特征值特征向量复习题
考研数学一矩阵的特征值与特征向量-试卷1_真题-无答案
考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）-试卷1(总分76,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则伴随矩阵A*的一个特征值是A. λ－1｜A｜n－1．B. λ－1｜A｜．C. λ｜A｜．D. λ｜A｜n－1．2. 设A=2是可逆矩阵A的一个特征值，则+E的一个特征值是A. B.C. D.3. 设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是Ax=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是A. α1+3α2．B. α1一α2．C. α1+α3．D. 2α3．4. 设α0是A属于特征值λ0的特征向量，则α0不一定是其特征向量的矩阵是A. (A+E)2．B. 一2A．C. A T．D. A*．5. 下列矩阵中不能相似对角化的是A. B.C. D.6. 设A是n阶非零矩阵，Am=0，下列命题中不一定正确的是A. A的特征值只有零．B. A必不能对角化．C. E+A+A2+…+Am－1必可逆．D. A只有一个线性无关的特征向量．2. 填空题1. 设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值__________，且其重数至少是__________．2. 设A是n阶可逆矩阵，A是A的特征值，则(A*)2+E必有特征值__________．3. 已知－2是A=的特征值，则x=__________．4. 设A是秩为2的3阶实对称矩阵，且A2+5A=0，则A的特征值是__________．5. 已知α=(1，1，一1)T是矩阵A=的特征向量，则x=__________．6. 设A是3阶矩阵，且各行元素之和都是5，则A必有特征向量__________．7. 设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1)T与α2=(1，一1，1)T，则λ=2的特征向量是__________．8. 已知A=相似，则x=__________，y=__________．9. 已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=__________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)
2
2
2
的非零特征值是
．
2 2 2
【答案】 4 ．
3 2 2 0 1 0
（03
年，数学一）设矩阵
A
2
3
2
，P
1
0
1 ，B P1A*P ，求 B 2E 的
2 2 3 0 0 1
特征值与特征向量，其中 A* 为 A 的伴随矩阵， E 为三阶单位矩阵．
（Ⅰ） A2 ；（Ⅱ）矩阵 A 的特征值和特征向量．
【解析】（Ⅰ） A2 ( T ) T O
（Ⅱ）基础解系为：
1
b2 b1
,1,0,
,0
T
,2
b3 b1
,0,1,
,0
T
,
, n 1
bn b1
,0
,0,
,1T ，
等于 ( ) ．
（A） 4 ． 3
【答案】（B）．
（B） 3 ． 4
（C） 1 ． 2
（D） 1 ． 4
（96 年，数学五）设有 4 阶方阵 A 满足条件 3I A 0,AAT 2I , A 0 ，其中 I 是 4
阶单位阵，求方阵 A 的伴随阵 A* 的一个特征值． 【解析】 A* 有特征值 4 ． 3
题型 5.4 相似矩阵的判定及其反问题
2 0 0
2 0 0
（88
年，数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）已知矩阵
A
0
0
1
与
B
考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一).doc
考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设A为n×m实矩阵，r(A)=n，则(A) AA T的行列式值不为零． (B) AA T必与单位矩阵相似．(C) A T A的行列式值不为零． (D) A T A必与单位矩阵相似．（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列结论正确的是(A) 方阵A与其转置矩阵A T有相同的特征值，从而有相同的特征向量．(B) 任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．(C) 对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．(D) 设P T AP=B，若A为正定矩阵，|P|≠0，则B必为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.3.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式|A|=a≠0，λ是A的一个特征值，A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是(A) λ-1a n-1． (B) λ-1a n-2． (C) λa n-2． (D) λa n-1．（分数：1.00）A.B.C.D.4.设A为m×n实矩阵，r(A)=n，则(A) A T A必合同于n阶单位矩阵． (B) AA T必等价于m阶单位矩阵．(C) A T A必相似于n阶单位矩阵． (D) AA T是m阶单位矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.5.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是(A) B-1Q T AQB． (B) (B-1)T Q T AQB-1．(C) B T Q T AQB． (D) BQ T AQ(B T)-1．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是(A) ξ1． (B) ξ2． (C) ξ1-ξ2． (D) ξ1+ξ2．（分数：1.00）A.B.C.D.7.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然(A) 有n个特征值等于1． (B) 有n-1个特征值等于1．(C) 有1个特征值等于1． (D) 没有1个特征值等于1．（分数：1.00）A.B.C.D.8.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是1.00）A.B.C.D.9.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A) A的n个特征向量两两正交．(B) A的n个特征向量组成单位正交向量组．(C) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=n-k．(D) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=k．（分数：1.00）A.B.C.D.10.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是(A) A2=E． (B) r(A+E)＜n．(C) A的各行元素之和均为-1． (D) A T=-A，且1是A的特征值．（分数：1.00）A.B.C.D.11.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果(A) r(Ａ)=r(Ｂ)． (B) A，B为同型矩阵．(C) A，B的正惯性指数相等． (D) 上述三项同时成立．（分数：1.00）A.B.C.D.12. 1.00）A.B.C.D.13.设二次型f(x1，x2，…，x n)=x T Ax，其中A T=A，x=(x1，x2，…，x n)T，则f为正定二次型的充分必要条件是(A) f的负指数是0． (B) 存在正交矩阵Q，使Q T AQ=E．(C) f的秩为n． (D) 存在可逆矩阵C，使A=C T C．（分数：1.00）A.B.C.D.14.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．(B) AB的特征值全大于零．(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.15.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是(A) 矩阵A有n个不同的特征值．(B) 矩阵A与A T有相同的特征值和特征向量．(C) 矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．(D) 矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与A T合同中正确的个数是(A) 3个． (B) 2个． (C) 1个． (D) 0个．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则(A) 当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．(B) 当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．(C) 当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．(D) 当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．（分数：1.00）A.B.C.D.18.设A=(a ij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) a ij≥0(i=1，2，…，n)． (B) A-1为正定矩阵．(C) A*为正定矩阵． (D) 对任意正整数k，A k为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.19.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是(A) A-kE～Λ-kE(k为任意常数)． (B) A m～Λm(m为正整数)．(C) 若A可逆，则A-1～Λ-1． (D) 若A可逆，则A～E．（分数：1.00）A.B.C.D.20. 1.00）A.B.C.D.21.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是(A) α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．(B) α(C) α是矩阵A* 1.00）A.B.C.D.22.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是(A) A，B都相似于对角矩阵． (B) |λE-A|=|λE-B|．(C) 存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B． (D) 存在可逆矩阵P，使得AB T=P T B．（分数：1.00）A.B.C.D.23.1.00）A.B.C.D.24.正定实二次型的矩阵必是(A) 实对称矩阵且所有元素为正数． (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数．(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数． (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数．（分数：1.00）A.B.C.D.25.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是(A) A有n个相异的特征值．(B) A T有n个相异的特征值．(C) A有n个相异的特征向量．(D) A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．（分数：1.00）A.B.C.D.26.设矩阵A与B相似，则必有(A) A，B同时可逆或不可逆． (B) A，B有相同的特征向量．(C) A，B均与同一个对角矩阵相似． (D) 矩阵λE-A与λE-B相等．（分数：1.00）A.B.C.D.27.A既相似又合同的是1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：18，分数：25.00)28. 1.00）填空项1:__________________29.若二次型f(x1，x2，x3 1.00）填空项1:__________________30.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)*的特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________31.设-1，5，λ 3.00）填空项1:__________________32.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________33.设AP=PB 2.00）填空项1:__________________34.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ 1.00）填空项1:__________________35.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．（分数：3.00）填空项1:__________________36.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________37.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项1:__________________38. 2.00）填空项1:__________________39.若实对称矩阵A 1.00）填空项1:__________________40.若二次型1.00）填空项1:__________________41. 1.00）填空项1:__________________42. 2.00）填空项1:__________________43.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．（分数：1.00）填空项1:__________________44.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．（分数：1.00）填空项1:__________________45. 1.00）填空项1:__________________。
考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)-试卷1
考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设矩阵A A的三个特征值是( )（分数：2.00）A.1，0，－2．B.1，1，－3．C.3，0，－2．D.2，0，－3．√解析：解析：根据特征值的性质：∑λi＝∑a ii．现在∑a ii＝1＋(－3)＋1＝－1，故可排除选项C．显然，矩阵A中第2、3两列成比例，易知行列式｜A｜＝0，故λ＝0必是A的特征值，因此可排除选项B．对于选项A和选项D，可以用特殊值法，由于说明λ＝1不是A矩阵的特征值．故可排除选项A．所以应选D．3.已知A是4阶矩阵，A *是A的伴随矩阵，若A *的特征值是1，－1，2，4，那么不可逆矩阵是( ) （分数：2.00）A.A－EB.2A－EC.A＋2E √D.A－4E解析：解析：因为A *的特征值是1，－1，2，4，所以｜A *｜＝－8，又｜A *｜＝｜A｜n-1，因此｜A｜3＝－8，于是｜A｜＝－2．那么，矩阵A的特征值是：－2，2，－1，．因此，A－E的特征值是－3，1，－2，，因为特征值非0，故矩阵A－E可逆．同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A＋2E不可逆．所以应选C．4.已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T√B.A 2C.A -1D.A－E解析：解析：由于｜λE－A T｜＝｜(λE－A) T｜＝｜λE－A｜，A与A T有相同的特征多项式，所以A 与A T有相同的特征值．由Aα＝λα，α≠0可得到： A 2α＝λ2α，A -1α＝λ-1α，(A－E)α＝(λ－1)α，说明A 2、A -1、A－E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)．所以应选A．5.已知α＝(1，－2，3) T是矩阵A＝( )（分数：2.00）A.a＝－2，b＝6．√B.a＝2，b＝－6．C.a＝2，b＝6．D.a＝－2，b＝－6．解析：解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有即有λ＝－4，a＝－2，b＝6，故应选A．6.设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4)E－ A α肯定是其特征向量的矩阵共有( )（分数：2.00）A.1个B.2个√C.3个D.4个解析：解析：由Aα＝λα，α≠0，有A 2α＝A(λα)＝λAα＝λ2α，α≠0，即α必是A 2属于特征值λ2的特征向量．又知α必是矩阵E－A属于特征值1－λ的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为 (P -1 AP)(P -1α)＝P -1 Aα＝λP -1α，按定义，矩阵P -1 AP的特征向量是P -1α．因为P -1与α不一定共线，因此α不一定是P -1 AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．线性方程组(λE－A)χ＝0与(λE－A T )χ＝0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A T的特征向量．所以应选B．7.设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若α是A T的特征向量，那么α是A的特征向量．B.若α是A *的特征向量，那么α是A的特征向量．C.若α是A 2的特征向量，那么α是A的特征向量．D.若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量．√解析：解析：如果α是2A的特征向量，即(2Aα)＝λα，α≠0．那么Aα＝λα，所以α是矩阵A属于特征值λ的特征向量．由于(λE－A)χ＝0与(λE－A T )χ＝0不一定同解，所以α不一定是A T的特征向量．例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A *的特征向量不一定是A的特征向量；A 2的特征向量也不一定是A的特征向量．所以应选D．8.已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A 2α线性无关，而A 3α＝3Aα－2A 2α，那么矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量是( )（分数：2.00）A.αB.Aα＋2αC.A 2α－Aα√D.A 2α＋2Aα－3α解析：解析：因为A 3α＋2A 2α－3Aα＝0．故 (A＋3E)(A 2α－Aα)＝0＝0(A 2α－Aα)，因为α，Aα，A 2α线性无关，那么必有A 2α－Aα≠0，所以A 2α－Aα是矩阵A＋3E属于特征值λ＝0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量．所以应选C．二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设三阶方阵A的特征值分别为－2，1，1，且B与A相似，则｜2B｜＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－16）解析：解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有｜2B｜＝2 3＝8×(－2)＝－16．10.设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A -1－E｜＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据已知条件A的特征值为1，2，2，A -1的特征值为1，4A -1－E的特征值为3，1，1，所以｜4A -1－E｜＝3×1×1＝3．11.设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P＝(3α3，α1，2α2 )，则P -1 AP＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为3α3，α1，2α3分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P -1AP＝12.已知A有一个特征值－2，则B＝A 2＋2E必有一个特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为λ＝2是A的特征值，所以根据特征值的性质，λ2＋2＝(－2) 2＋2＝6是B＝A 2＋2E的特征值．13.设A是n阶矩阵，λ＝2是A的一个特征值，则2A 2－3A＋5E必定有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如果λ是A的一个特征值，α是对应于λ的一个特征向量，则Aα＝λα，因此有 A 2α＝A(λα)＝λAα＝λ2 a．因此可知 (2A 2－3A＋5E)α＝2A 2α－3Aα＋5α＝(2λ2－3λ＋5)α，所以2×2 2－3×2＋5＝7一定是2A 2－3A＋5E的一个特征值．14.设A是3阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是5，即＝5，化为矩阵形式，可得满足A一定有一个特征值为5．15.已知A＝ A *是A的伴随矩阵，那么A *的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：根据矩阵A的特征多项式可得矩阵A的特征值为7，1，1．又因为｜A｜＝λi，可得｜A｜＝7．因为如果Aα＝λα，则有A *α＝α，因此A *的特征值是1，7，7．16.矩阵A 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，1解析：解析：｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ－1 )(λ－1＋)，所以A的特征值为λ1＝2，λ2 1＋，λ3＝1－三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
特征值和特征向量习题集
《 特征值与特征向量》习题21．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量．2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗为什么4. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值． 5. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ；(2)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3324，求M 的特征值和特征向量；(3)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β.(结果用指数式表示)8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．9. 给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证M 和N 互为逆矩阵；(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量．10．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2561及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9. (1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2； (2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2； (3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M nα； (4)从(3)中的运算结果，你能发现什么参考答案1.【解】 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ?λ＋1?x ＋0·y ＝0，－5x ＋?λ－6?y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧?λ＋1?x ＋0·y ＝0，－5x ＋?λ－6?y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 56的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5，属于λ2＝6的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.2．【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y令x ＝1，则y ＝－1.所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.3． 【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．理由如下：Mγ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量． 4． 【解】 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1， ∴A 5β＝A 5(3α1＋α2) ＝3(A 5α1)＋A 5α2 ＝3(λ51α1)＋λ52α2 ＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5．【解】 (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3， ∴a ＝－4.(2)∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.6． 【解】 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以c ＋d ＝6，①由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2， 可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，所以3c －2d ＝－2.② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－12－13 12. 7．【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02－10；B ＝A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0. (2)设M 的特征值为λ，则由条件得⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －3 －2 λ－4＝0，即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6.当λ1＝1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2；当λ2＝6时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 324⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于6的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(3)由Bα＝β，得β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4， 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4＝m α1＋n α2＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3m ＋n －2m ＋n ， 则由⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝－1，－2m ＋n ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.所以β＝－α1＋2α2. 所以M 50β＝M 50(－α1＋2α2) ＝－M 50α1＋2M 50α2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋2×650×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×650－32×650＋2. 8．【解】 (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(2)由(1)知矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f (λ)＝0，解得矩阵M 的另一个特征值λ＝2.设矩阵M 的属于特征值2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Mα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程并化简得x ′－y ′＋2＝0，即直线l ′的方程为x －y ＋2＝0.9． 【证明】 (1)因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1313＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α1和α2都是M 的特征向量． 10.【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －5－6 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由(1)可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得a ＝1，b ＝3，所以α＝α1＋3α2.(3)M 3α＝M 3(α1＋3α2)＝M 3α1＋3M 3α2＝(－4)3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×73×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43×5＋3×73－43×6＋3×73. M n α＝M n (α1＋3α2)＝M nα1＋3M nα2＝(－4)n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×7n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤?－1?n ＋1×4n ×5＋3×7n?－4?n ×6＋3×7n . (4)在M nα的结果中，随着n 的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小．。
3.1 矩阵的特征值和特征向量
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
5. 设λ0是n阶矩阵A的一个特征值 , 试证 (1) kλ0是kA的一个特征值 ( k为常数 );
m ( 2) λ0 是Am的一个特征值 ( m为常数 );
( 3) 若A可逆 , 则 ( 4) 若A可逆 , 则
1
λ0
A
是A−1的一个特征值; 是 A 的一个特征值;
习题二第11题 习题二第11题
设 n阶矩阵 A各行的元素之和均为零 , 且 r ( A ) = n − 1. 求齐次线性方程组 AX = O的全部解 .
练习2.5第 练习2.5第3题: 矩阵, 矩阵. 证明AB 设 A 为m × n 矩阵, B为 n × s 矩阵. 证明AB = O ⇔ B 的解. 的每一个列向量均为齐次线性方程组 AX = O 的解.
第三章
1. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值. 阶矩阵， 具有相同的特征值. 3. 设 λ1 , λ2 , … λm 是方阵 A 的 m 个互异特征值, α1 , α2 , 个互异特征值, 依次是与之对应的特征向量, … , αm 依次是与之对应的特征向量, 则 α1 , α2 , … , αm 线性无关. 线性无关. 4. 设 n 阶矩阵 A 的互异特征值为 λ1 , λ2 , … λm . A 的属于 λi 的线性无关的特征向量为 则向量组
*
λ0
( 5) 对任意数 k , k − λ0是kE − A的一个特征值 .
P16P16-15
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
7. 设 λ1 , λ2是 n阶矩阵 A的两个不同特征值 , 对应的特征向量 分别为 α 1 , α 2 , 试证 c1α 1 + c 2α 2 ( c1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 )不是 A的特征 向量 .
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
特征值与特征向量的研究对于解决矩阵和线性变换的问题具有重要意义。
本文将为你提供一些特征值与特征向量的练习题，帮助你加深对这些概念的理解。
练习题一：考虑以下矩阵A:A = | 3 4 || 2 1 |问题一：找出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
解答一：首先，我们需要找到矩阵A的特征值λ，通过求解矩阵A的特征方程来得到。
特征方程的形式为| A-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵A-λI的形式：A-λI = | 3-λ 4 || 2 1-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(3-λ)(1-λ)-(4)(2) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ - 5 = 0解方程，得到特征值λ1=5和λ2=-1。
接下来，我们需要找到对应于特征值λ1和λ2的特征向量。
我们可以通过解线性方程组(A-λI)x=0，来得到特征向量。
首先，对于特征值λ1=5，我们可以得到线性方程组：(-2)x1 + 4x2 = 02x1 - 4x2 = 0解方程组，得到x1=2和x2=1。
因此，特征向量v1=(2,1)。
然后，对于特征值λ2=-1，我们可以得到线性方程组：4x1 + 4x2 = 02x1 + 2x2 = 0解方程组，得到x1=-1和x2=1。
因此，特征向量v2=(-1,1)。
练习题二：考虑以下对称矩阵B:B = | 2 -1 || -1 2 |问题二：找出对称矩阵B的特征值和对应的特征向量。
解答二：由于对称矩阵的特征值与特征向量具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来求解。
首先，我们可以通过求解特征方程来得到矩阵B的特征值。
特征方程的形式为| B-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵B-λI的形式：B-λI = | 2-λ -1 || -1 2-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(2-λ)(2-λ)-(-1)(-1) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ + 3 = 0解方程，得到特征值λ1=1和λ2=3。
特征值与特征向量复习题解答
7 ．由 AX 0 = λ 0 X 0 , 得 ( P −1 AP) P −1 X 0 = P −1 ( AX 0 ) = λ 0 P −1 X 0 ，故 λ 0 是 P-1AP 的特
征值，其对应的特征向量为 P −1 X 0 ，故（D）正确，其余 3 项都不正确。
8．由 | A |= λ1λ 2 λ3 得
特征值与特征向量复习题解答
一、思考题 1．可能有相同的特征向量，例如 ⎡1 0 ⎤ ⎡ 2 0⎤ A=⎢ ⎥ 特征值为 1，3 ; B = ⎢ ⎥ 特征值为 2，6; ⎢ 0 3⎥ ⎢0 6⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡1 ⎤ 故它们没有相同的特征值，但容易验证，向量 ⎢ ⎥ 既是 A 的属于特征值 1 的特征 ⎣0 ⎦ 向量，也是 B 的属于特征值 2 的特征向量.
有
其中
于是
Hale Waihona Puke A = P ∧ P −1⎡ 7 ⎢ 3 =⎢ ⎢ 0 ⎢ 2 − ⎢ ⎣ 3
0 5 3 −2 3
− 2⎤ 3⎥ − 2⎥ 3⎥ . ⎥ 2 ⎥ ⎦
T T 6．解:（1） 由 A = αβ 和 α β = 0 ，有
A 2 = AA = (αβ T )(αβ T ) = α (αβ T ) β T
使
P −1 AP = ∧ .
（3）由 P −1 AP = ∧ , 得 A = P ∧ P −1 .
于是 A100 = P ∧100
⎡ 1 − 1 1⎤ 1 ⎢ 1 2⎥ P −1 ，其中 P = ⎢ 2 ⎥ 3 ⎢ ⎦ ⎣− 3 0 0⎥
−1
所以 A
100
⎡ 3 ⋅ 2100 0 0 ⎤ 1 ⎢ 101 ⎥ = ⎢2 − 2 2100 + 2 2101 − 2⎥ . 3 ⎢1 − 2100 2100 − 1 2101 + 1⎥ ⎣ ⎦
第五章：特征值与特征向量选择题
B A B
C A B
D A1 B1
答案：D
23.若A B，则有
.
AE A E B
B A B
C 对于相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量
D A与B均与同一个对角矩阵相似
答案：B
24.设A和B是同阶方阵，如果A与B 有相同的特征值，则
.
A A B
B A B
C A B
答案：D
37.设 A、B是n阶实对称矩阵，且 E A E B ，下列结论不正确的是
.
A A B
B A与B相似于同一个对角矩阵
C tr A tr B
D A与B的 n 个特征向量两两正交
答案：D
38.设 A为n阶对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵.在下列矩阵中，不能通过正交变
换化为对角矩阵的是
B2
C 1 2
D1 2 .
答案：C
1 0 0
16.设A 0 1 0 ,在下列矩阵中，与A矩阵相似的矩阵是
.
0 0 2
1 0 0
A B1= 0 1 0
0 0 2
1 1 0
B B2 = 0 1 0
0 0 2
1 0 0
C B3 = 0 1 1
0 0 2
1 0 1
D B4 = 0 2 0.
.
A AB BA
B AT B BT A
C BAB
D ABA
答案：D
39.设矩阵A
1 1
1 1 ,
B
2 2
2 2, C
2 2
2 2
,
则下列结论正确的是
.
A A B
BB C
C A C
D 以上都不对
《特征值与特征向量》习题
———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期：
ﻩ
《３.1.１ 特征值与特征向量》习题 2
错误! １．求矩阵 M＝
的特征值和特征向量．
错误! ２. 已知矩阵 M＝
的一个特征值为３，求另一个特征值及其对应的一个特征
(1)求证 M 和Ｎ互为逆矩阵;
(2)求证 α1 和 α２都是矩阵Ｍ的特征向量.
错误! 错误! １０．给定矩阵 M＝
及向量 α＝
．
(1)求矩阵 M 的特征值及与其对应的特征向量 α１,α２; (2)确定实数 a,b,使向量 α 可以表示为 α=aα1＋bα2; (3)利用(2）中的表达式计算Ｍ3α，Ｍnα; (４)从(3）中的运算结果，你能发现什么？
来的 2 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90°．
(1)求矩阵Ａ及 A 的逆矩阵 B;
错误! （2)已知矩阵 M＝
，求 M 的特征值和特征向量；
错误! （3)若 α＝
在矩阵Ｂ的作用下变换为 β，求Ｍ50β.(结果用指数式表示）
错误! 8． 已知二阶矩阵 M 的一个特征值 λ＝8 及与其对应的一个特征向量 α1＝
错误! 设 λ2=－1 对应的一个特征向量为 α=
，
则由错误!得 x＝－y
令 x＝1,则 y=－１.
错误! 所以矩阵 M 的另一个特征值为－1,对应的一个特征向量为 α=
.
错误! 错误! 错误! ３. 【解】 （1）因为 2α＋3β=2
＋3
＝
,所以Ｍ(2α+3β)=
错误!错误! 错误! ＝
特征值和特征向量例题
特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）是线性代数中矩阵分析的重要概念。
如果一个非零向量v在乘以某个方阵A后只是被缩放，那么这个向量就被认为是A的特征向量。
在这种情况下，缩放因子被称为特征值。
例题：给定一个 2x2 矩阵A：| 2 1 || 1 2 |请找出矩阵A的特征值和特征向量。
解：step 1：设λ是特征值。
特征方程是：det(A - λI) = 0 ，其中I是单位矩阵，维度与A相同。
直接代入可得到特征方程。
det(A - λI) = det( | 2-λ 1 | ) = (2-λ)(2-λ) - 1×1 = λ^2 - 4λ + 3 = (λ-3)(λ-1). | 1 2-λ |step 2：求解特征值。
解特征方程可得特征值：λ1 = 3 和λ2 = 1。
step 3：根据特征值求对应的特征向量。
以λ1 = 3为例，使用方程 (A - λ1I)v = 0 ，求解特征向量v。
代入特征值：| 2-3 1 | |x1| |-1 1| |x1|| 1 2-3| |x2| = | 1 -1| |x2|可以看出，方程式有无穷多组解，任意倍数的解都是可行的。
我们取最简单位特征向量 v1 = | 1 |。
| 1 |对于特征值λ2 = 1, 同样使用方程 (A - λ2I)v = 0，求解特征向量：| 2-1 1 | |x1| | 1 1| |x1|| 1 2-1| |x2| = | 1 1| |x2|解之后取得另一个特征向量 v2 = | 1 |。
| -1 |答案：特征值λ1 = 3 和λ2 = 1，对应的特征向量为 v1 = | 1 | 和 v2 = | 1 |。
| 1 | | -1 |。
第二十二讲特征值和特征向量典型题
特征值与特征向量典型题1、特征值与特征向量1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A【分析】解本题的关键是注意A 为实对称矩阵，在已知A 的三个特征值和三个线性无关特征向量123,,ξξξ后，由公式123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=;可解出1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-=【详解】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=，根据A 为实对称矩阵的假设知10T ξξ=，即230x x +=，解得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==- 于是由123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=有11122331231(,,)(,,)010010100101101001101101010A λξλξλξξξξ--=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦2．（98，填4题，3分）设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值2()1Aλ+【分析】本题从特征值、特征向量的定义,0Ax x x λ=≠进行推导即可 【详解】设(0)Ax x x λ=≠，则 111,(0)AA x x A A x x x λλ--=⇒=≠即*AA x x λ=从而*22()()AA x x λ= *22[()][()1],0AA E x x x λ+=+≠可见*2()A E +必有特征值2()1Aλ+3．（99，填4题，3分）设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是1,0,,0n n -【分析】因为r(A)=1，所以1n n ii E A a λλλ--=-∑【详解】因为-11111111111111111110000n n n E A nnn λλλλλλλλλλλλλλ---------=---=-－－－－＝－－－－－＝（－）故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填1,0,,0n n -4．（99，十题，8分）设矩阵15310a c A b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)T α=--，求a b c 、、和0λ的值【分析】利用*AA A E =，把*0A αλα=转化为0A λαα=-是本题的关键【详解】根据题设有*0A αλα=，又*,AA A E E ==-于是*00,AA A A αλαλα==即0A αλα-=;也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此可得 000(1)1(53)1(1)1a c b c a λλλ-++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩ 解此方程组，得01,3,b a c λ==-=又由1A a c =-=和，有1533110a cb a ca-=-=--- 故2,a c ==因此02,3,2,1a b c λ==-==5.（03，九题，10分）设矩阵322232223A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，010101001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1*B P A P -=，求B ＋2E的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵【分析】可先求出*1,A P -，进而确定1*B P A P -=及B ＋2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据B ＋2E 与*2A E +相似求出其特征值与特征向量。
特征值与特征向量复习题
二、选择题
⎡4 − 5 2⎤ 1．设 A = ⎢⎢5 − 7 3⎥⎥ ，则以下向量中是 A 的特征向量的是（ ）.
⎢⎣6 − 9 4⎥⎦
（A）[1, 1, 1]T （B）[1, 1, 3]T （C）[1, 1, 0]T （D）[1, 0, − 3]T
2．设 A,B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，则（ ）.
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
时，求
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
xn+1 yn+1
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
.
11．设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2，λ1 = λ2 = 6 是 A 的二重特征值.若α1 = [1,1,0]T ,
α 2 = [2,1,1]T , α3 = [−1,2,−3]T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量. （1） 求 A 的另一特征值和对应的特征向量； （2） 求矩阵 A.
四、证明题 1．设 A 为正交矩阵，若|A|=-1，试证：A 一定有特征值-1.
2．设 A,B 均为 n 阶方阵，且 r( A) + r(B) < n . 试证：A,B 有公共的特征向量.
3．设 A 是 n 阶方阵，任一非零的 n 维向量都是 A 的特征向量. 试证：
⎡λ
0⎤
⎢
A
=
⎢ ⎢
λ O
⎥ ⎥ ⎥
6
练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过
培养及实践至年终考核有 2 成为熟练工. 设第 n 年 1 月份统计的熟练工和非熟练 3
工所占百分比分别为
xn和yn
，记成向量
⎡ xn
⎢ ⎣
y
n
⎤ ⎥ ⎦
第3章-特征值和特征向量 练习题
第3章 特征值和特征向量 练习题1、设非奇异矩阵 A 的一个特征值为 λ = 2，试求出 1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 的一个特征值。
（ 3 / 4 ）2、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20203020x A 的一个特征值 λ1 = 0，求 x 值和 A 的全部特征值。
（2；0、3、4）3、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20020y y x A 的一个特征值为-3，且A 的三个特征值之积为 -12，确定 x 和 y 的值。
（ 1 ； 2 或 -2 ）4、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a A 11121112 可逆，向量 β = ( 1 , b , 1 )T 是矩阵 A 的逆矩阵 A -1 的一个特征向量，λ 是 β 所属的特征值，试求 a 、b 和 λ 的值 .（ a = 2 ，b = 1 ，λ = 1 / 4 或 a = 2 ，b = -2 ，λ = 1 ）5、设三阶方阵 A 的一个特征值为 1 / 9，与其对应的特征向量 α = ( 1 , 1 , 1 )T ，求方阵 A 的 9 个元素之和。
（ 1 / 3 ）6、设 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 0，1，2，…，n - 1，且方阵 B 与 A 相似，求 | B+E | 。
（ n! ）7、设向量 α = ( 1 , 0 , - 1 ) T ，矩阵 A = α αT ，若 n 为正整数，计算行列式 det ( a E - A n ) 的值 。
（ a 2 ( a - 2n ) ）8、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩 r ( A ) = 2，且满足 A 2 = 2 A ，求行列式 | 4 E - A | 的值。
（16）9、设 A 是2阶实对称矩阵，且满足 A 2 + A - 6 E = O ，其中 E 是2阶单位矩阵，求行列式det A 和 det ( A* - 2E ) 的值。
（ 9 或 4 或 - 6 ；25 或 0 ）10、设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101010y x A 有三个线性无关的特征向量（可以相似对角化），求 x 、y 应满足的条件。
特征值与特征向量复习题
一、思考题 1．n 阶方阵 A、B 有不同的特征值时，能否有相同的特征向量. 2．有相同特征值的 n 阶不同矩阵 A、B，能否有相同的特征向量. 3．设 A 为三阶矩阵，已知 E-A，3E-A，E+A 都不可逆，问 A 是否相似于对
角阵. 4．若方阵A≠0，但Ak=0，问A能否相似于对角阵. 5．设 A 和 B 都是 n 阶实对称阵，并且相同的特征值，则可以得到 A 和 B 相
（A） λE − A = λE − B
（B）A 与 B 有相同的特征值与特征向量
（C）A 与 B 都相似于一个对角阵 （D）对于任意 t， tE − A与tE − B 相似
3．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α 是A的属于特征值
λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量是（ ）.
7．设 4 阶方阵A满足条件| 3E + A |= 0, AAT = 2E, | A |< 0 ，求方阵A的伴随矩
阵A*的一个特征值.
⎡3 2 2⎤
⎡0 1 0⎤
8．设矩阵 A = ⎢⎢2 3 2⎥⎥ ， P = ⎢⎢1 0 1⎥⎥ ， B = P −1 A∗ P ，求B+2E的特征值与特
⎢⎣2 2 3⎥⎦
（B） 3 似，且
⎡ 1 −1 1 ⎤
⎡2 0 0⎤
A
=
⎢ ⎢
2
4 − 2⎥⎥
B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥
则（
⎢⎣− 3 − 3 a ⎥⎦
⎢⎣0 0 b⎥⎦
（A）a=5, b=0 （B）a=5, b=6 （C）a=6, b=5
（D） 1 4
）. （D）a=0, b=5
7．已知 AX 0 = λ0 X 0 （X0为非零向量），P为可逆矩阵，则（
第五章 矩阵的特征值和特征向量
第五章 矩阵的特征值和特征向量习题一 矩阵的特征值和特征向量一、填空题1．A 为n 阶方阵，Ax =0有非零解，则A 必有一特征值为________． 2．若λ0为A 的特征值，则A k (k 为正整数)有特征值为________．3．若α为A 的特征向量，则________为P -1AP 的特征向量． 4．n 阶矩阵A 与_____________有相同的特征值． 二、计算题1.设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----122212221 (1) 试求矩阵A 的特征值；(2) 利用(1)的结果，求矩阵E +A -1的特征值，其中E 是三阶单位矩阵．２．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----632223221的实特征值及对应的特征向量．三、证明题1．设A 满足A 2-3A +2E =0，证明其特征值只能取值1或2．2．若n 阶矩阵A ，存在自然数m ，使得0=mA ，则A 的特征值是０．3．如果A 可逆，λ是A 的特征值，则1-λ是1-A 的特征值．4．证明：)()(),()()(A kTr kA Tr B Tr A Tr B A Tr =+=+．习题二 相似矩阵和矩阵可对角化一、填空题1．若A ~kE ，则A =________．2．若n 阶方阵A 与B 相似，且A 2=A ，则B 2=________．． 3．已知A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----533242111，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20002000λ 且A ~B ，则λ=________．4．A 可对角化当且仅当 ． 5．n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值是A 可对角化的___________． 6．判别矩阵A 可对角化的方法是 ．二、 1．设A =[a ij ]为三角矩阵，且对角线元素互不相等．试指出A 是否有与它相似的对角矩阵，并说明理由．2．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314020112能否对角化？若能，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵．三、判别下列矩阵是否可对角化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120B四、矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-113222x和B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y21是相似矩阵．求x与y；习题三实对称矩阵的对角化一、求正交矩阵T，使ATT1-为对角矩阵．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=34243222A②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1222223B③⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=411141141114C二、设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-124222421，求可逆矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵．三、已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵B =A 3-5A 2试求：(1) 矩阵B 的特征值及与其相似的对角阵；(2) 行列式|B |和|A -5E |．四、设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201021313，求 (1) A 的所有特征值与特征向量；(2) 判断A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使A 化为对角形矩阵； (3) 计算A m ．综合复习题一、空题与选择题1．矩阵________20222002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛与．2．设),(,F M T A n ∈其中T 可逆，则k AT T k _(__________)(1=-为非负整数）， ][)(_,__________)(1x F x f AT T f ∈=- .（][x F 表示数域F 的全体多项式，)(F M n 表示全体n 阶矩阵） 3．相似矩阵有________秩，有相同秩的矩阵_________相似．4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411205123A 的三个特征值为321,,λλλ则 .________.____________321321==++λλλλλλ 5．设)(x f 是方阵A 的特征多项式，则_______;)(=A f若B A ~,则)(B f = _________.6．下面四个命题中原命题和逆命题都正确的是（ ） （A ）相似矩阵有相同的特征多项式；（B ）设σ是数域F 上向量空间的一个线性变换．A 是σ关于V 的一个基的矩阵，如果λ是σ的特征根，那么λ是A 的特征根；（C ）n 维向量空间的一个线性变换关于V 的两个基的矩阵是相似矩阵； （D ）设)(F M A n ∈，若)(x f A 在数域F 内有单根，则A 可对角化． 7．下列三个矩阵中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A a a a A a a a A 001001,001000,000000321 ① 21~A A ； ② 31~A A ； ③ 32~A A ；④ 321,,A A A 中两两都不相似．（A ）① 正确； (B) ②正确； (C) ③ 正确 ； (D) ④ 正确． 8．设A 是n 阶矩阵，那么① 在复数域C 上A 一定与某一对角矩阵相似； ② 在C 上A 一定与某一上三角矩阵相似；③ 在C 上A 一定与某一下三角矩阵相似．（A ）① 正确； (B) ②，③正确； (C) ①， ② 正确 ； (D) ①，②，③正确． 9．下列矩阵中，不可对角化的仅是（Ａ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0280； (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111； (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1101； （Ｄ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3210． 10．设,0),(,,≠∈T F M T B A n 且B A ,在F 上均可对角化，则① B A + 可对角化； ②AB 可对角化； ③AT T 1-可对角化；④ T B T m 1-可对角化. *N m ∈（*N 表示全体正整数） （A ），②正确； ( B) ③，④正确； (C) ①，②，③，④正确 ； (D) ① 正确． 二、计算与证明题1．求下列矩阵的全部特征值与特征向量（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200210311A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=624232426A （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A2．找出1题中可对角化的矩阵A ，并求可逆矩阵X 使AX X1-为对角矩阵．3．求正交矩阵T 使AT T1-为对角矩阵（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=342432220A (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1333313333133331A （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1101111001111011A 4．试证：矩阵A 可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零．5．设n 阶可逆矩阵A 的特征值是n λλλ,,,21 ，证明：1-A 的特征值为11211,,,---n λλλ ． 6．如果任一个n 维非零向量都是n 阶矩阵A 的特征向量，试证明A 是一个数量矩阵． 7．A 是一个n 阶实对称矩阵，试证：如果0λ是A 的k 重特征值，则矩阵A E -0λ的秩等于k n -．自测题一、填空题1．若A 为n 阶矩阵，0=AX 有非零解，则A 必有一特征值为__________． 2．若0λ是A 特征值，则kA （k 为正整数）有特征值为____________．3．若α为A 的特征向量，则AP P 1-的特征向量为_____________．4．若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则A =__________．5．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则1_____;-=A A 的特征值为___________．6．n 阶零矩阵的全部特征向量是___________． 7．若kE A ~，则=A ______________．8．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A A =2，则=2B ___________．9．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=20002000,533242111λB A 且B A ~，则._______=λ 10．三阶矩阵A 的三个互异特征值为321,,λλλ，它们对应的特征列向量分别为 ,,,321ααα则矩阵（,,,321ααα）的秩为__________．二、选择题1.设λ=2是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵12)31(-A 有一特征值等于( )．(a ) 34 (b ) 43 (c ) 21 (d ) 412.若n 阶矩阵A 的任意一行中n 个元素的和都是a ，则A 的一个特征值为( )．(a ) a (b ) –a (c ) 0 (d ) a -13.设A 是n 阶矩阵，λ1，λ2是A 的特征值，α1，α2是A 的分别对应于λ1，λ2的特征向量，则( )．(a ) λ1=λ2时，α1，α2一定成比例 (b ) λ1=λ2时，α1，α2一定不成比例(c ) λ1≠λ2时，α1，α2一定成比例 (d ) λ1≠λ2时，α1，α2一定不成比例4.设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(a ) λE -A =λE -B (b ) |λE -A |=|λE -B |(c ) |λE -A |~λE -B (d ) A 与B 都相似于一个对角矩阵D5.n 阶方阵A 具有n 个特征值是A 与对角矩阵相似的( )(a ) 充分必要条件 (b ) 充分而非必要条件 (c ) 必要而非充分条件 (d ) 既非充分也非必要条件6.矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300030000与下列哪个矩阵相似( )(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030300 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130010 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300000003 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030300010 7.n 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是( )．(a ) A 有n 个不全相同的特征值 (b ) A T 有n 个不全相同的特征值 (c ) A 有n 个不相同的特征值 (d ) A 有n 个线性无关的特征向量8.n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则( )．(a ) 方阵A 的秩等于n (b ) 方阵A 有n 个不同的特征值(c ) 方阵A 一定是对称矩阵 (d ) 方阵A 有n 个线性无关的特征向量9.λ1，λ2是n 阶矩阵A 的特征值，X 1，X 2是相应于λ1，λ2的特征向量，对于不全为零的常数c 1，c 2：( )(a ) 当λ1≠λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(b ) 当λ1≠λ2时，则X 1，X 2是A 相应于λ1，λ2唯一的两个线性无关的特征向量 (c ) 当λ1=λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(d ) 当λ1=λ2时，则X 1，X 2必为A 相应于λ1，λ2的线性无关的特征向量 10.设n 阶矩阵A 为满秩矩阵，则A ( )(a ) 必有n 个线性无关的特征值 (b ) 必有n 个线性无关的特征向量 (c ) 必相似于一满秩的对角矩阵 (d ) 特征值必不为零 三、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A （1） 试求矩阵A 的特征值；（２）利用（1）的结果，求1-+A E 的特征值．2．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=632223221A 的特征值及特征向量．3．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124222421A ，求可逆矩阵Q 使AQ Q 1-为对角矩阵． 4．设A 为n 阶实矩阵，满足0,<=A E AA T，试求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值．5．已知三阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，矩阵235A A B -=，试求 （1） 矩阵B 的特征值和与B 相似的对角矩阵；(2) 行列式B 和E A 5-.6．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021313A ，求 （1）A 的所有特征值与特征向量；（2）判别A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵； （3）计算mA ．四、证明题1．若n 阶矩阵A 满足A A =2，则A 的特征值仅能是0或1．2．若n 阶矩阵A 满足I A =2，则A 的特征值仅能是1或1-．3．设A 满足0232=+-E A A ，证明：A 的特征值只能是1或2．4．设A 是实数域上奇数阶方阵，且0>A ，证明：A 有正特征值． 5．设][)(),(x F x f F M A n ∈∈，A 在F 上可对角化，证明：)(A f 在F 上可对角化．二次型习题一 二次型及表示方法一、填空题1．二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 2x 3________．2. 矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314122421对应的二次型是________．3．),(21x x q =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21211222)(x x x x 的矩阵为__________. 4．二次型),,,(21n x x x q 经过__________的线性替换总可以化为标准形2222211nn y c y c y c +++ .5．n 阶对称矩阵同时实行行和列的初等变换总可化为_______矩阵. 二、写出下列各二次型的矩阵1．23322231212138232x x x x x x x x x ++-+-2．243231212x x x x x x x ++-三、写出下列对称矩阵所对应的二次型1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=012320113113221233121A2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110B四、对于对称矩阵A 与B ，求出可逆矩阵C ，使B AC C T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101112B习题二 化二次型为标准型一、用配方法化下列二次型为标准型. 1．31212322214245x x x x x x x -+-+2． 32312164x x x x x x +-二、用初等变化的方法求一奇异矩阵C ，使AC C T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310102021A三、用初等变换法将二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2+2x 2x 3+2x 3x 4化为规范形，并求所作的非退化变换矩阵，且用矩阵验算结果．四、求一正交矩阵P ，使AP P T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1132112332112311A四、试用配方法将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3化为标准形(平方和)和规范形．习题三 正定二次型一、填空题1．实二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12-x 22+3x 32的秩为________，正惯性指数为________，负惯性指数为________．2．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，2，…，n ，则当t ________时，tE -A 为正定矩阵．3. 若n 阶实对称矩阵A 的秩为r (<n )且A 2=A ，则是________矩阵(正定、半正定，…)，正惯性指数为________．4．____二次型),,,(21n x x x q 成为正定的，如果对于任意一组),,,(21n c c c ______ 都有),,,(21n c c c q _________.5． 5． 对称矩阵A 正定当且仅当A 与_________矩阵合同.6．实对称矩阵A 正定当且仅当A 的一切顺序主子式__________或者A 的一切主子式 ______________.7． 7． 对称矩阵的特征根都是_____________.二、计算题：1．求α的值，使二次型为正定.(1) 3231212322214225x x x x x ax x x x +-+++(2) 3231212322212245x x x x x x ax x x --+++2．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101，矩阵B =(kE +A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．（1） （1） 3．设A 1~A 1和B 1~B 2．试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A判断三元二次型f = x 12+5x 22+x 32+4x 1x 2-4x 2x 3的正定性．三、证明题：1．A 是n 阶实对称矩阵，AB +B T A 是正定矩阵，证明A 可逆．2．设A 是n 阶正定矩阵，证明|A +2E |>2n ．3．令A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A , B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21B O O B ,如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.4．证明：实二次型),,,(21n x x x q 负定的充分必要条件是它的矩阵A 的奇数阶顺序主 子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零.自测题一、填空题1．二次型322123222143212432,,,(x x x x x x x x x x x f ++++=）_______. 2．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314122421A 对应的二次型是_____________________. 3．二次型),,(321x x x f =31212322212224x x x tx x x x ++++是正定的，那么t 应满足不等式_________.4．二次型),,(321x x x f =2322213x x x +-的秩为__________.正惯性指数为__________,负惯性指数为__________.5．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为n ,,2,1 ，则当t =______时，A tE -为正定矩阵.6．若n 阶实对称矩阵A 的秩为)(n r <且A A =2，则是_______矩阵，正惯性指数为___________.7．二次型的规范形由_____________唯一确定；复二次型的规范形由____唯一确定.8．实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的特征值___________. 9．若A 是实对称矩阵且可逆，则将Ax x f T =化为y A y f T 1-= 的线性变换为_____________.10．设A 为n 阶实对称矩阵，那么T AA 是_______(对称、非对称、对角).二、选择题i. i. 1.设A ，B 均为n 阶方阵，x =(x 1，x 2，…，x n )T ，且X T AX = X T BX ，当( )时，A =B ．(a ) 秩(A )=秩(B ) (b ) A T =A(c ) B T =B (d ) A T =A 且B T =Bii. ii. 2.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= X T AX 为正定的充分必要条件是( )．(a ) |A |>0 (b ) 存在n 阶可逆矩阵C ，使A =C T C(c ) 负惯性指数为零 (d ) 对于某一x =(x 1，x 2，…，x n )T ≠0，有X T AX >0．iii.iii. 3.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= x 12+2x 1x 2+tx 22+3x 32，当t =( )时，其秩为2． (a ) 0 (b ) 1 (c ) 2 (d ) 3 iv. iv. 4.设A ，B 为同阶可逆矩阵，则( )(a ) AB =BA(b ) 存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B(c ) 存在可逆矩阵C ，使C T AC =B(d ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P AQ =Bv.v. 5.设A 为正定矩阵，则下列矩阵不一定是正定的是( ) (a ) A T (b )A -1 (c ) A +E (d ) A -E vi.vi. 6.设A 是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量X ，都有X T AX =0，那么( )． (a ) |A |=0 (b ) |A |>0 (c ) |A |<0 (d ) 以上都不是 vii. vii. 7.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是( )．(a ) 所有k 阶子式为正(k =1，2，…，n )(b ) A 的所有特征值非负(c ) A -1为正定矩阵 (d ) 秩(A )=nviii. viii. 8.设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 是( )(a ) 实对称矩阵 (b ) 正定矩阵 (c ) 可逆矩阵 (d ) 正交矩阵ix. ix. 9.下列矩阵为正定的是( )．(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200032021 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200042021 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200052021 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛520210002 x.x. 10.设A 、B 是n 阶正定矩阵，则( )是正定矩阵． (a ) A *+B * (b ) A *-B * (c ) A *B * (d ) k 1A *+k 2B *三、对二次型32212221442x x x x x x f --+=分别作下列两个非退化线性替换. （1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321*********y y y x x x (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132121001101121y y y x x x四、试用配方法将二次型3231212322213212243),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形（平方和）和规范形.五、用初等变换法将二次型43322142322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f -+++++= 化为标准形，求所作的非退化矩阵，并用矩阵验算结果.六、已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++==a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵. 七、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵2)(A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求 对角矩阵A ，使B 与A 相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵.八、设1A 与2A 相似，1B 与2B 相似.试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A . 九、判断三元二次型3221232221445x x x x x x x f -+++=的正定性. 十、A 是n 阶实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明：A 可逆.十一、设A 是n 阶正定矩阵，证明：n E A 22>+.。
习题六特征值与特征向量
习题六 特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值和特征向量()()131200012010100⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 设100212121A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求A 的特征值及特征子空间。
3. 设线性变换ϕ在基123,,εεε下的矩阵是320416482A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求的特征值与特征向量。
4. 设A 、B 都是n 阶方阵，且0A ≠，证明AB 与BA 相似。
若0A =，结论如何？5. 已知矩阵74147144A x -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的特征值，求x 与A 的特征向量。
6. 证明：（1）若A 是n 阶幂等矩阵（即A 2=A ）,则A 的特征值是1或0；（2）若A 是n 阶对合矩阵（即A 2=I ），则A 的特征值是1或-1；（3）反对称实矩阵的特征值为0或纯虚数；（4）n 阶幂零矩阵（A k =0，k 为正整数）只有0为特征值。
7. 设A 的对应于特征值0λ的特征向量为X ，证明： （1） X 是A m 的对应于特征值0m λ的特征向量；（2） 对于多项式()f λ，X 是f(A)的对应于特征值0()f λ的特征向量。
8. 若A 是可逆的，A 、A *、A -1三个矩阵的特征值与特征向量之间的关系如何？9. 设λ是n 阶方阵A 的特征值，证明： （1） 21λλ++是A 2+A+I 的特征值； （2） 若A 可逆，Aλ是A *的一个特征值。
10. 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，12,αα分别是A 的属于12,λλ的特征向量，试证：12αα+不是A 的特征向量。
11. 设 0411100A x y x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦、是实数 （1） 求A 的特征多项式；（2） 若A 相似于对角阵，求x 、y 应满足何种条件； （3） 若A 正交相似于实对角阵，x 、y 又如何？ 12. 设3阶方阵A 的特征值为0，1，-1，对应的特征向量为 X 1=(1,0,0)T , X 2=(1,1,0)T , X 3=(0,1,1)T ,求A 及A 2n 。
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题§1 特征值与特征向量1．求下列矩阵的特征值及对应的特征向量：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200210311； （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------011101110。
2．求n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 a a a a a a A 的特征值（0≠a ）。
3．已知12是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---44174147a 的特征值，求a 。
4．已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，2-，3。
（1）求||A ；（2）求1-A 和*A 的特征值；（3）求I A A ++22的特征值。
5．已知n 阶方阵A 满足O I A =+k )(，求||A 。
6．已知方阵A 满足05322=--I A A ，证明I A +2可逆。
7．设4阶方阵A 满足0|2|=+A I ，I AA 2=T ，0||<A ，求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值。
8．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1240011b a 的特征值为1，2，3，求a ，b 。
9．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100b a A 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足何种关系？10．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312212a a b A 的一个特征向量，求a ，b 和ξ对应的特征值。
11．已知2-=λ是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2214013b a A 的特征值，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c a 是1-A 的特征值0λ对应的特征向量，求a ，b ，c ，0λ的值。
12．设3阶矩阵A 的特征值为1-，0，1，与之对应的特征向量分别为T a a a )2,3,(1++=a ，T a a )1,1,2(2+--=a ，T a )1,2,1(3-=a 。
若还有02533081085=++-a a a ，求a 与A 。
13．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 11121112A 是可逆矩阵，T b )1,,1(=a 是A 的伴随矩阵*A 的特征向量，且λ是a 对应的特征值，求a ，b ，λ。
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特征值特征向量复习题
一、填空
1. 已知三阶方阵A 的三个特征值为1，-2，-3，则=A ， 1-A 的特征值为 ，T A 的特征值为 ， *A 的特征值为 。
2. k A k ,0=为正整数，则A 的特征值 。
3. A A =2，则A 的特征值为 。
4. ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43213122与 x y 相似，则=x ，=y 。
5. n 阶零矩阵的全部特征向量是 。
6. 若I A ~，则A ＝ 。
7. 若矩阵A 有一个特征值为-1，则=+I A 。
8. 已知三阶方阵A 的特征值为1,2,2，若A 不能对角化，则()=-A I r ，()=-A I r 2 。
若A 能对角化，则()=-A I r ，()=-A I r 2 。
9. 已知三阶方阵A 的行列式6=A ，A 有一个特征值为-2，则*A 必有一个特征值为 ，I A A A 88423+++必有一个特征值为 ，=+++I A A A 88423 。
10. 已知三阶方阵A 的特征值为-1,1,2，则I A A 22-+的特征值为 ，
=-+I A A 22 。
11. 已知三阶方阵A 的行列式-2，*A 有一个特征值为6，则1-A 必有一个特征值为 ，A 必有一个特征值为 ，*135A A --必有一个特征值为 ，A A 351--必有一个特征值为 。
12. 设n 阶方阵A 的n 个特征值为1,2,…,n ，则=+I A 。
13. 已知三阶方阵A 的特征值为-1,1,2，它们对应的特征向量分别为321,,X X X ，
令()312,,X X X Q =，则AQ Q 1-= 。
14. 若0.5不是方阵A 的特征值，则A I 2- 可逆矩阵。
（填是或不是）
15. 设n 阶矩阵A 有特征值2，且I A kA 862=+，则=k 。
二、选择题
1. 设A 为n 阶方阵，以下结论中，（ ）成立。
A ． 若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征
值1-λ的特征向量。
B ． A 特征向量是方程O X A I =-)(λ的全部解。
C ． A 的特征向量的线性组合仍为的A 的特征向量的。
D ． A 与T A 有相同的特征向量。
2. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10021321x A ，已知A 的特征值为2，1，3，则x=（ ）
A ． -2 B. 3 C. 4 D. –1
3. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 123022，有一个特征向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-35，则x=（ ）
A ． -18 B. -16 C. –14 D. –12
4. 若B A ~，则有（ ）
A ．
B I A I -=-λλ B. B A =
C ．对于λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量
D. A 与B 均与一个对角阵相似
三、计算题
1. 求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=020212022A 的特征值及对应的特征向量。
2. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=81023316100A ，求可逆阵P ，使得AP P 1-为对角阵。
3. 设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1000110000340043，求n A 。
4. 若三阶方阵A 的特征值为61=λ，332==λλ，其对应的特征向量为 T T T )1,2,1(,)1,0,1(,)1,1,1(321-=-==ααα，求A ，5A 。
5. 设A ＝⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010000B ,11111与b b a a 相似，
求（1）a ，b 之值，
（2）求可逆阵P ，使得AP P 1-＝B
6. 已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=111α是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a
A 的一个特征向量。
（1） 试确定参数b a ,及特征向量α所对应的特征值。
（2） 问A 能否相似于对角阵？说明理由。
7．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A 的特征值，向量()T 1,1,11=α，()T 1,2,22=α 是A 的属于特征值1的特征向量，求（1）矩阵A 的属于特征值-1的特征向 量；（2）矩阵A 。
8．设有四阶方阵A 满足03=+A I ，I AA T 9=，0<A ，求*A 的一个特征值。
9．设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=a c b c a A 0135
1，1-=A ，*A 有一个特征值0λ，对应的特征向 量为()T
1,1,1--=α，求0,,,λc b a 的值。
10．设n 阶方阵满足0442=++I A A ，证明A 的特征值仅为-2。