第四节陪集与拉格朗日定理

求所有陪集的集合 G/N, 对于有限群，|G/N| = |G| / |N|.
本节内容及要求
• 正规子群的判别定理和方法
• 商群的定义和实例
• 会判别和证明子群的正规性
• 了解商群的概念
第六节 群的同态与同构
一、同态映射的定义 二、典型同态映射的实例 三、同态映射的性质
1．同态映射保持元素的对应性 2．同态映射保持子群的对应性 3．有关同态核的性质 4．同态基本定理
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har
|G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由定理11.11知，Hai≈H ，所以|Hai| = |H|＝m，i = 1,2,…,k, 得 n＝|G| = |H|· k = m· k 从而 m|n
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有an = e.
f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}， f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
令G={f1, f2, … , f6}，则G关于函数的复合运算构成群. 考虑G的子群H={f1, f2}. 做出H的全体右陪集如下： Hf1={f1f1, f2f1}={f1, f2}=H，Hf2={f1f2, f2f2}={f2, f1}=H Hf3={f1f3, f2f3}={f3, f5}，Hf4={f1f4, f2f4}={f4, f6}
二、正规子群的判别法
1．正规子群的判定定理 定理11.13 设N是群G的子群，N⊴G g∈G,n∈N有 gng1∈N. 定理11.14 设N是群G的子群， N⊴G g∈G有 gNg1=N
2．正规子群的判别实例
例 设N G，若G的其他子群都不与N等势，则N⊴G. 证 任取g∈G，易证gNg1是G的子群， 下面证N ≈ gNg1. n∈N，令f(n) = gng1，则f：N gNg1. f(n1)=f(n2) gn1g1=gn2g1 n1=n2，即f是单射. gng1∈gNg1，n∈N，f(n) = gng1 ，f是满射. 从而N ≈ gNg1. 根据已知条件，必有gNg1 = N. 所以N⊴G.
a∈Hb ab1∈H Ha=Hb
定理11.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R： a,b∈G, <a,b>∈R ab1∈H 则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha. 证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取a∈G，aa1 = e∈H <a,a>∈R
推论 设H是群G的子群,则
（1）a,b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = （2）∪{Ha | a∈G} = G 定理11.11 设H是群G的子群，则
a∈G，H ≈ Ha
类似地，也可以定义H的左陪集，即
aH = {ah | h∈H}，a∈G 关于左陪集有下述性质：
一、正规子群的定义与实例
1．正规子群的定义
定义11.10设H是群G的子群. 如果a∈G都有Ha=aH，则称H
是G的正规子群，记作H⊴G.
任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和{e}， 都是G的正规子群. 如果G是Abel群，G的所有子群都是正规子群.
2．正规子群的实例
例 设A={1, 2, 3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
第四节 陪集与拉格朗日定理
一、陪集及其性质 1．陪集定义及实例 定义11.9 设H是G的子群，a∈G.令 Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
例 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}， f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}， f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
例
设<Z,+>是整数加群,令
例 设<Z,+>是整数加群 ,令 3Z = {3z | z∈Z}
3Z = {3 zZ | z是 ∈Z } 的正规子群. Z 关于 3Z 的商群 则 3 Z
Z/3Z = {[0], [1], 其中 [i[2]} ] = {3z+i | z∈Z}，i = 0, 1, 2 其中 [i] = {3z+ i|Z z∈ }， i = 0, 1, 2 且 /3Z Z 中的运算如下表所示 . 且Z/3Z中的运算如下表所示.
任选元素aGH，求Ha, 作为第二个右陪集.
任选元素bG(HHa), 做第三个陪集Hb.
任选元素cG(HHaHb), 做第四个右陪集，….
依次做下去，由于G是有限群，经过有限步就可以得到G的 全体右陪集.
二、拉格朗日定理及其应用
1．拉格朗日定理及其推论 定理11.12 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，|G|=n, |H|=m, 则 m|n 证 设R是G中的一个等价关系，所以由定理11.10知，R必将G划 分成不同的等价类[a1]R,[a2]R, …,[ak ]R,使得
（1）eH = H
（2）a∈G，a∈aH （3）a,b∈G，a∈bH b1a∈H aH=bH （4）若在G上定义二元关系R， a,b∈G，<a,b>∈R b1a∈H
则R是G上的等价关系，且[a]R = aH.
（5）a∈G，H ≈ aH
例题：设G为模12加群, 求<3> 在G中所有的左陪集.
本节内容及要求
• 熟悉陪集的定义和性质
• 熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该
定理解决简单的问题
第五节 正规子群与商群
一、正规子群的定义与实例
1．正规子群的定义 2．正规子群的实例
二、正规子群的判别法
1．正规子群的判定定理 2．正规子群的判别实例
三、商群
1. 商群定义及其实例 2. 商群的求解
第五节 正规子群与商群
令G={f1, f2, …, f6}，则G关于函数的复合运算构成群.
G的全体子群是：
Fra Baidu bibliotek
H1 = {f1},
H2 = {f1, f2}, H3 = {f1, f3}，
H4 = {f1, f4},H5 = {f1, f5, f6}, H6 = G
H1, H5和H6是G的正规子群，而H2, H3和H4不是正规子群.
Hf5={f1f5, f2f5}={f5, f3}， Hf6={f1f6, f2f6}={f6, f4}
Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.
2．陪集的基本性质
定理11.8 设H是群G的子群，则 （1）He = H （2）a∈G有a∈Ha.
定理11.9 设H是群G的子群，则a,b∈G有
Z18/<4> = {<4>, 1+<4>}, 其中 1+<4> = {1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15} ， 其中1+<4> = {1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15}， 运算表为 运算表为
<4>
1+<4>
<4> <4> 1+<4> 1+<4> 1+<4> <4>
任取a∈G，a ≠ e，则<a>是G的子群.
根据拉格朗日定理，<a>的阶是p的因子，即<a>的阶是p或1. 显然<a>的阶不是1，这就推出G = <a>
2．拉格朗日定理的应用实例 命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群. 证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取x,y∈G，则
xy = (xy)1 = y1x1 = yx，
解：<3> = {0, 3, 6, 9}, <3>的不同左陪集有3个，即 0+<3> = <3>, 1+<3> = 4+<3> = 7+<3> = 10+<3> = {1, 4, 7, 10} , 2+<3> = 5+<3> = 8+<3> = 11+<3> = {2, 5, 8, 11}.
分析：求群的所有陪集的方法，以右陪集为例加以说明. 对于有限群G，子群H的不同的右陪集数为 |G| / |H|. 第一个右陪集就是H自身.
三、商群 1. 商群定义及其实例 商群定义：设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的 全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即 G/N = {Ng | g∈G}
在G/N上定义二元运算如下：对于任意的 Na, Nb∈G/N，
Na Nb=Nab 可以证明G/N关于运算构成一个群，称为G的商群.
证 任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的阶是n的因子. <a>是由a生成的子群，若|a| = r，则 <a> = {a0=e,a1,a2,…,ar1} 即<a>的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e. 推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>. 证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元.
对称性. 任取a,b∈G，则
<a,b>∈R ab1∈H (ab1) 1∈H ba1∈H <b,a>∈R 传递性. 任取a,b,c∈G，则 <a,b>∈R∧<b,c>∈R ab1∈H∧bc1∈H ac1∈H <a,c>∈R 下面证明：a∈G，[a]R = Ha. 任取b∈G， b∈[a]R <a,b>∈R ab1∈H Ha=Hb b∈Ha
运算表为
<9> <9> 3+<9> 3+<9> 3+<9> 6+<9> 6+<9> 6+<9> <9> 说明：求解商群的方法： 说明：求解商群的方法： 商群 G/ N = { Ng | g G }. 先计算子群 N
商群G/ N = { Ng | g G }. 先计算子群N
求所有陪集的集合 G/N, 对于有限群，|G/N| = |G| / |N|. 若商群为有限群，给出运算表；若商群为无限群，给出运算表 若商群为有限群，给出运算表；若商群为无限群，给出运 达式 算表达式
{<9>, 3+<9>, 6+<9>} <3>/<9> = <3>/<9> {<9>,=3+<9>, 6+<9>} 其中 3+<9> = {3, 6+<9> 12}, 6+<9>= = {6, 15}. 其中 3+<9> = {3, 12}, {6, 15}. 运算表为 <9> 3+<9> 6+<9> 6+<9> <9> 3+<9>
. ZZ 关于 Z的商群 则3Z是Z的正规子群 /3Z3= {[0], [1], [2]}
[0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
2.商群的求解
= {0, 4, 8, 12, 16, 2, 6, 10, 14}. 例题．设<<4> Z18, >为模 18 加群，求商群 Z18/<4>, <3>/<9>. = {0, 3, 6, 9, 2, 12,6, 15} 解： <4> = <3> {0, 4, 8, 12, 16, 10, 14}. = 12, {0, 15} 9} <3> = {0, 3,<9> 6, 9, Z18/<4> = {<4>, 1+<4>}, <9> = {0, 9}
因此G是Abel群.
例 证明阶小于6的群都是Abel群.
证 1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群.
2,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群. 都是
Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则G=<a>. 由上述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元. 由命题可知G也是Abel群.