APT 模型

APT 模型
套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory,简称APT)是由斯蒂夫•罗斯(Stephen Ross)于1976年提出的（在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”）。

他试图提出一种比CAPM 传统更好的解释资产定价的理论模型。

经过十几年的发展，APT 在资产定价理论中的地位已不亚于CAPM 。

APT 的研究思路
研究者拓展问题的思路是：首先，分析市场是否处于均衡状态；其次，如果市场是非均衡的，分析投资者会如何行动；再次，分析投资者的行为会如何影响市场并最终使市场达到均衡；最后，分析在市场均衡状态下，证券的预期收益由什么决定。

套利定价理论认为，套利行为是现代有效率市场形成（亦即市场均衡价格形成）的一个决定因素。

套利定价理论认为，如果市场未达到均衡状态的话，市场上会存在无风险的套利机会。

一、因素模型
套利定价理论的出发点是假设证券的回报率与未知数量的未知因素相联系。

套利定价理论是利用因素模型来描述资产价格的决定因素和均衡价格的形成机理的。

因素模型是一种统计模型。

（一）单因素模型：
单因素模型认为证券收益率受到一种因素的影响，一般可以用下面的方程来表示单因素模型：
这里， 是因素值， 是证券对这一影响因素的敏感度，即因素F 对于风险资产i 的收益率的影响程度，称它为灵敏度(sensitivity)或者因素负荷（factor loading ）。

如果因素等于零，这种证券的收益率等于
因素每变动一个单位，收益率 增减 单位。

是随机误差项，它是一个期望值为零、标准差等于 的随机变量。

根据单因素模型中参数的估计，证券i 的预期收益率可以写成：
其中 项表示因素预期值为零时证券i 的预期收益率。

（二）多因素模型
在现实经济中，影响预期收益率改变的因素往往有若干种，因此用多因素模型取代单因素模型分析证券的收益率，将会更切合实际。

我们首先从多因素模型的特列：两因素模型入手。

1.两因素模型
假定收益率决定模型中含有两种因素，模型表达如下：
（11.5） 这里， 和 是影响证券收益率的两个因素； 和 是证券i 对这两个因素的灵敏度；同前面一样， 为随机误差项； 是当两个因素为零时证券i 的预期收益率。

根据上述参数估计值，通过下式可得到证券i 的预期收益率：
（11.6） 如果因素间不存在相关关系，对于任意一种证券，它的方差是：
（11.7） 任意两种证券i 和j 的协方差是：
i i i i r a b F ε=++F i b i r i b i i a ε+i εi εσi i i r a b F =+i a 1122i i i i i r a b F b F ε=+++1F 2F 1i b 2i b
i εi a 1122i i i i r a b F b F =++2222221122i i F i F i
b b εσσσσ=++
（11.8） 如果因素之间存在相关关系，需要运用更复杂的方程来估计方差和协方差。

与单因素模型相似，一旦运用上述方程估计出每一种证券的预期收益率、方差和协方差，投资者就可找出马可维茨有效组合，加上无风险收益率，就能确定切点处的证券组合，继而根据投资者的无差异曲线决定最优证券组合
2.多因素模型
多因素模型是两因素模型的扩展，既把多种因素纳入到收益率方程中。

多因素模型的一般形式如下：
（11.9） 多因素模型表明，具有相同的因素敏感性的证券或组合除了非因素风险以外，将以相同的方式行动。

因而，具有相同的因素敏感性的证券或组合必要求有相同的预期回报率。

如不然，“准套利”机会便会存在，投资者将利用这些机会，最终使得其消失。

这就是套利定价理论的最本质的逻辑。

二、套利组合
根据套利定价理论，投资者会竭力发掘一个套利组合的可能性，以便在不增加风险的情况下，增加组合的预期收益率。

套利组合一般具有三个特点：
首先，它是一个不需要投资者任何额外资金的组合，如果 表示投资者对证券i 的持有量的变化（因此也表示套利组合中证券i 的权数），套利组合的这一要求可以表述为：
其次，套利组合对任何因素都没有敏感性，因为组合对某一因素的敏感性恰好是组合中各证券对该因素的敏感性的加权平均，套利组合的这一性质可表述为：
第三，套利组合的预期收益率必须为正，即：
当满足上面三点要求时，该组合就是一个套利组合。

一个套利组合对任何一个渴望髙收益而不关心非因素风险的投资者都有吸引力。

它不需要任何资金，没有任何因素风险，却能带来正的预期收益。

三、套利定价模型（APT Model)
（一） 关于套利定价模型的假设
1.无摩擦的市场。

即不存在交易费用和税收，所有证券无限可分；
2.无操纵的市场。

任何单独的投资者行为都不足以影响资产的市场价格，他们都是价格的接受者；
3.无制度限制。

允许卖空，并且可以自由支配卖空所得；
4.资产收益由因素模型决定。

投资者相信证券i 的收益受到n 个因素的共同影响，证券的收益与因素间的关系可以用n 因素模型表示：
（11.13）
在这里， 是任意证券i 的收益， 是证券i 的预期收益， 是证券i 对n 因素的敏感度。

5.同质预期；
6.市场上存在一种无风险证券
7.在均衡时刻不存在套利均衡。

22111222ij i j F i j F b b b b σσσ=+1122i i i i ij j j r a b F b F b F ε=+++
++1230x x x ++=1122330x b x b x b ++=1122330x r x r x r ++=()1122i i i i in n j r E r b F b F b F ε=+++++i r ()i E r in b
（二）套利定价模型
因素模型没有描绘在均衡状态时的状况，我们需要将因素模型转换成一个均衡模型。

APT 的推导是基于以下两点：
（1）在一个有效市场中，均衡状态下，不存在无风险的套利机会。

（2）对于一个高度分散化的资产组合来说，只有几个共同因素需要补偿。

证券与这些共同因素的关系为：
（11.14）
其中， 是投资者承担一个单位n 因素风险的补偿额，风险大小由 表示。

上述（11.14）便是套利定价模型的表达式。

可以看到，套利定价理论中的资产定价方程可以分解为两个部分：（1）无风险利率；
（2）因素风险收益率。

套利定价模型可以表述为：一种证券的预期收益率将与它的影响因素现性相关，截距等于无风险收益率。

(三)如何构造一个单因素资产组合？
在多元化的资产组合中，各个资产对某种因素有着不同的敏感度，因此，从理论上说，我们可以通过对资产进行适当的组合而使得资产组合对某一因素的敏感度为0或1。

一个例子：
假设我们令x 3 ＝0，此时可以通过 x 1＝0.8，x 2 ＝0.2来构造一个纯因素1的组合，即令组合对第一个因素的 b i1值等于1，且对第二个因素的 b i2值等于0。

四、APT 与CAPM 对比分析
1．套利定价模型（APT ）跟资本资产定价模型（CAPM ）一样，是证券价格的均衡模型。

2. APT 比CAPM 需要更少的限制性的假设。

套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM 模型)更少、更合理。

相对于CAPM 来说，APT 的假设条件没有那么严格，不会考虑税收因素，不用要求无风险利率借贷，也没有假设只有市场风险影响资产的预期收益。

3. APT 与CAPM 的作用十分相似。

它可以作为公平收益率，因此可用于资本预算、证券估价或投资业绩评估。

并且，套利定价理论还可以说明两种风险之间更严格的区别：不可分散风险（系统风险）要求风险溢价形式的回报，而可分散风险则没有这样的回报要求。

五、套利定价理论的意义
套利定价理论导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。

套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基础，认为证券收益率与一组因子线性相关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素。

事实上，当收益率通过单一因子(市场组合)形成时，将会发现套利定价理论形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。

因此，套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价模型，为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。

套利定价理论与现代资产组合理论、资本资产定价模型、期权定价模型等1122i f i i in n r r b b b λλλ=+++
+n λin b
一起构成了现代金融学的理论基础。