特征值特征向量复习题
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特征值特征向量复习题
一、填空
1. 已知三阶方阵A 的三个特征值为1，-2，-3，则=A ， 1-A 的特征值为 ，T A 的特征值为 ， *A 的特征值为 。
2. k A k ,0=为正整数，则A 的特征值 。
3. A A =2，则A 的特征值为 。
4. ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43213122与 x y 相似，则=x ，=y 。
5. n 阶零矩阵的全部特征向量是 。
6. 若I A ~，则A ＝ 。
7. 若矩阵A 有一个特征值为-1，则=+I A 。
8. 已知三阶方阵A 的特征值为1,2,2，若A 不能对角化，则()=-A I r ，()=-A I r 2 。若A 能对角化，则()=-A I r ，()=-A I r 2 。
9. 已知三阶方阵A 的行列式6=A ，A 有一个特征值为-2，则*A 必有一个特征值为 ，I A A A 88423+++必有一个特征值为 ，=+++I A A A 88423 。
10. 已知三阶方阵A 的特征值为-1,1,2，则I A A 22-+的特征值为 ，
=-+I A A 22 。
11. 已知三阶方阵A 的行列式-2，*A 有一个特征值为6，则1-A 必有一个特征值为 ，A 必有一个特征值为 ，*135A A --必有一个特征值为 ，A A 351--必有一个特征值为 。
12. 设n 阶方阵A 的n 个特征值为1,2,…,n ，则=+I A 。
13. 已知三阶方阵A 的特征值为-1,1,2，它们对应的特征向量分别为321,,X X X ，
令()312,,X X X Q =，则AQ Q 1-= 。
14. 若0.5不是方阵A 的特征值，则A I 2- 可逆矩阵。（填是或不是）
15. 设n 阶矩阵A 有特征值2，且I A kA 862=+，则=k 。
二、选择题
1. 设A 为n 阶方阵，以下结论中，（ ）成立。
A ． 若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征
值1-λ的特征向量。
B ． A 特征向量是方程O X A I =-)(λ的全部解。
C ． A 的特征向量的线性组合仍为的A 的特征向量的。
D ． A 与T A 有相同的特征向量。
2. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10021321x A ，已知A 的特征值为2，1，3，则x=（ ）
A ． -2 B. 3 C. 4 D. –1
3. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 123022，有一个特征向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-35，则x=（ ）
A ． -18 B. -16 C. –14 D. –12
4. 若B A ~，则有（ ）
A ．
B I A I -=-λλ B. B A =
C ．对于λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量
D. A 与B 均与一个对角阵相似
三、计算题
1. 求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=020212022A 的特征值及对应的特征向量。
2. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=81023316100A ，求可逆阵P ，使得AP P 1-为对角阵。
3. 设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1000110000340043，求n A 。 4. 若三阶方阵A 的特征值为61=λ，332==λλ，其对应的特征向量为 T T T )1,2,1(,)1,0,1(,)1,1,1(321-=-==ααα，求A ，5A 。
5. 设A ＝⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010000B ,11111与b b a a 相似，
求（1）a ，b 之值，
（2）求可逆阵P ，使得AP P 1-＝B
6. 已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=111α是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a
A 的一个特征向量。 （1） 试确定参数b a ,及特征向量α所对应的特征值。
（2） 问A 能否相似于对角阵？说明理由。
7．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A 的特征值，向量()T 1,1,11=α，()T 1,2,22=α 是A 的属于特征值1的特征向量，求（1）矩阵A 的属于特征值-1的特征向 量；（2）矩阵A 。
8．设有四阶方阵A 满足03=+A I ，I AA T 9=，0 9．设矩阵⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=a c b c a A 0135 1，1-=A ，*A 有一个特征值0λ，对应的特征向 量为()T 1,1,1--=α，求0,,,λc b a 的值。 10．设n 阶方阵满足0442=++I A A ，证明A 的特征值仅为-2。