8-2正态分布均值的假设检验
概率论与数理统计 8-2
H 0 : µ ≤ µ 0 = 225, H 1 : µ > 225,
取 α = 0.05, n = 16, x = 241.5, s = 98.725 0.6685 t0.05 (15) = 1.7531 > t = s/ n
故接受 H 0 , 认为元件的平均寿命不 大于 225小时.
n = 15,
x = 10.48, α = 0.05, s = 0.237,
x − µ 0 10.48 − 10.5 t = = t分布表 = 0.327, s/ n 0.237 / 15 查表得 tα / 2 ( n − 1) = t 0.025 (14) = 2.1448 > t = 0.327, 故接受 H 0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化 .
n2 = 10,
y = 79.43, s2 = 2.225,
2
且s
2 w
(10 −1)s + (10 −1)s = = 2.775, 10 + 10 − 2
2 1 2 2
查表可知 t0.05 (18) = 1.7341,
查表8.1知其拒绝域为 查表 知其拒绝域为 t ≤ − tα ( n1 + n2 − 2). x− y = −4.295, 因为 t = 1 1 sw + 10 10
某切割机在正常工作时, 例1 某切割机在正常工作时 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是 标准差是0.15cm, 今从一批产 平均长度为 品中随机的抽取15段进行测量 其结果如下: 段进行测量, 品中随机的抽取 段进行测量 其结果如下 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2
根据第六章 第六章§ 定理四 定理四知 当H 0为真时, 根据第六章§2定理四知,
正态总体均值的假设检验
上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。
2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。
类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。
右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。
例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。
我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。
8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。
例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。
将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。
比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。
上面，我们假定 σ12=σ22。
当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。
通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。
J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。
正态分布均值的假设检验
VS
详细描述
在单样本均值假设检验中，我们首先需要 确定一个期望的均值，然后计算样本的均 值。通过比较这两个值，我们可以判断样 本均值是否显著地偏离了期望的均值。常 用的统计量包括z分数和t分数，用于评估 样本均值与已知期望值之间的差异是否具 有统计学上的显著性。
双样本均值的假设检验
总结词
双样本均值的假设检验是检验两个独立样本的均值是否存在显著差异。
详细描述
在双样本均值假设检验中，我们需要比较两个独立样本的均值。通过计算两组样本的均值，并比较这两个值，我 们可以判断两个样本的均值是否存在显著差异。常用的统计量包括t检验和z分数，用于评估两个样本均值之间的 差异是否具有统计学上的显著性。
配对样本均值的假设检验
总结词
配对样本均值的假设检验是检验两个相关样本的均值是否存在显著差异。
Part
0（H0）
样本数据来自的总体均值等于某一固 定值。
备择假设（H1）
样本数据来自的总体均值不等于该固 定值。
选择合适的检验统计量
• 常用的检验统计量有t统计量、Z统计量等，根据具体情况选择合适的统计量。
确定显著性水平
• 显著性水平（α）：在假设检验中，原假设为真但被拒绝 的概率，通常取值在0.01至0.05之间。
正态分布在统计学中的重要性
基础性
正态分布是统计学中最重要的概 率分布之一，许多统计方法和理 论都基于正态分布。
广泛应用性
正态分布在自然和社会科学领域 都有广泛的应用，如生物学、医 学、经济学、心理学等。
理论依据
正态分布在统计学中提供了理论 依据，许多统计推断和决策方法 都基于正态分布的性质和假设。
1 2
判断假设是否成立
通过假设检验，可以判断一个假设是否成立，从 而为进一步的研究或决策提供依据。
正态分布的假设检验方法
正态分布的假设检验方法正态分布的假设检验方法假设检验是统计学中一种重要的方法，用于确定数据样本是否支持某个假设。
正态分布的假设检验方法是一种常用的假设检验方法，用于检验数据是否符合正态分布。
正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，也是自然界中许多现象的模型。
正态分布的特点是均值和标准差唯一确定，呈钟形对称分布。
在实际应用中，我们常常需要通过样本数据来判断总体是否符合正态分布。
下面将介绍正态分布的假设检验方法。
首先，我们需要明确假设检验的零假设和备择假设。
在正态分布的假设检验中，零假设通常是总体符合正态分布，备择假设则是总体不符合正态分布。
其次，我们需要选择适当的检验统计量。
在正态分布的假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本方差和样本偏度等。
根据具体问题的不同，选择合适的检验统计量进行计算。
然后，我们需要确定显著性水平。
显著性水平是决定是否拒绝零假设的临界值。
通常，我们选择显著性水平为0.05或0.01，即5%或1%的显著性水平。
接下来，我们计算检验统计量的观察值。
根据样本数据，计算得到检验统计量的观察值。
然后，我们需要计算检验统计量的临界值。
根据显著性水平和自由度，查找对应的临界值。
最后，我们比较观察值和临界值。
如果观察值大于临界值，则拒绝零假设，认为数据不符合正态分布；如果观察值小于等于临界值，则接受零假设，认为数据符合正态分布。
除了以上介绍的基本方法，正态分布的假设检验还有一些常用的方法，如Shapiro-Wilk检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
这些方法可以在不同情况下应用，以提高假设检验的准确性和可靠性。
总结起来，正态分布的假设检验方法是一种常用的假设检验方法，用于检验数据是否符合正态分布。
通过确定零假设和备择假设、选择适当的检验统计量、确定显著性水平、计算观察值和临界值，并比较它们的大小，我们可以得出数据是否符合正态分布的结论。
在实际应用中，我们还可以借助其他的假设检验方法，如Shapiro-Wilk检验和Kolmogorov-Smirnov检验，以提高假设检验的准确性和可靠性。
概率论与数理统计02-82.2 两个正态总体均值的检验_70
第八章假设检验第二节正态总体均值的假设检验2. 两个正态总体在寿命问题中提出了两个正态总体均值是否相等的假设012:H μμ=112:H μμ≠这种情形经常发生在当研究对象的外界条件发生了改变时，判断研究对象是否受到了这种影响.检验统计量如何构造呢？例3对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，得到的试验数据如下：方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30，29，32，31方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31，29，32，28设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从正态分布，且方差相等．比较两种方法所得金属材料的平均抗拉强度有无显著差异（）.05.0=α).,(),,(2221σμσμN N 解：记两总体的正态分布为.:,:211210μμμμ≠=H H 本题是要检验假设关键问题在于找到拒绝域12k μμ->X Y k->121212()()~(2),11w X Y t n n S n n μμ---+-+222112212(1)(1)2w n S n S S n n -+-=+-其中12221212()()~(0,1)X Y N n n μμσσ---+).,(),,(2221σμσμN N 解：记两总体的正态分布为.:,:211210μμμμ≠=H H 本题是要检验假设1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+检验统计量为21212||(2)11w x y t t n n S n n α-=≥+-+拒绝域为,1221==n n ,75.31=x .67.28=y ,25.112)1(211=-s n ,64.66)1(222=-s n .85.2=w s .647.26185.2|67.2875.31|11||||21=-=+-=n n s y x t w 计算统计值074.2)22()2(025.0212==-+t n n t α查t 分布表，得/212||(2)t t n n α>+-统计判决：由于故拒绝H 0.即认为两种热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度有显著差异．解：休息一下吧。
概率论与数理统计第八章假设检验
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
第二节 正态总体均值的假设检验8-2
14
三、基于成对数据的检验（t 检验）:
设X和Y是两个正态总体, 均值分别为 1 和 2 ， X 和 Y不是相互独立的。取成对样本 : (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , … , ( Xn , Yn )。 要检验： H0 : 1 = 2 , H1 : 1 ≠ 2 . 可以把这个问题转化成单个总体的假设检验 ， 令Z = X - Y , 它服从 N ( , 2) , 这里 (= 1- 2) , 2 均未知。 Zi = Xi – Yi (i=1 , 2 , … , n)是来自该正态总体的样本。 显然 , 检验 H0 : 1= 2 , H1 : 1 ≠ 2 等价于检验 H0 : =0 , H1: ≠0,
11
例 2. 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建 议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行 的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能 做到相同. 先用标准方法炼一炉, 然后用建议的方法 炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为: 标准方法: 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 新方法: 79.1 76.0 81.0 75.5 76.7 77.3 80.0 77.3 79.1
16
解: 分别作各对数据的差 zi = xi - yi ，如上表 ,
并假设 z1 , z2 , … , z9 来自正态总体N ( , 2 ) ,
这里 , 2 均属未知 。若两台仪器的性能一样, 则各对数据的差异可看作是随机误差, 而随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零， 因此本题归结为检验假设: H0: =0 , H1: ≠ 0. 由前面的结论知，可取 T =
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?
解 : 按题意需检验 H 0 : 0 = 225 , H 1 : > 225 . X- 取 a = 0 .05，统计量： t = 。 S n 当 H 0 成立时，由 X - 0 S n X- S n ，
正态分布假设检验
正态分布假设检验一、概述正态分布假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断一个数据集是否符合正态分布。
正态分布是指在统计学中，当数据集的频率分布呈钟形曲线时，称其为正态分布。
正态分布在实际应用中非常广泛，因为许多自然现象都遵循这种分布规律。
对于一个数据集而言，如果它符合正态分布，则可以使用一系列的统计方法进行进一步的研究和分析。
二、检验方法1. 假设检验假设检验是指通过样本数据来推断总体参数的方法。
在正态分布假设检验中，我们需要对总体均值和标准差进行假设检验。
具体而言，我们需要提出原假设和备择假设两个假设：原假设：样本数据符合正态分布；备择假设：样本数据不符合正态分布。
在进行实际计算时，我们需要根据样本数据来计算出样本均值和标准差，并使用这些数据来推断总体均值和标准差是否符合正态分布。
2. 正态概率图正态概率图是判断一个数据集是否符合正态分布的常用方法之一。
它通过将数据集的分位数与正态分布的分位数进行比较，来判断数据集是否符合正态分布。
具体而言，正态概率图将数据集的每个值按照从小到大的顺序排列，并计算出每个值对应的标准化值（即该值与样本均值之间的差除以样本标准差）。
然后，将这些标准化值按照从小到大的顺序排列，并绘制在图表上。
如果数据集符合正态分布，则这些标准化值应当近似于一个直线。
3. 偏度和峰度检验偏度和峰度是用来描述一个数据集形态特征的指标。
在正态分布中，偏度为0，峰度为3。
因此，在进行正态分布假设检验时，我们可以通过计算样本偏度和峰度来判断样本是否符合正态分布。
具体而言，如果样本偏度和峰度与正态分布相差不大，则可以认为样本符合正态分布。
三、实例演示以下是一个实例演示，在Python中使用scipy库进行正态分布假设检验：```pythonimport numpy as npfrom scipy import stats# 生成100个随机数data = np.random.normal(0, 1, 100)# 进行正态性检验k2, p = stats.normaltest(data)alpha = 0.05# 输出检验结果print("p = {}".format(p))if p < alpha:print("数据不符合正态分布")else:print("数据符合正态分布")```在上述代码中，我们首先生成了一个包含100个随机数的数据集。
正态总体均值的假设检验
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
3．大样本单个正态总体均值的检验
设总体为 X ，它的分布是任意的，方差 2 未知， X1 ，X2 ， ，Xn 为 来自总体 X 的样本，H0 ： 0（ 0 已知）．当样本容量 n 很大（ n 30 ）
时，无论总体是否服从正态分布，统计量 t X 0 都近似服从正态分 S/ n
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，故选取统计量
H0 ： 0 72，H1 ： 72 ． t X 0 ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | | t |
x 0
s/ n
t
/
2
(n
1)
．
又知 n 26，x 74.2，s 6.2，查表得 t /2 (25) t0.025 (25) 2.06 ，则有 | t | x 0 74.2 72 1.81 2.06 ， s/ n 6.2/ 26
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，取检验统计量
H0 ： 0.8，H1 ： 0.8 ．
t X 0 ~ t(n 1) ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | t x 0 s/ n
t (n 1) ．
又知 n 16 ，x 0.92，s 0.32 ，查表得 t0.05 (16 1) t0.05 (15) 1.75，则有 t x 0 0.92 0.8 1.50 1.75 ， s/ n 0.32/ 16
假设检验 H0 ： 0 ，H1 ： 0 的拒绝域为 W {t | t t (n 1)}．
（7-8） （7-9）
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
8.2正态总体均值的假设检验
t t ( n1 n2 2).
x y 因为 t 4.295, 1 1 sw 10 10
t0.05 (18) 1.7341,
所以拒绝 H 0 ,
即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.
例5 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台机床加工 的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
或 H0： 0；H1：0
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
2、方差未知 问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0 构造T统计量 T X 0 ~ t (n 1)
t检验 双边检验
X 0 由 P t 2 (n 1) S n 确定拒绝域 T t 2 (n 1) x 0 如果统计量的观测值 T t 2 (n 1) S n
则拒绝原假设；否则接受原假设
S
n
例2 化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态 分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包 装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平 均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包 装机工作正常？（=0.1） 解 由题意可知：化肥重量X~N（，2），0=100 方差未知，要求对均值进行检验，采用T检验法。
得 k t / 2 (n1 n2 2).
故拒绝域为
( x y) t t / 2 ( n1 n2 2). 1 1 sw n1 n2
正态总体下参数的假设检验
正态分布的性质
1 2
3
集中性
正态分布的曲线关于均值$mu$对称。
均匀性
正态分布的曲线在均值附近最密集，向两侧逐渐扩散。
稳定性
正态分布的方差$sigma^2$决定了曲线的宽度，方差越大 ，曲线越宽。
正态分布在统计学中的应用
两个总体比例的比较案例
案例描述
某项调查显示，某地区支持甲政 策的居民占60%，支持乙政策的 居民占40%。现从该地区随机抽 取200名居民进行调查，得到支持 甲政策的居民有120名，支持乙政 策的居民有80名。
检验步骤
首先计算两组的样本比例和支持 率，然后根据正态分布的性质计 算临界值，最后根据临界值判断 两组之间是否存在显著差异。
检验步骤
首先计算两组的样本均值和标准差，然后根据正态分布的性质计算临界值，最后根据临界值判断两组之间是否存在显 著差异。
结论
如果两组之间的差异超过临界值，则可以认为两种药物治疗慢性胃炎的疗效存在显著差异；否则，不能 认为两种药物治疗慢性胃炎的疗效存在显著差异。
单个总体比例的假设检验案例
案例描述
检验步骤
03
正态总体下参数的假设检验 方法
单个总体均值的假设检验
总结词
单个总体均值的假设检验是统计学中常见的一种检验方法，用于检验单个正态总体均值 的假设。
详细描述
在假设检验中，我们通常会提出一个关于总体均值的假设，然后使用样本数据来检验这 个假设是否成立。对于单个总体均值的假设检验，我们首先需要确定样本数据和总体分 布的性质，然后选择合适的统计量进行计算，最后根据统计量的分布和临界值来判断假
正态总体均值的假设检验
拒绝域为 u u u0.05 1.645 ．
现在 u x 0 41.25 40 3.125 1.645 ， / n 2 / 25
即 u 的取值落在拒绝域中，所以在显著性水
平 = 0.05下拒绝 H0，接受 H1，即认为这
2
2 0
2 0
H0：
，H1：
．
其中
为已知常数．检验统计量
T
1
2 0
n
(Xi )2
i 1
~ 2 (n) .
对于给定的显著性水平 ，拒绝域为
t 12 / 2 (n) 或
t
2
/
2
(n)
．
上述检验的统计量服从 2 分布，称此种检
验为 2 检验，类似地可以进行单边检验（见表
右边检验的拒绝域为 t k ，左边检验的拒绝域为 t k ．
例2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率
服从正态分布 N (, 2 ), 40cm / s ， 2cm/ s ,
现在用新方法生产了一批推进器，从中抽取 n=25 只，测得样本均值为 x 41.25cm / s ．设在新方
二、两类错误
由于检验法则是依据样本作出的，因此假设 检验的结果可能犯两类错误：
第一类错误：当原假设H0为真时，作出的决 定却是拒绝H0，犯这类错误的概率记为 ，即
P{拒绝H0|H0为真}= ． 第二类错误：当原假设H0不正确时，作出的决定却是接受H0，犯这类错 误的概率记为 ，即
P{接受H0|H0不正确} = ．
在H0成立时，检验统计量
8-2正态分布均值的假设检验
)
的情况
利用t检验法检验具有相同方差的两正态总 体均值差的假设.
设 X1, X2 ,, Xn 为来自正态总体N (1, 2 ) 的样本, Y1,Y2 ,,Yn 为来自正态总体N (2 , 2 )的
样本, 且设两样本独立. 注意两总体的方差相等.
又设 X ,Y 分别是总体的样本均值, S12 , S22是样本
因为 2 未知, 不能利用 X 0 来确定拒绝域. / n
因为 S 2 是 2 的无偏估计, 故用 S 来取代 , 即采用t X 0 来作为检验统计量.
S/ n
当观察值
t
x 0
s/ n
过分大时就拒绝H0,
拒绝域的形式为 t x 0 k . s/ n
根据第六章§2定理三知,
定理三
当H0为真时,
79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总
体 N (1, 2 )和 N (2, 2 ), 1, 2, 2均为未知, 问建议的新操作方法能否提高得率? (取 0.05)
解 需要检验假设 H0 : 1 2 0, H1 : 1 2 0.
即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异.
三、基于成对数据的检验( t 检验 )
从直观上看, 合理的检验法则是:
若观察值 x 与 0 的差 x 0 过分大, 即 x 0 k ,
则我们拒绝 H0 接受 H1 .
拒绝域的形式 x 0 k , ( k 待定). 由标准正态分布的分布函数 (•) 的单调性可知,
P{拒绝 H0 | H0 为真 } P0 ( x 0 k)
P 0
要检验假设 H0 : 10.5, H1 : 10.5,
82两个正态总体均值差和方差的假设检验2-精选文档
二.基于成对数据的检验
2.单边假设检验 未知方差2，H0: 0 ,H1: > 0 (1) 提出原假设H0: 0 ,H1: > 0.
(2) 选择统计量
X T S n
(4) 选择检验水平 ,查正态分布表,得临界值z/2， 即
K由下式确定：
P { ( X Y ) ( ) K } 1 2
: ,H : . 0 1 2 (1) 提出原假设 H 1 1 1 SW n1 n 2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 1 1 2 2 其中 S W n n 2 1 2
§8.2 两个正态总体均值差 和 方差的假设检验（2） 一.两个正态总体均值是否相等的 检验 二.未知两个正态总体方差的 检验
一.两个正态总体均值差的检验
2 2 两个正态总体 N ( , ), N ( , ) 1 1 2 2
X X 是来自于第一个 样总 本体 ；的 1, X 2,..., n 1
（≥50） 检验对象H0：μ1＝μ2 X Y U 选择统计量： 2 2
S1 S2 n1 n2
~ N0,1
2 2 S S 2 于是 K 1＋ Z , 否定域约为 X Y K 2 n n 1 2
（3）t检验
2 2 2 未知（称方差齐性） 1 2
检验对象H0：μ1＝μ2 选择统计量：
21 . 5 18 . 0 t 2 . 245 . 30 . 02 7078 1 1 7 5 4 由于t 2 .245 2 .3646 W，因此 ， 。即 t
接受原假设 H 0 即认为两矿煤的含灰率无显 著差异。
但是由于 2.245 与临界值 2.3646比较接近，
正态分布的假设检验方法
正态分布的假设检验方法正态分布是一个重要的统计概念，经常用于解决各种实际问题。
不同于其它常见分布，正态分布具有非常特殊的性质，其中最突出的就是其反映了许多现实生活中的随机变量（例如人的身高、体重等）的分布类似于正态分布的情况。
随着科技与数据收集技术的不断进步，人们能够收集到越来越多的实际数据，并采用各种统计方法来分析这些数据。
在实际应用中，对于一些特定的问题，我们需要检验数据是否符合正态分布，并进而研究相关假设问题。
这需要运用到假设检验的方法，因此本文将对正态分布的假设检验方法进行详细阐述，包括其基础理论、假设设定方法、检验统计量的计算以及显著性检验的实现等。
一、基础理论正态分布是统计学中一个重要的概念，它是一个连续型概率分布，通常由两个参数μ和σ描述，其中μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差。
对于一个正态分布的随机变量x ~N(μ,σ²)，它的概率密度函数可以表示为：$$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrme^{−(x−\mu)^2/2\sigma^2} $$在实际研究中，许多随机变量的分布都具有类似于正态分布的特性，在大样本情况下，它们的概率密度图常常能够像钟形曲线一样展示出来，因此我们可以通过正态分布模型，来描述某些随机变量的概率分布情况。
随着数据科学的不断进步，我们现在可以通过各种手段来收集数据，并利用统计工具对这些数据进行分析。
假设检验是其中一个最基础的分析方法，它通常用于判断某一假设是否成立。
正态分布的假设检验方法，就是一种基于正态分布模型的检验方法。
二、假设设定方法在进行正态分布的假设检验时，我们通常要设定两个假设，分别为原假设和备择假设。
原假设（$H_0$）是我们想要检验的假设，而备择假设（$H_1$）则是对原假设的拒绝。
在正态分布的假设检验中，常见的假设包括以下两种：1. 单样本均值检验对于单样本均值检验，我们设定以下的原假设和备择假设：$$ H_0:\mu=\mu_0 \ \ \ \ \ H_1:\mu\neq\mu_0 $$其中，$H_0$表示总体均值等于特定值$\mu_0$，$H_1$表示总体均值不等于$\mu_0$。
品检中的正态分布假设检验
品检中的正态分布假设检验正态分布假设检验是品检中常用的统计方法之一。
品检是指通过对产品或过程样本的抽样检验，以确定产品或过程是否符合预定的质量要求。
在品检中，我们常常需要判断样本数据是否来自正态分布的总体。
正态分布是一种特殊的概率分布，对于许多工程和科学应用具有重要意义。
品检中的正态分布假设检验依赖于样本数据的抽样。
抽样是从总体中选取一部分个体进行检验，以推断总体的特征。
通常，我们假设总体分布是正态的，即符合正态分布的特征。
假设检验的目的是判断样本的观察结果是否支持这一假设。
接下来，我们需要通过计算样本数据的统计量来进行假设检验。
在正态分布假设检验中，常用的统计量是样本均值和样本标准差。
样本均值是对总体均值的估计，而样本标准差则是对总体标准差的估计。
通过计算这些统计量，我们可以对样本数据与假设的总体分布进行比较。
在进行正态分布假设检验时，我们通常采用t检验或者F检验。
t检验适用于小样本量的情况，而F检验则适用于大样本量的情况。
这两种检验方法都是基于正态分布理论的基础上进行的。
在进行t检验时，我们需要计算出一个统计量t值，并与一个临界值进行比较。
t值的计算方法为样本均值与总体均值之间的差异除以标准差的比值。
根据t值与临界值的比较结果，我们可以判断样本数据是否支持正态分布假设。
在进行F检验时，我们需要计算出一个统计量F值，并与一个临界值进行比较。
F值的计算方法为两个样本的方差比值。
与t检验类似，根据F值与临界值的比较结果，我们可以判断样本数据是否支持正态分布假设。
除了t检验和F检验之外，还有一些其他的正态分布假设检验方法，如卡方检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
这些方法在特定的情境下具有应用的价值，可以根据具体问题的需求选择合适的检验方法。
在进行正态分布假设检验时，我们还需要设置显著性水平。
显著性水平是指根据样本数据进行假设检验时所接受的错误概率。
常见的显著性水平有0.05和0.01等。
如何利用正态分布进行假设检验
如何利用正态分布进行假设检验在统计学中，假设检验是一种常用的方法，用于判断样本数据是否支持某个假设。
正态分布是统计学中最为常见的分布之一，因此在进行假设检验时，常常会利用正态分布进行分析。
本文将探讨如何利用正态分布进行假设检验，并介绍一些相关的概念和步骤。
一、假设检验的基本概念假设检验包括两个假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是我们要进行检验的假设，备择假设则是对原假设的否定。
在进行假设检验时，我们首先假设原假设成立，然后根据样本数据的统计量来判断是否拒绝原假设。
二、正态分布的基本特征正态分布是一种连续概率分布，其密度函数呈钟形曲线，对称分布于均值处。
正态分布的均值和方差完全决定了整个分布的形态。
正态分布在统计学中的应用非常广泛，许多自然现象和实验结果都可以近似地服从正态分布。
三、利用正态分布进行假设检验的步骤1. 提出假设：根据研究问题和目标，明确原假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：显著性水平（α）是指在进行假设检验时，犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
3. 计算统计量：根据样本数据计算出适当的统计量，如样本均值、标准差等。
4. 计算临界值：根据显著性水平和自由度，查找对应的临界值。
临界值是用来判断在原假设成立的情况下，样本统计量是否落在拒绝域内。
5. 判断结果：比较计算得到的统计量与临界值，如果统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
6. 得出结论：根据判断结果，得出关于原假设的结论。
四、实例演示假设我们想要检验某个药物对疾病的治疗效果。
我们将100名患者分为两组，一组接受药物治疗，另一组接受安慰剂治疗。
我们的原假设是药物对疾病的治疗效果没有显著影响，备择假设是药物对疾病的治疗效果有显著影响。
首先，我们选择显著性水平为0.05。
然后，根据样本数据计算出两组的均值和标准差。
接下来，计算统计量，可以选择 t 检验或者 z 检验，具体选择哪种检验方法取决于样本量和总体方差是否已知。
正态分布假设检验计算过程
正态分布假设检验计算过程正态分布啊，这可是个很重要的概念呢！想象一下，就好像是一群数据在排队，它们按照一定的规律分布着。
要进行正态分布假设检验计算，咱先得搞清楚几个关键的东西。
比如说均值和标准差，这就像是队伍的中心和队伍的松散程度。
咱先收集一堆数据，这就像是把一群小伙伴召集起来。
然后呢，计算出均值，这就是找到这群小伙伴的平均水平啦。
接着算标准差，看看数据们是紧紧围绕着均值呢，还是比较分散。
然后呢，根据咱要检验的假设，来看看这些数据是不是符合正态分布的特点。
这就好比看这群小伙伴站的队形是不是比较标准。
比如说，咱假设某个事件应该符合正态分布，那就得看看实际的数据是不是真的这样。
如果数据离均值太远，那就有点奇怪啦，就好像队伍里有个小伙伴站得特别突兀。
计算过程中呢，要用到一些公式和方法，可别被这些公式吓到哦，就把它们当成是帮助我们判断的工具。
咱可以通过画个图来直观地看看数据的分布情况，这就像给这群小伙伴拍个照片，一下子就能看出来大概的样子。
要是发现数据不太对劲，那咱就得好好琢磨琢磨啦，是不是有啥特殊情况影响了它们呀。
有时候，计算过程可能会有点复杂，但别着急，一步一步来，就像走迷宫一样，慢慢就能找到出口啦。
而且哦，这正态分布假设检验计算在很多领域都很有用呢！比如在统计学里，能帮我们判断一些现象是不是正常；在科学研究中，可以验证我们的理论是不是靠谱。
你想想，如果没有这个计算过程，那我们对很多事情的理解可能就会很模糊，就像在大雾里走路一样，看不清方向。
但有了它，我们就能更清楚地了解数据背后的意义，就像有了一盏明灯，照亮我们前进的道路。
所以啊，可别小看这正态分布假设检验计算过程哦，它可是能帮我们解开很多谜团的重要工具呢！咱可得好好掌握它，让它为我们服务呀！怎么样，是不是觉得挺有意思的呀？哈哈！。
统计学中的正态分布与假设检验公式整理
统计学中的正态分布与假设检验公式整理正态分布是统计学中一种重要的概率分布，广泛应用于各个领域的数据分析和模型建立中。
而假设检验则是统计学中常用的一种方法，用于对假设的真实性进行验证。
本文将对正态分布和假设检验的公式进行整理，并讨论其在统计学中的应用。
一、正态分布正态分布，又称为高斯分布，是一种连续概率分布。
它的概率密度函数的数学表达式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2 * σ^2)))其中，f(x)表示在取值为x的点的概率密度，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
正态分布的均值决定了分布的中心位置，标准差则决定了分布的形状。
正态分布具有许多重要性质，例如：1. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，得到的正态分布称为标准正态分布。
其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)标准正态分布在实际应用中经常用于转换其他正态分布为标准化分布，方便计算和比较。
2. 正态性检验：统计学中经常需要判断一组数据是否符合正态分布。
常用的正态性检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验等。
这些方法都是基于样本数据与理论正态分布的差异来进行判断。
3. 中心极限定理：中心极限定理是统计学中一条非常重要的定理，它指出，对于任意一组具有有限方差的独立随机变量，其样本均值的分布在样本量趋于无穷时，逼近于正态分布。
二、假设检验假设检验是统计学中用于验证某个假设是否成立的一种方法。
在假设检验过程中，我们需要提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后通过数据分析来判断是否支持原假设。
1. 假设检验的步骤：(1) 建立假设：根据实际问题和研究目的，提出原假设和备择假设。
(2) 选择显著性水平：显著性水平α是控制拒绝原假设的错误概率。
一般常用的显著性水平有0.05和0.01。
实验报告 正态分布均值参数的假设检验1
1 , 2 , 2 均为未知。
我们用 t 统计量来检验假设 H 0 : 1 2 0, H1: 1 2 0 。
t
(n 1) S12 (n2 1) S2 2 (X Y ) xy 2 ，其中S w 1 n1 n2 2 1 1 1 1 Sw sw n1 n2 10 10
多元统计分析实验报告——刘晓丽
; run;
第二步：在“分析家”窗口将 Work 数据库中的数据集打开； 第三步: 在“分析家”窗口, 单击【Statistics】【Hypothesis Tests】 【Two-Sample t-test for Means】（当两样本量不同且两样本独立）,运行结果见图 1 和图 2；
假设检验 H 0 : 1 2 的 SAS 实现。 第一步：在程序编辑窗口建立 SAS 数据集 test；
data test; input old new; cards; 78.1 79.1 72.4 81.0 76.2 77.3 74.3 79.1 77.4 80.0 78.4 78.1 76.0 79.1 75.5 77.3 76.7 80.2 77.3 82.1
图 1 对数据集“tes t”进行“Two-Sample t-test for Means ”的源自行结果图2t 分布图
第四步：对输出的结果进行分析，做出拒绝或接受零假设的决策。 从图 1 中可以看出： （1）零假设是 H 0 : 1 2 ，备选假设是 H1 : 1 2 ； （2）检验统计量 t 的值是在两总体方差相等和不等的情况下均为-4.098； （3） p 0.0007 0.025 ,因此按0.05水平拒绝零假设。 （4） t分布图也进一步显示了-4.098落在了小概率事件的范围内,故应拒绝零假设， 认为建 议的新操作方法较原来的方法为优。
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x 0 拒绝域为 z / 2 / n
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
又设 X ,Y 分别是总体的样本均值 , S1 , S2 是样本 方差, 1 , 2 , 2均为未知,
2
2
求检验问题 H 0 : 1 2 , H 1 : 1 2 ( 为已知常数) 的拒绝域.
取显著性水平为 .
引入 t 统计量作为检验统计量 :
2 2 (X Y ) ( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 2 t , 其中 S w . 1 1 n1 n2 2 Sw n1 n2
当 2为已知时, 关于 0的检验问题 :
(1) 假设检验 H 0 : 0 , H 1 : 0 ; ( 2) 假设检验 H 0 : 0 , H 1, H 1 : 0 .
讨论中都是利用 H 0 为真时服从 N ( 0,1) 分布 X 0 的统计量 Z 来确定拒绝域的, 这种 / n 检验法称为 Z 检验法.
因此要控制 P{拒绝 H 0 | H 0 为真} ,
k 只需令 , / n
即 k ( / n )z ,
检验问题 H 0 : 0 , H1 : 0 的拒绝域为
x 0 ( / n)z ,
故正态总体 N ( , 2 )在方差 2已知时 , 对均值 的检验问题
从直观上看, 合理的检验法则是:
若观察值 x 与 0 的差 x 0 过分大, 即 x 0 k ,
则我们拒绝 H 0 接受 H1 .
拒绝域的形式 x 0 k , ( k 待定) .
由标准正态分布的分布函数 () 的单调性可知,
P{ 拒绝 H 0 | H 0 为真} P 0 ( x 0 k )
H 0 : 0 225, H1 : 225,
取 0.05,
拒绝域为 x 0 t ( n 1) s/ n
n 16,
t0.05 (15) 1.7531
x 0 t 0.6685 s/ n
x 241.5, s 98.7259,
t 0.05 (15)
0
定理三
s/ n
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
x 0 拒绝域的形式为 t k. s/ n
得 k t / 2 ( n 1), x 0 拒绝域为 t t / 2 ( n 1) . s/ n
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
对于正态总体 N ( , 2 ), 当 2未知时, 关于的 单边检验的拒绝域在表8.1 中给出.
当H 0为真时, 根据第六章§2定理四知,
t ~ t ( n1 n2 2).
定理四
求检验问题 H 0 : 1 2 , H 1 : 1 2 ( 为已知常数) 的拒绝域.
其拒绝域的形式为
( x y) k, 1 1 sw n1 n2
(X Y ) P{ H 0 为真, 拒绝 H 0 } P1 2 k 1 1 S w n1 n2 ( X Y ) 得 2 P1 2 k 从而k t / 2 (n1 n2 2). 1 1 S w n1 n2
n 15, x 10.48, 0.05, x 0 拒绝域为 z / 2 x 0 10.48 10.5 则 / n 0.516, / n 0.15 / 15
查表得
z0.05 1.645,
x 0 于是 0.516 z0.05 1.645, / n
检验问题 H 0 : 1 2 , H 1 : 1 2 ( 为已知常数) 的拒绝域.
( x y) t t / 2 ( n1 n2 2). 1 1 sw n1 n2
关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域 见表8.1, 常用 0 的情况. 表8-1 当两个正态总体的方差均为已知(不一定相 等)时,我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值 差的假设问题, 见表8.1 .
设手机的待机时间样本值 69，68，72，70，66，75
计算统计值 x 70
s2
10
0 .05
t ( n 1) t 0.05 ( 5 ) 2 .015 查t分布表， x 0 得
t
s/ n
1.162
t 1.162 2.015 t ( n 1)
x 0 0 k P 0 / n / n
(0 k ) ( k ) 0 1 / n 0 / n 0
k 0 (0 k ) , / n / n
第二节 正态总体均值的假设检验
一、单个总体均值 的检验
二、两个总体均值差的检验(t 检验)
三、基于成对数据的检验(t 检验) 四、小结
2 N ( , )均值 的检验 一、单个总体
1. 为已知, 关于 的检验 ( Z 检验 )
2
在上节中讨论过正态总 体 N ( , 2 )
故接受 H0 , 认为该机工作正常 .
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验 )
设总体 X ~ N ( , 2 ), 其中 , 2 未知, 显著性水平为 .
求检验问题 H 0 : 0 , H1 : 0 的拒绝域. 设 X1 , X 2 ,, X n 为来自总体 X 的样本, X 0 2 来确定拒绝域. 因为 未知, 不能利用 / n
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15, x 10.48,
x 0 t ( n 1) 0.05, s 0.237, s / n 2
x 0 10.48 10.5 t 0.327, t分布表 s/ n 0.237 / 15 查表得 t / 2 ( n 1) t0.025 (14) 2.1448 t 0.327,
解 问题可归结为检验假设 H 0 : 71.5 H 1 : 71.5 拒绝域
x 0 t t ( n 1) s/ n
X 0 T ~ t ( n 1) S/ n
检验统计量
H 0 : 0 71 .5
H 1 : 71.5
x 0 t t ( n 1) s/ n
故接受 H0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化.
例3 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分 布, , 2 均为未知. 现测得16只元件的寿命如下:
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 解 依题意需检验假设
H 0 : 0 , H 1 : 0 ,
x 0 的拒绝域为 z . / n
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机工作是否正常? ( 0.05)
故接受 H 0 , 认为元件的平均寿命不 大于225小时.
例4 一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产的某
种品牌的手机的待机时间的平均值至少为71.5小时，一 质检部门检查了该厂生产的这种品牌的手机6部，得到 的待机时间为 69，68，72，70，66，75 设手机的待机时间 X ~ N ( , 2 )，由这些数据能否说明 其广告有欺骗消费者之嫌疑？ 0 .05
一个有用的结论 当显著性水平均为 时 ,
检验问题 H 0 : 0 , H1 : 0和检验问题
显著水平为 下的拒绝域为 x 0 z / n
证明 在检验问题 H 0 : 0 , H1 : 0 中,
因为 H 0 中的 都比 H1 中的 小,
例4 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法 的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平 炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条 件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然 后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了 10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:
故接受H0，即不能认为该厂广告有欺骗消费者之嫌疑
2 2 N ( , ), N ( , 二、两个总体 1 1 2 2 ) 的情况
利用t检验法检验具有相同方差的两正态总 体均值差的假设.
设 X 1 , X 2 ,, X n 为来自正态总体N ( 1 , 2 ) 的样本, Y1 ,Y2 ,,Yn 为来自正态总体N ( 2 , 2 )的 样本, 且设两样本独立 . 注意两总体的方差相等 .
79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总 体 N ( 1 , 2 ) 和 N ( 2 , 2 ), 1 , 2 , 2均为未知,