′,则顶点C′的坐标是( )A.(2,4) B.(4,2)C.(6,4) D.(5,4)6.如图(单位:mm),小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容:当测试距离为5 m时,标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm,当测试距离为3 m时,最大的“E”字高度为( )A.121.17 mm B.43.62 mmC.29.08 mm D.4.36 mm7.如图,AC是□ABCD的对角线,点E在CD的延长线上,连接BE分别交AC,AD 于点F,G,则下列式子一定正确的是( )A.AFCF =AGDGB.ABCE=CFAFC.BFFG =EFBFD.ADDG=ABDE8.如图,在△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的点,试添加一个条件:________________________,使得△ADE与△ABC相似.(任意写出一个满足的条件即可)9.如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,S△ABDS△BCD =12,则S△BOCS△BCD=______.10.如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,AFFC =14,则AE的长为_____.11.如图,为了测量山坡的护坡石坝高,把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竿上AD长为1 m时,它离地面的高度DE为0.6 m,则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(2,1),B(2,0),O(0,0).若以原点O为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为__________________________.13.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点.若S△ADE=2,则S△ABC=_____.14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是____________.15.如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.(1)求证:△ABC∽△DEC;(2)若S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,求EC的长.16.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE =2AE,BE交AD于点F,则△AFE面积的最大值是______.17.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为________cm.18.如图,在正方形ABCD中,点E是边CD上一点,连接BE,以BE为对角线作正方形BGEF,边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H,连接AF,有以下五个结论:①∠ABF=∠DBE;②△ABF∽△DBE;③AF⊥BD;④2BG2=BH·BD;⑤若CE∶DE=1∶3,则BH∶DH=17∶16.你认为其中正确的是____________.(填写序号)19.已知,如图1,若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线,通过证明可得ABAC =BDCD,同理,若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:如图2,在△ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线,则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________.20.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB 上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:(1)∠CAE=∠BAF;(2)CF·FQ=AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是边BC上一点(不与点B,C重合),连接AD.(1)如图1,若∠C=60°,点D关于直线AB的对称点为点E,连接AE,DE,则∠BDE=________.(2)若∠C=60°,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接BE.①在图2中补全图形;②探究CD与BE的数量关系,并证明.(3)如图3,若ABBC =ADDE=k,且∠ADE=∠C,试探究BE,BD,AC之间满足的数量关系,并证明.参考答案1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C8.ADAB =AEAC(答案不唯一) 9.2310.1 11.2.712.(4,2)或(-4,-2)13.8 14.(4,2) 15.(1)证明略(2)EC=916.43 17.4.5 18.①②③④ 19.12<l<25220.(1)证明略(2)证明略21.(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD=BE,证明略(3)AC=k(BD+BE),证明略。
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相似三角形练习题及答案
一、填空题:
1、若b m m a 2,3==,则_____:=b a 。
2、已知6
53
z
y x ==
,且623+=z y ,则__________,==y x 。
3、在等腰Rt △ABC 中,斜边长为c ,斜边上的中线长为m ,则______:=c m 。
4、反向延长线段AB 至C ,使AC =2
1
AB ,那么BC :AB = 。
5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为3:2,若它们的周长的差为40厘米,则△A ′B ′C ′的周长为 厘米。
6、如图,△AED ∽△ABC ,其中∠1=∠B ,则
()()()AB
BC AD _________==。
第6题图 第7题图
7、如图,△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,若∠A =30°,则BD :BC = 。
若BC =6,AB =10,则BD = ,CD = 。
E A
D
C
1
C
B
D
A
8、如图,梯形ABCD 中,DC ∥AB ,DC =2cm ,AB =3.5cm ,且MN ∥PQ ∥AB ,
DM =MP =PA ,则MN = ,
第8题图 第9题图
9、如图,四边形ADEF 为菱形,且AB =14厘米,BC =12厘米,AC =10厘米,那BE = 厘米。
10、梯形的上底长1.2厘米,下底长1.8厘米,高1厘米,延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。
二、选择题:
11、下面四组线段中,不能成比例的是( )
A 、4,2,6,3====d c b a
B 、3,6,2,1====d c b a
D C M
P
N Q A
B
C 、10,5,6,4====d c b a
D 、32,15,5,2====d c b a 12、等边三角形的中线与中位线长的比值是( )
A 、1:3
B 、2:3
C 、2
3
:2
1 D 、1:3 13、已知7
54
z
y x ==,则下列等式成立的是( ) A 、
91=+-y x y x B 、16
7
=++z z y x C 、38=-+++z y x z y x D 、x z y 3=+
14、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++,()0,0>>b a ,则=b a :( ) A 、1:3 B 、1:4 C 、2:1 D 、3:1 15、△ABC 中,AB =12,BC =18,CA =24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,则最短的一边是( )
A 、27
B 、12
C 、18
D 、20 16、已知c b a ,,是△ABC 的三条边,对应高分别为c b a h h h ,,,且6:5:4::=c b a ,那么c b a h h h ::等于( )
A 、4:5:6
B 、6:5:4
C 、15:12:10
D 、10:12:15
17、一个三角形三边长之比为4:5:6,三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ,则原三角形最大边长为( )
A 、44厘米
B 、40厘米
C 、36厘米
D 、24厘米 18、下列判断正确的是( )
A 、不全等的三角形一定不是相似三角形
B 、不相似的三角形一定不是全等三角形
C 、相似三角形一定不是全等三角形
D 、全等三角形不一定是相似三角形
19、如图,△ABC 中,AB =AC ,AD 是高,EF ∥BC ,则图中与△ADC 相似的三角形共有( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、多于3个
20、如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 边上的点,若BE :EC =4:5,AE 交BD 于F ,则BF :FD 等于( )
A 、4:5
B 、3:5
C 、4:9
D 、3:8
A
E
F G B D
C
三、解答题:
21、已知()3:2:=-y y x ,求
y
x y
x 2352-+的值。
22、如图,在Rt △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高,且AC =6厘米,AD =4厘米,求AB 与BC 的长 解:
C
A
D
B
24、如图,Rt ΔABC 中斜边AB 上一点M ,MN ⊥AB 交AC 于N ,若AM =3厘米,AB :AC =5:4,求MN 的长。
解:
24. 如图,在ABC △中,90BAC ∠=,AD 是BC 边上的高,E 是BC 边上的一个动点(不与B C ,重合),EF AB ⊥,EG AC ⊥,垂足分别为F G ,. (1)求证:EG CG
AD CD
=
;
(2)FD 与DG 是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由; (3)当AB AC =时,FDG △为等腰直角三角形吗?并说明理由.(12分)
C
B
M
N
A
F
A G
C
E
D B
26、(14分)如图,矩形ABCD 中,3AD =厘米,AB a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿B A →,B C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB ,分别交AN ,CD 于P Q ,.当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒.
(1)若4a =厘米,1t =秒,则PM =______厘米;
(2)若5a =厘米,求时间t ,使PNB PAD △∽△,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围;
(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a 的值;若不存在,请说明理由.
一、选择题
1. D
2. A
3. D
4. A
5. D
6. B
7. B
8. A 25. (1)证明:在ADC △和EGC △中,
Rt ADC EGC ∠=∠=∠,C C ∠=∠ ADC EGC ∴△∽△
N
F
A G
C
E
D B
EG CG
∴=3分
AD CD
(2)FD与DG垂直4分
证明如下:
在四边形AFEG中,
∠=∠=∠=
90
FAG AFE AGE
∴四边形AFEG为矩形
AF EG
∴=
由(1)知EG CG
=
AD CD
AF CG
∴=6分AD CD
△为直角三角形,AD BC
⊥
ABC
∴∠=∠
FAD C
∴△∽△
AFD CGD
∴∠=∠8分ADF CDG
又90
∠+∠=
CDG ADG
∴+∠=
90
ADF ADG
即90
∠=
FDG
∴⊥10分FD DG
(3)当AB AC
△为等腰直角三角形,
=时,FDG
理由如下:
AB AC =,90BAC ∠= AD DC ∴=
由(2)知:AFD CGD △∽△
1FD AD
GD DC
∴
== FD DG ∴=
又90FDG ∠=
FDG ∴△为等腰直角三角形
12分
九、动态几何 26. (1)34
PM =,
(2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥,⊥,,
AMP ABC △∽△,PM AM BN AB ∴
=即()
PM a t t a t PM t a a --==
,, (1)
3t a QM a
-∴=-
当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,即
()()22
QP AD DQ MP BN BM
++=
()33(1)()22t a t t a a t t t
a a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a
=+,
3t ≤,636a
a
∴
+≤,则636a a ∴<≤,≤, (4)36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等
∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =
()3t a t t a ∴-=-,把66a
t a
=
+代入,解之得a =±,所以a =.
所以,存在a ,当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等.。