不等式导学案
不等式导学案
x
12x
比较480与12x的大小
48＜12x成立吗？
30
40
41
42
由上表可见，至少要__________人时进电影院，购团体票才合算.
教
学
反
思
组长签字：
注：
⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.
⑵代入法是检验不等式的解的重要方法.
五、能力拓展
学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上（含50人）的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票.
七年级数学导学案
课题
认识不等式
备课教师
申晓玲
教学目标
1.了解不等式及不等式的解的概念，会从实际问题中建立不等式的数学模型。
2.能判断一些数是否不等式的解，能根据题意列出不等式。
教学重点
不等式及不等式的解的概念
教学难点
会从实际问题中建立不等式的数学模型
教学过程
个案补充
一激趣定标，自主学习：
（一）看课本50页问题：
1.李敏的提议用了多少钱？小华的方法用多少钱？
2.分析上面的问题:设有x人要进世纪公园,若x＜30, 则又该如何买票呢？填写51页表格
3.结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?
填写51页填空：
概括：
（1）、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号＞,＜,≥,≤.
（2）、不等式的解：能使不等式成立的未ห้องสมุดไป่ตู้数的值,叫做不等式的解.
8.1《不等式的基本性质(2)》导学案
8.1.2不等式的基本性质【学习目标】1.经历探索的过程，掌握不等式的基本性质；2.会运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。
【学习重难点】会运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。
【学习过程】一、课前准备任务一：阅读教材内容，思考并总结本节课学习的主要内容有哪几个，写在下面：任务二：阅读课本86页交流与发现的内容，解决下列问题。
1.什么叫做不等式？2.你能从现实生活中举出几个表示不等关系的不等式吗？二、学习新知任务三：探究不等式基本性质3.甲的年龄为a岁，乙的年龄为b岁，如果甲的年龄比乙大，则用不等式表示a与b的大小关系为；c年后，它们二人谁的年龄大？用不等式表示为；c年前，他们二人谁的年龄大？用不等式表示为。
4.在数轴上，点A与点B分别对应实数a、b，并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a、b之间的大小关系为；如果同时将点A、B向右（或向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′、B′,用不等式表示点A′、B′所对应的数的大小关系为。
5.不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向。
即如果a＞b，那么a±c b±c。
举例说明：。
6.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向。
即如果a＞b,c＞0,那么ac bc。
举例说明：。
7.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向。
即如果a＞b,c＜0,那么ac bc。
举例说明：。
任务四：例题学习阅读例题后，独立解答。
三、合作交流问题一：不等式的意义1.表示不等关系的符号（不等号）都有哪几种？2.什么叫做不等式？问题二：不等式的基本性质3.不等式基本性质1：数学语言叙述：；自然语言叙述：；证明：如果a＞b，因为（a+c）－（b+c）＝a－b 0，所以。
4.不等式基本性质2：数学语言叙述：；自然语言叙述：；证明：如果a＞b，c＞0，因为ac－bc＝c(a－b) 0，所以。
不等式的性质(1)(2)
2.1不等式的基本性质1（导学案）组卷人：苏卫国审卷人：刘金涛姓名：学号：一、学习目标：1、学会用两个实数差的符号来规定两个实数大小2、掌握不等式的基本性质，并能加以证明；二、复习旧知：1、a>b是a-b>0的条件；a=b是 a-b=0的条件；a<b是a-b<0的条件。
以上是证明不等式性质的基础。
2、在初中我们学习了以下等式的性质：a=b，b=c⇒a=c；a=b，c=d⇒a+c=b+d；a=b⇒ac=bc。
三、新课导学：1．通过类比等式的性质，得到关于以下不等式的三个结论；请你判断它们是否正确，正确的加以证明；错误的举反例。
结论1 如果a>b，b>c，那么a>c。
结论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
结论3 如果a>b，那么ac>bc。
同学们；结论3是否正确如果不正确，你能改变条件，让它成为正确命题吗？试试看：通过以上结论的推敲请同学们根据课本自己归纳不等式的基本性质性质1性质2性质3性质4你能给它们分别起一个名字吗？试试看。
利用以上性质证明下面结论：性质（5）如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd 。
性质（6）如果a >b >0，那么0ba 11<<。
四、课堂探究例1．判断下列命题的真假。
（1）若a >b ，那么ac >2bc 2。
（2）若ac >2bc 2，那么a >b 。
（3）若a >b ，c >d ，那么a-c >b-d 。
（4）若cda b <，那么ad bc <。
例2．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举出反例。
（1）如果a >b ，c >d ，那么ac >bd 。
变式：a >b 0>，c >d 0>，那么ac >bd 。
不等式导学案
【教学目标】知识技能:①了解不等式及其解的概念.②掌握不等式的性质.过程方法:①通过例题学习，了解不等式及其解的意义②经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质情感态度价值观:①学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力。
②在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯．【教法指导】本节课是人教版九年制义务教育七年级下册第九章《不等式与不等式组》的第一节课时，本节课是在学生学习了等式的基础上，让学生通过类比、猜测、等探索不等式及其性质，由浅入深，循序渐进，引导学生积极参与教学活动，培养学生的数学兴趣。
通过不等式的学习，就能解决更多的实际问题。
【教学过程】☆导入新课☆现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.相等的关系，等式我们已经学习过了。
那么不相等的关系，我们又是如何用数学语言来描述的呢？又是如何来解答不相等的关系呢？☆探究新知☆如图所示,处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码,左盘放上一个圆球后向左倾斜,问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样关系？答：通过图片我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x > 50.像x>50这样的式子，用不等符号“>”、“<”“≤”“≥”“≠”等连接而成的式子叫做不等式。
下面给出的数中，能使不等式x>50成立吗？你还能找出其他的数吗？20、50、100答：当x=20时，20<50，不成立；当x=50时，50=50，不成立；当x=100时，100>50，成立；能使x>50数有无数个。
我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，与方程类似 , 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.求不等式的解集的过程叫解不等式想一想：不等式的解和不等式的解集是一样的吗?不等式的解与解不等式一样吗？答：不等式的解可以指单个解；不等式的解集是指一个范围；不等式的解是一个结果；解不等式是一个过程。
不等式的基本性质
不等式的基本性质导学案☆学习目标： 1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;2 .掌握比较两个实数大小的一般步骤一、课前准备（请在上课之前自主完成）1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：0b a b a -⇔> 0b a b a -⇔= 0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的 的符号即可。
2. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ；30. 同加性：⇒>b a ； 推论：同加性：⇒>>d c b a , ； 30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)b a b a ⇔> 1 b a b a ⇔= 1 ba b a ⇔< 1 二、新课导学☆案例学习： 例1 若3042,1624,x y <<<<则:(1)x y +的取值范围是是__________;(2)23x y -的取值范围是_____________;(3)x y 的取值范围是______________________. 例2 （1）若[]1,3x ∈--，则1x ∈___________; (2)若[]1,3x ∈,则1x ∈____________; (3)若(],1x ∈-∞,则1x ∈____________; (4)若[)2,x ∈+∞,则1x ∈____________; (5)若()0,3x ∈,则1x ∈____________; (6)若()2,3x ∈-,则1x∈___________________. 例3（1）.若0<<b a ，则下列不等关系中不成立的是（ ）A ．b a 11> B ．ab a 11>- C ．b a > D ．22b a > （2）已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. ab ac > B. c b a ()-<0 C. cb ab 22< D. ac a c ()->0（3） 对任意实数,,a b c ，在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件（4） 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )（A ）ba 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a > （5） 若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a例4 ()1若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.例5 若2()f x ax c =-满足4-≤(1)f ≤1-，1-≤(2)f ≤5，求(3)f 的取值范围.三、当堂检测1．判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。
高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案
【学习要求】
1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质．
不等关系与不等式
如果 a－b 是正数，那么 ；
如果 a－b 是负数，那么
；
【学法指导】
1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成 “数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即 可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻 底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．
如果 a－b 等于零，那么
.
【知识要点】
1．不等式：用数学符号<，≤，>，≥或≠表示 式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 的
至多 ≤
至少 ≥
不少于 ≥
不多于 ≤ ，那么 a<b，
3．比较实数 a，b 大小的依据 （1）文字叙述：如果 a－b 是 ，那么 a>b；如果 a－b 等于 ，那么 a＝b；如果 a－b 是 反过来也对． （2）符号表示:a－b>0⇔ ;a－b＝0⇔ ;a－b<0⇔ . 4．常用的不等式的基本性质 （1）a>b⇔b a(对称性)； （2）a>b，b>c⇒ a c(传递性)； （3）a>b⇒ a＋c b＋c(可加性)； （4）a>b，c>0⇒ ac bc；a>b，c<0⇒ ac bc； （5）a>b，c>d⇒ a＋c b＋d； （6）a>b>0，c>d>0⇒ ac bd； （7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ an bn； （8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a n b.
不等式导学案1
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组§2.1 不等关系一、学习目标1. 感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义；2. 理解实数范围内代数式的不等关系，能够根据具体的事例列出不等关系式；3．初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一，训练分析判断能力和逻辑推理能力．二、学习重点根据具体的事例列出不等关系式.三、学习过程【课前预习自主学习】3、用不等式表示：（1）x的一半与5的差小于1；（2）x与6的和大于9；（3）8与y的2倍的和是正数；（4）x与8的差不大于0.【合作探究课堂导学】一般地，式子叫做不等式．【例1】用不等式表示:（1）a是正数；（2）a是负数；（3）a与6的和小于5；（4）x与2的差小于－1；【互助释疑精讲点拨】【例2】如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各围成正方形和圆．（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？（4）由（3）你能发现什么？改变L 的取值再试一试．在上面的问题中，所围谓成的正方形的面积可以表示为（L /4）²，圆的面积可以表示为π（L /2π）² ．（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是 （L /4）²≤25， 即 L ²/16≤25． （2）要使原的面积大于100㎝²，就是 π（L /2π）²＞100， 即 L ²/4π＞100．（3）当L =8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为8²/4π≈5.1，4＜5.1 此时圆的面积大． 当L =12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为12²/4π≈11.5，9＜11.5 此时还是圆的面积大． （4）由（3）可以发现，无论绳长L 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 L ²/4π＞L ²/16． 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？162l ≤25 π42l >100 π42l ＞162l 3x+5＞240，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知：结论：用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式. 【巩固练习 达标测评】1. 下列式子中，是不等式的有① x+y, ② 3x ﹥7, ③ 2x+3=5, ④ -2>0, ⑤ x≠3,⑥ x+3≤y+1, ⑦ x 2+ xy -2y ≥52．“x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差”用不等式表示为（ ）A.321)4(2-<+x x B.32124-≤⨯+x x C.321)4(2-≤+x x D.)3(21)4(2-≤+x x 3．下列各数：0.5，0，－1，π，1.5，2，其中使不等式x ＋1＞2成立的是（ ）A. 0.5，0，－1B. 0，－1，πC. －1，π，1.5D. π，1.5，2 4．根据下列数量关系列不等式：（1）a 是正数； （2）a 的绝对值是非负数； （3）x 的3倍与1的差大5； （4）x 的一半不小于3； （5）x 的31与x 的2倍的和是非负数； （6）a 与b 两数和的平方不超过3； （7）a 的4倍大于a 的3倍与7的差； （8）x 的3倍与8的和比x 的5倍大 ； （9）a 的3倍与b 的和不大于0；（10）直角三角形斜边c 比它的两直角边a ，b 都长. 【学后反思】知识： 方法： 【拓展延伸】a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：（1）a______b; （2）|a|______|b|; （3）a+b_________0;（4）a －b_______0; （5）a+b_______a －b; （6）ab______a.§2.2 不等关系式的基本性质一、学习目标1．探索并掌握不等式的基本性质； 2. 理解不等式与等式性质的联系与区别. 二、学习重点归纳并运用不等式的基本性质． 三、学习过程【课前预习 自主学习】1．阅读教材：我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变. 如： ∵3＜5 ∴3+2＜5+2 ； 3－2＜5－2；2．回答问题：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，那么结果会怎样？ 如： 3+a ＜5+a ； 3－a ＜5－a 是否成立？3．完成填空： 2＜3， 2×5 3×5；2＜3， 212⨯ 213⨯；2＜3， 2×（-1） 3×（-1）； 2＜3， 2×（-5） 3×（-5）； 2＜3， 2×（21-） 3×（21-）.4. 不等式的基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向 ； 不等式的基本性质2： 在不等式的两边同乘以（或除以）一个正数时，不等号的方向 ； 不等式的基本性质3： 在不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向 .【互助释疑 精讲点拨】（1）若a ＞b ，则2a+1 2b+1; （2）若y 45-＜10，则y -8； （3）若a ＜b ，且c ＞0，则ac+c bc+c ； （4）若a ＞0，b ＜0， c ＜0，（a-b ）c 0. 【例2】将下列不等式化成“a x >”或“a x <”的形式：（1）15->-x （2）32>-x【例3】由（m-1）x>m-1得到x<1，则m 的取值范围是 .【巩固练习 达标测评】1.（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由.① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）； ③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则① b a + c b + ② b a - c b - ③ ac c bc (＞0） ④c a cb（c ＜0） 2.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －2＜3; （2）6x ＜5x －1; （3）－4x ＞3.3.判断正误. 若a ＞b .则（1）a －3＜b －3; （ ） （2）2a ＞2b; （ ） （3）－4a ＞－4b ;（ ） （4）5a ＜5b ;（ ） （5）ac>bc ；（ ） （6） a 2c >b 2c ；（ ） （7）2a > 2b ；（ ） （8）2c a >2c b；（ ） （9） 3-a>3-b .（ ） 【学后反思】知识： 方法： 【拓展延伸】 1.判断正误（1）若x-y>x ,则y>0（ ） (2) 若a 2c >b 2c ，则a ＞b （ ） 2. 如果10<<x ，则下列不等式成立的（ ） A 、 x x x 12<< B 、x x x 12<< C 、21x x x << D 、x x x<<213. a 是任意有理数，试比较5a 与3a 的大小.§2.3 不等式的解集一、学习目标1. 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.2. 理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.3. 会在数轴上表示不等式的解集. 二、学习重点了解不等式的解、解集的含义，会在数轴上表示解集. 三、学习过程【课前预习 自主学习】1. 还记得怎么解一元一次方程、二元一次方程吗？还记得它们的解的含义吗？想一想：（1）x =5,6,8能使不等式x ＞5成立吗？（2）是否还能找出一些使不等式x ＞5成立的x 的值？2. 类比方程，阅读教材，归纳结论：(1)能使不等式 ，叫做不等式的解.不等式的解有时有 个，有时有有限个，有时 .(2)一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的 ，求不等式的 的过程叫做解不等式.【合作探究 课堂导学】1. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，那么导火线的长度应为多少厘米？分析：人转移到安全区域需要的时间最少为 秒，导火线燃烧的时间 为 秒，要使人转移到安全地带，必须有： ＞ . 解：设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得2. 尝试在数轴上表示出下列不等式的解集：（1）x ＞-1； （2）1-≥x ； （3）x ＜-1； （4）1-≤x注意：数轴上表示不等式的解集遵循（1）大于向右走，小于向左走 （2）有“ = ”用实心小圆点,没有“ = ”用空心圈. 【互助释疑 精讲点拨】【例1】判断下列说法是否正确：（1）2=x 是不等式3+x ＜4的解；（ ） （2）2=x 是不等式x 3＜7的解集；（ ） （3）不等式x 3＜7的解是2=x ；（ ） （4）3=x 是不等式93≥x 的解.（ ） 【例2】在数轴上表示下列不等式的解集.（1）x>3; (2) x<﹣2; (3) x≥121; (4) ﹣3 < x ≤ 1.【巩固练习 达标测评】 备选答案： 1．（1）不等式43-≤x 的解集是（ ），解集是图（ ）； A.25-≤x B.x ＜0 （2）不等式324x x ->的解集是（ ），解集是图（ ）； C.34-≤x D. x ＞0 （3）不等式x 53-＞0的解集是（ ），解集是图（ ）； （4）不等式52≥-x 的解集是（ ），解集是图（ ）.2．求不等式3+x ＜6的正整数解.3．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( )A 、x ＜8B 、x ＞8C 、x ＜－8或x ＞8D 、－8＜x ＜8 【学后反思】知识： 方法： 【拓展延伸】 已知关于x 的方程4152435-=-m m x 的解为非负数，求m 的取值范围，并在数轴上表示出来.§2.4.1 一元一次不等式（一）一、学习目标1. 了解什么是一元一次不等式；2. 会解一元一次不等式；3．培养学生运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识． 二、学习重点解一元一次不等式. 三、学习过程【课前预习 自主学习】 观察下列不等式：(1)2x-2.5≥1.5 (2)x≤8.75 (3)x<4 (4)5+3x>240这些不等式有哪些共同点？结论：左右两边都是 ，只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元一次不等式.【合作探究 课堂导学】【例1】解下列不等式，写出详细步骤，并把它的解集表示在数轴上（1） 3-x < 2x +6 （2） 22-x ≥3x-7归纳：解一元一次不等式的步骤：【例2】 已知关于x 的不等式32125+>-+ax x 的解集为21<x 求a 的值【巩固练习 达标测评】1. 下列不等式是一元一次不等式吗？（1）2x －2.5≥15; （2） 5+3x =240; （3） x >－4; （4）x1＞1. （5） x （x+3）>-2 （6） xy -3>0 2. 已知不等式x ﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知点M （1﹣2m ，m ﹣1）关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示应是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.(1) x-4≥2(x+2) （2） －3x +12≤0; （3）21-x ＜354-x ; （4）27+x －1＜223+x .【学后反思】知识： 方法： 【拓展延伸】若关于x 的不等式x <2x +a 与2x >4的解集相同，求a 的值.§2.4.2 一元一次不等式（二）一、学习目标1.进一步熟练掌握解一元一次不等式；2.会利用一元一次不等式解决简单的实际问题. 二、学习重点用一元一次不等式解决简单的实际问题. 三、学习过程【课前预习 自主学习】温故知新：解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上 （1）132<-x x （2）2235-+≥x x【合作探究 课堂导学】【例1】一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？【例2】小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？小结：解一元一次不等式应用题的步骤：点评：解决这类问题的关键是理解题意，抓住“超过”、“不足”、“以上”、“最多”、“最少”、“至少”等关键词语，将其转化为不等式，并结合实际意义寻求最后的答案。
不等式导学案
9. 1. 不等式及其解集导学案学习目标：1．了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集2．培养学生的数感，渗透数形结合的思想.学习重点重点:不等式的解集的表示.难点:不等式解集的确定.课前预习：一、阅读教材P121－P123的内容二、独立思考：1．一个组成这个不等式的解集.2．含有,未知数的是的不等式,叫做一元一次不等式.3. 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是?-3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.54. 用不等式表示(1)a与1的和是正数;(2)y的2倍与1的和大于3 ;(3)x的一半与x的2倍的和是非正数;(4)c与4的和的30%不大于-2 ;(5)x除以2的商加上2,至多为5 ;(6)a与b两数的和的平方不可能大于3 .互动教学过程：探究一：某次数学测验中，共有20道选择题.评分办法是:每答对1道题得5分，答错1道题扣1分，不答不给分.若某学生只有1道题未答，那么他至少要答对多少道题，成绩才不会低于80分.请根据题意列出正确的不等式(不求解).探究二：若方程(m+2)x=2的解为x=2，想一想，不等式(m-2)x＞-3的解集是多少?试探究-2，-1，0，1，2这五个数中哪些数是该不等式的解.探究三：在数轴上表示下列不等式的解集:(1).x≥-3；(2)x＜0；(3)x＞2.探究四：求出适合下列不等式的x的整数解，并在数轴上表示出来.(1)2＜x＜7；(2)-4＜x＜-2；(3)1≤|x|≤3.自我能力评估一、课堂练习1、教材P123练习题2、写出不等式x-5＜0的一个整数解:__________.3、如图所示，图中阴影部分表示x 的取值范围，则下列表示中正确的是( )A.x ＞-3＜2B.-3＜x ≤2C.-3≤x ≤2D.-3＜x ＜24、表示该不等式的解集__________，x__________ .5、直接想出下列不等式的解集:(1)x-3＞6的解集是______ ； (2)2x ＜12的解集是________；(3)x-5＞0的解集是_________； (4)21x ＞5的解集是_________. 二、作业布置：教材P128习题9.1第1、2、3、4、5题三、自我检测：1.用语言叙述下列各式: (1)32x+5＞1 . (2)x-6≤9 .(3)2(8+y)≥0 .(4)3a-7≤0 .2.用不等式表示下列各式:(1)x 与y 的差的平方大于x ，y 两数的平方差 .(2)x 的32与3的差比x 的一半小 . (3)y 除以2的商加上9，至多为3 .(4) 上衣单价m 元,长裤单价n 元.三件上衣与四条长裤的总价钱低于500元（5）a 与b 两数和的平方不小于8 ;(6)x 的3倍的相反数大于x 的相反数 ;(7)a 的21与b 的3倍的和是非负数 ； (8)x 与5的75％不大于-6 ；(9)a 与b 两数和的平方不能小于8 ；(10)m 与3的差的2倍小于它与4的和 .2.在数学表达式①-5＜0；②3a ＜2b-1；③a ≠b ；④x 2-1＞x ；⑤x=5；⑥m 3-2mn+n 2①2x=2008;②3＞12;③x ≠4-3;④5a+6b;⑤31x ＞2y ；⑥1≤3x+5m 中是不等式的是__________(填序号)3.表示了某个不等式的解集，该解集中所含的自然数解的个数是( )A.4B.5C.6D.74.用计算器探索:按一定规律排列的一组数:201,191,,121,111,101 ，如果从中选出4若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选__________个数.5.如果a+b ＜0，且b ＞0，那么a 、b 、-a 、-b 的大小关系为__________.6.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是__________.7.写出不等式x-5＜0的一个整数解:__________.8.ag 糖水中含bg 糖(a ＞b ＞0)，则糖的质量与糖水质量的比为__________，若再添加cg 糖(c ＞0)，则糖的质量与糖水质量的比为__________，生活常识告诉我们:添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列的式子及生活常识提炼出一个不等式__________.9.不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是__________.10.已知-1＜x ＜0，试用“＜”号把x ，x 2，x1连接起来: . 11.正方形的边长为xcm ，它的周长不超过160 cm ，则用不等式表示为__________.12.若0＜a ＜1，则下列四个不等式中正确的是( )A.a ＜1＜a 1B.a ＜a 1＜1C.a 1＜a ＜1D.1＜a1＜a 13.在下列各数-2，-2.5，0，1，34,35中，是不等式32x ＞1的解有__________，是32-x ＞1的解有_____________. 14.若3)5(2x --的值是非正数，则x=__________ 15.“a 不是负数”这句话可用数学式子表示为_________16.如果a ＜-1，则a 与-a 的关系是__________.17.阅读下列材料并完成填空:你能比较20072008和20082007的大小吗?为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n+1和(n+1)n 的大小(n ≥1的整数).然后，从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形着手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.(1)通过计算，比较大小(填“＞”、“=”、“＜”号) ①12___21；②23___32；③34__43.(2)从第(1)，可以猜想出n n+1与(n+1)n 的大小关系是__________(3)根据上面归纳，可以猜想20072008___20082007(填“＞”、“=”、“＜”号)18. 在数轴上表示下列不等式的解集:(1)x ＞-2.5 (2)x ≤3.5 (3)-3.5≤x ＜42. 不等式的性质（1）导学案学习目标：1. 掌握不等式的性质；2. 学会解不等式.学习重点：解不等式难 点：不等式性质3.课前预习：一、阅读教材P123－P125的内容二、独立思考：1、已知a ＜b ，用“＞”或“＜”填空:（1）a+6_____b+6；（2）4a____4b ； (3) 2a-2b______0；(4)-2a____-2b ； (4)3a ___3b ；(5)6a -_____6b -；(6) a-3____b-32. 若a ＜b ，m ＜0，则am____bm.若x ＜y ＜0则x 1___y1；|x|__|y|. 3. 已知x ＜y ，要得到-ax ＞-ay ，那么a 应满足的条件是__________.4. 若21-a ＜21-b ，则a__b ；若5x-5y ＞0，则x__y 5.若a ＞b ，则a-b__0；若a ＜b ，则a-b___0.互动教学过程：探究一：下列结论:①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ac ＞bc ，则a ＞b ③若a ＞b ，且c=d ，则ac ＞bd ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b.其中正确的有__________(填序号). 探究二：解下列不等式(1)10＜12+x ； (2)4-3x ＜4x-3； (3)32x -+1＞21-x自我能力评估一、课堂练习1. 如果a>b ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．a －3>b －3B ．3a>3bC ．33a b >D ．－a>－b 2. 有理数a ，b 在数轴上的对应点分别在原点两侧，且a 比b 距离原点远，则式子(a+b)(a-b)__________0.3.当-3x-1＜8时，x 的取值范围是__________.4.不等式__________的解集是x ＞2.5．满足不等式21x+4＞2的正整数解为__________. 自我能力检测1．若a<b ，c ≠0，则ac 2_____bc 2．2．若－3x >－2，则x_____6． 3．由（a －5）x<a －5，得x>1，则a 的取值范围是______4．若－a>－2a ，则a 的取值范围是（ ）A ．a>0B ．a<0C ．a ≤0D ．a ≥05．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列关系中，正确的是（•）A ．ab>bcB ．ac>abC ．ab<bcD ．c+b>a+b6．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．A.2B.3C.4D.57．下列判断：①若ac 2>bc 2，则a>b;②若a>b ，则a │c │>b │c │；③若a>b ，则b a<•1；④若a>0，则b －a<b ．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.已知a ＞b ＞0，则下列不等式不一定成立的是 ( )A.ab ＞b 2B.a+c ＞b+cC.a 1＞b1 D.ac ＞bc 9.不等式2-x ＞1的解集是( )A.x ＞1B.x ＜1C.x ＞-1D.x ＜-110．李博从一个文具店买了3只笔，每支m 元，又从另一文具店买了2只笔，每只n 元，后来他以平均每只2m n +元的价格把笔全部卖给了 胜昔，结果他赔了钱，原因是（ ）A ．m>nB ．m<nC ．m=nD ．与m 和n 的大小无关13. 当a 在什么范围内取值时，关于x 的方程（a+2）x －5=1－a （3－x ）的解不大于2．解不等式 （1）12x +－3x <56； （2）21y-1＞7-23y（3）13<14（8－x ）； （4）－5x+6<4x －12． （5）5x-2＜3x+1914.某家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表:现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元.问最多可购买羽绒被多少条? 11．已知－m+5>－n+5，试比较10m+8与10n+8的大小．4．某商店有一架左右不等臂的天平，当顾客购质量为2mkg•的货物时，营业员先在左盘放上mkg的砝码，右盘放上货物，待天平平衡后把货物给顾客，•然后右盘放砝码，左盘放货物．这样，顾客两次共得货物2mkg，你认为这种交易公平吗？•谁吃亏了？1．（阅读理解题）阅读下列材料：试判断a2－3a+7与－3a+2的大小．分析：要判断两个数的大小，我们往往使用作差法，即若a－b>0，则a>b；若a－b<0，•则a<b；若a－b=0，则a=b．解：因为（a2－3a+7）－（－3a+2）=a2－3a+7+3a－2=a2+5，a2≥0．所以a2+5>0，所以a2－3a+7>－3a+2．阅读后，应用这种方法比较222222123a b a b-+-+与的大小．2．已知x+y>0，根据不等式的基本性质，•你可以推出一些什么样的不等式？3.不等式的性质（2）导学案学习目标；掌握不等式的性质,并利用不等式的性质解决简单的实际问题。
基本不等式导学案
基本不等式导学案（一）知识讲解1、重要不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”号） 证明：注：2、基本不等式：如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2，（当且仅当a=b 时取“=”号） 证明：注：例1、已知R c b a ∈,,，求证：bc ac ab c b a ++≥++222例2、已知a >0，b >0求证：2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+例3、已知x >0，y >0（1）若积xy 为定值P ，求和y x +的最小值：（2）若和y x +为定值S ，求积xy 的最大值。
练习1、R c b a ∈,,且均不为0，求证（1）)(444c b a abc c b a ++≥++ （2）222222222222c b a cb a b ac a c b ++≥++2、证明下列不等式（1）a a 212≥+ （2）2)2(b a ab +≤ （3）2)21(b b +≤ （4）x ，y 同号，2≥+xy y x（5）a >0，x >0，则a xa x 2≥+ （6）b b a ba (22-≥>0）基本不等式导学案（二）知识讲解：设y x ,都为正数，则有（1）若S y x =+（和为定值），则当y x =时，积xy 取得最大值 。
（2）若p xy =（积为定值），则当y x =时和y x +取得最小值 。
利用上述结论求最大值或最小值时应注意：①② ③ 例1、（1）已知x <45，求函数54124-+-=x x y 的最大值。
（2）已知0<x<52，求252x x y -=的最大值。
（3）已知x >3，求322-=x x y 的最小值。
例2、（1）已知x >0，y >0，且191=+y x ，求y x +的最小值。
（2）已知x >0，y >0且12=+y x ，求yx 11+的最小值。
不等式的性质导学案
不等式的性质导学案学习目标1、理解不等式的性质，掌握不等式的解法。
2、渗透数形结合的思想学习重难点：1、不等式的性质和解法。
2、不等号方向的确定。
自学过程：阅读课本上123——127。
一、思考下列问题：1、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢二、问题探知发现规律1、用“＞”或“＜”填空．（1）－1 < 3－1＋2 3＋2 －1－3 3－3(2) 5 >35＋2 3+2 5－2 3－2(3) 6 > 26×5 2×5 6×（－5）2×（－5）(4) －2 < 3（－2）×6 3×6 （－2）×（－6）3×（一6）（5）－4 ＞－6（－4）÷2 （－6）÷2 （－4）×（－2）（－6）×（－2）2、从以上练习中，你发现了什么规律？（1）当不等式的两边同时加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向__________。
（2）当不等式的两边同时乘上或除以同一个正数时，不等号的方向______________。
（3）当不等式的两边同时乘上或除以同一个负数时，不等号的方向______________。
（3）当不等式的两边同时乘上0时，不等式__________________。
请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流：你能总结出不等式的性质了吗？不等式性质1：．用数学式子表示为：。
不等式性质2：．用数学式子表示为：。
不等式性质3：．用数学式子表示为：。
3、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同之处吗？三、新知运用1、例用不等式的性质，填写“<”、“>”（1）若a>b，则2a+1_____2b+1. (2)若-1.25y<10,则y______-8。
七年级下不等式导学案
崆峒区职业中学导学案 第 12 周第 1 课时 科目 数学 课题一元一次不等式（1） 课型 新授课 备课时间_2014.5.10 主备人：王婷 审核人________ 授课人_高鹏 张小龙 王婷 班级_七年级________ 姓名_________【学习目标】1、了解一元一次不等式的概念。
2、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
【学习重点】掌握解一元一次不等式的步骤。
【学习难点】对一元一次不等式解法的理解。
【资料准备】【教学过程】复习巩固1、解下列一元一次方程：(1) 4x-3=5x+7 (2) 3(2x-1)=4 (3) -5x-21=31(x-1)2、解一元一次方程的步骤是什么？预习检测1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1) 5x+15>4x-1 (2) 2(x+5) 3(x-5)出示目标活动设计1、观察下面的不等式：x-7>26，3x<2x+1，32x>50，-4x>3。
它们有哪些共同特征？ 像上面那样，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 的不等式，叫做一元一次不等式。
2、一元一次方程和一元一次不等式的联系与区别?巩固运用：1、解一元一次不等式与解一元一次方程的区别：（1）在解一元一次不等式时去分母和系数化为1时，如果乘数或除数是负数，要把不等号改变方向;(2)不等式的解集含有无限多个数，而一元一次方程只有一个解； 二次备课（3）解一元一次不等式，是根据不等式的性质，将不等式化为,(,)x a x a x a x a <≥>≤或的形式，而解一元一次方程，是根据等式的性质将方程逐步化为x a =的形式。
2、例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）2(1+x)<3 (2) 31222-≥+x x当堂小结本节课我学会了： ；我的困惑是：课堂检测练习：1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1) 5x+15>4x-1 (2) 2(x+5)≤3(x-5)(3) 71-x <352+x (4) 145261+-≥+x x2、教材P124 练习2课后练习1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1) 1-532x -<21x + (2) 26-3(x-2)≥2(x-9)+382、求不等式3(1-x)<2(x+9)的负整数解。
不等式导学案
第九章不等式与不等式组9．1．1不等式及其解集编制人;高玉使用人：审核人：学习目标：1、了解不等式的概念，能用不等式表示简单的不等关系．2、知道什么是不等式的解，什么是解不等式，并能判断一个数是否是一个不等式的解．3、理解不等式的解集，对于一个较简单的不等式能直接说出它的解集．学习重点与难点重点:不等式的解集的表示．难点:能用数轴正确表示不等式的解集．学习过程一、自主预习（先独立完成，再小组讨论完善答案）（一）用圈、点、勾、划、记的方法认真阅读P114，并完成下列问题：1、数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系，请你用恰当的式子表示出下列数量关系：(1)a与1的和是正数(2)y的2倍与1的和大于3 (3)x的一半与x的2倍的和是非正数(4)c与4的和的30%不小于-2 (5)x除以2的商加上2,至多为59．1．2不等式的性质编制人;高玉使用人：审核人：学习目标1、理解不等式的性质，掌握不等式的解法．2、渗透数形结合的思想．3．能熟练的应用不等式的基本性质进行不等式的变形．学习重点与难点重点:不等式的性质和解法．难点:不等号方向的确定．1、（1) 5>3 , 5+2 3+2, 5-2 3-2（2) -1<3, -1+2 3+2, -1-3 3-3（3) 6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)（4) -2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)（5）－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2，（－4）×（－2）（－6）×（－2）2、从以上练习中，你发现了什么规律？（1）当不等式的两边同时加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向__________．（2）当不等式的两边同时乘上或除以同一个正数时，不等号的方向______________．（3）当不等式的两边同时乘上或除以同一个负数时，不等号的方向______________．（4）当不等式的两边同时乘上0时，不等式__________________．请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流：你能总结出不等式的性质了吗？不等式性质1：用数学式子表示为：．不等式性质2：用数学式子表示为：．A．a＞0 B．a＜0 C．a＞-1 D．a＜-1五、课后反思：9．2．1一元一次不等式编制人;高玉 使用人： 审核人：学习目标：1．观察归纳一元一次不等式的概念． 2．掌握解一元一次不等式的解法． 学习重点与难点：重点：解一元一次不等式的解法共同特征：（1） （2） (3 )2一元一次不等式的概念： ． 3．解一元一次不等式，则要根据 ，将不等式逐步化为 或 的形式． 解一元一次不等式的步骤与解 步骤类似． 4．解下列不等式，并在数轴上表示解集：2（1+x ）＜3 31222-≥+x x解：去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得同一个 时，不等号的方向 ． (2)不等式的的解不包括这一点时，在数轴上用 心圆点表示． 不等式的的解包括这一点时，在数轴上用 心圆点表示． 三、课堂反馈（先独立完成，再小组讨论完善答案） 1．用不等式表示：（1）2（x+1）大于或等于1； （2）4x 与7的和不小于6；（3）y 与1的差不大于2y 与3的差 （4）3y 与7的和的四分之一小于 -22． 解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）5x+15＞4x —1 （2）2（x+5）≤3（x —5）（3）35271+〈-x x （4）145261+-≥+x x四、拓展延伸1.代数式645+x 的值不小于81_87x -的值，则x 的最小值是 .2.不等式31221-〉+x x 的非负整数解是 . 3.若关于y 的不等式y+n ≥4的解集如图所示，则n= .4.已知关于x 的方程a x =-231的解不小于2，则a 的取值范围是 . 五、课后反思1．某公司要招甲、乙两种工作人员30人，甲种工作人员月薪600元，乙种工作人员月薪1000元．现要求每月的工资不能超过2．2万元，问至多可招乙种工作人员多少名？2．某校校长暑假将带领该校市级优秀学生乘旅行社的车去A 市参加科技夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠”，若全票价为240元． (1)设学生数为x ，甲旅行社收费为y 甲，乙旅行社收费为y 乙．分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ (3) 就学生数x 讨论哪家旅行社更优惠．四、拓展延伸1．某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：（1）该采购员最多可购进篮球多少只？（2）若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？2．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如右表： 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．（1） 请你设计该企业有几种购买方案；（2） 若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？五、课后反思：9．3一元一次不等式组编制人;高玉使用人：审核人：学习目标1.理解一元一次不等式组及其解的意义.2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法．3.能运用不等式组解决简单的实际问题．学习重点与难点重点：解一元一次不等式组．（二）认真阅读P128—129，完成下列各题：例1：（1）⎩⎨⎧-〈++〉-148112x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-〈-++≥+x x x x 213521132 （1）解：解不等式①，得解不等式②，得不等式组的解集是： 1．解下列不等式组，并在数轴上标出解集．（1）⎩⎨⎧-<+->14212x x x x （2）⎩⎨⎧≤++>-x x x x 423125 （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--〉+814311532x x x x2．X 取哪些正整数时，不等式x+3＞6与2x －1＜10都成立？三、拓展延伸 1．535112<-<-x 2．（1）如果一元一次不等式组⎩⎨⎧>>ax x 5的解集为x>5,那么你能求出a 的取值范围吗?① ②（2）如果一元一次不等式组⎩⎨⎧<<ax x 3的解集为x<3,那么你能求出a 的取值范围吗?3．某校今年冬季烧煤取暖时间为四个月，如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨．该校计划每月烧煤多少吨？第九章不等式与不等式组复习导学案学习目标1．能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义和性质．2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示解集，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．3．会用数形结合、分类等数学思想方法解决问题，会“逆向”的思维思考问题，灵活的解答问题．学习重难点学习重点：能熟练的解一元一次不等式和不等式组．学习难点：能熟练的解一元一次不等式（组）并体会数形结合、分类讨论等思想． 学习过程： 一、复习旧知2.下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ）A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532>+y ； 二、填空题（每题4分，共20分） 1．不等式122x >的解集是： ；不等式133x ->的解集是： ； 2．不等式组⎩⎨⎧-+0501＞＞x x 的解集为 . 不等式组3050x x -<⎧⎨-⎩＞的解集为 .3．不等式组2050x x ⎧⎨-⎩＞＞的解集为 . 不等式组112620x x ⎧<⎪⎨⎪->⎩的解集为 .4．用“>”或“<”号填空.若a>b,且c ,则：（1）a+3______b+3; (2)a-5_____b-5; (3)3a____3b; (4)c-a__ ___c-b (5); (6)5．若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．(1) 8223-<+x x （2）)1(5)32(2+<+x x7．⎩⎨⎧≥-≥-.04,012x x⎩⎨⎧>+≤-.074,03x x⎪⎩⎪⎨⎧+>-<-.3342,121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧⋅>-<-322,352x x x x⎪⎩⎪⎨⎧->---->-.6)2(3)3(2,132x x xx .234512x x x -≤-≤-三、拓展提升1．若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．2．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．3．已知方程组⎩⎨⎧-=++=+②①m y x m y x 12,312的解（1）满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围．（2）满足0＜y －x ＜1，求m 的取值范围．4．适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解：(1) x 只有一个整数解； (2) x 一个整数解也没有．5．当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集．6．已知A ＝2x 2＋3x ＋2，B ＝2x 2－4x －5，试比较A 与B 的大小．7．已知a 是自然数，关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值．8．关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围．9．k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10?四、课后反思。
新人教版七年级数学（下册）导学案及参考答案
新人教版七年级数学（下册）第九章导学案第九章不等式与不等式组课题 9.1.1不等式及其解集【学习目标】了解不等式的解、解集的概念，会在数轴上表示出不等式的解集．【学习重点】不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法。
【学习难点】不等式的解集的概念。
【导学指导】一、知识链接1、什么叫等式？2、什么叫方程？什么叫方程的解？3.问题1：一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A地50千米。
（1）要在12：00时刚好驶过A地，车速应为多少？（2）要在12：00以前驶过A地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？二、自主探究阅读课本114-115页，回答下面的问题1.不等式：_____________________________________2.不等式的解：___________________________________________3.思考：判断下列数中哪些是不等式5032x的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？4.不等式的解集：_____________________________________5.解不等式：_____________________________________6、不等式的解集在数轴上的表示：（1）x>1 （2） x<3；【课堂练习】：1.课本115页练习1、2、32.下列式子中哪些是不等式？（1）a +b=b +a （2）－3＞－5 （3）x ≠1 （4）x+3＞6 （5）2m ＜n （6）2x －33．下列式子中：①-5<0 ②2x=3 ③3x-1>2 ④ 4x-2y ≤0 ⑤ x 2-3x+2>0 ⑥x-2y 其中属于不等式的是____________,属于一元一次不等式的是__________（填序号) 【要点归纳】：【拓展训练】：1、绝对值小于3的非负整数有（ ）A ．1、2B ．0、1C ．0、1、2D ．0、1、32、下列选项中，正确的是（ ） A ． 不是负数，则 B ． 是大于0的数，则C ．不小于－1，则D ．是负数，则3、用数轴表示不等式x<34的解集正确的是（ ）ABCD4.在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x>2； （2） x<4； （3）-2＜x<3【课堂小结】：课题 9.1.2 不等式的性质 (1)【学习目标】掌握不等式的性质；会根据“不等式性质”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；【学习重点】 理解并掌握不等式的性质并运用它正确地解一元一次不等式。
不等式导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校9、2实际问题与一元一次不等式（二）象州县民族中学 黄月蓉一、自学范围：124—126页二、自学目标：1、规范一元一次不等式的解法。
2、熟练利用一次不等式解决实际问题。
三、自学重点：1、一元一次不等式的解集。
2、利用不等式解决实际问题。
四、自学过程（一）、复习巩固解下列不等式：①5x+54＜x-1 ②2（1一3x ） > 3x ＋20③2（一3＋x ）＜ 3（x ＋2）④ (x ＋5)<3(x －5)－6（二）、2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55％．若到2008年这样的比值要超过70％，那么,2008年北京空气质量良好（二级以上）的天数至少要增加多少天？1、2002年北京空气质量良好的天数是多少？2、用x 表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？3、2008年共有多少天？与x 有关的哪个式子的值应超过70％？这个式子表示什么？（三）、1、解不等式%7036655.0365>⨯+x2、解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）35271+<-x x （2）145261+-<+x x3、当x 或y 满足什么条件时，下列关系成立？（1）2 (x+ 1）大于或等于1；（2） 4x 与7的和不小于6；（3）y 与1的差不大于2y 与3的差；（4）3y 与7的和的41小于－2. 五、 学效测试1、用不等式表示下列语句（1）2（x+1）大于或等于1；（2）y 与1的差不大于2y 与3的差；（3）4x 与7的和不小于6；（4）3y 与7的和的四分之一小于-2。
2、根据下列条件求出最大整数x（1）2x-7＜-12 (2)(2+x)/2≥(2x-7)/3-23、某工程队计划早10天内修路6km ，施工前2天修完1.2km 后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修多少千米？设计者：象州县民族中学 黄月蓉组员：韦秋莲 潘木秀 韦文 韦冬妮 黄伟斌。
高中数学选修4-5不等式选讲导学案
第一节 不等式和绝对值不等式第一课时 不等式基本性质一、知识要点1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 ．（2）如果a －b ＞0，则 ；如果a －b ＝0，则 ；如果a －b ＜0，则 . （3）比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质： （1）如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即 . （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么 .即a ＞b ，b ＞c ⇒ . （3）如果a ＞b ，那么a ＋c > .（4）如果a ＞b ，c >0，那么ac bc ；如果a >b ，c <0，那么ac bc . （5）如果a ＞b ，d c >，那么d b c a +>+ （6）如果0,0>>>>d c b a ，那么bd ac > （7）如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N ，n ≥2)． （8）如果a >b >0n ∈N ，n ≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c (或代数式)结果有三种：①c ＞0时得 不等式；②c ＝0时得 ；③c <0时得 不等式．（2）a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以 ；而a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ，即已知的两个不等式同向且两边为 时，可以相乘，但不可以 ．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 ，并且n ∈N ，n ≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a >b ⇒a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N)，a >b ⇒n a >nb (n ＝2k ＋1，k ∈N ＋)．二、考点例题考点一 实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．方法规律小结 比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1．已知a ，b ∈R ，比较44b a +与33ab b a +的大小．2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？考点二 不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >eb －d.方法规律小结 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练 1．判断下列命题的真假，并简述理由． （1）若a >b ，c >d ，则ac >bd ； （2）若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；（3）若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；（4）若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．2．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b.考点三 利用不等式的性质求范围[例3] （1）已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．（2）已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围．方法规律小结 求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．跟踪训练 1．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．第二课时 基本不等式一、知识要点1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的 ；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的 ，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式（1）a 2＋b 2≥2)(2b a +；（2）ab ≤a 2＋b 22；（3）ab ≤(a ＋b 2)2；（4）(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；（5）(a ＋b )2≥4ab . 二、考点例题[例1] 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.方法规律小结 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练 1．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二 利用基本不等式求最值 [例2] （1）求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域． （2）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；（3）已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值方法规律小结 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：（1）首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正； （3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．跟踪训练 1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．245B ．285C ．5D ．62．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值． 3．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，（1）求ab 的取值范围；（2）求a ＋b 的取值范围．考点三 利用基本不等式解决实际问题[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 （1）将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？方法规律小结 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．跟踪训练 1．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？ 2．围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)． （1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．第三课时 三个数的算术几何不等式一、知识要点1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的 不小于它们的 ．（1）不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是： ，而等号成立的条件是：当且仅当 .（2）定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .（3）三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”． 2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 ，当且仅当 时，等号成立．二、考点例题考点一 用平均不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3.方法规律小结 （1）不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．（2）运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．跟踪训练 1. 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知n a a a ,,,21⋅⋅⋅都是正数，且121=⋅⋅⋅n a a a ，求证：n a a a n 3)2()2)(2(21≥+⋅⋅⋅++考点二 用平均不等式求最值[例2] （1）求函数y ＝(x －1)2(3－2x )(1<x <32)的最大值．（2）求函数)1()1(42>-+=x x x y 的最小值．方法规律小结 （1）利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．（2）应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练 1．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为 ( )A ．4－22B ．4－ 2C ．不存在D ．522．已知x ，y +∈R 且42=y x ，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x 、y 的值．考点三 用平均不等式解应用题 [例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？方法规律小结 本题获解的关键是在获得了k E =·sin θcos2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．跟踪训练 1．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．第四课时 绝对值三角不等式一、知识要点绝对值三角不等式（1）定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为： ．②若a ，b 共线，当a 与b 时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.（2）定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当 时，等号成立． 几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ， 当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |； ②点B 不在A ，C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．二、考点例题考点一 含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .方法规律小结 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明跟踪训练 1．设a 、b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b |2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.考点二 绝对值不等式三角形的应用[例2] （1）求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．（2）设a ∈R ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．方法规律小结 （1）利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．（2）求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练 1．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________2．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．3．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．第五课时 绝对值不等式的解法一、知识要点1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为 ，再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为 或 ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集 2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的 为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．二、考点例题考点一 c b ax ≤+和)0(>≥+c c b ax 型不等式的解法[例1] 解下列不等式： （1）|5x －2|≥8；（2）2≤|x －2|≤4.方法规律小结 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . ②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练 1．解下列不等式： （1）|3－2x |<9；（2）|x －x 2－2|>x 2－3x －4；（3）|x 2－3x －4|>x ＋1考点二 c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法[例2] 解不等式|x －3|－|x ＋1|<1.方法规律小结 |x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况 跟踪训练1．解不等式|x －2|－|x ＋7|≤3 2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8.考点三 含绝对值不等式恒成立的问题 [例3] 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m . （1）若不等式有解； （2）若不等式解集为R ；（3）若不等式解集为∅，分别求出m 的范围．方法规律小结 问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔a x f <max )(，f (x )>a 恒成立⇔a x f >min )(跟踪训练 1．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围．2．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围．第二节 证明不等式的基本方法第一课时 比较法一、知识要点1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a －b >0⇔ ，a －b <0⇔ ，a －b ＝0⇔ . （2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论． 其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： ①b >0，若 ，则a >b ；若 则a <b ； ②b <0，若 则a <b ；若 则a >b .（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 符号；②作商；③变形整理；④判定 ；⑤得出结论．二、考点例题考点一 作差比较法证明不等式[例1] 设△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，求证：2)()(4c b a ac bc ab ++>++方法规律小结 （1）作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．（2）变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．（3）因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论． 跟踪训练 1．求证：)1(222--≥+b a b a2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，求证：)(2))((11+++≤++n n nnb ab a b a考点二 作商比较法证明不等式 [例2] 设a >0，b >0，求证：2)(b a baab b a +≥方法规律小结 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．跟踪训练 1．设0>>b a ，求证：b a ba ba b a +->+-2222.2．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证422466b a b a b a +>+考点三 比较法的实际应用[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ 方法规律小结 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．跟踪训练5．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？第二课时 综合法与分析法一、知识要点1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或 法，是由 和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推出所要证明的结论成立． （2）证明的框图表示：用P 表示已知条件或已有的不等式，用Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→……→Q n ⇒Q2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或 法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的 条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止． （2）证明过程的框图表示：用Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 1⇐P 3→……→得到一个明显成立的条件 二、考点例题[例1] 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.方法规律小结 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练 1．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明不明式：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．2．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .考点二 用分析法证明不等式[例2] 已知x >0，y >0，求证31332122)()(y x y x +>+方法规律小结（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆． 跟踪训练 1．求证：3＋7<2 52．a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 考点三 综合法和分析法的综合应用[例3] 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋1＋b ＋1≤ 6.方法规律小结（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明． （2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．跟踪训练1．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc .第三课时 反证法和放缩法一、知识要点1．不等式的证明方法——反证法（1）反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由 出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 ，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明 不成立，从而证明原命题成立． （2）反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明 ，从而断定原命题成立． 2．不等式的证明方法——放缩法放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的．3．放缩法的理论依据主要有 （1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为 ；（3）同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．二、考点例题考点一 利用反证法证明不等式[例1] 已知f (x )＝x 2＋px ＋q 求证：（1）f (1)＋f (3)－2f (2)＝2（2）|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.方法规律小结（1）反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．（2）注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．跟踪训练 1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为 ( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为02．证明：三个互不相等的正数a 、b 、c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列． 3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋ f (－a )，求证：a <b .考点二 利用放缩法证明不等式[例2] 已知实数x 、y 、z 不全为零．求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．方法规律小结 （1）利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．（2）一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．跟踪训练 1．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜1.2．设13)(2+-=x x x f ，a ，b ∈[0,1]，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.第三节 柯西不等式与排序不等式第一课时 二维形式的柯西不等式一、知识要点1．二维形式的柯西不等式（1）定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥ ，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． （2）二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d )≥ (a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ (a ，b ，c ，d ∈R)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ (a ，b ，c ，d ∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则 ，当且仅当β是 ，或存在实数k ，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝kβ. 3．二维形式的三角不等式（1）定理3：x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥ (x 1，y 1，x 2，y 2∈R)．当且仅当三点P 1、P 2与O 共线，并且P 1、P 2点在原点O 异侧时，等号成立．（2）推论：对于任意的x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R ，有(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2 ≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P 1、P 2、P 3的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)，根据△P 1P 2P 3的边长关系有|P 1P 3|＋|P 2P 3|≥|P 1P 2|，当且仅当三点P 1、P 2、P 3共线，并且点P 1、P 2在P 3点的异侧时，等号成立．二、考点例题考点一 利用柯西不等式证明不等式[例1] 设m 2x 2＋n 2y2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.方法规律小结 利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件． 跟踪训练 1．已知1,12222=+=+y x b a ，求证：|ax ＋by |≤12．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)(a 1b 1＋a 2b 2)≥(a 1＋a 2)2.3．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )[例2] 求函数ααcos 4sin 3+=y 的最大值．方法规律小结 ①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．跟踪训练 1．已知1222=+y x ，求2x ＋y 的最大值．2．已知2x ＋3y ＝1，求2294y x +的最小值3．求函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值及此时x 的值第二课时 一般形式的柯西不等式一、知识要点1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥ ，当且仅当 或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥ ，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2…n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．二、考点例题考点一 利用柯西不等式证明不等式[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n方法规律小结 柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．跟踪训练 1．已知a 、b 、c 、d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.2．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二 利用柯西不等式求最值[例2] （1）已知x 、y 、z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1.求 1x ＋ 4y ＋ 9z 的最小值．（2）设2x ＋3y ＋5z ＝29.求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值．方法规律小结 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．跟踪训练 1．设a ，b ，c ，d 均为正实数，则(a ＋b ＋c ＋d )·(1a ＋1b ＋1c ＋1d)的最小值为________2．已知：x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝2，则x ＋2y ＋3z 的最大值为( )A ．27B ．2 3C ．4D ．53．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．第三课时 排序不等式一、知识要点1．顺序和、乱序和、反序和 设n n b b b a a a ≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅≤≤2121,为两组实数，n c c c ,,,21⋅⋅⋅为n b b b ,,,21⋅⋅⋅的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和(简称 )，称 为这两个实数组的反序积之和(简称 )．称 为这两个实数组的乱序积之和(简称 )． 2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设n n b b b a a a ≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅≤≤2121,为两组实数，n c c c ,,,21⋅⋅⋅为n b b b ,,,21⋅⋅⋅的任一排列，则有 ≤n n c a c a c a +⋅⋅⋅++2211≤ ，等号成立 (反序和等于顺序和)⇔n a a a =⋅⋅⋅==21或n b b b =⋅⋅⋅==21，排序原理可简记作： ．二、考点例题考点一 用排序不等式证明不等式（所证不等式中字母大小顺序已确定）[例1] 已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.方法规律小结 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．跟踪训练 1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12，(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：n n x n x x x )12(122+≥+⋅⋅⋅+++考点二 用排序不等式证明不等式（对所证不等式中的字母大小顺序作出假设）[例2] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cCa ＋b ＋c方法规律小结 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．跟踪训练 1．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n ≥n .第四节 数学归纳法证明不等式第一课时 数学归纳法一、知识要点数学归纳法（1）数学归纳法的概念：先证明当n 取第一值n 0(例如可取n 0＝1)时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，证明当 时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．（2）数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与 的数学命题的证明．（3）数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤： ①证明当n 取 (如取n 0＝1或2等)时命题正确；②假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时结论正确，证明当 时命题也正确． 由此可以断定，对于任意 的正整数n ，命题都正确． 二、考点例题考点一 用数学归纳法证明恒等式[例1] 证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1n 2)＝n ＋12n.方法规律小结 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使。
不等式的导学案
不等式的性质导学案班级组名姓名评价学习目标1、掌握不等式的性质，理解不等式的概念。
2、会用不等式的性质解简单不等式。
学习重点：不等式的性质学习难点：不等号方向的确定预习案：一、阅读课本P132——P135。
（10分钟）回答下列问题：1、什么叫不等式？怎样读不等号？2、用自己的话叙述不等式的三条性质。
它们与等式的性质有何区别？合作探究案（20分钟）一、性质的探究1、用“＞”或“＜”填空．（1）－1 < 3－1＋2 3＋2 －1－3 3－3(2) 5 >35＋2 3＋2 5－2 3－2(3) 6 > 26×5 2×5 6×（－5）2×（－5）(4) －2 < 3（-2）×6 3×6 （-2）×（-6）3×（-6）（5）－4 ＞－6（-4）÷2 （-6）÷2 （-4）×（-2）（-6）×（-2）2、从以上练习中，你发现了什么规律？（1）当不等式的两边同时加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向__________。
（2）当不等式的两边同时乘上或除以同一个正数时，不等号的方向______________。
（3）当不等式的两边同时乘上或除以同一个负数时，不等号的方向______________。
（4）当不等式的两边同时乘上0时，不等式__________________。
请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流：你能总结出不等式的性质吗？不等式性质1：．用数学式子表示为：。
不等式性2：．用数学式子表示为：。
不等式性3：．用数学式子表示为：。
3、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同之处吗？二、性质的简单应用1、用不等式的性质，填写“<”、“>”（1）若a>b，则2a+1_____2b+1. (2)若-1.25y<10,则y______-8。
利用导数证明不等式(经典导学案及练习答案详解)
§3.6 利用导数证明不等式题型一 将不等式转化为函数的最值问题例1 已知函数g (x )＝x 3＋ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围；(2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x .(1)解 由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ，若g (x )在[1,3]上单调递增，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≥－32； 若g (x )在[1,3]上单调递减，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立，则a ≤－92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明 由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0，即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ， 令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0，可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x，x >0， 当0<x <1时，u ′(x )<0，函数u (x )单调递减；当x >1时，u ′(x )>0，函数u (x )单调递增．所以u (x )≥u (1)＝1＋a ，因为a >－1，所以u (x )>0，故当a >－1时，对于任意x >0，g (x )>x 2ln x .教师备选已知函数f (x )＝1－ln x x ，g (x )＝a e e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. (1)解 因为f (x )＝1－ln x x，x >0，所以f ′(x )＝ln x －1x 2，f ′(1)＝－1. 因为g (x )＝a e e x ＋1x－bx ， 所以g ′(x )＝－a e e x －1x 2－b . 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直， 所以g (1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g (1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明 由(1)知，g (x )＝－e e x ＋1x＋x ， 则f (x )＋g (x )≥2x ⇔1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0. 令h (x )＝1－ln x x －e e x －1x＋x (x ≥1)， 则h (1)＝0，h ′(x )＝－1＋ln x x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝ln x x 2＋e e x＋1. 因为x ≥1，所以h ′(x )＝ln x x 2＋e e x ＋1>0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h (x )≥h (1)＝0，即1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0， 所以当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. 思维升华 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．跟踪训练1 已知函数f (x )＝ln x ＋a x，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a. (1)解 f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减．(2)证明 由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1.要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a， 即证ln a ＋1a－1≥0. 令函数g (a )＝ln a ＋1a－1， 则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a 2(a >0)， 当0<a <1时，g ′(a )<0；当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (a )min ＝g (1)＝0.所以ln a ＋1a－1≥0恒成立， 所以f (x )≥2a －1a. 题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＝x ＋a x. 当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，若x ∈(－a ，＋∞)，则f ′(x )>0；若x ∈(0，－a )，则f ′(x )<0.所以f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．(2)证明 当a ＝1时，要证xf (x )<e x ，即证x 2＋x ln x <e x ，即证1＋ln x x <e x x 2. 令函数g (x )＝1＋ln x x， 则g ′(x )＝1－ln x x 2. 令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)．所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1＋1e， 令函数h (x )＝e xx2， 则h ′(x )＝e x (x －2)x 3. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (2)＝e 24. 因为e 24－⎝⎛⎭⎫1＋1e >0， 所以h (x )min >g (x )max ，即1＋ln x x <e xx2，从而xf (x )<e x 得证． 教师备选(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝e x 2－x ln x ．求证：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e. 证明 要证f (x )<x e x ＋1e， 只需证e x －ln x <e x ＋1e x， 即e x －e x <ln x ＋1e x. 令h (x )＝ln x ＋1e x(x >0)， 则h ′(x )＝e x －1e x2， 易知h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 则h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝0，所以ln x ＋1e x≥0. 再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0.因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x，故原不等式成立． 思维升华 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与e x ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．跟踪训练2 (2022·百校大联考)已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0.(1)解 f ′(x )＝e x－a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②若a >0，则当0<x <e a时，f ′(x )>0； 当x >e a时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，e a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫e a ，＋∞上单调递减． (2)证明 因为x >0，所以只需证f (x )≤e x x－2e ， 当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (1)＝－e.设g (x )＝e x x －2e(x >0)，则g ′(x )＝(x －1)e x x 2， 所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e x x －2e. 故不等式xf (x )－e x ＋2e x ≤0得证．题型三 适当放缩证明不等式例3 已知函数f (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >－2时，求证：f (x )>ln(x ＋2)．(1)解 由f (x )＝e x ，得f (0)＝1，f ′(x )＝e x ，则f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝x －0，所以所求切线方程为x －y ＋1＝0.(2)证明 设g (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x －x －1(x >－2)，则g ′(x )＝e x －1，当－2<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，即g (x )在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x ＝0时，g (x )min ＝g (0)＝0，因此f (x )≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)，令h (x )＝x ＋1－ln(x ＋2)(x >－2)，则h ′(x )＝1－1x ＋2＝x ＋1x ＋2， 则当－2<x <－1时，h ′(x )<0，当x >－1时，h ′(x )>0，即有h (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x ＝－1时，h (x )min ＝h (－1)＝0，因此x ＋1≥ln(x ＋2)(当且仅当x ＝－1时取等号)，所以当x >－2时，f (x )>ln(x ＋2)． 教师备选已知函数f (x )＝x ln x x ＋m，g (x )＝x e x ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为x －2y ＋n ＝0. (1)求m ，n 的值；(2)证明：f (x )>2g (x )－1.(1)解 由已知得，f (1)＝0，∴1－0＋n ＝0，解得n ＝－1.∵f ′(x )＝(ln x ＋1)(x ＋m )－x ln x (x ＋m )2，∴f ′(1)＝m ＋1(1＋m )2＝12， 解得m ＝1.(2)证明 设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －1>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1>1，∴1e x <1x ＋1. 要证f (x )>2g (x )－1，即证x ln x x ＋1>2x e x－1， 只需证x ln x x ＋1≥2x x ＋1－1， 即证x ln x ≥x －1，令m (x )＝x ln x －x ＋1，则m ′(x )＝ln x ，∴当x ∈(0,1)时，m ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，m ′(x )>0，∴m (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴m (x )min ＝m (1)＝0，即m (x )≥0，∴x ln x ≥x －1，则f (x )>2g (x )－1得证．思维升华 导数方法证明不等式中，最常见的是e x 和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号．(2)ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a e x －1－ln x －1.(1)若a ＝1，求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：当a ≥1时，f (x )≥0.(1)解 当a ＝1时，f (x )＝e x －1－ln x －1(x >0)，f ′(x )＝e x －1－1x， k ＝f ′(1)＝0，又f (1)＝0，∴切点为(1,0)．∴切线方程为y －0＝0(x －1)，即y ＝0.(2)证明 ∵a ≥1，∴a e x －1≥e x －1，∴f (x )≥e x －1－ln x －1.方法一 令φ(x )＝e x －1－ln x －1(x >0)，∴φ′(x )＝e x －1－1x， 令h (x )＝e x －1－1x， ∴h ′(x )＝e x －1＋1x 2>0， ∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又φ′(1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，∴φ(x )≥0，∴f (x )≥φ(x )≥0，即f (x )≥0.方法二 令g (x )＝e x －x －1，∴g ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (0)＝0，故e x ≥x ＋1，当且仅当x ＝0时取“＝”．同理可证ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取“＝”．由e x ≥x ＋1⇒e x －1≥x (当且仅当x ＝1时取“＝”)，由x －1≥ln x ⇒x ≥ln x ＋1(当且仅当x ＝1时取“＝”)，∴e x －1≥x ≥ln x ＋1，即e x －1≥ln x ＋1，即e x －1－ln x －1≥0(当且仅当x ＝1时取“＝”)，即f (x )≥0.课时精练1．已知函数f (x )＝ln x x ＋a(a ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝1e . (1)求实数a 的值，并求f (x )的单调区间；(2)求证：当x >0时，f (x )≤x －1.(1)解 ∵f (x )＝ln x x ＋a， ∴f ′(x )＝x ＋a x －ln x (x ＋a )2，∴f ′(e)＝a e (e ＋a )2， 又曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝1e， 则f ′(e)＝0，即a ＝0，∴f ′(x )＝1－ln x x 2， 令f ′(x )>0，得1－ln x >0，即0<x <e ；令f ′(x )<0，得1－ln x <0，即x >e ，∴f (x )的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e ，＋∞)．(2)证明 当x >0时，要证f (x )≤x －1，即证ln x －x 2＋x ≤0，令g (x )＝ln x －x 2＋x (x >0)，则g ′(x )＝1x －2x ＋1＝1＋x －2x 2x＝－(x －1)(2x ＋1)x， 当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，即当x >0时，f (x )≤x －1.2．已知f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． (1)解 由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝1e时，f (x )取得极小值， f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，无极大值． (2)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))． 由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到． 设m (x )＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x )＝1－x ex ，由m ′(x )<0，得x >1时，m (x )单调递减；由m ′(x )>0得0<x <1时，m (x )单调递增，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，x ln x ≥－1e ≥x e x －2e ，两个等号不同时取到，所以对一切x ∈(0，＋∞)都有ln x >1e x －2e x成立．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x， 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明 要证e x －e 2ln x >0，即证e x －2>ln x ，令φ(x )＝e x －x －1，∴φ′(x )＝e x －1.令φ′(x)＝0，得x＝0，∴当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即e x－x－1≥0，即e x≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．由e x≥x＋1(当且仅当x＝0时取“＝”)，可得e x－2≥x－1(当且仅当x＝2时取“＝”)，又x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取“＝”，∴e x－2≥x－1≥ln x且两等号不能同时成立，故e x－2>ln x．即证原不等式成立．4．(2022·常德模拟)已知函数f(x)＝x e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>0时，f(x)－ln x≥1.(1)解由题意得f′(x)＝(x＋1)e x－1，设g(x)＝(x＋1)e x，则g′(x)＝(x＋2)e x，当x≤－1时，g(x)≤0，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－1]上单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又因为g(0)＝1，所以当x<0时，g(x)<1，即f′(x)<0，当x>0时，g(x)>1，即f′(x)>0，综上可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明要证f(x)－ln x≥1，即证x e x－x－ln x≥1，即证e x＋ln x－(x＋ln x)≥1，令t＝x＋ln x，易知t∈R，待证不等式转化为e t－t≥1.设u(t)＝e t－t，则u′(t)＝e t－1，当t<0时，u′(t)<0，当t>0时，u′(t)>0，故u(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以u(t)≥u(0)＝1，原命题得证．。
不等式 导学案
不等式导学案姓名：一、用不等式表示下列语句，并在数轴上表示。
1、a大于52、a小于-23、a不大于-14、x不小于95、m为非负数6、x大于3，且不等于77、a小于1，且不等于08、x不等于29、a大于2，小于4 10、x小于1，大于—3 11、m大于3，小于0 12、x不大于5，大于2 13、m不小于1，小于6 14、x不小于—1，不大于3练习：1、x的一半与2的差不大于1-”所对应的不等式是．x->的解集在数轴上表示正确的是（）2、不等式2603、下图所表示的不等式组的解集为（）-2A．x3B．32x-C．2-x D．32x-4、如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为．5、若不等式组的解集为-1≤x≤3，则图中表示正确的是（）A．B．C．D．二、不等式的性质推导1、已知：3 < 5；3+2 5+2；3+5 5+5；3+9 5+93—4 5—4；3—7 5—7；3—11 5—113+0 5+0 3—0 5—0总结：若a>b，则; 若a<b，则;语言描述为：2、已知：—2 > —4—2—4—2—4—2—4—2）—4—2—4—2—4—2—4—2—4总结：若a>b，则; 若a<b，则;语言描述为：A．B．C．D．第4题三、不等式的解法例1：1)1(22 ---x x 的非正整数解 341221xx +≤--的最小整数解． 223125+<-+x x 1215312≤+--x x11(1)223x x -<- 41328)1(3--<++x x 非负整数解)2(3)]2(2[3-->--x x x x10132x x x ++<-- 5-31142x x -+≤ 312523x x +--的值小于1． 21223x x+->-的正整数解例2：⋅->+-+2503.0.02.003.05.09.04.0x x x20.52 1.40.50.50.20.25x x x ---->03.002.003.0255.014.0xx x -≤---的非负整数解.12月18日作业姓名：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-+65231252y y x yx y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=4.1%40%2552y x yx ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++③②①132101423z y x z y x z y x1、已知方程组⎩⎨⎧+=+=+25332n y x ny x 的解x 、y 的和为12，求n 的值．2、汽车在平路上每小时行驶30公里，上坡每小时行驶28公里，下坡每小时行驶35公里，现 在行驶142公里的路程，去时用4小时30分，回来时用4小时42分钟，问这段路程的平路有多 少公里?去时上坡路、下坡路各有多少公里?3、南方A 市欲将一批容易变质的水果运往B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选（1）如果用W l 、W 2、W 3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出W l 、W 2、W 3与小x 间的函数关系式．（2）应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小？4、如图，已知直线l ：y x =x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，求直线CA 的表达式5、在平面直角坐标系中，点()40A，，点()04B，，点P在直线AB上运动；（1）若点P在第四象限，作BM OP⊥于点M，AN OP⊥于点N，求证：MN BM AN=+；（2）若点P在第一象限，仍作BM OP⊥于点M，AN OP⊥于点N，试探究线段MN BM AN、、所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明。
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湘教版八年级数学科导学案
设计：周浩雄时间：2014年10月内容§4.1不等式
学习目标【知识技能】
1. 根据具体问题中的不等关系了解不等式的意义.2．从实际问题中抽象出不等式. 【数学思考】
由具体实例建立不等式，体会不等式也是刻画现实世界的有效数学模型.
【解决问题】
分析具体问题中数量之间的大小关系,得到不等式数学模型.
【情感态度】
在运用不等式知识解决困难的过程中获得成功体验，树立学好数学自信心.
重点不等式的概念，能够从实际问题中抽象出不等式
难点从实际问题中抽象出不等式.
学习过程
学生活动学习笔记
一、引
小明的爸爸开车带着小明前往观看开幕式, 在18：00时距离开幕式
场地120km,预计20：00到达开幕式场地, 设平均车速是xkm/h, 则可列
方程或 .
若想在 20：00之前到达开幕式场地，则平均车速xkm/h，应满足什么条件？
解: 或 .
二、探
１、阅读教材，掌握下列知识
不等号：
(1) “＜”读作：“ .”
(2) “＞”读作：“ .”
(3) “≤”读作：“.”，也可读作：
“ .”
(4) “≥”读作：“.”，也可读作：
“ .”
(5) “≠”读作：“ .”
不等式
定义：用连接而成的式子,叫做不等式.
2、典例精析
例1、用不等式表示下列数量关系：
（1）x的5倍不大于－7； .
(2)a与b的和的一半大于－1； .
（3）x为非负数. .
例２、9月26日下午,在仁川亚运会女子十米移动靶的个人决赛上，中国选手李雪艳继广州亚运会之后,蝉联该项目冠军.已知十米移动靶每一枪满分为10.9环,李雪艳在前十枪中最低为9.2环,求李雪艳前十枪总环数x 的范围.
解: .
例3、小欢用81根火柴棍依下面的规律摆正方形，请用不等式表示小欢可摆出正方形的个数n与火柴根数81之间的关系.
解: .
三、结：写出这节课你的收获和体会.
四、用：
１、判断下列式子哪些是不等式？
(1) 3＞ 2 (2) x＜ 2x+1 (3) 3x2+2x
(4) x=2x-5 (5) a+b≠c (6)5≤ 2x+1
２、用不等式表示下列数量关系:
(1)a是正数；
（2）a的2倍与b的差大于或等于4；
(3)长、宽分别为x cm, y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的
面积.
３、下列由题意列出的不等式关系中,错误的是( )
A. x比-7小可表示为x＜-7
B.x与y的和的平方大于100可表示为x2+y2＞100
C.a与b的积与a的和为负数，可表示为 ab+a＜0
D.代数式x+3的值大于代数式3x-7的值，可表示为x+3＞3x-7
游戏设计：每张水果卡片背后都有一道题目，请学生选择一种水果，回答相应问题.题目设置如下：
（1）右图是汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40km/h.若用v (km/h)表示车的速度,怎样表示v和40之间的关系?
解：
（2）2014年亚运会，首个比赛日后，韩国队奖牌数居然领先中国队，这让韩国媒体感到十分振奋.但截止9月26日8时，韩国队和日本队各得到金牌28枚，中国队金牌数则超过韩国队和日本队总和高居榜首无悬念，求中国队金牌数x（枚）的范围.
解：
（3）随着阿里巴巴在美国上市,马云成为中国新首富.阿里巴巴集团也成为仅次于苹果、谷歌和微软的全球第四大高科技公司.旗下淘宝商城和天猫2013年处理的在线交易价值总和为2480亿美元.比亚马逊公司的2倍还多.求亚马逊公司2013年交易值x（亿美元）的范围.
解：
（4）根据下列数量关系列不等式:设a,b,c为一个三角形的
三条边长,任何两边之和大于第三边.
解：
（5）如图,某矩形广场长为100米,宽为60米,在四角铺上了四
分之一圆形的草地,圆形的半径为r米,草地面积不小于广场面积
４、小明对不等式30+10x＞400 作出了这样的解释：某同学读《三国演义》，已经读了30页，从现在开始每天读10页，第x 天后超过400页. 联系生活实际，你还可以作出别的解释吗？
解：
５、天恒商场某款冰箱的售价是2360元/台，为了减少库存，商场决定对该款冰箱降价销售,已知该款冰箱的进价为2000元/台，商场为保证利润率不低于10%，试确定该款冰箱的降价范围.
解：
６、一种药品的说明书上写着:“每日用量120～180mg，分3～4次服完.”一
次服用这种药的剂量x 的范围是： .
７、小强用100根火柴依下面的的规律摆六边形，请用不等式表示小强可摆
出六边形的个数n与火柴根数100之间的关系 .。