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泰勒公式的证明及其应用

数学与应用数学专业胡心愿

［摘要］泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础.本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析,在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点,判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述。

［关键词］泰勒公式;不等式；应用；

ProofofTaylor'sFormulaandItsApplication

MathematicsandApplicedMathematicsMajorHUXin-yuan

Abstract：ThetheoryaboutTaylor'sFormulaisthebasiccontentofApproximationTheory。WhatthispaperexploresissomemethodsthatprooftheTaylor'sFormula，

andthepaperanalyseandcomparethem。Onthatbasis,thepaperdiscusstheapplicationofTaylor’sFormulainsomerespects，suchasInequalityproof,functionallimit，approximatevalue，determinantvalue,convexity—concavityoffunction，thedecisionofinflectionpoint，divergenceoftheseries。ThepaperexplorethederivationofTaylor'sFormulaofthefunctionofmanyvariablesan ditsapplication。

Keywords：Taylor'sFormula；inequality;application

目录

1泰勒公式。。。。。。.。。.。。。.。。.。。.。。。。。........。...。。。。.。....。..。。。.。。..。。。.1

1。1泰勒定理的证明过程。.。。...。。.。.。。.。..。...。。。。..。...。.。...。.。.。.。.。。

1

2余项估计。.。.。。..。。。..。.。。。。。.。.。.。......。。.。...。.........。..。。。。。。...。

2

2。1泰勒中值定理。。。。.。.。。.。。.。。。。。。。。.。..。.。。.。。。。。。..。..。.。。。.。。。.。。.2

2。2拉格朗日余项..。。....。....。。...。。。。.。。。。.。。.。..。...。....。。.。...。。。。

3

2。3柯西余项...。..。..。..。...。.。。.。。。。..。。..。.。..。。..。。。.。。.。.。。...。。.。

6

2.4积分余项。..。...。...。..。..。.....。......。....。..。。。....。..。。。。.。。.。.7 3泰勒公式的应用。.。.。。..。。.。。。.。...。.........。。...。..。.。。。..。.。...。.。。..9 3。1利用泰勒公式证明不等式。。。..。.。....。。。。.。。..。。...。..。。。.。。.。.。。。。。。

9

3。1.1泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用。...。。.。。。。.....。..。.。.。。.9 3.1.2泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用。.。。。。.。.......。。。..。.。.。10 3.2利用泰勒公式求函数值与函数极限.。。..。。。.。..。.。.。。。。.。。..。。。。..。。..11 3。3利用泰勒公式讨论函数的凹凸性,判别拐点.。.。..。....。。。...。...。。。.。.12

3.4判断级数的敛散性。。。。。。。。。。......。。。。..。。。.。.。.。..。。。。。...。。。.。。.。

1 4 3.5利用泰勒公式求行列式的值..。...。。.。......。。。.。。。..。。..。.。.。。。.。.。.15 4多元函数的泰勒公式.。。。..。。....。。.。。。.。...。.。.。.。。.。.。。。.。.。..。..。..。.16 4。1二元函数泰勒公式的证明.。。.。...。。。。.。。。。。。。.。。。。...。。.。.。。.。.。..。.17 4.2二元函数泰勒公式的应用。.。。...。...。。。。.。...。..。.。。.。...。。.....。.。。

18 结束语。。。...。..。.。。...。。....。..........。。..。.。...。..。。。。。。。。...。。。。。。。。

19 参考文献.。。.。。。。。。..。.。.。..。。。..。.。..。.。.。。。。。。..。.。...。。..。.....。。。.。。

19 致谢...。。.。..。。.....。。....。。.。。...。。。..。.。.。。.。。。。。.。。...。。.。。。.。....。。20

泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项。

1泰勒定理

若函数()x f 在0x 处存在n 阶导数，则()0x U x ∈∀，有

()()()[]

n

n x x x T x f 0-+=ο()1

其中()()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T 002

00000!

!2-++-''+

-'+= ， ()()

[

]n

n x x x R 0-=ο()0x x →，即()x R n 是比()n

x x 0-的高阶无穷小。()1式称为()x f 在0

x

（展开）的泰勒公式。

1.1泰勒定理的证明过程

由高阶无穷小的定义知，若要证明()[]

n

n x x x R 0-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛ο，只需要证明 ()

()

()()

()

0lim

lim

000

=-T -=-→→n

n x x n

n x x x x x x f x x x R

因为这是0

的待定型,可以应用1-n 次的洛必达法则来证明.

()()()=T -=x x f x R n n

()()()()()()()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++-''+-'+-n n x x n x f x x x f x x x f x f x f 002

00000!!2!1 ()()()()()()()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--++-''+'-'='-100000!1!1n n n

x x n x f x x x f x f x f x R ()()()()()

()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--++-'''+''-''=''-⎪⎭

⎫ ⎝⎛20000

0!2!1n n n x x n x f x x x f x f x f x R ()()

()()()()()()⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-+-=---⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-0010111!1x x x f x f x f x R n n n n n