高考理科数学真题解析分类汇编:函数

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2024年高考数学真题分类汇编09:函数与导数(含详细答案解析)

2024年高考数学真题分类汇编09:函数与导数(含详细答案解析)

函数与导数一、单选题1.(2024·全国)已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x+ln (x +1),x ≥0,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)2.(2024·全国)已知函数为f (x )的定义域为R ,f (x )>f (x -1)+f (x -2),且当x <3时f (x )=x ,则下列结论中一定正确的是()A.f (10)>100B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<100003.(2024·全国)设函数f (x )=a (x +1)2-1,g (x )=cos x +2ax ,当x ∈(-1,1)时,曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点,则a =()A.-1B.12C.1D.24.(2024·全国)设函数f (x )=(x +a )ln (x +b ),若f (x )≥0,则a 2+b 2的最小值为()A.18B.14C.12D.15.(2024·全国)曲线f x =x 6+3x -1在0,-1 处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-326.(2024·全国)函数f x =-x 2+e x -e -x sin x 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为()A. B.C. D.7.(2024·全国)设函数f x =e x +2sin x1+x 2,则曲线y =f x 在0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.238.(2024·北京)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是函数y =2x图象上不同的两点,则下列正确的是()A.log 2y 1+y 22>x 1+x22 B.log 2y 1+y 22<x 1+x22C.log 2y 1+y 22>x 1+x 2D.log 2y 1+y 22<x 1+x 29.(2024·天津)下列函数是偶函数的是()A.y=e x-x2x2+1B.y=cos x+x2x2+1C.y=e x-xx+1D.y=sin x+4xe|x|10.(2024·天津)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a11.(2024·上海)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x+cos xB.sin x cos xC.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x12.(2024·上海)已知函数f(x)的定义域为R,定义集合M=x0x0∈R,x∈-∞,x0,f x <f x0,在使得M =-1,1的所有f x 中,下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x=2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x=-1处取到极小值二、多选题13.(2024·全国)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时,f(x)<f x2C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)14.(2024·全国)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则()A.当a>1时,f(x)有三个零点B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a,使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题15.(2024·全国)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=.16.(2024·全国)已知a>1,1log8a -1log a4=-52,则a=.17.(2024·全国)曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点,则a的取值范围为.18.(2024·天津)若函数f x =2x2-ax-ax-2+1有唯一零点,则a的取值范围为.19.(2024·上海)已知f x =x,x>01,x≤0,则f3 =.四、解答题20.(2024·全国)已知函数f(x)=ln x2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0,且f (x)≥0,求a的最小值;(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;(3)若f (x )>-2当且仅当1<x <2,求b 的取值范围.21.(2024·全国)已知函数f (x )=e x -ax -a 3.(1)当a =1时,求曲线y =f (x )在点1,f (1) 处的切线方程;(2)若f (x )有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.22.(2024·全国)已知函数f x =a x -1 -ln x +1.(1)求f x 的单调区间;(2)若a ≤2时,证明:当x >1时,f x <e x -1恒成立.23.(2024·全国)已知函数f x =1-ax ln 1+x -x .(1)当a =-2时,求f x 的极值;(2)当x ≥0时,f x ≥0恒成立,求a 的取值范围.24.(2024·北京)已知f x =x +k ln 1+x 在t ,f t t >0 处切线为l .(1)若切线l 的斜率k =-1,求f x 单调区间;(2)证明:切线l 不经过0,0 ;(3)已知k =1,A t ,f t ,C 0,f t ,O 0,0 ,其中t >0,切线l 与y 轴交于点B 时.当2S △ACO =15S △ABO ,符合条件的A 的个数为?(参考数据:1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)25.(2024·天津)设函数f x =x ln x .(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程;(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立,求a 的取值范围;(3)若x 1,x 2∈0,1 ,证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12.26.(2024·上海)若f x =log a x (a >0,a ≠1).(1)y =f x 过4,2 ,求f 2x -2 <f x 的解集;(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列,求a 的取值范围.27.(2024·上海)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ,令s x =(x -a )2+f x -b 2,若P x 0,f x 0 是s x取到最小值的点,则称P 是M 在f x 的“最近点”.(1)对于f (x )=1x(x >0),求证:对于点M 0,0 ,存在点P ,使得点P 是M 在f x 的“最近点”;(2)对于f x =e x ,M 1,0 ,请判断是否存在一个点P ,它是M 在f x 的“最近点”,且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直;(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x ),且函数g (x )在定义域R 上恒正,设点M 1t -1,f t -g t ,M 2t +1,f t +g t .若对任意的t ∈R ,存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”,试判断f x 的单调性.参考答案:1.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【解析】因为f x 在R上单调递增,且x≥0时,f x =e x+ln x+1单调递增,则需满足--2a2×-1≥0-a≤e0+ln1,解得-1≤a≤0,即a的范围是[-1,0].故选:B.2.B【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.【解析】因为当x<3时f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2,又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确;且无证据表明ACD一定正确.故选:B.【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2,再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)+ f(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.3.D【分析】解法一:令F x =ax2+a-1,G x =cos x,分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上,即可得a=2,并代入检验即可;解法二:令h x =f(x)-g x ,x∈-1,1,可知h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可.【解析】解法一:令f(x)=g x ,即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得ax2+a-1=cos x,令F x =ax2+a-1,G x =cos x,原题意等价于当x∈(-1,1)时,曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,注意到F x ,G x 均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,可得F0 =G0 ,即a-1=1,解得a=2,若a=2,令F x =G x ,可得2x2+1-cos x=0因为x∈-1,1,则2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得2x2+1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,所以a=2符合题意;综上所述:a=2.解法二:令h x =f(x)-g x =ax2+a-1-cos x,x∈-1,1,原题意等价于h x 有且仅有一个零点,因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ,则h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0,即h 0 =a -2=0,解得a =2,若a =2,则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ,又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时,等号成立,可得h x ≥0,当且仅当x =0时,等号成立,即h x 有且仅有一个零点0,所以a =2符合题意;故选:D .4.C【分析】解法一:由题意可知:f (x )的定义域为-b ,+∞ ,分类讨论-a 与-b ,1-b 的大小关系,结合符号分析判断,即可得b =a +1,代入可得最值;解法二:根据对数函数的性质分析ln (x +b )的符号,进而可得x +a 的符号,即可得b =a +1,代入可得最值.【解析】解法一:由题意可知:f (x )的定义域为-b ,+∞ ,令x +a =0解得x =-a ;令ln (x +b )=0解得x =1-b ;若-a ≤-b ,当x ∈-b ,1-b 时,可知x +a >0,ln x +b <0,此时f (x )<0,不合题意;若-b <-a <1-b ,当x ∈-a ,1-b 时,可知x +a >0,ln x +b <0,此时f (x )<0,不合题意;若-a =1-b ,当x ∈-b ,1-b 时,可知x +a <0,ln x +b <0,此时f (x )>0;当x ∈1-b ,+∞ 时,可知x +a ≥0,ln x +b ≥0,此时f (x )≥0;可知若-a =1-b ,符合题意;若-a >1-b ,当x ∈1-b ,-a 时,可知x +a 0,ln x +b 0,此时f (x )<0,不合题意;综上所述:-a =1-b ,即b =a +1,则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12,当且仅当a =-12,b =12时,等号成立,所以a 2+b 2的最小值为12;解法二:由题意可知:f (x )的定义域为-b ,+∞ ,令x +a =0解得x =-a ;令ln (x +b )=0解得x =1-b ;则当x ∈-b ,1-b 时,ln x +b <0,故x +a ≤0,所以1-b +a ≤0;x ∈1-b ,+∞ 时,ln x +b >0,故x +a ≥0,所以1-b +a ≥0;故1-b +a =0,则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12,当且仅当a =-12,b =12时,等号成立,所以a 2+b 2的最小值为12.故选:C .【点睛】关键点点睛:分别求x +a =0、ln (x +b )=0的根,以根和函数定义域为临界,比较大小分类讨论,结合符号性分析判断.5.A【分析】先求出切线方程,再求出切线的截距,从而可求面积.【解析】f x =6x 5+3,所以f 0 =3,故切线方程为y =3(x -0)-1=3x -1,故切线的横截距为13,纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为12×1×13=16故选:A .6.B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ,代入x =1可得f 1 >0,可排除D .【解析】f -x =-x 2+e -x -e x sin -x =-x 2+e x -e -x sin x =f x ,又函数定义域为-2.8,2.8 ,故该函数为偶函数,可排除A 、C ,又f 1 =-1+e -1e sin1>-1+e -1e sin π6=e 2-1-12e >14-12e>0,故可排除D .故选:B .7.A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1 处的切线方程,即可得其与坐标轴交点坐标,即可得其面积.【解析】fx =ex+2cos x 1+x 2 -e x +2sin x ⋅2x1+x 22,则f0 =e 0+2cos0 1+0 -e 0+2sin0 ×01+02=3,即该切线方程为y -1=3x ,即y =3x +1,令x =0,则y =1,令y =0,则x =-13,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S =12×1×-13 =16.故选:A .8.A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ;举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设x 1<x 2,因为函数y =2x 是增函数,所以0<2x 1<2x 2,即0<y 1<y 2,对于选项AB :可得2x1+2x 22>2x 1·2x 2=2x 1+x 22,即y 1+y 22>2x 1+x 22>0,根据函数y =log 2x 是增函数,所以log 2y 1+y 22>log 22x 1+x22=x 1+x22,故A 正确,B 错误;对于选项C :例如x 1=0,x 2=1,则y 1=1,y 2=2,可得log 2y 1+y 22=log 232∈0,1 ,即log 2y 1+y 22<1=x 1+x 2,故C 错误;对于选项D :例如x 1=-1,x 2=-2,则y 1=12,y 2=14,可得log 2y 1+y 22=log 238=log 23-3∈-2,-1 ,即log 2y 1+y 22>-3=x 1+x 2,故D 错误,故选:A .9.B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A ,设f x =e x -x 2x 2+1,函数定义域为R ,但f -1 =e -1-12,f 1 =e -12,则f -1 ≠f 1 ,故A 错误;对B ,设g x =cos x +x 2x 2+1,函数定义域为R ,且g -x =cos -x +-x 2-x 2+1=cos x +x 2x 2+1=g x ,则g x 为偶函数,故B 正确;对C ,设h x =e x -xx +1,函数定义域为x |x ≠-1 ,不关于原点对称,则h x 不是偶函数,故C 错误;对D ,设φx =sin x +4x e |x |,函数定义域为R ,因为φ1 =sin1+4e ,φ-1 =-sin1-4e ,则φ1 ≠φ-1 ,则φx 不是偶函数,故D 错误.故选:B .10.B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为y =4.2x 在R 上递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,所以0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a <1<b ,因为y =log 4.2x 在(0,+∞)上递增,且0<0.2<1,所以log 4.20.2<log 4.21=0,即c <0,所以b >a >c ,故选:B 11.A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【解析】对A ,sin x +cos x =2sin x +π4,周期T =2π,故A 正确;对B ,sin x cos x =12sin2x ,周期T =2π2=π,故B 错误;对于选项C ,sin 2x +cos 2x =1,是常值函数,不存在最小正周期,故C 错误;对于选项D ,sin 2x -cos 2x =-cos2x ,周期T =2π2=π,故D 错误,故选:A .12.B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断,对于B ,构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【解析】对于A ,若存在y =f (x )是偶函数, 取x 0=1∈[-1,1],则对于任意x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而f (-1)=f (1), 矛盾, 故A 错误;对于B ,可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ,当x <-1时,则f x =-2,当-1≤x ≤1时,f x ∈-1,1 ,当x >1时,f x =1,则该函数f x 的最大值是f 2 ,则B 正确;对C ,假设存在f x ,使得f x 严格递增,则M =R ,与已知M =-1,1 矛盾,则C 错误;对D ,假设存在f x ,使得f x 在x =-1处取极小值,则在-1的左侧附近存在n ,使得f n >f -1 ,这与已知集合M 的定义矛盾,故D 错误;故选:B .13.ACD【分析】求出函数f x 的导数,得到极值点,即可判断A ;利用函数的单调性可判断B ;根据函数f x 在1,3 上的值域即可判断C ;直接作差可判断D .【解析】对A ,因为函数f x 的定义域为R ,而f x =2x -1 x -4 +x -1 2=3x -1 x -3 ,易知当x ∈1,3 时,f x <0,当x ∈-∞,1 或x ∈3,+∞ 时,f x >0函数f x 在-∞,1 上单调递增,在1,3 上单调递减,在3,+∞ 上单调递增,故x =3是函数f x 的极小值点,正确;对B ,当0<x <1时,x -x 2=x 1-x >0,所以1>x >x 2>0,而由上可知,函数f x 在0,1 上单调递增,所以f x >f x 2 ,错误;对C ,当1<x <2时,1<2x -1<3,而由上可知,函数f x 在1,3 上单调递减,所以f 1 >f 2x -1 >f 3 ,即-4<f 2x -1 <0,正确;对D ,当-1<x <0时,f (2-x )-f (x )=1-x 2-2-x -x -1 2x -4 =x -1 22-2x >0,所以f (2-x )>f (x ),正确;故选:ACD .14.AD【分析】A 选项,先分析出函数的极值点为x =0,x =a ,根据零点存在定理和极值的符号判断出f (x )在(-1,0),(0,a ),(a ,2a )上各有一个零点;B 选项,根据极值和导函数符号的关系进行分析;C 选项,假设存在这样的a ,b ,使得x =b 为f (x )的对称轴,则f (x )=f (2b -x )为恒等式,据此计算判断;D 选项,若存在这样的a ,使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心,则f (x )+f (2-x )=6-6a ,据此进行计算判断,亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A 选项,f (x )=6x 2-6ax =6x (x -a ),由于a >1,故x ∈-∞,0 ∪a ,+∞ 时f (x )>0,故f (x )在-∞,0 ,a ,+∞ 上单调递增,x ∈(0,a )时,f (x )<0,f (x )单调递减,则f (x )在x =0处取到极大值,在x =a 处取到极小值,由f (0)=1>0,f (a )=1-a 3<0,则f (0)f (a )<0,根据零点存在定理f (x )在(0,a )上有一个零点,又f (-1)=-1-3a <0,f (2a )=4a 3+1>0,则f (-1)f (0)<0,f (a )f (2a )<0,则f (x )在(-1,0),(a ,2a )上各有一个零点,于是a >1时,f (x )有三个零点,A 选项正确;B 选项,f (x )=6x (x -a ),a <0时,x ∈(a ,0),f (x )<0,f (x )单调递减,x ∈(0,+∞)时f (x )>0,f (x )单调递增,此时f (x )在x =0处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的a ,b ,使得x =b 为f (x )的对称轴,即存在这样的a ,b 使得f (x )=f (2b -x ),即2x 3-3ax 2+1=2(2b -x )3-3a (2b -x )2+1,根据二项式定理,等式右边(2b -x )3展开式含有x 3的项为2C 33(2b )0(-x )3=-2x 3,于是等式左右两边x 3的系数都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的a ,b ,使得x =b 为f (x )的对称轴,C 选项错误;D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简f (1)=3-3a ,若存在这样的a ,使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心,则f (x )+f (2-x )=6-6a ,事实上,f (x )+f (2-x )=2x 3-3ax 2+1+2(2-x )3-3a (2-x )2+1=(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a ,于是6-6a =(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a即12-6a =012a -24=018-12a =6-6a,解得a =2,即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心,D 选项正确.方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,f (x )=2x 3-3ax 2+1,f (x )=6x 2-6ax ,f (x )=12x -6a ,由f (x )=0⇔x =a 2,于是该三次函数的对称中心为a 2,f a2,由题意(1,f (1))也是对称中心,故a2=1⇔a =2,即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心,D 选项正确.故选:AD【点睛】结论点睛:(1)f (x )的对称轴为x =b ⇔f (x )=f (2b -x );(2)f (x )关于(a ,b )对称⇔f (x )+f (2a -x )=2b ;(3)任何三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 都有对称中心,对称中心是三次函数的拐点,对称中心的横坐标是f (x )=0的解,即-b 3a ,f -b3a 是三次函数的对称中心15.ln2【分析】先求出曲线y =e x +x 在0,1 的切线方程,再设曲线y =ln x +1 +a 的切点为x 0,ln x 0+1 +a ,求出y ,利用公切线斜率相等求出x 0,表示出切线方程,结合两切线方程相同即可求解.【解析】由y =e x +x 得y =e x +1,y |x =0=e 0+1=2,故曲线y =e x +x 在0,1 处的切线方程为y =2x +1;由y =ln x +1 +a 得y =1x +1,设切线与曲线y =ln x +1 +a 相切的切点为x 0,ln x 0+1 +a ,由两曲线有公切线得y =1x 0+1=2,解得x 0=-12,则切点为-12,a +ln 12 ,切线方程为y =2x +12 +a +ln 12=2x +1+a -ln2,根据两切线重合,所以a -ln2=0,解得a =ln2.故答案为:ln216.64【分析】将log 8a ,log a 4利用换底公式转化成log 2a 来表示即可求解.【解析】由题1log 8a -1log a 4=3log 2a -12log 2a =-52,整理得log 2a 2-5log 2a -6=0,⇒log 2a =-1或log 2a =6,又a >1,所以log 2a =6=log 226,故a =26=64故答案为:64.17.-2,1【分析】将函数转化为方程,令x 3-3x =-x -1 2+a ,分离参数a ,构造新函数g x =x 3+x 2-5x +1,结合导数求得g x 单调区间,画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令x 3-3x =-x -1 2+a ,即a =x 3+x 2-5x +1,令g x =x 3+x 2-5x +1x >0 ,则g x =3x 2+2x -5=3x +5 x -1 ,令g x =0x >0 得x =1,当x ∈0,1 时,g x <0,g x 单调递减,当x ∈1,+∞ 时,g x >0,g x 单调递增,g 0 =1,g 1 =-2,因为曲线y =x 3-3x 与y =-x -1 2+a 在0,+∞ 上有两个不同的交点,所以等价于y =a 与g x 有两个交点,所以a ∈-2,1.故答案为:-2,1 18.-3,-1 ∪1,3【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系,构造函数g x =2x 2-ax 与h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a,则两函数图象有唯一交点,分a =0、a >0与a <0进行讨论,当a >0时,计算函数定义域可得x ≥a 或x ≤0,计算可得a ∈0,2 时,两函数在y 轴左侧有一交点,则只需找到当a ∈0,2 时,在y 轴右侧无交点的情况即可得;当a <0时,按同一方式讨论即可得.【解析】令f x =0,即2x 2-ax =ax -2 -1,由题可得x 2-ax ≥0,当a =0时,x ∈R ,有2x 2=-2 -1=1,则x =±22,不符合要求,舍去;当a >0时,则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a,即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a有唯一交点,由x 2-ax ≥0,可得x ≥a 或x ≤0,当x ≤0时,则ax -2<0,则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ,即4x 2-4ax =1-ax 2,整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0,当a =2时,即4x +1=0,即x =-14,当a ∈0,2 ,x =-12+a 或x =12-a>0(正值舍去),当a ∈2,+∞ 时,x =-12+a <0或x =12-a<0,有两解,舍去,即当a ∈0,2 时,2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤0时有唯一解,则当a ∈0,2 时,2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥a 时需无解,当a ∈0,2 ,且x ≥a 时,由函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a关于x =2a 对称,令h x =0,可得x =1a 或x =3a ,且函数h x 在1a ,2a上单调递减,在2a ,3a上单调递增,令g x =y =2x 2-ax ,即x -a 2 2a 24-y 2a 2=1,故x ≥a 时,g x 图象为双曲线x2a 24-y 2a2=1右支的x 轴上方部分向右平移a2所得,由x2a 24-y 2a2=1的渐近线方程为y =±aa 2x =±2x ,即g x 部分的渐近线方程为y =2x -a 2,其斜率为2,又a ∈0,2 ,即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x ≥2a 时的斜率a ∈0,2 ,令g x =2x 2-ax =0,可得x =a 或x =0(舍去),且函数g x 在a ,+∞ 上单调递增,故有1a <a 3a>a,解得1<a <3,故1<a <3符合要求;当a <0时,则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a,即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a有唯一交点,由x 2-ax ≥0,可得x ≥0或x ≤a ,当x ≥0时,则ax -2<0,则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ,即4x 2-4ax =1-ax 2,整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0,当a =-2时,即4x -1=0,即x =14,当a ∈-2,0 ,x =-12+a <0(负值舍去)或x =12-a0,当a ∈-∞,2 时,x =-12+a >0或x =12-a>0,有两解,舍去,即当a ∈-2,0 时,2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥0时有唯一解,则当a ∈-2,0 时,2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤a 时需无解,当a ∈-2,0 ,且x ≤a 时,由函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a关于x =2a 对称,令h x =0,可得x =1a 或x =3a ,且函数h x 在2a ,1a上单调递减,在3a ,2a上单调递增,同理可得:x ≤a 时,g x 图象为双曲线x 2a 24-y 2a 2=1左支的x 轴上方部分向左平移a2所得,g x 部分的渐近线方程为y =-2x +a 2,其斜率为-2,又a ∈-2,0 ,即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x <2a 时的斜率a ∈-2,0 ,令g x =2x 2-ax =0,可得x =a 或x =0(舍去),且函数g x 在-∞,a 上单调递减,故有1a >a 3a<a,解得-3<a <-1,故-3<a <-1符合要求;综上所述,a ∈-3,-1 ∪1,3 .故答案为:-3,-1 ∪1,3 .【点睛】关键点点睛:本题关键点在于将函数f x 的零点问题转化为函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a的交点问题,从而可将其分成两个函数研究.19.3【分析】利用分段函数的形式可求f 3 .【解析】因为f x =x ,x >01,x ≤0, 故f 3 =3,故答案为:3.20.(1)-2(2)证明见解析(3)b ≥-23【分析】(1)求出f x min =2+a 后根据f (x )≥0可求a 的最小值;(2)设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点,可证P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n 也在函数的图像上,从而可证对称性;(3)根据题设可判断f 1 =-2即a =-2,再根据f (x )>-2在1,2 上恒成立可求得b ≥-23.【解析】(1)b =0时,f x =ln x2-x+ax ,其中x ∈0,2 ,则f x =1x +12-x =2x 2-x+a ,x ∈0,2 ,因为x 2-x ≤2-x +x 2 2=1,当且仅当x =1时等号成立,故f x min =2+a ,而f x ≥0成立,故a +2≥0即a ≥-2,所以a 的最小值为-2.,(2)f x =ln x2-x+ax +b x -1 3的定义域为0,2 ,设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点,P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n ,因为P m ,n 在y =f x 图象上,故n =ln m2-m+am +b m -1 3,而f 2-m =ln 2-m m +a 2-m +b 2-m -1 3=-ln m2-m +am +b m -1 3 +2a ,=-n +2a ,所以Q 2-m ,2a -n 也在y =f x 图象上,由P 的任意性可得y =f x 图象为中心对称图形,且对称中心为1,a .(3)因为f x >-2当且仅当1<x<2,故x=1为f x =-2的一个解,所以f1 =-2即a=-2,先考虑1<x<2时,f x >-2恒成立.此时f x >-2即为lnx2-x+21-x+b x-13>0在1,2上恒成立,设t=x-1∈0,1,则ln t+11-t-2t+bt3>0在0,1上恒成立,设g t =ln t+11-t-2t+bt3,t∈0,1,则g t =21-t2-2+3bt2=t2-3bt2+2+3b1-t2,当b≥0,-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0,故g t >0恒成立,故g t 在0,1上为增函数,故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当-23≤b<0时,-3bt2+2+3b≥2+3b≥0,故g t ≥0恒成立,故g t 在0,1上为增函数,故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当b<-23,则当0<t<1+23b<1时,g t <0故在0,1+2 3b上g t 为减函数,故g t <g0 =0,不合题意,舍;综上,f x >-2在1,2上恒成立时b≥-2 3 .而当b≥-23时,而b≥-23时,由上述过程可得g t 在0,1递增,故g t >0的解为0,1,即f x >-2的解为1,2.综上,b≥-2 3 .【点睛】思路点睛:一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解,而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点,另外,根据函数不等式的解确定参数范围时,可先由恒成立得到参数的范围,再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.21.(1)e-1x-y-1=0(2)1,+∞【分析】(1)求导,结合导数的几何意义求切线方程;(2)解法一:求导,分析a≤0和a>0两种情况,利用导数判断单调性和极值,分析可得a2+ln a-1>0,构建函数解不等式即可;解法二:求导,可知f (x)=e x-a有零点,可得a>0,进而利用导数求f x 的单调性和极值,分析可得a2+ln a-1>0,构建函数解不等式即可.【解析】(1)当a=1时,则f(x)=e x-x-1,f (x)=e x-1,可得f(1)=e-2,f (1)=e-1,即切点坐标为1,e-2,切线斜率k=e-1,所以切线方程为y-e-2=e-1x-1,即e-1x-y-1=0.(2)解法一:因为f(x)的定义域为R,且f (x)=e x-a,若a≤0,则f (x)≥0对任意x∈R恒成立,可知f (x )在R 上单调递增,无极值,不合题意;若a >0,令f (x )>0,解得x >ln a ;令f (x )<0,解得x <ln a ;可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减,在ln a ,+∞ 内单调递增,则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3,无极大值,由题意可得:f ln a =a -a ln a -a 3<0,即a 2+ln a -1>0,构建g a =a 2+ln a -1,a >0,则g a =2a +1a>0,可知g a 在0,+∞ 内单调递增,且g 1 =0,不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ,解得a >1,所以a 的取值范围为1,+∞ ;解法二:因为f (x )的定义域为R ,且f (x )=e x -a ,若f (x )有极小值,则f (x )=e x -a 有零点,令f (x )=e x -a =0,可得e x =a ,可知y =e x 与y =a 有交点,则a >0,若a >0,令f (x )>0,解得x >ln a ;令f (x )<0,解得x <ln a ;可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减,在ln a ,+∞ 内单调递增,则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3,无极大值,符合题意,由题意可得:f ln a =a -a ln a -a 3<0,即a 2+ln a -1>0,构建g a =a 2+ln a -1,a >0,因为则y =a 2,y =ln a -1在0,+∞ 内单调递增,可知g a 在0,+∞ 内单调递增,且g 1 =0,不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ,解得a >1,所以a 的取值范围为1,+∞ .22.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导,含参分类讨论得出导函数的符号,从而得出原函数的单调性;(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x >1时,e x -1-2x +1+ln x >0即可.【解析】(1)f (x )定义域为(0,+∞),f (x )=a -1x =ax -1x当a ≤0时,f (x )=ax -1x <0,故f (x )在(0,+∞)上单调递减;当a >0时,x ∈1a,+∞ 时,f (x )>0,f (x )单调递增,当x ∈0,1a时,f (x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递减;a >0时,f (x )在1a ,+∞ 上单调递增,在0,1a上单调递减.(2)a ≤2,且x >1时,e x -1-f (x )=e x -1-a (x -1)+ln x -1≥e x -1-2x +1+ln x ,令g (x )=e x -1-2x +1+ln x (x >1),下证g (x )>0即可.g (x )=e x -1-2+1x ,再令h (x )=g (x ),则h (x )=e x -1-1x2,显然h (x )在(1,+∞)上递增,则h (x )>h (1)=e 0-1=0,即g (x )=h (x )在(1,+∞)上递增,故g (x)>g (1)=e0-2+1=0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0,问题得证23.(1)极小值为0,无极大值.(2)a≤-12【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数,就a≤-12、-12<a<0、a≥0分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】(1)当a=-2时,f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x,故f (x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-11+x+1,因为y=2ln(1+x),y=-11+x+1在-1,+∞上为增函数,故f (x)在-1,+∞上为增函数,而f (0)=0,故当-1<x<0时,f (x)<0,当x>0时,f (x)>0,故f x 在x=0处取极小值且极小值为f0 =0,无极大值.(2)f x =-a ln1+x+1-ax1+x-1=-a ln1+x-a+1x1+x,x>0,设s x =-a ln1+x-a+1x1+x,x>0,则s x =-ax+1-a+11+x2=-a x+1+a+11+x2=-ax+2a+11+x2,当a≤-12时,sx >0,故s x 在0,+∞上为增函数,故s x >s0 =0,即f x >0,所以f x 在0,+∞上为增函数,故f x ≥f0 =0.当-12<a<0时,当0<x<-2a+1a时,sx <0,故s x 在0,-2a+1 a上为减函数,故在0,-2a+1a上s x <s0 ,即在0,-2a+1 a上f x <0即f x 为减函数,故在0,-2a+1 a上f x <f0 =0,不合题意,舍.当a≥0,此时s x <0在0,+∞上恒成立,同理可得在0,+∞上f x <f0 =0恒成立,不合题意,舍;综上,a≤-1 2 .【点睛】思路点睛:导数背景下不等式恒成立问题,往往需要利用导数判断函数单调性,有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征,处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.24.(1)单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞).(2)证明见解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1,再利用导数研究其单调性即可;(2)写出切线方程y-f(t)=1+k1+t(x-t)(t>0),将(0,0)代入再设新函数F(t)=ln(1+t)-t1+t,利用导数研究其零点即可;(3)分别写出面积表达式,代入2S △ACO =15S ABO 得到13ln (1+t )-2t -15t1+t=0,再设新函数h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)研究其零点即可.【解析】(1)f (x )=x -ln (1+x ),f (x )=1-11+x =x1+x(x >-1),当x ∈-1,0 时,f x <0;当x ∈0,+∞ ,f x >0;∴f (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.则f (x )的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞).(2)f (x )=1+k 1+x ,切线l 的斜率为1+k1+t,则切线方程为y -f (t )=1+k1+t (x -t )(t >0),将(0,0)代入则-f (t )=-t 1+k 1+t,f (t )=t 1+k1+t ,即t +k ln (1+t )=t +t k 1+t ,则ln (1+t )=t 1+t ,ln (1+t )-t1+t =0,令F (t )=ln (1+t )-t1+t,假设l 过(0,0),则F (t )在t ∈(0,+∞)存在零点.F (t )=11+t -1+t -t (1+t )2=t(1+t )2>0,∴F (t )在(0,+∞)上单调递增,F (t )>F (0)=0,∴F (t )在(0,+∞)无零点,∴与假设矛盾,故直线l 不过(0,0).(3)k =1时,f (x )=x +ln (1+x ),f (x )=1+11+x =x +21+x>0.S △ACO =12tf (t ),设l 与y 轴交点B 为(0,q ),t >0时,若q <0,则此时l 与f (x )必有交点,与切线定义矛盾.由(2)知q ≠0.所以q >0,则切线l 的方程为y -t -ln t +1 =1+11+t x -t ,令x =0,则y =q =y =ln (1+t )-tt +1.∵2S △ACO =15S ABO ,则2tf (t )=15t ln (1+t )-t t +1,∴13ln (1+t )-2t -15t 1+t =0,记h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0),∴满足条件的A 有几个即h (t )有几个零点.h(t )=131+t -2-15(t +1)2=13t +13-2t 2+2t +1 -15(t +1)2=2t 2+9t -4(t +1)2=(-2t +1)(t -4)(t +1)2,当t ∈0,12 时,h t <0,此时h t 单调递减;当t ∈12,4 时,h t >0,此时h t 单调递增;当t ∈4,+∞ 时,h t <0,此时h t 单调递减;因为h (0)=0,h 120,h (4)=13ln5-20 13×1.6-20=0.8>0,h (24)=13ln25-48-15×2425=26ln5-48-725<26×1.61-48-725=-20.54<0,所以由零点存在性定理及h (t )的单调性,h (t )在12,4 上必有一个零点,在(4,24)上必有一个零点,综上所述,h (t )有两个零点,即满足2S ACO =15S ABO 的A 有两个.【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键是采用的是反证法,转化为研究函数零点问题.25.(1)y =x -1(2)2(3)证明过程见解析【分析】(1)直接使用导数的几何意义;(2)先由题设条件得到a =2,再证明a =2时条件满足;(3)先确定f x 的单调性,再对x 1,x 2分类讨论.【解析】(1)由于f x =x ln x ,故f x =ln x +1.所以f 1 =0,f 1 =1,所以所求的切线经过1,0 ,且斜率为1,故其方程为y =x -1.(2)设h t =t -1-ln t ,则h t =1-1t =t -1t,从而当0<t <1时h t <0,当t >1时h t >0.所以h t 在0,1 上递减,在1,+∞ 上递增,这就说明h t ≥h 1 ,即t -1≥ln t ,且等号成立当且仅当t =1.设g t =a t -1 -2ln t ,则f x -a x -x =x ln x -a x -x =x a 1x -1-2ln 1x=x ⋅g 1x.当x ∈0,+∞ 时,1x的取值范围是0,+∞ ,所以命题等价于对任意t ∈0,+∞ ,都有g t ≥0.一方面,若对任意t ∈0,+∞ ,都有g t ≥0,则对t ∈0,+∞ 有0≤g t =a t -1 -2ln t =a t -1 +2ln 1t ≤a t -1 +21t -1 =at +2t-a -2,取t =2,得0≤a -1,故a ≥1>0.再取t =2a ,得0≤a ⋅2a +2a 2-a -2=22a -a -2=-a -2 2,所以a =2.另一方面,若a =2,则对任意t ∈0,+∞ 都有g t =2t -1 -2ln t =2h t ≥0,满足条件.综合以上两个方面,知a 的取值范围是2 .(3)先证明一个结论:对0<a <b ,有ln a +1<f b -f ab -a<ln b +1.证明:前面已经证明不等式t -1≥ln t ,故b ln b -a ln a b -a =a ln b -a ln ab -a +ln b =ln b a b a -1+ln b <1+ln b ,且b ln b -a ln a b -a =b ln b -b ln a b -a +ln a =-ln a b 1-a b +ln a >-ab-1 1-a b+ln a =1+ln a ,所以ln a +1<b ln b -a ln ab -a <ln b +1,即ln a +1<f b -f a b -a<ln b +1.由f x =ln x +1,可知当0<x <1e 时f x <0,当x >1e时f x >0.所以f x 在0,1e 上递减,在1e,+∞ 上递增.不妨设x 1≤x 2,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一:当1e≤x 1≤x 2<1时,有f x 1 -f x 2 =f x 2 -f x 1 <ln x 2+1 x 2-x 1 <x 2-x 1<x 2-x 1,结论成立;情况二:当0<x 1≤x 2≤1e时,有f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2.对任意的c ∈0,1e,设φx =x ln x -c ln c -c -x ,则φx =ln x +1+12c -x.由于φx 单调递增,且有φ c 2e1+12c=ln c2e1+12c+1+12c -c2e1+12c<ln1e1+12c+1+12c -c2=-1-12c +1+12c=0,且当x ≥c -14ln 2c-1 2,x >c 2时,由12c -x≥ln 2c -1可知φ x =ln x +1+12c -x >ln c 2+1+12c -x =12c -x-ln 2c -1 ≥0.所以φ x 在0,c 上存在零点x 0,再结合φ x 单调递增,即知0<x <x 0时φ x <0,x 0<x <c 时φ x >0.故φx 在0,x 0 上递减,在x 0,c 上递增.①当x 0≤x ≤c 时,有φx ≤φc =0;②当0<x <x 0时,由于c ln 1c =-2f c ≤-2f 1e =2e <1,故我们可以取q ∈c ln 1c,1 .从而当0<x <c1-q 2时,由c -x >q c ,可得φx =x ln x -c ln c -c -x <-c ln c -c -x <-c ln c -q c =c c ln 1c-q <0.再根据φx 在0,x 0 上递减,即知对0<x <x 0都有φx <0;综合①②可知对任意0<x ≤c ,都有φx ≤0,即φx =x ln x -c ln c -c -x ≤0.根据c ∈0,1e和0<x ≤c 的任意性,取c =x 2,x =x 1,就得到x 1ln x 1-x 2ln x 2-x 2-x 1≤0.所以f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2≤x 2-x 1.情况三:当0<x 1≤1e ≤x 2<1时,根据情况一和情况二的讨论,可得f x 1 -f 1e≤1e -x 1≤x 2-x 1,f 1e -f x 2 ≤x 2-1e ≤x 2-x 1.而根据f x 的单调性,知f x 1 -f x 2 ≤f x 1 -f 1e 或f x 1 -f x 2 ≤f 1e-f x 2 .故一定有f x 1 -f x 2 ≤x 2-x 1成立.综上,结论成立.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于第3小问中,需要结合f x 的单调性进行分类讨论.26.(1)x |1<x <2(2)a >1【分析】(1)求出底数a ,再根据对数函数的单调性可求不等式的解;(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解,利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围.【解析】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ,故log a 4=2,故a 2=4即a =2(负的舍去),而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数,故f 2x -2 <f x ,故0<2x -2<x 即1<x <2,故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列,故2f ax =f x +1 +f x +2 有解,故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ,因为a >0,a ≠1,故x >0,故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解,由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解,令t =1x ∈0,+∞ ,而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ,故a 2>1即a >1.27.(1)证明见解析(2)存在,P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0),利用基本不等式即可;(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ,利用导函数得到其最小值,则得到P ,再证明直线MP 与切线垂直即可;(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0,对两等式化简得f x 0 =-1g (t ),再利用“最近点”的定义得到不等式组,即可证明x 0=t ,最后得到函数单调性.【解析】(1)当M (0,0)时,s x =(x -0)2+1x -0 2=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2,当且仅当x 2=1x 2即x =1时取等号,故对于点M 0,0 ,存在点P 1,1 ,使得该点是M 0,0 在f x 的“最近点”.(2)由题设可得s x =(x -1)2+e x -0 2=(x -1)2+e 2x ,则s x =2x -1 +2e 2x ,因为y =2x -1 ,y =2e 2x 均为R 上单调递增函数,则s x =2x -1 +2e 2x 在R 上为严格增函数,而s 0 =0,故当x <0时,s x <0,当x >0时,s x >0,故s x min =s 0 =2,此时P 0,1 ,而f x =e x ,k =f 0 =1,故f x 在点P 处的切线方程为y =x +1.而k MP =0-11-0=-1,故k MP ⋅k =-1,故直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直.(3)设s 1x =(x -t +1)2+f x -f t +g t 2,s 2x =(x -t -1)2+f x -f t -g t 2,而s 1x =2(x -t +1)+2f x -f t +g t f x ,s 2x =2(x -t -1)+2f x -f t -g t f x ,若对任意的t ∈R ,存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”,设P x 0,y 0 ,则x 0既是s 1x 的最小值点,也是s 2x 的最小值点,因为两函数的定义域均为R ,则x 0也是两函数的极小值点,则存在x0,使得s 1 x 0 =s 2 x 0 =0,即s 1 x 0 =2x 0-t +1 +2f x 0 f x 0 -f (t )+g (t ) =0①s 2 x 0 =2x 0-t -1 +2f x 0 f x 0 -f (t )-g (t ) =0②由①②相等得4+4g (t )⋅f x 0 =0,即1+f x 0 g (t )=0,即f x 0 =-1g (t ),又因为函数g (x )在定义域R 上恒正,则f x 0 =-1g (t )<0恒成立,接下来证明x 0=t ,因为x 0既是s 1x 的最小值点,也是s 2x 的最小值点,则s 1x 0 ≤s (t ),s 2x 0 ≤s (t ),即x 0-t +1 2+f x 0 -f t +g t 2≤1+g t 2,③x 0-t -12+f x 0 -f t -g t 2≤1+g t 2,④③+④得2x 0-t 2+2+2f x 0 -f (t ) 2+2g 2(t )≤2+2g 2(t )即x 0-t 2+f x 0 -f t 2≤0,因为x 0-t 2≥0,f x 0 -f t 2≥0则x 0-t =0f x 0 -f t =0,解得x 0=t ,则f t =-1g (t )<0恒成立,因为t 的任意性,则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t ),再利用最值点定义得到x 0=t 即可.。

2021年高考数学专题分类汇编:函数、导数、导数及应用(含答案)

2021年高考数学专题分类汇编:函数、导数、导数及应用(含答案)

函数、导数、导数及应用一.选择题(共13小题)1.(2021•浙江)已知函数f(x)=x2+,g(x)=sin x,则图象为如图的函数可能是()A.y=f(x)+g(x)﹣B.y=f(x)﹣g(x)﹣C.y=f(x)g(x)D.y=2.(2021•甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=﹣x B.f(x)=()x C.f(x)=x2D.f(x)=3.(2021•甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(﹣x).若f(﹣)=,则f()=()A.﹣B.﹣C.D.4.(2021•乙卷)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x﹣1)﹣1B.f(x﹣1)+1C.f(x+1)﹣1D.f(x+1)+15.(2021•甲卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f()=()A.﹣B.﹣C.D.6.(2021•上海)下列函数中,在定义域内存在反函数的是()A.f(x)=x2B.f(x)=sin x C.f(x)=2x D.f(x)=17.(2021•甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为()(≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.68.(2021•浙江)若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最小值是()A.﹣2B.﹣C.﹣D.9.(2021•乙卷)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sin x|+C.y=2x+22﹣x D.y=lnx+10.(2021•乙卷)若x,y满足约束条件则z=3x+y的最小值为()A.18B.10C.6D.411.(2021•乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点,则()A.a<b B.a>b C.ab<a2D.ab>a212.(2021•乙卷)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=﹣1,则()A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b13.(2021•新高考Ⅰ)若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线,则()A.e b<a B.e a<b C.0<a<e b D.0<b<e a二.填空题(共8小题)14.(2021•浙江)已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=.15.(2021•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数,则a=.16.(2021•新高考Ⅰ)函数f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为.17.(2021•上海)已知函数f(x)=3x+(a>0)的最小值为5,则a=.18.(2021•上海)若方程组无解,则=.19.(2021•上海)不等式<1的解集为.20.(2021•甲卷)曲线y=在点(﹣1,﹣3)处的切线方程为.21.(2021•上海)在无穷等比数列{a n}中,(a1﹣a n)=4,则a2的取值范围是.三.解答题(共8小题)22.(2021•甲卷)已知函数f(x)=|x﹣2|,g(x)=|2x+3|﹣|2x﹣1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.23.(2021•上海)已知函数f(x)=﹣x.(1)若a=1,求函数的定义域;(2)若a≠0,若f(ax)=a有2个不同实数根,求a的取值范围;(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在定义域内具有单调性?若存在,求出a的取值范围.24.(2021•浙江)设a,b为实数,且a>1,函数f(x)=a x﹣bx+e2(x∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对任意b>2e2,函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围;(Ⅲ)当a=e时,证明:对任意b>e4,函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,满足x2>x1+.(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)25.(2021•甲卷)设函数f(x)=a2x2+ax﹣3lnx+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.26.(2021•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x(1﹣lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna﹣alnb=a﹣b,证明:2<+<e.27.(2021•乙卷)已知函数f(x)=ln(a﹣x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;(2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1.28.(2021•乙卷)已知函数f(x)=x3﹣x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.29.(2021•甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.参考答案与试题解析一.选择题(共13小题)1.(2021•浙江)已知函数f(x)=x2+,g(x)=sin x,则图象为如图的函数可能是()A.y=f(x)+g(x)﹣B.y=f(x)﹣g(x)﹣C.y=f(x)g(x)D.y=【解答】解:由图可知,图象关于原点对称,则所求函数为奇函数,因为f(x)=x2+为偶函数,g(x)=sin x为奇函数,函数y=f(x)+g(x)﹣=x2+sin x为非奇非偶函数,故选项A错误;函数y=f(x)﹣g(x)﹣=x2﹣sin x为非奇非偶函数,故选项B错误;函数y=f(x)g(x)=(x2+)sin x,则y'=2x sin x+(x2+)cos x>0对x∈恒成立,则函数y=f(x)g(x)在上单调递增,故选项C错误.故选:D.2.(2021•甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=﹣x B.f(x)=()x C.f(x)=x2D.f(x)=【解答】解:由一次函数性质可知f(x)=﹣x在R上是减函数,不符合题意;由指数函数性质可知f(x)=()x在R上是减函数,不符合题意;由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不单调,不符合题意;根据幂函数性质可知f(x)=在R上单调递增,符合题意.故选:D.3.(2021•甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(﹣x).若f(﹣)=,则f()=()A.﹣B.﹣C.D.【解答】解:由题意得f(﹣x)=﹣f(x),又f(1+x)=f(﹣x)=﹣f(x),所以f(2+x)=f(x),又f(﹣)=,则f()=f(2﹣)=f(﹣)=.故选:C.4.(2021•乙卷)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x﹣1)﹣1B.f(x﹣1)+1C.f(x+1)﹣1D.f(x+1)+1【解答】解:因为f(x)==,所以函数f(x)的对称中心为(﹣1,﹣1),所以将函数f(x)向右平移一个单位,向上平移一个单位,得到函数y=f(x﹣1)+1,该函数的对称中心为(0,0),故函数y=f(x﹣1)+1为奇函数.故选:B.5.(2021•甲卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f()=()A.﹣B.﹣C.D.【解答】解:∵f(x+1)为奇函数,∴f(1)=0,且f(x+1)=﹣f(﹣x+1),∵f(x+2)偶函数,∴f(x+2)=f(﹣x+2),∴f[(x+1)+1]=﹣f[﹣(x+1)+1]=﹣f(﹣x),即f(x+2)=﹣f(﹣x),∴f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(﹣x).令t=﹣x,则f(t+2)=﹣f(t),∴f(t+4)=﹣f(t+2)=f(t),∴f(x+4)=f(x).当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.f(0)=f(﹣1+1)=﹣f(2)=﹣4a﹣b,f(3)=f(1+2)=f(﹣1+2)=f(1)=a+b,又f(0)+f(3)=6,∴﹣3a=6,解得a=﹣2,∵f(1)=a+b=0,∴b=﹣a=2,∴当x∈[1,2]时,f(x)=﹣2x2+2,∴f()=f()=﹣f()=﹣(﹣2×+2)=.故选:D.6.(2021•上海)下列函数中,在定义域内存在反函数的是()A.f(x)=x2B.f(x)=sin x C.f(x)=2x D.f(x)=1【解答】解:选项A:因为函数是二次函数,属于二对一的映射,根据函数的定义可得函数不存在反函数,A错误,选项B:因为函数是三角函数,有周期性和对称性,属于多对一的映射,根据函数的定义可得函数不存在反函数,B错误,选项C:因为函数的单调递增的指数函数,属于一一映射,所以函数存在反函数,C正确,选项D:因为函数是常数函数,属于多对一的映射,所以函数不存在反函数,D错误,故选:C.7.(2021•甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为()(≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【解答】解:在L=5+lgV中,L=4.9,所以4.9=5+lgV,即lgV=﹣0.1,解得V=10﹣0.1===≈0.8,所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选:C.8.(2021•浙江)若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最小值是()A.﹣2B.﹣C.﹣D.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,立,解得A(﹣1,1),化目标函数z=x﹣为y=2x﹣2z,由图可知,当直线y=2x﹣2z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为﹣1﹣.故选:B.9.(2021•乙卷)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sin x|+C.y=2x+22﹣x D.y=lnx+【解答】解:对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以函数的最小值为3,故选项A错误;对于B,因为0<|sin x|≤1,所以y=|sin x|+,当且仅当,即|sin x|=2时取等号,因为|sin x|≤1,所以等号取不到,所以y=|sin x|+>4,故选项B错误;对于C,因为2x>0,所以y=2x+22﹣x=,当且仅当2x=2,即x=1时取等号,所以函数的最小值为4,故选项C正确;对于D,因为当x=时,,所以函数的最小值不是4,故选项D错误.故选:C.10.(2021•乙卷)若x,y满足约束条件则z=3x+y的最小值为()A.18B.10C.6D.4【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(1,3),由z=3x+y,得y=﹣3x+z,由图可知,当直线y=﹣3x+z过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为3×1+3=6.故选:C.11.(2021•乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点,则()A.a<b B.a>b C.ab<a2D.ab>a2【解答】解:令f(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是f(x)的两个零点,当a>0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示,则0<a<b;当a<0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示,则b<a<0;综上,ab>a2.故选:D.12.(2021•乙卷)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=﹣1,则()A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 【解答】解:∵a=2ln1.01=ln1.0201,b=ln1.02,∴a>b,令f(x)=2ln(1+x)﹣(﹣1),0<x<1,令=t,则1<t<∴x=,∴g(t)=2ln()﹣t+1=2ln(t2+3)﹣t+1﹣2ln4,∴g′(t)=﹣1==﹣>0,∴g(t)在(1,)上单调递增,∴g(t)>g(1)=2ln4﹣1+1﹣2ln4=0,∴f(x)>0,∴a>c,同理令h(x)=ln(1+2x)﹣(﹣1),再令=t,则1<t<∴x=,∴φ(t)=ln()﹣t+1=ln(t2+1)﹣t+1﹣ln2,∴φ′(t)=﹣1=<0,∴φ(t)在(1,)上单调递减,∴φ(t)<φ(1)=ln2﹣1+1﹣ln2=0,∴h(x)<0,∴c>b,∴a>c>b.故选:B.13.(2021•新高考Ⅰ)若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线,则()A.e b<a B.e a<b C.0<a<e b D.0<b<e a【解答】解:函数y=e x是增函数,y′=e x>0恒成立,函数的图象如图,y>0,即取得坐标在x轴上方,如果(a,b)在x轴下方,连线的斜率小于0,不成立.点(a,b)在x轴或下方时,只有一条切线.如果(a,b)在曲线上,只有一条切线;(a,b)在曲线上侧,没有切线;由图象可知(a,b)在图象的下方,并且在x轴上方时,有两条切线,可知0<b<e a.故选:D.二.填空题(共8小题)14.(2021•浙江)已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=2.【解答】解:因为函数f(x)=,所以,则f(f())=f(2)=|2﹣3|+a=3,解得a=2.故答案为:2.15.(2021•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数,则a=1.【解答】解:函数f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数,y=x3为R上的奇函数,故y=a•2x﹣2﹣x也为R上的奇函数,所以y|x=0=a•20﹣20=a﹣1=0,所以a=1.故答案为:1.16.(2021•新高考Ⅰ)函数f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1.【解答】解:函数f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为(0,+∞).当0<x时,f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx=﹣2x+1﹣2lnx,此时函数f(x)在(0,]上为减函数,所以f(x)≥f()=﹣2×+1﹣2ln=2ln2;当x>时,f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx=2x﹣1﹣2lnx,则f′(x)==,当x∈(,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴当x=1时f(x)取得最小值为f(1)=2×1﹣1﹣2ln1=1.∵2ln2=ln4>lne=1,∴函数f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1.故答案为:1.17.(2021•上海)已知函数f(x)=3x+(a>0)的最小值为5,则a=9.【解答】解:f(x)=3x+=3x+1+﹣1≥﹣1=5,所以a=9,经检验,3x=2时等号成立.故答案为:9.18.(2021•上海)若方程组无解,则=0.【解答】解:对于方程组,有,当D≠0时,方程组的解为,根据题意,方程组无解,所以D=0,即,故答案为:0.19.(2021•上海)不等式<1的解集为(﹣7,2).【解答】解:<1⇒<0⇒<0,解得,﹣7<x<2.故答案为:(﹣7,2).20.(2021•甲卷)曲线y=在点(﹣1,﹣3)处的切线方程为5x﹣y+2=0.【解答】解:因为y=,(﹣1,﹣3)在曲线上,所以y′==,所以y′|x=﹣1=5,则曲线y=在点(﹣1,﹣3)处的切线方程为:y﹣(﹣3)=5[x﹣(﹣1)],即5x﹣y+2=0.故答案为:5x﹣y+2=0.21.(2021•上海)在无穷等比数列{a n}中,(a1﹣a n)=4,则a2的取值范围是(﹣4,0)∪(0,4).【解答】解:∵无穷等比数列{a n},∴公比q∈(﹣1,0)∪(0,1),∴a n=0,∴(a1﹣a n)=a1=4,∴a2=a1q=4q∈(﹣4,0)∪(0,4).故答案为:(﹣4,0)∪(0,4).三.解答题(共8小题)22.(2021•甲卷)已知函数f(x)=|x﹣2|,g(x)=|2x+3|﹣|2x﹣1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.【解答】解:(1)函数f(x)=|x﹣2|=,g(x)=|2x+3|﹣|2x﹣1|=.画出y=f(x)和y=g(x)的图像;(2)由图像可得:f(6)=4,g()=4,若f(x+a)≥g(x),说明把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|单位以后,f(x)的图像不在g(x)的下方,由图像观察可得:a≥2﹣+4=∴a的取值范围为[,+∞).23.(2021•上海)已知函数f(x)=﹣x.(1)若a=1,求函数的定义域;(2)若a≠0,若f(ax)=a有2个不同实数根,求a的取值范围;(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在定义域内具有单调性?若存在,求出a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=,由|x+1|﹣1≥0,得|x+1|≥1,解得x≤﹣2或x≥0.∴函数的定义域为(﹣∞,﹣2]∪[0,+∞);(2)f(ax)=,f(ax)=a⇔,设ax+a=t≥0,∴有两个不同实数根,整理得a=t﹣t2,t≥0,∴a=,t≥0,当且仅当0≤a<时,方程有2个不同实数根,又a≠0,∴a的取值范围是(0,);(3)当x≥﹣a时,f(x)=﹣x=,在[,+∞)上单调递减,此时需要满足﹣a≥,即a,函数f(x)在[﹣a,+∞)上递减;当x<﹣a时,f(x)=﹣x=,在(﹣∞,﹣2a]上递减,∵a<0,∴﹣2a>﹣a>0,即当a时,函数f(x)在(﹣∞,﹣a)上递减.综上,当a∈(﹣∞,﹣]时,函数f(x)在定义域R上连续,且单调递减.24.(2021•浙江)设a,b为实数,且a>1,函数f(x)=a x﹣bx+e2(x∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对任意b>2e2,函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围;(Ⅲ)当a=e时,证明:对任意b>e4,函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,满足x2>x1+.(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=a x lna﹣b,①当b≤0时,由于a>1,则a x lna>0,故f′(x)>0,此时f(x)在R上单调递增;②当b>0时,令f′(x)>0,解得,令f′(x)<0,解得,∴此时f(x)在单调递减,在单调递增;综上,当b≤0时,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞);当b>0时,f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为;(Ⅱ)注意到x→﹣∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,由(Ⅰ)知,要使函数f(x)有两个不同的零点,只需即可,∴对任意b>2e2均成立,令,则a t﹣bt+e2<0,即e tlna﹣bt+e2<0,即,即,∴对任意b>2e2均成立,记,则,令g′(b)=0,得b=lna,①当lna>2e2,即时,易知g(b)在(2e2,lna)单调递增,在(lna,+∞)单调递减,此时g(b)≤g(lna)=lna﹣lna•ln1+e2lna=lna•(e2+1)>0,不合题意;②当lna≤2e2,即时,易知g(b)在(2e2,+∞)单调递减,此时=2e2﹣2e2[ln(2e2)﹣ln(lna)]+e2lna,故只需2﹣2[ln2+2﹣ln(lna)]+lna≤0,即lna+2ln(lna)≤2+2ln2,则lna≤2,即a≤e2;综上,实数a的取值范围为(1,e2];(Ⅲ)证明:当a=e时,f(x)=e x﹣bx+e2,f′(x)=e x﹣b,令f′(x)=0,解得x=lnb>4,易知+e2=e2﹣3b<e2﹣3e4=e2(1﹣3e2)<0,∴f(x)有两个零点,不妨设为x1,x2,且x1<lnb<x2,由,可得,∴要证,只需证,只需证,而,则,∴要证,只需证,只需证x2>ln(blnb),而f(ln(blnb))=e ln(blnb)﹣bln(blnb)+e2=blnb﹣bln(blnb)+e2<blnb﹣bln(4b)+e2=,∴x2>ln(blnb),即得证.25.(2021•甲卷)设函数f(x)=a2x2+ax﹣3lnx+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.【解答】解:(1)f′(x)=2a2x+a﹣==,x>0,因为a>0,所以﹣<0<,所以在(0,)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在(,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上f(x)单调递增.(2)由(1)可知,f(x)min=f()=a2×()2+a×﹣3ln+1=3+3lna,因为y=f(x)的图像与x轴没有公共点,所以3+3lna>0,所以a>,所以a的取值范围为(,+∞).26.(2021•新高考Ⅰ)已知函数f(x)=x(1﹣lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna﹣alnb=a﹣b,证明:2<+<e.【解答】(1)解:由函数的解析式可得f'(x)=1−lnx−1=−lnx,∴x∈(0,1),f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)单调递减,则f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.(2)证明:由blna−alnb=a−b,得,即,由(1)f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,所以f(x)max=f(1)=1,且f(e)=0,令,,则x1,x2为f(x)=k的两根,其中k∈(0,1).不妨令x1∈(0,1),x2∈(1,e),则2−x1>1,先证2<x1+x2,即证x2>2−x1,即证f(x2)=f(x1)<f(2﹣x1),令h(x)=f(x)−f(2−x),则h′(x)=f′(x)+f′(2−x)=−lnx−ln(2−x)=−ln[x(2−x)]在(0,1)单调递减,所以h′(x)>h′(1)=0,故函数h(x)在(0,1)单调递增,∴h(x1)<h(1)=0.∴f(x1)<f(2﹣x1),∴2<x1+x2,得证.同理,要证x1+x2<e,(法一)即证1<x2<e﹣x1,根据(1)中f(x)单调性,即证f(x2)=f(x1)>f(e﹣x1),令φ(x)=f(x)−f(e−x),x∈(0,1),则φ'(x)=−ln[x(e−x)],令φ′(x0)=0,x∈(0,x0),φ'(x)>0,φ(x)单调递增,x∈(x0,1),φ'(x)<0,φ(x)单调递减,又0<x<e时,f(x)>0,且f(e)=0,故,φ(1)=f(1)−f(e−1)>0,∴φ(x)>0恒成立,x1+x2<e得证,(法二)f(x1)=f(x2),x1(1﹣lnx1)=x2(1﹣lnx2),又x1∈(0,1),故1﹣lnx1>1,x1(1﹣lnx1)>x1,故x1+x2<x1(1﹣lnx1)+x2=x2(1﹣lnx2)+x2,x2∈(1,e),令g(x)=x(1﹣lnx)+x,g′(x)=1﹣lnx,x∈(1,e),在(1,e)上,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)<g(e)=e,即x2(1﹣lnx2)+x2<e,所以x1+x2<e,得证,则2<+<e.27.(2021•乙卷)已知函数f(x)=ln(a﹣x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;(2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1.【解答】(1)解:由题意,f(x)的定义域为(﹣∞,a),令t(x)=xf(x),则t(x)=xln(a﹣x),x∈(﹣∞,a),则t'(x)=ln(a﹣x)+x•=,因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,则有t'(0)=0,即lna=0,所以a=1,当a=1时,t'(x)=,且t'(0)=0,因为t''(x)=,则t'(x)在(﹣∞,1)上单调递减,所以当x∈(﹣∞,0)时,t'(x)>0,当x∈(0,1)时,t'(x)<0,所以a=1时,x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点.综上所述,a=1;(2)证明:由(1)可知,xf(x)=xln(1﹣x),要证,即需证明,因为当x∈(﹣∞,0)时,xln(1﹣x)<0,当x∈(0,1)时,xln(1﹣x)<0,所以需证明x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x),即x+(1﹣x)ln(1﹣x)>0,令h(x)=x+(1﹣x)ln(1﹣x),则h'(x)=(1﹣x),所以h'(0)=0,当x∈(﹣∞,0)时,h'(x)<0,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,所以x=0为h(x)的极小值点,所以h(x)>h(0)=0,即x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x),故,所以.28.(2021•乙卷)已知函数f(x)=x3﹣x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.【解答】解:(1)f′(x)=3x2﹣2x+a,△=4﹣12a,①当△≤0,即时,由于f′(x)的图象是开口向上的抛物线,故此时f′(x)≥0,则f(x)在R上单调递增;②当△>0,即时,令f′(x)=0,解得,令f′(x)>0,解得x<x1或x>x2,令f′(x)<0,解得x1<x<x2,∴f(x)在(﹣∞,x1),(x2,+∞)单调递增,在(x1,x2)单调递减;综上,当时,f(x)在R上单调递增;当时,f(x)在单调递增,在单调递减.(2)设曲线y=f(x)过坐标原点的切线为l,切点为,则切线方程为,将原点代入切线方程有,,解得x0=1,∴切线方程为y=(a+1)x,令x3﹣x2+ax+1=(a+1)x,即x3﹣x2﹣x+1=0,解得x=1或x=﹣1,∴曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1,a+1)和(﹣1,﹣a﹣1).29.(2021•甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.【解答】解:(1)a=2时,f(x)=,f′(x)===,当x∈(0,)时,f′(x)>0,当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.(2)由题知f(x)=1在(0,+∞)有两个不等实根,f(x)=1⇔x a=a x⇔alnx=xlna⇔=,令g(x)=,g′(x)=,g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,又g(x)=﹣∞,g(e)=,g(1)=0,g(x)=0,作出g(x)的图象,如图所示:由图象可得0<<,解得a>1且a≠e,即a的取值范围是(1,e)∪(e,+∞).。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编:函数(附答案解析)

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编:函数(附答案解析)

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编:函数一.选择题(共7小题)1.函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A .[0,3]B .(0,3]C .[0,)+∞D .(-∞,3]2.函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A .B .C .D .3.已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =,3(0.2)b f =,0.2(log 3)c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .c b a >> 4.已知函数212()(5)f x log x ax =-+,在(4,)x ∈+∞单调递减,则a 的取值范围是( )A .(-∞,8]B .21(,)4-∞C .(,8)-∞D .21(,]4-∞5.已知3log 2a =,0.1b e =,0.5ln c e =,则三者大小关系为( )A .a c b <<B .c a b <<C .c b a <<D .a b c << 6.已知12a e =,3log 5b =,6log 8c =(其中e 为自然对数的底数, 2.718)e ≈,下列关系正确的是( )A .a b c >>B .a c b >>C .b a c >>D .c a b >>7.若1a >,则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A . B .C .D .二.多选题(共3小题) 8.下列函数中,属于奇函数并且值域为R 的有( )A .3y x =B .1y x x =+C .1y x x =-D .22x x y -=+9.下列函数中,值域是(0,)+∞的是( )A .12x y -=B .21y x =C .(1)y ln x =+D .||y x =10.下列函数中,是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A .()f x x =B .()||f x x x =C .()22x x f x -=-D .2()f x x =三.填空题(共5小题)11.函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>,则f (3)= .12.函数()log (2)2(0a f x x a =+->,且1)a ≠的图象必过定点 .13.已知212x =,21log 3y =,则x y +的值为 . 14.已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ,点P 在幂函数()y f x =的图象上,则3log f (3)= .15.若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4,则(2)f -= . 四.解答题(共7小题)16.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,2()2f x x x =-+.(1)当0x 时,求函数()f x 的解析式;(2)解关于m 的不等式:(2)(2)23f m f m m +--.17.设函数4()221xx f x =--,0x >. (1)求函数()f x 的值域;(2)设函数2()1g x x ax =-+,若对1[1x ∀∈,2],2[1x ∃∈,2],12()()f x g x =,求正实数a 的取值范围.18.设函数21y mx mx =--.(1)若函数21y mx mx =--有两个零点,求m 的取值范围;(2)若命题:x R ∃∈,0y ,是假命题,求m 的取值范围;(3)若对于[1x ∈,3],2(1)3y m x ++恒成立,求m 的取值范围.19.已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--,其中0a >,1a ≠.(1)求函数()f x 的定义域;(2)判断函数()f x 的奇偶性并给出证明;(3)若(1)1f -<,求a 的取值范围.20.已知函数1()21x f x a =-+为奇函数. (1)求a 的值,并判断函数()f x 的单调性;(2)若x R ∀∈,2(1)()0f x f kx ++<,求实数k 的取值范围.21.计算下列各式.(1)1206310.064()(2021)3π--+-+;(2)2731329log 5log 42log 5log -++. 22.计算:(100.539()()54--++ (2)22log 62222523lg lg -+--2022年全国高考数学真题及模拟题汇编:函数参考答案与试题解析一.选择题(共7小题)1.函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A .[0,3]B .(0,3]C .[0,)+∞D .(-∞,3]【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数式的真数大于0,根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解.【解答】解:要使原函数有意义,则030x x >⎧⎨-⎩,解得03x <. ∴函数()3f x lgx x =+-的定义域为(0,3].故选:B .【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.2.函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A .B .C .D .【考点】函数的图象与图象的变换【分析】根据题意分析可得()f x 为偶函数,通过0x =函数的值,排除函数的图象即可.【解答】解:根据题意有||2||2()2()2()x x f x x x f x --=--=-=,所以函数是偶函数,又函数||22x y x =-,当0x =时,1y =,排除C ,故选:A .【点评】本题考查函数的图象分析,注意分析函数的奇偶性,属于基础题.3.已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =,3(0.2)b f =,0.2(log 3)c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .c b a >>【考点】函数单调性的性质与判断【分析】首先求出函数()f x 的单调性,再判断0.2log 3,30.2,0.23的大小关系,从而得出a ,b ,c 的大小关系. 【解答】解:因为函数()3f x x x =-所以30x -,可得3x ,即()f x 的定义域为(-∞,3], 所以()3f x x x =-(-∞,3]单调递增,因为0.20331>=,3000.20.21<<=,0.2log 30<,所以30.20.2log 30.23<<,所以30.20.2(log 3)(0.2)(3)f f f <<,所以c b a <<.故选:A .【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断,考查函数值大小的比较,考查逻辑推理能力,属于基础题.4.已知函数212()(5)f x log x ax =-+,在(4,)x ∈+∞单调递减,则a 的取值范围是( )A .(-∞,8]B .21(,)4-∞C .(,8)-∞D .21(,]4-∞ 【考点】复合函数的单调性【分析】令25t x ax =-+,12log y t =,分析内层函数与外层函数的单调性以及对数真数在所给区间恒为正数,可得出关于a 的不等式组,进而求得实数a 的取值范围.【解答】解:令25t x ax =-+,易知12log y t =在其定义域上单调递减,要使()f x 在(4,)+∞上单调递减,则25t x ax =-+在(4,)+∞单调递增,且250t x ax =-+>,即2424450a a ⎧⎪⎨⎪-+⎩, 所以8214a a ⎧⎪⎨⎪⎩,即214a 因此实数a 的取值范围是(-∞,21]4. 故选:D. 【点评】本题考查复合函数的单调性,考查学生的运算能力,属于中档题.5.已知3log a =0.1b e =,0.5ln c e =,则三者大小关系为( )A .a c b <<B .c a b <<C .c b a <<D .a b c <<【考点】对数值大小的比较【分析】直接利用对数的运算性质化简得答案.【解答】解:33log log 0.5a =<=,0.101b e e =>=,0.50.5ln c e ==,a cb ∴<<.故选:A .【点评】本题考查对数值的大小比较,考查对数的运算性质,是基础题.6.已知12a e =,3log 5b =,6log 8c =(其中e 为自然对数的底数, 2.718)e ≈,下列关系正确的是( )A .a b c >>B .a c b >>C .b a c >>D .c a b >> 【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的单调性得到a b >,a c >,再利用对数的运算法则,换底公式,基本不等式得到b c >,求解即可.【解答】解:1232a e =>,33log 5log 3b =<332=, 6443log 8log 81log 22c =<=+=, a b ∴>,a c >,25858583363535lg lg lg lg lg lg lg b c lg lg lg lg lg lg -⋅∴-=->-=⋅ 222222(83)2425555444353535lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg +--->=>⋅⋅⋅ 2255035lg lg lg lg -==⋅, b c ∴>,a b c ∴>>,故选:A .【点评】本题考查了对数的运算法则,换底公式,对数函数的单调性,基本不等式的应用,考查了计算能力,属于中档题.7.若1a >,则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A . B .C .D .【考点】对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质【分析】由指数函数与对数函数的性质依次判断即可. 【解答】解:1()x y a=与log a y x =分别过(0,1),(1,0)点, 又1a >, ∴1()x y a=与log a y x =分别为定义域内的减函数,增函数, 故选:D .【点评】本题考查了指数函数与对数函数的性质应用,属于基础题.二.多选题(共3小题)8.下列函数中,属于奇函数并且值域为R 的有( )A .3y x =B .1y x x =+C .1y x x =-D .22x x y -=+【考点】函数的值域;函数奇偶性的性质与判断【分析】根据题意,依次分析选项是否正确,综合可得答案.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A ,3()f x x =是奇函数,且值域为R ,符合题意;对于B ,1()f x x x =+,当0x >时,1()2f x x x=+,当0x <时,()2f x -,即()f x 的值域为(-∞,2][2-,)+∞,不符合题意;对于C ,1()f x x x=-,是奇函数,且在(0,)+∞上单调递增,当0x +→时,()f x →-∞,x →+∞时,()f x →+∞,其值域为R ,符合题意;对于D ,()22x x f x -=+,是奇函数,且()2f x (当且仅当0x =时取“= “),其值域不为R ,不符合题意;故选:AC .【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及值域的计算,考查逻辑推理能力与运算求解能力,属于中档题.9.下列函数中,值域是(0,)+∞的是( )A .12x y -=B .21y x =C .(1)y ln x =+D .||y x =【考点】函数的值域【分析】利用函数的性质求出值域即可判断.【解答】解:对于:1A x R -∈,120x y -∴=>,故A 正确,对于:0B x ≠,20x ∴>,210y x ∴=>,故B 正确, 对于:10C x +>,(1)(y ln x ∴=+∈-∞,)+∞,故C 错误,对于:D x R ∈,||[0y x ∴=∈,)+∞,故D 错误.故选:AB .【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断,结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键,是基础题.10.下列函数中,是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A .()f x x =B .()||f x x x =C .()22x x f x -=-D .2()f x x =【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论.【解答】解:()f x x =为奇函数,且在(,)-∞+∞上是单调递增,故A 符合题意;()||f x x x =满足()()f x f x -=-,()f x 为奇函数,且在[0,)+∞递增,在(-∞,0]也递增,则()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增,故B 符合题意;()22x x f x -=-的定义域为R ,满足()()f x f x -=-,()f x 为奇函数,且2x y =和2x y -=-在R 上递增,则()f x 在R 上递增,故C 符合题意;2()f x x =为偶函数,故D 不符题意.故选:ABC .【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查运算能力和推理能力,属于基础题.三.填空题(共5小题)11.函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>,则f (3)= 5 .【考点】函数的值【分析】令213x -=得2x =,再代入即可.【解答】解:令213x -=得,2x =或2x =-(舍去),故f (3)2(21)f =-22235=-+=,故答案为:5.【点评】本题考查了复合函数函数值的求法,属于基础题.12.函数()log (2)2(0a f x x a =+->,且1)a ≠的图象必过定点 (1,2)-- .【考点】对数函数的图象与性质【分析】令21x +=,解得1x =-,当1x =-时,022y =-=-,即可求解.【解答】解:令21x +=,解得1x =-,当1x =-时,022y =-=-,故函数()log (2)2(0a f x x a =+->,且1)a ≠的图象必过定点(1,2)--.故答案为:(1,2)--.【点评】本题主要考查对数函数的性质,考查定点问题,属于基础题.13.已知212x =,21log 3y =,则x y +的值为 2 . 【考点】对数的运算性质【分析】先把指数式化为对数式,再利用对数的运算性质求解.【解答】解:212x =,2log 12x ∴=,222112log 423x y log log ∴+=+==, 故答案为:2.【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.14.已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ,点P 在幂函数()y f x =的图象上,则3log f (3)= 2 .【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域;指数函数的单调性与特殊点【分析】求出(2,4)P ,由幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ,求出a ,得到()f x 的解析式,再计算3log f (3)即可.【解答】解:函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ,则(2,4)P ,∴幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ,24a ∴=,解得2a =,2()f x x ∴=,3log f ∴(3)3log 92==.故答案为:2.【点评】本题考查函数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4,则(2)f -= 12- . 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数的解析式,代入点的坐标,求出函数的解析式,求出(2)f -的值即可.【解答】解:设幂函数的解析式为()f x x α=, 则1()44α=,解得:1α=-, 故1()f x x =,故1(2)2f -=-, 故答案为:12-. 【点评】本题考查了求幂函数的定义,考查函数求值问题,是基础题.四.解答题(共7小题)16.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,2()2f x x x =-+.(1)当0x 时,求函数()f x 的解析式;(2)解关于m 的不等式:(2)(2)23f m f m m +--.【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】(1)根据奇函数的性质进行转化求解即可.(2)将不等式进行转化,利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可.【解答】解:(1)函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,2()2f x x x =-+. (0)0f ∴=,当0x >,则0x -<,则2()2()f x x x f x -=--=-,即2()2(0)f x x x x =+<,综上2()2(0)f x x x x =+.(2)由(2)(2)23f m f m m +--.得(2)2(2)2(2)2f m m f m m f m m +--+-=-+-. 设()()g x f x x =+,则不等式等价为(2)(2)g m g m -,作出函数()f x 的图象如图:则()f x 在R 上是增函数,则()()g x f x x =+也是增函数, 则由(2)(2)g m g m -,得22m m -,得23m, 即实数m 的取值范围是(-∞,2]3.【点评】本题主要考查函数解析式的求解,根据函数奇偶性和单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键,是中档题.17.设函数4()221xx f x =--,0x >. (1)求函数()f x 的值域;(2)设函数2()1g x x ax =-+,若对1[1x ∀∈,2],2[1x ∃∈,2],12()()f x g x =,求正实数a 的取值范围.【考点】函数的值域【分析】(1)由已知41()2212121x x x x f x =-=-+--,,利用基本不等式可求函数()f x 的值域;(2)由对1[1x ∀∈,2],2[1x ∃∈,2],12()()f x g x =,可得函数函数()f x 在[1,2]上的值域包含于函数()g x 在[1,2]上的值域,由此可求正实数a 的取值范围.【解答】解:(1)24(2)111()2221212121x x x x x x f x -+=-=-=-+---,0x >,210x ->, 则11()212(21)22121x x x x f x =-+-⋅=--,,当且仅当1x =时取“=”, 所以()[2f x ∈,)+∞,即函数()f x 的值域为[2,)+∞;(2)设21x t =-,[1x ∈,2],[1t ∴∈,3], 函数1y t t=+在[1,3]上单调递增, 则函数()f x 在[1,2]上单调递增,()[2f x ∴∈,10]3, 设[1x ∈,2]时,函数()g x 的值域为A ,由题意知[2,10]3A ⊆, 又因为函数()g x 图象的对称轴为02a x =>, 当12a ,即02a <时,函数()g x 在[1,2]上递增,则(1)210(2)3g g ⎧⎪⎨⎪⎩,解得506a <, 当122a <<时,即24a <<时,函数()g x 在[1,2]上的最大值为g (1),g (2)中的较大者,而g (1)20a =-<且g (2)521a =-<,不合题意,当22a >,即4>时,函数()g x 在[1,2]上递减,则10(1)3(2)2g g ⎧⎪⎨⎪⎩,满足条件的a 不存在. 综上,5(0,]6a ∈. 【点评】本题考查了求函数的值域及分类讨论思想,采用了换元法求值域,换元后对参数t 的范围要进行确认,这是易错点,属于中档题.18.设函数21y mx mx =--.(1)若函数21y mx mx =--有两个零点,求m 的取值范围;(2)若命题:x R ∃∈,0y ,是假命题,求m 的取值范围;(3)若对于[1x ∈,3],2(1)3y m x ++恒成立,求m 的取值范围.【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质与图象【分析】(1)利用零点的定义,结合二次方程根的个数问题,求解即可;(2)将问题转化为210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立,分0m =和0m ≠两种情况,结合二次函数的图象与性质,列式求解即可;(3)将问题转化为4()m x x-+在[1x ∈,3]恒成立,利用基本不等式求解最值,即可得到答案.【解答】解:(1)因为函数21y mx mx =--有两个零点,所以方程210mx mx --=有两个不同的实数根,则2040m m m ≠⎧⎨=+>⎩,解得4m <-或0m >, 故实数m 的取值范围为(-∞,4)(0-⋃,)+∞;(2)命题:x R ∃∈,0y ,是假命题,则命题:x R ∀∈,0y <,是真命题,则210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立,当0m =时,不等式为10-<恒成立,符合题意;当0m ≠时,则2040m m m <⎧⎨=+<⎩,解得40m -<<. 综上所述,实数m 的取值范围为(4-,0];(3)因为对于[1x ∈,3],2(1)3y m x ++恒成立, 即240x mx ++对于[1x ∈,3]恒成立,即4()m x x-+在[1x ∈,3]恒成立, 则4[()]max m x x-+, 因为4424x x x x+⋅=, 当且仅当4x x=,即2x =时取等号, 所以4[()]4max x x -+=-, 则4m -,所以实数m 的取值范围为[4-,)+∞.【点评】本题考查了函数零点的理解与应用,函数与方程的应用,函数与不等式的综合应用,命题真假的应用以及不等式恒成立问题,要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法:参变量分离法、数形结合法、最值法等,属于中档题.19.已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--,其中0a >,1a ≠.(1)求函数()f x 的定义域;(2)判断函数()f x 的奇偶性并给出证明;(3)若(1)1f -<,求a 的取值范围.【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】(1)依题意,得2020x x +>⎧⎨->⎩,解之可得函数()f x 的定义域; (2)()f x 为奇函数;利用奇函数的定义证明即可;(3)1(1)13aa f log log a -<⇔<,通过对a 的范围的分类讨论,可求得答案. 【解答】解:(1)()log (2)log (2)a a f x x x =+--,其中0a >,1a ≠,∴202202x x x x +>>-⎧⎧⇒⎨⎨-><⎩⎩, ∴函数()f x 的定义域为(2,2)-;(2)()f x 为奇函数. 证明:22()()022a a x x f x f x log log x x-+-+=+=+-, ()()f x f x ∴-=-,(2,2)x ∈-,()f x ∴为奇函数;(3)(1)1f -<,∴1(1)3a a f log log a -=<, ①01a <<,()f x 单调递减,∴103a <<; ②1a >,()f x 单调递增,∴13a >,1a ∴>; 综上:103a <<或1a >,即(0a ∈,1)(13⋃,)+∞. 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断,考查分析推理能力与运算求解能力,属于中档题.20.已知函数1()21x f x a =-+为奇函数. (1)求a 的值,并判断函数()f x 的单调性;(2)若x R ∀∈,2(1)()0f x f kx ++<,求实数k 的取值范围.【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】(1)由奇函数在R 上有定义,可得(0)0f =,求得a 的值,再由指数函数的单调性可得()f x 的单调性;(2)由奇函数()f x 的单调性可将不等式的两边的“f ”去掉,结合二次不等式恒成立,运用判别式法,解不等式可得所求范围.【解答】解:(1)函数1()21x f x a =-+为奇函数,定义域为R , 可得(0)0f =,即102a -=,解得12a =, 则1112()12212xx xf x -=-=++,满足()()0f x f x -+=, 所以12a =成立; 由2x y =在R 上递增,可得112xy =+在R 上递减, 所以()f x 在R 上为递减函数;(2)x R ∀∈,2(1)()0f x f kx ++<,即为2(1)()()f x f kx f kx +<-=-,因为()f x 在R 上为递减函数,所以21x kx +>-,即210x kx ++>恒成立,则△0<,即240k -<,解得22k -<<,则k 的取值范围是(2,2)-.【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用:解不等式,考查转化思想和运算能力、推理能力,属于基础题.21.计算下列各式.(1)1206310.064()(2021)3π--+-+; (2)2731329log 5log 42log 5log -++. 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂及根式【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解.(2)利用对数的运算性质求解.【解答】解:(1)原式1113662332043132⨯⨯⨯=⋅-++⨯ 23220.49198917255=-++⨯=-++=. (2)原式333log 527log 9log 527211=+++-=++=.【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质,是基础题.22.计算:(100.539()()54--++(2)22log 62222523lg lg -+-- 【考点】有理数指数幂及根式;对数的运算性质【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质依次化简即可.【解答】解:(100.539()()54--++221133e e =-+++;(2)22log 62222523lg lg -+--421100632lg =--⨯ 211=-=.【点评】本题考查了有理指数幂及对数的运算,属于基础题.。

函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)

 函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题02函数
一、选择题
1.(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数 的定义域均为R,且 .若 的图像关于直线 对称, ,则 ()
A. B. C. D.
2.(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数 的定义域为R,且 ,则 ()
A. B. C.0D.1
A. B. C. D.
12.(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为()( )
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
27.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数 的图象大致为()
A. B. C. D.
24.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数 在 的图象大致为()
25.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数 的图象大致为()
26.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则 ()
A. B.0C.2D.50
13.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若 ,则()
A. B. C. D.
14.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:°C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据 得到下面的散点图:
由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
3.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数 的定义域为 , 为偶函数, 为奇函数,则()

2019年高考真题理科数学分类汇编(解析版):函数与答案

2019年高考真题理科数学分类汇编(解析版):函数与答案

2018 年高考真题理科数学分类汇编(解析版)函数1、(2018 年高考(安徽卷))函数y=f (x) 的图像如图所示,在区间a,b 上可找到n(n 2)个不同的数x1,x2...,x n ,使得f (x ) f (x ) f (x )1 2 n= = ,x x x1 2 n则n的取值范围是(A)3,4 (B)2,3,4(C)3,4,5 (D)2,3【答案】 B【解析】由题知,过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值. 用尺规作图,交点可取2,3,4.所以选 Bx2、(2018 年高考(北京卷))函数f(x) 的图象向右平移一个单位长度,所得图象与y=e 关于y 轴对称,则f(x)=A. xB. e 1 x D. e 11 x C. e 1 xe3、(2018 年高考(广东卷))定义域为R的四个函数 3 xy x , y 2 , 2 1y x , y 2sin x 中, 奇函数的个数是( )A . 4B .3C .2D .【解析】C;考查基本初等函数和奇函数的概念, 是奇函数的为 3y x 与y 2sin x , 故选C.4、(2018 年高考(全国(广西)卷))已知函数f x 的定义域为-1,0 ,则函数f 2x 1 的定义域为(A)1,1 (B)121,(C)-1,0 (D)12,1【答案】 B【解析】由题意可知 1 2x 1 0,,则 11x 。

故选 B25、(2018 年高考(全国(广西)卷))函数1f x = log 1 x 0x的反函数 1 =f x(A)1x x 0 (B)2 11x x R (D)2x 1 x 0x x (C)2 12 1【答案】 A【解析】由题意知1 1y1 2 x ( y 0)yx 2 1,因此,故选 A6、(2018 年高考(全国(广西)卷))若函数 2 1 1f x =x ax 在, 是增函数,则a的取值范围是x 2(A)-1,0 (B)-1,(C)0,3 (D)3,+7、(2018 年高考(湖南卷))函数f x 2ln x 的图像与函数 2 4 5g x x x 的图像的交点个数为A.3 B .2 C .1 D .0【答案】 B【解析】画出两个函数的图象,可得交点数。

2019年高考真题理科数学分类汇编(解析版):函数及答案

2019年高考真题理科数学分类汇编(解析版):函数及答案

2018年高考真题理科数学分类汇编(解析版)函 数1、(2018年高考(安徽卷))函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 (A ){}3,4 (B ){}2,3,4(C ) {}3,4,5 (D ){}2,3【答案】B【解析】由题知,过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图,交点可取2,3,4. 所以选B2、(2018年高考(北京卷))函数f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与y=e x 关于y 轴对称,则f(x)=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --3、(2018年高考(广东卷))定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B .3C .2D .【解析】C ;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C .4、(2018年高考(全国(广西)卷))已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为,则函数的定义域为(A )()1,1- (B )11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )()-1,0 (D )1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】由题意可知 1210,x -<+<,则112x -<<-。

故选B 5、(2018年高考(全国(广西)卷))函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x -(A )()1021x x >- (B )()1021x x ≠- (C )()21x x R -∈ (D )()210x x -> 【答案】A 【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-, 因此 ,故选A6、(2018年高考(全国(广西)卷))若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数,则的取值范围是 (A )[]-1,0 (B )[]-∞1, (C )[]0,3 (D )[]3∞,+7、(2018年高考(湖南卷))函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A .3 B .2 C .1 D .0【答案】B【解析】画出两个函数的图象,可得交点数。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( ) A .(10)100f > B .(20)1000f > C .(10)1000f <D .(20)10000f <2.(2024∙上海∙高考真题)已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = . 3.(2023∙北京∙高考真题)已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.4.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .535.(2021∙浙江∙高考真题)已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则=a .考点02 函数的定义域与值域1.(2022∙北京∙高考真题)函数1()f x x=的定义域是 . 2.(2020∙山东∙高考真题)函数()1lg f x x=的定义域是( ) A .()0,∞+B .()()0,11,+∞C .[)()0,11,+∞UD .()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞2.(2023∙北京∙高考真题)下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A .()ln f x x =-B .1()2xf x =C .1()f x x=-D .|1|()3x f x -=3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)已知函数()2(1)e x f x --=.记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则( )A .b c a >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>4.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(],2-∞-B .[)2,0-C .(]0,2D .[)2,+∞5.(2021∙全国甲卷∙高考真题)下列函数中是增函数的为( )A .()f x x =-B .()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C .()2f x x = D .()f x 6.(2020∙山东∙高考真题)已知函数()f x 的定义域是R ,若对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,则函数()f x 一定是( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .减函数7.(2020∙全国∙高考真题)设函数331()f x x x=-,则()f x ( ) A .是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D .是偶函数,且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1.(2024∙天津∙高考真题)下列函数是偶函数的是( )A .22e 1x x y x -=+ B .22cos 1x x y x +=+C .e 1x x y x -=+D .||sin 4e x x xy +=2.(2024∙上海∙高考真题)已知()3f x x a =+,x ∈R ,且()f x 是奇函数,则=a .3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数,则=a .4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数,则=a ( )A .2-B .1-C .1D .25.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则=a ( ). A .1-B .0C .12D .16.(2022∙全国乙卷∙高考真题)若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数,则=a ,b = . 7.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .538.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x . ①()()()1212f x x f x f x =;②当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>;③()f x '是奇函数.9.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数,则=a .10.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是( ) A .()11f x --B .()11f x -+C .()11f x +-D .()11f x ++11.(2020∙山东∙高考真题)若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是( )A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-⋃+∞D .[1,0][1,3]-⋃12.(2020∙全国∙高考真题)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )A .是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增B .是奇函数,且在11(,)22-单调递减C .是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增D .是奇函数,且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑( )A .3-B .2-C .0D .12.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则( ) A .102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .()10f -=C .()20f =D .()40f =3.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设函数()f x 的定义域为R ,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+.若()()036f f +=,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .94-B .32-C .74D .52考点06 函数的对称性及其应用1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)设函数32()231f x x ax =-+,则( ) A .当1a >时,()f x 有三个零点 B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)(多选)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,则( )A .(0)0f =B .102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .(1)(4)f f -=D .(1)(2)g g -=3.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑( )A .21-B .22-C .23-D .24-4.(2020∙全国∙高考真题)已知函数f (x )=sin x +1sin x,则() A .f (x )的最小值为2B .f (x )的图象关于y 轴对称C .f (x )的图象关于直线x π=对称D .f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( ) A .(10)100f > B .(20)1000f > C .(10)1000f < D .(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2==f f , 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>, (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>, (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确. 故选:B.【名师点评】关键点名师点评:本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ,再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-,代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.2.(2024∙上海∙高考真题)已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = .【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3.(2023∙北京∙高考真题)已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .【答案】1【答案分析】根据给定条件,把12x =代入,利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为:14.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得:522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选:C.【名师点评】关键点名师点评:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5.(2021∙浙江∙高考真题)已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程,解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦,故2a =, 故答案为:2.考点02 函数的定义域与值域1.(2022∙北京∙高考真题)函数1()f x x=的定义域是 . 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组,解得即可;【答案详解】解:因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩,解得1x ≤且0x ≠, 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃; 故答案为:()(],00,1-∞⋃2.(2020∙山东∙高考真题)函数()1lg f x x=的定义域是( ) A .()0,∞+ B .()()0,11,+∞C .[)()0,11,+∞UD .()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩,再解不等式组即可.【答案详解】由题知:0lg 0x x >⎧⎨≠⎩,解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选:B考点03 函数单调性的判断及其应用1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(,0]-∞ B .[1,0]- C .[1,1]- D .[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤, 即a 的范围是[1,0]-. 故选:B.2.(2023∙北京∙高考真题)下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A .()ln f x x =- B .1()2xf x =C .1()f x x=-D .|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性,结合复合函数的单调性判断ABC ,举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减, 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误;对于B ,因为2x y =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减,所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误; 对于C ,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减, 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确;对于D ,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====,显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选:C.3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)已知函数()2(1)e x f x --=.记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则( ) A .b c a >> B .b a c >> C .c b a >> D .c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小,再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--,则()g x 开口向下,对称轴为1x =,4112⎛-= ⎝⎭,而22491670-=+=>,41102⎛-=> ⎝⎭,即1122->-由二次函数性质知g g <,4112⎛-= ⎝⎭,而22481682)0-=+-=-=-<,112<-,所以(2g g >,综上,(2g g g <<, 又e x y =为增函数,故a c b <<,即b c a >>. 故选:A.4.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(],2-∞-B .[)2,0-C .(]0,2D .[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性,判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥,所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D5.(2021∙全国甲卷∙高考真题)下列函数中是增函数的为( )A .()f x x =-B .()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C .()2f x x = D .()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ,()f x x =-为R 上的减函数,不合题意,舍. 对于B ,()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数,不合题意,舍.对于C ,()2f x x =在(),0∞-为减函数,不合题意,舍.对于D ,()f x =R 上的增函数,符合题意, 故选:D.6.(2020∙山东∙高考真题)已知函数()f x 的定义域是R ,若对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,则函数()f x 一定是( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,等价于对于任意两个不相等的实数12x x <,总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选:C7.(2020∙全国∙高考真题)设函数331()f x x x =-,则()f x ( ) A .是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D .是偶函数,且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠,利用定义可得出函数()f x 为奇函数,再根据函数的单调性法则,即可解出.【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠,其关于原点对称,而()()f x f x -=-, 所以函数()f x 为奇函数. 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增,在(),0-?上单调递增,而331y x x -==在()0,+?上单调递减,在(),0-?上单调递减,所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增,在(),0-?上单调递增.故选:A .【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质,属于基础题.考点04 函数的奇偶性及其应用1.(2024∙天津∙高考真题)下列函数是偶函数的是( )A .22e 1x x y x -=+ B .22cos 1x x y x +=+C .e 1x xy x -=+D .||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ,设()22e 1x xf x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B ,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R , 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C ,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称, 则()h x 不是偶函数,故C 错误; 对D ,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R,因为()sin141e ϕ+=,()sin141e ϕ---=, 则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误. 故选:B.2.(2024∙上海∙高考真题)已知()3f x x a =+,x ∈R ,且()f x 是奇函数,则=a .【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数,故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=,故0a =, 故答案为:0.3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数,则=a .【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而求得2a =,再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数,定义域为R ,所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭,则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝,故2a =,此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++, 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==, 又定义域为R ,故()f x 为偶函数, 所以2a =. 故答案为:2.4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数,则=a ( ) A .2- B .1- C .1 D .2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数,则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---, 又因为x 不恒为0,可得()1e e 0a x x --=,即()1e e a x x -=, 则()1x a x =-,即11a =-,解得2a =. 故选:D.5.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则=a ( ). A .1- B .0C .12D .1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质,利用特殊值法求出a 值,再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数,则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+,,解得0a =, 当0a =时,()21ln21x x x f x -=+,()()21210x x -+>,解得12x >或12x <-,则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭,关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-, 故此时()f x 为偶函数. 故选:B.6.(2022∙全国乙卷∙高考真题)若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数,则=a ,b = . 【答案】 12-; ln 2.【答案分析】根据奇函数的定义即可求出. 【答案详解】[方法一]:奇函数定义域的对称性 若0a =,则()f x 的定义域为{|1}x x ≠,不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义,则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+,函数()f x 为奇函数,定义域关于原点对称,111a ∴+=-,解得12a =-, 由(0)0f =得,102ln b +=,2b ln ∴=,故答案为:12-;2ln .[方法二]:函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]:因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数,所以其定义域关于原点对称. 由101a x+≠-可得,()()110x a ax -+-≠,所以11a x a +==-,解得:12a =-,即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞,再由()00f =可得,ln 2b =.即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--,在定义域内满足()()f x f x -=-,符合题意. 故答案为:12-;ln 2.7.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得:522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选:C.【名师点评】关键点名师点评:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x . ①()()()1212f x x f x f x =;②当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>;③()f x '是奇函数.【答案】()4f x x =(答案不唯一,()()2*n x N f n x =∈均满足)【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =,则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===,满足①, ()34f x x '=,0x >时有()0f x ¢>,满足②, ()34f x x '=的定义域为R ,又()()34f x x f x ''-=-=-,故()f x '是奇函数,满足③.故答案为:()4f x x =(答案不唯一,()()2*n x N f n x =∈均满足)9.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数,则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-,故()()322x xf x x a --=-⋅-,因为()f x 为偶函数,故()()f x f x -=,时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-,整理得到()()12+2=0x xa --,故1a =, 故答案为:110.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是( ) A .()11f x -- B .()11f x -+C .()11f x +-D .()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式,再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++, 对于A ,()2112f x x--=-不是奇函数; 对于B ,()211f x x-=+是奇函数; 对于C ,()21122f x x +-=-+,定义域不关于原点对称,不是奇函数; 对于D ,()2112f x x ++=+,定义域不关于原点对称,不是奇函数. 故选:B【名师点评】本题主要考查奇函数定义,考查学生对概念的理解,是一道容易题.11.(2020∙山东∙高考真题)若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是( )A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-⋃+∞D .[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性,得到函数()f x 在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于等于零,分类转化为对应自变量不等式,最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =, 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减,且(2)0f -=,(0)0f =,所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时,()0f x >,当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时,()0f x <, 所以由(10)xf x -≥可得:0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤,所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃, 故选:D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式,考查分类讨论思想方法,属中档题. 12.(2020∙全国∙高考真题)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )A .是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增B .是奇函数,且在11(,)22-单调递减C .是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增D .是奇函数,且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数,排除AC ;当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增,排除B ;当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时,利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减,从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭,关于坐标原点对称,又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-, ()f x \为定义域上的奇函数,可排除AC ;当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()()ln 21ln 12f x x x =+--,()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,排除B ;当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时,()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭,2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,()ln f μμ=在定义域内单调递增,根据复合函数单调性可知:()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,D 正确.故选:D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断;判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下,根据()f x -与()f x 的关系得到结论;判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数,根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑( )A .3-B .2-C .0D .1【答案】A【答案分析】法一:根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6,求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值,即可解出. 【答案详解】[方法一]:赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=,令1,0x y ==可得,()()()2110f f f =,所以()02f =,令0x =可得,()()()2f y f y f y +-=,即()()f y f y =-,所以函数()f x 为偶函数,令1y =得,()()()()()111f x f x f x f f x ++-==,即有()()()21f x f x f x ++=+,从而可知()()21f x f x +=--,()()14f x f x -=--,故()()24f x f x +=-,即()()6f x f x =+,所以函数()f x 的一个周期为6.因为()()()210121f f f =-=-=-,()()()321112f f f =-=--=-,()()()4221f f f =-==-,()()()5111f f f =-==,()()602f f ==,所以一个周期内的()()()1260f f f +++= .由于22除以6余4, 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .[方法二]:【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=,联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=,可设()cos f x a x ω=,则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==,解得1cos 2ω=,取3πω=, 所以()2cos3f x x π=,则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()2cos 3f x xπ=符合条件,因此()f x 的周期263T ππ==,()()02,11f f ==,且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==,所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=, 由于22除以6余4,所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .【整体点评】法一:利用赋值法求出函数的周期,即可解出,是该题的通性通法;法二:作为选择题,利用熟悉的函数使抽象问题具体化,简化推理过程,直接使用具体函数的性质解题,简单明了,是该题的最优解.2.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则( ) A .102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .()10f -=C .()20f =D .()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数,由已知条件得出()10f =,结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数,则()()22f x f x +=-,可得()()31f x f x +=-, 因为函数()21f x +为奇函数,则()()1221f x f x -=-+,所以,()()11f x f x -=-+, 所以,()()()311f x f x f x +=-+=-,即()()4f x f x =+, 故函数()f x 是以4为周期的周期函数,因为函数()()21F x f x =+为奇函数,则()()010F f ==, 故()()110f f -=-=,其它三个选项未知. 故选:B.3.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设函数()f x 的定义域为R ,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+.若()()036f f +=,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .94-B .32-C .74D .52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件,可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案. 【答案详解】[方法一]:因为()1f x +是奇函数,所以()()11f x f x -+=-+①; 因为()2f x +是偶函数,所以()()22f x f x +=-+②.令1x =,由①得:()()()024f f a b =-=-+,由②得:()()31f f a b ==+, 因为()()036f f +=,所以()462a b a b a -+++=⇒=-,令0x =,由①得:()()()11102f f f b =-⇒=⇒=,所以()222f x x =-+.思路一:从定义入手.9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. [方法二]:因为()1f x +是奇函数,所以()()11f x f x -+=-+①; 因为()2f x +是偶函数,所以()()22f x f x +=-+②.令1x =,由①得:()()()024f f a b =-=-+,由②得:()()31f f a b ==+, 因为()()036f f +=,所以()462a b a b a -+++=⇒=-,令0x =,由①得:()()()11102f f f b =-⇒=⇒=,所以()222f x x =-+.思路二:从周期性入手由两个对称性可知,函数()f x 的周期4T =. 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:D .【名师点评】在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果.考点06 函数的对称性及其应用1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)设函数32()231f x x ax =-+,则( ) A .当1a >时,()f x 有三个零点 B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项,先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==,根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点;B 选项,根据极值和导函数符号的关系进行答案分析;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,则()(2)f x f b x =-为恒等式,据此计算判断;D 选项,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,据此进行计算判断,亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项,2()666()f x x ax x x a '=-=-,由于1a >,故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>,故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增, (0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则()f x 在0x =处取到极大值,在x a =处取到极小值, 由(0)10=>f ,3()10f a a =-<,则(0)()0f f a <, 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点,又(1)130f a -=--<,3(2)410f a a =+>,则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<,则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点,于是1a >时,()f x 有三个零点,A 选项正确; B 选项,()6()f x x x a '=-,a<0时,(,0),()0x a f x '∈<,()f x 单调递减, ,()0x ∈+∞时()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 在0x =处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-, 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+,根据二项式定理,等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-,于是等式左右两边3x 的系数都不相等,原等式不可能恒成立, 于是不存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,C 选项错误; D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,事实上,32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-,于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩,解得2a =,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确. 方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,32()231f x x ax =-+,2()66f x x ax '=-,()126f x x a ''=-,由()02af x x ''=⇔=,于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由题意(1,(1))f 也是对称中心,故122aa =⇔=, 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确. 故选:AD【名师点评】结论名师点评:(1)()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-;(2)()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=;(3)任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心,对称中心是三次函数的拐点,对称中心的横坐标是()0f x ''=的解,即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)(多选)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,则( )A .(0)0f =B .102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .(1)(4)f f -=D .(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一:转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]:对称性和周期性的关系研究对于()f x ,因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数,所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①,所以()()3f x f x -=,所以()f x 关于32x =对称,则(1)(4)f f -=,故C 正确; 对于()g x ,因为(2)g x +为偶函数,(2)(2)g x g x +=-,(4)()g x g x -=,所以()g x 关于2x =对称,由①求导,和()()g x f x '=,得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以()()30g x g x -+=,所以()g x 关于3(,0)2对称,因为其定义域为R ,所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,结合()g x 关于2x =对称,从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()112g g g -==-,故B 正确,D 错误; 若函数()f x 满足题设条件,则函数()f x C +(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定()f x 的函数值,故A 错误.故选:BC.[方法二]:【最优解】特殊值,构造函数法.由方法一知()g x 周期为2,关于2x =对称,故可设()()cos πg x x =,则()()1sin ππf x x c =+,显然A ,D 错误,选BC.故选:BC.[方法三]: 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数, 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2)(2)g x g x +=-, 所以()()3f x f x -=,(4)()g x g x -=,则(1)(4)f f -=,故C 正确;函数()f x ,()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称, 又()()g x f x '=,且函数()f x 可导, 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 所以()(4)()3g x g x g x -==--,所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=, 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()112g g g -==-,故B 正确,D 错误; 若函数()f x 满足题设条件,则函数()f x C +(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定()f x 的函数值,故A 错误.故选:BC.【点评】方法一:根据题意赋值变换得到函数的性质,即可判断各选项的真假,转化难度较高,是该题的通性通法;方法二:根据题意得出的性质构造特殊函数,再验证选项,简单明了,是该题的最优解.3.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑( )A .21-B .22-C .23-D .24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-,从而得到()()()352110f f f +++=- ,()()()462210f f f +++=- ,然后根据条件得到(2)f 的值,再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称,所以()()22g x g x -=+,因为()(4)7g x f x --=,所以(2)(2)7g x f x +--=,即(2)7(2)g x f x +=+-,因为()(2)5f x g x +-=,所以()(2)5f x g x ++=,代入得[]()7(2)5f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=-,所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ,()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=,所以(0)(2)5f g +=,即()01f =,所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=,所以(4)()7g x f x +-=,又因为()(2)5f x g x +-=,联立得,()()2412g x g x -++=,所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称,因为函数()g x 的定义域为R ,所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=,所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选:D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4.(2020∙全国∙高考真题)已知函数f (x )=sin x +1sin x ,则() A .f (x )的最小值为2B .f (x )的图象关于y 轴对称C .f (x )的图象关于直线x π=对称D .f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负,所以A 错;1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称; 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错; ()f x ∴关于直线2x π=对称,故C 错,D 对故选:D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本答案分析判断能力,属中档题.。

2019年高考真题理科数学分类汇编(解析版)-函数和答案

2019年高考真题理科数学分类汇编(解析版)-函数和答案

2018年高考真题理科数学分类汇编(解析版)函 数1、(2018年高考(安徽卷))函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 (A ){}3,4 (B ){}2,3,4(C ) {}3,4,5 (D ){}2,3【答案】B【解析】由题知,过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图,交点可取2,3,4. 所以选B2、(2018年高考(北京卷))函数f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与y=e x 关于y 轴对称,则f(x)=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --3、(2018年高考(广东卷))定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B .3C .2D . 【解析】C ;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C .4、(2018年高考(全国(广西)卷))已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为,则函数的定义域为(A )()1,1- (B )11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )()-1,0 (D )1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】由题意可知 1210,x -<+<,则112x -<<-。

故选B 5、(2018年高考(全国(广西)卷))函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x -(A )()1021x x >- (B )()1021x x ≠- (C )()21x x R -∈ (D )()210x x -> 【答案】A 【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-, 因此 ,故选A6、(2018年高考(全国(广西)卷))若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数,则的取值范围是 (A )[]-1,0 (B )[]-∞1, (C )[]0,3 (D )[]3∞,+7、(2018年高考(湖南卷))函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A .3 B .2 C .1 D .0【答案】B【解析】画出两个函数的图象,可得交点数。

2024高考数学真题分类汇编(解析)

2024高考数学真题分类汇编(解析)

一.复数1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)若1i 1zz =+-,则z =()A .1i --B .1i-+C .1i -D .1i+【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---,所以111i i z =+=-.故选:C.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知1i z =--,则z =()A .0B .1C D .2【详解】若1i z =--,则z ==故选:C.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))设5i z =+,则()i z z +=()A .10iB .2iC .10D .2-【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=,则()i 10i z z +=.故选:A二.集合1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣,则A B = ()A .{1,0}-B .{2,3}C .{3,1,0}--D .{1,0,2}-【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--,且注意到12<<,从而A B ={}1,0-.故选:A.2.(2024年高考全国甲卷数学(理))集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈,则()A A B ⋂=ð()A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,5【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈,所以{}1,4,9,16,25,81B =,则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð故选:D三.命题与逻辑1.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则()A .p 和q 都是真命题B .p ⌝和q 都是真命题C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题【详解】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题,综上,p ⌝和q 都是真命题.故选:B.2.(2024年高考全国甲卷数学(理))设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ= .下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是()A .①③B .②④C .①②③D .①③④【详解】对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β,当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α,当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ,因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s ,同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β,因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确,故选:A.四.向量1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知向量(0,1),(2,)a b x == ,若(4)b b a ⊥- ,则x =()A .2-B .1-C .1D .2【详解】因为()4b b a ⊥- ,所以()40b b a ⋅-= ,所以240b a b -⋅=即2440x x +-=,故2x =,故选:D.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知向量,a b满足1,22a a b =+= ,且()2b a b -⊥ ,则b = ()A .12B C D .1【详解】因为()2b a b -⊥ ,所以()20b a b -⋅= ,即22b a b =⋅,又因为1,22a a b =+= ,所以22144164a b b b +⋅+=+= ,从而2=b 故选:B.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知向量()()1,,,2a x x b x =+=,则()A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“//a b”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D .“1x =-+”是“//a b ”的充分条件【详解】对A ,当a b ⊥时,则0a b ⋅= ,所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅= ,所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =B 错误;对D ,当1x =-时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.5.解三角形1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B =,222a b c +-(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .【详解】(1)由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=,对比已知222a b c +-=,可得222cos 222a b c C ab ab +-===,因为()0,πC ∈,所以sin 0C >,从而sin2C==,又因为sin C B=,即1cos2B=,注意到()0,πB∈,所以π3B=.(2)由(1)可得π3B=,cos2C=,()0,πC∈,从而π4C=,ππ5ππ3412A=--=,而5πππ1sin sin sin124622224A⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==,从而,a b====,由三角形面积公式可知,ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c==⋅=,由已知ABC的面积为32338c+=c=2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A A+=.(1)求A.(2)若2a=sin sin2C c B=,求ABC的周长.【详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)由sin2A A=可得1sin122A A+=,即sin()1π3A+=,由于ππ4π(0,π)(,333A A∈⇒+∈,故ππ32A+=,解得π6A=方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)由sin2A A=,又22sin cos1A A+=,消去sin A得到:24cos30(2cos0A A A-+=⇔-=,解得cos A=又(0,π)A∈,故π6A=方法三:利用极值点求解设()sin(0π)f x x x x=<<,则π()2sin(0π)3f x x x⎛⎫=+<<⎪⎝⎭,显然π6x=时,max()2f x=,注意到π()sin22sin(3f A A A A=+==+,max ()()f x f A =,在开区间(0,π)上取到最大值,于是x A =必定是极值点,即()0cos sin f A A A '==,即tan A =,又(0,π)A ∈,故π6A =方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)设(sin ,cos )a b A A ==,由题意,sin 2a b A A ⋅=+=,根据向量的数量积公式,cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==,则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ,此时,0a b =,即,a b 同向共线,根据向量共线条件,1cos sin tan A A A ⋅=⇔=又(0,π)A ∈,故π6A =方法五:利用万能公式求解设tan 2A t =,根据万能公式,22sin 21tA A t ==+整理可得,222(2(20((2t t t --+-==--,解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-,又(0,π)A ∈,故π6A =(2)由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=,又,(0,π)B C ∈,则sin sin 0B C ≠,进而cos 2B =,得到π4B =,于是7ππ12C A B =--=,sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得,sin sin sin a b cA B C ==,即2ππ7πsin sin sin6412bc==,解得b c ==故ABC的周长为2+3.(2024年高考全国甲卷数学(理))在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=()A .32B C D 【详解】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=,即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=,因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin A C +=.故选:C.6.概率统计1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则()(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A .(2)0.2P X >>B .(2)0.5P X ><C .(2)0.5P Y >>D .(2)0.8P Y ><【详解】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误;因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选:BC .2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ,四轮的总得分为X .对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯,所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以04411A 24p ==;如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0,1,2,3,故01231p p p p +++=,()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=,1213282p p ++=,两式相减即得211242p +=,故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为:12.3.(2024年新课标全国Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并部分整理下表亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410据表中数据,结论中正确的是()A .100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB .100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C .100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D .100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误;对于B ,亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+,所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=,故B 错误;对于C ,稻田亩产量的极差最大为1200900300-=,最小为1150950200-=,故C 正确;对于D ,由频数分布表可得,亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=,所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 错误.故选;C.4.(2024年新课标全国Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.【详解】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选,所以共有432124⨯⨯⨯=种选法;每种选法可标记为(,,,)a b c d ,a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字,则所有的可能结果为:(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为152********+++=.故答案为:24;1125.(2024年高考全国甲卷数学(理))1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z ,设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩,294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r =,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:5.6.(2024年高考全国甲卷数学(理))有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A 120=种,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则1322a b c a b +++-≤,故2()3c a b -+≤,故32()3c a b -≤-+≤,故323a b c a b +-≤≤++,若1c =,则5a b +≤,则(),a b 为:()()2,3,3,2,故有2种,若2c =,则17a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4,()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种,当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5,()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4,故有16种,当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种,当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种,当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种,共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=,故所求概率为56712015=.故答案为:7157.(2024年高考全国甲卷数学(理))某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?12.247≈)附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】(1)根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯,因为3.841 4.6875 6.635<<,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150=,用频率估计概率可得0.64p =,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,则0.50.50.5 1.650.56812.247p +++⨯≈,可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.8.(2024年新课标全国Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p ,乙每次投中的概率为q ,各次投中与否相互独立.(1)若0.4p =,0.5q =,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0p q <<,(i )为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii )为使得甲、乙,所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.(2)(i )若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲,若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙,0p q << ,3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->,P P ∴>甲乙,应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛,数学成绩X 的所有可能取值为0,5,10,15,333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦,32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦,()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛,数学成绩Y 的所有可能取值为0,5,10,15,同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-,因为0p q <<,则0p q -<,31130p q +-<+-<,则()(3)0p q pq p q -+->,∴应该由甲参加第一阶段比赛.7.立体几何1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高)A .B .C .D .【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等,所以2ππr r =即=,故3r =,故圆锥的体积为1π93⨯=.故选:B.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523,6AB =,112A B =,则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为()A .12B .1C .2D .3【详解】解法一:分别取11,BC B C 的中点1,D D ,则11AD A D ==可知11111662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯⨯ 设正三棱台111ABC A B C -的为h ,则(11115233ABC A B C V h -==,解得h =如图,分别过11,A D 作底面垂线,垂足为,M N ,设AM x =,则1AA=DN AD AM MN x=--=,可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++,解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==;解法二:将正三棱台111ABC AB C-补成正三棱锥-P ABC,则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,因为11113PA A BPA AB==,则111127P A B CP ABCVV--=,可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==,则18P ABCV-=,设正三棱锥-P ABC的高为d,则116618322P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯,解得d=,取底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选:B.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r和2r,母线长分别为()212r r-和()213r r-,则两个圆台的体积之比=VV甲乙.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r==-甲,)12h r r==-乙,所以((21211313S S h V h V h S S h ++-==++甲甲甲乙乙乙4.(2024年新课标全国Ⅰ卷)如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB =.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为7,求AD .【详解】(1)(1)因为PA ⊥平面ABCD ,而AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AD PB ⊥,PB PA P = ,,PB PA ⊂平面PAB ,所以AD ⊥平面PAB ,而AB ⊂平面PAB ,所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=,所以BC AB ⊥,根据平面知识可知//AD BC ,又AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC .(2)如图所示,过点D 作DE AC ⊥于E ,再过点E 作EF CP ⊥于F ,连接DF ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以平面PAC ⊥平面ABCD ,而平面PAC 平面ABCD AC =,所以DE ⊥平面PAC ,又EF CP ⊥,所以⊥CP 平面DEF ,根据二面角的定义可知,DFE ∠即为二面角ACP D --的平面角,即sin 7DFE ∠=,即tan DFE ∠=因为AD DC⊥,设AD x =,则CD=DE =,又242xCE -==,而EFC 为等腰直角三角形,所以2EF =,故22tan4DFEx∠==x=AD=5.(2024年新课标全国Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,8AB=,3CD=,AD=,90ADC︒∠=,30BAD︒∠=,点E,F满足25AE AD=,12AF AB=,将AEF△沿EF对折至PEF!,使得PC=.(1)证明:EF PD⊥;(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.【详解】(1)由218,,52AB AD AE AD AF AB====,得4AE AF==,又30BAD︒∠=,在AEF△中,由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=,则AE EF⊥,即EF AD⊥,所以,EF PE EF DE⊥⊥,又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又PD⊂平面PDE,故EF⊥PD;(2)连接CE,由90,3ADC ED CD︒∠===,则22236CE ED CD=+=,在PEC中,6PC PE EC===,得222EC PE PC+=,所以PE EC ⊥,由(1)知PE EF ⊥,又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ,所以PE ⊥平面ABCD ,又ED ⊂平面ABCD ,所以PE ED ⊥,则,,PE EF ED 两两垂直,建立如图空间直角坐标系E xyz -,则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -,由F 是AB的中点,得(4,B ,所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF =-===-,设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==,则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令122,y x =11220,3,1,1x z y z ===-=,所以(0,2,3),1,1)n m ==-,所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ,则sin 65θ==,即平面PCD 和平面PBF所成角的正弦值为65.6.(2024年高考全国甲卷数学(理))如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M 为AD的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.【详解】(1)因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =,四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE ;(2)如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =,结合(1)BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =,所以ABM 为等边三角形,O 为AM中点,所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =,四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF ==,所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF =,因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直,以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系,()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3BM E,()(),BM BF ==,()2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =,平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =,则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =113,1y z ==,即)m = ,则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩,令2x =,得223,1y z ==-,即)1n =-,11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅,则sin ,m n =故二面角F BM E --8.解析几何1.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A .4B .3C .2D .2【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ,则1228F F c ==,()22164410PF =++=,()2226446PF =+-=,则1221064a PF PF =-=-=,则28224c e a ===.故选:C.2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则()A .2a =-B .点(22,0)在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【详解】对于A :设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-且()2224x y x a -+⨯-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+⨯-=,解得2a =-,故A 正确.对于B :又曲线方程为()22224x y x -+⨯+=,而2x >-,5.(2024年高考全国甲卷数学(理)22410++-=交于Ax y yA.2B.3C.4a b c成等差数列,所以【详解】因为,,++-=,即aax by b a20故选:C.(202427.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点⎧⎪⎪8.(2024年高考全国甲卷数学在C上,且MF x⊥轴.(1)求C的方程;由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+23264k由已知有22549m =-=,故当12k =时,过()15,4P 且斜率为22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =,所以该直线与9.函数与导数1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=()A .3m -B .3m -C .3mD .3m【详解】因为()cos m αβ+=,所以cos cos sin sin m αβαβ-=,而tan tan 2αβ=,所以sin sin 2cos cos αβαβ=,故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-,从而sin sin 2m αβ=-,故()cos 3m αβ-=-,故选:A.2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞【详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤,即a 的范围是[1,0]-.故选:B.3.(2024年新课标全国Ⅰ卷)当[0,2]x πÎ时,曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为()A .3B .4C .6D .8【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =,函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =,所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C4.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是()A .(10)100f >B .(20)1000f >C .(10)1000f <D .(20)10000f <【详解】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2f f ==,又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确.故选:B.5.(2024年新课标全国Ⅰ卷)设函数2()(1)(4)f x x x =--,则()A .3x =是()f x 的极小值点B .当01x <<时,()2()f x f x <C .当12x <<时,4(21)0f x -<-<D .当10x -<<时,(2)()f x f x ->【详解】对A ,因为函数()f x 的定义域为R ,而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',易知当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,故3x =是函数()f x 的极小值点,正确;对B ,当01x <<时,()210x x x x -=->,所以210x x >>>,而由上可知,函数()f x 在()0,1上单调递增,所以()()2f x f x >,错误;对C ,当12x <<时,1213x <-<,而由上可知,函数()f x 在()1,3上单调递减,所以()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,正确;对D ,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,正确;故选:ACD.6.(2024年新课标全国Ⅰ卷)若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a .【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+;由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲线有公切线得0121y x '==+,解得012x =-,则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭,根据两切线重合,所以ln 20a -=,解得ln 2a =.故答案为:ln 27.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数2()(1)1f x a x =+-,()cos 2g x x ax =+,当(1,1)x ∈-时,曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点,则=a ()A .1-B .12C .1D .2【详解】解法一:令()()f x g x =,即2(1)1cos 2a x x ax +-=+,可得21cos a x ax -=+,令()()21,cos a x F x ax G x =-=+,原题意等价于当(1,1)x ∈-时,曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,注意到()(),F x G x 均为偶函数,可知该交点只能在y 轴上,可得()()00F G =,即11a -=,解得2a =,若2a =,令()()F x G x =,可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-,则220,1cos 0x x ≥-≥,当且仅当0x =时,等号成立,可得221cos 0x x +-≥,当且仅当0x =时,等号成立,则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0,即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,所以2a =符合题意;综上所述:2a =.解法二:令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-,原题意等价于()h x 有且仅有一个零点,因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=,则()h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0,即()020h a =-=,解得2a =,若2a =,则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-,又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时,等号成立,可得()0h x ≥,当且仅当0x =时,等号成立,即()h x 有且仅有一个零点0,所以2a =符合题意;故选:D.8.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥,则22a b +的最小值为()A .18B .14C .12D .1【详解】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;若-≤-a b ,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1b a b -<-<-,当(),1x a b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1a b -=-,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+<,此时()0f x >;当[)1,x b ∈-+∞时,可知()0,ln 0x a x b +≥+≥,此时()0f x ≥;可知若1a b -=-,符合题意;若1a b ->-,当()1,x b a ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+>,此时()0f x <,不合题意;综上所述:1a b -=-,即1b a =+,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12;解法二:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;则当(),1x b b ∈--时,()ln 0x b +<,故0x a +≤,所以10b a -+≤;()1,x b ∈-+∞时,()ln 0x b +>,故0x a +≥,所以10b a -+≥;故10b a -+=,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12.故选:C.9.(2024年新课标全国Ⅱ卷)对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-,下列正确的有()A .()f x 与()g x 有相同零点B .()f x 与()g x 有相同最大值C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【详解】A 选项,令()sin 20f x x ==,解得π,2k x k =∈Z ,即为()f x 零点,令π()sin(204g x x =-=,解得ππ,28k x k =+∈Z ,即为()g x 零点,显然(),()f x g x 零点不同,A 选项错误;B 选项,显然max max ()()1f x g x ==,B 选项正确;C 选项,根据周期公式,(),()f x g x 的周期均为2ππ2=,C 选项正确;D 选项,根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ,()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ,显然(),()f x g x 图像的对称轴不同,D 选项错误.故选:BC10.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数32()231f x x ax =-+,则()A .当1a >时,()f x 有三个零点B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【详解】A 选项,2()666()f x x ax x x a '=-=-,由于1a >,故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>,故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增,(0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则()f x 在0x =处取到极大值,在x a =处取到极小值,由(0)10=>f ,3()10f a a =-<,则(0)()0f f a <,根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点,又(1)130f a -=--<,3(2)410f a a =+>,则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<,则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点,于是1a >时,()f x 有三个零点,A 选项正确;B 选项,()6()f x x x a '=-,a<0时,(,0),()0x a f x '∈<,()f x 单调递减,,()0x ∈+∞时()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 在0x =处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-,即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+,根据二项式定理,等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-,于是等式左右两边3x 的系数都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,C 选项错误;D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,事实上,32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-,于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩,解得2a =,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,32()231f x x ax =-+,2()66f x x ax '=-,()126f x x a ''=-,由()02af x x ''=⇔=,于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由题意(1,(1))f 也是对称中心,故122aa =⇔=,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.故选:AD11.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan tan 4αβ+=,tan tan 1αβ=,则sin()αβ+=.【详解】法一:由题意得()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪⎝⎭⎝⎭,,Z k m ∈,则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++,,Z k m ∈,又因为()tan 0αβ+=-,则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭,,Z k m ∈,则()sin 0αβ+<,则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=,解得()sin 3αβ+=-.法二:因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为:3-.12.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+,则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A .16B .13C .12D .23【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+,则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+,即该切线方程为13y x -=,即31y x =+,令0x =,则1y =,令0y =,则13x =-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.13.(2024年高考全国甲卷数学(理))函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为()A .B .C .D .【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=,又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C ,又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故可排除D.故选:B.14.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A .1B .1C .2D .1【详解】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α,tan 13⇒α=-,所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭,故选:B.15.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a .【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,整理得()2225log 60log a a --=,2log 1a ⇒=-或2log 6a =,又1a >,所以622log 6log 2a ==,故6264a ==故答案为:64.16.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数3()ln (1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.【详解】(1)0b =时,()ln 2xf x ax x=+-,其中()0,2x ∈,则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--',因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,故()min 2f x a '=+,而()0f x '≥成立,故20a +≥即2a ≥-,所以a 的最小值为2-.,(2)()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2,设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点,(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --,因为(),P m n 在()y f x =图象上,故()3ln 12m n am b m m=++--,而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦,2n a =-+,所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上,由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形,且对称中心为()1,a .(3)因为()2f x >-当且仅当12x <<,故1x =为()2f x =-的一个解,所以()12f =-即2a =-,先考虑12x <<时,()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln 21102x x b x x+-+->-在()1,2上恒成立,设()10,1t x =-∈,则31ln201t t bt t +-+>-在()0,1上恒成立,设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-,则()()2222232322311t bt b g t bt t t -++=-+=-'-,当0b ≥,232332320bt b b b -++≥-++=>,故()0g t '>恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时,2323230bt b b -++≥+≥,故()0g t '≥恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-,则当01t <<时,()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数,故()()00g t g <=,不合题意,舍;综上,()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时,而23b ≥-时,由上述过程可得()g t 在()0,1递增,故()0g t >的解为()0,1,即()2f x >-的解为()1,2.综上,23b ≥-.17.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知函数3()e x f x ax a =--.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程;(2)若()f x 有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时,则()e 1x f x x =--,()e 1x f x '=-,可得(1)e 2f =-,(1)e 1f '=-,即切点坐标为()1,e 2-,切线斜率e 1k =-,所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--,即()e 110x y ---=.(2)解法一:因为()f x 的定义域为R ,且()e '=-x f x a ,若0a ≤,则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立,可知()f x 在R 上单调递增,无极值,不合题意;若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减,在()ln ,a +∞内单调递增,则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--,无极大值,由题意可得:()3ln ln 0f a a a a a =--<,即2ln 10a a +->,构建()2ln 1,0g a a a a =+->,则()120g a a a'=+>,可知()g a 在()0,∞+内单调递增,且()10g =,不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >,解得1a >,所以a 的取值范围为()1,+∞;解法二:因为()f x 的定义域为R ,且()e '=-x f x a ,若()f x 有极小值,则()e '=-x f x a 有零点,令()e 0x f x a '=-=,可得e x a =,可知e x y =与y a =有交点,则0a >,若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;。

最新高考真题理科数学分类汇编(解析版):函数及答案

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高考真题理科数学分类汇编(解析版)函 数1、(高考(安徽卷))函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 (A ){}3,4 (B ){}2,3,4(C ) {}3,4,5 (D ){}2,3【答案】B【解析】由题知,过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图,交点可取2,3,4. 所以选B2、(高考(北京卷))函数f (x )的图象向右平移一个单位长度,所得图象与y =e x 关于y 轴对称,则f (x )=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --3、(高考(广东卷))定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B .3C .2D . 【解析】C ;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C .4、(高考(全国(广西)卷))已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为,则函数的定义域为(A )()1,1- (B )11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )()-1,0 (D )1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可知 1210,x -<+<,则112x -<<-。

故选B5、(高考(全国(广西)卷))函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - (A )()1021x x >- (B )()1021x x ≠- (C )()21x x R -∈ (D )()210x x -> 【答案】A 【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-, 因此,故选A6、(高考(全国(广西)卷))若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数,则的取值范围是 (A )[]-1,0 (B )[]-∞1, (C )[]0,3 (D )[]3∞,+7、(高考(湖南卷))函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A .3 B .2 C .1 D .0【答案】B【解析】画出两个函数的图象,可得交点数。

高中数学函数真题汇编(解析版)

高中数学函数真题汇编(解析版)

高中数学专题20函数真题汇编与预赛典型例题1.已知正实数a满足,则的值为.【答案】【解析】由..2.设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数,在区间[0,1]上严格递减,且满足,则不等式组的解集为.【答案】【解析】由f(x)为偶函数及在[0,1]上严格递减知,f(x)在[-1,0]上严格递增,再结合f(x)以2为周期可知,[1,2]是f(x)的严格递增区间.注意到.所以.而,故原不等式组成立当且仅当.3.设为定义在R上的函数,对任意实数x有.当0≤x<7时,.则的值为____________。

【答案】【解析】由题得,所以函数的周期为7,.故答案为:4.设正实数u、v、w均不等于1.若,则的值为________.【答案】【解析】令.则:.故. 从而,.5.设为不相等的实数.若二次函数满足,则的值为______.【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为:46.若正数a ,b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+,则11a b+= . 【答案】108 【解析】试题分析:设232362log 3log log ()2,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=⇒==+=⇒11a ba b ab++=23610823tt t --==•. 考点:指数与对数运算. 7.设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ,则的值为___________.【答案】【解析】 由,知. 当时,取得最大元素.又,当时,取得最小元素.因此,.8.若函数()21f x x a x =--在[)0,+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是 .【答案】[0,2] 【解析】试题分析:()[)()22,1,,,1x ax a x f x x ax a x ⎧-+∈+∞⎪=⎨+-∈-∞⎪⎩,[)1,x ∈+∞时,()f x =2x ax a -+=22a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭24a a +-,(),1x ∈-∞时,()f x =2x ax a +-=2224a a x a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.①当12a >即a >2时,()f x 在2a ⎛⎫1, ⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增,不合题意;②当012a ≤≤即02a ≤≤时,符合题意;③当02a <即0a <时,不符合题意.综上,a 的取值范围是[]0,2.考点:绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9.设为实数,函数满足:对任意的,有.则的最大值为______.【答案】 【解析】 易知,则.当,即时,取最大值.10.设.则的最大值是______.【答案】.【解析】 不妨设.则.由.当且仅当时,上式等号同时成立.11.函数的值域为______.【答案】【解析】由题得x≠1,设.则.设.因为,所以,所以,则,且.故.故答案为:12.设为正实数,且.则______.【答案】【解析】由,得.又,即. ①于是,②再由式①中等号成立的条件,得.与式②联立解得故.故答案为:-113.函数的值域是________.【答案】【解析】易知,的定义域是,且上是增函数.从而,的值域为.14.函数在区间上的最大值为8.则它在这个区间上的最小值是________.【答案】【解析】试题分析:由题意得,令,因为,当时,则,则,所以当时,函数取得最大值,此时最大值为,解得,所以函数的最小值为;当时,则,则,所以当时,函数取得最大值,此时最大值为,解得,所以函数的最小值为,所以函数的最小值为.考点:函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题,其中解答中涉及到函数的单调性的应用、一元二次函数的图象与性质的应用、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,同时考查了换元法和转化与化归思想的考查,属于中档试题,本题的解答中换元后,灵活应用二次函数的图象与性质是解答问题的关键.15.若函数,且.则______.【答案】【解析】因为,所以.故.16.若方程仅有一个实根,那么的取值范围是.【答案】【解析】当且仅当①②③对③由求根公式得④.(ⅰ)当时,由③得所以同为负根.又由④知所以原方程有一个解.(ⅱ)当时,原方程有一个解.(ⅲ)当时,由③得所以同为正根,且,不合题意,舍去.综上可得为所求.17.已知定义在R+上的函数f(x)为.设a,b,c是三个互不相同的实数,满足f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范围.【答案】(81,144).【解析】不妨假设a<b<c.由于f(x)在(0,3]上严格递减,在[3,9]上严格递增,在[9,+∞)上严格递减,且f(3) =0,f(9)=1,故结合图像可知:a∈(0,3),b∈(3,9),c∈(9,+∞),并且f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1).由f(a)=f(b)得.即,因此ab=32=9.于是abc=9c.又,故c∈(9,16).进而abc=9c∈(81,144).所以,abc的取值范围是(81,144).18.已知为R上的奇函数,,且对任意,均有.求的值.【答案】【解析】设.则.在中,取.注意到,,及为奇函数.故.则. 19.求所有的正实数对,使得函数满足:对任意的实数.【答案】【解析】由题意得. ①先求所满足的必要条件.在式①中令,得.由于,故可取到任意大的正值,因此,必有,即.在式①中再令,得.②将式②左边记为.显然,.否则,由,知,此时,.则可取到负值,矛盾.故对一切实数成立.于是,,即.进一步,考虑到此时,再由,知.从而,求得满足的必要条件为.③下面证明,对满足条件③的任意实数对及任意非负实数,式①总成立,即.事实上,在条件③成立时,有.再结合,得.综上,所求的正实数对全体为.20.设是定义在R上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是.【答案】【解析】略21.设函数,实数满足.求的值.【答案】【解析】由题设得.则.由,知.故①又由有意义,知.从而,.于是,.则.故.从而,.解得(舍去).把,代入式①解得.因此,.22.求函数的最大值和最小值.【答案】【解析】函数的定义域为.因为当时等号成立.故的最小值为.……………………………………………5分又由柯西不等式得所以.………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件,得,解得.故当时等号成立.因此的最大值为.…………………………………………………………………………………15分23.设是正整数).证明:对满足的任意实数,数列中有无穷多项属于表示不超过实数的最大整数).【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证法1 (1)对任意,有.令.则.又令.则.从而,存在,使得.否则,存在,使得.于是,,与,矛盾.故一定存在,使得.(2)假设只有有限个正整数,使得.令.则.故不存在,使得,与(1)的结论矛盾.所以,数列中有无穷多项属于.综上,原命题成立.证法2 由证法1,知当充分大时,可以大于任何一个正数.令.则.当时,.同证法1可证,对于任何大于的正整数,总存在,使得,即.令.则.故一定存在,使得.从而,.这样的有无穷多个.所以,数列中有无穷多项属于.24.设是给定的正整数,.记.证明:存在正整数,使得为一个整数,其中,表示不小于实数的最小整数(如).【答案】见解析【解析】记表示正整数所含的2的幂次.则当时,为整数.下面对用数学归纳法.当时,为奇数,为偶数,此时,为整数.假设命题对成立对于,设的二进制表示具有形式,其中,或l,.故.①显然,中所含的2的幂次为.故由归纳假设知,经过次迭代得到整数.由式①知,是一个整数.1.已知a为正实数,且是奇函数,则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知,解得a= 2,即,由此得的值域为.2.函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则,,,因为,所以,.3.函数的最小值为________.【答案】【解析】设log3x=t,则.∴.∴当时,f(x)取最小值.4.若函数f(x)=x2-2ax+a2-4在区间[a-2,a2](a>0)上的值域为[-4,0],则实数a的取值范围为________. 【答案】[1,2]【解析】∵f(x)=x2-2ax+a2-4=(x-a)2-4,f(a)=-4,f(a-2)=0,f(x)在区间[a-2,a2]上的值域为[-4,0],f(x)的图像为开口向上的拋物线.∴,解得-1≤a≤0或1≤a≤2.结合a>0,得1≤a≤2.∴a的取值范围为[1,2].5.设,期中表示的最大公约数,则的值为________.【答案】520【解析】如果,则,所以.又,所以.故答案为:5206.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子,还有他的女儿都是网球选手,这四人中有以下情况:①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同;②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是_______.【答案】牛得亨先生的女儿【解析】由题意知,最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同;由②,最佳选手和最差选手的年龄相同;由①,最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人.因此,四个人中有三个人的年龄相同.由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿,从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹.由此,牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞.因此,牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手,而牛得亨先生的妹妹是最差选手.由①,最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子,而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿.故答案为:牛得亨先生的女儿7.函数的最小值是______.【答案】【解析】因为此即为直线y=x上的点(x,y)到点(0,1)与到点(2,3)的距离之和,根据镜像原理,z的最小值应为点(1,0)到点(2,3)的距离.故答案为:8.若方程a x>x(a>0,a≠1)有两个不等实根,则实数a的取值范围是_______.【答案】【解析】由a x>x知x>0,故,令(x>0),则.当时,;当时,.所以在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减.故,即.故答案为:9.已知实数满足,则________.【答案】1【解析】化为对数,有,所以.10.已知函数满足,那么的值域为_______.【答案】【解析】设函数满足,.所以所求函数是,其图像如图,易知的值域是.11.设是由有限个正整数构成的集合,且,这里,2,…,20.并对任意的,都有,已知对任意的,若,则.求集合的元素个数的最小值.(这里,表示集合的元素个数)【答案】180【解析】记.不妨设,2,...,, (20)设,2,…,.因为对任意的,都有,所以,…,互不相同,,即.又对任意的,若,则,所以当,…,20时,.即,当,…,20时,.所以.若,则.若,则.所以总有.另一方面,取,其中,2, (20)则符合要求.此时,.综上所述,集合的元素个数的最小值为180.12.已知函数.(1)若对于任意的,均有,证明:;(2)当时,证明:对于任意的成立的充分必要条件为.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)因为恒成立,所以,.又,故.(2)必要性:对于任意的.则,即.又,得.从而,.因此,.充分性:由,且,则对于任意的,有.又,故.13.求方程的实数解.【答案】【解析】令.则.令.注意到,.则,即.又,当时,.故.于是,对任意的,有.从而,.综上,原方程的实数解构成的集合为.14.已知奇函数的定义域为,且在内递减,求满足:的实数的取值范围.【答案】【解析】由f(x)的定义域是[-2,2],知解得-1≤m≤.因为函数f(x)是奇函数,所以f(1-m)<-f(1-m2),即f(1-m)<f(m2-1).由奇函数f(x)在区间[-2,0]内递减,所以在[-2,2]上是递减函数,所以1-m>m2-1,解得-2<m<1.综上,实数m的取值范围是-1≤m<1.15.黑板上写有方程.证明:任取三个两两不同的整数能适当安放在方程的的位置(每颗星安放一个数),使得方程有实根.【答案】见解析【解析】设三个★的位置为.则原方程为①将任意三个两两不同的整数中最大的放在,设.则三个数中另外两个较小的数为.故.于是,若以放在左边第一个★的位置的二次方程为,则.从而,方程①有实根.因此,任意三个两两不同的整数,只要以其中最大的一个放在左边第一个★的位置,其余两个放在后两个★的位置,所得的方程就有实根.。

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(函数)汇编(附答案)

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(函数)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(函数)汇编【2023年真题】1.(2023·新课标I 卷 第4题) 设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减,则a 的取值范围是( ) A. (,2]-∞-B. [2,0)-C. (0,2]D. [2,)+∞2.(2023·新课标II 卷 第4题)若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则a =( ) A. 1-B. 0C.12D. 13.(2023·新课标I 卷 第10题)(多选) 噪声污染问题越来越受到重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级020lgp pL p =⨯,其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A. 12p p …B. 2310p p >C. 30100p p =D. 12100p p …4. (2023·新课标I 卷 第11题)(多选)已知函数()f x 的定义域为R ,22()()()f xy y f x x f y =+,则( ) A. (0)0f = B. (1)0f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点【2022年真题】5.(2022·新高考I 卷 第12题)(多选)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ,记()().g x f x ='若3(2)2f x -,(2)g x +均为偶函数,则( )A. (0)0f =B. 1()02g -=C. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=6.(2022·新高考II 卷 第8题)若函数()f x 的定义域为R ,且()()()()f x y f x y f x f y ++-=,(1)1f =,则221()k f k ==∑( )A. 3-B. 2-C. 0D. 1【2021年真题】7.(2021·新高考I 卷 第13题)已知函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数,则a =__________. 8.(2021·新高考II 卷 第7题)已知5log 2a =,8log 3b =,12c =,则下列判断正确的是( ) A. c b a << B. b a c << C. a c b << D. a b c <<9.(2021·新高考II 卷 第8题)设函数()f x 的定义域为R ,且(2)f x +为偶函数,(21)f x +为奇函数,则 ( )A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. (1)0f -=C. (2)0f =D. (4)0f =10.(2021·新高考II 卷 第14题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x :_________. ①()()()1212f x x f x f x =;②当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>;③()f x '是奇函数.【2020年真题】11.(2020·新高考I 卷 第6题)基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间(t 单位:天)的变化规律,指数增长率 r 与0R ,T 近似满足01.R rT =+有学者基于已有数据估计出0 3.28R =, 6.T =据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)≈( ) A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天12.(2020·新高考I 卷、II 卷 第8题)若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减,且(2)0f =,则满足(1)0xf x -…的x 的取值范围是( ) A. [1,1][3,)-⋃+∞ B. [3,1][0,1]--⋃ C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃13.(2020·新高考II 卷 第7题)已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增,则a 的取值范围是( ) A. (2,)+∞ B. [2,)+∞ C. (5,)+∞ D. [5,)+∞14.(2020·新高考I 卷 第12题)(多选)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2, ,n ,且()0(1,2,,)i P X i p i n ==>= ,11ni i p ==∑,定义X 的信息熵21()logni i i H X p p ==-∑( )A. 若1n =,则()0H x =B. 若2n =,则()H x 随着1p 的增大而增大C. 若i p =1n(1,2,i =,)n ,则()H x 随着n 的增大而增大 D. 若2n m =,随机变量Y 的所有可能取值为1,2, ,m ,且()P Y j ==j p +21j m p +-(1,2,j = ,)m ,则()H X ()H Y参考答案1.(2023·新课标I 卷 第4题)解:结合复合函数单调性的性质,易得12a …,所以a 的取值范围是[2,);+∞故选.D 2.(2023·新课标II 卷 第4题)解:()f x 为偶函数,(1)(1)f f =-,1(1)ln(1)ln 33a a ∴+=-+,0a ∴=,故选.B 3.(2023·新课标I 卷 第10题)(多选) 解:1211200220lg20lg 20lg 0p p p L L p p p -=⨯-⨯=⨯> ,121pp ∴>,12p p ∴>,所以A 正确; 223320lg 10p L L p -=⨯ …,231lg 2p p ∴…,1223p e p ∴…,所以B 错误;33020lg40p L p =⨯= ,30100pp ∴=,所以C 正确; 112220lg 905040p L L p -=⨯-= …,12lg 2p p ∴…,12100pp ∴…,所以D 正确. 故选ACD4. (2023·新课标I 卷 第11题)(多选)解:选项A ,令0x y ==,则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯,则(0)0f =,故A 正确; 选项B ,令1x y ==,则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯,则(1)0f =,故B 正确; 选项C ,令1x y ==-,则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-,则(1)0f -=, 再令1y =-,则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-,即()()f x f x -=,故C 正确;选项D ,不妨设()0f x =为常函数,且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+,而常函数没有极值点,故D 错误. 故选:.ABC5.(2022·新高考I 卷 第12题)(多选)解:由3(2)2f x -为偶函数可知()f x 关于直线32x =对称,由(2)g x +为偶函数可知()g x 关于直线2x =对称,结合()()g x f x =',根据()g x 关于直线2x =对称可知()f x 关于点(2,)t 对称, 根据()f x 关于直线32x =对称可知:()g x 关于点3(,0)2对称,综上,函数()f x 与()g x 均是周期为2的周期函数,所以有(0)(2)f f t ==,所以A 不正确;(1)(1)f f -=,(4)(2)f f =,(1)(2)f f =,故(1)(4)f f -=,所以C 正确.13()()022g g -==,(1)(1)g g -=,所以B 正确;又(1)(2)0g g +=,所以(1)(2)0g g -+=,所以D 不正确. 6.(2022·新高考II 卷 第8题)解:令1y =得(1)(1)()(1)()(1)()(1)f x f x f x f f x f x f x f x ++-=⋅=⇒+=-- 故(2)(1)()f x f x f x +=+-,(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+, 消去(2)f x +和(1)f x +得到(3)()f x f x +=-,故()f x 周期为6; 令1x =,0y =得(1)(1)(1)(0)(0)2f f f f f +=⋅⇒=,(2)(1)(0)121f f f =-=-=-, (3)(2)(1)112f f f =-=--=-, (4)(3)(2)2(1)1f f f =-=---=-, (5)(4)(3)1(2)1f f f =-=---=, (6)(5)(4)1(1)2f f f =-=--=,故221()3[(1)(2)(6)](19)(20)(21)(22)k f k f f f f f f f ==+++++++∑(1)(2)(3)(4)1(1)(2)(1)3f f f f =+++=+-+-+-=-即7.(2021·新高考I 卷 第13题)解: 函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数;33()(22)=()()(22)x x x x f x x a f x x a --∴=⋅--=-⋅-, 化简可得3(2222)0x x x x x a a --⋅-+⋅-=, 解得1a =,故答案为1.8.(2021·新高考II 卷 第7题)解:5881log 2log log log 32a b =<==<=, 即.a c b << 故选.C9.(2021·新高考II 卷 第8题)解:因为函数为偶函数,则()()22f x f x +=-,可得()()31f x f x +=-, 因为函数为奇函数,则()()1221f x f x -=-+,所以()()11f x f x -=-+, 所以,(3)(1)f x f x +=-+,即(4)(2)()f x f x f x +=-+=, 故函数是以4为周期的周期函数,因为函数()()21F x f x =+为奇函数,则()()010F f ==, 故()()110f f -=-=,其它三个选项未知. 故选.B10.(2021·新高考II 卷 第14题)解:取2()f x x =,则22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===,满足①,()2f x x '=,0x >时有,满足②, ()2f x x '=的定义域为R ,又()2()f x x f x ''-=-=-,故是奇函数,满足③.故答案为:2()(f x x =答案不唯一,()()2*nf x x n N =∈均满足)11.(2020·新高考I 卷 第6题)解:将0 3.28R =,6T =代入01R rT =+, 得01 3.2810.386R r T--===,(2)f x +(21)f x +()f x ()0f x '>由()0.38tI t e=得()()ln 0.38I t t =,当增加1倍时,,所需时间为故选.B12.(2020·新高考I 卷、II 卷 第8题)解:根据题意,不等式(1)0xf x -…可化为()010x f x ≥⎧⎨-≥⎩ 或()010x f x ≤⎧⎨-≤⎩, 由奇函数性质得(2)-(2)0f f -==,()f x 在(0,)+∞上单调递减,所以或,解得13x 剟或10.x -剟 满足(1)0xf x -…的x 的取值范围是[1,0][1,3].x ∈-⋃ 故选.D13.(2020·新高考II 卷 第7题) 解:由2450x x -->,得1x <-或 5.x > 令245t x x =--,外层函数lg y t =是其定义域内的增函数,∴要使函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增,则需内层函数245t x x =--在(,)a +∞上单调递增且恒大于0,则(,)(5,)a +∞⊆+∞,即 5.a …a ∴的取值范围是[5,).+∞故选:.D14.(2020·新高考I 卷 第12题)(多选)解:A 选项中,由题意知11p =,此时2()1log 10H X =-⨯=,故A 正确; B 选项中,由题意知121p p +=,且1(0,1)p ∈,121222121121()log log log (1)log (1)H X p p p p p p p p =--=----,设22()log (1)log (1)f x x x x x =----,(0,1)x ∈ ,则222111()log log (1)log (1)ln 2ln 2f x x x x '=--+-+=-,当1(,1)2x ∈时,()0f x '<,当1(0,)2x ∈时,()0f x '>,故当11(0,2p ∈ 时,()H X 随着1p 的增大而增大,当11(,1)2p ∈ 时,()H X 随着1p 的增大而减小,故B 错误;C 选项中,由题意知2211()(log H X n log n n n=⨯-=,故()H X 随着n 的增大而增大,故C 正确;D 选项中,由题意知j21j2j 21j j 1()()log ()mm m H Y p pp p +-+-==-++∑,2j 2j j 2j 21j 221j j 1j 1()log (log log )mmm m H X p p p p p p +-+-===-=-+∑∑,j 21jj 21j2j 21j 2j 221jj 1j 1()()log ()(log log )m m mmp p pp m m H X H Y p p p p +-+-++-+-==-=+-+∑∑j 21j j 21jj 21jj 21jj 21j j 21j j 21j 22j 1j 1j 21j j 21j()()()=log log m m m m p p pp mmm m m pp pp m m p p p p p p p p p p +-+-+-+-++-+-+-==+-+-+++=∑∑j 21j21j j 2j 1j21j=log (1)(1)0,m mpp m m p p p p +-+-=+-++>∑故D 错误. 故答案为: .AC。

2014年高考理科数学真题解析分类汇编:函数专题练习[1]解析

2014年高考理科数学真题解析分类汇编:函数专题练习[1]解析

函数专题练习下列函数中,在区间(0,+R )上为增函数的是()A . y = x + 1B .y = (x — 1)2 C . y = 2 x D .y = log o.5(x + 1)x 2 +1, x>0 ,3.已知函数f(x)=则下列结论正确的是()|cos x , x < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1,+s )4.函数f(x) = ln(x 2 — x)的定义域为()A . (0, 1]B . [0 , 1]C . ( — 3 0) U (1 ,+s )6.[函数y = f(x)的图像与函数y = g(x)的图像关于直线5. 函数f(x)"(log 2x ) 2—1的定义域为 A. 0, 2 B . (2 ,+s ) C.(2,+s )D.U [2 ,+s )7. A . y = g(x) B . y = g( — x) C . y =— g(x)D . y =— g(— x)下列函数中,在区间(0,+s )上为增函数的是( ) A . y = x + 1 B . y = (x — 1)2 C . y = 2 x D . y = log °.5(x + 1) 广2x + 1 , x>0 , & 已知函数f(x)= f 则下列结论正确的是( ) |cos x , x < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1,+s ) 设函数 f(x) - , ( x 2+ 2x + k ) 2+ 2 (x 2+ 2x + k )— 3 ,其中k<— 2. (1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示); ⑵讨论函数f(x)在D 上的单调性;(3)若k< — 6,求D 上满足条件f(x)>f(1)的x 的集合(用区间表示).1设函数 f(x)(x € R )满足 f(x + n )= f(x)+ sin x .当 0< x< n 时,f(x)= 0,贝U f1 A.2B FC . 0D .2. D . ( — 3, 0] U [1,+s )x + y = 0对称,则y = f(x)的反函数是(P■- 4X 2+ 2,— 1 < x<0,10.设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x € [ — 1,1)时,f(x)i则f[2 ;= ________ •x,0 < X <1 ,匕丿11. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 «x)组成的集合:对于函数 0(x),存 在一个正数M ,使得函数 «x)的值域包含于区间[一 M , M].例如,当$1(x)=X 3,如X ) = sin X 时,© 1(x)€ A ,© 2(x)€B.现有如下命题:① 设函数f(x)的定义域为D ,则“ f(x)€ A ”的充要条件是“ ? b € R , ? a € D , f(a)= b ”; ② 函数f(x)€ B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③ 若函数f(x), g(x)的定义域相同,且 f(x)€ A , g(x)€ B ,则f(x)+ g(x)?B ;X④ 若函数 f(x)= aln(x + 2) + -2石(X > — 2, a € R )有最大值,则 f(x) € B. 其中的真命题有 _________ .(写出所有真命题的序号)-2+ 1 , ->0 ,12.已知函数f(x)= <则下列结论正确的是()|cos X , X < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1 ,+s )13.已知f(x), g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且f(x)— g(x)= X 3+ -2 + 1,则f(1)+ g(1)=()A . — 3B . — 1C . 1D . 314•设函数f(-), g(-)的定义域都为 R ,且f(-)是奇函数,g(-)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C . f(x)|g(x)|是奇函数D . |f(x)g(x)|是奇函数15 .已知偶函数f(x)在[0,+^ )单调递减,f(2) = 0,若f(x — 1)>0,则X 的取值范围是 __________________17.若函数y = log a x(a>0,且a ^ 1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是(16 . 若函数 f(x) = cos 2X + asin X 在区间 —,—;是减函数,则a 的取值范围是18. 已知函数 f(x)= 5|X , g(x)= ax 2— x(a € R )•若 f[g(1)] = 1,则 a =( )A . 1B . 2C . 3D . — 11 1 1119. 已知 a = 2— 3, b = Iog 2§, c = log 元,则( )A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a20 .设集合 A = {x||x — 1|v 2}, B = {y|y = 2x , x € [0 , 2]},则 A A B =()A . [0, 2]B . (1 , 3)C . [1 , 3)D . (1 , 4)21.已知实数x , y 满足a x v a y (0 v a v 1),则下列关系式恒成立的是( )11 2 233A. 2 >-2B. ln(x 2+ 1)> In(y 2+ 1) C. sin x >sin y D. x 3>y 3x 十1 y 十122 .下列函数中,满足“ f(x + y) = f(x) •y)”的单调递增函数是( )1 3 WxA . f(x)= x2B . f(x) = xC . f(x)= 2D . f(x)= 323 .已知 4a = 2, Ig x = a ,贝V x = ________ .24 .已知实数x , y 满足a x v a y (0 v a v 1),则下列关系式恒成立的是()1 12 233A. 2 >弋B. In(x + 1)>ln(y + 1)C. sin x >sin yD. x >yx 十1 y 十126 . 若等比数列{ a n }的各项均为正数,且 aean + a g a 12 = 2e 5,则In a 1 + In a 2 +…+ In a 2o = ____________1 1 1127 . 已知 a = 2— 3, b = Iog 2§, c = log 云,则( )A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a1 228 .函数f(x)= Iog2(x — 4)的单调递增区间为( )A . (0,+^ )B .(―汽 0)C . (2,+^ )D . ( — m,— 2)29.在同一直角坐标系中,函数 )25 .函数 f(x) =1(Iog 2x ) 2 的定义域为(—1A.B . (2 ,+s )C. 0, U (2 ,+ )30 .函数 f(x)= Iog2& • log/(2x)的最小值为 ____________1 2 2 231. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x >0 时,f(x)= $(|x — a 2|+ |x — 2a 2|— 3a 2).若? x € R, f(x — 1)< f(x),则实数a 的取值范围为( )32. 已知函数f(x)= |x — 2|+ 1, g(x)= kx ,若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( 0, 2 B. 2 1 C.(1 , 2) D. (2 ,+^ )33.在同一直角坐标系中,函数134.已知函数f(x) = x 2 + e x — 2(x<0)与g(x) = x 2 + ln(x + a)的图像上存在关于 y 轴对称的点,则a 的取值范围是( (—命同D.[-g 越35. 已知函数f(x) = x 2 + 3x|, x € R 若方程f(x)— a|x — 1|= 0恰有4个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为36.已知函数 f(x)= x 3+ ax 2 + bx + c ,且 0<f(— 1) = f( — 2) = f(— 3)< 3,则( )A . c < 3B . 3<c < 6C . 6<c < 9D . c>937. 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )p + q (P + 1) (q+ 1)—1I — /A. 2B. 2 ° pq D. (p +1)( q +1)— 138.如图1-2,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A.6' 6B. C. 1 11 3,3D.A.A . i, ―)B . i, e) C.码,)图1-2A.y=在x3-5xB. 2 3 4y=质x-5x C.y = 2x3- x D .y —2x3+1x y125x40.曲线y= e-5x+ 2在点(0, 3)处的切线方程为_____________41.若曲线y = e-x上点P处的切线平行于直线2x+ y+ 1 = 0,则点P的坐标是42.已知函数f(x)= (x2+ bx+ b) 1 —2x(b € R).(1)当b= 4时,求f(x)的极值;⑵若f(x)在区间0, 3上单调递增,求b的取值范围.43 •曲线y= xe x—1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2eB. eC. 2D. 144.设曲线y= ax—In(x+ 1)在点(0, 0)处的切线方程为y= 2x,则a =( )A. 0B. 1 C . 2 D . 345 .已知函数f(x)= ax3—3x2+ 1,若f(x)存在唯一的零点x°,且x0>0,则a的取值范围是()A . (2,+^ )B . (1,+^ )C . ( — g, 2)D . ( — g, —1)46.如图1-4,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为147.若函数f(x), g(x)满足f(x)g(x) dx = 0,则称f(x) , g(x)为区间[—1, 1]上的一组正交函数,给出三组函数:* — 11 1 2① f(x) = singx , g(x) = cosqx :②f(x) = x +1, g(x) = x — 1;③f(x) = x , g(x) = x .其中为区间[—1, 1]上的正交函数 的组数是()A . 0B . 1C . 2D . 32 n48. 已知函数f(x)= sin(x —妨,且/ —of(x) dx = 0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是49.若 f(x)= x 2 + 2 J f(x)dx ,则'1f(x)dx =( )* 0 * 01 1A . — 1B . — 3C .3D . 150.直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 22 B. 42 C. 2 D. 451 .定积分J (2x + e x )dx 的值为()2 0A . e + 2B . e + 1C . eD . e — 152.已知 f(x)= ln(1 + x)— ln(1 — x), x € (— 1, 1).现有下列命题:f 2x 、①f( — x) = — f(x);②f =2f(x);③|f(x)p 2|x|.其中的所有正确命题的序号是 ( )A .①②③B .②③C .①③D .①②y 轴对称的点,则a 的取值范围是(54. 设f(x)是定义在(0,+^ )上的函数,且f(x)>0,对任意a>0, b>0,若经过点(a , f(a)), (b , — f(b))的直线 与x 轴的交点为(c , 0),则称c 为a , b 关于函数f(x)的平均数,记为 M f (a , b),例如,当f(x)= 1(x>0)时,可得M f (a ,a + bb) = c =—厂,即M f (a , b)为a , b 的算术平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可 )55. 已知定义在[0, 1]上的函数f(x)满足:A . x = 5 n"67n x =12(1) 当 f(x) = (2) 当 f(x) = _______ (x>0)时, _______ (x>0)时, M f (a , b)为a , b 的几何平均数; M f (a , b)为a , b 的调和平均数 2aba + b53 .已知函数f(x) = x 2+ e x — *x<0)与g(x)= x 2 + In(x + a)的图像上存在关于① f(0) = f(1) = 0;②对所有x, y€ [0, 1],且X M y,有|f(x) —f(y)|<;|x—y|. 若对所有x, y € [0, 1], |f(x)—f(y)|<k恒成立,则k的最小值为()1111込 B.4D.856. 以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数M组成的集合:对于函数0(x),存在一个正数M,使得函数«x)的值域包含于区间[一M , M].例如,当O i(x)= x3,规(x) = sin x时,©i(x)€ A, © 2(x)€ B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“ f(x)€ A”的充要条件是“ ? b € R, ? a € D , f(a)= b”;②函数f(x)€ B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x), g(x)的定义域相同,且f(x)€ A, g(x)€ B,则f(x)+ g(x)?B;x④若函数f(x)= aln(x+ 2) + -2—^(x> —2, a€ R)有最大值,则f(x) € B.x ~—I其中的真命题有_________ .(写出所有真命题的序号)2 2 1 i 、57. 设函数f i(x) = x , f2(x)= 2(x—x ), f3(x) = §|sin 2n x|, a i = 99, i= 0, 1, 2,…,99.记l k=l f k(a i)—f k(a o)|+ |f k(a2)—fg)—…+ |f k(a99)—f k(a98)|, k= 1, 2, 3,则( )A . I1<l2<l3B . I2<I1<I 3C . I1<I 3<I2D . I3<l2<l1x2+ x, x<0,58. [2014浙江卷]设函数f(x) = 2 若f[f(a)] < 2,则实数a的取值范围是____________ .——, x》0.11. ①③④ [解析]若f(x) € A ,则f(x)的值域为R ,于是,对任意的b € R ,一定存在a € D ,使得f(a) = b ,故 ①正确.取函数f(x)= x(- 1 < x < 1),其值域为(—1, 1),于是,存在M = 1,使得f(x)的值域包含于[—M , M ] = [- 1 , 1], 但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.当f(x) € A 时,由①可知,对任意的b € R ,存在a € D ,使得f(a)= b ,所以,当g(x) € B 时,对于函数f(x) + g(x), 如果存在一个正数M ,使得f(x) + g(x)的值域包含于[—M , M ],那么对于该区间外的某一个b °€ R ,一定存在一个a 0 € D ,使得 f(a °)=b — g(a 0),即卩 f(a °) + g(a °) = b °?[ — M , M ],故③正确.x对于f(x) = aln(x + 2) + PR (x >- 2),当a > 0或a < 0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,答案11 nn . 5 n =sin - 6 61 2.2. A [解析]由基本初等函数的性质得,选项 上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.B 中的函数在(0, 1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+^ )3. D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(- 1) = cos(- 1) = cos 1, 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝y f(x)在区间(0,+8 )上是增函数,且函数值 f(1)M f(- 1),贝y f(x)不是偶函数; f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(一g, 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [ — 1, 1];•••函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为 [—1,+^ ).4. C [解析]由 x 2- x>0,得 x>1 或 x<0.5. C [解析]根据题意得,x > 0, (lOg 2)X> 0,2- 1 >0,解得x >2或x <1故选C.6. D [解析]设(X 0, y 0)为函数y = f(x)的图像上任意一点,其关于直线 x + y = 0的对称点为(—y °,一 x 0).根据 题意,点(—y 0,- X 0)在函数y = g(x)的图像上,又点(X 0 , y °)关于直线y =x 的对称点为(y 0, X 0),且(y 0, x 0)与(—y 0,—x 0)关于原点对称,所以函数y = f(x)的反函数的图像与函数y = g(x)的图像关于原点对称,所以-y = g(-x),即y=-g( - x).7. A [解析]由基本初等函数的性质得,选项 上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.B 中的函数在(0, 1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+g )& D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(- 1) = cos(- 1) = cos 1, 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝U f(x)在区间(0,+g )上是增函数,且函数值f(1)M f(- 1),贝U f(x)不是偶函数; f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(-g, 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [- 1, 1];•函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[—1,+g ).1. A [解析]由已知可得,f心=fi n6 . 6siJ!n + sin^6 6+ sin10. 1 [解析]由题意可知,1 1 1 1 1易知f(x) € — 2,2,所以存在正数 M = 2,使得f(x) € [ — M , M ],故④正确.12. D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(— 1) = cos(— 1) = cos 1, f(1)丰 f(— 1),则 f(x)不是偶函数; 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝U f(x)在区间(0,+^ )上是增函数,且函数值 f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(一汽 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [ — 1, 1];•••函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[—1,+^ ).13. C [解析]因为 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(1) + g(1) = f( — 1) — g(— 1)= (— 1) + (— 1) + 1= 1. 14. C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为 C.15.(— 1, 3)[解析]根据偶函数的性质,易知 f(x)>0的解集为(—2, 2),若f(x — 1)>0,则—2<x — 1<2,解得 —1<x<3.16. (— ^, 2][解析]f(x)= cos 2x + as in x =— 2si n x + asi n x + 1,令 si n x = t ,贝 U f(x) = — 2t + at + 1•因为 x € 時,n ,所以 t € g, 1 ,所以 f(x) = — 2t 2+ at + 1, t € £, 1 J 因为 f(x)= cos 2x + asin x 在区间 肓,j 是减函数, 所以f(x) = — 2t 2+ at + 1在区间1, 1上是减函数,又对称轴为 x =罗,•学2,所以a € ( — ^, 2].17. B [解析]由函数y = log a x 的图像过点(3, 1),得a = 3. 选项A 中的函数为y = 3,则其函数图像不正确;选项的函数为y = (— x)3,则其函数图像不正确;选项 D 中的函数为y = log 3(— x),则其函数图像不正确.18.A[解析]g(1) = a — 1,由 f [g(1)] = 1,得 5|a "= 1,所以 |a — 1|= 0,故 a = 1.19. C [解析]因为 0<a = 2 — 3<1 , b = Iog 2§<0, c = log 刃>log^ = X 所以 c>a>b.20. C [解析]根据已知得,集合 A = {x|— 1v x v 3}, B = {y|1< y < 4},所以 A n B = {x|1<x v 3}.故选 C.1 121. D [解析]因为 a x v a y (0v a v 1),所以 x >y ,所以 sin x >sin y , ln(x 2 +1)>ln(y 2 + 1), 定正确,故选D.22.B [解析]由于f(x + y) = f(x)f(y),故排除选项 A , C.又f(x)= *为单调递减函数,所以排除选项D.__ 1 1 1 ___________________________________________________________23. ,10 [解析]由 4a = 2,得 a = ^,代入 lg x = a ,得 lg x = p 那么 x = 10? = . 10.24. D [解析]因为 a x v a y (0v a v 1),所以 x >y ,所以 sin x >sin y ,ln(x 2+1)>In(y 2 + 1),尹+门 定正确,故选D.X> 0,解得 1故选C.x > 2或x v ?.B 中的函数为y = x 3,则其函数图像正确;选项25. C [解析]根据题意得, 爲 2—1> 0,526. 50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质••••{a n }为等比数列,且 a io a ii + a g a i2= 2e ,55二 a i°a ii + a g a i2=2a i°a ii = 2e ,二 a i°a ii = e ,• • In a i + In a ?+…+ In a 20=In (a i a 2 …a 2o )= In (a io a ii/0 = In (e)" = In e'° = 50.” —「,1111 11 * 才,27. C [解析]因为 0<a = 2-3<1 , b = Iog 2§<0, c = log刃'log^ =1,所以 c>a>b.28. D [解析]要使f(x)单调递增,需有宀4>°,解得x<-2. x<0,29. D [解析]只有选项D 符合,此时0<a<1,幕函数f(x)在(0,+^ )上为增函数,且当x € (0, 1)时,f(x)的 图像在直线y = x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+^ )上为减函数,故选D.1 2 2 2 2 12 2231.B [解析]因为当 x >0 时,f(x) = q (|x -a |+ |x — 2a|-3a ),所以当 0W x < a 时,f(x) = ^(a - x + 2a — x — 3a ) =-x ;当 a 2<x<2a 2 时,f(x) = 1(x - a 2+ 2a 2-x - 3a 2) = - a 2; 当 x >2a 2时,f(x) = *(x — a 2+ x — 2a 2— 3a 2) = x — 3a 2.x , 0W x < a 2,22小2—a , a <x<2a ,x 3a , x — 2a .30.— 14,所以当[解析]f(x) = Iog 2 x • log 2(2x)=1 4.1^Iog 2 x • 2log 2(2x) = Iog 2x • (1 + log 2X )= (log 2x)+ log 2x = T f —综上,f(x)=x =,函数f(x)取得最小值- W *■/.故选 B.32. B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实数,则函数 f(x), g(x)有两1个交点,则k > ,且k v 1.故选B.33.D [解析]只有选项D 符合,此时0<a<1,幕函数f(x)在(0,+^ )上为增函数,且当x € (0, 1)时,f(x)的 图像在直线y = x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+^ )上为减函数,故选 D. 34. B [解析]依题意,设存在 P(- m , n)在f(x)的图像上,贝UQ(m , n)在g(x)的图像上,则有 m 2+ e m —-=m 2 + ln(m + a),解得 m + a = ee _m — 3,即卩 a = ee _m —?— m(m >0),可得 a € (— a, e).35. (0, 1) U (9,+a )[解析]在同一坐标系内分别作出y = f(x)与y = a|x — 1|的图像如图所示.当y = a|x —1|r2—ax + a =一 x 一3x , 2 2 2 七 整理得 x 2+ (3 — a)x + a = 0,则△ = (3 — a)2— 4a = a 2— 10a + 9 = 0,a>0,36. C [解析]由 f( — 1) = f( — 2) = f( — 3)得? f = 6, 则 f(x)= x 3+ 6x 2 + 11x + c ,而 0<f(— 1)w 3,故 0< — 6+ c < 3, b = 11, 37. D [解析]设年平均增长率为 x ,则有(1 + p)(1 + q)= (1 + x)2,解得x = , (1 + p )( 1 + q )— 1.与y = f(x)的图像相切时,由—1 + a — b + c =— 8 + 4a — 2b + c ,—8 + 4a — 2b + c =— 27+ 9a — 3b + c—7+ 3a — b = 0, 19 — 5a + b = 0 6<c W 9,故选 C.=0.联立厂 125a 一 5c = 2,75a + c = 0,/ =盍,解得故该三次函数的解析式为_丄3 3 y= 125x 一 5x38. A [解析]设该三次函数的解析式为y= ax3+ bx2+ cx + d•因为函数的图像经过点(0, 0),所以d= 0,所以y = ax3+ bx2 + cx.又函数过点(一5, 2), (5,—2),则该函数是奇函数,故b = 0,所以y = ax3+ cx,代入点(一5, 2) 得—125a —5c= 2•又由该函数的图像在点(—5, 2)处的切线平行于x轴,y'= 3ax2+ c,得当x=—5时,y'= 75a + c_ 5x40.y =- 5x + 3 [解析]本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法•因为 y=_ 5e _,所以切线的斜率 k =_ 5e 0=_ 5,所以切线方程是:y — 3 =_ 5(x _ 0),即 y =— 5x + 3.一 x41.(— In 2, 2)[解析]设点P 的坐标为(x o , y o ), y '=— e .又切线平行于直线2x + y + 1 = 0,所以—e _x o =_ 2,可得x o =_ In 2,此时y = 2,所以点P 的坐标为(一In 2 , 2).—5x (x + 2)42. ----------------------------------------------------------- 解:(1)当 b = 4 时,f' x)= ,由 f 'x)= 0,得 x =_ 2 或 x = 0.\1 — 2x所以b 的取值范围为(_R, £] 43. C [解析]因为y'= (xe x 1) = e x 1 + xe x 1,所以 y = xe x1在点(1, 1)处的导数是 y '=l= e 11+ e 11=2,故曲线y = xe x —1在点(1, 1)处的切线斜率是 2.144. D [解析]y = a _石,根据已知得,当x = 0时,y ' = 2,代入解得a = 3. 45. C [解析]当a = 0时,f(x)=_ 3x 2 + 1,存在两个零点,不符合题意,故 a 丰0.由 f 'x(= 3ax 2— 6x = 0,得 x = 0 或 x = 2 a若a>0,则f(x)极大值=f(0) = 1>0,此时函数f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意. 综上可知,实数a 的取值范围为(一a, — 2). 246. -2 [解析]因为函数y = In x 的图像与函数y = e x 的图像关于正方形的对角线所在直线 y = x 对称,则图中的e两块阴影部分的面积为eS = 2 e ln xdx = 2(xln x — x)|1 = 2[(eln e — e)_ (In 1 — 1)] = 2,*12 故根据几何概型的概率公式得,该粒黄豆落到阴影部分的概率P =与e47.C [解析]由题意,要满足f(x) ,所以当x € (―汽―2)时,f'x)<0, f(x)单调递减;当x € (— 2, 0)时,f 'x)>0, f(x)单调递增;当f'x)<0, f(x)单调递减,故f(x)在x =_ 2处取得极小值f(— 2) = 0,在x = 0处取得极大值 —x[5x +( 3b — 2) ] 一”’ _ f 11, 一 x (2)f'x)= f(0) = 4..1 — 2x 依题意当x € 0, 3时,有,易知当x €卩舟”产瓦<0,5 5x + (3b — 2)< 0,从而-+ (3b _ 2)< 0,得3只需 若a<0,则函数f(x)的极大值点为 x = 0,且 f(x) 极大值 =f(0) = 1,极小值点为2 口 x =:,且f(x)极小值=f2 a 2— 42 = 丁,此时2a — 4 >0, a ,即可解得 a< —2;g(x)是区间[—1, 1]上的正交函数,即需满足11 f(x)g(x) dx = 0.* -1①f(x)g(x) dx= sin^xcos^xdx =打1 sinxdx= (一*cos x 丿_ 1 = 0,故第①组是区间[—1, 1]上的正交函数;'_ 1 ' _ 1 '-1②d f(x)g(x) dx= d (x+ 1)(x —1)dx =〒—x —1 = _彳工0,故第②组不是区间[—1, 1]上的正交函数;'_ 1 ' _ 1418③f f(x)g(x) dx = f x • x 2dx =竽1= 0,故第③组是区间[—1,1]上的正交函数.,—1 ,— 1 综上,是区间[—1, 1]上的正交函数的组数是 2.故选C. 2 n 2 n 2 n[解析]因为 / 丁0f(x) dx = 0,即 / —0f(x) dx =— cos(x — ©才0=—cos5 n x = ~6-是函数f(x)图像的一条对称轴.=x(x>0).48. A49. B[解析]f f(x)dx =「■ 0■ 0+ 2f (x ) dx dx =1 3.50. D [解析]直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限的交点坐标是(2, 8),所以两者围成的封闭图形的面积为 3(4x — x )dx =2x 2—步4 ; 0 = 4,故选 D.51 . C [解析]J (2x + e x )dx = (x 2 + e x )J = (12+ e 1)— (02 + e 0)= e.” 052. Ad yd I y[解析]f(— x)= ln(1 — x)— ln(1 + x) = In ~ =— ln =— [ln (1 + x )— ln (1 — x )]1 + x 1 — x2x=—f(x),故①正确;当 x € ( — 1, 1)时,1+2€ (— 1, 1),且 fI I .X. .1 + x 2 + 2x . =ln 2 = ln 1 + x 2 — 2x由①知,f(x)为奇函数,所以|f(x)|为偶函数,则只需判断当x € [0 , 1)时,f(x)与2x 的大小关系即可.记 g(x)= f(x) — 2x , 0 < x v 1,彳 + x 2 1 + x 1+x = 2ln L = 2[ln(1 + x) — ln(1 - x)] = 2f(x),故②正确;即 g(x)= ln(1 + x)— ln(1 — x)— 2x , 0< x<1 , g ' (x)= — + 丄—2=-^, 0< x v 1.1 + x 1 — x 1 — x 即g(x)在[0, 1)上为增函数,且g(0) = 0,所以g(x)> 0,1),于是|f(x)| >2|x|正确.综上可知,①②③都为真命题,故选A.当0 < x v 1时, 即 f(x) — 2x >0,g'x) > 0,x € [0,53. B [解析] 依题意, m 2+ In (m + a),解得 m + a = 设存在 P(— m , n)在f(x)的图像上,贝U Q(m , n)在g(x)的图像上,则有 —1 —1ee m — 2,即 a = ee m —?— m(m >0),可得 a € (— 8, m 2+ e -m —壬.e).54. (1) .x (2)x(或填(1)k 1 .x ; (2)k 2x ,其中 k 1, k ?为正常数) [解析]设 A(a , f(a)), B(b ,— f(b)), C(c , 0),则此三点共线:0 — f (a ) = 0+ f (b ) 即 c — a c— b ab — a Jab — bb>0,所以化简得f ) = f#,故可以选择f(x) = Vx(x>0); 0| f (b),因为a>0, b>0,所以化简得 2ab ,—b a + b(1)依题意,因为a>0. ⑵依题意,........ 需c —迪则 0―f (a )c= a + b ‘ 则 2ab a —a a + b0— f (a ) 0+ f (b ) f (a ) _f (b ) a =故可以选择f(x)cos © = 0,可取 ©?+ 仔:f ( x ) 1 1 1 =Q + 2' f(x)dx ,得'f(x)dx = ■ 0 ■ 055. B [解析]不妨设0 w y<x w 1.1 ill当 x — y < 2时,f(x) — f(y)l<2lx — y|=2(x — y)w 4.1 1 当 x — y>2时,|f(x) — f(y)|= |f(x) — f(1) — (f(y) — f(0))| w |f(x) — f(1)| + |f(y) — f(0)|<111 1 1 斗 1|x — 1|+ 2|y — 0|= —2(x — y)+ 2<4.故 k min — 4.56.①③④ [解析]若f(x)€ A ,则f(x)的值域为R ,于是,对任意的b € R ,一定存在a € D ,使得f(a) = b ,故①正确.取函数f(x)= x( — 1 v x v 1),其值域为(—1, 1),于是,存在M = 1,使得f(x)的值域包含于[—M , M ] = [ — 1 , 1], 但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.当f(x) € A 时,由①可知,对任意的b € R ,存在a € D ,使得f(a)= b ,所以,当g(x) € B 时,对于函数f(x) + g(x), 如果存在一个正数M ,使得f(x) + g(x)的值域包含于[—M , M ],那么对于该区间外的某一个b °€ R ,一定存在一个a 0 € D ,使得 f(a °)=b — g(a 0),即卩 f(a °) + g(a °) = b °?[ — M , M ],故③正确.x对于f(x) = aln(x + 2) + 2 , 1 (x >— 2),当a >0或a v 0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,x只有 a = 0,此时 f(x) = x ?+ 1 (x >— 2).-1111 一易知f(x) € — 2, 2,,所以存在正数 M = 2,使得f(x) € [ — M , M ],故④正确.1 I 3= §sin血 2n X 99 -sin 2n X 器=58.(―汽 2][解析]函数f(x)的图像如图所示,令t = f(a),则f(t )w 2,由图像知t >— 2,所以f(a)>— 2,则 a w 2.\ y t1\)■=-2——\i : 2 - Xx只有 a = 0,此时 f(x) = T(x >— 2).° -仁2©9丿(99 992=992= 1;对于 i 2, 2100X 98 99 — 1h<1.2 9999 由于2」——L 丄仁译 9999 =1 , 2,…,99),故-丄, 250 (98+ 0) —扁丿 + 百丿=992|100— 2i|(i =1,2,…,99),故 I 2=992X 2X 57. B [解析]对于11,由于sin 2 n X 99 — sin 2n X 2nX 99 — sin 2n X …+ 1 2sin [2 n X 2sin 2 n X4>1.故丨2<11<13,故选 B.x + 1。

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高考理科数学真题解析分类汇编:函数函数与导数B1 函数及其表示6.[20XX年安徽卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤xπ时,f(x)=0,则f =( )1 B. 221C.0 D.-26.A [解析] 由已知可得,f sin17π11π17π23π 17π 11π5π=f+sin=f +sin+sin =f +666 6 6 6 623π65π11π17π5π5π1π+sin+sin2sin +sin -=sin. ***** 62.、[20XX年北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=x+1 B.y=(x-1)2-C.y=2x D.y=log0.5(x+1)2.A [解析] 由基本初等函数的性质得,选项B中的函数在(0,1)上递减,选项C,D中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B,C,D,选A.2 x+1,x0,7.、、[20XX年福建卷] 已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )cos x,x≤0,A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos 1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)1;当x≤0时,f(x)=cos x,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).2.[20XX年江西卷] 函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( ) A.(0,1] B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 2.C [解析] 由x2-x0,得x1或x0.13.,[20XX年山东卷] 函数f(x)=( )(log2x)-110,B.(2,+∞) A. 2110,∪(2,+∞) D. 0,∪[2,+∞) C. 2 2 x>0,3.C [解析] 根据题意得,解得1故选C. 2(log2)-1>0,x>2或x<.2x>0,B2 反函数12.[20XX年全国卷] 函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是( )A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)12.D [解析] 设(x0,y0)为函数y=f(x)的图像上任意一点,其关于直线x+y=0的对称点为(-y0,-x0).根据题意,点(-y0,-x0)在函数y =g(x)的图像上,又点(x0,y0)关于直线y=x的对称点为(y0,x0),且(y0,x0)与(-y0,-x0)关于原点对称,所以函数y=f(x)的反函数的图像与函数y=g(x)的图像关于原点对称,所以-y=g(-x),即y=-g(-x).B3 函数的单调性与最值2.、[20XX年北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=x+1 B.y=(x-1)2-C.y=2x D.y=log0.5(x+1)2.A [解析] 由基本初等函数的性质得,选项B中的函数在(0,1)上递减,选项C,D中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B,C,D,x2+1,x0,7.、、[20XX年福建卷] 已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )cos x,x≤0,A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos 1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)1;当x≤0时,f(x)=cos x,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).121.、[20XX年广东卷] 设函数f(x)=,其中k-2.(x+2x+k)+2(x+2x+k)-3(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;(3)若k-6,求D上满足条件f(x)f(1)的x的集合(用区间表示).12.[20XX年四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=-4x+2,-1≤x0,3 则f 2=________.x,0≤x1,3 1 1 12-=f-=-4 -+2=1. 12.1 [解析] 由题意可知,f =f 2 2 2 215.,[20XX年四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“ b∈R,a∈D,f(a)=b”;2②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x) B;x④若函数f(x)=aln(x+2)+(x-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.x+1其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)15.①③④ [解析] 若f(x)∈A,则f(x)的值域为R,于是,对任意的b∈R,一定存在a∈D,使得f(a)=b,故①正确.取函数f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在M=1,使得f(x)的值域包含于[-M,M]=[-1,1],但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.当f(x)∈A时,由①可知,对任意的b∈R,存在a∈D,使得f(a)=b,所以,当g(x)∈B时,对于函数f(x)+g(x),如果存在一个正数M,使得f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那么对于该区间外的某一个b0∈R,一定存在一个a0∈D,使得f(a0)=b-g(a0),即f(a0)+g(a0)=b0 [-M,M],故③正确.x对于f(x)=aln(x+2)(x>-2),当a>0或a<0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数x+1xf(x)有最大值,只有a=0,此时f(x)=(x>-2).x+1111-,,所以存在正数Mf(x)∈[-M,M],故④正确.易知f(x)∈ 222 21.,[20XX年四川卷] 已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28 为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.21.解:(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b.所以g′(x)=ex-2a.1当a≤g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,2因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;e当a≥g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,2因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;1e当ag′(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1),所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在22区间(ln(2a),1]上单调递增,于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.1综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;21e当ag(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;22e当a≥g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.2(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知,f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2. 故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;2e当a≥g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.21ea.22此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b0,g(1)=e -2a-b0. 由f(1)=0得a+b=e-12,则g(0)=a-e+20,g(1)=1-a0,解得e-2a1.当e-2a1时,g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln(2a)).若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))0. 又g(0)=a-e+20,g(1)=1-a0.故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0,x1]上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在[x2,1]上单调递增.所以f(x1)f(0)=0,f(x2)f(1)=0,故f(x)在(x1,x2)内有零点.综上可知,a的取值范围是(e-2,1).B4 函数的奇偶性与周期性7.、、[20XX年福建卷] 已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )cos x,x≤0,A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos 1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数;当x0时,令f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f(x)1;当x≤0时,f(x)=cos x,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f(x)∈[-1,1];∴函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).3.[20XX年湖南卷] 已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.33.C [解析] 因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. 3.[20XX年新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数3.C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.[20XX年新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.15.(-1,3) [解析] 根据偶函数的性质,易知f(x)0的解集为(-2,2),若f(x-1)0,则-2x-12,解得-1x3.B5 二次函数ππ16.、[20XX年全国卷] 若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间是减函数,则a的取值范围是62________.16.(-∞,2] [解析] f(x)=cos 2x+asin x=-2sin2x+asin x+1,令sin x=t,则f(x)=-2t2+at1 1ππ,1,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈ ,1 .因为f(x)=cos 2x+asin x+1.因为x∈ ,,所以t∈ 2 2 62在区间1 ππaa1上是减函数,又对称轴为x=,∴≤,是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间 2 44 621,所以a∈(-∞,2].2B6 指数与指数函数4.、、[20XX年福建卷] 若函数y=logax(a0,且a≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是(图1-1ABC D图1-24.B [解析] 由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.13选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x,则其函数图像正确;3选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.3.[20XX年江西卷] 已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1-3.A [解析] g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.113.、[20XX年辽宁卷] 已知a=2b=log2,3311A.abc B.acb C.cab D.cba*****3.C [解析] 因为0a=2-,b=log20,c=loglog=1,所以cab.*****2.,[20XX年山东卷] 设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( ) A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 2.C [解析] 根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x<3}.故选C.5.,,[20XX年山东卷] 已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.11B. ln(x2+1)>ln(y2+1) x+1y+1xC. sin x>sin yD. x3>y315.D [解析] 因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sin x>sin y,ln(x2+1)>ln(y2+1)>x+11D. y+1函数是( ) 1A.f(x)=x B.f(x)=x321 xC.f(x)=D.f(x)=3 217.B [解析] 由于f(x+y)=f(x)f(y),故排除选项A,C.又f(x)=2为单调递减函数,所以排除选项D.11.[20XX年陕西卷] 已知4a=2,lg x=a,则x=________.11111. [解析] 由4a=2,得alg x=a,得lg x=,那么x==10.222B7 对数与对数函数5.,,[20XX年山东卷] 已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( ) A.11B. ln(x2+1)>ln(y2+1) x+1y+1xxC. sin x>sin yD. x3>y315.D [解析] 因为ax<ay(0<a<1),所以x>y,所以sin x>sin y,ln(x2+1)>ln(y2+1)>x+113.,[20XX年山东卷] 函数f(x)=10,B.(2,+∞) A. 2110,∪(2,+∞) D. 0,∪[2,+∞) C. 2 21( )(log2x)-1x>0,3.C [解析] 根据题意得,解得1故选C. 2(log)-1>0,2 x>2或x<.24.、、[20XX年福建卷] 若函数y=logax(a0,且a≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是()x>0,图1-1ABC D图1-24.B [解析] 由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x,则其函数图像正确;3 选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.13.、[20XX年广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2++ln a20=________.13.50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{an}为等比数列,且a10a11+a9a12x=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴ln a1+ln a2++ln a20=ln(a1a2 a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=ln e50=50.113.、[20XX年辽宁卷] 已知a=2b=log2,3311c=log,则( )23A.abc B.acb C.cab D.cba*****3.C [解析] 因为0a=2-,b=log20,c=loglog=1,所以cab.*****4.[20XX年天津卷] 函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )2A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)2 x-40,4.D [解析] 要使f(x)单调递增,需有解得x-2.x0,7.、[20XX年浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f(x)aax的图像可能是()A C 图1-2图1-27.D [解析] 只有选项D符合,此时0a1,幂函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且当x∈(0,1)时,f(x)的图像在直线y=x的上方,对数函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,故选D.12.[20XX年重庆卷] 函数f(x)=log2xlog2(2x)的最小值为________.1112.-[解析] f(x)=log2 x2(2x)=2 x2log2(2x)=log2x(1+log2x)=(log2x)2+log2x***-***** =log2x+2-,所以当x时,函数f(x)取得最小值-.424B8 幂函数与函数的图像4.、、[20XX年福建卷] 若函数y=logax(a0,且a≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1ABC D图1-24.B [解析] 由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3.13选项A中的函数为y=,则其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x,则其函数图像正确;3选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.110.[20XX年湖北卷] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)(|x-a2|+|x-2a2|-223a).若x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )1166-B. -A. 66 66 1133-D. -C. 33 33112210.B [解析] 因为当x≥0时,f(x)=|x-a|+|x-2a|-3a2),所以当0≤x≤a2时,f(x)=(a2-x+2a2-x-3a2)=-x;当a2x2a2时,1222f(x)=(x-a+2a-x-3a)=-a2;2当x≥2a2时,1222f(x)=(x-a+x-2a-3a)=x-3a2.22-x,0≤x≤a,x222综上,f(x)=-a,ax2a,x-3a2,x≥2a2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下,观察图象可知,要使x∈R,f(x-1)≤f(x),则需满足2a2-(-4a2)≤1,解得-B.668.[20XX年山东卷] 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )110,B. 1 C. (1,2) D. (2,+∞) A. 2 28.B [解析] 画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数1f(x),g(x)有两个交点,则k,且k<1.故选B.27.、[20XX年浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f(x)aax的图像可能是()A C 图1-2图1-27.D [解析] 只有选项D符合,此时0a1,幂函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且当x∈(0,1)时,f(x)的图像在直线y=x的上方,对数函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,故选D.B9 函数与方程110.、[20XX年湖南卷] 已知函数f(x)=x2+ex-(x0)与g(x)=x2+ln(x2称的点,则a的取值范围是( )1A.() B.(-∞,e)e11C. -e D. e,ee10.B [解析] 依题意,设存在P(-m,n)在f(x)的图像上,则Q(m,n)在g(x)的图像上,则有111---m2+emm2+ln(m+a),解得m+a=eem-,即a=eem-m(m>0),可得a∈(-∞,e).222214.[20XX年天津卷] 已知函数f(x)=|x+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当2-ax+a=-x-3x,y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,a0,-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,0a1或a9.6.[20XX年浙江卷] 已知函数f(x)=x+ax+bx+c,且0f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( ) A.c≤3 B.3c≤6 C.6c≤9 D.c9-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,6.C [解析] 由f(-1)=f(-2)=f(-3)得-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c-7+3a-b=0,a=6,则f(x)=x3+6x2+11x+c,而0f(-1)≤3,故0-6+c≤3,19-5a+b=0 b=11,∴6c≤9,故选C.B10 函数模型及其应用8.[20XX年湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )p+q(p+1)(q+1)-1 B.22pq D.(p+1)(q+1)-18.D [解析] 设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=(1+p)(1+q)-1.10.[20XX年陕西卷] 如图1-2,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图1-21324A.y=x3x B.y=x3-x***-*****331C.y=x3-x D.y=-x3+x***-*****10.A [解析] 设该三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d.因为函数的图像经过点(0,0),所以d=0,所以y=ax3+bx2+cx.又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b=0,所以y=ax3+cx,代入点(-5,2)得-125a -5c=2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x轴,y′a=125,-125a-5c=2,=3ax+c,得当x=-5时,y′=75a+c=0.联立解得故该三次函数的解3 75a+c=0,c=-52113析式为y=3-x.1255B11 导数及其运算18.、[20XX年安徽卷] 设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.18.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2.-14+3a令f′(x)=0,得x1=,3-14+3ax2=,x1x2,3所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx1或xx2时,f′(x)0;当x1xx2时,f′(x)0.-1-4+3a -1++3a故f(x)在-∞,和,+∞ 内单调递减,33 在-14+3a-14+3a内单调递增.33(2)因为a0,所以x10,x20,①当a≥4时,x2≥1.由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,-14+3a所以f(x)在x=x2=又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1a4时,f(x)在x=0处取得最小值.21.、、[20XX年安徽卷] 设实数c>0,整数p>1,n∈N*. (1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px;(2)数列{a1p-1c-n}满足a1>p1pan+1=pn+p1n,证明:an>an+1>cp. 21.证明:(1)用数学归纳法证明如下.①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.②假设p =k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k1+kx成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x. 所以当p =k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x-1,x≠0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立.(2)方法一:先用数学归纳法证明ac1np①当n=1时,由题设知a11cp1②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式akc成立.由a=p-1pac-n+1n+p1np易知an0,. 当n=k+1时,ak+1p-1c-pa=pak=kp11cp a-1 k. 由a111ckcp0得-1-pp a-1 k0. pp由(1)中的结论得ak+1 a =k 1+1p c a-1 k 1+p 1p c a1 k =cak. 因此ap1k+1c,即ak+1cp,所以当n=k+1时,不等式a1ncp也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式a1ncp均成立.再由an+1a1+1 cnp a-1 n 可得an+1an,即an+1an.综上所述,aa1nn+1n∈N*p.方法二:设f(x)p-1px+c1-p1px,x≥cp,则xp≥c,所以f′(x)=p-1cp-1 c-1-0. (1-p)xp=ppp x1111由此可得,f(x)在[,+∞)上单调递增,因而,当xcf(x)f(c=cpppp1①当n=1时,由a1c0,即ap1c可知pp-11cc1-p11 1a1,并且a2=f(a1)c,从而可得a1a2 a2=1+1=a1 1pa1 pp pp1故当n=1时,不等式anan+1c成立.p11②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式akak+1c成立,则当n=k+1时,f(ak)f(ak+1)f(c,pp1即有ak+1ak+2cp所以当n=k+1时,原不等式也成立.1综合①②可得,对一切正整数n,不等式anan+1cp20.、[20XX年福建卷] 已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x0时,x2ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 20.解:方法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f ′(x)=ex-a. 又f ′(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f(x)=ex-2x,f ′(x)=ex-2. 令f ′(x)=0,得x=ln 2.当xln 2时,f ′(x)0,f(x)单调递减;当xln 2时,f ′(x)0,f(x)单调递增.所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g′(x)=ex-2x. 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 40,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=10,所以当x0时,g(x)g(0)0,即x2ex.(3)证明:①若c≥1,则ex≤cex.又由(2)知,当x0时,x2ex. 故当x0时,x2cex.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex.1②若0c1,令k=,要使不等式x2cex成立,只要exkx2成立.c而要使exkx2成立,则只要xln(kx2),只要x2ln x+ln k成立.2x-2令h(x)=x-2ln x-ln k,则h′(x)=1-.xx所以当x2时,h′(x)0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增.又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知klnk,kln 2,5k0,所以h(x0)0. 16即存在x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex.c综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 方法二:(1)同方法一.(2)同方法一.4(3)对任意给定的正数c,取x0=cxx x2 x 2由(2)知,当x0时,ex,所以e=ee 2 2 ,22x2xx x 4 x 12当xx0时,e 2 2 c 2 =c,x222因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 方法三:(1)同方法一.(2)同方法一.1(3)首先证明当x∈(0,+∞)3e x.3证明如下:1令h(x)=3-ex,则h′(x)=x2-ex.3由(2)知,当x0时,x2ex,从而h′(x)0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,1所以h(x)h(0)=-10,即x3ex.3311取x0=,当xx0时,有2x3ex.cc3因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex.-10.、[20XX年广东卷] 曲线y=e5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.-10.y=-5x+3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法.因为y′=-5e5x,所以切线的斜率k=-5e0=-5,所以切线方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.-13.[20XX年江西卷] 若曲线y=ex上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.-13.(-ln 2,2) [解析] 设点P的坐标为(x0,y0),y′=-ex.又切线平行于直线2x+y+1=0,所以-e-x0=-2,可得x0=-ln 2,此时y=2,所以点P的坐标为(-ln 2,2).18.、[20XX年江西卷] 已知函数f(x)=(x2+bx+b)1-2x(b∈R).(1)当b=4时,求f(x)的极值;10,上单调递增,求b的取值范围.(2)若f(x)在区间3-5x(x+2)18.解:(1)当b=4时,f′(x)=,由f′(x)=0,得x=-2或x=0.1-2x10,所以当x∈(-∞,-2)时,f′(x)0,f(x)单调递减;当x∈(-2,0)时,f′(x)0,f(x)单调递增;当x∈ 2时,f′(x)0,f(x)单调递减,故f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=0,在x=0处取得极大值f(0)=4.-x[5x+(3b-2)]1-x0时,(2)f′(x)=x∈ ,31-2x1-2x1510时,有5x+(3b-2)≤0,从而+(3b-2)≤0,得b≤. 依题意当x∈ 3391. 所以b的取值范围为97.[20XX年全国卷] 曲线y=xex1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2e B.e C.2 D.1-----7.C [解析] 因为y′=(xex1)′=ex1+xex1,所以y=xex1在点(1,1)处的导数是y′|x=1=e11+e1-1-=2,故曲线y=xex1在点(1,1)处的切线斜率是2. 8.[20XX年新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.318.D [解析] y′=a-x=0时,y′=2,代入解得a=3.x+121.,,,[20XX年陕西卷] 设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N +,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)++g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.-x21.解:由题设得,g(x)=(x≥0).1+x(1)由已知,g1(x)=x,1+xg2(x)=g(g1(x))=,x1+2x1+1+xg3(x)=xxgn(x)=. 1+3x1+nx下面用数学归纳法证明.x①当n=1时,g1(x)=1+xx②假设n=k时结论成立,即gk(x)=1+kxx1+kxgk(x)x那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))===x1+gk(x)1+(k+1)x1+1+kx由①②可知,结论对n∈N+成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥ax设φ(x)=ln(1+x)-x≥0),1+xax1+x则φ′(x)=1ax+1-a1+x(1+x)=(1+x)当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a =1时等号成立),∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,∴φ(x)≥0在[0,+∞)∴a≤1时,ln(1+x)≥ax1+x(仅当x=0时等号成立).当a1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)0,∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,∴φ(a-1)φ(0)=0.即a1时,存在x0,使φ(x)0,故知ln(1+x)≥ax1+x综上可知,a的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g(1)+g(2)++g(n)=12n23++n+1比较结果为g(1)+g(2)++g(n)n-ln(n+1).证明如下:方法一:上述不等式等价于1213++1n+1ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)x1+xx0. 令x=1nn∈N1n+1+,则n+1lnn下面用数学归纳法证明.①当n=112②假设当n=k时结论成立,即12+131k+1k+1).那么,当n=k+1时,12+131k+111k+2k+2ln(k+1)+k+2k+1)+lnk+1ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.方法二:上述不等式等价于1123++1n+1ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)x1+xx0. 令x=1nn∈Nn+11+,则lnnn+1故有ln 2-ln 112ln 3-ln 213,1ln(n+1)-ln n,n+111123n+1结论得证.方法三:如图,n+xx12dx是由曲线y=x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而23x+1 0x+1nn+112nx∴ nx=23n+1 x+111 dx=n-ln(n+1),x+1n0结论得证.19.,[20XX年四川卷] 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图像上(n∈N*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-项和Tn.19.解:(1)由已知得,b7=2a7,b8=2a8=4b7,所以2a8=4×2a7=2a7+2,解得d=a8-a7=2,n(n-1)所以Sn=na1+=-2n+n(n-1)=n2-3n.2(2)函数f(x)=2x在点(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),1其在x轴上的截距为a2-.11由题意有a2-=2-,解得a2=2.ln 2ln 2所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n,aan所以数列{}的通项公式为bnbn2n-1n123所以Tn=+,***-*****n2Tn=+-1222n1111n1n2-n-2因此,2Tn-Tn=1-2--=***-*****+1 a,求数列b 的前nln 2 n2n1-n-2所以,Tn=.2+B12 导数的应用21.,[20XX年四川卷] 已知函数f(x)=ex-ax2-bx(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.21.解:(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以g′(x)=ex-2a.当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].1当a≤g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,2因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;e当a≥g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,2因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;1e当ag′(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1),所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在22区间(ln(2a),1]上单调递增,于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.1综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;21e当ag(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;22e当a≥g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.2(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2. 故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.1由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;2e当a≥g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.21ea.22此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b0,g(1)=e -2a-b0. 由f(1)=0得a+b=e-12,则g(0)=a-e+20,g(1)=1-a0,解得e-2a1.当e-2a1时,g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln(2a)).若g(ln(2a))≥0,则g(x)≥0(x∈[0,1]),从而f(x)在区间[0,1]内单调递增,这与f(0)=f(1)=0矛盾,所以g(ln(2a))0. 又g(0)=a-e+20,g(1)=1-a0.故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各只有一个零点x1和x2.1]上单调递增.所以f(x1)f(0)=0,f(x2)f(1)=0,故f(x)在(x1,x2)内有零点.综上可知,a的取值范围是(e-2,1).18.、[20XX年安徽卷] 设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.18.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2.令f′(x)=0,得x-14+3a1=3,x-14+3a2=3,x1x2,所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx1或xx2时,f′(x)0;当x1xx2时,f′(x)0.故f(x)在-1-4+3a -1+4+3a-∞,3 和3,+∞ 内单调递减,在-14+3a-14+3a 33内单调递增.(2)因为a0,所以x10,x20,①当a≥4时,x2≥1.由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0a4时,x21.在x=x-14+3a2=3又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1a4时,f(x)在x=0处取得最小值.18.[20XX年北京卷] 已知函数f(x)=xcos x-sin x,x∈ 0π2.(1)求证:f(x)≤0;(2)若asin xπxb对x∈0,2 恒成立,求a的最大值与b的最小值.18.解:(1)证明:由f(x)=xcos x-sin x得f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.ππ因为在区间0,上f′(x)=-xsin x0,所以f(x)在区间0上单调递减.22 从而f(x)≤f(0)=0.sin xsin x(2)当x0时,“a”等价于“sin x-ax0”,“b”等价于“sin x-bx0”.xx令g(x)=sin x-cx,则g′(x)=cos x-c.π当c≤0时,g(x)0对任意x∈ 0恒成立.2ππ当c≥1时,因为对任意x∈ 0,,g′(x)=cos x-c0,所以g(x)在区间0,上单调递减,2 2 π从而g(x)g(0)=0对任意x∈ 0,恒成立.2π当0c1时,存在唯一的x0∈ 0,使得g′(x0)=cos x0-c=0.2 πg(x)与g′(x)在区间0,上的情况如下:2π因为g(x)在区间(0,x0)上是增函数,所以g(x0)g(0)=0.进一步,“g(x)0对任意x∈ 0恒成2 ππ2立”当且仅当g =1-c≥0,即0c≤2 2ππ2综上所述,当且仅当c≤g(x)0对任意x∈ 0,恒成立;当且仅当c≥1时,g(x)0对任2 ππ意x∈ 0,恒成立.2πsin x2所以,若ab对任意x∈ 0,恒成立,则ab的最小值为1.x2 π20.、[20XX年福建卷] 已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x0时,x2ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 20.解:方法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f ′(x)=ex-a. 又f ′(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f(x)=ex-2x,f ′(x)=ex-2. 令f ′(x)=0,得x=ln 2.当xln 2时,f ′(x)0,f(x)单调递减;当xln 2时,f ′(x)0,f(x)单调递增.。

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