16-变换群与置换群

记法：(i1 i2 … ik )


例子：用轮换形式表示S3的6个元素：
e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2); =(2 3); =(1 3); =(1 2)
不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ), 若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交 若 与 不相交，则 = – 对任意xS, 分三种情况讨论： – x{i1, i2, …, ik}; – x{j1, j2, …, js}; – xS-({i1, i2, …, ik}{j1, j2, …, js})， 均有(x) = (x)
华容道
1 5 9 2 6 3 4
(1,5,3,7)(2,6,4,8)(9,10)(11,14,13,12)(15)(16) 5 3 6 4 7 8 5 3 6 7 8
7
8
1
2
4 15 2 14 11 1
10 11 12
10 9
14 11
10 9 12 13
13 14 15 1 2 6 3 7 4
12 13 15ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

用轮换的乘积表示置换

任一n元置换均可表示成一组互不相交的轮换的乘积。
–
对在下S中发生变化的元素的个数r 进行归纳：
r =0，即是恒等置换。
若r =k>0, 取一在下改变的元素i1, 按照轮换的定义依次找出i2, i3 …。 S是有限集，一定可以找到im, 使得i1, i2, …, im均不同，但 im+1{i1, i2, …, im}。 必有im+1=i1。(否则：若im+1=ij, j1, 则(ij-1)=(im)=ij, 与是一对 一的矛盾。)
利用置换群解题的例子

在四个方格子中放置了带有 标号的四个盘子(见右图)。 可以进行下列操作： (1) 上下行互换 (2) 左右列互换 (3) 两对对角元素互换 进行上述操作任意有限多次，可以按照任意次序进行，包括交替进 行。
① ② ③ ④

问题：操作停止时与开始时格局相同的充分必要条件是什么？
采用置换群建立数学模型

S3是最小的非交换群
–
注意：质数阶群一定是可交换群。
轮换与对换

定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且： (i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且 xS, xij j=1,2,…,k, (x)=x, 则称是S上的一个k阶轮换，当k=2, 也称为对换。
变换群和置换群
离散数学 第16讲
上一讲内容的回顾


不变子群 商群 同态核 自然同态 群同态基本定理 同态基本定理的应用
变换群与置换群


变换和变换群 置换及其表示 置换群 任意群与变换群同构 置换群的应用
变换和变换群

定义：A是非空集合，f:AA称为A上的一个变换。

经常讨论的是一一变换，即f是双射。 变换就是函数，变换的“乘法”就是函数复合运算。

集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群称为变换群。
非空集合上所有的一一变换构成群

设A是任意的非空集合，A上所有的一一变换一定构成群。
– – –
封闭性：双射的复合仍是双射。 结合律：变换乘法是关系复合运算的特例。 单位元：f:AA, xA, f(x)=x满足对于任意g:AA, f◦g=g◦f=g (恒等变换) 逆元素：任意双射g:AA均有反函数g -1:AA, 即其逆元素。
(1,5,3,7,15)(2,6,4,8)(9,10)(11,14,13,12)(16)
5
9
10 11 8
(8,16)(12,16) = (8,12,16)
13 14 15 12
置换群

有限集合S上所有置换一定构成群，称为对称群，记为Sn, 其中n是S的阶
数。 Sn的任一子集若构成群，则是置换群。
置换的轮换乘积形式

例子： 1 2 3 4 5 6 7 8 = (1 5 7) (4 8)
5 2 3 8 7 6 1 4
1 2 3 4 5 6 7 8 例子： 2 3 5 8 1 4 6 7
=(1 2 3 5) (4 8 7 6)
用对换的乘积表示置换
–
a是一一变换

a是显然是函数
对任意aG，群方程x*a=b有唯一解，即a是满射
由群满足消去律：x*a=y*a x=y, 即a是单射
–
令G„={a|aG}
Cayley定理

任意的群G与一个变换群同构。
–
定义: GG„: aG, (a)=a ,其中G'={a|aG} 。
对换乘积表示置换的例子
定义{1,2,3,4}上的函数 f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1
函数 f 的轮换形式：(1 2 3 4)
令： 函数g: g(1)=2, g(2)=1, g(3)=3, g(4)=4 函数h: h(1)=3, h(2)=2, h(3)=1, h(4)=4 函数k: k(1)=4, k(2)=2, k(3)=3, k(4)=1
– – –
置换及其表示

定义：有限集合S上的双射:SS称为S上的n 元置换 记法：
2 ... n (1) (2) ... (n) 1

置换的例子

例子：集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记为S3 ：
1 e 1 1 1 2 3 2 3 2 3 3 2 1 2 1 3 2 3 3 1 2 3 2 1 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 3
– – –
证明要点： 任取jX, 不失一般性，令j=(i1 i2 … im ) 由于(i1)i1, 必存在sY, 使得i1出现在s中。由轮换 的定义以及各轮换不相交，i2, i3,…, im也必在s中。 若存在其它某个元素u也在s中, 则u只能在m后面， 则(im)=s(im) =u，同时又有(im)= j(im)=i1, 矛盾。 所以j即s。这说明XY, 同理可知YX。
(2) (k+1)=sk+1: 必有t{1,2,…,k}, 使得(t)=k+1, 而相应排列 =i1i2…it-1(k+1)it+1,…,ins。构造置换'=(k+1,s), 则'满足(1) 中条件，相应排列是'=i1i2…it-1sit+1,…,in(k+1)。注意，()与 (')奇偶性恰好相反，()与(')的奇偶性也恰好相反(实际 上，受到影响的除了s和k+1本身外，只是it与ik+1之间大于s, 小 于k+1的诸项)。
–
变换群的例子

R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合：
fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
则G是变换群。
–
封闭性： fa,b, fc,d G, fa,b◦fc,d =fac,bc+d ( 注意：fc,d (fa,b(x)) = fc,d(ax+b) = acx+bc+d, 例如：f2,1(x)=2x+1, f1,2(x)=x+2, f1,2(f2,1(x))= 2x+3, 即 f2,1◦f1,2 = f2,3 ) 结合律：变换的乘法即关系复合运算 单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元 逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此f1/a,-b/a是fa,b 的 逆元素。(注意：a0)
–
– –
对S的阶数n进行归纳。 令的对换个数为()，对应排列的逆序数为()。 奠基：当n=1, =(1), ()=()=0。
奇置换和偶置换 – 归纳证明

假设当n=k时结论成立。考虑k+1元置换。 分两种情况讨论；
(1) (k+1)=k+1：在{1,2,…,k}上的限制是k元置换，令其为 ‘，相应排列为’, 显然：()=(„), ()=(‟), 由归纳假 设，(')与(')同奇偶性。
令1=(i1 i2 … im)，则 = 1', '与1不相交，'最多只改变余下的 k-m个元素，由归纳假设，' =23…l。
置换的轮换乘积形式的唯一性

如 果 置 换 可 以 表 示 为 12…t 和 12…l, 令 X={1, 2, …, t}, Y={1, 2, …, l , }, 则X=Y
–
则是同构映射

是函数：a=b xG, x*a=x*b xG, a(x)=b(x) a=b 是满射：显然 是单射：根据消去律，ab x*ax*b ab 同 构 映 射 ： (a*b)=(a◦b), xG, (a*b)(x)=(a*b)(x)=x* (a*b) =(x*a)*b=b(a(x)), (a*b)=a◦b=(a)◦(b)，这里“◦”是函数 复合运算。

注意：置换群是变换群的特例，对称群是置换群的特例。

Sn中所有的偶置换构成子群，称为交错群。(只须证明封闭性) 置换群的几何意义：(以S3为例)
绕轴翻转 1
顺时针旋转： 0度：e 120度： 240度：
2
3
基于已知群定义变换群的例子