2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第六节 双曲线 理

第八章 第六节 双曲线

一、选择题

1．“ab <0”是“方程ax 2

＋by 2

＝c 表示双曲线”的 ( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：若ax 2

＋by 2

＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b

＝1表示双曲线，则c 2

ab <0，这就是说“ab <0”

是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件．

答案：A

2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3

3

x ，若顶点到渐近线的

距

离

为

1

，

则

双

曲

线

的

方

程

为

( )

A.x 24－3y 24＝1

B.3x 24－y

2

4＝1 C.x 24－y 2

4

＝1

D.x 24－4y 2

3

＝1 解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a

3＋9＝1，解得a ＝2.又b

a ＝

33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 2

4－3y

2

4

＝1. 答案：A

3． (2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，

l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( )

A. 2

B. 3 C ．2

D ．3

解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2

b 2＝1可得

y 2

＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝c

a

＝ 3.

答案：B

4．已知双曲线x 2

－y 2

3

＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则

1PA · 2PF 的最小值为 ( )

A ．－2

B ．－8116

C ．1

D ．0

解析：设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)、F 2(2,0)，则有y 2

3＝x 2－1，y 2

＝

3(x 2

－1)， 1PA · 2PF ＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2

＝x 2

＋3(x 2

－1)－x －2＝4x 2

－x －5＝4(x －18)2－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时， 1PA · 2PF 取得最

小值－2.

答案：A

5．设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23

－x 2

＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一

个交点，则cos ∠F 1PF 2的值为 ( )

A.1

4 B.13 C.2

3

D ．－13

解析：由题意可知m －2＝3＋1，解得m ＝6.

法一：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)，F 2(0,2)，联立x 22＋y 26＝1与y 2

3－x 2

＝1组成方程组，解得P (22，322)．所以由两点距离公式计算得|PF 1|

＝6＋3，|PF 2|＝6－ 3.

又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2

＋|PF 2|2

－|F 1F 2|2

2|PF 1|·|PF 2|＝13

.

法二：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)．F 2(0,2)，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，|F 1F 2|＝4，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，同上由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝1

3

.

答案：B

6． (2011·东城区模拟)已知双曲线mx 2

－y 2

＝1(m >0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B 、C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为 ( )

A.1

2 B ．1 C ．2

D ．3

解析：由题意可得，点A 的坐标为(

1

m

，0)，设直线AB 的方程为y ＝tan 45°(x －

1

m

)，

即x ＝y ＋

1

m

，与双曲线方程联立可得，⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝y ＋1

m

mx 2－y 2＝1

，则(m －1)y 2

＋2my ＝0，解得

y ＝0或y ＝

2m 1－m .由题意知y ＝2m 1－m 为B 点的纵坐标，且满足2m

1－m

>0，即0

7． (2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，

则它的离心率为________．

解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9

b

2＝1，

考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式

a 2＋

b 2＝

c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2.

答案：2

8．已知双曲线kx 2

－y 2

＝1(k >0)的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．

解析：双曲线kx 2

－y 2＝1的渐近线方程是y ＝±kx .∵双曲线的一条渐近线与直线2x

＋y ＋1＝0垂直，∴k ＝12，k ＝1

4

，∴双曲线的离心率为 e ＝

1

k

＋1

1

k

＝52，渐近线方程为12x ±y ＝0.

答案：

52 1

2

x ±y ＝0 9．P 为双曲线x 2

－y 2

15＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2

＝1

上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．

解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，

r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|

－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.

答案：5 三、解答题