电工学 15三要素法 PPT

Q2(t=0.12S)
Q1(t=0)
+ _50V
20KΩ 30KΩ
21
+ uC_
10μF
_
10V
+
答案
uC
(t)
=
30
−
−
40e
t
0.12）V
0 < t ≤ 0.12s
uC (0.12− ) = 15.28V
− (t −0.12)
uC (t ) = 15.28e 0.3 V t > 0.12s
三要素法应用举例
C
L
+
+
+
+
ε (t) -
N0
u2
ε (t )
-
-
N0
u2
-
答案 u2 (t ) = (0.625 − 0.125e−t )ε (t)V
例：图 示电路是RC分压器的电路模型，试求输出电
压uC2(t)的响应。
解：由于将图示电路中的电
压源用短路代替后，电容C1 和C2并联等效于一个电容， 说明该电路是一阶电路，其
电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为欠补偿，后 者称为过补偿。
结束
3
今日作业：
6-9 6-11
6.4 一阶电路的一般求解方法 ——三要素法
) −t f (t ) = f (∞) + [ f (0+ ) − f (∞)]e τ
其中：
1、 f (0+ )为电路初始值； 2、 f (∞)新的稳态解；
3、τ C
=
RC ,τ L
=
L。 R
三要素法仅适用于直流或正弦交流作用下的一阶电路！
时间常数为
RC分压器的电路模型
τ=
RoCo
=
R1 R2 R1 + R2
(C1 + C2 )
现在计算初始值uC2(0+)。在t<0时，ε(t)=0，电路处于 零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应 该满足以下KVL方程
uC1(0+ ) + uC2 (0+ ) = 1V
uC2 (∞)
=
R2 R1 + R2
× 1V
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用三要素公式得到输出电压的表达式为：
uC2 (t)
=
⎡ ⎢ ⎣
R1
R2 +
R2
+
⎜⎜⎝⎛
C1
C1 +C
2
−
R2 R1 + R2
⎟⎟⎠⎞e
−t τ
⎤ ⎥ ⎦
ε (t)
V
改变电容C1可以得到三种情况： 当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳
态值，这种情况称为完全补偿； 当R1C1<R2C2或R1C1>R2C2时，暂态分量不为零，输出
三要素法应用举例
例2：t < 0时电路稳定，t = 0时开关Q闭合，求t > 0后的iL (t)， 并定性地画出它的曲线。
Q(t=0)
iL
+ _25V
3Ω
6Ω
2Ω
+
16V
2H
_
答案
−t
iL(t) = 5.5 − 3.5e 0.5A t > 0
三要素法应用举例
例3：t < 0时电路稳定，t = 0时开关Q从1合向2，求t > 0后 的i(t )，并定性地画出它的曲线。
+ 6Ω
+
u
3Ω
_ _12V
3H
答案
iL (t ) = 1 + 2e−2t A t > 0 u(t ) = 3 - 6e-2tV t > 0
1
三要素法应用举例
例5：t < 0时电路稳定,且uC(0- )=0，t = 0时开关Q1闭合，在t=6μs时 再合上开关Q2 ,求t > 0后的uC (t)，并定性地画出它的曲线。
−t
uC (t) = −6 + 6e V 5×10-7 u0 (t ) = −6e V −3×106 ×(t −2×10-6 ) t > 2μ s
2
三要素法应用举例
已知N0为电阻电路，uS(t)=ε(t)，C=2F，其零状 态响应u2(t)=(0.5+0.125e-0.25t) ε(t)V，如果用 L=2H的电感替代电容，求其零状态响应u2(t)。
三要素法应用举例
例1：t < 0时电路稳定，t = 0时开关Q闭合，求t > 0后的uC (t)、 i (t )，并定性地画出它们的曲线。
Q(t=0) 2KΩ i
+ _24V
2KΩ
iC
+ uC_ 3μF
答案
uC
(t
)
=
12
−
−
12e
t 3×10−3
V
t >0
−t
i(t) = 6 + 6e mA 3×10−3 t > 0
Q(t=0)
1
_
3V
+
i
1Ω
2
+
_3V
iL
1Ω 2Ω
3H
答案
−t
i(t ) = 1.8 − 1.6e 1.8 A t > 0
三要素法应用举例
例4：t < 0时电路稳定，t = 0时开关Q从1合向2，求t > 0后 的iL (t )和u(t)，并定性地画出它的曲线。
Q(t=0) iL
12
6A
6Ω 6Ω
例9：t < 0时Q断开，电路稳定,求t > 0后的u0 (t )，并定性地画出它的曲线。
3KΩ
+ _30V
2KΩ 1KΩ
Q(t=100mS)
+
2KΩ
+ u0
Q (t=0)
uC
5µF -
_
答案
−t
u0 (t ) = 12 + 6.75e V 4×10-3 0 < t ≤ 100ms
- t-100×10-3
u0 (t ) = 15 − 3.86e 1.75×10-2 V t > 100ms
三要素法应用举例
例10：t < 0时电路稳定,求t > 0后的u0 (t)，并定性地画出它的曲线。
答案
5KΩ
+
_12V
Q(t=2µS)
100pF
10KΩ Q (t=0)
+
5KΩ u0
_
−t
u0 (t ) = 3 + 3e ）V 5×10-7 0 < t ≤ 2μ s
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个节 点的各电容总电荷量保持恒定(此例中总电荷为零)，由此 得到以下方程
− C1uC1(0+ ) + C2uC2 (0+ ) = 0
解得：
uC2 (0+ )
=
C1 C1 + C2
× 1V
在t>0时，该电路是由1V电压源激励的一阶电路，可以 用三要素法计算。当t→∞电路达到直流稳态时，电容相当 开路，输出电压的稳态值为
三要素法应用举例
例7：t < 0时电路稳定,求t > 0后的iL (t)和uC(t)。
3Ω
10KΩ
+ 10μF _uC
Q(t=0)
+ _6V
iL 0.1H
1A 3Ω
答案
uC (t ) = 6(1 − e−10t )V
t>0
iL (t ) = 3 − 2e−15t A t > 0
三要素法应用举例
例8：t < 0时电路稳定,Q1从1合向2，经0.12S后，Q2断开， 求t > 0后的uC (t)，并定性地画出它的曲线。
Q1(t=0) 6Ω
Q2(t=6μS)
+ _24V
+ uC_ 1μF
18Ω
答案
uC
(t)
=
2（4 1
−
−
e
t
）V 6×10−6
uC (6+ ) = uC (6− ) = 15.2V
uC
(t
)
=
18
−
−
2.8e
t −6×10−6 4.5×10−6
V
0 < t ≤ 6μ s t > 6μ s
三要素法应用举例
例6：t < 0时电路稳定,求t > 0后的i(t)和i1(t)。
20μF
iC i1
100Ω
Q(t=0)
iL i i2
150Ω
+ 6_0V
100Ω 0.1H
答案
iC (t ) = −0.24e −500t A
t>0
i(t ) = 0.24e −500t − 0.24e −1000t A
t>0
i1 (t ) = 0.4 + 0.24e −500t − 0.24e −1000t A t > 0