第五章特征值、特征向量及矩阵的对角化习题课讲解
线性代数第五章特征值和特征向量矩阵的对角化
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
10
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
1
1
1
3 2
3 1
3
3
1 3
2 3
5100 2
1 3
5100
5100
1 1
5100 1 5100 2 5100 1
5100 1 5100 1 5100 2
33
5.3 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵特征值的相关性质 2.求正交矩阵的方法
34
共轭矩阵 如果A=(aij)为复矩阵时,用 aij 表示aij的
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
n
a2 j a22
j 1
a2n 0
n
anj an2 ann
j 1
1 a12 a1n
1
( a)
a22
a2n
0
1 an2 ann
a 是矩阵A的特征值。
1 1
(
2
)
A
1
a
1
1 1
1 1
A
k 1
a
k
1
1
1
b11
设
Ak
1
1
0 1
1 1,2 1 1,
1
（方法最普通，也是 最常用的 ）
3
0
2
(2,2) (2,2)
2
12 1 2 1
（方法二） 1 1 1
设
1
1,
1
1,
0
00,（方但法较普麻通烦，）
已知 1,,, 线性无关，
然后将其正交化即得 1,2,3
（方法三）（方法较好，但太特殊）
已知
2 0 1 3 1 x 0 4 0 5
(1)2
1 0
4 5
(1)2(6)0
因为矩阵A是可以对角化的，所以当1 2 1时，
(EA)X 有两个线性无关的特征向量。
R(EA)1 1 0 1 (E A) 3 0 x 4 0 4
1 0 1 1 0 1 ~ 3 0 x ~ 0 0 x 3
A1 AT
B
1
BT
(A) 1 B B 1A 1B TA T (A)T B
（方法二）
A,B都是n阶正交矩阵，
AAT AT A E BBT BTB E
(A)B A ( )B TAB TAT BAE TA E (A)B T(A)B BTATA BBTE BE
矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程；2、特征值、特征向量的求法（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量；（5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则1λ是1A -的特征值；A λ是*A 的特征值，a 仍为相应的特征向量；（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()11n ni ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；1nii A λ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。
二、相似矩阵 1、定义设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ； ２、A ～B 的性质T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-⇒特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。
【学习】线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量
【关键字】学习第五章矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵；2）特征向量X 是非零列向量；3）方阵与特征值对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1）计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；（2）求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3）设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。
对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.3．特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。
性质2（1）（2）性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得Ｂ＝P―1ＡP则称A与B相似。
记作A∽B. 并称P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1°反身性：A∽A.2°对称性：若A∽Ｂ，则Ｂ∽A.3°传递性：若A∽Ｂ，B∽Ｃ则A∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若A∽B，则（1） ； （2） ；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，∽；（5）设f （x ）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ； 6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
特征值和特征向量、矩阵相似对角化
定理4.6 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则 （1） R A = R B （2） Ａ与Ｂ有相同的特征多项式和特征值． （3） A B （4） tr ( A) tr ( B) 推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 1 2 diag(1 , 2 , , n ) n 相似， 则 1 , 2 , , n 就是Ａ的ｎ个特征值．
二、特征值和特征向量的性质 定理 一个n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.
定理
设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 ,
ann ;
, n
则 (1) 12
n A ; (2) 1 2 n a11 a22
证明① 当 1 , 2 ,
, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2
n
n
1 2
n
n
n
n 1
1 12
n
令 0, 得 A 1 12 即 12
n
n A .
证明② 因为行列式 a11
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
1 , 2 ,, m
T i
是标准正交向量组
1, i j j [ i , j ] 0, i j i , j 1,2, , m
定理4.11 正交向量组必为线性无关组.
Ｐ中的列向量 p1 , p2 , , pn 的排列顺序要与 （ 1） 1 , 2 , , n 的顺序一致． （2） 因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， 因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
第五章 矩阵的特征值与特征向量
可知 λ1E − A 的秩为 r = 2, 有n − r = 3 − 2 = 1个自由未知量 1 x1 − 3 x3 = 0, 求得它的一个基础解系为 取为 x3 . 由 2 α1 = (1, −2,3)T . x2 + x3 = 0, 3 A 的属于特征值6 的全部特征向量为 k (1, −2,3)T , 所以 k 为任意非零数 为任意非零数. 对于λ2 = 2, 解齐次线性方程组 ( 2 E − A ) X = o, 由 1 1 −1 1 1 −1 −2 −2 2 → 0 0 0 , ( λ2 E − A) = 3 3述, 综上所述,求 n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤: 的全部特征值， 第一步 求 A 的全部特征值，即求特征方程 的全部根； | λE − A|= 0 的全部根； 第二步 的特征向量． 求 A 的特征向量
s
对于每一个特征值 λi，求出齐次线性方程组 求出齐次线性方程组
( λi E − A) X = o的一个基础解系ξ1,ξ2,L,ξs , 那么 X = ∑kiξi i= 1 的全部特征向量， 就是A 的属于 λi 的全部特征向量，其中 k1, k2 ,L, ks为不全
所以 A 的全部特征值为 λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 3. 利用解齐次线性方程组, 可以求得: 利用解齐次线性方程组 可以求得 A的属于特征值 −1 的全部特征向量为 k1 (1, −1,0)T , 为任意非零数. 其中k1为任意非零数 A的属于特征值 1 的全部特征向量为 k2 (1, −1,1)T , 为任意非零数. 其中k2为任意非零数 A的属于特征值 3 的全部特征向量为 k3 (0,1, −1)T , 其中k3为任意非零数. 为任意非零数 (1, −1,0)T ,(1, −1,1)T ,(0,1, −1)T 线性无关 线性无关. 容易证明 该例中有三个不同的特征值, 注: 该例中有三个不同的特征值 相应的特征向量线 性无关. 性无关
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化
如果 是矩阵A的属于特征值 的特征向量,则 的任何一个非零倍数 也是A的属于 的特征向量,因为从(1.1)式可以推出
进一步,若 ，都是A的属于 的特征向量,且 ≠0, 则 仍然是A的属于 的特征向量。这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的。因为,容易证明一个特征向量只能属于一个特征值。
, ,…,
作为基础解系,于是 的属于特征值 的全部特征向量为
( 不全为0)。
由例3可推广,任一对角矩阵 的特征值就是它的主对角线上的元素,从而对角矩阵 的所有特征值之和等于主对角线上元素之和，而 的所有特征值的乘积等于行列式 ,根据多项式的根与系数之间的关系,此结论可推广到任意方阵。
设n阶矩阵 有n个特征值为 (k重特征值算作k个特征值),则
对于 时,解方程 ,由
得基础解系 ,所以属于特征值 的全部特征向量是 ，其中 , 为实数。
对于 ,解方程 ,由
得基础解系 ,所以属于特征值 的全部特征向量为 (其中 , 是不全为0的实数)。
例3求n阶数量矩阵 的特征值和特征向量。
解矩阵 的特征多项式
。
从而 的特征方程为 ,得 的特征值 。
对于 ,解方程组 此方程组的系数矩阵是零矩阵,所以任意n个线性无关的向量都是它的基础解系。取单位向量组
(1) ；(2) 为 的特征值。
7已知3阶矩阵 的特征值为1、－1、2，设 ,试求 及 。
8若矩阵 可逆,证明: ～ 。
9设 ～ , ～ ，证明
～
10已知矩阵 = 与 相似,求 。
11设矩阵 ,求 。
第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 扩展例题及求解
的一个特征向量为
1
,求
a,
b,
c
和
的值。
1
[分析]当 A 是抽象的方阵时，求 A 的特征值、特征向量通常需要考虑特征值、特征向量的定
义或等价定义。本题主要考察 A* 和 A 的特征值之间的关系，以及它们有共同的特征向量。
[解]由于 A* ， AA* A E E ， 对 A* 两边同时左乘 A ，即有：
1 2 3 2 2 0 fA() | E A | 1 4 3 1 4 3
1 a 5 1 a 5
10 0 ( 2) 1 3 3 ( 2)(2 8 18 3a)
1 a 1 5
[例
9]设
A
1
4
3 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化。
1 a 5
[分析]本题主要考察可对角化的条件：n 阶方阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关
的特征向量，即 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量。
[解]先求特征方程。
（１）如果 2 是特征方程的二重根,则 2 满足方程 2 8 18 3a 0 ,故
a 2 ．
1 2 3
当 a 2 时,
A
的特征值为
2,2,6,矩阵
2E
A
1
2
3
的秩为
1,故
2
对应有两
1 2 3
个线性无关的特征向量,从而 A 可以相似对角化。
[证]设 是 AmnBnm 对应于特征值 的特征向量，则
高等数学第五章特征值、特征向量及矩阵的对角化习题课
解：由 A E 3
3
可得A的特征值为 1 2, 2 3 1 . 当 1 2时，解 ( A 2E) x 0 ， 由
6 0 1 1 0 6 A 2E 3 3 0 0 3 3 3 6 3 0 0 0
证明： 由于 A 0，故A可逆，
1 且 AB ABAA1 ( A 1 ) 1 ( BA) A ，
故AB与BA相似。
6 0 4 7. 设 A 3 5 0 ，求可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP 为对角矩阵。 3 6 1
4 6 5 6 0 0 1 (2 )(1 ) 2
i 1
（3）矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关 。
（4）若 是A的特征值，对应于特征向量 x，则有 I）k 是 kA 的特征值，k R； II） 是 A k 的特征值， N+； k
k
1 A III）A可逆时， 是 A1的特征值， 是 A* 的特征值；
IV） f ( ) a0 a1 a2 2 am m 为方阵A的多项式
3.2 矩阵的对角化
定义：若A相似于对角阵 ，即 P 1 AP ，则称A可对角化。 定理： （1）n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量； A可对角化；
（2）若 n阶方阵A有n个互异的特征值 （3） n阶方阵A可对角化 无关的特征向量；
A的每个r重特征值对应有r个线性
（4）实对称矩阵一定可对角化。即必存在正交矩阵P，使
（2）再标准化：令
e1
1 , e 2 2 , , e s s 1 2 s
，
则 e1 , e2 , , es 为一个标准（或规范）正交向量组。
第5-6章矩阵对角化习题课
第5-6章习题课
7/38
即
rank( A 2 E ) rank( A 3E ) 5.
而 rank(A 2E) 2, 故 rank(A 3E) 3. 因 A 为实对称矩阵, 故可对角化, 从而, 每个特征值的代数重数等于其几何重数. 由 rank(A 2E) 2 知 2 的几何重数、代数重数为 3. 由 rank(A 3E) 3 知 3 的几何重数、代数重数为 2.
第5-6章习题课
一、 基本要求
二、典型例题分析
第5-6章习题课
2/38
一、 基本要求
1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 熟 练掌握求特征值和特征向量的方法. 2. 理解相似矩阵的概念和性质, 了解相似对角化的条 件, 掌握相似对角化的方法. 3. 理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质, 掌
握实对称矩阵的正交相似对角化方法.
第5-6章习题课
3/38
4. 理解二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念,
理解合同矩阵的概念.
5. 理解二次型的标准形, 掌握化实二次型为标准形的
正交变换法, 会用配方法化二次型为标准形, 知道
用合同初等变换法. 6. 理解实二次型的规范形, 了解惯性定理以及实二次 型的正惯性指数、负惯性指数.
其中0 , 1,
于是
, n1为 A 的特征值.
第5-6章习题课
18/38
A 0 E P diag(0 , 1, , n1 ) P 1 P(0 E) P 1 Pdiag(0, 1 0 , , n1 0 ) P 1, ( A 0 E)2 Pdiag(0,(1 0 )2 , ,(n1 0 )2 ) P 1 .
第五章 .特征值特、征向量及矩阵对角化总结
第五章 特征值、特征向量及矩阵的对角化（填空、选择为主）5.1矩阵的特征值和特征向量定义（矩阵的特征值和特征向量）设A 为n 阶方阵，如果存在数λ及非零向量x,使得 x Ax λ=(4-1) 或0)(=-x A E λ (4-2)则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的对应于（或属于）特征值λ的一个特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的一般步骤如下： 第一步：计算特征多项式||A E -λ；第二步：求出特征方程||A E -λ=0的全部根n λλλ,,,21 （重根按重数计算），则n λλλ,,,21 就是方阵的全部特征值.如果i λ为特征方程的单根，则称i λ为A 的单特征值；如果j λ为特征方程的k 重根，则称j λ为A 的k 重特征值，并称k 为j λ的重数；第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,求出齐次线性方程组 0)(=-A E i λ(4-3)的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ，则j ik i i ξξξ,,,21 就是对应于特征值i λ的特征空间的一个基，而A 的属于i λ的全部特征向量为 j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211 其中j k c c c ,,,21 为不全为零的任意常数.特征值和特征向量有下列基本性质：性质1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ，则有||,21121A an ni iin ==+++∑=λλλλλλ利用性质1可以简化有关特征值问题的某些计算.性质2 设λ为方阵A 的一个特征值，且x 为对应的特征向量，则对任何正整数k,kλ为kA 的一个特征值且x 为对应的特征向量.更01)(a x a x a x f m m +++= ，则)(λf 为方阵E a A a A a A f m m 01)(+++= 的一个特征值，且x 为对应的特征向量.性质3 设λ为可逆方阵A 的一个特征值，则λλ1,0≠为1-A 的一个特征值，λ||A 为*A 的一个特征值性质4 设m λλλ,,,21 为方阵A 的互不相同的特征值，i x 为属于i λ的特征向量),,2,1(m i =，则向量组m x x x ,,,21 线性无关.更一般的，设i ik i i x x x ,,,21 为属于i λ的线性无关特征向量),,2,1(m i =，则向量组 m m k m m k k x x x x x x x x x ,,,,,,,,,,,,21222211121121 线性无关性质5 设重特征值，则属于的为方阵k A 0λ0λ的线性无关特征向量的个数不大于k 关于特征值与特征向量的结论见下图：5.2相似矩阵及方阵可相似对角化的条件定义（相似矩阵）对于同阶矩阵A,B ，若存在同阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1（4-4）则称A 与B 相似，或A 相似于B ，并称变换：AP P A 1-→ 为相似变换.矩阵的相似关系具有反身性(A 与A 相似)、对称性（A 与B 相似，则B 与A 相似）和传递性（A 与B 相似，B 与C 相似，则A 与C 相似）.定理（矩阵A 与B 相似的必要条件）设矩阵A 与B 相似，则有 (1))()(B r A r =； (2)||||B A =；(3)||||B E A E -=-λλ，即A 与B 有相同的特征多项式（从而A 与B 有相同的特征值）（但要注意到其特征向量不一定相等）；(4)TA 与TB 相似，1-A 与1-B相似，k A 与kB 相似.推论 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵∧=diag(ƛ1,ƛ2,…，ƛn )时，∧的主对角线元素ƛ1,ƛ2,…，ƛn 就是A 的n 特征值.定理（矩阵相似与对角矩阵的充分必要条件）n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.推论 矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的属于每个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理（矩阵相似于对角矩阵的充分条件）如果n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值（即A 的特征值都是特征值），则A 必相似于对角矩阵.矩阵可相似对角化的条件见下图（设A 是n 阶矩阵）5.3 向量的内积、长度及正交性定义 几何中，两个向量 的数量积定义为：其中 是 的长度， 是的夹角.如果在直角坐标系下，向量表示为则依据坐标表示向量 的长度为： ，向量 的夹角为：代数中定义 设 维向量称为向量的内积.称为向量 的长度（或范数），特别，当 时，称 为单位向量.称 为向量 与 的夹角；特别，，当 （即 ）时，称向量 与 正交. 注：内积是向量的一种运算，如果x 和y 都是列向量，可以记作[x ，y]=x T y ，其结果是一个数.且[x ，x]=x 1^2+x 2^2+…+x n ^2≥0，当且仅当x=0时成立.4. 向量长度的性质：（1） 非负性：0≥α且00=⇔=αα （2） 齐次性：ααk k = （3） 三角不等式：βαβα+≤+以上定义的概念有如下性质：1 ．2 ．3 ．4 ． ，（ ）5 ．6 ．7 ．称一组两两正交的非零向量为正交向量组.定理设n维向量是一组两两正交的非零向量（或称是正交向量组），则线性无关.证设，两边与作内积，得因故，同理，，所以线性无关.定义设是向量空间，是的一组基，且是正交向量组，则称是的一组正交基.如果既是的一组正交基，又是单位向量，则称是规范正交基或单位正交基.正交基的求法（施密特正交化公式解决矩阵的对角化问题）：1.正交化设是向量空间，是的一组基，则，，是的一组正交基.2.单位化如果取则是规范正交基.例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取11α=b ；[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1113512164131,1211222bb b b αα； [][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=1012,,222231211333b b b b b b b ααα. 再把它们单位化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121611e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101213e .即合所求.例4 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111α，求一组非零向量32,αα，使321,,ααα两两正交.解 32,αα应满足方程01=x Tα，即0321=++x x x .它的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ξ.把基础解系正交化，即合所求.亦即取 12ξα=，[][]1112123,,ξξξξξξα-=.于是得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121213α.正交矩阵定义 1 ．是阶方阵，并且（即），称为正交阵.2 ．若是正交阵，则称 是正交变换.正交阵的充要条件：为正交阵的列（行）是两两正交的单位向量.为正交矩阵的充要条件是或证 设，是的列向量，则为正交阵是两两正交的单位向量.正交矩阵的等价定义：正交矩阵有下列基本性质： 设A,B 都是n 阶正交矩阵，则 （1）1±=A（2）*T 1A A A ）与（即-也是正交矩阵（注：A 为正交能推出A 为可逆矩阵且T1A A =-，但反之不成立）（3）如果A,B 为同阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵.(4)实矩阵A 为正交矩阵，当且仅当A 的列（行）向量组为正交单位向量组. 利用上述的性质(4)，可以比较方便的检验矩阵是否为正交矩阵. 正交变换定义 若P 为正交阵，则线性变换y=P x 称为正交变换.正交变换的性质：设是正交变换的系数矩阵，则，从而及.正交变换有下列性质（其中A为正交矩阵）：(1)保内积性：若2211,AxyAxy==，则),(),(2121xxyy=；(2)保长度性：若Axy=，则||||xy=正交矩阵的判断例题5.4实对称矩阵的性质及正交相似对角化实对称矩阵有下列性质：性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交.即设λ1，λ2是实对称矩阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若λ1≠λ2则p1与p2正交.性质3 若λ为实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于λ的线性无关特征向量正好有k个.定理设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，使得APPAPP T=-1为对角矩阵.求正交矩阵P，使得Λ=-APP1对角矩阵的方法：1）、求出A的全部特征值nλλλ,,21：由方程0||=-AEλ解得；2）、对于每一个),,2,1(,nii=λ，解齐次线性方程组0)(=-xAEiλ，找出基础解系siiippp,,,213）、将nppp,,,21正交化，单位化，得一组正交单位向量nηηη,,,21；4）、因为nλλλ,,21各不相同，因此所求的向量组是两两正交的单位向量组，其向量的总数为n，这组列向量就构成了正交矩阵Q。
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
线性代数第5章 矩阵的特征值与矩阵的对角化
特征向量为 kp1 (k 0)
为
x1 x2
x3 0
0
即
x1 x2
x3 0
对 2 3 2 ，解 方程组
取 x3 为自由未知量，并令 x3 =c
x1 则 x2
x3
c 0 即 c
x1 x2 x3
1
c
10
取
p1
1 0 1
而
(A 2E)x 0
4
A
2E
0
1 0
1 0
P的列向量组 p1, p2 ,..., pn 就是与特征值 1,2 ,...,n 相对应
的A的线性无关特征向量。
推论. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A相 似于对角阵。
若A可对角化，求对角阵及相似变换矩阵P的方法，如下：
（1）求出A的全部特征值 1,2 ,...,n ，得到对角阵的 主对角线上的元素。
1 0
同解方程组为 x1 x2 0 ，取基础解系为 p2 (1,1)T , 取
则有
1
P
(
p1 ,
p2
)
2
1
1 1
1 2 A 4 3
P1 AP
5 0
0 1
23
第三节 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的对角化 相关示例
一. 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵总是可以对角化的，且相似变换矩阵 可取为正交矩阵。
特征向量在中的位置要相对应，即对角阵中第i行j列的特 征值i ，相应的特征向量 pi 应位于P中的第i列。
二. 相关示例
例.
设
A
1 4
2 3
求P，使 P1AP为对角矩阵。
解：（1）求A的特征值及相应的线性无关特征向量。
第五章特征值与矩阵的对角化
A IX 0
1 1 0
1 得基础解系 1 , 1
所以 A不能化为对角矩阵.
28
6 0 4 例2：设 A 3 5 0 . 问 A 能否对角化？ 3 6 1 1 若能对角化，求出可逆矩阵 P使得 P AP 为对角阵。 4
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 p2 0 . 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为
6 3 A 2I 3 6 3 6
A 2I X 0
k 的排列顺序，则 唯一，称之为
矩阵 A 的相似标准形。 （2）可逆矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的特征向量 作列向量构成。
24
例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2 (1) A 2 2 4 2 4 2
解:
2 1 2 (2) A 5 3 3 1 0 2 2 2 4 2
0 1 0 1 1 0
30
0 1 0 0 0 3
x1 x3 x2 x3
1 得基础解系 p3 1 . 1
p1 , p2 , p3 线性无关， 故A可对角化。
2 0 1 令 P p1 , p2 , p3 1 0 1 0 1 1 1 0 0 则有 P 1 AP 0 1 0 0 0 2
注： （1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵I本身， 与数量矩阵kI 相似的n阶方阵只有数量阵kI本身。
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化(基础讲义)
第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 5.1 矩阵的特征值与特征向量 一 引例与定义1122222||||||2a a a a A αα⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=⋅ 1121210212a a a a a ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠1000122||||||2a a Aαα⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=⋅定义1: 设A 为n 阶实矩阵. 若存在实数λ以及非零n 维向量α, 使得A αλα=⋅则称λ是矩阵A 的特征值, α为矩阵A 属于λ的特征向量.解说: 对于零向量, 有00A k =⋅对于任何的k 成立. 因此, 为保证特征向量对应的特征值的唯一性, 在谈到特征向量时, 始终都是非零向量, 这一点很重要!!!定义2: 设A 为n 阶实矩阵. 称关于λ的n 次多项式111212122212||n n n n nna a a a a a I A a a a λλλλ−−−−−−−=−−−""##%#"为矩阵A 的特征多项式,||0I A λ−=为矩阵A 的特征方程.例 设2002A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则A 的特征多项式为220||(2).02I A λλλλ⎛⎞⎛⎞−=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠由A αλα=⋅可知, 0A λαα−=, 即()0I A λα−=. 由于α为非零向量,…………………………………………………………………………特殊情形 …………………………………………………………………………特殊情形齐次线性方程组()0I A X λ−=有非零解. 因此, 秩()R I A n λ−<, 从而 ||0I A λ−=. 这就是说, 特征值满足方程||0I A λ−=. 另一方面, 易知, 满足||0I A λ−=的λ都是矩阵A 的特征值. 综上, 矩阵A 的特征值恰为A 的特征方程||0I A λ−=的根.数学经典赏析: *当5n ≥时, 一般情形下, 方程||0I A λ−=没有根式解(阿贝尔)*. 所以遇到的特征值问题基本上是4n ≤的情形, 其中3n =最为普遍.例求511311421A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠的特征值与特征向量.解 令 511311||311311421321I A λλλλλλλλλ−−−=−−=−−−−−−=111(3)111121λλλ−−−− =2(3)(2)λλ−−0=得矩阵A 的特征值为1233,2λλλ===.设A 的属于特征值13λ=的特征向量为123x x x α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则(3)0I A α−=, 而211211110101(3)321321321011,422000000000I A −−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−→−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 从而313200x x x x −=⎧⎨−=⎩, 得基础解系111α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 因此, 1k α为A 的属于特征值13λ=的所有特征向量, 其中1k 为任意的非零常数.再设A 的属于特征值232λλ==的特征向量为123y y y β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则(2)0I A β−=, 而11023113111101101231100042142101,2421421000000000I A ⎛⎞−⎜⎟−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−→→−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠从而1332102102y y y y ⎧−=⎪⎨⎪−=⎩, 得基础解系112β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 因此, 2k β为A 的属于特征值232λλ==的所有特征向量, 其中2k 为任意的非零常数.练习 1. 求A 的特征值与特征向量.(1) 211020413A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠, (2) 110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠.二 特征值与特征向量的性质 (1) 特征值的性质定理1 矩阵A 的特征值不为零⇔||0A ≠.定理2 矩阵T A 与A 的特征值相同.定理3设n 阶矩阵()ij n n A a ×= 有n 个特征值12,,,n λλλ"(可以相同), 则(1)11n ni iii i aλ===∑∑, 即A 的所有特征值之和等于主对角线元素之和;(2)12||n A λλλ=", 即A 的所有特征值之积等于A 的行列式值.定理4 设λ为矩阵A 的特征值, 则(1) k λ⋅为k A ⋅的特征值 (k 为任意常数);(2) m λ为m A 的特征值 (m 为正整数); 特别地, 2λ为2A 的特征值. (3) 当矩阵A 可逆时, 1λ−为1A −的特征值；1||A λ−为*A 的特征值. (4) 设 矩阵A 可逆,11211012()k k l k k l f A a A a A a A a I b A b A b A −−−−−=++++++++"",则 11211012()kk l k k l f a a a a b b b λλλλλλλ−−−−−=++++++++""为()f A 的特征值.问题: 在上定理中, 若α为矩阵A 的属于λ的特征向量. (1),(2),(3)对应的特征向量是什么?例: 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2,− 求*2322A A A I +−−的特征值.解 本题的关键是找()f A ! 易知,*212322||322A A A I A A A A I −+−−=+−−, 而||2A =−, 因此*2322A A A I +−−的特征值为23223−+−−=−, 23225++−=, 111124222−+−−=.(2) 特征向量的性质定理 5 (属于不同特征值的特征向量线性无关)设12,ββ分别为A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量, 则12,ββ线性无关. 一般地, 若12,,,s βββ"为A 的分别属于两两不同的特征值12,,,s λλλ"的特征向量, 则 12,,,s βββ"线性无关.定理6 (1) (属于相同特征值的特征向量的非零线性组合还是特征向量)设12,αα都是A 的属于同一特征值0λ的特征向量, 12,k k 为使得11220k k αα+≠的任意常数, 则1122k k αα+也是A 的属于特征值0λ的特征向量.(2) (属于不同特征值的特征向量的系数都不为零的线性组合不是特征向量)设12,ββ分别为A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量, 12,k k 为非零任意常数, 则1122k k ββ+不是A 的特征向量. 特别地, 12ββ+不是A 的特征向量.命题1 设A 为n 阶矩阵使得1212||()()()s n n n s I A λλλλλλλ−=−−−", 其中12,,,s λλλ"两两不同, 0(1,2,,)i n i s >="且1ni i n n ==∑, 则秩()i i R I A n n λ−≥−.(也即A 的属于特征值i λ的线性无关的特征向量个数i n ≤.)解说:比如, 11012A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则2||(1)(2),I A λλλ−=−− 此时,11222,1,1,2,1,s n n λλ===== 且 ()2321R I A −=>−=, (2)23 1.R I A −==−5.2 相似矩阵与矩阵的对角化 一 相似矩阵的定义与性质定义 设A ,B 为n 阶矩阵. 若有可逆矩阵P 使得1P AP B −=, 则称A 与B 相似(或称B 为A 的相似矩阵).解说: 注意区别A 与B 相似1P AP B−=B 与A 相似 1Q BQ A −=性质1. (i) 方阵A 与其自身相似, 即A 与A 相似; (ii) 若A 与B 相似, 则B 与A 也相似;(iii) 若A 与B 相似, B 与C 相似, 则A 与C 相似.问题: 对于以上三种情形, 相应的P 是什么? 试给出性质1 的证明.性质2. 相似矩阵的特征值相同.证明: 设A 与B 相似, 则存在可逆矩阵P 使得1,P AP B −= 从而1||||I B I P AP λλ−−=−1|()|P I A P λ−=−1||||||P I A P λ−=− ||I A λ=−故A 与B 有相同的特征多项式, 从而它们的特征值相同.注: 特征值相同的不一定相似.例: 令1001I ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 1101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则A 与I 的特征值都为1, 但I 不与A 相似, 这是因为对于任意的可逆矩阵P , 都有1A P IP I −≠=.性质3 相似矩阵的迹相同. 例设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则k = .二 矩阵可对角化的条件在复数域下, 可以证明: 任何n 阶方阵都与某一上三角形方阵相似. 对角阵作为其中的特殊的情形, 在矩阵相似的理论中, 它具有相对完整的理论体系.矩阵A 可对角化指的是存在可逆矩阵P 使得1P AP −为对角阵, 即A 与对角阵相似.定理1: n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 感觉上像“每重特征值对应一个线性无关的特征向量”.证明: 必要性. 设n 阶矩阵A 可对角化, 则存在可逆矩阵P 与对角阵1n λλ⎛⎞⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠%使得1P AP −=Λ,从而AP P =Λ. 令12(,,)n P ααα=", 其中i α为P 的第i 列构成的列向量(1,2,,)i n =". 于是AP =12(,,)n A ααα"12(,,)n A A A ααα="1122(,,)n n P λαλαλαΛ="故i i i A αλα=, 1,2,,i n =". 由P 可逆可知, 一方面, 对于所有的1,2,,i n =", 有0i α≠, 从而i α为A 的特征向量; 另一方面, 12,,n ααα"线性无关.故A 有n 个线性无关的特征向量.充分性: 必要性倒过来即可. □说明: 理解上述证明过程可以进一步熟悉矩阵乘法与数学语言.前面已经证明: 属于不同特征值的特征向量线性无关. 因此可得推论1: 设A 为n 阶方阵. 若A 有n 个两两不等的特征值, 则A 可对角化(即A 与对角阵相似).例: 设00111100A x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 问x 为何值时, 矩阵A 能对角化?解: 令 01||1110I A x λλλλ−−=−−−−1(1)1λλλ−=−− (按第2列展开)2(1)(1)0λλ=−+= 得A 的特征值1231,1λλλ=−==,因为10110110001,101000I A x x −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=−−→−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠ 所以1x =−时, ()1R I A −=. 此时A有两个线性无关的属于特征值1的特征向量. 又A 有一个线性无关的属于特征值1−的特征向量. 因此, A 共有三个线性无关的特征向量. 根据定理1, A 与对角阵相似. 故1x =−时, A 可对角化.命题1: 设A 为n 阶方阵使得1212||()()()s n n n s I A λλλλλλλ−=−−−", 其中12,,,s λλλ"两两不同, 0(1,2,,)i n i s >="且1ni i n n ==∑, 则A 可对角化 ⇔对所有的1,2,,,i s =" ()i i R I A n n λ−=−.解说: 若A 为3阶方阵且212||()()I A λλλλλ−=−−, 其中12λλ≠, 则A 可对角化⇔2()321R I A λ−=−=.例: 设A 为n 阶方阵. 若2A A =, 则A 的特征值为0或1, 且A 可对角化.解: 设α为A 的属于λ的特征向量, 则A αλα=,22()A A αλαλα==. 又由2A A =可得,2.A A ααλα== 由此2λαλα=,即(1)0λλα−=, 从而(1)0λλ−=, 因此A 的特征值为0 或1.下面我们首先证明()().R A R I A n +−= 事实上, 由2A A = 可得()0A I A −=, 从而I A −的每一列都是其次线性方程组1230x x A x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠#的解, 而所有解向量构成的向量组的秩(),n R A − 故()(),R I A n R A −≤− 即()().R A R I A n +−≤又(旁白:矩阵的和的秩小于或等于秩的和)()()(),R A R I A R A I A n +−≥+−= 故()().R A R I A n +−=令||(0)(1),n s s I A λλλ−−=−− 则()(0)(),R A R A n n s s =−≥−−=(),R I A n s −≥− 从而(),R A s =()R I A n s −=−.若0,s = 则()0,R A = 从而0A =, 显然A 可对角化; 若0,n s −= 则()0R I A −=,从而0I A −=, 即A I =, 同样A 可对角化.下设0s n <<. 根据命题1, A 可对角化. (事实上, A 与111000⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠%%相似, 其中Λ中r 有个1. 这里r 为A 的秩.)三 实对称矩阵可对角化定理2 对称阵的特征值为实数.自我训练 已知A 为 , 特征向量为 .定理4: 设A 为n 阶实对称阵, 则存在正交矩阵T 使得1T AT −为对角阵.提示: 正交阵的好处‐‐‐‐求它的逆转置即可!!!例: 设011101110A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 求一正交阵T , 使1T AT −为对角阵解: 由 12221111111||11110111111011rr r I A λλλλλλλλλλλλ↔−×−−−−=−=−=−−+−−−−−+ 221111(1)1111λλλλλλ−−==−−−−+2(1)(2)λλ=−+, 可知A 的特征值 为1232,1λλλ=−==.设A 的属于特征值12λ=−的特征向量为123x x x α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,则(2)0I A α−−=, 即(2)0,I A α+= 而211112(2)121121112112I A −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠102033000⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠101011,000⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠从而313200x x x x +=⎧⎨+=⎩, 得基础解系111α−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 将α单位化,得1ξ⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 再设A 的属于特征值231λλ==的特征向量为123y y y β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则()0I A β−=, 而111111111I A −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠111000000−⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 从而1230y y y ++=. 令1210y y ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠,01⎛⎞⎜⎟⎝⎠得基础解系1110β−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,2101β⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 对1β,2β实行施密特正交化. 令11110ηβ−⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠,21221111211(,)1101,(,)22101βηηβηηη⎛⎞⎜⎟−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠再将1,η2η单位化得2,0ξ⎛⎜⎜⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠3ξ=令 123(,,)T ξξξ=0⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎝, 则1211T AT −−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 注意: 211−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠中的顺序千万不要随意改动! 这些数有内在的对应关系.例 设 2112A −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠, 求n A . 解 因为A 对称, 所以A 可对角化, 从而存在可逆矩阵P 以及对角阵Λ使得1P AP −=Λ. 于是1A P P −=Λ从而11()n n n A P P P P −−=Λ=Λ. 令21||(1)(3)012I A λλλλλ−−==−−=−得A 的特征值121, 3.λλ== 再设A 的属于特征值11λ=的特征向量为12x x α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则()0I A α−=, 而 1111(),1100I A −−⎛⎞⎛⎞−=→⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠从而120x x −=. 由此得基础解系111ξ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 再设A 的属于特征值23λ=的特征向量为12y y β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠, 则(3)0I A β−=, 而 1111(3),1100I A ⎛⎞⎛⎞−=→⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 从而120y y +=. 由此得基础解系211ξ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.令12P ⎞=⎟⎠（正交阵）, 13⎛⎞Λ=⎜⎟⎝⎠, 则 1TA P P P P −=Λ=Λ=13131.21313n n n n ⎛⎞+−⎜⎟−+⎝⎠或者Array。