第11讲 电偶极子
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电偶极子
电偶极子是一种常见的带电结构。 所有有极分子都属于电偶极子。
1 基本概念
电偶极子：等量异号电荷+q、-q，相距为l，l 相较 于场点距离很小. 电偶极子的轴：从-q 指向+q 的矢量 l
电偶极矩(electric moment) ： p e q l
l
-q
+q
-1 -1
CH3
CH2
OH
O
C
O
?
?
+2
CO2分子不是电偶极子 酒精分子是电偶极子 水分子是电偶极子
2 电偶极子在均匀电场中所受的和力与和力矩 受力分析
F F F 0
q
l 2
M F
l 2
o
sin F qE
p ql
sin F
E
F qE
习题选讲
1. 已知两杆电荷线密度为λ, 长度为L, 相距L . 求两带 电直杆间的电场力. 解：（1）距离原点x处取元电荷dq = λdx，在x轴上 距离原点为a （a > L）的空间点形成的场强为 dx
dE
dx
4 0 ( a x )
2
L 0
0
x L
2
2L a 3L
a点的总场强为
E
dx
4 0 a x
（2）距离原点x（2L < x <3L）处取电荷元dq = λdx， 其所受电场力为
1 1 dF Edq dx 4 0 x L x 则右侧棒受到的合力为
F
1 1 4 0 a L a
2 0
ln 2
4 0
Biblioteka Baidu
4 0 x
CD段在O点的总电势为
U CD
dU
2R R
dx
4 0 x
4 0
ln 2
AB段在O点的电势与CD段相同，即UAB = UCD。 CD段在O点的总电势为 则O点的总电势为
U U
AB
U BC
dU
R
0
dl
4 0 R
4 0
U BC U CD
p 4 0 y
3
y
B
r
A点(y = 0)
Ey 0
q
Ex
2p 4 0 x
3
O l
q
A
x
如何理解带电球面内的场强为0 ?
E 0
E
q 4 0 r
2
ˆ r
过P点作圆锥 则在球面上截出两电荷元
d q1 d S 1 dq2 dS 2
dE1
解： 取同心球面为高斯面
电通量 e E 4 r
r
2
kr
r R
q k r 4 r d r k r
2 0
r
4
由高斯定理得： E
R
k r
4 2
4 0 r
kr
2
R
4 0
k R
4 2
r R
2 4 q k r 4 r d r k R E 0
dx
二者方向相反, 8 0 R 大小相等。
2 0 R
4 0 x
2
E
dE
y
2
2 0
Rd
4 0 R
2
co s
所以O点的场强为： E
2 0 R
ˆ j
(2) CD段上，在x处取电荷元dq=λdx。在O点的电 dx 势为 dU
P
dq 1
dq 2
d q 1 在P点场强
dS1
4 0 r1
2
4 0
d
方向 如图
dq 2
在P点场强
dE 2
dS 2
4 0 r2
2
4 0
d
方向 如图
dE1 dE 2
立体角示意图
立体角：物体在一个以观测点为球心的球面上的投影面积与半径平方的比值。 平面角：圆的弧长与半径的比值。
q
矢量式 M p e E p 可见： e E力矩最大；pe / / E力矩最小。
q lE sin
力矩总是使电矩 pe 转向 E 的方向，以达到稳定状态
例题1
求电偶极子电场中任一点P 的电势.
解： 由叠加原理
U P U1 U 2
2
x x y
2
3
r2
2
px ( x y )2
2
q
O
r r 1
q
x
l
例题2
计算电偶极子电场中任一点的场强。
1
2
解：U U ( x , y )
U x
px
2 3 2
4 0 ( x y )
p 3x
2 5
Ex
4 0 ( x 2 y 2 )
[
2 2
1 (x y )
2 3 2
]
Ey
U y
p
3 xy
5 2
4 0 ( x 2 y 2 )
Ex
p
4 0 ( x 2 y 2 )
[
3x
2 5 2
2
1 (x y )
2 3 2
]
Ey
p
2
3 xy
2 5 2
4 0 ( x y )
B点(x = 0)
Ex
Ey 0
若 r l
q 4 0 r1
q 4 0 r2
q ( r2 r1 ) 4 0 r1 r2
2
r2 r1 l co s
r1 r2 r
y
P ( x, y )
U
2
q 4 0
2
l co s r
2
2
其中 r x y co s
U 1 4 0
3L 2L
2 1 1 4 2 dx ln L 4 0 x L x 4 0 3
2. 如图所示，半径R的非金属球体内，电荷体密度 为ρ = k r，式中k为大于零的常量，求： （1）球体内任意一点的场强E1（r）； （2）球体外任意一点的场强E2（r）。
4 0 r
kR
4 2
4 0 r
3. 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正 电荷, 两直导线的长度和半圆环的半径都等于R。试 求环中心O点处的场强和电势。 解：(1) 在x处取电荷元dq=λdx。 在O点的场强为
dE
dx
dx
2R
4 0 x
2
x
8 0 R
CD段在O点的场强 E d E R 同样可求AB段在O点的场强 E 而BC段在O点的场强易求，为
电偶极子是一种常见的带电结构。 所有有极分子都属于电偶极子。
1 基本概念
电偶极子：等量异号电荷+q、-q，相距为l，l 相较 于场点距离很小. 电偶极子的轴：从-q 指向+q 的矢量 l
电偶极矩(electric moment) ： p e q l
l
-q
+q
-1 -1
CH3
CH2
OH
O
C
O
?
?
+2
CO2分子不是电偶极子 酒精分子是电偶极子 水分子是电偶极子
2 电偶极子在均匀电场中所受的和力与和力矩 受力分析
F F F 0
q
l 2
M F
l 2
o
sin F qE
p ql
sin F
E
F qE
习题选讲
1. 已知两杆电荷线密度为λ, 长度为L, 相距L . 求两带 电直杆间的电场力. 解：（1）距离原点x处取元电荷dq = λdx，在x轴上 距离原点为a （a > L）的空间点形成的场强为 dx
dE
dx
4 0 ( a x )
2
L 0
0
x L
2
2L a 3L
a点的总场强为
E
dx
4 0 a x
（2）距离原点x（2L < x <3L）处取电荷元dq = λdx， 其所受电场力为
1 1 dF Edq dx 4 0 x L x 则右侧棒受到的合力为
F
1 1 4 0 a L a
2 0
ln 2
4 0
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4 0 x
CD段在O点的总电势为
U CD
dU
2R R
dx
4 0 x
4 0
ln 2
AB段在O点的电势与CD段相同，即UAB = UCD。 CD段在O点的总电势为 则O点的总电势为
U U
AB
U BC
dU
R
0
dl
4 0 R
4 0
U BC U CD
p 4 0 y
3
y
B
r
A点(y = 0)
Ey 0
q
Ex
2p 4 0 x
3
O l
q
A
x
如何理解带电球面内的场强为0 ?
E 0
E
q 4 0 r
2
ˆ r
过P点作圆锥 则在球面上截出两电荷元
d q1 d S 1 dq2 dS 2
dE1
解： 取同心球面为高斯面
电通量 e E 4 r
r
2
kr
r R
q k r 4 r d r k r
2 0
r
4
由高斯定理得： E
R
k r
4 2
4 0 r
kr
2
R
4 0
k R
4 2
r R
2 4 q k r 4 r d r k R E 0
dx
二者方向相反, 8 0 R 大小相等。
2 0 R
4 0 x
2
E
dE
y
2
2 0
Rd
4 0 R
2
co s
所以O点的场强为： E
2 0 R
ˆ j
(2) CD段上，在x处取电荷元dq=λdx。在O点的电 dx 势为 dU
P
dq 1
dq 2
d q 1 在P点场强
dS1
4 0 r1
2
4 0
d
方向 如图
dq 2
在P点场强
dE 2
dS 2
4 0 r2
2
4 0
d
方向 如图
dE1 dE 2
立体角示意图
立体角：物体在一个以观测点为球心的球面上的投影面积与半径平方的比值。 平面角：圆的弧长与半径的比值。
q
矢量式 M p e E p 可见： e E力矩最大；pe / / E力矩最小。
q lE sin
力矩总是使电矩 pe 转向 E 的方向，以达到稳定状态
例题1
求电偶极子电场中任一点P 的电势.
解： 由叠加原理
U P U1 U 2
2
x x y
2
3
r2
2
px ( x y )2
2
q
O
r r 1
q
x
l
例题2
计算电偶极子电场中任一点的场强。
1
2
解：U U ( x , y )
U x
px
2 3 2
4 0 ( x y )
p 3x
2 5
Ex
4 0 ( x 2 y 2 )
[
2 2
1 (x y )
2 3 2
]
Ey
U y
p
3 xy
5 2
4 0 ( x 2 y 2 )
Ex
p
4 0 ( x 2 y 2 )
[
3x
2 5 2
2
1 (x y )
2 3 2
]
Ey
p
2
3 xy
2 5 2
4 0 ( x y )
B点(x = 0)
Ex
Ey 0
若 r l
q 4 0 r1
q 4 0 r2
q ( r2 r1 ) 4 0 r1 r2
2
r2 r1 l co s
r1 r2 r
y
P ( x, y )
U
2
q 4 0
2
l co s r
2
2
其中 r x y co s
U 1 4 0
3L 2L
2 1 1 4 2 dx ln L 4 0 x L x 4 0 3
2. 如图所示，半径R的非金属球体内，电荷体密度 为ρ = k r，式中k为大于零的常量，求： （1）球体内任意一点的场强E1（r）； （2）球体外任意一点的场强E2（r）。
4 0 r
kR
4 2
4 0 r
3. 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正 电荷, 两直导线的长度和半圆环的半径都等于R。试 求环中心O点处的场强和电势。 解：(1) 在x处取电荷元dq=λdx。 在O点的场强为
dE
dx
dx
2R
4 0 x
2
x
8 0 R
CD段在O点的场强 E d E R 同样可求AB段在O点的场强 E 而BC段在O点的场强易求，为