高等数学期中考试
大学高数期中考试试卷
大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程\(\frac{dy}{dx} + y = e^x\)的解是：A. \(y = e^x - xe^x\)B. \(y = e^x + ce^{-x}\)C. \(y = e^x - ce^x\)D. \(y = e^x\)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数\(\sin(x)\)的原函数是：A. \(x\)B. \(\cos(x)\)C. \(-\cos(x)\)D. \(\sin(x)\)6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=\(\sqrt{x}\)与直线x=4所围成的面积是：A. \(\frac{16}{3}\)B. \(\frac{32}{3}\)C. \(\frac{64}{3}\)D. \(\frac{128}{3}\)8. 函数\(\ln(x)\)的泰勒展开式是：A. \(x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)B. \(x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)C. \(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots\)D. \(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots\)9. 若\(\int_{0}^{1} f(x)dx = 2\)，则\(\int_{0}^{1} x f(x)dx\)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数\(\frac{1}{1+x^2}\)的不定积分是：A. \(\ln(1+x^2)\)B. \(\arctan(x)\)C. \(\ln|x|\)D. \(\ln|x+1|\)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，则\(dy\) = __________。
高数(一)期中考试试题
高等数学（上）期中考试试题一、填空题（5×5=25分）1．()的连续区间为x x x f 1arctan 3+-= 。
2．()()()=--+='→h h x f h x f ,x f h 0000lim 2则已知 。
3．(),y x cos x sin y 0=--已知.y =d 则4．()()()==02cos 102f ,x x x f 则若 . 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 2在点(0,1)处的法线方程为 .二、选择题（5×5=25分）1．的极限是函数时当12120x 1x 1+-→,x （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）不存在2．()()()的是则设x f x ,x ,x ,x x x f 000011=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=（A ）可去间断点 （B ）无穷间断点 （C ）连续点 （D ）跳跃间断点3.().n x e e x n x x tan 为是同阶无穷小，则与时，设-→0（A ）1 （B ）2 （C ）3 （C ）44． 下列结论一定正确的是（ ）（A ）驻点一定是极值点（B ）极值点一定是驻点（C ）()为极小值点则若000x x ,x f =>''（D ）()()()()()内不取得极值在则内可导，在若b ,a x f ,x f b ,a x f 0>' 5． x xe y -=曲线的拐点是（ ）（A ）()222-e , （B ）()00, （C ）()11-e , （D ）()e ,1-三、计算题（6×3=18分）()()().a x f ,x ,x x x ,ax x f .x x 存在，求若设0lim 02sin 0111→⎪⎩⎪⎨⎧><+= ().x x .x 2tan 1lim 221π-→求()()().x f x x x f .x '++=，求1ln 32cos四、证明题（6×2=12分）.x x .x -≤<11e 11时，证明：当 ()[]()()()()()()().f b ,a ,c f ,b ,a c ,b f a f b ,a ,b a x f .0002<''∈>∈==ξξ内，使得证明：至少存在一点使得且存在点内二阶可导，且在上连续，在设五、综合题（10×2=20分）1． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为5m 2，洞底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？2． 讨论方程()0>=a ax x ln 其中有几个实根？。
高等数学(上)期中考试试卷
(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点装订线内不要答题自觉遵 守考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作弊（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>∆x 时，有（ ）(A )0>>∆dy y (B )0<<∆dy y (C )0>∆>y dy (D )0<∆<y dy（4）函数q x x x f ++=2)(3的零点的个数为 （ ）(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 与q 取值有关（5）若函数)(x f 满足)( )()(+∞<<-∞=-x x f x f ，且在)0,(-∞内，0)(>'x f ，0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ）(A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的；(C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。
（6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ）(A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点；(C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。
（7）曲线1)3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线；(C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。
三、计算下列极限 (每题5分，共20分)（1）)||sin 12(lim 410x x e e x x x +++→（2）)1ln()cos 1(1cos11lim 230x x x x x x -++-+→（3）)tan 11(lim 20xx x x -→(4) x x x )arctan 2(lim π+∞→四、计算下列各题(每题6分，共24分)（1）设x e x x y -=1sin sin x x +，求y '.( 2 )设函数)(x y 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，试求0t 22=dx y d( 3 ) 21)(2-+=x x x f ， 试求)()(x f n( 4 ) 已知方程)ln()(2y x y x x y --=-确定y 是x 的函数，求dy .五．（6分）证明：当1<x 时，xe x ≥-11六．（5分）设)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(≠''x g ，)()(b f a f ==,0)()(==b g a g 证明：（1）在),(b a 内，0)(≠x g ；（2）至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=成立.。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。
答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。
答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。
2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。
答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。
答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。
答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
高等数学期中考试试题
高等数学期中考试试题满分100分 时间100分钟 专业班级 姓名 成绩 一、填空题(每小题4分, 共32分)1. 设,0()cos ,0x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则2(1)f x -= .2. ()xx x2cot 2tan 31lim +→=.3. 设ln y x y =+, 则dy dx=.4. 曲线sin 2cos t tx e ty e t ⎧=⎨=⎩在点（0，1）处的切线方程是 . 5. 10100(2tan )(2sin )lim sin x x x x→+--= .6. 若221lim 2(1)x ax bx c x →++=-，则a = ，b = ，c = .7. 设()()f x g x '=，则2(sin )df x = .8. ()x x x f e =的带拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式为_________ . 二、选择题 (每小题4分, 共32分)1．函数()sin f x x x =（ ）（A ） 在（- ∞,+ ∞）内无界； （B ） 在（- ∞,+ ∞）内有界； （C ） 当x →∞时为无穷大； （D ） 当x →∞时极限存在.2. 设曲线ax x y +=3与c bx y +=2在点(-1,0)处相切，其中a ,b ,c 为常数，则（ ）。
（A ）1,1,1=-=-=c b a （B ）2,2,1-==-=c b a （C ）2,2,1=-==c b a （D ）1,1,1=-==c b a3.设31(),()11xf xg x x x-==-+，则当1x →时，（ ）（A ）f 与g 为等价无穷小； （B ）f 是较g 为高阶的无穷小；（C ）f 是较g 为低阶的无穷小； （D ）f 与g 为同阶无穷小，但不等价.4.函数()2f x x =+在点0x =处 ( )(A)连续，但不可导; (B)连续且可导; (C)不连续，故不可导; (D)具有连续的导数. 5.设111()23x xef x e+=+, 则0x =是()f x 的( )(A)可去间断点; (B)跳跃间断点; (C)第二类间断点; (D)不是间断点.6. 若函数()y f x =满足01'()2f x =，则当△0→x 时，0x x dy =是（ ）。
高数期中试题及解答
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
高等数学(下)期中考试题及答案
f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．
期中考试高三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 2)B. y = 1/xC. y = x²D. y = log₂(x + 1)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = 1，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. |x| ≥ 2C. |x| < 2D. |x| ≤ 24. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 9，则d的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 下列复数中，实部为0的是（）A. 2 + 3iB. 4 - 5iC. -1 + 2iD. 0 + 5i6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1C. √2/2D. 07. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16...B. 1, 3, 9, 27, 81...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...D. 1, 2, 4, 8, 16...8. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -29. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 1210. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x²≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² ≤ 0D. 对于任意实数x，x³ ≤ 0二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = -x² + 2x + 1，则f(x)的顶点坐标为______。
12. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 5，a5 = 15，则d的值为______。
同济大学高等数学（下）期中考试试卷
同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（ ）⇒（ ）⇒⎩⎨⎧)()(. 2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为 ，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为 ，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(x dy y x f dx ππ . (A)⎰⎰+ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (B) ⎰⎰-ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (C)⎰⎰+y dx y x f dy arcsin 10),(ππ； (D) ⎰⎰-y dx y x f dy arcsin 10),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bv au x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰D d y x σsin ，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向. 五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行.（1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.下面是古文鉴赏，不需要的朋友可以下载后编辑删除！！谢谢！！九歌·湘君屈原朗诵：路英君不行兮夷犹，蹇谁留兮中洲。
《高等数学II》期中考试试卷
2017-2018第二学期《高等数学II 》期中考试试卷一、 填空题1、 二元函数f (x,y )=√4x−y 2ln(1−x 2−y 2)的定义域是__________________2、 设f (x,y )=ln(x −√x 2−y 2),(x >0,y >0),则f (x +y,x −y )=__________________________ 3、 limx→0y→01−cos√x 2+y 2(x 2+y 2)e x 2+2y 2=___________________________ 4、 设z =y x,则∂2z∂xðy=___________________________________5、 设ln√x 2+y 2=arctan y x,则dy dx=__________________6、 设z =f(x +y +z,xyz),其中函数f(u,v)有一阶连续偏导数，则∂z ∂x=_____________________7、 曲线{z =√x 2+y 2x 2+y 2+z 2=4在xoy 面的投影方程为_______________ 8、 已知球面经过(0,−3,1)且与xoy 面交成圆周{x 2+y 2=16z =0,则此球面方程为________________________9、 已知空间曲线的方程为{z =√1−x 2−y 2(x −12)2+y 2=14,则其在xoy 面的投影曲线方程为_____________________________10、 曲面z =4−12(x 2+y 2)与平面z =2所围成立体的体积为_______________________ 11、极坐标下的二次积分∫dθ∫f (rcosθ,rsinθ)rdr 1π20转化为直角坐标系下的二次积分是___________________________12、 求积分∫dx ∫e −y2dy 2x20=________________________13、 计算二重积分∬(2−√x 2+y 2)dσD,其中D:x 2+y 2≤4.则其值等于_________________________14、 设闭区域D:x 2+y 2≤y,x ≥0.f(x,y)为D 上的连续函数，且f (x,y )=√1−x 2−y 2−8π∬f(u,v)dudv D ,则f (x,y )等于_________________________15、 设 z =f (2x −y,ysinx ),其中f(u,v)有二阶连续偏导数，则ð2z ðxðy=___________________________16、 设区域D 由y =x 2,y 2=x 所围成，将二重积分∬f (x,y )dσD化为累次积分_________17、 设z =f (x,y )连续且满足limx→0y→1√x 2+(y−1)2=0,则dz|(0,1)=____________________18、 设z =z(x,y)由方程(z +y)x =xy 确定，则dz |(1,2)=_________ 19、 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设∫f (x )dx =A 1,则∫dx ∫f (x )f (y )dy =1x10____________________20、 当x >0,y >0,z >0时，求函数u =lnx +2lny +3lnz 在球面x 2+y 2+z 2=6r 2上的最大值为________________________ 二、 计算题1、 求表面积为2a 2而体积最大的立方体的体积。
高等数学期中复习题加答案
高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数\( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)在区间\( (0, 2) \)上的值域是：A. \( (-1, 1) \)B. \( (-\infty, 1) \)C. \( (-\infty, 2) \)D. \( (-1, +\infty) \)答案： A2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案： B二、填空题1. 函数\( y = x^3 - 2x^2 + x \)的导数是 \( y' =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
答案： \( 3x^2 - 4x + 1 \)2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是\( \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案： \( \frac{1}{3} \)三、计算题1. 计算极限 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} \)。
答案： 12. 求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 在区间 \( [1, e] \) 上的定积分。
答案： \( x - e^x \) 在 \( [1, e] \) 上的定积分为 \( e - 2 \)。
四、证明题1. 证明：函数 \( f(x) = x^3 \) 是严格递增函数。
答案：首先求导 \( f'(x) = 3x^2 \)，由于 \( x \) 为实数，\( x^2 \geq 0 \)，所以 \( f'(x) \geq 0 \)。
当 \( x \neq 0 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，因此函数 \( f(x) = x^3 \) 是严格递增函数。
高数期中考试试题
高数期中考试试题高数期中考试试题一、概述高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程，也是对学生数学思维和逻辑推理能力的一次全面考验。
期中考试是对学生基础知识和能力的一次检验，下面将给出一些典型的高数期中考试试题，帮助学生更好地复习和备考。
二、选择题1. 设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 4，求f'(x)的导函数。
2. 已知函数f(x) = ln(x^2 + 1)，求f'(x)的导函数。
3. 求曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点坐标。
4. 设函数f(x) = sin^2(x)，求f''(x)的导函数。
5. 求函数f(x) = e^x在点x = 1处的切线方程。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。
解：首先求f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1和x = 2。
将x = 1和x = 2代入f(x)得到f(1) = 0和f(2) = 2。
由于f''(x) = 6x - 6 > 0，所以x = 1是最小值点，x = 2是最大值点。
因此，f(x)的最小值为0，最大值为2。
2. 求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的反函数。
解：令y = ln(x^2 + 1)，则e^y = x^2 + 1，再令u = x^2 + 1，则e^y = u。
对u求导得到du/dx = 2x，对e^y = u求导得到d(e^y)/dy * dy/dx = 1，即e^y * dy/dx = 1。
将du/dx = 2x和e^y * dy/dx = 1代入，得到2x = 1，解得x = 1/2。
因此，函数f(x) = ln(x^2 + 1)的反函数为f^(-1)(x) = sqrt(e^x - 1)。
四、证明题证明：对任意实数x，有sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
高等数学A(1)期中测试题A+答案
xy y x xy
3.
求由参数方程
x y
ln(1 t 2) t arctan t
的所确定的函数
y
y(x)
的一阶导数dy dxFra bibliotek和二阶导数
d2y dx2
.
解:
dx dt
1
2t t
2
,
dy dt
t2 1t2
,
则 dy dx
t 2
;
d2y dx 2
d ( t ) / dt 2
dx / dt
1t2 . 4t
则 (0) f (0) (03 3* 02 0) 0, (1) f (1) (13 3*12 1) 0 ,
由罗尔定理,至少存在一点 1 (0,1), 使得(1) 0 , 又有(1) f (1) (3 6 1) 0 ,
由罗尔定理,至少存在一点 2 (1,1), 使得(2 ) 0 , 又有(1) f (1) (6 6) 0 ,
=e lim x0
ln(cos x2
x
)
e lim sin x x0 2 x cos x
1
e 2
(2) lim( 1 1 ) x0 x ln(1 x)
lim ln(1 x) x x0 x ln(1 x)
lim
x0
ln(1
x) x2
x
1 1 lim 1 x
x0 2x lim x 1
18-19（1）《高等数学 A(1)》期中测试题 A
一、陈述:略
（1）
lim (1
1
x) x
e; lim
sin bx
b
，故 a
=b
e
x0
x x0
（2）
大学《高等数学》期中期末考试卷解析(共四套)
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大学《高等数学》期中期末考试卷解析（共四套）
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）………………………………2 《高等数学》期中考试试题及答案解析（B卷）………………………………10 《高等数学》期末考试试题及答案解析（上册）………………………………18 《高等数学》期中考试试题及答案解析（下册）………………………………26
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）
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高数期中考试及答案详解
高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。
二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。
2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。
3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。
5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。
2023中国药科大学《高等数学》期中试卷(A1卷)
中国药科大学《高等数学》期中试卷(A1卷)2022-2023学年第一学期专业 班级 考试号 姓名一．单项选择题（每小题4分，共36分）1．极限 limx→0sin2x x=（ ）．A ．0B ．12C ．2D ． ∞ 2．关于函数arctanx ,下列说法错误的是（ ）．A ．它是有界函数 B. 由 y =arc u 和u =tan x 复合而成 C. lim n→∞arctan n =π2D ． lim x→∞arctanx 不存在3.《庄子·天下篇》有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”关于这段话的理解，错误的是（ ）．A ． 2天以后就取完了 B. 蕴含了丰富的极限思想 C. 第10天取了1210尺 D. 第n 天取后剩下了12n 尺 4. 已知f (x )在点x =1处可导且f ′(1)=2，则limℎ→0f(1−ℎ)−f(1+ℎ)ℎ=（ ）．A ．4B ．-1C ．1D ． -4 5. 关于x →0的等价无穷小，下列说法正确的是（ ）．A. e x ~1+xB. 1−cosx~x2 C. √1+x −1~x D. ln (1+x)~x6. 已知f (x )={0 x <12x +1 1≤x <2x 2+1 x >2，它的间断点为（ ）．A. x =1B. x =2C. x =1和x =2D. 没有7.已知f ′(x 0)=1，当自变量的增量∆x →0时，那么y dy ∆−是比∆x （ ）的无穷小．A .高阶 B. 等价 C ．同阶但不等价 D ．低阶 8.已知一个函数的微分为1x dx ，那么该函数是（ ）（选最佳的）.A . ln (−x)+C B. ln |x|+C C . lnx +C D . −1x 2+C9. 下列导数计算正确的是（ ）．A．(tan2x)′=2sec 2x B．(arctanx2)′=√1+x4C．(arcsin√x)′=2√x√1−x D．(sec1x)′=1x2sec1xtan1x二．填空题（每小题3分，共32分）10. 极限limx→∞(1−1x)x= .11. 函数y=(4，2)处的切线方程为 y=．12. 已知f(x)=sinx,那么f(2022)(π2)= .13. 极限limx→0√1−cos2xx= .14. 极限limx→∞2x+sinx2x−sinx= .15．V和S分别是半径为r的球体积和表面积，那么dvds|r=2= .16．已知函数f(x)可导，F(x)=f(sin2x)+f(cos2x)，那么F′(π4) = .17.已知极限limx→−1x3−ax2−x+4x+1=b，那么a+b= .三．计算证明题（每小题8分，共32分）18. 求极限limx→∞xx2+1cos√x19. 已知xe y+y=1,求 y′|x=0．20. 已知函数f(x)在区间[0,1]上连续,且f(0)=0，f(1)=1(1) 如果f(x)=x,求x∈(0,1),使得f(x)=1−x(2) 证明:至少存在一点x∈(0,1),使得f(x)=1−x.21. 已知f(x)={ 2x x≥1x2 x <1,试利用导数的定义，判断f(x)在x=1处是否可导，如果可导求出导数的大小，如果不可导，请说明理由.。
高等数学期中模拟试题3套
∂u ∂x
A= x+
1 y2 + z2
(1,0,1) = 1/ 2 ；
∂u ∂y
A= x+
1
⋅
y2 + z2
y y2 + z2
(1,0,1) = 0 ；
∂u ∂z
A= x+
1
⋅
y2 + z2
z y2 + z2
(1,0,1) = 1/ 2
而 l = AB = (2,−2,1), 所以 l o = ( 2 ,− 2 , 1) ,故在 A 点沿 l = AB 方向导数为： 3 33
x2 + y2 =ε 2
6. 解： 解：补上 ∑1 : z = 0 (x2 + y2 ≤ 4) 下侧。……………………2 分
∫∫ y2dzdx + zdxdy = ∫∫ y2dzdx + zdxdy − ∫∫ y2dzdx + zdxdy..............2分
∑
∑ + ∑1
∑1
= ∫∫∫ (2 y +1)dxdydz − 0............................................3分 Ω
3
3
→
6． 解：连接 OA ，由 Green公式得：
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ I = + − =
−
L
OA
OA
L +OA
OA
Green公式
=
∫∫ (e x cos y − e x cos y + m)dxdy + 0
x2 + y2 ≤ax, y≥0
= 1 mπa 2 8
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高等数学期中考试
一、填空（每小题4分）
1 设
)0(0,0,2cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≥+=a x x x a a x x x x f
当a= 时，x =0是f (x )的连续点。
2 arctan 0(),x y y y y x -+==设方程确定了求dy dx
＝ 。
3．401cos 2cos 4lim x a x b x A x
→++= ，则a= ，b = ， A = 。
4．函数2x y x =的极小值点为 。
5．设f (x ) = x ln x 在x 0处可导，且f’(x 0)=2,则 f (x 0)= 。
2
0()(0)6.lim 1x f x f x →-=-设则f (x )在x =0取得 （填极大值或极小值）。
二、（10分）
⎩
x >0函数f(x)=0x ≤0是否连续？是否可导？并求f (x )的导函数。
三、 解下列各题（7＋7＋8）
1．()220121lim x x x x -+→
.
2．)233(lim 1
12-+-∞
→x x x x ；
3．⎧⎨⎩x =t +2+sint 设曲线方程为y =t +cost
,求此曲线在x =2 的点处的切线方程,及222=x dx y
d 。
四、 试确定a,b,c 的值，使y =x 3+ax 2+bx +c 在点(1,-1)处有拐点，且在x =0处有极大值为1，并求此函数的极小值。
（8分）
五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。
（8分）
六、证明不等式：
().
,β
<
α
<
β
>
αα
βe（8分）
七、y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限
n
10分）
八、设 f (x)在[0,1]上连续且在(0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)=ξ;（10分）。