第8.2节-正态总体均值的假设检验——概率论和数理统计(李长青版)

P拒 绝 H 0|H 0为 真PX0k|0
PH0
X0 k

PH0

X

ห้องสมุดไป่ตู้
0
n
k

n
PH0

X0 n
u 2

取 k u 2n
所以本检验的拒绝域为
W： u u
2
U— 检验法
69 68 72 70 66 75
设手机的待机时间 X ~ N(,2), 由这些数据能否
说明其广告有欺骗消费者之嫌疑？ (取α= 0.05)
解 需检验假设
H0:≥ 071.5; H1:071.5
由于方差未知，采用 t 检验法，选取检验统计量如下
由于方差未知，采用 t 检验法，选取检验统计量如下 T X 0 ~ t(n1)
检验统计量为 T
X Y
Sw 1 n1 1 n2
在 H0 为真时，有 T~t(n1n22), n1 n2 12
查表得
t /2 ( n 1 n 2 2 ) t0 .0 2 5 ( 2 2 ) 2 .0 7 3 9
又由已知，有 x 31.75, y 28.67,
(n11)s12112.25, (n21)s22 66.64, sw 2.85
S/ n
这是左边检验，拒绝域为
tt0.05(5)2.015
计算统计值得 x 70, s 2 1 0 , t 1.162,
因为 t 1 .1 6 2 2 .0 1 5 t0 .0 5 (5 )
拒绝H0, 即不能认为该厂广告有欺骗消费者之嫌疑.
例3 某厂生产小型马达, 说明书上写着:这种小型 马达在正常负载下平均工作电流不会超过0.8 安培.
s/ n
4
现 x0 .9 20 .7 5 7 1 4 4
接受原假设，否定厂方断言。
两正态总体均值差的检验
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 ) 两样本 X , Y
相互独立,
样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 观测值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
T X 0 Sn
~ t(n 1)
拒绝域
t t
2
t t
t t
例1 已知铁水中碳的百分含量为 X~N4.55,0.1082 ,
现测定5炉, 其碳的百分含量(%)为 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37
如果方差 σ2 不变, 试问均值μ是否明显下降？ ( 0.05)
显著性水平
与一个总体的情形类似，两正态总体均值差的检验 方法如下表
关于均值差 1 – 2 的检验表
原假设 H0
备择假设 检验统计量及其在
H1
H0为真时的分布
拒绝域
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 < 1 – 2 1 – 2 >
s/ n
4
现 x0.9 20.66
故接受原假设, 即否定厂方断言.
由此例可见: 对问题的提法不同(把哪个假设作为 原假设),统计检验的结果也会不同.
上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论. 第一种假设是不轻易否定厂方的结论； 第二种假设是不轻易相信厂方的结论.
由于假设检验是控制犯第一类错误的概率, 使得 拒绝原假设 H0 的决策变得比较慎重, 也就是 H0 得到 特别的保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的结论作为 原假设, 或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.
拒绝 H0, 平均抗拉强度有显著差异.
解 要检验假设
H0:≥ 04.55; H1 :0
这是总体均值 μ 的左边检验, 取检验统计量
U X 0 / n
在原假设H0 为真时，U 服从标准正态分布
在原假设H0 为真时，U 服从标准正态分布
U X 0 ~ N(0,1) / n
由已知 x 4.364, 0 4.55, 0 0.108,
解 设两正态总体为 X~N 1,2 , Y~N 2,2 ,
要检验的假设为
H 0: 12;H 1: 12
检验统计量为
解 设两正态总体为 X~N 1,2 , Y~N 2,2 ,
要检验的假设为
H 0: 12;H 1: 12
4
现 x0.9 20.94
故接受原假设, 即不能否定厂方断言.
解二 H0 : 0.8 ； H1 : < 0.8 选用统计量: T X ~T(15)
S / 16 查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域
x0.81.753 x0.81.7503.320.66
现随机抽取16台马达试验, 求得平均工作电流为0.92 安培, 工作电流的标准差为0.32安培.
假设马达的工作电流服从正态分布,取显著性水平
为 = 0.05, 问根据这个样本, 能否否定厂方的断言?
解 根据题意待检假设可设为
H0 : 0.8 ； H1 : > 0.8 未知, 故选检验统计量: T X ~T(15)
U X Y

2 1


2 2
nm
~ N (0,1)
( 12，22 已知)
u u
2
u u
u u
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2
T
X Y 1 n 1 mSw
1 – 2 1 – 2 <
T X 0
Sn
检验假设
H0 : 0 ； H1 : 0
当原假设 H0 为真时，有 T X 0 ~ t(n 1)
Sn
拒绝域的导出方法与前述方法相同，结果见下表
T 检验法 (2 未知)
原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量及其 H0为真时的分布
0 0 0 < 0 0 > 0
又由已知，有 x 31.75, y 28.67,
(n11)s12 112.25, (n21)s22 66.64,
计算统计量的观测值, 得
sw 2.85
t xy 2.647 sw 1 n1 1 n2
比较，有
t 2 .6 4 7 2 .0 7 3 9 t/2(n 1 n 2 2 )
查标准正态分布表，得 u0.05 1.645
由此得检验统计量的观测值为 u4.3644.553.8511.645 0.108/ 5
拒绝H0，认为均值有明显下降.
例2 一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们 生产的某种品牌的手机的平均待机时间至少为71.5 小时, 质检部门检查了该厂生产的这种品牌的手机 6部, 得到的待机时间为
S / 16
解 根据题意待检假设可设为
H0 : 0.8 ； H1 : > 0.8 未知, 故选检验统计量: T X ~T(15)
S / 16
查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为
x0.81.753 x0.81.7503.320.94
s/ n
把显著性水平α增大，取 0.3, t0.3(15)0.5357
从而有
x0.80.5357 x0.80.53570.320.842856
s/ n
4
现 x 0 .9 2 0 .8 4 2 8 5 6
拒绝原假设，否定厂方断言。
x0.80.5357 x0.80.53570.320.757144
关于 U 检验法的其它情形见下表
U —检验法表(σ为已知)
原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量及其 H0为真时的分布
0 0
0 < 0
U X 0 n N (0,1)
拒绝域
u u
2
u u
0 > 0
u u
若 σ未知, 用样本标准差 S 代替 σ, 选用 t 统计量
~ T (n m 2)
12 22 2
未知
1 – 2 1 – 2 >
拒绝域
t t
2
t t
t t
其中
Sw
(n1)S12(m1)S22 nm2
例4 对用两种不同热处理方法加工的金属材料 做抗拉强度试验, 得到的试验数据如下:
方法I: 31 34 29 26 32 35 38 34 30 29 32 31 方法Ⅱ: 26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28 设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从正 态分布, 且方差相等. 比较两种方法所得金属材料的 抗拉强度有无显著差异. ( 显著性水平α = 0.05)
第八章
假设检验
第二节 正态总体均值的假设检验
一个正态总体均值 的检验
拒绝域的推导
给定显著性水平 与样本值 (x1,x2, … , xn ) 设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验：
H0 : 0 ； H1 : 0
构造统计量 U X 0 ~ N(0,1) n