第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
习题与复习题详解(线性空间)----高等代数
习题5. 11． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a aa a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.答 否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭. 习题5.21．讨论22P ⨯中 的线性相关性.解 设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 解 设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ). 解 设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知3R 的两组基（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11（Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ. 解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.（3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5．已知P [x ]4的两组基（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101*********(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪- ⎪∴=⎪- ⎪---⎝⎭. （2）设多项式f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 （*）因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组（*）只有零解，则f (x )在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T，所以f (x ) = 0习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题5.41． 求向量()1,1,2,3α=- 的长度.解 215α. 2． 求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=2()7αβ-. 3．求下列向量之间的夹角（1） ()()10431211αβ==--,,,，,,, （2） ()()12233151αβ==,,,，,,, （3）()()1,1,1,2311,0αβ==-，，， 解（1）(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.（2）(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,,4παβ∴==.（3）(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,α==, β=,β∴=.3． 设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量，证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.证明 因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题5.51． 在4R 中，求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.解 设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交,则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 （*）. 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2． 将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基.3．求齐次线性方程组 的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 可得齐次线性方程组的一个基础解系123111100,,010004001ηηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3． 设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明:1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明 因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i10),(αααα (,1,2,i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明 也是V 的一组标准正交基. 证明 由题知123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1．当k 满足 时，()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解 三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解 向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解 根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换， 所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .解 因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解 四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A ） (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111（B ） (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 （C ）(){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C ）.2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为（ ）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选（A ）. 解 因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）, 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆， 所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选（B ）.解 因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C ）. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ). (A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选（B ）6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k 为数）解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选（C ）. 7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵 选（B ）(B)1．已知4R 的两组基 （Ⅰ）： 1234, αααα,,（Ⅱ）：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解 （１）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. （2）设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 （*） 齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈． 故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.解 ( 1 ) 由题有因 0011001112220≠，所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量，构成3 R 的基. (2 ) 因为所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.证明 设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++=即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组（*）只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基.设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为（1, 2, 3）.5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A= 00010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解 要使矩阵A 为正交阵，应有 T AA E =⇒2221120 1a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎪+=⎪⎩①a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6．设 ???是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T TE A αααα）（/2-=为正交矩阵.证明 因为???是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T TT T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 为正交矩阵．7．设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=（）, 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明 因为A E E E A T T T T TTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(，所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=,所以A 为正交阵.证明 因为, ,A B n 均为阶正交矩阵 所以0T A A =≠且。
第五章(理工)n阶矩阵的特征值与特征向量
23
23 6
λ
数值即可求得为 1 , 1 , 1 。 632
（提示：见下表）
矩阵 A kA + E A + kE AT A−1 A* A2 P−1AP 或 B(B ∼ A)
特征值 λ kλ +1 λ + kE λ λ −1 A λ λ 2
λ
特征向量 α α
α －α α α
P−1α
上表可用定义法证得
2、 A 是 n 阶矩阵， r( A) < n ，则 A 必有特征值
0
1
−1⎟⎟ ，得 X1 = ⎜⎜1⎟⎟
⎜⎝ −2 −2 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
⎜⎝1⎟⎠
⎛ −2 −2 −2⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
当
λ
=
−1 时，
(−E
−
A)
=
⎜ ⎜
−2
−2
−2
⎟ ⎟
→
⎜ ⎜
0
0
0
⎟ ⎟
，得
X2
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ ,
X3
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜⎝ −2 −2 −2⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
即 λ1 = λ2 = λ3 = λ
5、3 阶矩阵 A 的特征值 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3 对应的特征向量依次为α1 = (1,1,1)T ,α2 = (1, 2, 4)T ,α3 = (1, 3, 9)T
3、已知
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 3
3
0
⎟ ⎟
可对角化，求可逆矩阵
P
及对角矩阵
Λ
，使
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
《线性代数考研资料》第五章特征值与特征向量
解此方程组，得 又由，有 故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其 中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和 特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与 特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】 经计算可得
第五章 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征 向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和 三个线性无关特征向量后，由公式
可解出 【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即， 解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟 练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的 非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练 工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记 成向量 （1）求与的关系式并写成矩阵形成：； （2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求 【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立 递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第 三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到 【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征 值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应 的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方 阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实 数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数） （Ⅱ）令 则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
线性代数第五章答案
线性代数第五章答案第五章相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)=931421111) , ,(321a a a ;解根据施密特正交化方法,==11111a b ,-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)---=011101110111) , ,(321a a a .解根据施密特正交化方法,-==110111a b ,-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ?-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)---121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)------979494949198949891.解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A ,B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由=000110321633312321~A ,得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由--???? ??---=-00021101113333823289~E A ,得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考）解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.对于特征值λ3=λ4=1, 由------=-00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明因为|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.< p="">证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t<n.< p="">若a1,a2,,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地,设b1,b2,,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,,a n-r,b1,b2,,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,,k n-r,l1,l2,,l n-t,使k1a1+k2a2++k n-r a n-r+l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2++k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2++l n-r b n-r),则k1,k2,,k n-r不全为0,否则l1,l2,,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0,与b1,b2,,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则?(1)=3, ?(2)=2, ?(3)=3是?(A )的特征值, 故 |A 3-5A 2+7A |=|?(A )|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解因为|A |=1?2?(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .令?(λ)=-6λ-1+3λ+2, 则?(1)=-1, ?(2)=5, ?(-3)=-5是?(A )的特征值, 故 |A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|?(A )|=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相似.证明取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似.14. 设矩阵=50413102x A 可相似对角化, 求x .解由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;解设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -λE )p =0, 即=???? ??-???? ??------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由-???? ??----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)----020212022;解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T)32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )32 ,31 ,32(2-=p . 对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )31 ,32 ,32(3-=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即=???? ?????? ??----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即=???? ?????? ??-------000542452228321x x x ,得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(313--=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10).17. 设矩阵------=12422421x A 与-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p .对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵?--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1,1, 0)T , 求A .解令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1.因为---=???? ??=--11011101101111111011P ,所以---???? ??-???? ??=Λ=-1101110111000200020111111101P P A------=244354332. 19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即 =++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① =-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=. 令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x ,314=x , 325=x . 因此-=022********A . 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A .因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有=???? ??1116111A , 即?=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出--???? ??---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, , a n )T , a 1≠0, A =aa T . (1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有A x =λx ,λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ? ? ?, a n 2, 所以a 12+a 22+ ? ? ? +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解设λ1=a Ta , λ2= ? ? ? =λn =0.因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量.对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为p 2=(-a 2, a 1, 0, , 0)T ,p 3=(-a 3, 0, a 1, , 0)T , ? ? ?,p n =(-a n , 0, 0, , a 1)T .因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为--=112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p . 22. 设-=340430241A , 求A 100. 解由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100),--=???? ??-=--1202105055112021012111P ,所以--???? ?????? ??-=12021050555112021012151100100100A-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).(1)求关系式??=??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;解由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,因此--=q p q p A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??? ??=??? ??5.05.000y x , 求?n n y x .解由??=??++n n n n y x A y x 11可知??=??00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r ,解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令??-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.于是 11100111-??-??? ????? ??-=p q r p q A n n-??? ????? ??-+=q p r p q q p n 11001111+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1,+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设??--=3223A , 求?(A )=A 10-5A 9; 解由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21. 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵?-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1-??? ??-??? ??-=1111210004111121-=??? ??----=111122222.(2)设=122221212A , 求?(A )=A 10-6A 9+5A 8.解求得正交矩阵为---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1 =P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1 =P diag(12, 0,0)P -1---???? ?---=222033*********223123161----=4222112112. 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f .26. 写出下列二次型的矩阵: (1)x x x ?=1312)(T f ;解二次型的矩阵为=1222A .(2)x x x=987654321)(T f .解二次型的矩阵为=975753531A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;解二次型的矩阵为=320230002A . 由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由-???? ??---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.解二次型矩阵为----=1101111001111011A . 由2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(2--=p . 当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )21 ,0 ,21 ,0(4=p .于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.解二次型的矩阵为----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p . 对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p .于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换--=???? ??w v u z y x 21322312132231031234,使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ? ? ? +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=? ? ?=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3;解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令 ??+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即+-==+-=323223211221225y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2.令 +==+=32322311x x y x y x x y , 即+-==-+=3 23223211y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=110010111C .(3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.</n.<></n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.<>。
高等代数_李海龙_习题第5章矩阵
第五章 矩阵5.1 矩阵的运算1． 计算①123124246124369124---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ②13231020132014305214-⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭ ③()1212,,,n n b b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ④()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⑤121231121012110012311121311⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：①000000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ②765727⎛⎫⎪---⎝⎭ ③1122n n a b a b a b +++ ④111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⑤1915559122632⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 2． 证明：两个矩阵A 与B 的乘积AB 的第i 行等于A 的第i 行右乘以B ，第j 列等于B 的第j 列左乘以A ．证明：设()ij m nA a ⨯=，()ij n pB b ⨯=，则()ij m pAB c ⨯=的第i 行可以看成一个1p ⨯矩阵，它的第j 个元素11ij i j in njc a b a b =++ ，而A 的第i 行右乘以B 也得到一个1p ⨯矩阵，它的第j 个元素等于11i j in nja b a b ++ ，所以AB 的第i 行等于A 的第i 行右乘以B ，同理可得AB 第j列等于B 的第j 列左乘以A ．3． 可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：i. 设()ij B b =是一个n p ⨯矩阵，令12(,,,)'jj j nj b b b β= 是B 的第j 列1,2,,j p = ，又设12(,,,)'p x x x ξ= 是任意的一个1p ⨯矩阵，证明：1122p p B x x x ξβββ=+++ ；ii. 设A 是一个m n ⨯矩阵利用i 及习题2的结果，证明()()A B AB ξξ=； iii.设C 是一个p q ⨯矩阵,利用ii ，证明()()A BC AB C =证明：i. B ξ是一个1n ⨯矩阵，第i 行元素为11i ip p b x b x ++ ，而(1,2,,)i i x i p β= 其中都为1n ⨯矩阵，所以1pi ii x β=∑也为1n ⨯矩阵，且第i 行元素为1122i i p ipx b x b x b ++ ，所以1122p pB x x x ξβββ=+++ii. ()A B ξ是一个1m ⨯矩阵，且i 行元素为A 的i 行元素与B ξ的列对应元素乘积之和；()AB ξ也是一个1m ⨯矩阵，由AB 的第i 行等于A 的第i 行右乘以B ，且由矩阵乘法的结合律，()AB ξ的第i 行元素为A 的i 行元素与B ξ的列对应元素乘积之和；所以()()A B AB ξξ=．iii. ()A BC 是一个m q ⨯矩阵，()AB C 也是一个m q ⨯矩阵，且由ii 知：()A BC 与()AB C的对应元素相等， 所以()()A BC AB C =．4． 设0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，证明：当且仅当00000abc d a b c B a b a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭时AB BA =．证明：设与矩阵A 可交换矩阵设为1234123412341234a a a a b b b b X c c c c d d d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则AX XA =，而12341234123400b b b b c c c c AX d d d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 1231231231230000a a ab b b XAc c cd d d ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1234234341121230a b c d a b c a b b c c d d d ===⎧⎪==⎪⎨=⎪⎪======⎩，设1234234344a b c d a a b c b a b c a d ====⎧⎪===⎪⎨==⎪⎪=⎩,则000a b c d a b c X Ba b ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪5． 令ij E 是第i 行第j n 阶矩阵，求ij kl E E ． 解：因为0000000ij E ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0000000kl E ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭ 0 ilij kl E j k E E j k =⎧=⎨≠⎩6． 求满足以下条件的所有n 阶矩阵A ： i.,,1,2,,ij ij AE E A i j n== ；ii. AB BA =这里B 是任意n 矩阵；解：i.令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则12000000000000ij j j jn E A a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭12000000000000i i ij ni a a AE a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则A 中ii jja a =，且k i ≠时0ki a =；k j ≠时0jk a =．ii.因为A 与任意n 阶矩阵可交换，所以A 与ijE 也可交换，由i 可得1122nn a a a === ，0()ij a i j =≠即11n A a I =．7． 举例说明：当AB AC =时未必B C =． 例：111111,,111111A B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 8． 证明：对任意n 阶矩阵A B 和，都有AB BA I -≠ 证明：设()ij n nA a ⨯=，()ij n nB b ⨯=()ij n nAB C c ⨯==，()ij n nBA D d ⨯==则AB 主对角线元素和为：11111nnnnnii ik kiki iki i k i k c ab b a =======∑∑∑∑∑,则BA 主对角线元素和为：111nnniiki iki i k db a ====∑∑∑，由此AB BA -的主对角线元素和为0，而I 的主对角线元素和为1．得证．9． 令A 是任意n 阶矩阵，而I 是n 阶单位矩阵，证明：21()()m m I A I A A A I A --++++=-证明：21()()m I A I A A A --++++212m m I A A A A A A -=++++---- m I A =-10．对任意n 阶矩阵A ，必有n 阶矩阵C B 和，使A B C =+，并且,B B C C ''==-证明：设A B C =+①，且,B B C C ''==-， 则A B C B C '''=+=-②，由①②可得,22A A A A B C ''+-==且22A A A A B B '''++⎛⎫'=== ⎪⎝⎭；22A A A A C C '''--⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，由此对已知矩阵A 只要令,22A A A A B C ''+-==就必有,B B C C ''==-5.2可逆矩阵、矩阵乘积的行列式1． 设对5阶行列式施行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？答：①1000001000031000001000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，②1000001300001000001000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2． 证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵． 证明：设一个可逆矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,因为det 0A ≠，所以A 的第一行元素1(1,2,,)j a j n = 中至少有一个不为0，总可以通过交换列位置，使得110a ≠，用111a 乘以第一列，然后其余各列分别减去第一列的适当倍数，使A 化为100******B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，再化为1000*100********⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，进一步化为1000*100**10***1⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 再由第一列、第二列…第1n -列分别减n 列适当倍，如此继续，可将矩阵最后变为单位矩阵I ．3． 求下列矩阵的逆矩阵：①121342531-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭ ②cos sin sin cos x x x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ③2211111ϖϖϖϖ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中22cos sin 33i ππϖ=+ 解：①22213615291328--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭②cos sin sin cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭③221111131ϖϖϖϖ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ 4． 设A 是一个n 阶矩阵，并且存在一个正整数m ，使得0mA =i.证明I A -可逆，且()121m I A I A A A ---=++++ii.求矩阵1123401123001120001100001--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵 证明：i.因为21()()m mI A I A A A I A I --++++=-=所以I A -可逆，且()121m I A I A A A ---=++++ii.应用i 的结果，令51123401123001120001100001B I A --⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪=-=- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 则123400123000120000100000A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭200141000014000010000000000A -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭30001600001000000000000000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭40000100000000000000000000A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，50A =所以1234B I A A A A -=++++1110101110001110001100001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭5． 设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ad cb -=，证明A 总可以表示成12()T k 和21()T k 型初等矩阵的乘积．证明：因为1ad cb -=，所以a c 、不同时为0① 当0a ≠时，011000ab a b aa b ad bc c d a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→=→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭101111111011aa a aa a ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上述变换用初等矩阵表示10101101111111101011101a ab a b a c c d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1111110101111101110101111101ab a a c aa-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②当0a =时，则0c ≠所以1bc =-，即1b c -=11101101d d a b c c c c d c d c d -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 用初等矩阵表示11101110101d a b c c c c d -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1111101110101d a b c c c d c ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6． 令*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，证明1det *(det )n A A -=证明：因为*det AA A I =⋅，所以()()()det *det det *det(det )det nAA A A A I A ==⋅=(1) 若det 0A ≠，则1det *(det )n A A -=(2) 若det 0A =，i ．若0A =，则*0A =所以1det *(det )n A A -=ii ．若0A ≠，则也有det *0A =，否则det *0A ≠，则A 可逆．所以*det 0AA A I =⋅=右乘()1*A -，则有0A =与0A ≠矛盾．所以det *0A =，所以1det *(det )n A A -=7． 设,A B 都是n 阶矩阵，证明：若AB 可逆，则A B 和都可逆． 证明：因为AB 可逆，所以det()0AB ≠，所以det det 0A B ⋅≠ 即det 0det 0A B ≠≠且，所以A B 和都可逆．8． 设,A B 都是n 阶矩阵，证明：若ABI ＝，则A B 和互为逆矩阵． 证明：因为ABI ＝，所以A B 和都可逆，设1A A -的逆为，则 11AA A A I --==，所以11BA IBA A ABA A A I --====所以BA I ＝，所以AB 和互为逆矩阵．9． 证明：一个n 阶矩阵A 的1≤秩必要且只要A 可以表示为一个1n ⨯矩阵和一个1n ⨯矩阵的乘积．证明：若0A =秩则结论成立．若1A 秩＝，则A 经过初等变换有一个非零行，其余各行均为该行适当倍，令非零1n ⨯矩阵()12n b b b ，而A 的各行均为()12n b b b 的12,,,n a a a 倍，即：()1212n n a aA b b b a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭10． 证明一个秩为r 的矩阵总可以表为r 个秩为1的矩阵的和．证明：设矩阵A 秩为r ，则有初等矩阵11,,,,,t s P PQ Q 使得 110rt sI P P A Q Q ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭ ，令1t P P P =⋅⋅ ，1s Q Q Q =⋅⋅ ，即存在可逆矩阵,P Q 使得0rI A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令矩阵ii E 的元素除了(,)i i 为1外其余均为0，则1r ii i A PE Q ==∑，又因为秩ii E ≥秩ii PE ≥秩ii PE Q ，而秩ii PE Q ≥秩11ii P PE QQ --＝秩ii E ，所以秩ii E =秩1ii PE Q =．11．设A 是一个n n ⨯矩阵，1212(,,,),(,,,)n n b b b x x x βξ''== 都是1n ⨯矩阵．用记号()iA β←−−表示以β代替A 的第i 行后得到的n n ⨯矩阵．证明： i.线性方程组A ξβ=可以表示成()()i iA I A ξβ←−−=←−−，1,,i n = ，I 为n 阶单位矩阵．ii.当det 0A ≠时，对I 中矩阵等式两端取行列式，证明克莱默法则．证明：i.设()ij n nA a ⨯=，则A ξβ=为11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩()i A β=←−−为 111121221222312100010000000n n n n nn nx a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭111121221n n n nnn a b a a b a a b a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭根据矩阵乘法及矩阵相等的定义可得11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩所以A ξβ=可以改写成()()i iA I A ξβ←−−=←−− ii ．对矩阵等式()()iiA I A ξβ←−−=←−−两边取行列式得det det()det()iiA I A ξβ←−−=←−−，因为，det()iI ξ←−−1231000100010001n x x x x x ==，112131222232223det()n n inn nn b a a a b a a a I b a a a ξ←−−=所以1121312222322231111212122212n n n n nnn n n n nnb a a a b a a a b a a a x a a a a a a a a a =，同理111121221111212122212n n n n nn i n n n n nn a b a a b a a b a x a a a a a a a a a =．5.3矩阵的分块1． 求矩阵21003200311934231423⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭的逆矩阵． 解：2100320011342123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭2． 设,A B 都是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵，证明 00000AB I A I A B I I B BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明：因为000AB I A AB ABA B I B BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭000IA AB ABA I B BA B BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得证．3． 设0,0rr s s I I k S T k I I ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都是n r s =+阶矩阵，而1234AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭是n 阶矩阵，且与,S T 有相同的分法，求SA ，AS ，AT ，由此能得出什么规律？解：12123413240,rs I A A A A SA k I A A kA A kA A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12122343440,r s A A I A A k A AS A A k I A A k A +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1213243434,0rs I k A A A kA A kA TA I A A A A ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211234334,0r s A A I k A A k A AT A A I A A k A +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭说明：对分块矩阵来说，有类似于通常矩阵的初等变换与初等矩阵，称为广义初等变换，,S T 称为广义初等矩阵，且对分块矩阵作行（或列）初等变换也相当于矩阵左乘（或右乘）相应的初等矩阵．4． 证明：2n 矩阵100A A -⎛⎫ ⎪⎝⎭总可以写成几个形如0I P I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0I Q I ⎛⎫ ⎪⎝⎭的矩阵的乘积．证明：因为110000A A A A I I A I A I I I I ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以 111000000I I A I A I I A I I A I A I I I ----⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以 111000000A I I I A I I A I A A I I I I I ---'''-⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5． 设12000000s A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 是一个对角线分块矩阵， 证明：12det (det )(det )(det )s A A A A =证明：对s 用数学归纳法：① 当2s =时，111222000000A I A A A A I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111222000det det det det 000A I A A A A I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12(det )(det )A A =② 若对1s -时成立，则对于s 有2310000det (det )det 00s A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭121(det )(det )(det )(det )s s A A A A -=6． 证明：n 阶矩阵0A C B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式等于()()det det A B ⋅．证明：因为2211000000A I A I I C I C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22110000det det det det 00A I A I I C I C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()det det A B =⋅7． 设,,,A B C D 都是n 阶矩阵，其中d e t 0A ≠且AC CA =，证明：d e t d e t (A B AD CB C D ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．证明：因为1100A B I A B C D CA I D CA B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以110det det det 0A B I A B C D CA I D CA B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11det det()det()A D CA B AD ACA B --=-=-，又因为AC CA =，所以det det()A BAD CB C D ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．。
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
矩阵A的特征值为0，-1/2，1，
矩阵A+E的特征值为1，1/2，2，
A E 1
3、 A 0 1 2 0
ab
a b 0（说明等于0的原因）
4、 A 2 21 2
A 2 2 A1 A 2
2
( A2 A) 2 2 A1
A A A( A E ) 0
A* 的特征值为-6，3，-2，
设 1 9、 P , P2 是A的属于特征值3的线性无关的 两个向量 P1T P2 0 PT X T 1 P1 P3 0
x1 x2 x3 0
1 1 P2 1 , P3 0 0 1
第五章
矩阵的特征值和特征向量习题答案
向量的内积和正交化
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵 实对称矩阵的对角化
练习题五
1 (1,1,1)T , 试求两个向量 2 , 3 , 已知向量 1、 使 1 , 2 , 3 , 为 R 3 的一组正交基。
（方法一） 1 X
0
1 2 3 1
3 1 2 E AX 5 2 3X 1 0 1 1 0 1 x1 x3 0 1 1X x2 x3 0 0 0
1 1 1T
2 1 2 5 a 3 1 b 2
' 3
A3 5 A2 7 E 165
设矩阵 6、
5 0 0 1 2 4 A 2 x 2 与 0 4 0 相似， 0 0 y 4 2 1
P 1 AP 求x,y;并求一个正交矩阵P，使
高等代数中的特征值与特征向量
高等代数中的特征值与特征向量在高等代数中，特征值与特征向量是研究矩阵性质和变换的重要工具。
特征值和特征向量描述了矩阵在线性变换下的一些重要特性，对于理解和解决许多实际问题具有重要意义。
一、特征值与特征向量的定义特征值是指矩阵A与其特征向量x相乘的结果与x的线性关系，即Ax=kx，其中k为常数。
特征向量是指在矩阵A的作用下，保持方向不变，只改变长度的非零向量。
二、特征值与特征向量的计算要计算矩阵的特征值与特征向量，可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是通过将矩阵A减去kI（其中I为单位矩阵）后求解行列式的方式得到的，即det(A-kI)=0。
解特征方程可以得到矩阵的特征值，将特征值代入原方程可以求解对应的特征向量。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用案例：1. 矩阵对角化通过求解矩阵的特征值与特征向量，可以将矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵与特征向量的乘积。
对角化可以简化矩阵计算，使得问题的求解更加容易。
2. 线性变换特征值与特征向量描述了线性变换的一些重要性质。
通过求解矩阵的特征值与特征向量，可以了解线性变换对空间的拉伸、压缩、旋转等变化。
这对于图像处理、机器学习等领域有着重要的应用。
3. 差分方程的稳定性分析差分方程是描述离散时间系统动态行为的重要工具。
通过求解差分方程对应的矩阵的特征值，可以判断差分方程的稳定性。
稳定性分析对于控制系统设计、信号处理等领域非常重要。
4. 特征脸识别特征脸识别是一种基于特征值与特征向量的人脸识别方法。
通过将人脸图像转换为特征向量，并计算特征向量之间的距离，可以判断两张人脸是否相似。
这种方法在人脸识别、安防等领域得到了广泛应用。
四、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有一些重要的性质：1. 矩阵的特征值之和等于其迹（矩阵对角线元素之和），特征值之积等于其行列式的值。
2. 矩阵的特征向量是线性无关的，且特征向量对应不同特征值的特征向量也是线性无关的。
关于高中数学矩阵特征值与特征向量的求解
2013-12百花园地四、语文教师要巧设悬念吊人的胃口，那就是悬念，我们若能在课堂教学中找到这样一扇“门”，就能激发起学生的好奇心、探索欲，主动积极地投入到学习的思维活动中，这样的课堂所激发的教学效果一定非常精彩。
因此，设置适当的悬念，既可引起学生重视，又可消除由于被动思维带来的疲惫感，使学生自主学习，主动融于动态的课堂。
总之，作为语文教师，只有改变观念，以科学的态度和求真的精神来设计每一个过程、环节，采用形式多样的教学方法，才能不断地激发学生的创新精神，而和谐积极的语文课堂气氛更可以让学生高效愉悦地学习。
大胆地对语文教学方法和艺术进行追求和创新，使我们语文教学的这片海洋更加波澜壮阔，惊险雄奇，用我们的魅力吸引学生畅游于知识的海洋吧！（作者单位辽宁省盘锦市实验中学）•编辑孙玲娟在多数《高数》教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性，其定义如下：设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的一数λ，存在一个非零向量ξ∈V使得Aξ=λξ那么λ称为A的一个特征值，而ξ称为A的属于特征值λ的一个特征向量。
在大部分《线数》教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成部分，其定义如下：设A是数域P上的一个n阶方阵，若存在一个数λ∈P以及一个非零n维列向量使得Ax=λx则称是矩阵A的一个特征值，向量x称为矩阵A关于特征值λ的特征向量。
从表面上看，这是两种关于特征值与特征向量完全不同的定义，但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。
一、对于具体的数字矩阵A=（a ij）n伊n，求A的特征值与特征向量的步骤第一步由A-λE=0求得A的n个特征值，设λ1，λ2，…λt是A的互异特征值，其重数分别为r1，r2，…，r t，且r1+r2+…+r t=n.第二步求解齐次线性那个方程组（A-r1E）x=0（i=（1，2，…，t）其基础解系就是A对应特征值λ1的线性无关的特征向量，设基础解系为P i1，P i2，…P it（1≤s i≤r i）则A对应特征值λ1的全部特征向量为k i1P t1+k i2P t2+…+k isi P tsi（k i1，k i2，…，k isi不全为0）注1：求特征多项式A-λE时最好先用行列式性质化简，并提取λ的一次多项式，然后展开计算。
高等代数第五版习题答案
高等代数第五版习题答案高等代数是一门重要的数学学科，它是数学的基础之一，也是应用数学和理论数学的桥梁。
对于学习高等代数的学生来说，理解和掌握习题的解答方法是非常重要的。
本文将为大家提供《高等代数第五版》习题的答案，帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。
第一章：线性方程组和矩阵1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第二章：线性空间1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第三章：线性变换和矩阵1. 解答过程略。
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3. 解答过程略。
第四章：特征值和特征向量1. 解答过程略。
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第五章：正交性和对称矩阵2. 解答过程略。
3. 解答过程略。
第六章：二次型1. 解答过程略。
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第七章：线性空间的同构1. 解答过程略。
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第八章：线性空间的直和1. 解答过程略。
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第九章：线性算子的标准形1. 解答过程略。
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第十章：线性算子的Jordan标准形1. 解答过程略。
2. 解答过程略。
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北师大版高中数学选修4-2第五章矩阵的特征值与特征向量同步练习(一)
第五章矩阵的特征值与特征向量同步练习(一)1、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6261的特征值是()A 、3,221-=-=λλB 、3,221-==λλC 、3,221=-=λλD 、3,221==λλ2、零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的()A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、非充分非必要条件3、给定矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32313132M 及向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=56α，对任意的向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x ，则=M n 。
4、矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛2152的特征值是 。
5、已知矩阵A 有特征值81=λ及对应特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111e ，并有特征值22=λ及对应向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212e ，则矩阵A= 。
6、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21001M ，则_______3120=⎪⎪⎭⎫⎝⎛M 。
7、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值为_____________。
8、求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32521M 的特征值和特征向量。
9、给定矩阵M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1652及向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=92α，(1)求M 的特征值及对应的特征向量；(2)确定实数a,b 使向量α可表示为21e b e a +=α； (3)利用(2)中表达式间接计算ααn M M ,3。
10、对下列兔子、狐狐狸模型进行分析：①)1(9.015.02.03.11111≥⎩⎨⎧+=-=----n F R F F R R n n n n n n②)1(1.12.01.01.11111≥⎩⎨⎧+=+=----n F R F F R R n n n n n n(1)分别确定以上模型对应矩阵的特征值；(2)分别确定以上模型最大特征值对应的特征向量,及较小特征值对应的特征向量':(3)如果初始种群中兔子与狐狸的数量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30100000F R β,分别把第n 年种群中兔子与狐狸的数量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n F R β表示为e 和'e 的线性组合,即'+=b a n β； (4)利用(3)中表达式分析当n 越来越大时,n β的变化趋势。
东北大学线性代数第五章课后习题详解 特征值与特征向量
基本教学要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量.2.了解相似矩阵的概念和性质.3.了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法.4.会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.第五章矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量(P107)1. 定义定义5.1 设A为n阶矩阵，如果存在数λ0和非零向量ξ，使得Aξ=λ0ξ， (5.1) 则称λ0是A的特征值，ξ是A的属于特征值λ0的一个特征向量.特征值与特征向量的含义：非零向量ξ使Aξ=λ0ξ⇔(λ0E-A)x=ο有非零解ξ⇔det(λ0E-A)=0⇔λ0是方程det(λE-A)=0的根定义5.2设A为n阶矩阵，称行列式det(λE-A)为矩阵A的特征多项式，det(λE-A)=0为矩阵A的特征方程.易见，若A=diag(λ1,λ2,…,λn)，则λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值.2. 求特征值与特征向量的步骤步骤1：计算A的特征多项式det(λE-A)；步骤2：因式分解det(λE-A)，求出全部特征值λ1,λ2,…,λn；步骤3：解齐次线性方程组(λi E-A)x=ο(i=1,2,…,n)，求属于λi的特征向量.例5.1(例5.1 P 108) 例5.2(例5.2 P 109)两例说明，不同的矩阵可以有完全相同的特征值.例5.3(例5.3 P 110) 这是一种类型题3. 特征值与特征向量的性质(P 110)性质5.1 设λ1,λ2,…,λn 是n 阶矩阵A 的全部特征值，则nniii i 1i 1a===λ∑∑， (5.2)12n det A =λλλ. (5.3)其中a 11+a 22+…+a nn 称为矩阵A 的迹. (性质5.1 P 110)推论 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都不为零. (推论 P 110)性质5.2 设λ是矩阵A 的特征值，ξ是A 的属于λ的特征向量，p(x )是关于x 的多项式，则p(λ)是矩阵p(A )的特征值，ξ是p(A )属于特征值p(λ)的特征向量. (性质5.2 P 110)例5.4(例5.4 P 111) 设三阶矩阵A 的特征值是1,2,3，求行列式|A *-3A+2E|. 解 A(A *-3A+2E)=|A|E-3A 2+2A =-3A 2+2A+6E |A *-3A+2E|=|-3A 2+2A+6E|/|A|=(-3×12+2×1+6)(-3×22+2×2+6)(-3×32+2×3+6)/6 =5×(-2)×(-15)/6=25.注意：如果A 不可逆，在本题的条件下是不能计算|A *-3A+2E|的.性质5.3 设λ1,λ2,…,λs 是矩阵A 的互异特征值，ξ1,ξ2,…,ξs 是分别属于它们的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs线性无关. (性质5.3 P 111)性质5.4设λ1,λ2是矩阵A的两个互异的特征值，ξ1,ξ2,…,ξs和η1,η2,…,ηt分别是属于λ1,λ2的线性无关的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关. (性质5.4 P111)证设数k1,k2,…,k s和l1,l2,…,l t使k1ξ1+k2ξ2+…+k sξs+l1η1+k2η2+…+k tηt=ο. (1)令ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+k sξs，η=l1η1+k2η2+…+k tηt，则ξ,η分别是λ1,λ2的特征向量.若ξ≠ο，则η=-ξ≠ο，那么由已知条件可知，k1,k2,…,k s与l1,l2,…,l t都不全为零，但ξ+η=ο却与性质5.3矛盾.矛盾说明ξ=η=ο，式(1)成立当且仅当k1=k2=…=k s=l1=l2=…=l t=0，即ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关.推论矩阵A的全部互异特征值的所有线性无关的特征向量都是线性无关的. (P112)二、矩阵相似对角化(P112)1. 定义定义5.3设A,B为n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P-1AP = B，则称B是A的相似矩阵，或称A与B相似，称运算P-1AP是对A做相似变换，P是把A变为B的相似变换矩阵.A相似B ⇔∃P,∂P-1AP=B.2. 矩阵相似的性质定理5.1相似矩阵有相同的特征值. (定理5.1 P112).证因为A相似B ⇔∃P,∂P-1AP=B，所以det(λE-B)=det(λE-P-1AP)=det[P-1(λE-A)P]=det(P-1)det(λE-A)det(P)=det(λE-A).从而A与B有相同的特征值.定理5.1 的逆命题不成立.例如，1001⎛⎫⎪⎝⎭与⎛⎫⎪⎝⎭1011的特征值相同，但它们不相似.推论1若A与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn)相似，则λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值. (推论 P112) 推论2 若A与B相似，则det(A)=det(B).推论3设A与B相似，f(x)是多项式，则f(A)与f(B)相似，且det[f(A)]=det[f(B)].例5.5(例5.5 P112) 设矩阵224A=a31003⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭与100B04000b⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭相似，求a,b的值.解A与B相似5b8,a1,4b3(62a)b 3.+==⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=⎩⎩例5.6 设A与D相似，且D=diag(-1,2,0,1)，求det(2A5-3A4+A2-4E).解A与D相似⇒2A5-3A4+A2-4E与2D5-3D 4+D 2-4E相似⇒|2A5-3A4+A2-4E|=|2D 5-3D 4+D 2-4E|=(2×(-1)5-3×(-1)4+(-1)2-4)(2×25-3×24+22-4)(-4)(2×15-3×14+12-4)=-211.3. 矩阵相似对角化(P113)分析：A与D=diag(λ1,λ2,…,λn)相似⇔∃P,∂P-1AP=D.若设P=(ξ1,ξ2,…,ξn)，则P-1AP=D ⇔A(ξ1,ξ2,…,ξn)= (ξ1,ξ2,…,ξn)D⇔Aξi=λiξi, i=1,2,…,n⇔ξi(i=1,2,…,n)是A的属于λi的特征向量，且ξ1,ξ2,…,ξn线性无关由此，有如下重要结论：定理5.2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. (定理5.2 P114)推论 如果n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值，则A 与对角矩阵相似. (推论 P 114)例如，例5.1中的A 不能与对角矩阵相似，而例5.2中的A 与diag(1,1,4)相似.例5.7 对于例5.2中的A ，求A 2014.解 由于A 的3个特征向量ξ1=(2,-1,0)T ,ξ2 =(4,0,-1)T ,ξ3=(1,1,0)T 线性无关，所以A 与diag(1,1,4)相似. 令P=(ξ3,ξ1,ξ2)，则A=Pdiag(4,1,1)P -1，20142014120142014201420142014201420144A P 1P 112441241 1101114300110034241241 4101143001003422(41)4(41)1 413-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+--=-201420142(40.5)4(41).003⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭关于特征值与特征向量，还有如下结论.定理5.3 设λ0是n 阶矩阵A 的k 重特征值，则属于λ0的线性无关的特征向量的个数不大于k . (定理5.3 P 115)定理5.3表明，若λ是n 阶矩阵A 的k 重特征值，则n-R(λ0E-A)≤k ，且A 的线性无关特征向量的总数≤n .推论 设λ1,λ2,…,λs 是n 阶矩阵A 的全部互异特征值，其重数分别为k 1,k 2,…,k s ，那么矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是属于λi (i=1,2,…,s )的线性无关的特征向量恰有k i 个，即R(λi E-A)=n-k i (i=1,2,…,s). (推论2 P 116)推论表明，矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，每个特征值的重数等于属于它的线性无关特征向量的个数.例如，例5.1、例5.2.例5.8(例5.6 P 116)把矩阵A 相似变换为对角矩阵的步骤：步骤1 求n 阶矩阵A 的全部互异特征值λ1,λ2,…,λs ；步骤 2 求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn )；步骤3 相似变换矩阵P=(ξ1,ξ2,…,ξn )，P 使得12s 1k 2k 1s k E E P AP E -λ⎛⎫ ⎪λ⎪=⎪ ⎪ ⎪λ⎝⎭.三、实对称矩阵的相似对角化1. 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质定理5.4 实对称矩阵的特征值都是实数. (定理5.4 P 117)定理5.4表明：实对称矩阵的特征向量必为实向量，从而每个特征值的特征向量空间的“基础解系”可正交化.定理5.5 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的. (定理5.5 P 118)定理5.5表明：实对称矩阵不同特征值的特征向量空间的“基础解系”互相正交.例5.9(例5.7 P118) 设3阶实对称矩阵A不可逆，且满足1010A10100103⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求矩阵A的全部特征值与特征向量.解已知条件表明k(1,1,0)T(k≠0)是A的属于1的全部特征向量，k(0,0,1)T(k≠0)是A的属于3的全部特征向量. 由于A不可逆，所以1,3,0是A的全部特征值，且属于0的一个特征向量显然为(1,-1,0)T，属于0的全部特征向量为k(1,-1,0)T(k≠0).2. 实对称矩阵的正交相似对角化(P118)定理5.6设A为实对称矩阵，则必有正交矩阵Q，使Q -1A Q = Q T A Q为对角矩阵. (定理5.6 P118)定理5.6指出，实对称矩阵必相似对角矩阵，且可正交相似对角矩阵.结合定理5.3的推论，有如下结论.推论 设λ0是n 阶实对称矩阵A 的k 重特征值，那么属于λ0的线性无关的特征向量恰有k 个. (推论 P 120)把实对称矩阵正交相似对角化的步骤(P 120)步骤1 求n 阶矩阵A 的全部互异特征值λ1,λ2,…,λs ；步骤 2 求齐次线性方程组(λ1E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn )；步骤3 将每个基础解系分别正交化、规范化(即求n 个正交规范的线性无关的特征向量ε1,ε2,…,εn )； 步骤4 正交相似变换矩阵为Q=(ε1,ε2,…,εn )，Q 使得12s 1k 2k1T s k E E Q AQ Q AQ E -⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭λλλ.例5.10(例5.8 P 121)例5.11(例5.9 P 122) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,-1,0，向量α1=(1,1,0)T ,α2=(0,0,1)T 分别是属于特征值1和-1的特征向量，求矩阵A 和A n .解 易见，α3=(1,-1,0)T是属于特征值0的特征向量，正交相似变换矩阵22220Q 22220001⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭使得TT1A Q 0Q122220222201 22220022220001100122002222012120 22002222012120.001001001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn Tn n n 1A Q 0Q 122220222201 22220022220001(1)001220022220 22002222000(1)00112120 12120.00(1)⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭四、习题(P 127) 选择题 1. C 2. B 3. D 4. B提示：方法一 两矩阵相似 ⇒ 0,2,b 是3个特征值⇒ |2E-A|=0, |bE-A|=0⇒ 13r r 21a102a 0a 2b a a 2b a 4a 01a 11a 1+------=---=-=----13c c 2b 1a 1b a 1a 0aa 2ab 01a b 1b a b 1--------=-=-=------⇒ a=0, b 任意 ⇒ 选B方法二 两矩阵相似 ⇒ 0,2,b 是3个特征值13r r 1a 1101a b a a ba 1a11a1-λ-----λ--=λ-λ----λ---λ-31c c 100a b2a 1a2+=λ-λ----λ- 2222222[(b)(2)2a ][(b 2)2(b a )]b 2b 4b 48a b 2b 4b 48a ()()22=λλ-λ--=λλ-+λ+-++-+++--++=λλ-λ-当a=0，得λ1=0,λ2=(b+2+|b-2|)/2,λ3=(b+2-|b-2|)/2. 此时， 若b ≥2，得λ1=0,λ2=b,λ3=2；若b<2，得λ1=0,λ2=2,λ3=b. 故选B .当a=2,b=0，得λ1=0,λ2=4,λ3=-2，排除C,D. 5. B提示：1Q P 111⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭11111Q AQ 11P AP 1111---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111112111111111212⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6. D提示：方法一设λ是A 的特征值，则λ2+λ=0 (λ2+λ是A 2+A 的特征值)⇒ λ=0或1 (说明A 的特征值只能是0或1)R(A)=3 ⇒ 0是A 的单特征值 ⇒ -1是A 的3重特征值⇒ 选D方法二 R(A)=3 ⇒ 0是A 的单特征值A 2+A=O ⇒ A(A+E)=O ⇒ R(A)+R(A+E)≤4⇒R(E+A)=1 ⇒-1是A的3重特征值⇒选D二、填空题1. 提示：设λ是βαT的非零特征值，ξ是βαT属于λ的特征向量⇒(βαT)ξ=λξ⇒(βαT)(βαT)ξ=λ(βαT)ξ⇒2(βαT)ξ=λ(βαT)ξ⇒2λξ=λ2ξ⇒λ(λ-2)ξ=ο⇒λ=0或2⇒βαT的非零特征值为2关于本题：一般地，若n维列向量α,β满足βαT=a≠0，则βαT的非零特征值为a. 此外，αTβ=a≠0 ⇒α≠ο,β≠ο⇒βαT≠O, R(β)=R(α)=1⇒1≤R(βαT) ≤min(R(β), R(αT))=1⇒R(βαT)=1 ⇒0是βαT的n-1重特征值⇒a是βαT的单特征值⇒R(aE-A)=n-12. 提示：B相似于diag(2,3,4,5)⇒|B-E|=(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=243. 提示：|A|≠0 ⇒A可逆⇒λ-1是A-1的特征值⇒|A|/λ是A*的特征值⇒|A|2/λ2是(A*)2的特征值⇒(|A|2+1)/λ2是(A*)2+E的特征值4. 1个为n，n-1个为0.5. 提示：AA*=5E ⇒B的特征值都为5，任意非零的n维向量皆为B的特征向量三、解答题1.-3.参考：P108-109的例5.1-例5.2、P116的例5.6P121的例5.84.提示：|E-A|=0 ⇒t为任意实数5.提示：参考P110的例5.36.提示：反证法 假设A 相似于diag(λ1,λ2,…,λn )，则[diag(λ1,λ2,…,λn )]n =[diag(λ1k ,λ2k ,…,λn k )]相似于A k ，所以λi k =0, i=1,2,…,n ⇒ λi =0, i=1,2,…,n ⇒ A=O这与A ≠O 产生矛盾，故A 不能与对角阵相似.7.提示：|λE-A T |=|λE-A|=0.8.提示：假若ξ1+ξ2是A 的属于λ的特征向量，则A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)，即 (λ1-λ)ξ1+(λ2-λ)ξ2=ο.由于ξ1,ξ2线性无关，则有λ=λ1, λ=λ2，这与λ1≠λ2矛盾.故ξ1+ξ2不是A 的特征向量.9.提示：A 与B 相似 ⇔∃P ,∂P -1AP=B ，因而(1) |B|=|P -1AP|=|A|；(2) (P -1AP)T =B T ，即P T A T (P -1)T =B T ，所以A T 与B T 相似.(3)由(1)可知，|A|≠0的充分必要条件是|B|≠0，即A 是可逆矩阵的充分必要条件是B 为可逆矩阵.另由P -1AP=B ，(P -1AP)-1=B -1，即P -1A -1P=B -1，所以A -1与B -1相似.10.提示：|A|≠0 ⇒ A -1(AB)A=BA ⇒ AB 与BA 相似11.提示：A 与B 相似，C 与D 相似 ⇔∃P ,Q ，∂P -1AP=B, Q -1CQ=D ，⇒ 11--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P B P C Q D Q ⇒ ⎛⎫ ⎪⎝⎭A C 与⎛⎫⎪⎝⎭BD B 相似12.提示：A αi =i αi (i=1,2,3)⇒ 1231231A(,,)2(,,)3⎛⎫ ⎪ααα=ααα ⎪ ⎪⎝⎭⇒ 11231231A (,,)2(,,)3-⎛⎫ ⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭=…13.提示：已知条件 ⇒ A 与diag(1,2,…,n)相似⇒ 2A+E 与diag(3,5,…,2n+1)相似 ⇒ |2A+E|=(2n+1)!!14.提示：方法一A 可逆 ⇔ |A|=λ1λ2…λn ≠0 ⇔ λ1,λ2,…,λn 都不为零 方法二 A 可逆 ⇔ |A|≠0 ⇔ |0E-A|≠0⇔ 0不是A 的特征值15.提示：A ξ=λξ且|A|≠0 ⇒ λ≠0且A -1ξ=λ-1ξ，A *ξ=λ-1|A|ξ⇒ λ-1是A -1的特征值，λ-1|A|是A *的特征值16.提示：令123(1,1,1)0⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x x x ，即x 1+x 2+x n =0. 解之得关于特征值λ=3的线性无关特征向量ξ2=(-1,1,0)T ,ξ3=(0,1,-1)T .于是，()()11123212331A 1106110 11131111013101--λ⎛⎫⎪=ξξξλξξξ ⎪ ⎪λ⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪==⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.提示：112112A ...11511-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.提示：(1)方法一 A 的特征值为-1,1,x ，B 的特征值为1,1,y A 与B 相似 ⇒ x=1,y=-1 方法二 A 与B 相似 ⇒ x y 2x 1x y y 1=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(2)略19.提示：123220E A 1431431a51a5λ--λ--λ+λ-=λ-=λ---λ---λ-2110100(2)143(2)1331a 511a 533(2)(2)(8183a)1a 5-=λ-λ-=λ-λ---λ----λ-λ-=λ-=λ-λ-λ++--λ- 若λ=2为二重根，则22-8×2+18+3a=0，得a=-2，此时1231232E A 123000123000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⇒ R(2E-A)=1.故当a=-2时，A 能与对角矩阵相似.若λ=2不是二重根，则令64-4(18+3a)=0，即a =-2/3，此时λ=4是二重根.但3231034E A 1030131231000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⇒ R(4E-A)=2.故当a =-2/3时，A 不能与对角矩阵相似.20.提示：充分性 设A 与对角矩阵D 1相似，B 与对角矩阵D 2相似，且D 1=D 2，那么∃P ,Q,∂P -1AP=D 1, Q -1BQ=D 2，且P -1AP=Q -1BQ ，因此， A=PQ -1BQ P -1=PQ -1B(PQ -1)-1， 即A 与B 相似.必要性 设A 与B 相似，则∃P ,∂P -1AP=B ，因此|λE -B|=|λE -A|.所以A,B 有相同的特征值.21.提示：方法一A 2=A ⇒ A(A-E)=O ⇒ R(A)+R(A-E )≤n .另 E =A+(E-A) ⇒ n=R(E)≤R(A)+R(E-A)于是R(A)+R(A-E)=n ，而这表明A x =ο的基础解系的秩与(E-A)x =ο的基础解系的秩之和为n ，因此A 有n 个线性无关的特征向量，所以A 能与对角阵相似.方法二 A 2=A ⇒ A 的特征值为0或1(例5.3 P 110) A(A-E)=O ⇒ R(A)+R(E-A )≤n设R(A)=r ，则A x =ο的基础解系的秩为n-r ，而(E-A)x =ο的基础解系的秩为n-R(E-A)≥R(A)=r ，因此A 有n 个线性无关的特征向量，故A 能与对角阵相似.22.提示：R(A)+R(B)<n ⇒ A R R(A)R(B)n B ⎛⎫≤+<⎪⎝⎭⇒ A x 0B ⎛⎫= ⎪⎝⎭有非零解ξ，即A ξ=ο, B ξ=ο⇒ ξ是A 和B 属于特征值0的公共特征向量23.提示：R(A)=2 ⇒ 0是A 的特征值余下参看P 118例5.724.提示：n 阶矩阵A 的每行元素之和都为a⇒ A(1,1,…,1)T =a(1,1,…,1)T⇒ (1,1,…,1)T 是A 属于特征值a 的特征向量若A 可逆，则a -1是A -1的特征值. 由A(1,1,…,1)T =a(1,1,…,1)T ⇒ A -1(1,1,…,1)T =a -1(1,1,…,1)T ，所以A -1的每行元素之和都为a -1.24. 提示：设该地区第i 年农村人口有x i 万，城市人口有y i 万，i=1,2,…,10，则11000.80.1,0.20.9200,100.i i i i x x y y x y ++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪==⎩ 所以，1010100.80.12000.20.9100x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又0.80.110.20.90.7⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以……. 附加题：1.设A 为三阶矩阵，且E-A,2E-A,E+A 都是不可逆矩阵，求行列式|A|. 提示：E-A,2E-A,E+A 都不可逆⇒ |E-A|=0, |2E-A|=0, |E+A|=0 ⇒ 1,2,-1是A 的全部特征值 ⇒ |A|=-22.已知矩阵012301000010A 0001a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭， (1)求A 的特征多项式；(2)如果λ0是A 的特征值，证明(1, λ0, λ02, λ03)是A 属于λ0的特征向量.提示：(1)4323210E A a a a a λ-=λ+λ+λ+λ+；(2)432003020100E A a a a a 0λ-=λ+λ+λ+λ+=002200330012301010010010A 0001a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪λλ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪λλ ⎪ ⎪⎪λ----λ⎝⎭⎝⎭⎝⎭02000230034001λ⎛⎫⎛⎫⎪⎪λλ ⎪ ⎪==λ ⎪ ⎪λλ ⎪ ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭. 020301()⎛⎫⎪λ ⎪⇒≠ο ⎪λ ⎪λ⎝⎭是A 属于λ0的特征向量.3.设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解，求矩阵A.提示：A 实对称，A(1,1,…,1)T =3(1,1,…,1)T , A α1=ο, A α2=ο，110P 121111-⎛⎫ ⎪⇒=- ⎪ ⎪-⎝⎭且13P AP 00-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒ A=Pdiag(3,0,0)P -1=…4.试构造一个三阶实对称矩阵A ，使其特征值为1,1,-1，且特征值1有特征向量ξ1=(1,1,1)T , ξ2=(2,2,1)T .提示：ξ3垂直ξ1,ξ2，易见ξ1=(1,-1,0)T ，或计算ξ3=ξ1×ξ2.正交化ξ1,ξ2及单位化ξ1,ξ2,ξ3，得正交相似变换矩阵Q=(ξ1,ξ2,ξ3)，使A=QDQ -1=QDQ T =……5.设矩阵303A 10x 303⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵相似，求x .提示：()()2123E A 424,2λ-=λ-λ+⇒λ=λ=λ=-，()R 4E A 13031014E A 10x 00x 1x 1303000-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→-+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6. 设m m 101m f (x)a x a xa -=+++，证明：若n 阶矩阵A 使f(A)=O ，那么A 的特征值λ使f(λ)=0.提示：若λ是A 的特征值，则f(λ)是f(A)的特征值.另f(A)=O ，所以f(A)的特征值全部为零，所以f(λ)=0.7. 设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，P 是可逆矩阵，求矩阵P -1AP 的属于特征值λ的一个特征向量.提示：A ξ=λξ ⇒ P -1A ξ=λP -1ξ ⇒ P -1AP(P -1ξ)=λ(P -1ξ) 故P -1ξ是P -1AP 属于特征值λ的一个特征向量.8.设A 是正交矩阵，且detA<0，证明：-1是A 的特征值.提示：方法一A 是正交矩阵 ⇒ A T A=E ⇒ [detA]2=1 由于detA<0 ⇒ detA=-1⇒ det(E+A)=det[(E+A T )A]=det(E+A T )detA=-det(E+A) ⇒ det(E+A)=0，即-1是A 的特征值方法二 A ξ=λξ ⇒ A T A ξ=λA T ξ ⇒ A T ξ=λ-1ξ因为A 与A T 有相同的特征值 ⇒ λ=λ-1 ⇒ λ2=1 ⇒ λ=±1 detA<0 ⇒ -1是A 的特征值9. 已知A,B 分别是m×n 和n×m 矩阵，证明AB 与BA 有相同的非零特征值.提示：n nm m mE B EBE AB OE AB A E -==-λλλ 121c c An 0m1E BA BOE -≠-=λλλλm n m n n 1E E BA E BA -=⋅-=-λλλλ⇒ AB 与BA 有相同的非零特征值10.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，对应的特征向量依次为ξ1=(1,1,1)T ,ξ2=(1,2,4)T , ξ3=(1,3,9) T ，又向量β=(1,1,3)T .(1)用ξ1,ξ2, ξ3表示β； (2)求A n β (n 为正整数).提示：()1231A2,P ,,3⎛⎫ ⎪=ξξξ ⎪ ⎪⎝⎭(1)设β=P x ⇒ x =P -1β，()1002P 01020011⎛⎫⎪β→- ⎪ ⎪⎝⎭， ⇒ x =(2,-2,1)T ⇒ β=2ξ1-2ξ2+ξ3.(2)方法一 nn11A P 2P 3-⎛⎫⎪β=β ⎪ ⎪⎝⎭nn 1n n 1n 2n 1n 3n 2n 21223 P 2x P 222332233++++++⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二 n n123A A (22)β=ξ-ξ+ξn n n112233n 1n n 1n n 2n 1123n 3n 222223 223223.223++++++=λξ-λξ+λξ⎛⎫-+ ⎪=ξ-ξ+ξ=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭五、计算实践实践指导：(1)理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量. (2)了解相似矩阵的概念和性质.(3)了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法. (4)会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.例5.1 设A 为二阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，且A α1=ο, A α2=2α1+α2，则A 的特征值为 0, 1 . （2008 数一）解 A α1=ο, A α2=2α1+α2⇒ A α1=0α1, A(2α1+α2)=2α1+α2 ⇒ 0,1是A 的两个特征值例5.2 三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2，α1=(1,-1,1)T 是A 的属于λ1的一个特征向量，记B=A 5-4A 3+E ，(Ⅰ)验证α1是B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量； (Ⅱ)求矩阵B . （2007 数一） 解 (Ⅰ) A α1=λ1α1⇒ A k α1=λ1k α1⇒ B α1=(λ15-4λ13+1)α1=-2α1所以α1是B 的属于-2的特征向量.因为A 与对角矩阵D=diag(1,2,-2)相似，所以B 与D 5-4D 3+E 相似，故三阶对称矩阵B 的全部特征值为-2,1,1. 属于-2的特征向量为k(1,-1,1)T (k≠0)，属于1的特征向量与α1垂直，为k 1(1,0,-1)T +k 2(1,2,1)T ,其中k 1,k 2为任意不全为零的实数.(Ⅱ)11231232111111B ( )1( )3263261--⎛⎫⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭T 1231232111111()1( )3263261011101110-⎛⎫⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭例 5.3 已知三阶矩阵A 与3维向量x 使向量组x ,A x ,A 2x 线性无关，且满足A 3x =3A x -2A 2x .设P=(x ,A x ,A 2x )，求三阶矩阵B 使A=PBP -1，并计算行列式|A+E|. （2001 数一）解 分析：A=PBP -1 ⇒ PB=AP⇒ PB=(A x ,A 2x ,A 3x ) ⇒ B=P -1(A x ,A 2x ,A 3x )(A x ,A 2x ,A 3x )=(A x ,A 2x ,3A x -2A 2x )=(x ,A x ,A 2x )000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=P 000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⇒ B=P -1 P 000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭⇒ |A+E|=|B+E|=-4例5.4 设A 是n 阶矩阵，2,4,…,2n 是A 的n 个特征值.计算行列式|A-3E|的值. 解 2,4,…,2n 是A 的n 个特征值⇒ A 与diag(2,4,…,2n)相似 ⇒ A-3E 与diag(2,4,…,2n)-3E 相似⇒ |A-3E|=-(2n-3)!!例5.5 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-E|= 24 .解 因为A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，所以B -1的特征值为2,3,4,5，且B -1与diag(2,3,4,5)相似.故B -1-E 与diag(1,2,3,4)相似，|B -1-E|=24.例5.6 设A,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则必有 (A) λE-B=λE-A ；(B) A 与B 有相同的特征值与特征向量； (C) A 与B 都相似于一个对角阵； (D)对任意常数t ，tE-A 与tE-B 相似. 提示：选D.由A 与B 相似，推不出A =B ，故排除A ；由A 与B 相似，能推出A 与B 有相同的特征值，但推不出有相同的特征向量，故排除B ； 由A 与B 相似，推不出A,B 与对角矩阵相似，故排除C ；由A 与B 相似，即∃P , ∂P -1AP=B ，能推出P -1(tE-A)P=tE-B ，故选D .例5.7 设λ1,λ2是矩阵A 的的两个不同特征值，对应的特征向量为分别为α1,α2，则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是(A) λ1≠0； (B) λ2≠0； (C) λ1=0； (D) λ2=0. 解 选B.方法一 (α1, A(α1+α2))=(α1, λ1α1+λ2α2)=(α1,α2)1210⎛⎫ ⎪⎝⎭λλ故α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是121R 20λ⎛⎫=⎪λ⎝⎭，即λ2≠0. 故选B .方法二 k 1α1+ k 2A(α1+α2)=ο⇔ (k 1+ k 2λ1)α1+k 2λ2α2=ο12,⇔αα线性无关11222k k 0k 0+λ=⎧⎨λ=⎩()()()2121122121122111120k k 0,A 0A ,A λ≠⇒==⎧⎪⇒αα+α⎪⇒⎨λ=⇒α+α=λα+λα=λα⎪⎪⇒αα+α⎩线性无关线性相关若若故选B .例5.8 设矩阵A 与B 相似，且1112A 242,B 232a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.(1)求a,b 的值； (2)求可逆矩阵P 使P -1AP=B .解 因为A 与B 相似，所以()a 5b 46a 14b a 5b 6a 5b 4A 2E 0⎧+=+⎧⎪⎨-==⎧⎩⎪⇒⎨⎨=+=+⎧⎩⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⎩或 . 求解 (2E-A)ξ=ο2E-A 111000000-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭⇒ ξ1=(1,-1,0)T , ξ2=(1,0,1)T (6E-A)ξ=ο6E-A 210301000⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭⇒ ξ3=(1,-2,3)T于是所求可逆矩阵111P 102013⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭.例5.9 设A 是三阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且满足A α1=α1+α2+α3, A α2= 2α2+α3, A α3=2α2+3α3，(1)求矩阵B ，使A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B ；(2)求矩阵A 的特征值；(3)求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵.解 (1)A α1=α1+α2+α3, A α2= 2α2+α3, A α3=2α2+3α3⇒ A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)100122113⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123,,100B 122B 114113A B ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⇒⎪ ⎪⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩线性无关矩阵的特征值为，，ααα (2)矩阵A 的特征值为1,1,4.(3)解方程组(E-B)η=ο和(4E-B)η=ο，得η1=(-1,1,0)T , η2=(-2,0,1)T , η3=(0,1,1)T .()()11231231,,B ,,14-⎛⎫⎪ηηηηηη= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()111231*********,,,,A ,,,,14--⎛⎫⎪⇒ηηηααααααηηη= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()123123123121323120P ,,,,,,101011 ,2,--⎛⎫ ⎪⇒=αααηηη=ααα ⎪ ⎪⎝⎭=-α+α-α+αα+α ⇒ P -1AP=diag(1,1,4)例5.10 设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α1=(1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解. （2006 数三）(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ=Λ；(Ⅲ)求A 及(A-1.5E)6，其中E 为三阶单位矩阵.解 (Ⅰ) α1=(1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解()121220R A 10A A ,A ,A ≤⎧⎪⇒⎨⎧α=οα=ο⇒⎨⎪αα⎩⎩是的重特征值是属于的特征向量 A 的各行元素之和均为3()A O R A 1131A 133A 1A 3131≠⇒≥⎧⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒⎨ ⎪ ⎪ ⎪=⇒⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩是的特征值，是的特征向量属于 所以R(A)=1，且0,0,1是A 的全部特征值，c 1α1+c 2α2(c 1,c 2是不同时为0的实数)是A 属于0的全部特征向量；c 3(1,1,1)T (c 3是不为0的实数)是A 属于1的的全部特征向量.(Ⅱ)将α1,α2正交化和规范化，得T T 12(0,22,22),(66,66,66)η=-η=-，所求正交矩阵63063263Q 263263263⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，T 0Q AQ 03⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅲ) AQ=QA T 003AQ 003003003111A 003Q 111111003⎛⎫ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 66T66T 33 A E Q E Q 223233729Q Q E E.226432⎛⎫⎛⎫-=Λ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫ ⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭六、知识扩展 1.设矩阵123A 1431a 5-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. （2004 数一）提示：|λE -A|=(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)若λ=2是二重根，则(λ2-8λ+18+3a)|λ=2=0，得a=-2，这时R(2E-A)=1，说明A 可相似对角化.若λ=2不是二重根，则λ2-8λ+18+3a 为完全平方项，从而64-4(18+3a)=0，得a=-2/3，这时λ=4是二重根，而R(4E-A)=2，说明A 不可相似对角化.2.设3维列向量α,β满足αT β=2，则矩阵βT α的非零特征值为 2 . （2009 一）3.设α,β为3维列向量，若αβT 相似于diag(2,0,0)，则βT α= 2 . （2009 二）。
清华线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答3 -37穴1 =, $1.求下列矩阵的特征值和特征向量： （1）-3-31丿/\~37 A.所以, （■ 1I - A ）X = 0的基础解系为:(6,1-一 37)T .因此,A 的属于'i 的所有特征向量为:匕(6,1 -、37)丁(匕=0).2I所以，（’2l-A ）x=0的基础解系为:(6,1 . 37)T .因此,A 的属于■ 2的所有特征向量为:k 2(6,1 37)T (k 2 =0).'3 -1九-31-1 ⑵ 2 0 1 : 解： 打-A =-2 丸-1-12」-11h -2nn2亠=('-1)「-2)解:-2 3所以，特征值为：’1=1（单根）,'2=2（二重根）J 2 1 -1、5 0 0、入 1 — A =-21 -1T0 1-11 -b1°0 °」所以，（、| —A ）x =o 的基础解系为：（0,1,1）T .因此，A 的属于-1的所有特征向量为： 匕（0,1,1）丁你1 =0）.'-11 -1、1 -1'花 1 — A =-2 2 -1 T 0 0 1r 11><00 0」所以，（，2l -A ）x =：0的基础解系为：（1,1,0）T .因此，A 的属于-2的所有特征向量为：k 2（1,1,0）T （k 2 =0）.所以，特征值为:1=2 （二重根）*0 0 0 "人I —A= -1 1—1 TIT 1 -b所以，（\l -A ）X=0 的基础解系为：（1,1,0）T ,（-1,0,1）T .九-20 0 扎1—A=-1 丸-1 -1-11九一32 0 0' ⑶ 1 1 1 解:J -1 3」2)-210所以，（■1l -A ）x =0的基础解系为：（1,0,0,0）T .因此，A 的属于 > 的所有特征向量为： k 1（1,0,0,0）T （k^-0）所以，特征值为：'1 - 1 （三重根）'-3 -5 2、「10 1、入1 —A=2 3-1 T ■" T 0 1 -1J1 0」e 0 0」T所以,（‘1l _A ）x =0的基础解系为：（-1,1,1） •q 2 3 4^扎—1-2-3 -4 0 1 2 3解：XJ — A =0 &一1-2-3 0 0 1 2 0 0 九-1-2 1°0 0 bZ-1因此，A 的属于-i 的所有特征向量为：k i （1,1,0）T • k 2（-1,0,1）T （k i ,k 2为不全为零的任 意吊数）。
考研数学(三)题库 线性代数(第五章 矩阵的特征值和特征向量)打印版【圣才出品】
1 1 a 1 1 1 a
1
A 1 a 1 1 0 a 1 1 a 0 a 1 1 2 0 1 a 1 a2 a 2
1 1
a
1
0 a 1
1 a
0
0 0 a 1a 2 a 2
＿
当 a＝1 时，则 r（A）＝1≠r（A）＝2，此时方程组无解；
＿
当 a＝－2 时，则 r（A）＝r（A）＝2＜3，此时方程组有无穷多解，所以 a＝－2。
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第五章 矩阵的特征值和特征向量
解答题
2 1 1
→
1．设矩阵
A
1 1
2 1
1 a
可逆，向量α＝（1，b，1）T
是矩阵
A*的一个特征向量，λ
是 α 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，求非零实数 a、b、λ。
→
是二重特征值，知矩阵 2E－A 的秩为 1，即 2E－A 的任意两行元素都成比例。所以有
得 x＝2，y＝－2。
1 1 1
2E
A
x 3
2 3
y 3
→→
→
→
与（2E－A）x＝0同解的方程组为 x1＋x2－x3＝0，解得ξ1＝（－1，1，0）T，ξ2＝（1，
0，1）T 为矩阵 A 的属于特征值 λ＝2 的特征向量。
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→
→
xn＝0 同解，其基础解系为 n－1 个 n 维列向量，ξ2＝（－1，1，0，…，0）T，ξ3＝（－1，
→
0，1，0，…，0）T，…，ξn＝（－1，0，0，…，1）T，所以属于矩阵 A 的特征值 λ2＝λ3
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
全国硕士研究生招生考试数学(一)知识点详解(线性代数-矩阵的特征值和特征向量)【圣才出品】
全国硕士研究生招生考试数学（一）知识点详解第2部分线性代数第5章矩阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量1．特征值（1）定义设A 是n 阶矩阵，如果数λ和n 维非零列向量x 使关系式Ax＝λx 成立，则λ称为矩阵A 的特征值，非零向量x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量．（2）性质若12,,,n λλλ 是n 阶矩阵A (A )ij =的特征值，则：①121122(A)n nn tr a a a λλλ+++==+++ ；②12A n λλλ= ；③若12,x x 是A 的属于0λ的特征向量，则1122k x k x +也是A 的属于0λ的特征向量（其中12,k k 为任意常数，且11220k x k x +≠）；④设λ是方阵A 的特征值，则矩阵21,,,,,m kA A aA b A A A -*+分别有特征值为k λ，2λ，a b λ+，m λ，1λ，||A λ；⑤若λ是A 的特征值，则()ϕλ是()A ϕ的特征值（其中01()m m a a a ϕλλλ=+++ 是λ的多项式，01(A)m m a E a A a A ϕ=+++ 是矩阵A 的多项式）；⑥设12,,,m λλλ⋅⋅⋅是方阵A 的m 个特征值，12,,,m p p p ⋅⋅⋅依次是与之对应的特征向量，如果12,,,m λλλ⋅⋅⋅各不相等，则12,,,m p p p ⋅⋅⋅线性无关．2．求特征值和特征向量（1）构造矩阵A 的特征方程0I A λ-=，即111212122212=0nn n n nna a a a a a I A a a a λλλλ-------=---算出特征值12,,,n λλλ⋅⋅⋅．（2）将12,,,n λλλ⋅⋅⋅分别代入方程0I A λ-=，得0i I A λ-=，求得的非零解就是关于特征值i λ的特征向量，依次求出各个特征值的特征向量．二、相似矩阵1．定义设A、B 都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P，使1P AP B -=，则称B 是A 的相似矩阵，或矩阵A 与B 相似，记为A～B．2．性质（1）反身性：A～A；（2）对称性：若A～B，则B～A；（3）传递性：若A～B 且B～C，则A～C；（4）若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的行列式、相同的秩、相同的迹（主对角线上所有元素的和称为迹）．3．矩阵可相似对角化的充分必要条件（1）n 阶矩阵A 可相似对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量；（2）n 阶矩阵A 可相似对角化⇔对于A 的每一个i n 重特征值i λ，特征矩阵()i E A λ-的秩为i n n -．4．将矩阵化为相似对角矩阵（相似变换）求可逆矩阵P 及对角矩阵Λ，使1P AP -=Λ的方法的步骤：（1）根据特征方程0I A λ-=，化简得()()()1212s n n n s I A λλλλλλλ-=--- 其中12,,,s λλλ⋅⋅⋅互不相等．（2）将i λ代入计算i I A λ-的秩，判断()i r I A λ-是否等于i n n -（i＝1，2，…，s），若相等，则A 可对角化．否则，A 不可对角化．（3）在可对角化前提下，对每个特征值i λ，求()0i I A x λ-=的基础解系，得到12,,,(1,2,,)i i i in x x x i s = （4）构造矩阵12112111222212s s s n n sn x x x x x x P x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得11212s s P AP λλλλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则上面P 和Λ即为所求可逆矩阵P 及对角矩阵Λ．三、实对称矩阵的特征值和特征向量1．实对称矩阵实数域上对称矩阵称为实对称矩阵．2．性质（1）实对称矩阵的特征值都是实数；（2）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；（3）实对称矩阵属于i n 重特征值的线性无关的特征向量恰有i n 个；（4）n 阶实对称矩阵恰有n 个线性无关的特征向量，进而有n 个单位正交的特征向量；（5）若A 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵P，使1P AP -为对角矩阵．实对称矩阵一定相似于对角阵；（6）若两实对称矩阵有相同的特征值，则二者相似．。