对数和对数函数练习题
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(e x)＜0的x的取值范围为．【答案】(0，1)【解析】因为由得：，又，所以由f(e x)＜0得：【考点】利用导数解不等式2.函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为________________.【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.函数y＝(－x2＋6x)的值域()A．(0,6)B．(－∞，－2]C．[－2,0)D．[－2，＋∞)【答案】D【解析】∵－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴0<－x2＋6x≤9，∴y≥9＝－2，故选D.4.设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则()A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【解析】∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.5.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故C正确.【考点】1对数函数的运算；2函数图像的平移.6.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系为________．【答案】a＞b＞c【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a＞b＞c.7. [2014·湛江模拟]已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(2，＋∞)【答案】B【解析】由题意可知，a＞0，故内函数y＝2－ax必是减函数，又复合函数是减函数，所以a＞1，同时在[0,1]上2－ax＞0，故2－a＞0，即a＜2，综上可知，a∈(1,2)．8.已知上的增函数，那么的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，故选C.【考点】1、分段函数；2、对数函数的性质；3、不等式组的解法.9. 2log510+log50.25=（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【解析】∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．10.下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C．D．（1，2）【答案】D【解析】∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D11.方程的解是．【答案】1【解析】原方程可变为，即，∴，解得或，又，∴．【考点】解对数方程．12.(1)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是，则a＝________；(2)若a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于号“<”将a、b、c连结起来________；(3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m<n且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为________.【答案】(1)4(2)c＜b＜a(3)－1＜x＜0(4)，2【解析】解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝loga x在区间[a，2a]上是增函数，∴loga2a－logaa＝，∴a＝4.(2)由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a.(3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.(4)结合函数f(x)＝|log2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝，所以n＝2.13.已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意，若a ＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．14.已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号)【答案】③④【解析】条件中的等式Û2a=3bÛa lg2=b lg3．若a≠0，则∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若|log a |=log a ,|log b a|=-log b a,则a,b 满足的条件是( ) A ．a>1,b>1 B ．0<a<1,b>1 C ．a>1,0<b<1 D ．0<a<1,0<b<1【答案】B【解析】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a 和b 的范围. ∵|log a |=log a ,∴log a ≥0=log a 1,根据对数函数的单调性可知0<a<1. ∵|log b a|=-log b a,∴log b a≤0=log b 1,但b≠1,所以根据对数函数的单调性可知b>1.17. 已知a>0，且a≠1，log a 3<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，1)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．(1，2)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】由已知得log a 3<log a a.当a>1时，3<a ，所以a>3；当0<a<1时，3>a ，因此0<a<1.综合选B.18. 已知A=｛x|,x ∈R ｝，B=｛x||x-i|<，i 为虚数单位，x>0｝,则A B=（ ） A ．（0,1） B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C 【解析】，即。
带标准答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
【名师点睛】高中数学 必修一 对数运算及对数函数练习题(含答案)
07课 对数运算1.下列式子中正确的个数是( )①log a (b 2－c 2)=2log a b －2log a c ②(log a 3)2=log a 32③log a (bc)=(log a b)·(log a c) ④log a x 2=2log a xA.0B.1C.2D.3 2.log 22的值为( )A.－ 2B. 2C.－12D.123.如果lgx=lga ＋2lgb －3lgc ，则x 等于( )A.a ＋2b －3cB.a ＋b 2－c 3C.ab 2c 3D.2ab 3c4.计算2log 510＋log 50.25=( )A.0B.1C.2D.4 5.已知a=log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )A.a －2B.5a －2C.3a －(1＋a)2D.3a －a 2－16.已知f(log 2x)=x ，则f(12)=( )A.14B.12C.22 D. 2 7.设lg2=a ，lg3=b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b1－a8.已知log 72=p ，log 75=q ，则lg2用p 、q 表示为( )A.pqB.q p ＋qC.pp ＋qD.pq1＋pq 9.设方程(lgx)2－lgx 2－3=0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于()A.1B.－2C.－103D.－410.计算：log 6[log 4(log 381)]=________.11.使对数式log (x －1)(3－x)有意义的x 的取值范围是________．12.已知5lgx=25，则x=________，已知log x 8=32，则x=________.13.计算：(1)2log 210＋log 20.04=________； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2=________；(3)lg 23－lg9＋1=________； (4)13log 168＋2log 163=________； (5)log 6112－2log 63＋13log 627=________.14.计算：log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78= 15.设log 89=a ，log 35=b ，则lg2=________.16.已知log 34·log 48·log 8m=log 416，求m 的值．17.设4a =5b=m ，且1a ＋2b=1，求m 的值．18.计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.19.已知lg(x ＋2y)＋lg(x －y)=lg2＋lgx ＋lgy ，求xy的值．20.若25a =53b =102c，试求a 、b 、c 之间的关系．21.已知二次函数f(x)=(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．指数函数练习题1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是( )3.函数的单调减区间为（）A． B．C． D．4.设全集U=R，A={x｜＜2}，B={x｜}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A.{x｜1≤x＜2}B.{x｜x≥1}C.{x｜0＜x≤1}D.{x｜x≤1}5.计算所得的结果为（）A.1B.2.5C.3.5D.46.设, 则（）A. B. C. D.7.设全集，集合，，则 ( )A. B. C. D.8.已知集合，则( )A. B. C. D.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0,+∞)上为增函数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.已知x, y为正实数, 则( )A.2lg x+lg y=2lg x+2lg yB.2lg(x+y) =2lg x·2lg yC.2lg x·lg y=2lg x+2lg yD.2lg(xy) =2lg x·2lg y11.已知集合A={x|0<log4x<1}, B={x|x≤2}, 则A∩B=( )A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]12.设a=log36, b=log510, c=log714, 则( )A.c> b> aB.b> c> aC.a> c> bD.a> b> c13.若a=log43,则2a+2-a=________.14.已知4a=2,lg x=a,则x=________.15.函数f(x) =lg(x-2) 的定义域是.16.函数f(x) =的定义域为.17.函数f(x) =log5(2x+1)的单调增区间是.18.函数f (x)=的定义域为.19.关于x的不等式|log2x|＞4的解集为．20. 函数的定义域为___________ ．21. .22.已知函数.（Ⅰ）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域. （用a表示）答案[答案] 1.C[答案] 2.D[答案] 3.D[答案] 4.A[答案] 5.A[答案] 6.C[答案] 7.B[答案] 8.C[答案] 9.C[答案] 10.D[答案] 11.D[答案] 12.D[答案] 13.[答案] 14.[答案] 15. (2,+∞)[答案] 16.[3, +∞)[答案] 17.(-0.5,+∞)[答案] 18.{x|0<x≤}[答案] 19.[答案] 20.[-0.25,0)∪(0.75,1][答案] 21.4。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.将转化为对数形式，其中错误的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】将转化为对数式应为，即；由换底公式，得；；故选项A,B,C正确；而选项D：，错误；故选D.【考点】指数式与对数式的互化、换底公式.2.已知则的值等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以因此【考点】对数式化简3.在对数函数中，下列描述正确的是（）①定义域是、值域是R ②图像必过点(1,0).③当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.④对数函数既不是奇函数，也不是偶函数.A．①②B．②③C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】对数函数的性质可结合函数图像来进行理解.单调性，对称性都可由图可以清楚的感知.【考点】对数函数的性质.4.已知且，函数，，记（1）求函数的定义域及其零点；（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.【答案】（1），0；（2）【解析】（1）均有意义时，才有意义，即两个对数的真数均大于0.解关于x的不等式即可得出的定义域，函数的零点，即，整理得，对数相等时底数相同所以真数相等，得到，基础x即为函数的零点（2）即，，应分和两种情况讨论的单调性在求其值域。
有分析可知在这两种情况下均为单调函数，所以的值域即为。
解关于m的不等式即可求得m。
所以本问的重点就是讨论单调性求其值域。
试题解析：（1）解：（1）（且），解得，所以函数的定义域为 2分令，则（*）方程变为，，即解得， 3分经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，所以函数的零点为， 4分（2）∵函数在定义域D上是增函数∴①当时，在定义域D上是增函数②当时，函数在定义域D上是减函数 6分问题等价于关于的方程在区间内仅有一解，∴①当时，由（2）知，函数F（x）在上是增函数∴∴只需解得：或∴②当时，由（2）知，函数F（x）在上是减函数∴∴只需解得： 10分综上所述，当时：；当时，或（12分）【考点】对数函数的定义域，函数的零点，复合函数单调性5.式子的值为．【答案】5【解析】根据对数公式，可知，=5+0=5【考点】对数公式6.，则 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由得故选B【考点】对数运算7.已知函数，则函数定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义需满足条件：，所以原函数的定义域为，答案选.【考点】1.根式有意义的条件以及对数函数有意义的条件；2.对数不等式.8.计算的结果为___________.【答案】1.【解析】由对数恒等式知，根据对数运算法则知，∴.【考点】对数的运算及对数恒等式．9.。
对数与对数函数习题及答案
对数和对数函数习题一、选择题1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） （A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2 2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则NM的值为（ ） （A ）41（B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,logaya n xlog ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）21(m-n)4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） （A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ）351 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 21-等于（ ）（A ）31（B ）321 （C ）221 （D ）331 6．函数y=lg （112-+x）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log 2x-123-x 的定义域是（ ）（A ）（32，1）⋃（1，+∞） （B ）（21，1）⋃（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（21，+∞）8．函数y=log 21(x 2-6x+17)的值域是（ ）（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 21(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）（A ）（1，+∞） （B ）（-∞，43］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，21］ 10．函数y=(21)2x +1+2,(x<0)的反函数为（ ） （A ）y=-)2(1log )2(21>--x x （B ）)2(1log )2(21>--x x（C ）y=-)252(1log )2(21<<--x x （D ）y=-)252(1log )2(21<<--x x11.若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）（A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0<n<m<1 （D ）0<m<n<112.log a132<，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，32）⋃（1，+∞） （B ）（32，+∞）（C ）（1,32） （D ）（0，32）⋃（32，+∞）14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）（A ）y=log 21(x+1) （B ）y=log 212-x （C ）y=log 2x 1（D ）y=log 21(x 2-4x+5) 15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ）（A ）y=2x x e e -+ （B ）y=lg xx+-11 （C ）y=-x 3 （D ）y=x16.已知函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（0，2） （D ）[2，+∞) 17．已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a1+x 是（ ）（A ）在（-∞，0）上的增函数 （B ）在（-∞，0）上的减函数 （C ）在（-∞，-1）上的增函数 （D ）在（-∞，-1）上的减函数 18．若0<a<1,b>1,则M=a b ，N=log b a,p=b a 的大小是（ ）（A ）M<N<P （B ）N<M<P （C ）P<M<N （D ）P<N<M 二、填空题1．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n = 。
高三数学对数与对数函数试题
高三数学对数与对数函数试题1.函数y＝lnx＋ax有两个零点，则a的取值范围是________．【答案】(－，0)【解析】因为函数y＝lnx＋ax，所以y′＝＋a，若函数存在两个零点，则必须a<0，令y′＝＋a＝0得x＝－.当0<x<－时，y′>0，函数单调递增；当x>－时，y′<0，函数单调递减，因为函数y＝lnx＋ax有两个零点，故ln－1>0，得－<a<0.2.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故C正确.【考点】1对数函数的运算；2函数图像的平移.3.设,则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】对数的运算及性质.4.设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】a, b,c≠1. 考察对数2个公式: ，对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假。
对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真。
对选项C: ,显然与第一个公式不符，所以为假。
对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假。
所以选B5.（2013•浙江）已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【答案】D【解析】因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．6.若，则a的取值范围是．【答案】【解析】由题中隐含条件可得：，可得，则由，根据对数函数的单调性可得，可解得.【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式7.函数，的值域是 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，令，是增函数，又，故当时，取得最大值为1，∴函数值域为.【考点】1.三角函数的最值；2.对数函数的最值.8.函数，的值域是 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，令，是增函数，又，故当时，取得最大值为1，∴函数值域为.【考点】1.三角函数的最值；2.对数函数的最值.9.设a是实数，讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实数解的个数．【答案】两个【解析】原方程等价于方程组即在同一坐标系下作直线y＝a 与抛物线y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图象，由图可知，当1<a≤3或a＝时，原方程只有一个实数解；当3<a< 时，原方程有两个不同的实数解．10.不等式lg(x－1)<1的解集为________.【答案】(1，11)【解析】由0<x－1<10，∴1<x<11.11.已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号)【答案】③④【解析】条件中的等式Û2a=3bÛa lg2=b lg3．若a≠0，则∈（0，1）．（1）当a＞0时，有a＞b＞0，即关系式①成立，而③不可能成立；（2）当a＜0时，则b＜0，b＞a，即关系式②成立，而④不可能成立；若a=0，则b=0，故关系式⑤可能成立．12.已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为________．【答案】a>b>c【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由于log32>log52>log72，所以a>b>c.13.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f()＞3，那么x的取值范围为()A．B．C．∪(2，＋∞)D．∪【答案】B【解析】依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f()＞3等价于f()>，f(||)＞f，||＜，即－＜＜，由此解得＜x＜2，故选B.14.已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围为________．【答案】[1，＋∞)【解析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，所以u＝ax－1在(1,2)单调递增，且恒大于0，即⇒a≥1.15.已知函数若函数与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】根据题意,可作函数的图象如下图所示,又作图象如下图中的虚线所示,由图显然知,要有三个不同的交点,就要满足: ,得【考点】1.函数的图象;2.指数不等式16.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.17.函数的递减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则在是减函数.由及其在为减函数，在是增函数，得，函数的递减区间为，故选D.【考点】对数函数的性质，复合函数的单调性.18.数列为各项为正数的等比数列，且已知函数，则A．﹣6B．﹣21C．﹣12D．21【答案】B【解析】．【考点】等比数列的运算性质，对数的运算．19.若，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】选项A错误，当时，，且函数是单调递减的，所以有；选项B错误，当时，，所以；选项C错误，当时，，，所以；选项D正确，当时，，函数是单调递减的，又，所以.【考点】1.对数函数的单调性；2.对数函数的图像与性质；3.指数函数的单调性20.已知，则的大小关系为____________.【答案】【解析】因为，，由，所以，.【考点】对数的性质及其运算21.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.22.函数在上为减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若，则不可能为减函数，当时，由函数在上为减函数，知在恒成立，等价于，即，得，所以的取值范围是是，选B.【考点】对数函数，复合函数的单调性.23.函数的定义域为____.【答案】【解析】由题意可得:,可得,解得.【考点】对数不等式．24.已知，且，，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，符合题意；当时，，.故选B.25.实数满足，则的值为（）A．8B．C．0D．10【答案】A．【解析】因为，所以，，从而。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.若，，则（）．A．B．0C．1D．2【答案】A【解析】令，即；所以.【考点】复合函数求值.2.函数的定义域是（）.A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）【答案】D【解析】要使有意义，则，即，所以定义域为.【考点】函数的定义域.3.函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解:由题意,且在区间上恒成立.即恒成立,其中当时,,所以在区间单调递增,所以,即适合题意.当时,,与矛盾,不合题意.综上可知:故选B.【考点】1、对数函数的性质；2：二次函数的性质.4.求的值是 .【答案】【解析】【考点】对数运算公式5.已知函数为常数）.（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若，,求函数的值域；（Ⅲ）若函数的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）且【解析】（1）对数中真数大于0（2）思路：要先求真数的范围再求对数的范围。
求真数范围时用配方法，求对数范围时用点调性（3）要使函数的图像恒在直线的上方，则有在上恒成立。
把看成整体，令即在上恒成立，转化成单调性求最值问题试题解析：（Ⅰ）所以定义域为（Ⅱ）时令则因为所以，所以即所以函数的值域为（Ⅲ）要使函数的图像恒在直线的上方则有在上恒成立。
令则即在上恒成立的图像的对称轴为且所以在上单调递增，要想恒成立，只需即因为且所以且【考点】（1）对数的定义域（2）对数的单调性（3）恒成立问题6.已知，且，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D.【考点】对数的运算7.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .【答案】【解析】因为所以函数在R上是单调减函数，因为，所以根据减函数的定义可得：.故答案为：．【考点】对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．8.已知函数,则实数t的取值范围是____.【答案】【解析】令,值域为由题意函数的值域为则是函数值域的子集所以即【考点】对数函数图象与性质的综合应用．9.计算：＝．【答案】【解析】根据题意，由于可以变形为，故可知结论为【考点】指数式的运用点评：主要是考查了指数式的运算法则的运用，属于基础题。
对数与对数运算练习题
对数与对数运算练习题一、选择题1. 已知\( \log_{10}100 = 2 \)，那么\( \log_{10}0.01 \)等于多少？A. -1B. -2C. 1D. 22. 对数函数\( y = \log_{a}x \)的底数a的取值范围是：A. \( a > 0 \)B. \( a < 0 \)C. \( a \neq 1 \)D. 所有以上3. 如果\( \log_{2}8 = 3 \)，那么\( 2^{3} \)等于多少？A. 8B. 16C. 32D. 644. 对数运算中，\( \log_{b}b = \)：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定5. 根据换底公式，\( \log_{10}x \)可以表示为：A. \( \frac{\log x}{\log 10} \)B. \( \frac{\log 10}{\log x} \)C. \( \frac{\log x}{\log 2} \)D. \( \frac{\log 2}{\log x} \)二、填空题6. 计算\( \log_{4}16 \)的值是________。
7. 如果\( \log_{3}27 = 3 \)，那么\( 3^{3} \)的值是________。
8. 利用对数的换底公式，\( \log_{8}16 \)可以表示为________。
9. 对数的幂运算法则中，\( \log_{a}(x^n) = \)________。
10. 对数的乘积运算法则中，\( \log_{a}(xy) = \)________。
三、简答题11. 解释对数函数\( y = \log_{a}x \)中底数a的取值范围，并说明为什么。
12. 给出对数函数\( y = \log_{a}x \)的图像，并描述其基本特征。
13. 利用对数的换底公式，将\( \log_{5}125 \)转换为以10为底的对数。
14. 说明对数运算中的商的运算法则，并给出一个具体的例子。
对数与对数函数练习(含详解)
对数与对数函数练习（含详解）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知22log (3)1ax ax ++>对于任意的x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为()A. (0,4)B. [0,4)C. (0,2)D. [0,2)2. 已知131()2a =，121log 3b =，13log 2c =，则() A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. a c b << 3. 计算：1324lg 100ln ()e +-= A. 7- B. 3- C. 1 D. 74. 已知 2.1log 0.3a =， 2.10.3b =，0.32.1c =，则a ，b ，c 的大小关系是() A. b c a >> B. c a b >> C. b a c >>D. c b a >> 5. 设0a >且1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的() A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知4log 7,46b a ==，则42log 28()=A.12a a b ++ B. 1a a b -+ C. 12a a b ++ D. 1a a b++ 7. 若2log 13a <，则a 的取值范围是() A. 2(,1)3 B. 2()3+∞C. 2(0,)(1,)3+∞ D. 22(0,)(,)33+∞ 8. 计算2lg5lg12lg3()+-= A. 2B. 1C. 0D. 2-9. 函数()a f x x =满足(2)4f =，那么函数()|log (1)|a g x x =+的图象大致是()A. B. C. D.10. 当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图象是()A. B. C. D.二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）11. 计算23log 5292log (log 3)++=__________.12. 设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 13. 20.5203252731()()(0.1)()lg 2lg 59649π--++-++= __________.三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）14. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()13.xf x =- (1)求函数()f x 的解析式；(2)当[2,4]x ∈时，不等式222(log )(5log )0f x f a x +-恒成立，求实数a 的取值范围．15. 已知0a >且满足不等式2+15a-222.a >(1)求实数a 的取值范围．(2)求不等式log (31)log (75).a a x x +<-(3)若函数log (21)a y x =-在区间[]1,3有最小值为2-，求实数a 值．答案和解析1.【答案】B解：由题意知22log (3)1ax ax ++>对于任意的x R ∈恒成立，等价于232ax ax ++>，即210ax ax ++>在R 上恒成立，当0a =时，2110ax ax ++=>，满足题意，当0a ≠时，210ax ax ++>在R 上恒成立，则2040a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：04a <<， 综上所述：[0,4).a ∈ 2.【答案】B 解：103110()()122<<=，112211log log 132>=，1133log 2log 10<=， .c a b ∴<<3.【答案】C解：()1132224lg100ln 2232231e +-=+-=+-=，4.【答案】D解： 2.1 2.1log 0.3log 10a =<=，2.1000.30.31b <=<=，0.302.1 2.11c =>=，则a ，b ，c 的大小关系为.c b a >>5.【答案】D解：由log 1a b >得log log a a b a >，若01a <<，则b a <，若1a >，则b a >，即充分性不成立，若01a <<时，若b a >，则log log 1a a b a <=，即必要性不成立， 则即“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件， 6.【答案】D解：由题意，得到4log 6b =，所以4442444log 281log 71log 28.log 42log 6log 7a b a++===++ 7.【答案】C 解：当1a >时，函数log a y x =在它的定义域(0,)+∞上是增函数， 由于2log 1log 3a a a <=，则23a >， 故可得 1.a >当01a <<时，函数log a y x =在它的定义域(0,)+∞上是减函数， 由于2log 1log 3aa a <=，故可得20.3a << 综上可得a 的取值范围是2(0,)(1,)3+∞， 8.【答案】A 解：225122lg5lg12lg3lg5lg12lg3lg 23⨯+-=+-==， 9.【答案】C解：由(2)24a f ==，得2a =，所以2()|log (1)|.g x x =+函数2log (1)y x =+在区间(1,0)-上单调递增且0y <，在区间(0,)+∞上单调递增且0y >，所以函数()g x 在区间(1,0)-上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 10.【答案】D解：由于1a >，所以1()x x y a a-==为R 上的递减函数，且过(0,1)； log a y x =-为(0,)+∞上的单调递减函数，且过(1,0)，11.【答案】39解：23log 5292log (log 3)++22log 8log 5122log 2+-=+2log 402140139.=-=-=12.【答案】解：设236x y z k ===，因为,,x y z R +∈，所以1k >， 所以236log ,log ,log x k y k z k ===， 所以22263111122log 2log log 6log 32log log 2og og k k k x k k k z y l k l k+-=+-=+-=+， 因为1k >，所以222log log 222log k k +=当且仅当22log log 2k k =时等号成立，所以112x z y+-的最小值为 13.【答案】101 解：20.5203252731()()(0.1)()lg 2lg59649π--++-++ ()1223223053131lg(52)34109π--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 254311001339⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭ 516311001399=++-+ 101.=14.【答案】解：(1)当0x <时，0x ->，由已知()13x f x --=-， 又()f x 是奇函数，()=-()f x f x -，故()=-13xf x -+，当=0x 时，(0)=0f ， 故13,0();13,0x x x f x x -⎧-=⎨-+<⎩(2)由()()222log 5log 0f x f a x +-，可得()()222log 5log .f x f a x -- ()f x 是奇函数，()()222log log 5.f x f a x ∴-又()f x 是减函数，所以222log log 50x a x -+对[2,4]x ∈恒成立.令2lo ,[2,4]t g x x =∈，则[]1,2t ∈，250t at ∴-+对[]1,2t ∈恒成立.方法一：令()25g t t at =-+， []1,2t ∈，(1)60(2)920g a g a =-⎧∴⎨=-⎩，解得 6.a ∴实数a 的取值范围为[)6,.+∞方法二(分离参数法5):t a t∴+对[]1,2t ∈恒成立. 记5()h t t t =+，函数5()h t t t =+在区间[]1,2上单调递减， 所以max ()(1)6a h t h == ，∴实数a 的取值范围为[)6,.+∞15.【答案】解：2152(1)22a a +->，2152a a ∴+>-，即33a <，1a ∴<，又0a >，0 1.a ∴<<(2)由(1)知01a <<，log (31)log (75).a a x x +<-等价于3107503175x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩， 即137534x x x ⎧>-⎪⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩， 3745x ∴<<， 即不等式的解集为37(,).45(3)01a <<，∴函数log (21)a y x =-在区间[1,3]上为减函数， ∴当3x =时，y 有最小值为2-，即log 52a =-， 2215a a -∴==，解得a =a =舍去)，所以a =。
对数与对数函数专题
对数与对数函数1. log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.62. 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b3. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b4. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <15. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则m ＝________.考点一 对数的运算【例1】 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【训练1】 (1) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1(2) 2723＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14log23－log 814＝________.考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1) 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <1，log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【训练2】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b，f （c ）c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）c B.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a C.f （b ）b >f （a ）a >f （c ）cD.f （a ）a >f （c ）c >f （b ）b(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12考点三 解决与对数函数性质有关的问题角度1 比较大小【例3－1】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b <cB.a ＝b >cC.a <b <cD.a >b >c(2) 已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b角度2 解简单的对数不等式【例3－2】 (1) 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )A.(2，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋∞)(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.【训练3】 (1) 已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2) 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. (3) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________.【典例】 已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋12，对任意a ∈R，存在b ∈(0，＋∞)，使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )A.2e －1B.e 2－12C.2－ln 2D.2＋ln 2【训练】 若存在正数x ，使得2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.82. 设a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <c <bD.a <b <c3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )4. 若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝( )A.2B.4C.6D.85.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞二、填空题6. 已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________.7. 已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________.8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数.(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.11. 在同一直角坐标系中，函数y＝1a x，y＝log a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12(a>0，且a≠1)的图象可能是( )12. 设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z13. 已知函数f(x)＝sin x·lg(1＋x2＋ax)的图象关于y轴对称，则实数a的值为________.14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.15. 函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12答 案 对数与对数函数1. log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0B.2C.4D.6解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25) ＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D2. 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b .答案 D4. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b解析 由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1b＝log 0.32<0.∴0<1a ＋1b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋bab<1.又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0.答案 B5. 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D6. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则m ＝________.解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，且f (x )为奇函数.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，因此log 212＋m ＝－2，则m ＝1－ 2.答案 1－2考点一 对数的运算【例1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.解析 (1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.答案 (1)A (2)1规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1(2) 2723＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14log23－log 814＝________.解析 (1)依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1.(2)原式＝33×23＋2－2log 23＋23＝10.答案 (1)A (2)10考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1) 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <1，log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由lg a ＋lg b ＝0，得ab ＝1.∴f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －x＝b x ，因此f (x )＝b x 与g (x )＝log b x 单调性相同.A ，B ，D 中的函数单调性相反，只有C 的函数单调性相同. (2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x ) 的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点，故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 答案 (1)C (2){0}∪[2，＋∞)规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b，f （c ）c 的大小关系是( ) A.f （a ）a >f （b ）b >f （c ）c B.f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a C.f （b ）b >f （a ）a >f （c ）cD.f （a ）a >f （c ）c >f （b ）b(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 (1)由题意可得，f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图象上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图象可知当a>b>c时，f（c）c>f（b）b>f（a）a.(2)由题意，易知a>1.如图，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝log a x，x∈(1，2)的图象.若y＝log a x过点(2，1)，得log a2＝1，所以a＝2.根据题意，函数y＝log a x，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2].答案(1)B (2)C考点三解决与对数函数性质有关的问题多维探究角度1 比较大小【例3－1】 (1)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )A.a＝b<cB.a＝b>cC.a<b<cD.a>b>c(2) 已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b解析(1)因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32<log33＝1.所以a＝b>c.(2)显然c＝0.30.2∈(0，1).因为log33<log38<log39，所以1<b<2.因为log27>log24＝2，所以a>2.故c<b<a.答案(1)B (2)A规律方法比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.角度2 解简单的对数不等式【例3－2】 (1) 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )A.(2，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋∞)(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝2，所以不等式f (log 2x )>2，即|log 2x |>1，解得0<x <12或x >2.(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >a ，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 (1)B (2)⎝⎛⎭⎪⎫1，83规律方法 形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论. 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2). ∴⎩⎨⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－13.规律方法 1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行.2.解题注意几点：(1)由f (0)＝0，得a ＝0，需验证f (－x )＝－f (x ).(2)f (x )的定义域为R ，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式.【训练3】 (1) 已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2) 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.(3) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________.解析 (1)log 1315＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b .(2)由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1，1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.(3)∵函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，令x ＋2＝1，求得x ＝－1，f (x )＝3，可得函数的图象经过定点(－1，3)，∴m ＝－1，n ＝3.∵函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n ＝－x 2－2bx ＋3， 在[1，＋∞)上单调递减，∴－2b2≤1，即b ≥－1，所以实数b 的取值范围为[－1，＋∞). 答案 (1)D (2)(－1，0) (3)[－1，＋∞) 赢得高分 基本初等函数的应用“瓶颈题”突破以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017·全国Ⅲ卷·T15，2018·全国Ⅰ卷·T9，2019·全国Ⅲ卷·T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用.【典例】 已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋12，对任意a ∈R，存在b ∈(0，＋∞)，使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )A.2e－1B.e2－12C.2－ln 2D.2＋ln 2解析存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，则e a＝ln b2＋12，令t＝e a＝lnb2＋12>0.∴a＝ln t，b＝2e t－12，则b－a＝2e t－12－ln t.设φ(t)＝2e t－12－ln t，则φ′(t)＝2e t－12－1t(t>0).显然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函数，当t＝12时，φ′⎝⎛⎭⎪⎫12＝0.∴φ′(t)有唯一零点t＝12 .故当t＝12时，φ(t)取得最小值φ⎝⎛⎭⎪⎫12＝2＋ln 2.答案 D思维升华 1.解题的关键：(1)由f(a)＝g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值.2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具.【训练】若存在正数x，使得2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)解析由2x(x－a)<1，得a>x－12x ，令f(x)＝x－12x (x>0)，若a>x－12x有解，则a>f(x)min.由于y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(x)>f(0)＝－1，因此a>－1，实数a的取值范围为(－1，＋∞).答案 D一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 A2. 设a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <c <bD.a <b <c解析 1<a ＝log 35＝12log 325<32，b ＝1.51.5>1.5，又c ＝ln 2<1.故b >a >c .答案 A3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )解析 先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0，0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示. 答案 C4. 若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8解析 由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |. 又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5.所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.答案 A5.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因为M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 A 二、填空题6. 已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 解析 由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 答案 －77. 已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________.解析 由题意得，当x >0，－x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－e －ax )＝e －ax ，所以f (ln 2)＝e －a ln 2＝eln 2－a ＝2－a ＝8＝23，即2－a ＝23，所以a ＝－3. 答案 －38.设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________.解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知，x ≥0. 答案 [0，＋∞)三、解答题9.已知函数f(x)＝log21＋axx－1(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数f(x)的定义域；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.解 (1)因为函数f(x)＝log21＋axx－1是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log21－ax－x－1＝－log21＋axx－1，即log2ax－1x＋1＝log2x－11＋ax，所以a＝1，f(x)＝log21＋x x－1，令1＋xx－1>0，解得x<－1或x>1，所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log 12 x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log 12(－x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log 12(－x)，所以函数f(x)的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，且f (0)＝0>－2，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5).11. 在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C 项不符合，因此0<a <1. 当0<a <1时，函数y ＝a x的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减.因此， 选项D 中的两个图象符合. 答案 D12. 设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z 解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ，∵x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝lg tlg 2，同理，y＝lg tlg 3，z＝lg tlg 5.∴2x－3y＝2lg tlg 2－3lg tlg 3＝lg t（2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t（lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x>3y.又∵2x－5z＝2lg tlg 2－5lg tlg 5＝lg t（2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t（lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.答案 D13. 已知函数f(x)＝sin x·lg(1＋x2＋ax)的图象关于y轴对称，则实数a的值为________.解析依题意，y＝f(x)为偶函数，则g(x)＝lg(1＋x2＋ax)为奇函数，∴g(－x)＋g(x)＝lg(1＋x2－ax)＋lg(1＋x2＋ax)＝0，故1＋x2－a2x2＝1，即(1－a2)x2＝0，则a＝±1.答案±114.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].(2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，21①当t ＝0时，k ∈R；②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t 恒成立， 即k <4t ＋9t－15， 因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号， 所以4t ＋9t－15的最小值为－3. 所以k <－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).15. 函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析 函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a <0，且a ≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a >1时，z ＝a x ＋t 2在R 上递增，y ＝log a z 在(0，＋∞)上递增，可得f (x )为R 上的增函数；当0<a <1时，f (x )仍为R 上的增函数，∴f (x )在定义域R 上为增函数，f (x )＝log a (a x ＋t 2)＝12x ， ∴a x ＋t 2＝a 12x ，则a x －a x 2＋t 2＝0. 令u ＝a x 2，u >0，则u 2－u ＋t 2＝0有两个不相等的正实根. 得Δ＝1－4t 2>0，且t 2>0，∴0<t 2<14，解得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案 B。
高三数学对数与对数函数试题
高三数学对数与对数函数试题1.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.2.设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则()A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【解析】∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.3.设a>0且a≠1，函数f(x)＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．【答案】(2,3)【解析】∵函数y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，∴0<a<1.∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0<x2－5x＋7<1，解得2<x<3.∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为(2,3)．4.若函数，则=_______________。
【答案】2014【解析】===++++++++=++++=【考点】1.对数的运算.2.数列的递推的思想.3.分类归纳的思想.5.将函数的图象向左平移1个单位，再将位于轴下方的图象沿轴翻折得到函数的图象，若实数满足则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】据题意得，，.因为，所以，由得，所以，.所以.由得（0舍去），，所以.【考点】1、图象的变换；2、对数运算；3、方程与不等式.6.设f(x)＝loga (1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域．(2)求f(x)在区间上的最大值．【解析】解：∵f(1)＝2，∴loga 4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.由，得x∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为 (－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.7.（5分）（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍．【答案】6，10000【解析】根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴．故答案耿：6，10000．点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．8.设,则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】对数的运算及性质.9.（log29）•（log34）=（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】（log29）•（log34）===4．故选D．10.已知函数，若且，则的取值范围是【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示．∵若且，∴，即，而，∴，∴的取值范围是．【考点】对数函数的单调性．11.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，根据的图象，设，∵关于x的方程有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上．设，①当有一个根为时，，，此时另一根为，符合题意．②当没有根为时，则：，解得，综上可得，m的取值范围是．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．12.函数，的值域是 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，令，是增函数，又，故当时，取得最大值为1，∴函数值域为.【考点】1.三角函数的最值；2.对数函数的最值.13.实数a=0.,b=log30.3,c=的大小关系正确的是()A．a<c<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a【答案】C【解析】∵函数y=在(0,+∞)上是增函数,∴0<0.<,即c>a>0,而b=log30.3<0,∴c>a>b,即b<a<c.14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)＋xf′(x)＞0成立，若a＝40.2f(40.2)，b＝(log43)f(log43)，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．【答案】c＞a＞b【解析】由f(x)＋xf′(x)＞0得(xf(x))′＞0，令g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a＝g(40.2)，b＝g(log43)，c＝g＝g(－2)＝g(2)，因为0＜log43＜1＜40.2＜2，所以c＞a＞b.15.已知，不等式成立，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，，所以恒成立，须恒成立.所以，故答案为.【考点】绝对值的几何意义，对数函数的性质.16.已知函数，若，则 _________.【答案】2【解析】已知条件为，待求式为.【考点】对数的运算法则.17.在正项等比数列中，，则的值是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，正项等比数列中，，由对数运算法则及等比数列的性质，有，，，故选A.【考点】等比数列的性质，对数运算.18.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.19.已知，定义表示不超过的最大整数，则函数的值域是 .【答案】【解析】令，当时，或，于是，因为，所以函数的值域是.【考点】1.基本不等式；2.对数函数20.已知函数，若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则；若，则；综上得，选对分段函数一定要注意自变量的范围，本题极易用错解析式.【考点】1、分段函数；2、对数函数的性质21.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.22.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为，求实数的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，由对数函数的性质得，解出，写成集合的形式就是函数的定义域；（2）将函数化简得，，由的取值范围得，，解得的值为试题解析：（1）要使函数有意义：则有，解之得. 3分所以函数的定义域为 4分（2）函数可化为. 6分，. 8分，，即. 9分由，得，. 11分故实数的值为 12分【考点】1.对数式的运算性质；2.对数函数单调性；3.不等式.23.定义：区间长度为.已知函数定义域为，值域为，则区间长度的最小值为 .【答案】【解析】如下图所示，解方程得或，令，即，得，由于函数在定义域上的值域为，则必有或，（1）当时，则，此时区间长度的最小值为；（2）当时，则，此时区间长度的最小值为；综上所述，区间长度的最小值为.【考点】对数函数、函数的定义域与值域24.已知函数。
高中数学《对数与对数函数》练习题
高中数学《对数与对数函数》练习题A 组——基础对点练1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2(x －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设x ＝30.5，y ＝log 32，z ＝cos 2，则( ) A ．z ＜x ＜y B ．y ＜z ＜x C ．z ＜y ＜xD ．x ＜z ＜y解析：由指数函数y ＝3x 的图象和性质可知30.5＞1，由对数函数y ＝log 3x 的单调性可知log 32＜log 33＝1，又cos 2＜0，所以30.5＞1＞log 32＞0＞cos 2，故选C. 答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域为(0，＋∞)，又当x >0时，y ＝10lg x ＝x ，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D 选项符合． 答案：D4．函数y ＝⎩⎨⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( ) A ．(0,3) B ．[0,3] C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：当x ＜1时，0＜3x ＜3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)． 答案：D5．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示． 故选B. 答案：B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1. 答案：D7．(2018·吉安模拟)如果那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D8．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D. 答案：D9．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f (lg 13)＝( ) A.13 B ．－13 C ．5D ．8解析：∵f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4， ∴f (x )＋f (－x )＝8， ∵lg 13＝－lg 3，f (lg 3)＝3， ∴f (lg 3)＋f (lg 13)＝8， ∴f (lg 13)＝5. 答案：C10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， 当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∵b ＝＝f (－2)＝f (2)，又1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B. 答案：B11．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．0B ．－3C ．3D ．6解析：由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－[f (x )－3]，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D.答案：D13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10. 答案：1014．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 答案：3215．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． 解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32，故答案为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3216．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值范围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＜1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ， ∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1. 当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B 组——能力提升练1．(2018·甘肃诊断考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log25C.12D ．120解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋log25＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log25＝14×15＝120，故选D.答案：D2．(2018·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B. 答案：B3．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数， ∴对定义域内的x 值，有f (0)＝0， 由此可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，根据对数函数单调性，由f (x )＜0，得0＜1＋x1－x ＜1，∴x ∈(－1,0)．答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x ln x ，则下列大小关系正确的是( ) A ．[f (x )]2＜f (x 2)＜2f (x ) B ．f (x 2)＜[f (x )]2＜2f (x ) C ．2f (x )＜f (x 2)＜[f (x )]2 D ．f (x 2)＜2f (x )＜[f (x )]2解析：当0＜x ＜1时，f (x )＝x ln x ＜0,2f (x )＝2x ln x ＜0，f (x 2)＝x 2ln x 2＜0，[f (x )]2＝(x ln x )2＞0.又2f (x )－f (x 2)＝2x ln x －x 2ln x 2＝2x ln x －2x 2ln x ＝2x (1－x )ln x ＜0，所以2f (x )＜f (x 2)＜[f (x )]2.故选C. 答案：C5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．1解析：∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 014)＝f (2 016)＝f (0)＝log 21＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2 015)＝－f (2 015)＝－f (1)＝－1.∴f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)＝0－1＋0＝－1.故选A.答案：A6．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[2，＋∞)解析：因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1，又2－a ＞0，所以1＜a ＜2. 答案：C7．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为{lg x ≥0lg x ＜2或{lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1. ∴1100＜x ＜100.故选C. 答案：C 8．已知函数f (x )＝若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由f (x )＝|log 12x |，m <n ，f (m )＝f (n )可知，log 12m ＝－log 12n >0，从而0<m ＝1n <1，m ＋3n ＝m ＋3m (0<m <1)，若直接利用基本不等式，则m ＋3m ≥23(当且仅当m ＝3m ＝3时取得最小值，但这与0<m <1矛盾)，利用函数g (x )＝x ＋3x 的单调性(定义或导数)判断当0<x <1时g (x )单调递减，故g (x )>g (1)＝4，可知选D. 答案：D9．已知函数y ＝f (x )(x ∈D )，若存在常数c ，对于∀x 1∈D ，存在唯一x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .若f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )在[10,100]上的均值为( ) A ．10 B ．34 C.710D ．32解析：因为f (x )＝lg x (10≤x ≤100)，则f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1x 22等于常数c ，即x 1x 2为定值，又f (x )＝lg x (10≤x ≤100)是增函数，所以取x 1＝10时，必有x 2＝100，从而c 为定值32.选D. 答案：D10．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R)，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C. 答案：C11．设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0与－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0与－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2，可得x 2＝12，令f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A. 答案：A12．已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．12解析：∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴503(a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝12⎣⎢⎡f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＋f⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＝12×(2×2 012)＝2 012， ∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． ∴a 2＋b 2的最小值为8. 答案：B13．若函数f (x )＝{ log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________． 解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，114．(2017·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 解析：由题意可知lna 1－a ＋ln b1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1415．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数， 由于f (x )＞1恒成立， 所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4， 故这样的a 不存在．∴1<a <83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83高中数学《函数的图像》练习题A 组——基础对点练1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：g (x )＝－f (－x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图象是选项D 中的图象．答案：D2.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()解析：直线l在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x 的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D.答案：D3．(2018·惠州市调研)函数f(x)＝(x－1x)cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()解析：函数f(x)＝(x－1x)cos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝(π－1π)·cos π＝1π－π＜0，排除选项C，故选D.答案：D4．(2018·长沙市一模)函数y＝ln|x|－x2的图象大致为()解析：令f(x)＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln |x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x＞0时，y＝ln x－x2，则y′＝1x －2x，当x∈(0，22)时，y′＝1x－2x＞0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.选A. 答案：A5.(2018·武昌调研)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝2－x2 2xB．f(x)＝cos x x2C．f(x)＝－cos2x xD．f(x)＝cos x x解析：A中，当x→＋∞时，f(x)→－∞，与题图不符，故不成立；B为偶函数，与题图不符，故不成立；C中，当x→0＋时，f(x)<0，与题图不符，故不成立．选D.答案：D6．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x 的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.答案：D7．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为() A．3 B．2C．1 D．0解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.故选B.答案：B8．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}解析：作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)≥log2(x ＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C.答案：C9．已知函数f(x)＝|2x－m|的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，若函数f(x)与函数g(x)在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是()A．[12，2]B．[2,4]C．(－∞，12]∪[4，＋∞)D．[4，＋∞)解析：易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝|(12)x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图象如图1或图2所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2m ≤1，－log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图象如图3所示，由图象知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[12，2]．答案：A10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2. 答案：(－∞，－2]11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b ＋c＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：13312．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ， y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点， 故m 的取值范围为(－1,0)． 答案：(－1,0)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图象如图所示．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f(x)≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B组——能力提升练1．函数y＝x＋2x＋1的图象与函数y＝2sin πx＋1(－4≤x≤2)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．－6 B．－4C．－2 D．－1解析：依题意，注意到函数y＝1x与函数y＝－2sin πx(－3≤x≤3)均是奇函数，因此其图象均关于原点成中心对称，结合图象不难得知，它们的图象共有2对关于原点对称的交点，这2对交点的横坐标之和为0；将函数y＝1x与函数y＝－2sin πx(－3≤x≤3)的图象同时向左平移1个单位长度、再同时向上平移1个单位长度，所得两条新曲线(这两条新曲线方程分别为y＝1＋1x＋1＝x＋2x＋1、y＝－2sin π(x＋1)＋1＝2sin πx＋1)仍有2对关于点(－1,1)对称的交点，这2对交点的横坐标之和为－4(其中每对交点的横坐标之和为－2)，即函数y＝x＋2x＋1的图象与函数y＝2sinπx＋1(－4≤x≤2)的图象所有交点的横坐标之和等于－4，因此选B.答案：B2．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b 3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( ) A ．3c ＞3a B ．3c ＞3b C ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析：画出f (x )＝|3x －1|的图象，如图所示，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0，且a ＞0. 由y ＝3x 的图象可得0＜3c ＜1＜3a . ∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1，∵f (c )＞f (a )， ∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2. 答案：D4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >02x ，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图所示，观察函数的图象，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.答案：B6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图象过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立， 则f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2≥0， ∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ， ∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D.答案：D7．设函数若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图象和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg|x |，x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0.答案：09．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图象与G (x )的图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图象关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图象也关于点(－2，－17)中心对称，∴F (x )和G (x )的图象的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m 2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m 2×(－17)×2＝－17m ，∴∑i ＝1m(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m .答案：－19m10．(2018·西安质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝f (x )的值域为R.②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎨⎧ 1x －1，x ≥01－x －1，x ＜0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④。
对数函数练习题
对数与对数函数练习题题型一、对数的运算1.已知13log 82x =，则=x2.若()()2334log log log log 0x y ==，则x y +=3.设()()()8112=1log x x f x x x -≤⎧⎨>⎩，则满足()1=4f x 的x 的值为4.设2=5=a bm ，且11+=2a b，则=m5.已知lg 2=a ，lg3=b ，则lg12=lg156.计算：2lg 2+lg2lg50+lg25=⋅7.计算：()()3948log 2+log 2log 3+log 3=8.计算：235log 25log 4log 9=⋅⋅9.计算：⑴()(21lg5lg8lg100lg lg lg 0.006=6⋅++++⑵211log 522+=⑶lg1.2-=10. 已知()()()()22log 01012x x x f x x x x ⎧>⎪=-<≤⎨⎪≤--⎩，则({}2f f f ⎡⎤-=⎣⎦11.已知()5=lg f x x ，则()2f =12.设函数()1=lg 1f x f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则()10=f 13.如果αβ，是关于x 的方程()()lg 3lg 50x x ⋅=的两实根，则=αβ（ ）A.115B. lg15C. lg3lg5⋅D.15 14.已知18log 9=a ，185b=，用,a b 表示36log 45可写成15.已知lg 2=0.3010，lg3=0.4771，则 16.设方程()2lg lg 2lg3lg lg 2lg30x x ++⋅+⋅=的两个根是12x x ，，则12=x x ⋅题型二：对数型函数的定义域、值域问题 1.求下列函数的定义域.⑴()f x ⑵()()()1=log 164x x f x +- ⑶y =⑷()2log 2y x =+⑸()()121log 21f x x =+ ⑹()f x =2.函数()21142=log log 5f x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在区间[]2,4上的最小值是3.求下列函数的值域。
2023 届高考数学专项(对数与对数函数)经典好题练习(附答案)
2023 届高考数学专项(对数与对数函数)经典好题练习1.(历年山东烟台模拟,1)已知集合A=x 14≤2x ≤4,B=y y lgx ,x 110,则A ∩B=( )A.[-2,2]B.(1,+∞)C.(-1,2]D.(-∞,-1]∪(2,+∞)2.(历年辽宁大连一中考前模拟,理7)已知a ,b 是非零实数,则“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(历年山东济宁二模,6)设a=14log 213,b=120.3,则有( )A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.10935.(历年山东德州二模,6)已知a>b>0,若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a b=( ) A.√2 B.2 C.2√2 D.46.(多选)有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e =ln x ,则x=e 2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 7.(多选)若函数f (x )=log a (ax-3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值可以是( )A.6B.3C.4D.58.(多选)设f (x )=lg 21-x+a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值可能为( )A.-1B.-13C.0D.-129.log 24+log 42= ,log a b+log b a (a>1,0<b<1)的最大值为 . 10.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,则a 的取值范围为 . 11.若函数f (x )=log x ,x 2,-x 2x -2,x 2(a>0,且a ≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a 的取值范围是 .12.函数f(x)=log2√xꞏlo g√ 2x的最小值为.13.(历年山东青岛二模,7)已知非零实数a,x,y满足lo g x<lo g y<0,则下列关系式恒成立的是()A.1x2 1 1y2 1B.x+y>yx xyC.1|a| 1x<1|a| 1yD.y x>x y14.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z15.(历年山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.log a b>log b c>log c aB.log c b>log b a>log a cC.log c b>log a b>log c aD.log b a>log c b>log a c16.(历年山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c17.(历年河北保定一模,理12)设函数f(x)=log0.5x,若常数A满足:对∀x1∈[2,22 020],存在唯一的x2∈[2,22 020],使得f(x1),A,f(x2)成等差数列,则A=()A.-1 010.5B.-1 011C.-2 019.5D.2 020参考答案1.C 由不等式142x ≤4,得-2≤x ≤2,即A={x|-2≤x ≤2}.因为函数y=lg x 单调递增,且x>110,所以y>-1,即B={y|y>-1},则A ∩B=(-1,2].故选C .2.D 由于ln |a|>ln |b|,则|a|>|b|>0.由a>b 推不出ln |a|>ln |b|,比如a=1,b=-2,有a>b ,但ln |a|<ln |b|;反之,由ln |a|>ln |b|推不出a>b ,比如a=-2,b=1,有ln |a|>ln |b|,但a<b.故“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的既不充分也不必要条件.故选D .3.A a=14log 213=log 21314=log 23-14>log 24-14=-12,b=120.3>120.5=√22,∴ab<0,a+b>0,∴a+b>ab ,故选A .4.D设M N =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x ≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D . 5.B ∵log a b+log b a=52,∴log a b+1log a b52,解得log a b=2或log a b=12,若log a b=2,则b=a 2,代入a b =b a 得a=(a 2)a =a 2a , ∴a 2=2a ,又a>0,∴a=2,则b=22=4,不合题意; 若log a b=12,则b=√a ,即a=b 2,代入a b =b a 得(b 2)b =b 2b =,∴2b=b 2,又b>0,∴b=2,则a=b 2=4,∴a b=2.故选B .6.AB 因为lg 10=ln e =1,lg(lg 10)=lg 1=0,lg(ln e)=lg 1=0,所以①②均正确;若e =ln x ,则x=e e ,故③错误;因为lg 1=0,而ln 0没有意义,故④错误.故选AB .7.ACD 由于a>0,且a ≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f (x )为增函数,则f (x )=log a u 必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选ACD . 8.BD 由f (-x )=-f (x ),即lg21 x+a =-lg21-x+a ,21 x +a=21-x+a -1,即2 a ax 1 x1-x2 a -ax,则1-x 2=(2+a )2-a 2x 2恒成立,可得a 2=1,且(a+2)2=1,解得a=-1,∴f (x )=lg 1 x1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1 x1-x<1,∴-1<x<0.故选BD .9.52-2 因为log 24+log 42=log 222+lo g 2=2+1252.由换底公式可得log b a=1log a b,因为a>1,0<b<1,所以log a b<0,log b a<0,所以log a b+log b a=-[(-log a b )+(-log b a )]≤-2,当且仅当log a b=log b a 时,等号成立,故log a b+log b a 的最大值为-2. 10.(1,2] 设f 1(x )=(x-1)2,f 2(x )=log a x ,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=(x-1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )=log a x 的下方即可,如图所示.当0<a<1时,显然不成立.当a>1时,如图,要使在区间(1,2)上, f 1(x )=(x-1)2的图像在f 2(x )=log a x 图像的下方,只需f 1(2)≤f 2(2), 即(2-1)2≤log a 2.即log a 2≥1,则1<a ≤2,即a 的取值范围为(1,2]. 11.12,1 x ≤2时,f (x )=-x 2+2x-2=-(x-1)2-1,f (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是f (1)=-1,所以f (x )的值域是(-∞,-1];又当x>2时,log a x ≤-1,故0<a<1,且log a 2≤-1,∴12a<1,故实数a 的取值范围为12,1.12.-14由题得,x>0,∴f (x )=log 2√x lo g √ 2x=12log 2x ꞏlog 24x 2=12log 2x ꞏ(log 24+2log 2x )=log 2x+(log 2x )2=log 2x+122-14-14.当且仅当x=√22时,有f (x )min =-14.13.D 因a 2+1>1,且lo g x<lo g y<0,由对数函数的单调性,得0<x<y<1,令x=14,y=12,将x=14,y=12代入选项,得A,B,C 不成立,D 成立,故选D .14.D 由2x =3y =5z ,同时取自然对数,得x ln 2=y ln 3=z ln 5.由2x 3y2ln33ln2ln9ln8>1,可得2x>3y.再由2x 5z2ln55ln2ln25ln32<1,可得2x<5z.所以3y<2x<5z ,故选D .15.B 因为a>b>c>1,且ac<b 2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b ,故A,C 错误;log c b=3>log b a=43,故D 错误,B 正确.故选B.16.D 令f (x )=x 2-2x lg b+lg b lg c ,则lg a 为f (x )的零点,且该函数图像的对称轴为x=lg b ,故Δ=4lg 2b-4lg b lg c ≥0.因为b>1,c>1.故lg b>0,lg c>0.所以lg b ≥lg c ,即b ≥c.又f (lg b )=lg b lg c-lg 2b=lg b (lg c-lg b ),f (lg c )=lg 2c-lg b lg c=lg c (lg c-lg b ),若b=c ,则f (lg b )=f (lg c )=0.故lg a=lg b=lg c ,即a=b=c.若b>c ,则f (lg b )<0,f (lg c )<0,利用二次函数图像,可得lg a<lg c<lg b ,或lg c<lg b<lg a ,即a<c<b ,或c<b<a.故选D .17.A 因为对∀x 1∈[2,22 020],存在唯一的x 2∈[2,22 020],使得f (x 1),A ,f (x 2)成等差数列,所以2A=f (x 1)+f (x 2),即2A-f (x 1)=f (x 2).因为f (x )=log 0.5x 在[2,22 020]上单调递减,可得f (x )在[2,22 020]的值域为[-2 020,-1],故y=2A-f (x )在(0,+∞)单调递增,可得其在区间[2,22 020]的值域为[2A+1,2A+2 020].由题意可得[2A+1,2A+2 020]⊆[-2 020,-1],即2A+1≥-2 020,且2A+2 020≤-1,解得A ≥-2 0212,且A ≤-2 0212,可得A=-2 0212.故选A .。
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对数和对数函数练习题1 求下列各式中的x 的值： (1)313x =；(2)6414x=；(3)92x =； (4)1255x 2=；(5)171x 2=-．2 有下列5个等式，其中a>0且a ≠1，x>0 , y>0①y log x log )y x (log a a a +=+，②y log x log )y x (log a a a ⋅=+， ③y log x log 21y x log a a a -=，④)y x (log y log x log a a a ⋅=⋅， ⑤)y log x (log 2)y x (log a a 22a -=-，将其中正确等式的代号写在横线上_____________．3 化简下列各式： (1)51lg 5lg 32lg 4-+； (2)536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+； (3)3lg 70lg 73lg -+； (4)120lg 5lg 2lg 2-+．4 利用对数恒等式N a N loga =，求下列各式的值： (1)5log 4log 3log354)31()51()41(-+ (2)2log 2log 4log 7101.0317103-+ (3)6lg 3log 2log100492575-+ (4)31log 27log 12log 2594532+-5 化简下列各式：(1))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (2)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+-6 已知a 5log 3=，75b =，用a 、b 的代数式表示105log 63=________．7 (1))1x (log y 3-= 的定义域为_________值域为____________.(2)22x log y = 的定义域为__________值域为_____________． 8 求下列函数的定义域： (1))2x 3(log x 25y a 2--=；(2))8x 6x (log y 2)1x 2(+-=-；(3))x (log log y 212=．9 (1)已知3log d 30log c 3b 30a 303303....====，，，，将a 、b 、c 、d 四数从小到大排列为_____________________．(2)若02log 2log m n >>时，则m 与n 的关系是( )A ．m>n>1B ．n>m>1C ．1>m>n>0D ．1>n>m>0 10 (1)若a>0且a ≠1，且143log a<，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a<1B ．43a 0<<C ．43a 043a <<>或D ．43a 0<<或a>1 (2)若1<x<d ，令)x (log log c x log b )x (log a d d 2d 2d ===，，，则( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<b<aD ．c<a<b11 已知函数)x 35(log y )4x 2(log y 3231-=+=，．(1)分别求这两个函数的定义域；(2)求使21y y =的x 的值；(3)求使21y y >的x 值的集合．12 已知函数)x 1x lg()x (f 2-+=(1)求函数的定义域；(2)证明f(x)是减函数．一、选择题1．3log 9log 28的值是( )A ．32B ．1C ．23 D ．2 2．函数)1x 2x (log )x (f 22+-=的定义域是( )A ．RB ．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．(0，1)D ．[1，＋∞]3．若函数x 2)x (f =，它的反函数是)x (f 1-，)(f c )4(f b )3(f a 111π===---，，，则下面关系式中正确的是( )A ．a<b<cB ．a<c< bC ．b<c<aD ．b<a<c4．4log 33的值是( )A ．16B ．4C ．3D ．25．)2x 2x (log )x (f 25+-=，使f(x)是单调增函数的x 值的区间是( )A ．RB ．(－∞，1)C ．[1，＋∞]D ．(－∞，1)∪(1，＋∞) 6．2log 3log 3log 2log )3log 2(log 3223223--+的值是( )A ．6log 2B ．6log 3C ．2D ．17．命题甲：a>1且x>y>0 命题乙：y log x log a a >那么甲是乙的( )A ．充分而非必要条件B ．必要而非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如果0<a<1，那么下列不等式中正确的是( )A ．2131)a 1()a 1(-<- B ．1)a 1(a 1>-+C ．0)a 1(log )a 1(>+-D ．0)a 1(log )a 1(<-+9．5log 222的值是( )A ．5B ．25C ．125D ．62510．函数)x 2(log )x (f 3-=在定义域区间上是( )A ．增函数B ．减函数C ．有时是增函数有时是减函数D ．无法确定其单调性11．x log )x (f 2=，若142)a (f 1=--，则实数a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．112．在区间(0，＋∞)上是增函数的函数是( )A ．1x )32()x (f +=B ．)1x (log )x (f 232+=C ．)x x lg()x (f 2+=D ．x 110)x (f -= 13．3log 15log 15log 5log 52333--的值是( )A ．0B ．1C ．5log 3D ．3log 514．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( )A ．RB ．[2，＋∞]C ．[3，＋∞]D ．(－∞，2)15．如果)x 2(log )x (f a -=是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，2)16．函数)3x 2x (log y 23--=是单调增函数的区间是( )A ．(1，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)17．如果02log 2log b a >>，那么下面不等关系式中正确的是( )A ．0<a<b<1B ．0<b<a<1C ．a>b>1D ．b>a>1二、填空题1．函数f(x)的定义域是[－1，2]，则函数)x (log f 2的定义域是_____________．2．若412x log 3=，则x ＝_____________．3．若)1x (log )x (f 3-=使f(a)＝2，那么a ＝_____________．4．函数)a ax x (log )x (f 23-+=的定义域是R(即(－∞，＋∞))，则实数a 的取值范 围是_____________．5．函数x )31(y =的图象与函数x log y 3-=的图象关于直线_____________对称． 6．函数)1x (log )x (f 24-=，若f(a)>2，则实数a 的取值范围是_____________．7．已知1313)x (f x x +-=，则)21(f 1-＝_____________． 8．x log )x (f 21=，当]a a [x 2，∈时，函数的最大值比最小值大3，则实数a ＝_____________．9．])2(log )41)[(log 2(lg 15121--+＝_____________．1．试比较22x lg )x (lg 与的大小．2．已知)1a (log )x (f x a -=(a>1)(1) 求f(x)的定义域； (2)求使)x (f )x 2(f 1-=的x 的值．3．实数x 满足方程5)312(log x x2=-+，求x 值的集合．4．已知b 5log a 7log 1414==，，求28log 35(用a 、b 表示)． 1. 把下列指数式化成对数式:(1)6264=→ ;(2)35125=→ ;(3)224525⎛⎫=→ ⎪⎝⎭ ;(4)121366-=→ ;(5)07.51=→ ;(641813-⎛⎫-=→ ⎪⎝⎭ .2. 把下列对数式化成指数式:(1)2log 164=→ ; (2)491log 72=→ ;(3) 0.5log 0.1253=→ ; (4) 31log 327=-→ ;(5)0.3log 0.31= → ; (6)lg0.00014=- → .3. 求下列各式的值:（1）5log 65= ；（2）32log 53= ；（3）2log 712⎛⎫⎪⎝⎭= 。
4.计算:（1）log = ；（2）6log 3= ；（3）661log 82log 3+= ；（46log 3=；（5）()2122log log log 0x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x = ；（6）2log 5= 。
（7）2lg 5lg 2lg 50+•= ;（8）2lg 2lg32lg 0.362lg 2+++= .5. 若)log 1,x y =-=求x y +.。