RC电路响应和三要素法解读
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3.6 RL电路的响应
3.3 RC电路的响应
一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线 性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电 路。 求解方法 1. 经典法: 根据激励(电源电压或电流)，通过求解 电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。 2. 三要素法 初始值
C
1 2 3
t
(3) 暂态时间 理论上认为 t
、uC 0电路达稳态 工程上认为 t ( 3 ~ 5) 、 uC 0电容放电基本结束。
t e 随时间而衰减
t
uC
e
t
1 e
2
3
4
5
6
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
课前提问：
图示电路在换路前处于稳定状态，在t=0瞬间将开关S闭合， 则i(0)为( )。
(a)0A
(b)0.6A
(c)0.3A
答：（a）
第3章 电路的暂态分析
3.1 电阻元件、电感元件、电容元件
3.2 换路定则与电压和电流初始值的确定
3.3 RC电路的响应
3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.5 微分电路和积分电路
电阻电压：
dt
R
u R iC
t R U e RC
iC
uR
t
3、uC、iC、u R变化曲线
4. 放电时间常数 令:
(1) 量纲
RC
单位: S
q It RC R R U U
A s Ω s V
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢
(2) 物理意义
当t
时
uC
AU (3) 电容电压 uC 的变化规律
t RC
t0 电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减， 衰减的快慢由RC 决定。
uC U e
uC (0 ) e
t
2. 电流及电阻电压的变化规律 电容电压
t U e RC
uC
放电电流
uC
O
t duC U RC iC C e
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
3.3.2 RC电路的零状态响应
s
i R
零状态响应: 储能元件的初 + t 0 + 始能量为零， 仅由电源激励 U C _ uC _ 所产生的电路的响应。 uC (0 -) = 0 实质：RC电路的充电过程 分析：在t = 0时，合上开关s， 此时, 电路实为输入一 u 个阶跃电压u，如图。 U 与恒定电压不同，其
uR uC U
U _
uC U Ae 方程的通解: uC uC
C
RC
求特解 ---- u'C（方法二）
u'C ( t ) uC () U
duC RC uC 0 的解 通解即： t dt pt 其解：uC Ae Ae RC
微分方程的通解为
求 稳态值 （三要素） 时间常数
零输入响应: 无电源激励, 输 + u– R 入信号为零, 仅由电容元件的 + 1 + uC U 初始储能所产生的电路的响应。 iC – 实质：RC电路的放电过程 图示电路 uC (0 ) U 换路前电路已处稳态 uC (0 ) U t =0时开关 S 1 , 电容C 经电阻R 放电 1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0) (1) 列 KVL方程 uR uC 0 一阶线性常系数 duC 齐次微分方程 C C uR R dt d u 代入上式得 RC C uC 0
t
为什么在 t = 0时 电流最大？
uC U
t ( 1 e RC
iC uC
U R
U
uC
)
4. 充电时间常数 的物理意义 当t=时
iC
t
uC ( ) U (1 e 1 ) 63.2 %U
表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的 63.2% 时所需的时间。
3 .3 .3 RC电路的全响应
求对应齐次微分方程的通解 uC
uC U Ae uC uC
确定积分常数A
t
（令 RC）
根据换路定则在 t=0+时， uC (0 ) 0
则A U
(3) 电容电压 uC 的变化规律
uC
稳态分量
+U 电路达到 6பைடு நூலகம்.2%U 稳定状态 o 时的电压 -36.8%U
U
Ue
t RC
uC
uC
uC
t uC
仅存在 于暂态 过程中
-U
uC U
t ( 1 e RC
暂态分量
) U ( 1 e ) (t 0)
t
2. 电流 iC 的变化规律
duC U iC C e t0 dt R 3. uC 、 iC 变化曲线
t ( t ) U e RC
uC Ue
1
36.8
0 0
U
时间常数 等于电压 uC衰减到初始值U0 的 36.8 0 0
所需的时间。
时间常数
uC Ue RC Ue
U
的物理意义 t
t
τ RC
uc
0.368U 0
1 2 3
时间越长。
越大，曲线变化越慢，u 达到稳态所需要的
3 .3 .1 RC电路的零输入响应 2 t 0
S
R
c
dt
duC pt (2) 解方程： RC uC 0 通解 : uC A e dt 1 特征方程 RCP 1 0 P
齐次微分方程的通解：
由初始值确定积分常数 A
uC A e RC
RC t
根据换路定则 ，t (0 )时，uC (0 ) U , 可得
0 t0 电压u表达式 u U t 0
O 阶跃电压
t
3.3.2 RC电路的零状态响应
1. uC的变化规律 (1) 列 KVL方程 +
t 0
s
i R C
+ _ uc
duC RC uC U uC (0 -) = 0 dt 方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解 uC 即 uC ( t ) uC 一阶线性常系数 (2) 解方程 duC RC uC U 非齐次微分方程 求特解 u'C ： dt dK 设：u'C K 代入方程, U RC K dt 解得：K U 即：u' U t
3.3 RC电路的响应
一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线 性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电 路。 求解方法 1. 经典法: 根据激励(电源电压或电流)，通过求解 电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。 2. 三要素法 初始值
C
1 2 3
t
(3) 暂态时间 理论上认为 t
、uC 0电路达稳态 工程上认为 t ( 3 ~ 5) 、 uC 0电容放电基本结束。
t e 随时间而衰减
t
uC
e
t
1 e
2
3
4
5
6
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
课前提问：
图示电路在换路前处于稳定状态，在t=0瞬间将开关S闭合， 则i(0)为( )。
(a)0A
(b)0.6A
(c)0.3A
答：（a）
第3章 电路的暂态分析
3.1 电阻元件、电感元件、电容元件
3.2 换路定则与电压和电流初始值的确定
3.3 RC电路的响应
3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.5 微分电路和积分电路
电阻电压：
dt
R
u R iC
t R U e RC
iC
uR
t
3、uC、iC、u R变化曲线
4. 放电时间常数 令:
(1) 量纲
RC
单位: S
q It RC R R U U
A s Ω s V
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢
(2) 物理意义
当t
时
uC
AU (3) 电容电压 uC 的变化规律
t RC
t0 电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减， 衰减的快慢由RC 决定。
uC U e
uC (0 ) e
t
2. 电流及电阻电压的变化规律 电容电压
t U e RC
uC
放电电流
uC
O
t duC U RC iC C e
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
3.3.2 RC电路的零状态响应
s
i R
零状态响应: 储能元件的初 + t 0 + 始能量为零， 仅由电源激励 U C _ uC _ 所产生的电路的响应。 uC (0 -) = 0 实质：RC电路的充电过程 分析：在t = 0时，合上开关s， 此时, 电路实为输入一 u 个阶跃电压u，如图。 U 与恒定电压不同，其
uR uC U
U _
uC U Ae 方程的通解: uC uC
C
RC
求特解 ---- u'C（方法二）
u'C ( t ) uC () U
duC RC uC 0 的解 通解即： t dt pt 其解：uC Ae Ae RC
微分方程的通解为
求 稳态值 （三要素） 时间常数
零输入响应: 无电源激励, 输 + u– R 入信号为零, 仅由电容元件的 + 1 + uC U 初始储能所产生的电路的响应。 iC – 实质：RC电路的放电过程 图示电路 uC (0 ) U 换路前电路已处稳态 uC (0 ) U t =0时开关 S 1 , 电容C 经电阻R 放电 1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0) (1) 列 KVL方程 uR uC 0 一阶线性常系数 duC 齐次微分方程 C C uR R dt d u 代入上式得 RC C uC 0
t
为什么在 t = 0时 电流最大？
uC U
t ( 1 e RC
iC uC
U R
U
uC
)
4. 充电时间常数 的物理意义 当t=时
iC
t
uC ( ) U (1 e 1 ) 63.2 %U
表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的 63.2% 时所需的时间。
3 .3 .3 RC电路的全响应
求对应齐次微分方程的通解 uC
uC U Ae uC uC
确定积分常数A
t
（令 RC）
根据换路定则在 t=0+时， uC (0 ) 0
则A U
(3) 电容电压 uC 的变化规律
uC
稳态分量
+U 电路达到 6பைடு நூலகம்.2%U 稳定状态 o 时的电压 -36.8%U
U
Ue
t RC
uC
uC
uC
t uC
仅存在 于暂态 过程中
-U
uC U
t ( 1 e RC
暂态分量
) U ( 1 e ) (t 0)
t
2. 电流 iC 的变化规律
duC U iC C e t0 dt R 3. uC 、 iC 变化曲线
t ( t ) U e RC
uC Ue
1
36.8
0 0
U
时间常数 等于电压 uC衰减到初始值U0 的 36.8 0 0
所需的时间。
时间常数
uC Ue RC Ue
U
的物理意义 t
t
τ RC
uc
0.368U 0
1 2 3
时间越长。
越大，曲线变化越慢，u 达到稳态所需要的
3 .3 .1 RC电路的零输入响应 2 t 0
S
R
c
dt
duC pt (2) 解方程： RC uC 0 通解 : uC A e dt 1 特征方程 RCP 1 0 P
齐次微分方程的通解：
由初始值确定积分常数 A
uC A e RC
RC t
根据换路定则 ，t (0 )时，uC (0 ) U , 可得
0 t0 电压u表达式 u U t 0
O 阶跃电压
t
3.3.2 RC电路的零状态响应
1. uC的变化规律 (1) 列 KVL方程 +
t 0
s
i R C
+ _ uc
duC RC uC U uC (0 -) = 0 dt 方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解 uC 即 uC ( t ) uC 一阶线性常系数 (2) 解方程 duC RC uC U 非齐次微分方程 求特解 u'C ： dt dK 设：u'C K 代入方程, U RC K dt 解得：K U 即：u' U t