数字信号处理--第3章 离散傅里叶变换(DFT)
合集下载
第3章 离散傅里叶变换(DFT)C
(3.4.9)
def 1 ' 1 ' X (k ) X a f k k X a kF f = T T NT T
p
k 0,1, 2,, N 1
由此可得： ' kF =TX (k ) T DFT[ x(n)] X a N
k 0,1, 2,, N 1
解：
1 1 Tp 0.1 s F 10
因此Tp min=0.1 s。因为要求Fs≥2fc，所以
Tmax
N min
1 1 0.2 103 s 2 f c 2 2500 2 f c 2 2500 500 F 10
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此 选用N =512点。 为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：
说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系. 为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
令：
X a' ( f ) X a j X a j2πf 2 πf ' 2πf Xa ( f ) X X a a 2 πf
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x ( n) 如果 ~ 的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即
(n) RM (n) xM (n) x X M (k ) DFT[ xM (n)]
再将截取长度扩大1倍，截取
0 k M 1
（3.4.18）
x (n)的频谱结构，只是在k=im 由此可见，XM(k)也能表示 ~ (i) ，表示 ~ x (n) 的i次谐波谱线，其幅度扩 时，X (im) mX
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
X(k)与x(n)均为有限长序列,但由于WknN 的周期性,X(k)隐含周 期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有
k ( WN WNk mN ) , k, m, N
N 1 n 0
均为整数
( 所以,X(k)满足 X (k mN ) x(n )WNk mN ) n kn x(n )WN X (k ) n 0 N 1
k 1 X 1 x n e
n 0
2 1n 4
x n e
n 0
3
x n ( j ) n 2 2 j
n 0
3
k 2
X 2 x n e
n 0 3
3
j
2 2n 4 2 3n 4
x n e j n x n (1) n 2
DFT后的X(k)具周期性，周期为N
x(n)满足
x(n+mN)=x(n)
IDFT后的x(n)具周期性,周期为N
主值区间和主值序列
任何周期为N的周期序列 ~(n) 可以看作长度为N的有限 x
x 长序列x(n)的周期延拓序列, x(n)是 ~(n) 的一个周期。 ~(n) 中n=0到N－1的第一个周期为 ~(n) 的主值区间。 x x x 主值区间上的序列为 ~(n)的主值序列；
x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，
((n))N表示n对N求余，
如果 则 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， M为整数， ((n))N=n1
－－此运算符表示n被N除，商为M，余数为n1。
(n1) 是((n))N 的解,或称作取余数,或称作n对N取模值, 或 简称为取模值,n模N。
数字信号处理--第3章 离散傅里叶变换(DFT)
所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。
~
~
2019/3/18
数字信号处理
如果x(n)的长度为N， 且
出
~
x (n)的离散傅里叶级数表示为
N 1 n 0 ~ kn N
~
x
~
(n)=x((n))N， 则可写
X (k ) x(n)W
~
x((n)) N W
n 0
N 1
kn N
m 0 m 0 N 1 N 1
(3.2(3.2.5) 式所表示的运算为 x1(n) 与 x2(n) 的循
环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT
X (k ) DFT [ x (n )]
kn (3.1.8) x(n )WN n 0
N 1
1 ~ 1 kn x(n) X (k )WN N N
n 0
N 1
kn X (k )WN
(3.1.9)
式中
X (k ) x(k ) RN (k )
~
(3.1.10)
2019/3/18
数字信号处理
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
N 1
N 1 m n m
k ( n m ) x2 ((n)) N WN
2019/3/18
km x1 (m)WN m 0
N 1 m
数字信号处理 n m
kn x2 ((n)) N WN
因为上式中x2((n′))NW
N 1
kn′ ， N
以N为周期， 所以对
0 k N-1
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z )
~
~
2019/3/18
数字信号处理
如果x(n)的长度为N， 且
出
~
x (n)的离散傅里叶级数表示为
N 1 n 0 ~ kn N
~
x
~
(n)=x((n))N， 则可写
X (k ) x(n)W
~
x((n)) N W
n 0
N 1
kn N
m 0 m 0 N 1 N 1
(3.2(3.2.5) 式所表示的运算为 x1(n) 与 x2(n) 的循
环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT
X (k ) DFT [ x (n )]
kn (3.1.8) x(n )WN n 0
N 1
1 ~ 1 kn x(n) X (k )WN N N
n 0
N 1
kn X (k )WN
(3.1.9)
式中
X (k ) x(k ) RN (k )
~
(3.1.10)
2019/3/18
数字信号处理
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
N 1
N 1 m n m
k ( n m ) x2 ((n)) N WN
2019/3/18
km x1 (m)WN m 0
N 1 m
数字信号处理 n m
kn x2 ((n)) N WN
因为上式中x2((n′))NW
N 1
kn′ ， N
以N为周期， 所以对
0 k N-1
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z )
数字信号处理：离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散
傅里叶变换为:
N为变换区间的长 度，N≥M
… N 1 N 1
X (k ) XD(kF) T [DxF(Tn[)x](n)] x(nx)(Wn)WNknNk,n,kk==00,, 1, &&,,NN-1-1(3(.13..11).1)
单位圆上的Z 变换,Z=ejw
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例1]：若N=5， x(n)=R4(n)，画出x((n))N图形。
x(n) 1
01234 n x((n))5
1
n -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例2]：已知长度为N的一个有限长序列x(n)，其N点DFT为X(k)。 另一个长度为2N的序列 y(n) 定义为：
)
= DDFFSS[[x~x~((nn))]]=DNnNF01SXX~[kx~x((((ekn()jn)=e)))NDXjX2]N(FF((keSTnk[)j[)x~x~N)((nn))F]]NT[N2x~N1(nk)x~](n)2eNX~
(
j2 k
n0
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k)
n0
n0
N 1
(3) 序列x(n)隐含的周 期性x(周n)W期Nk为n NX)(k)
n0
x(n+mN)=x(n)
3.1 离散傅里叶变换的定义
~
任何周期为N的周期序列 x(n) 都 x可(n以)N看作长(度3.1为.7N)的有限长序列 ~
离散傅里叶变换(DFT)
X (k) X (e j ) 2 k , N
0 k N-1
(3.1.4)
序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在[0，2π]上的N点等间隔采样
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
2 N
m
-1 单位圆
jIm(z)
j
z平面
2 N
0
1
Re(z)
2 ( N 1) N
-j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
x((n))N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 7 9
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n
0 ~x (n) N-1
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换
(4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
k ~ n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
x(n)e
《数字信号处理——原理、实现及应用》第三章_离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
x ( n ) IDFT[ X ( k )] N
X (k )W N
1
k 0
N 1
k n N
, n 0, 1, , N 1
长度为 N的离 散序列
返回
回到本节
例3.1： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为
X (k )
频率域 Ω、s:连续
时间域
n:离散
数字域 FT、ZT 数字域
频率域
ω、z：连续
DFT
频率域
k：离散
返回
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。 本节主要介绍
X ( z ) ZT[ x ( n )] X (e ) FT[ x ( n )] X ( k ) DFT[ x ( n )] N
j
n0
M 1
x(n) z n x ( n )e j n k 0,1, , N 1
返回
n0
M 1
n0
M 1 kn x ( n )W N ,
返回
回到本节
X ( k ) DFT[ x ( n )] N
x(n)W
n0
N 1
kn N
,
k 0, 1, , N 1
也可以表示成矩阵形式
X DN x
式中，X是N点DFT频域序列向量:
X [ X (0) X (1) X ( N 2) X ( N 1)]T
X (k )W N
1
k 0
N 1
k n N
, n 0, 1, , N 1
长度为 N的离 散序列
返回
回到本节
例3.1： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为
X (k )
频率域 Ω、s:连续
时间域
n:离散
数字域 FT、ZT 数字域
频率域
ω、z：连续
DFT
频率域
k：离散
返回
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。 本节主要介绍
X ( z ) ZT[ x ( n )] X (e ) FT[ x ( n )] X ( k ) DFT[ x ( n )] N
j
n0
M 1
x(n) z n x ( n )e j n k 0,1, , N 1
返回
n0
M 1
n0
M 1 kn x ( n )W N ,
返回
回到本节
X ( k ) DFT[ x ( n )] N
x(n)W
n0
N 1
kn N
,
k 0, 1, , N 1
也可以表示成矩阵形式
X DN x
式中，X是N点DFT频域序列向量:
X [ X (0) X (1) X ( N 2) X ( N 1)]T
数字信号处理第三章习题解答
（3）最少采样点数 ；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
WΒιβλιοθήκη n N=(W
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
N 1
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DF
有限长序列x(n)是周期序列x(n)的主值序列。
3
离散傅里叶变换〔DFT〕
x(n)
n
0
N-1
x(n)
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到〔N-1〕的第一个周期为主值序列或区
间
4
离散傅里叶变换〔DFT〕
X(k)XkN
X(k)X(k)RN(k)
周期序列X (k )是有限长序列X(K)的周期延拓。 有限长序列X(K)是周期序列X (k )的主值序列。
x ( n ) 的 Z 变 换 在 单 位 圆 上 的 N 点 等 间 隔 采 样
X ( k ) 为 x ( n ) 的 傅 里 叶 变 换 X ( e j )
在 区 间 [ 0 ,2 ] 上 的 N 点 等 间 隔 采 样
7
离散傅里叶变换〔DFT〕 DFT的基本性质
1.DFT的线性
DFT[x1(n)]X1(k) DFT[x2(n)]X1(k)
N1
N1
X(Nk)[ x(n)W N (Nk)n] x(n)W N (N k)n
n0
n0
N1
x(n)W N knD F T[x(n)] n0
D F T [x (N n )] X (k )
23
离散傅里叶变换〔DFT〕
4.DFT共轭对称性
有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
x e p ( n ) x e p ( N n ) ,0 n N 1 x o p ( n ) x o p ( N n ) ,,0 n N 1
32
离散傅里叶变换〔DFT〕
x(m)
h(m)
3/2
1 1/2
1
N=4
M=3
3
离散傅里叶变换〔DFT〕
x(n)
n
0
N-1
x(n)
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到〔N-1〕的第一个周期为主值序列或区
间
4
离散傅里叶变换〔DFT〕
X(k)XkN
X(k)X(k)RN(k)
周期序列X (k )是有限长序列X(K)的周期延拓。 有限长序列X(K)是周期序列X (k )的主值序列。
x ( n ) 的 Z 变 换 在 单 位 圆 上 的 N 点 等 间 隔 采 样
X ( k ) 为 x ( n ) 的 傅 里 叶 变 换 X ( e j )
在 区 间 [ 0 ,2 ] 上 的 N 点 等 间 隔 采 样
7
离散傅里叶变换〔DFT〕 DFT的基本性质
1.DFT的线性
DFT[x1(n)]X1(k) DFT[x2(n)]X1(k)
N1
N1
X(Nk)[ x(n)W N (Nk)n] x(n)W N (N k)n
n0
n0
N1
x(n)W N knD F T[x(n)] n0
D F T [x (N n )] X (k )
23
离散傅里叶变换〔DFT〕
4.DFT共轭对称性
有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
x e p ( n ) x e p ( N n ) ,0 n N 1 x o p ( n ) x o p ( N n ) ,,0 n N 1
32
离散傅里叶变换〔DFT〕
x(m)
h(m)
3/2
1 1/2
1
N=4
M=3
数字信号处理_第三章
x(1) h(0) h(1) x(2) x(3) h(2) x(0) h( L 1)
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) x( L 1) x( L 2) x( L 3) y ( L 1)c
DFTx2 (n) X 2 (k )
二、循环移位性质
1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 x(n) 的圆周移位定义为
y(n) xn mN RN n
(1) 先将x(n)作 周 期 ~ x延 (n) 拓 xnN
~ n mN (2) 延 拓 后 再 进 x (n 行 m移 ) x位
1 e
e
k j 38
sin(k / 2) sin(k / 8)
15 j
0k 7
2kn 16
（2）N 16 时 X (k ) x(n) W
n 0 N 1 nk N
R4 (n)e
n 0
e
n 0
3
kn j2 16
1 e
4k j2 16 k j2 16
~ 周期序列 x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x (n) 0 n N 1 ~ x(n) 其它 0
或
x(n) ~ x (n) RN (n)
x (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 ~
二、DFT的隐含周期性
如：
0
x(n)
n N-1
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) x( L 1) x( L 2) x( L 3) y ( L 1)c
DFTx2 (n) X 2 (k )
二、循环移位性质
1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 x(n) 的圆周移位定义为
y(n) xn mN RN n
(1) 先将x(n)作 周 期 ~ x延 (n) 拓 xnN
~ n mN (2) 延 拓 后 再 进 x (n 行 m移 ) x位
1 e
e
k j 38
sin(k / 2) sin(k / 8)
15 j
0k 7
2kn 16
（2）N 16 时 X (k ) x(n) W
n 0 N 1 nk N
R4 (n)e
n 0
e
n 0
3
kn j2 16
1 e
4k j2 16 k j2 16
~ 周期序列 x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x (n) 0 n N 1 ~ x(n) 其它 0
或
x(n) ~ x (n) RN (n)
x (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 ~
二、DFT的隐含周期性
如：
0
x(n)
n N-1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第3与4章
m 0
循环卷积的矩阵表示：
yc(0) x(0) x(L1) x(L2) x(1) h(0)
yc(1)
x(1)
x(0)
x(L1)
x(2)
h(1)
yc(2)
x(2)
x(1)
x(0) x(3) h(2)
yc(L1) x(L1) x(L2) x(L3) x(0)h(L1)
(FFT)
3.4 例
［例3.4.1］ 设x(n)为存在傅里叶变换的任意序列， 其Z 变换为X(z)，X(k)是对X(z)在单位圆上的N点等间隔采样， 即
j2 k
X (k ) X (z )|z eN,
k 0 ,1 , ,N 1
求X(k)的N点离散傅里叶逆变换（记为xN(n)）与x(n)的 关系式。
解: 由题意知
x(n)2
1N1X(k)2
பைடு நூலகம்
n0
Nk0
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
7）
(1) 长度为N的共轭对称序列xep(n)与反共轭对称序列
xop(n):
xep(n)xep(Nn)
xop(n)xop(Nn)
序列x(n)的共轭对称分量与共轭反对称分量：
xep(n)1 2[x(n)x(Nn)]
且
X(k)=Xr(k)+jXi(k)
则
Xr(k)=DFT［xep(n)］, jXi(k)=DFT［xop(n)］
（4） 实序列DFT及FT的特点: 假设x(n)是实序列，
X(k)=DFT［x(n)］， 则
X(k)=X*(N－k)
|X(k)|=|X(N－k)|, θ(k)=－θ(N－k)
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
第3章 离散傅里叶变换(DFT)09-10-
N 1
X (k) DFT[x(n)]
x(n)W
nk N
,0
k
N
1
n0
DFT
x(n)
IDFT [X (k)]
1 N
N 1
X
(k
)W
nk N
k 0
,0
n
N
1
例：x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 解：设变换区间N=8， 则
7
X1(k)
3
x(n)W8kn
j 2 kn
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
k 偶数
0， k 奇数
0 k 2N -1
~
~
N 1 ~
j 2 kn
X (k) DFS[x(n)] x(n)e N
令
yn， 试x求nY(NkR)=2DNFnT[y(n)]与
X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Yk
ynW2kNn
xnN
R2
N
n
W kn 2N
n0
n0
N 1
2 N 1
xnW2kNn xnW2kNn
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
序列的DFS级数系数的主值序列！
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x (5) x ((5)) 5 x ( 0 ) x ( 6 ) x (( 6 )) 5 x (1)
~ ~
~
M为整数，
则有
所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。
2012-10-5
数字信号处理
如果x(n)的长度为N， 且 x (n)=x((n))N， 则可写 ~ 出 x (n)的离散傅里叶级数表示为
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1
由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则
X (k )
2 8
7
x ( n )W 8 sin ( sin (
设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循 环移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n) 则
Y(k)=DFT［y(n)］
=W-km NX(k) 其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。 (3.2.3)
2012-10-5
数字信号处理
证明：
Y ( k ) D F T [ y ( n )]
kn
因为上式中x2((n′))NW
N 1
kn′ ， N
以N为周期， 所以对
其在任一个周期上求和的结果不变。 因此
X (k )
m 0
x 1 ( m )W N
kn
X 1 ( k ) X 2 ( k ),
0 k N 1
循环卷积过程中， 要求对x2(m)循环反转， 循环移 位， 特别是两个N长的序理的循环卷积长度仍为N。 显 然与一般的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为
2012-10-5 数字信号处理
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
2012-10-5
数字信号处理
2012-10-5
图 3.2.1
数字信号处理 循环移位过程示意图
2. 时域循环移位定理
X ( k ) D F T [ x ( n )]
N 1
x ( n )W N , k = 0 , 1 , & , N -1 (3 .1 .1 )
kn
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X ( k ) D F T [ x ( n )] 1 N
N 1
X ( n )W N
kn
, k= 0 , 1 , & , N -1 (3 .1 .2 )
(3.2.6)
N 1
X 1 ( l ) X 2 (( k l )) N R N ( k )
l0
X 2 (k ) X 1(k )
N 1
X 2 ( l ) X 1 (( k l )) N R N ( k )
l0
X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］
2012-10-5
3 j k 8
k) , k 0,1, ,1 5 k)
16
2012-10-5
数字信号处理
3.1.2 DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
X ( z ) Z T [ x ( n )]
N 1
x (n ) z
n
n0
X ( k ) D F T [ x ( n )]
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
2012-10-5
数字信号处理
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为
N 1
k 0
[ x ( m )W N ]W N
mk m 0
N 1
kn
m 0
x(m )
1 N
1
N 1
WN
k (m n )
k 0
1 N
2012-10-5
WN
k (m n )
{0
m n M N ,M m n M N ,M
M为整数 M为整数
k 0
数字信号处理
边等于左边即可。
X ( N k ) [ x ( n )W N
n0 N 1 ( N k )n
]
N 1
x ( n )W N x ( n )W N
( N k )n
n0 kn
N 1
n0
D F T [ x ( n )]
又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0) 用同样的方法可以证明 DFT［x*(N-n)］=X*(k)
kn
令n-m=n′， 则有
X (k )
2012-10-5
m 0
N 1
x1 ( m )
n m N 1 m km
x 2 (( n )) N W N
k ( n m )
m 0
N 1
x 1 ( m )W N
数字信号处理 m n
x 2 (( n )) N W N
~
实际上， 任何周期为N的周期序列
则是 x
~
x
都可以看
作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)
~
的一个周期， 即
x(n )
m
x(n m N )
( 3 .1 .5)
x(n ) x(n ) RN (n )
~
(3 .1 .6 )
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
N 1
x ( n )W N
kn
0 k N -1
n0
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z )
ze j
2 N
j
k
,
0 k N -1
(3 .1 .3 )
X (k ) X ( z
2012-10-5
)
2 N
,
k
0 k N -1
(3 .1 .4 )
数字信号处理
kn
kn
WN WN
km
n 0 km
N 1
X (k )
3. 频域循环移位定理如果
X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k) 则 y(n)=IDFT［Y(k)］=WnlNx(n)
2012-10-5 数字信号处理
(3.2.4)
3.2.3 循环卷积定理
x (n ) x (n ) N
~
(3 .1 .7 )
2012-10-5
数字信号处理
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
2012-10-5 数字信号处理
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，
((n))N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如， N 5, x ( n ) x ( n ) 5 ,
2012-10-5
m 0
N 1
x 1 ( m )(( n m )) N R N ( n ) x 2 ( m )(( n m )) N R N ( n )
(3.2.5)
m 0
N 1
数字信号处理
一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循
环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT
n0
201FT变换区间长度N≥M， 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面 证明IDFT［X(k)］的唯一性。
j
2
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
ID F T [ X ( k )]
N 1
1 N
N 1
X (k ) x(n )
~ ~
~
1 N
N 1
x ( n )W N
kn ~ kn
~
n0
1 N
~
N 1
x (( n )) N W N
kn
n0
N 1
x ( n )W N
kn
(3.1.8)
(3.1.9)
n0
X ( k )W N
N 1
X ( k )W N
kn
n0
有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1 和N2 ， N=max［ N1, N2 ］。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(b)］
如果
X(k)=X1(k)·X2(k) 则
x ( n ) ID F T [ X ( k )] x ( n ) ID F T [ X ( k )]
所以
x ( n ) ID F T [ X ( k )] x 1 ( n ) x 2 ( n ) x 2 ( n ) x1 ( n )
即循环卷积亦满足交换律。
2012-10-5
数字信号处理
作为习题请读者证明频域循环卷积定理：
~ ~
~
M为整数，
则有
所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。
2012-10-5
数字信号处理
如果x(n)的长度为N， 且 x (n)=x((n))N， 则可写 ~ 出 x (n)的离散傅里叶级数表示为
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1
由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则
X (k )
2 8
7
x ( n )W 8 sin ( sin (
设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循 环移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n) 则
Y(k)=DFT［y(n)］
=W-km NX(k) 其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。 (3.2.3)
2012-10-5
数字信号处理
证明：
Y ( k ) D F T [ y ( n )]
kn
因为上式中x2((n′))NW
N 1
kn′ ， N
以N为周期， 所以对
其在任一个周期上求和的结果不变。 因此
X (k )
m 0
x 1 ( m )W N
kn
X 1 ( k ) X 2 ( k ),
0 k N 1
循环卷积过程中， 要求对x2(m)循环反转， 循环移 位， 特别是两个N长的序理的循环卷积长度仍为N。 显 然与一般的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为
2012-10-5 数字信号处理
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
2012-10-5
数字信号处理
2012-10-5
图 3.2.1
数字信号处理 循环移位过程示意图
2. 时域循环移位定理
X ( k ) D F T [ x ( n )]
N 1
x ( n )W N , k = 0 , 1 , & , N -1 (3 .1 .1 )
kn
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X ( k ) D F T [ x ( n )] 1 N
N 1
X ( n )W N
kn
, k= 0 , 1 , & , N -1 (3 .1 .2 )
(3.2.6)
N 1
X 1 ( l ) X 2 (( k l )) N R N ( k )
l0
X 2 (k ) X 1(k )
N 1
X 2 ( l ) X 1 (( k l )) N R N ( k )
l0
X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］
2012-10-5
3 j k 8
k) , k 0,1, ,1 5 k)
16
2012-10-5
数字信号处理
3.1.2 DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
X ( z ) Z T [ x ( n )]
N 1
x (n ) z
n
n0
X ( k ) D F T [ x ( n )]
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
2012-10-5
数字信号处理
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为
N 1
k 0
[ x ( m )W N ]W N
mk m 0
N 1
kn
m 0
x(m )
1 N
1
N 1
WN
k (m n )
k 0
1 N
2012-10-5
WN
k (m n )
{0
m n M N ,M m n M N ,M
M为整数 M为整数
k 0
数字信号处理
边等于左边即可。
X ( N k ) [ x ( n )W N
n0 N 1 ( N k )n
]
N 1
x ( n )W N x ( n )W N
( N k )n
n0 kn
N 1
n0
D F T [ x ( n )]
又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0) 用同样的方法可以证明 DFT［x*(N-n)］=X*(k)
kn
令n-m=n′， 则有
X (k )
2012-10-5
m 0
N 1
x1 ( m )
n m N 1 m km
x 2 (( n )) N W N
k ( n m )
m 0
N 1
x 1 ( m )W N
数字信号处理 m n
x 2 (( n )) N W N
~
实际上， 任何周期为N的周期序列
则是 x
~
x
都可以看
作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)
~
的一个周期， 即
x(n )
m
x(n m N )
( 3 .1 .5)
x(n ) x(n ) RN (n )
~
(3 .1 .6 )
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
N 1
x ( n )W N
kn
0 k N -1
n0
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z )
ze j
2 N
j
k
,
0 k N -1
(3 .1 .3 )
X (k ) X ( z
2012-10-5
)
2 N
,
k
0 k N -1
(3 .1 .4 )
数字信号处理
kn
kn
WN WN
km
n 0 km
N 1
X (k )
3. 频域循环移位定理如果
X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k) 则 y(n)=IDFT［Y(k)］=WnlNx(n)
2012-10-5 数字信号处理
(3.2.4)
3.2.3 循环卷积定理
x (n ) x (n ) N
~
(3 .1 .7 )
2012-10-5
数字信号处理
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
2012-10-5 数字信号处理
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，
((n))N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如， N 5, x ( n ) x ( n ) 5 ,
2012-10-5
m 0
N 1
x 1 ( m )(( n m )) N R N ( n ) x 2 ( m )(( n m )) N R N ( n )
(3.2.5)
m 0
N 1
数字信号处理
一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循
环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT
n0
201FT变换区间长度N≥M， 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面 证明IDFT［X(k)］的唯一性。
j
2
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
ID F T [ X ( k )]
N 1
1 N
N 1
X (k ) x(n )
~ ~
~
1 N
N 1
x ( n )W N
kn ~ kn
~
n0
1 N
~
N 1
x (( n )) N W N
kn
n0
N 1
x ( n )W N
kn
(3.1.8)
(3.1.9)
n0
X ( k )W N
N 1
X ( k )W N
kn
n0
有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1 和N2 ， N=max［ N1, N2 ］。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(b)］
如果
X(k)=X1(k)·X2(k) 则
x ( n ) ID F T [ X ( k )] x ( n ) ID F T [ X ( k )]
所以
x ( n ) ID F T [ X ( k )] x 1 ( n ) x 2 ( n ) x 2 ( n ) x1 ( n )
即循环卷积亦满足交换律。
2012-10-5
数字信号处理
作为习题请读者证明频域循环卷积定理：