动态规划--运筹学课程设计

湖南农业大学

综合设计报告

综合设计五

动态规划算法

学生姓名：曾俊扬

学号：200840204219

年级专业：2008级信息与计算科学2班

指导老师：王明春老师

学院：理学院

评阅成绩：

评阅意见：

成绩评定教师签名：时间：

湖南·长沙

提交日期：2011年6月

动态规划之最短线路问题

1设计目的、要求

熟悉动态规划的相关概念，掌握使用动态规划的基本方法求解生活实际问题。本设计主要研究最短路问题，利用JAVA 实现最短路算法。

2设计原理

在求解的各个阶段，利用了k 阶段与k+1阶段之间的递推关系：

{}11()55444()min (,())()4,3,2,1

()0(()(,))

k k k k k k k k k k u D s f s d s u s f s k f s f s d s E ++∈⎧=+=⎪⎨==⎪⎩或

3采用软件、设备

微型电子计算机、MyEclipse 6.5

4设计内容

1.动态规划基本认识：

动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。该方法是由美国数学家贝尔曼(R ．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。

动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。

本设计从实际问题展开对动态规划算法最短路问题的实现。

2.实际问题：某工厂需要把一批货物从城市A 运到城市E ，中间可经过B 1 、

B 2、B 3、

C 1、C 2、C 3、

D 1、D 2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A 到

E 的距离最短？

3.分析求解：基本概念及相关符号

(1) 阶段

把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n 表示，用字母k 表示阶段变量。 (2) 状态

状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母s k 表示第k 阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用S k 表示。 (3) 决策

当系统在某阶段处于某种状态，可以采取的行动（或决定、选择），从而确定下一阶段系统将到达的状态，称这种行动为决策。描述决策的变量，称为决策变量。常用字母u k (s k )表示第k 阶段系统处于状态s k 时的决策变量。决策变量的取值范围称为决策集，用D k (s k )表示。

下面利用动态规划的逆推归纳法，将问题从最后一个城市E 逐步推算到第一个城市A ，在此()k k f s 表示第k 阶段从城市s k 到城市E 最短路。

1）当 k = 4 时，由于第四阶段只有两个城市 D 1、D 2

显然，*41141()(,)4,()f D d D E u D E ===，*

42242()(,)3,()f D d D E u D E ===。

2）当 k = 3 时，s 3取值C 1、C 2、C 3 ,从C 1出发到E 有两条路，一条是经过

D 1到

E ，另一条是经过D 2到E ，显然：

1141*31311

1242(,)()34()min min 7,

()(,)()53d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫

====⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭

即从1C 到E 的最短距离是7，相应的决策为*311()u C D =，最短路线是

11C D E →→。

同理 2141*323222242(,)()64()5,

()(,)()23d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫

====⎨

⎬⎨⎬++⎩⎭

⎩⎭

3141*333313242(,)()14()5,

()(,)()33d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫

====⎨⎬⎨⎬++⎩⎭

⎩⎭

3）当 k = 2 时，s 2的取值为B 1、B 2、B 3，从B 1出发到E 有三条路，分别是

经过C 1、C 2、C 3到E ，则有：

1131*2112322121333(,)()67()(,)()459,

()55(,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪

=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪

++⎩⎭⎩

⎭

同理 2131*2222322232333(,)()87()(,)()7511,

()65(,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫

⎪⎪⎪⎪

=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪

++⎩⎭⎩⎭

3131*233232233333(,)()77()(,)()8512,

()75(3,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫

⎪⎪⎪⎪

=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪

++⎩⎭⎩

⎭

4）当k = 1时，s 1的只有一个取值为A. 从A 出发到E 有三条路，分别经

过B 1、B 2、B 3到E ，则有：

121*122211323(,)()89()min (,)()min 91117,

()612(,)()d A B f B f A d A B f B u A B d A B f B ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪

=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪

++⎩⎭⎩

⎭

于是得到从A 到E 的最短距离17，为了找出最短路线，按计算的顺序逆

推回去，可得到最优策略为：

****1,41121232242(){(),(),(),()}p A u A B u B C u C D u D E =====， 最短路线是A →B 1→C 2→D 2→E 。

4.代码实现： 利用MyEclipse 采用java 语言实现对实际问题的代码求解 （1）创建了两个类Node 、Status

Node 是节点类，对应于各城市，包含节点标识（id ）、指向（所指向的节 点）以及对应的权值即距离三个属性，方法getW()用于获得两节点之间的距离。

Status 是阶段类，对应于各决策阶段，包含阶段标识（id)、节点数、节点三个属性。

（2）主程序：ShortLineDemo.java 创建各节点，生成各阶段状态。 遍历各状态中的各节点：

for(int i=s.length-1;i>=0;i--){ System.out .print("k="+(i+1)+"时，"); for(int j=0;j