第11章超静定结构概论
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材料力学_超静定结构
B1
1
B
C1 No
C
a
IAm1 ag2e
A
a
l
e
C1
C'
3
B1
1
C1
A1
2
l1 = l2
B C
A
l C1
3
l3 e
C''
（1）变形几何方程为 Δl1 Δl3 Δe
（2）物理方程
Δl1
FN1l1 EA
Δl3
FN3l E3 A3
FN1
B'
（3）补充方程
FN3l Δe FN1l
E3 A3
EA
FN3 C' FN2 A'
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering）
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
A
（3）补充方程
l ΔT
l
FRB l EA
（4）温度内力
FRA A
FRB EA l ΔT
由此得温度应力
T
FRB A
l E ΔT
B
lT B'
lF
B
B'FRB
§2-3 简单超静定梁的解法—变形比较法
求解超静定梁的步骤
q
(procedure for solving a statically
工程力学-超静定结构
P
P
4 多余约束
静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；
5 多余约束反力
与多余约束相对应的反力；
6 超静定系统的特点：
P
P ①、提高构件的强度和刚度。 ②、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。 ③、可以产生装配应力和温度应力。
7 超静定问题分类
第一类： 在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的; 外力超静定系统。
二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量）
1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形 不计。求CD杆的受力。
2a P
D
a
C
2、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的 2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。
a
P
C
a
K
3、、求B处支反力
a
P
B
a
4、求B支反力
M=Pa
2a
P
B
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
5、求B支反力
M1( x) 0
x 1.0
M2(x) x
积分得到：
1 .0w CE 10 2 IFx22xF N x2dx
1.0w CE 1IF8 324 2FN8 3
1.0wc(F 3E FN)I84EFI A
B
D
F C
E
（6）、回代到协调方程中，得到：
8(FFN)4F8FNFNl 3EI EI 3EI EA
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
P
4 多余约束
静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；
5 多余约束反力
与多余约束相对应的反力；
6 超静定系统的特点：
P
P ①、提高构件的强度和刚度。 ②、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。 ③、可以产生装配应力和温度应力。
7 超静定问题分类
第一类： 在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的; 外力超静定系统。
二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量）
1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形 不计。求CD杆的受力。
2a P
D
a
C
2、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的 2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。
a
P
C
a
K
3、、求B处支反力
a
P
B
a
4、求B支反力
M=Pa
2a
P
B
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
5、求B支反力
M1( x) 0
x 1.0
M2(x) x
积分得到：
1 .0w CE 10 2 IFx22xF N x2dx
1.0w CE 1IF8 324 2FN8 3
1.0wc(F 3E FN)I84EFI A
B
D
F C
E
（6）、回代到协调方程中，得到：
8(FFN)4F8FNFNl 3EI EI 3EI EA
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
超静定结构
A
2）几何方程——变形协调方程：
l3 l2
l1
A2
A1
A3
y
F
FN3 FN1
FN2
aa
A
x
l1 l2 L3 cosa
3）物理关系
FN1L1 FN 3L3 cosa
E1 A1 E3 A3
4）联解方程得:
FN1
FN 2
E1A1F cos2 a 2E1A1 cos3 a E3 A3
解：一次超静定问题
取支座 B 截面上的相对转 动约束为多余约束。
A
基本静定系为在 B 支座截 面上安置铰的静定梁
多余反力为分别作用于简
支梁 AB 和 BC 的 B 端处
的一对弯矩 MB 。
变形相容条件为，简支
梁 AB 的 B 截面转角和
A
BC 梁 B 截面的转角相等
B B
20 kN/m
FB
3 8
ql
按平衡方程求出
FA
5 8
ql
M
A
1 8
ql 2
A
B
B
FB
B
wBq
wBFB
B
FB
例6-10 梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接, 在梁受荷载作 用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢 梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 试求钢杆 AD 内的拉力 FN。
B
30 kN
C D
4m
20kN/m
B
3m
MB
2m 30 kN
C D
【力学课件】超静定结构
B
3X
2X
A
1PF
2PF
1X
Ⅰ系体本基
B
3X
2X 2X
A
1PF
构结原
B
2PF
A
1PF
3X
2PF
1X 1X
�nX …、2X、 1X力知未余多个n�量知未本基 • �程方型典法力的下用作载荷在构结定静超次n( •
。件条形变个n的处束约余多个n�程方本基 • �构结定静的得所后束 约余多个n的应相掉去中构结原从�系体本基 •
。 移位应相的构结原是边右程方 。 移位的系体本基是边左程方
33
32 31
• :注 •
13
12 11
23
22 21
0 = P 3⊿ + 3 X 0 = P 2⊿ + 3X 0 = P 1⊿ + 3X
δ+2X δ+2X δ+2X
δ+1X δ+1X δ+1X
δ • δ • δ •
�程方法力的构结定静超次三
1=1X
11δ
图 PM
2/ 2 l q 1=1X
图 1M
l
PM+1M1X
=M
•
基在用作1X将可也�理原加叠用可图矩弯后最 • )↑( 8/lq3 =11δ/P1⊿ - =1X • �得 �件条形变入代 •
�力内力反的余其求件条衡平用�上系体本
IE 8 IE � � � � xd � PM1M lq
�性特力静、2 •
梁 定 静 超 �1 �
型类的构结定静超、3
拱定静超�3�
。数个的束约除撤 需所�构结定静成变构结定静超把 = n •
自考结构力学 超静定结构的内力和位移
3、力法基本方程－
D11 d 11 X 1 d 11 X 1 D1P 0
D11 X 1 D1 p 0
一、力法基本思路 有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决 多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。
力法的基本体系
D1=0 D11=1
D11 + D1P =0 d11x1+ D1P =0
作单位和荷载弯矩图
FP F Pa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 FP 0 仅与刚 X1 6 4 96 11 度相对 X1 5X2 FP 3F 值有关 P 0 X2 4 6 16 88
4 FP X1 11 X 2 3 FP 88
基本方程的物理意义？
X1
X2
a
b
l
a
b
基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本 未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。
d11 X 1 d12 X 2 D1c 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2 c
h
X1 1
1
1 l
X2 1
注意
q
1、基本体系有多种选择；
X1
q
q
X1
EI
1
q q
D1 p
q
X1 X1
D1 p
)d
d 11 X 1
11
X1
X1
（a） 2、系数和自由项的计算 3、采用叠加法绘制内力图
（b）
（c）
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁 原结构
待解的未知问题
D11 d 11 X 1 d 11 X 1 D1P 0
D11 X 1 D1 p 0
一、力法基本思路 有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决 多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。
力法的基本体系
D1=0 D11=1
D11 + D1P =0 d11x1+ D1P =0
作单位和荷载弯矩图
FP F Pa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 FP 0 仅与刚 X1 6 4 96 11 度相对 X1 5X2 FP 3F 值有关 P 0 X2 4 6 16 88
4 FP X1 11 X 2 3 FP 88
基本方程的物理意义？
X1
X2
a
b
l
a
b
基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本 未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。
d11 X 1 d12 X 2 D1c 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2 c
h
X1 1
1
1 l
X2 1
注意
q
1、基本体系有多种选择；
X1
q
q
X1
EI
1
q q
D1 p
q
X1 X1
D1 p
)d
d 11 X 1
11
X1
X1
（a） 2、系数和自由项的计算 3、采用叠加法绘制内力图
（b）
（c）
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁 原结构
待解的未知问题
超静定结构PPT课件
MC
A
MC MC
MC
M
(6)作M图
C
MC
X1 =1
M A M A X1 M FA
MC
A
C
MC
第21页/共45页
MA
21
三、三次超静定结构
FC
D
a
A
B
a
正则方程：2111XX11
12 X 22 X
2 2
13 X 3 23 X 3
1F 2F
0 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3F 0
1
8
11
M X M M
1
1
F
B
9ql2 128
3l 8
第11页/共45页
11
例12－2 EI为常数，作梁的弯矩图。
解（1）解除B多余约束，建立相当系统
q
（2）建立正则方程
A
B
C
a
2a
（3）求解
11X1 1F 0
q
1 (1 2a 2a 2 2a) 8a3
11 EI 2
3
3EI
A
n
ij ，而原系统由于 x j ( j 1,n) 与外载荷共同作用对此位移限制为零
j 1
（或已知），故有
11X1 12 X 2 1n X n 1F 0
21 X 1
22 X 2
2n X n
2F
0
n1X1 n2 X 2 nn X n nF 0
根据位移互等定理有： ij ji ij 称为柔度系数，是 X j 1引起的 X i 作用点 X i 方向上的位移；iF 是外载 荷引起的 X i 处的相应位移。正则方程是对应于 n 个多余未知力 X i 的变 形协调条件，是求解静不定问题的补充方程。
超静定结构的内力
通过对大型机械设备的超静定结构进行优化 设计，提高设备的运行效率和安全性，降低 能耗和维护成本。
06 超静定结构的应用与发展趋势
CHAPTER
应用领域
桥梁工程
建筑工程
超静定结构在桥梁设计中应 用广泛，如斜拉桥、拱桥等， 能够提供更高的承载能力和
稳定性。
超静定结构在高层建筑、大 跨度结构等建筑工程中具有 重要应用，能够增强结构的
优化设计方法
数学模型法
有限元法
遗传算法
建立超静定结构的数学模型， 包括受力分析、位移分析、 稳定性分析等，以便进行优 化设计。
利用有限元分析软件对超静 定结构进行离散化分析，得 到结构的内力和位移等结果， 为优化设计提供依据。
采用遗传算法等智能优化算 法对超静定结构进行优化设 计，寻找最优解或近似最优 解。
超静定结构的内力
目录
CONTENTS
• 超静定结构的基本概念 • 超静定结构的内力分析方法 • 超静定结构的内力计算 • 超静定结构的稳定性分析 • 超静定结构的优化设计 • 超静定结构的应用与发展趋势
01 超静定结构的基本概念
CHAPTER
定义与特点
定义
超静定结构是指具有多余约束的结构， 即结构的自由度小于其独立刚体的自 由度。
抗震性能和承载能力。
机械工程
航空航天工程
超静定结构在机械设计中用 于制造高强度、高刚度的零 部件，提高机械设备的稳定
性和可靠性。
超静定结构在航空航天领域 的应用，如飞机机身、火箭 发动机壳体等，能够提供更
高的结构强度和稳定性。
发展趋势
优化设计
随着计算机技术的发展，超静定结构的优化设计成为研究 热点，旨在寻求更轻量化、高效的结构形式。
06 超静定结构的应用与发展趋势
CHAPTER
应用领域
桥梁工程
建筑工程
超静定结构在桥梁设计中应 用广泛，如斜拉桥、拱桥等， 能够提供更高的承载能力和
稳定性。
超静定结构在高层建筑、大 跨度结构等建筑工程中具有 重要应用，能够增强结构的
优化设计方法
数学模型法
有限元法
遗传算法
建立超静定结构的数学模型， 包括受力分析、位移分析、 稳定性分析等，以便进行优 化设计。
利用有限元分析软件对超静 定结构进行离散化分析，得 到结构的内力和位移等结果， 为优化设计提供依据。
采用遗传算法等智能优化算 法对超静定结构进行优化设 计，寻找最优解或近似最优 解。
超静定结构的内力
目录
CONTENTS
• 超静定结构的基本概念 • 超静定结构的内力分析方法 • 超静定结构的内力计算 • 超静定结构的稳定性分析 • 超静定结构的优化设计 • 超静定结构的应用与发展趋势
01 超静定结构的基本概念
CHAPTER
定义与特点
定义
超静定结构是指具有多余约束的结构， 即结构的自由度小于其独立刚体的自 由度。
抗震性能和承载能力。
机械工程
航空航天工程
超静定结构在机械设计中用 于制造高强度、高刚度的零 部件，提高机械设备的稳定
性和可靠性。
超静定结构在航空航天领域 的应用，如飞机机身、火箭 发动机壳体等，能够提供更
高的结构强度和稳定性。
发展趋势
优化设计
随着计算机技术的发展，超静定结构的优化设计成为研究 热点，旨在寻求更轻量化、高效的结构形式。
超静定结构总论
分区混合法
12 FP 144 X 1 6Z 2 0 EI EI 6 X 1 2 EIZ 2 4 FP 0
4 X 1 FP 27 14 FP Z2 9 EI
M M1 X1 M 2 Z2 M P
分区混合法
4 混合分区的典型方程
X P 0 R r r Z P 0
预应力——典型例子
支座简图与弹性支撑概念
弹性支撑概念的应用 （1）当结构中某部分承受荷载时，可把这部分从结构 中分割出来，看成一个具有弹性支撑的结构，而把相邻 部分看成弹性支座。 ■刚架
* M A SA A
* M B SB B
支座简图和弹性支撑概念
■直墙式隧道衬砌
支座简图和弹性支撑概念
位移法求解：
r11Z1 R1P 0
45i r11 7 3ql 2 R1P 56
2
Z Z
基本结构
1 R1P r11 ql 120i
M1图
3i
r11
24 i 7
M M1Z1 M P
ql 2 ql 2 8 14 R1P
MP图
M图
分区混合法
1分区混合的基本未知量 和基本体系 多余约束少、结点位移多的部分 ——用力法分析（a区） ； 多余约束力多、结点位移少的部分 ——区用位移法分析（b） 。 实际结构 2 混合分区的基本方程 ——变形协调条件和平衡条件
广义基本结构、广义单元和子结构的应用
4 例题 已知：EI=常数。 求：连续梁内力。
力法求解： 11 X1 1P 0
M1图
5l ql 3 11 1P 8EI 16 EI 1P ql 2 X1 11 10
结构力学 超静定结构总论
第十四章
超静定结构总论
• 基本解法的分类和比较 • 基本解法的推广和联合应用
• 混合法与近似法 • 超静定结构的特性 • 关于计算简图的补充讨论
§14-1 超静定结构解法的分类和比较
手 基本形式
算
能量形式
渐近形式
力法类型 力法
余能法 （渐近力法）
位移法类型 位移法 势能法
力矩分配法、无剪力分配法
电算 矩阵形式
变形条件：
11X1 12X 2 133 144 1P 0
21X1 22X 2 233 244 2P 0
X2 X1
平衡条件： M B 0, M BA M BC M BD 0
M D 0, M DB M DE M DF 0
六个多余 未知力， 两个结点 位移。用 位移法作。
A
θ3 B
C
θ4
DF E
对称问题按位
P移法或力矩分源自配法计算，反对称问题按力
法或无剪切分
配法计算。
P/2 P/2
对 称
P/2 P/2
反 对 称
§14-3 混合法
混合法的基本特点是：基本未知量中既有位移，又有力。
两个多余 未知力， 五个结点 位移。用 力法作。
合理的方法是混合法：
基本未知量：X1 X2θ3θ4 基本方程：变形条件、平衡条件。
2）忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架
分成一层一层地计算。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
除底层柱底外，其余各柱端是 弹性固定端。故将上层各柱的 i×0.9,传递系数改为1/3。
二、反弯点法 （适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构）
假设：横梁为刚性梁；结点无转角。柱的反弯点在其中点。
超静定结构总论
• 基本解法的分类和比较 • 基本解法的推广和联合应用
• 混合法与近似法 • 超静定结构的特性 • 关于计算简图的补充讨论
§14-1 超静定结构解法的分类和比较
手 基本形式
算
能量形式
渐近形式
力法类型 力法
余能法 （渐近力法）
位移法类型 位移法 势能法
力矩分配法、无剪力分配法
电算 矩阵形式
变形条件：
11X1 12X 2 133 144 1P 0
21X1 22X 2 233 244 2P 0
X2 X1
平衡条件： M B 0, M BA M BC M BD 0
M D 0, M DB M DE M DF 0
六个多余 未知力， 两个结点 位移。用 位移法作。
A
θ3 B
C
θ4
DF E
对称问题按位
P移法或力矩分源自配法计算，反对称问题按力
法或无剪切分
配法计算。
P/2 P/2
对 称
P/2 P/2
反 对 称
§14-3 混合法
混合法的基本特点是：基本未知量中既有位移，又有力。
两个多余 未知力， 五个结点 位移。用 力法作。
合理的方法是混合法：
基本未知量：X1 X2θ3θ4 基本方程：变形条件、平衡条件。
2）忽略每层梁的竖向荷载对其它各层的影响，把多层刚架
分成一层一层地计算。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
除底层柱底外，其余各柱端是 弹性固定端。故将上层各柱的 i×0.9,传递系数改为1/3。
二、反弯点法 （适用于水平荷载作用下的强梁弱柱结构）
假设：横梁为刚性梁；结点无转角。柱的反弯点在其中点。
超静定结构的概念及超静定次数的确定ppt课件
➢以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上，将本构写成用 力表示位移的形式，代入几何方程求解，这时最终方程是以力的形式 表示的几何方程，这种分析方法称为力法（force method）。
➢以位移作为基本未知量，在自动满足几何方程的基础上，将本构写成 用位移表示力的形式，代入平衡方程，当然这时最终方程是用位移表 示的平衡方程，这种分析方法称为位移法（displacement method）。
❖ 力法基本结构
➢原结构解除多余约束所形成的静定结构，称为力法基本结构。
Strucural Analysis
.
School of Civil Engineering, Tongji7Univ.
§9-1 超静定次数和力法基本结构
❖ 力法基本结构
原结构
力法基本结构－悬臂梁
X1
X2
❖ 力法基本未知量与基本结构的关系
任课教师授课班级12建筑工程授课时间2013391超静定结构的概念超静定次数的确定面授教学方法讲练结合教学目的理解超静定结构的概念学会确定超静定次数教学重点超静定结构的概念超静定次数的确定教学难点超静定结构的概念超静定次数的确定湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件超静定结构的求解方法总体思想
.
17
.
18
➢土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学 类”。
“结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有 强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系）， 其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。
“弹性力学类”包括弹塑性力学和l Engineering, Tongji Univ.
§9-1 超静定次数和力法基本结构
➢以位移作为基本未知量，在自动满足几何方程的基础上，将本构写成 用位移表示力的形式，代入平衡方程，当然这时最终方程是用位移表 示的平衡方程，这种分析方法称为位移法（displacement method）。
❖ 力法基本结构
➢原结构解除多余约束所形成的静定结构，称为力法基本结构。
Strucural Analysis
.
School of Civil Engineering, Tongji7Univ.
§9-1 超静定次数和力法基本结构
❖ 力法基本结构
原结构
力法基本结构－悬臂梁
X1
X2
❖ 力法基本未知量与基本结构的关系
任课教师授课班级12建筑工程授课时间2013391超静定结构的概念超静定次数的确定面授教学方法讲练结合教学目的理解超静定结构的概念学会确定超静定次数教学重点超静定结构的概念超静定次数的确定教学难点超静定结构的概念超静定次数的确定湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件超静定结构的求解方法总体思想
.
17
.
18
➢土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学 类”。
“结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有 强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系）， 其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。
“弹性力学类”包括弹塑性力学和l Engineering, Tongji Univ.
§9-1 超静定次数和力法基本结构
力法求解超静定结构ppt课件
2a
9a 3 EI
1P
23
1 EI
2ma 2a
4ma 2
EI
由 11 X1 1P 0 得
X1
4m 9a
RA
RC
4m 9a
mA
mB
m 逆时针
3
24
等截面平面框架的受力情况如图所示。试 求最大弯矩及其作用位置。
25
1P
0
得
X1
qa 16
XB
qa 16
,
YB
9qa 16
21
XA
qa ,
16
YA
7qa 16
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、 Ｂ、Ｃ三处的约束力。
22
M10 图
MP图
由反对称性知，B支座约束反力RB 0
11
1 EI
9a2 2
解除多余约束后得到的静定结构，称为原 静不定系统的静定基本系统，或相当系统。
（本章主要用力法解超静定结构）
4
补充-2 力法解超静定结构
在求解静不定结构时，一般先解除多余 约束，代之以多余约束力，得到基本静定系。 再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补 充方程。这种以“力”为未知量，由变形协调
条件为基本方程的方法，称为力法。
X1
3qa 16
XC
3qa 16
，YC
0，M C
0
X A ()
X B ()
材料力学 第11章 超静定结构
心有所信，方能行远。
本课件部分图片来源网络，仅供教学使用
材料力学
11.3 对称及对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一
轴，则称此结构为对称结构。 若外力对称于结构对称轴， 结构将产生对称变形。 若外力反对称于结构对称轴，结构将产生反对称变形。
X
2
8EI
0
⑥求其它支反力
由平衡方程得其它支反力， 全部表示于图中。
X
1
1 qa() 28
X
2
3 7
qa()
A
q B
冯康 (1920-1993)
【人物介绍】
冯康，浙江绍兴人 ，出生于 江苏省南京市，数学家、中国有限 元法创始人、计算数学研究的奠基 人和开拓者。
1965年发表名为《基于变分 原理的差分格式》的论文，这篇论 文被国际学术界视为中国独立发展 “有限元法”的重要里程碑 。
3. 在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内 力都是超静定的。
四. 超静定结构的分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
材料力学
外力超静定
内力超静定 外力和内力超静定
材料力学
11.2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
a A
a
②选取并去除多余约束，代以多 q 余约束反力。
③建立力法正则方程
B q
A X1 X2
④计算系数dij和自由项DiP
B
用莫尔定理求得
材料力学
A x1 q
x2
B
A
x2
x1 1
力学与结构超静定结构的内力计算PPT课件
第13页/共52页
力法
同一超静定结构在求解时可选择各种不同形式的基本结构，结果必然相同。
五、超静定结构在温度变化、支座移动时的内力计算
对于超静定结构，即使没有荷载作用时也可能产生内力，如支座移动、温度变 化以及制造装配方面的误差都可以引起结构的内力。用力法计算由于支座移动、温度 变化等引起结构的内力时，其基本思路、原理和步骤与荷载作用下的内力计算基本相 同，不同的只是力法的典型方程中自由项的计算。以下只以支座移动时的计算为例来 讲述。
QAC
QCA
3ql 28
，NAC =NCA
取CB，如图6.12(b)所示，分别由∑MB=0 ， ∑x=0 ，得：
QCB
4 7
ql
N BC
NCB
3 ql 28
取C结点，如图6.12(c)所示，由∑y=0 得：
NCA
QCB
4 7
ql
取结点B，由∑X=0
，已x知2
3 7
ql
得
NBC
3 ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
(3) 作基本体系M的1, M 2, M P
图，利用图乘法求系数和自由项，并解方程求得
X1、X2。
11
2
M 1 ds
1 (1 l l 2 l)
l3
EI EI 2 3 3EI
22
2
M 2ds
1
(1 l l 2l l l l)
的位移。求超静定结构的位移仍可用单位荷载法，单位力可加在原结构上，也可加在
它的七任一、静超定静基本定结结构构上。的特性
超静定结构有不同于静定结构的一些特性：
超静定结构的概念和超静定次数的确定
第5章力法5.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定1。
超静定结构的概念前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。
关于结构的静定性可以从两个方面来定义从几何组成的角度来定义静定结构就是没有多余联系的几何不变体系;从受力的角度来定义,静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和内力的结构.现在,我们要讨论的是超静定结构。
它同样可以从以上两个方面来定义，从几何组成的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力或内力的结构.如图5。
1（a）所示的简支梁是静定的，当跨度增加时，其内力和变形都将迅速增加。
为减少梁的内力和变形,在梁的中部增加一个支座,如图5.1(b)所示，从几何组成的角度分析，它就变成具有一个多余联系的结构。
也正是由于这个多余联系的存在，使我们只用静力平衡方程就不能求出全部4个约束反力F ax、F ay、F by、F cy和全部内力。
具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反力或内力的结构称为超静定结构。
图5。
1(b)和图5.2所示的连续梁和刚架都是超静定结构.图5。
3给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。
本章讨论如何用力法计算这种类型的结构。
图5.1 图5.2图5。
3结构力学962。
超静定次数的确定力法是解超静定结构最基本的方法.用力法求解时,首先要确定结构的超静定次数。
通常将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。
如果一个超静定结构在去掉n个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是n次超静定.显然,我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构(以后称原结构)变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数。
去掉多余联系的方式,通常有以下几种：（1) 去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆,相当于去掉一个联系。
如图5。
4所示结构就是一次超静定结构.图中原结构的多余联系去掉后用未知力x1代替。
第11章超静定结构共24页
相当系统=
X2 X1 或
X1
X2
相当系统=
X1 X1
§11–2 用力法解超静定结构
1 力法及基本思路 力法：以力为基本未知量求解超静定问题的解法。
例如图所示，试求支座反力。梁EI为常数。
P
解：1）判定为一次超静定 2）选取静定基 相当系统
(a)
A
C
B
l
l
2
2
3）变形协调方程
B1X11P0 (b)
1 1X11 2X21n Xn1P0
2 1X12 2X22n Xn2P0
n1X1n2 X2n nXnn P0
由位移互等定理知： ij ji
δij — 影响系数，表示在静定系上由Xj取单位值即单位载荷引
起的在Xi作用点沿Xi方向的位移；
§11–1 超静定结构概述
1 超静定结构（系统） 若未知力的个数多于独立的平衡方程的数目，则仅由平衡方程无 法确定全部未知力的结构或系统。
1
2
3
1
2
2 多余约束
从维持静力平衡角度而言是多余的约束，称多余约束；相对应的 反力称为多余约束反力。
但从维持变形及承载而言并不多余
3 超静定分类 1)外力超静定 结构的外部约束力不能完全用静平衡方程求出的静不定问题。
B
A 1
222E M 2cIE 1(Ia 2a23 a)3a E 3 I
3a
4
a M2
B
121E M2IcE 1(Ia 2a)a2aE 3 I
⑤求多余约束反力
11X112X21P0
将上述结果代入力法正则方程可得 21X122X
3EI X1 2EI X2 6EI 0
p104-超静定结构概述.
第11章 超静定结构的内力与位移\概述
应用上述去掉约束的方式，可以确定出任何结构的超静定次数。由于 去掉约束的方式具有多样性，所以对同一超静定结构可以得到与其对应的 不同形式的静定结构。必须注意，不管以何种方式去掉多余约束，得到的 结构必须是无多余约束的几何不变体系，即静定结构。一定注意不要将结
构变为瞬变体系。
如图所示梁，有四个反力，但只有三个独立的平衡方程，不能由平衡
条件解出所有未知力。
第11章 超静定结构的内力与位移\概述
图示桁架，支座链杆和内部链杆共有14根，每一根链杆对应一个未知 力，共14个未知力，但只能列出12个独立平衡方程；不能由平衡条件解确定， 是超静定结构与静定的根本区别。
例如若把图a所示结 构变为图b所示的瞬变结 构是错误的。
第11章 超静定结构的内力与位移\概述
第104讲
超静定结构的概述
主讲教师：王国菊
江苏建筑职业技术学院 微课研制： 河北水利电力学院
第11章 超静定结构的内力与位移\概述
§11－1 概述
11－1－1 超静定结构的概念
超静定结构是工程实际中广泛应用的一类结构，与静定结 构相比，超静定结构有如下两方面的特点: (1) 从几何组成来说，超静定结构是有多余约束的几何不变 体系。
第11章 超静定结构的内力与位移\概述
如图a所示梁，是有一个多余约束的几何不变体系。 图b所示桁架，是有两个多余约束的几何不变体系。 它们都是超静定结构。
第11章 超静定结构的内力与位移\概述
(2) 从静力特征方面来说，仅由静力平衡条件不能解出超静定结构中的
所有反力和内力。
这是因为超静定结构存在多余约束，多余约束所对应的力称为多余未 知力 。
第11章 超静定结构的内力与位移\概述
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其中
所以
作刚架的弯矩图如图(c5)所示。
*11.4压力机机身或轧钢机机架可以简化成封闭的矩形刚架（见图）。设刚架横梁的抗弯刚度为EI1，立柱的抗弯刚度为EI2。作刚架的弯矩图。
(a)
解：由于刚架和载荷对称，取1/4刚架为研究对象，如图(b)所示。图(c)为载荷作用下的弯矩图，图(d)为单位力偶作用下的弯矩图。正则方程为
3.与静定结构相比较，静不定结构有何特点？
超静定结构和静定结构相比，具有重量轻、安全性和可靠性高等一系列优点。
4.如何利用对称性和反对称性简化超静定结构的计算？
利用对称性和反对称性通过降低超静定结构的超静定次数来简化其计算。
11.1图示平面结构中，如载荷作用在结构的平面内，试分别判断各个结构的超静定次数。
其中
所以
由平衡条件得
由对称性可得
(b)这是二次静不定结构。解除B端约束，代之以反力X1、X2，如图(b1)所示。图(b2)为载荷、单位力、单位力偶分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
由正则方程求出
即
由系统平衡条件可以求得
11.3作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的EI皆相等。
解：(a)此结构为一次静不定问题。图(a1)为静定基，图(a2)为载荷和单位力分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
所以
作刚架弯矩图如图(e)所示。
（4）求正则方程的系数；
（5）求解正则方程；
（6）其它运算。
2.力法正则方程的实质是什么？方程中的系数 和自由项 的物理意义是什么？
力法正则方程的实质就是变形协调条件。方程中的系数ij表示广义单位力Xj＝l单独作用在基本静定系上，在Xi的作用点其沿方向上产生的广义位移。自由项 表示原载荷单独作用在基本静定系上，在Xi的作用点其沿方向上产生的广义位移。
解：(a)为三次超静定结构
(b)为一次超静定结构
(c)为静定结构
(d)为二次超静定结构
(e)为四次超静定结构
(f)为二次超静定结构
(g)为九次超静定结构
11.2求图示超静定梁的两端反力。设固定端沿向反力，则结构可化为图(a1)所示一次静不定。
图(a2)为载荷和单位力偶分别作用下的弯矩图。正则方程为
第11章超静定结构
思考题
1.如何选取基本静定系？试述求解静不定系统的基本方法和步骤。
解除与超静定的次数相等的多余约束，可得到基本静定系。在所有可能的基本静定系中选取计算最方便的基本静定系作为解题用基本静定系。
求解超静定系统的基本方法和步骤：
（1）确定超静定次数；
（2）解除多余约束，得基本静定系；
（3）建立正则方程；
其中
所以
作刚架的弯矩图如图(a3)所示。
(b)这是一次静不定结构。静定基如图(b1)所示。图(b2)为载荷和单位力分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
所以
作刚架的弯矩图如图(b3)所示。
（c）这是二次静不定结构。解除A端约束，代之以反力X1、X2，如图(c1)所示。图(c2)为载荷作用下的弯矩图，图(c3)、(c4)为单位载荷作用下的弯矩图。正则方程为
所以
作刚架的弯矩图如图(c5)所示。
*11.4压力机机身或轧钢机机架可以简化成封闭的矩形刚架（见图）。设刚架横梁的抗弯刚度为EI1，立柱的抗弯刚度为EI2。作刚架的弯矩图。
(a)
解：由于刚架和载荷对称，取1/4刚架为研究对象，如图(b)所示。图(c)为载荷作用下的弯矩图，图(d)为单位力偶作用下的弯矩图。正则方程为
3.与静定结构相比较，静不定结构有何特点？
超静定结构和静定结构相比，具有重量轻、安全性和可靠性高等一系列优点。
4.如何利用对称性和反对称性简化超静定结构的计算？
利用对称性和反对称性通过降低超静定结构的超静定次数来简化其计算。
11.1图示平面结构中，如载荷作用在结构的平面内，试分别判断各个结构的超静定次数。
其中
所以
由平衡条件得
由对称性可得
(b)这是二次静不定结构。解除B端约束，代之以反力X1、X2，如图(b1)所示。图(b2)为载荷、单位力、单位力偶分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
由正则方程求出
即
由系统平衡条件可以求得
11.3作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的EI皆相等。
解：(a)此结构为一次静不定问题。图(a1)为静定基，图(a2)为载荷和单位力分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
所以
作刚架弯矩图如图(e)所示。
（4）求正则方程的系数；
（5）求解正则方程；
（6）其它运算。
2.力法正则方程的实质是什么？方程中的系数 和自由项 的物理意义是什么？
力法正则方程的实质就是变形协调条件。方程中的系数ij表示广义单位力Xj＝l单独作用在基本静定系上，在Xi的作用点其沿方向上产生的广义位移。自由项 表示原载荷单独作用在基本静定系上，在Xi的作用点其沿方向上产生的广义位移。
解：(a)为三次超静定结构
(b)为一次超静定结构
(c)为静定结构
(d)为二次超静定结构
(e)为四次超静定结构
(f)为二次超静定结构
(g)为九次超静定结构
11.2求图示超静定梁的两端反力。设固定端沿向反力，则结构可化为图(a1)所示一次静不定。
图(a2)为载荷和单位力偶分别作用下的弯矩图。正则方程为
第11章超静定结构
思考题
1.如何选取基本静定系？试述求解静不定系统的基本方法和步骤。
解除与超静定的次数相等的多余约束，可得到基本静定系。在所有可能的基本静定系中选取计算最方便的基本静定系作为解题用基本静定系。
求解超静定系统的基本方法和步骤：
（1）确定超静定次数；
（2）解除多余约束，得基本静定系；
（3）建立正则方程；
其中
所以
作刚架的弯矩图如图(a3)所示。
(b)这是一次静不定结构。静定基如图(b1)所示。图(b2)为载荷和单位力分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
所以
作刚架的弯矩图如图(b3)所示。
（c）这是二次静不定结构。解除A端约束，代之以反力X1、X2，如图(c1)所示。图(c2)为载荷作用下的弯矩图，图(c3)、(c4)为单位载荷作用下的弯矩图。正则方程为