2020年重庆市双福育才中学中考数学第二次模拟测试试卷 解析版

2020年中考数学第二次模拟测试试卷
一、选择题
1．下列各数中，属于无理数的是（）
A．B．0C．D．
2．下列运算正确的是（）
A．﹣4﹣3＝﹣1B．5×（﹣1）2＝﹣1C．x2•x4＝x8D．+＝3 3．不等式﹣x+2＞3x的解为（）
A．x＞﹣B．x＜C．x＞﹣2D．x＜2
4．已知A（﹣3，2）关于x轴对称点为A'，则点A'的坐标为（）
A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）5．若5y﹣x＝7时，则代数式3﹣2x+10y的值为（）
A．17B．11C．﹣11D．10
6．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.87]＝3，[]＝1，按此规定[（﹣）]＝（）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A＝134°，则∠BEC的大小为（）
A．23°B．28°C．62°D．67°
8．按如图的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x值可以为（）
A．1B．2C．3D．4
9．如图所示，已知AC为⊙O的直径，直线PA为圆的一条切线，在圆周上有一点B，且使得BC＝OC，连接AB，则∠BAP的大小为（）
A．30°B．50°C．60°D．70°
10．如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走52米到点D 处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：2.4．大楼AB的高度约为（）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．32米B．35米C．36米D．40米
11．若关于x的不等式组无解，且关于y的方程+＝1的解为正数，则符合题意的整数a有（）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，且B′恰好落在AB上，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，则C到MN的距离是（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．计算：﹣2sin45°+（﹣1）0＝．
14．国家发改委2月7日紧急下达第二批中央预算内投资2亿元人民币，专项补助承担重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设，其中数据2亿用科学记数法表示为元．
15．如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是．
16．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为．
17．小刚从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后发现忘带数学作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即匀速跑步去追小刚，同时小刚以原速的两倍匀速跑步回家，爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家．由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小刚从家出发到学校的步行时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则小刚家到学校的路程为米．
18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．
三、解答题
19．计算：
（1）（3x﹣y）2+（3x+y）（3x﹣y）
（2）解方程：＝
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O 交斜边AB于点D．
（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场
所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90
70 80 95 75 100 90
整理数据
成绩x（分）60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100
甲小区25a b
乙小区3755
分析数据
统计量平均数中位数众数
甲小区85.7587.5c
乙小区83.5d80
应用数据
（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理员的理由．
22．小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是；
（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；
x…﹣﹣1﹣023…
y…m0﹣1n2…
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：．
②当函数值+1＞时，x的取值范围是：．
23．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的A商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售
（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？
（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售A商品，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，现乙卖家先将标价提高2m%，再大幅降价24m元，使得A商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%后，这样一天的利润达到了20000元，求m的值
24．如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；
（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S△ABE＝，求△APE面积的最大值和此动点P 的坐标．
25．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．
（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．
（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．26．【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD 上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB 的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．
参考答案
一、选择题：（12个小题，每小题2分，共24分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、
B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的）
1．下列各数中，属于无理数的是（）
A．B．0C．D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：是无理数．
故选：C．
2．下列运算正确的是（）
A．﹣4﹣3＝﹣1B．5×（﹣1）2＝﹣1C．x2•x4＝x8D．+＝3
【分析】直接利用实数运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．解：A、﹣4﹣3＝﹣7，故此选项错误；
B、5×（﹣1）2＝5，故此选项错误；
C、x2•x4＝x6，故此选项错误；
D、+＝+2＝3，故此选项正确．
故选：D．
3．不等式﹣x+2＞3x的解为（）
A．x＞﹣B．x＜C．x＞﹣2D．x＜2
【分析】根据不等式的性质：先移项，再合并同类项，系数化1即可求得不等式的解集．解：不等式移项得，﹣x﹣3x＞﹣2，
合并同类项得，﹣4x＞﹣2
系数化1得，x＜；
故选：B．
4．已知A（﹣3，2）关于x轴对称点为A'，则点A'的坐标为（）
A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数进而得出答
案．
解：∵A（﹣3，2）关于x轴对称点为A'，
∴点A'的坐标为：（﹣3，﹣2）．
故选：D．
5．若5y﹣x＝7时，则代数式3﹣2x+10y的值为（）
A．17B．11C．﹣11D．10
【分析】根据5y﹣x＝7，可以求得代数式3﹣2x+10y的值．
解：∵5y﹣x＝7，
∴3﹣2x+10y
＝3﹣2（x﹣5y）
＝3+2（5y﹣x）
＝3+2×7
＝3+14
＝17，
故选：A．
6．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.87]＝3，[]＝1，按此规定[（﹣）]＝（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意得出6＜2＜7，进而利用[x]表示一个实数的整数部分，即可得出答案．
解：[（﹣）]＝[2﹣4]
∵6＜2＜7，
∴2＜2﹣4＜3
∴[（﹣）]＝2．
故选：B．
7．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A＝134°，则∠BEC的大小为（）
A．23°B．28°C．62°D．67°
【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
解：∵菱形ABCD，∠A＝134°，
∴∠ABC＝180°﹣134°＝46°，
∴∠DBC＝，
∵CE⊥BC，
∴∠BEC＝90°﹣23°＝67°，
故选：D．
8．按如图的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x值可以为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由3x+1＝22，解得x＝7，即开始输入的x为7，最后输出的结果为22；当开始输入的x值满足3x+1＝7，最后输出的结果也为22，可解得x＝2，符合题意．
解：当输入一个正整数，一次输出22时，
3x+1＝22，
解得：x＝7；
当输入一个正整数，两次后输出22时，
3x+1＝7，
解得：x＝2，
故选：B．
9．如图所示，已知AC为⊙O的直径，直线PA为圆的一条切线，在圆周上有一点B，且使得BC＝OC，连接AB，则∠BAP的大小为（）
A．30°B．50°C．60°D．70°
【分析】连接OB，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝60°，根据圆周角定理得到∠BAC＝30°，根据切线的性质得到∠CAP＝90°，结合图形计算，得到答案．
解：连接OB，
∵BC＝OC，OB＝OC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝30°，
∵直线PA为圆的一条切线，AC为⊙O的直径，
∴∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣30°＝60°，
故选：C．
10．如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走52米到点D 处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：2.4．大楼AB的高度约为（）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．32米B．35米C．36米D．40米
【分析】作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，y由CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝52米，得到＝1：2.4，求出BE、AE即可解决问题；
解：作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，
∵CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝52米，
∴＝1：2.4，
∴＝52，
∴DF＝20（米）；
∴BE＝DF＝20（米），
∵∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝40m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，
∴AE＝tan37°•20＝15（米）
∴AB＝AE+BE＝35（米）．
故选：B．
11．若关于x的不等式组无解，且关于y的方程+＝1的解为正数，则符合题意的整数a有（）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据不等式组无解确定出a的范围，表示出分式方程的解，由分式方程的解为正数求出整数a的值即可．
解：不等式整理得：，
由不等式组无解，得到a+3＞1，
解得：a＞﹣2，
分式方程去分母得：2﹣y﹣a＝y﹣2，
解得：y＝，
由分式方程的解为正数，得到＞0且≠2，
解得：a＜4，且a≠0，
∴﹣2＜a＜4，且a≠0，a为整数，
则符合题意整数a的值为﹣1，1，2，3，共4个，
故选：D．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，且B′恰好落在AB上，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，则C到MN的距离是（）
A．B．C．D．
【分析】如图，作CH⊥MN于H，连接NC，作MJ⊥NC交NC的延长线于J．解直角三角形求出MN，利用面积法求出CH即可．
解：如图，作CH⊥MN于H，连接NC，作MJ⊥NC交NC的延长线于J．
∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，∠B＝60°．
∵CB＝CB′，
∴△CBB′是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∵BN＝NA′，
∴CN＝NB′＝A′B′＝4，
∵∠CB′N＝60°，
∴△CNB′是等边三角形，
∴∠NCB′＝60°，
∴∠BCN＝120°，
在Rt△CMJ中，∵∠J＝90°，MC＝2，∠MCJ＝60°，∴CJ＝MC＝，MJ＝CJ＝3，
∴MN＝＝＝2，
∵•NC•MJ＝•MN•CH，
∴CH＝，
故选：A．
二、填空题：（6个小题，每小题4分，共24分）
13．计算：﹣2sin45°+（﹣1）0＝+1．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
解：原式＝2﹣2×+1
＝2﹣+1
＝+1．
故答案为：+1．
14．国家发改委2月7日紧急下达第二批中央预算内投资2亿元人民币，专项补助承担重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设，其中数据2亿用科学记数法表示为2×108元．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：2亿＝200000000＝2×108．
故答案为：2×108．
15．如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是．
【分析】首先确定m，n的值，推出有序整数对（m，n）共有：3×5＝15（种），由方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则需△＝n2﹣4m＝0，有（0，0），（1，2），（1﹣2）三种可能，由此可以求出方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率．
解：∵|m|≤1，|n|≤2，
∴m＝0，±1，
n＝0，±1，±2，
∴有序整数（m，n）共有3×5＝15（种），
∵方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，
则需：△＝n2﹣4m＝0，
有（0，0），（1，2），（1﹣2）三种可能，
∴关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是＝．
故答案为．
16．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为6．
【分析】由平行线的性质得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，两个对应角相等证明△OAB∽△OCD，其性质得，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出m＝，线段的中点，反比例函数的性质求出k的值为6．
解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
若＝m，
由OB＝m•OD，OA＝m•OC，
又∵，，
∴＝，
又∵S△OAB＝8，S△OCD＝18，
∴，
解得：m＝或m＝（舍去），
设点A、B的坐标分别为（a，0），（b，0），
∵，
∴点C的坐标为（），
又∵点E是线段BC的中点，
∴点E的坐标为（），
又∵点E在反比例函数上，
∴＝﹣＝，
故答案为6．
17．小刚从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后发现忘带数学作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即匀速跑步去追小刚，同时小刚以原速的两倍匀速跑步回家，爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家．由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小刚从家出发到学校的步行时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则小刚家到学校的路程为2960米．
【分析】根据题意和函数图象可以求得小刚后来的速度，然后根据函数图象中的数据可以求得小刚家到学校的路程．
解：由图可知，小刚和爸爸相遇后，到小刚爸爸回到家用时17﹣15＝2（分钟），
∵爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家，
∴小刚打完电话到与爸爸相遇用的时间为1分钟，
∵由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校，
∴小刚和爸爸相遇之后跑步的1分和爸爸2分钟走的路程是720米，
∴小刚后来的速度为：1040﹣720＝320（米/分钟）
则小刚家到学校的路程为：1040+（23﹣17）×320＝1040+6×320＝1040+1920＝2960（米），
故答案为：2960．
18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．
【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A 且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．
解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
∴CE＝2×CD＝．
故答案为：．
三、解答题。

19．计算：
（1）（3x﹣y）2+（3x+y）（3x﹣y）
（2）解方程：＝
【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）原式＝9x2﹣6xy+y2+9x2﹣y2
＝18x2﹣6xy；
（2）去分母得：2（2x+1）＝4，
整理得：2x+1＝2，
移项合并得：2x＝1，
解得：x＝，
经检验x＝是增根，分式方程无解．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O 交斜边AB于点D．
（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；
（2）直接利用弧长公式求解即可；
（3）利用“阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD”求解即可．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD；
（2）由（1）得∠B＝60°，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴弧BC的长为＝；
（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，
∴CD＝BC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣×2×1＝﹣．21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场
所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90
70 80 95 75 100 90
整理数据
成绩x（分）60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100
甲小区25a b
乙小区3755
分析数据
统计量平均数中位数众数
甲小区85.7587.5c
乙小区83.5d80
应用数据
（1）填空：a＝8，b＝5，c＝90，d＝82.5；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理员的理由．
【分析】（1）数出甲小区80＜x≤90的数据数可求a；甲小区90＜x≤100的数据数可求b；根据中位数的意义，将乙小区的抽查的20人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均数即可为中位数，从甲小区成绩中找出出现次数最多的数即为众数；
（2）抽查甲小区20人中成绩高于90分的人数有5人，因此甲小区成绩大于90分的人数占抽查人数，求出甲小区成绩大于90分的人数即可；
（3）依据表格中平均数、中位数、众数等比较做出判断即可．
解：（1）a＝8，b＝5，
甲小区的出现次数最多的是90，因此众数是90，即c＝90．
中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数，
由乙小区中的数据可得处在第10、11位的两个数的平均数为（80+85）÷2＝82.5，因此d＝82.5．
（2）800×＝200（人）．
答：估计甲小区成绩大于90分的人数是200人．
（3）根据（1）中数据，甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握得更好，理由是：甲小区的平均数、中位数、众数都比乙小区的大．
故答案为：8，5，90，82.5；甲，甲小区的平均数、中位数、众数都比乙小区的大．22．小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是x≠1；
（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝3；x…﹣﹣1﹣023…y…m0﹣1n2…（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：函数图象经过原点且关于点（1，1）对称．
②当函数值+1＞时，x的取值范围是：1＜x＜3．
【分析】（1）由分式的分母不为0可得出x≠1；
（2）将x＝﹣1和x＝代入y＝+1即可求值；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）①观察函数图象，写出一条函数性质；
②观察函数图象可知．
解：（1）由分式的分母不为0得：x﹣1≠0，
∴x≠1；
故答案为：x≠1．
（2）当x＝﹣1时，y＝+1＝，
当x＝时，y＝+1＝3，
∴m＝，n＝3，
故答案为：，3．
（3）如图：
（4）①观察函数图象，可知：函数图象经过原点且关于点（1，1）对称，
故答案为：函数图象经过原点且关于点（1，1）对称．
②观察函数图象，可知：当函数值+1＞时，x的取值范围是1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
23．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的A商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售
（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？
（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售A商品，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，现乙卖家先将标价提高2m%，再大幅降价24m元，使得A商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%后，这样一天的利润达到了20000元，求m的值
【分析】（1）设降价x元，根据利润＝售价﹣成本结合利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设m%＝a，根据利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值，再代入m%＝a中即可得出结论．
解：（1）设降价x元，
依题意，得：（1000×0.8﹣x）≥600×（1+20%），
解得：x≤80．
答：最多降价80元，才能使利润率不低于20%．
（2）设m%＝a，依题意，得：[1000（1+2a）﹣2400a﹣600]•50（1+a）＝20000，整理，得：5a2﹣3a＝0，
解得：a1＝0（舍去），a2＝，
∴m%＝，
∴m＝60．
答：m的值为60．
24．如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；
（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S△ABE＝，求△APE面积的最大值和此动点P 的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得该抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的抛物线解析式可以得到点D的坐标和点C的坐标，然后即可计算出△ACD的面积；
（3）根据（1）中抛物线的解析式，设出点P的坐标，再根据S△ABE＝，可以得到点
E的坐标，然后即可求得△APE面积的最大值和此动点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，
∴a+2a+c＝0，点C的坐标为（0，c），
∴点A的坐标为（c，0），
∴ac2+2ac+c＝0，
∴，
解得，或，
∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∴a＝1，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，抛物线与与y轴交于点C，顶点为D，OA＝OC，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，
∴点D的坐标为（﹣1，﹣4），点C的坐标为（0，﹣3），点A的坐标为（﹣3，0），连接OD，如右图1所示，
由图可知：
S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC
＝
＝3；
（3）∵A（﹣3，0），点B（1，0），
∴AB＝4，
设点E的纵坐标为t，t＜0，
∵S△ABE＝，
∴＝，得t＝，
把y＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得
﹣＝x2+2x﹣3，
解得，x1＝，x2＝，
∵点E在y轴的右侧，
∴点E（，﹣），
设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∴，得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，
设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x﹣3），点G（x，﹣x﹣1），∴PG＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，
又∵A（﹣3，0），E（，﹣），
∴S△APE＝S△APG+S△PEG
＝（﹣x2﹣x+2）（x+3）+（﹣x2﹣x+2）（﹣x）
＝（﹣x2﹣x+2）（3+）
＝（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S△APE取得最大值，最大值是，
把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得
y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，
∴此时点P的坐标为（﹣，﹣）．
25．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．
（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．
（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．【分析】（1）分别计算出a2+b2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，c2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，于是得到a2+b2＝c2，即可得到结论；
（2）讨论：①当x＝37时，利用（m2﹣52）＝37计算出m，然后分别计算出y和z；
②当y＝37时，利用5m＝37，解得m＝，不合题意舍去；③当z＝37时，利用37
＝（m2+n2）求出m＝±7，从而得到当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长．
解：（1）∵a2+b2＝（2n+1）2+（2n2+2n）2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，
c2＝（2n2+2n+1）2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴a2+b2＝c2，
∵n为正整数，
∴a、b、c是一组勾股数；
（2）解：∵a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且c为直角边，
∵n＝5，
∴a＝（m2﹣52），b＝5m，c＝（m2+25），
∵直角三角形的一边长为37，
∴分三种情况讨论，
①当a＝37时，（m2﹣52）＝37，
解得m＝±3（不合题意，舍去）
②当b＝37时，5m＝37，
解得m＝（不合题意舍去）；
③当c＝37时，37＝（m2+n2），
解得m＝±7，
∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，
∴m＝7，
把m＝7代入①②得，a＝12，b＝35．
综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．26．【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD 上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB 的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．
【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE ＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF ＝∠BAE+∠DAF；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．
解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：
如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AB＝AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．。