知识讲解 简谐运动及其图象

3．振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅，用 表示．
（2）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（ ）．
（3）意义：振幅是表示振动强弱的物理量．
要点诠释：①振幅是一个标量，是指物体偏离平衡位置的最大距离．它没有负值，也无方向，所以振幅不同于最大位移．②在简谐运动中，振幅跟频率或周期无关．在一个稳定的振动中，物体的振幅是不变的．③振动物体在一个全振动过程通过的路程等于 个振幅，在半个周期内通过的路程是两个振幅，但 个周期内通过的路程不一定等于一个振幅．可以比一个振幅大，也可以比一个振幅小．
3．计算振动物体通过的路程的方法
一个周期内，振子的运动路程为 ．若全振动的次数为 ，则振动物体通过的路程为 ．
4．对一次全振动的认识
对简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：
一是从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值（大小、方向两方面），即物体完成了一次全振动；
（1）从图像上可知振动的振幅为 ；
（2）从图像上可知振动的周期为 ；
（3）从图像上可知质点在不同时刻的位移， 时刻对应位移 ， 时刻对应位移 ；
（4）从图像上可以比较质点在各个时刻速度的大小及符（表示方向），如 时刻质点的速度较 时刻质点的速度小， 时刻质点的速度为负， 时刻质点的速度也为负（ 时刻是质点由最大位移处向平衡位置运动过程的某一时刻，而 时刻是质点由平衡位置向负的最大位移运动过程中的某一时刻）；
【总结升华】解决振动问题技巧之一是把振动图像和振动的情景结合起来，由图像获取信息形成物理情景，或由实际运动情景转化为振动图像．并注意规定正方向和零时刻不同。振动图像的形状一般不同．
举一反三:
【高清课堂：简谐振动及其图像例3】
【变式1】一个弹簧振子在 间做简谐运动， 为平衡位置，如图甲所示，从某时刻起开始计时 ，经过 周期，振子具有正向最大速度，则如图乙所示的图象中，哪一个能正确反映振子的振动情况？
（5）从图像上可以比较质点在各个时刻加速度的大小及符，如 时刻的加速度较质点在 时刻的加速度大， 时刻质点加速度符为负， 时刻质点加速度符为正；
（6）从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差．
7．简谐运动的周期性
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断：
（1）若
，
则 两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．
【答案】A C
【高清课堂：简谐振动及其图像例2】
【变式2】一质点作简谐运动，图象如图所示，在 到 这段时间内，质点的运动情况是（ ）
A．沿负方向运动，且速度不断增大
B．沿负方向运动的位移不断增大
C．沿正方向运动，且速度不断增大
D．沿正方向的加速度不断减小
【答案】C D
类型二、振动图像的理解
例2（2015东城一模）如图甲所示，弹簧的一端与一个带孔小球连接，小球穿在光滑水平杆上，弹簧的另一端固定在竖直墙壁上。小球可在a、b两点之间做简谐运动，O点为其平衡位置。根据图乙所示小球的振动图像，可以判断（）
（5）简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成： ，注意同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位 是随时间变化的量．
（6）相位每增加 就意味着完成了一次全振动．
2．测量弹簧振子周期的方法
弹簧振子的周期一般较小，测定其周期时，一般是用秒表测出振子完成 次全振动所用的时间 ，则
．
值取大一些（如 ）可以减小周期的测量误差．
7．能用公式描述简谐运动的特征。
【要点梳理】
要点一、机械振动
1．弹簧振子
弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．
2．平衡位置
平衡位置是指物体所受回复力为零的位置．
3．振动
物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动．
若 ，由简谐运动的对称特点，还可判断 和 时刻对应的速度大小关系为 。
（2）从图像斜率分析：图像切线斜率为正，速度方向为正方向，图像切线斜率为负，速度方向为负方向，斜率绝对值表示速度大小．斜率大、速度大．
要点三、描述简谐运动的基本概念
1．全振动
一个完整的振动过程，称为一次全振动．
不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的．
二是看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍．
5．相位差
是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异．
设两简谐运动 和 的振动方程分别为：
，
，
它们的相位差为
．
可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差．
简谐运动及其图象
编稿：张金虎审稿：吴嘉峰
【学习目标】
1．知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。
2．知道什么样的振动是简谐运动。
3．明确简谐运动图像的意义及表示方法。
4．知道什么是振动的振幅、周期和频率。
5．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。
6．知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。
【总结升华】位移和平衡位置是机械振动问题中非常重要的概念．位移的正负方向应该作出规定，平衡位置则是物体所受回复力为零时所在的位置．
举一反三:
【高清课堂：简谐振动及其图像例1】
【变式1】一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，则（）
A．振幅是
B．振动频率为
C． 时，质点速度为正且最大
D． 时，质点速度为正且最大
2．实际物体看做理想振子的条件
（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）；（2）当与弹簧相接的小球体积足够小时，可以认为小球是一个质点；（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内．
3．理解简谐运动的对称性
如图所示，物体在 与 间运动， 点为平衡位置， 和 两点关于 点对称，则有：
（1）时间的对称：
，
，
．
（2）速度的对称：
①物体连续两次经过同一点（如 点）的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于 点对称的两点（如 与 两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
4．从振动图像分析速度的方法
（1）从振动位移变化情况分析：如图所示，例如欲确定质点 在 时刻的速度方向，取大于 一小段时间的另一时刻 ，并使 极小，考查质点在 时刻的位置 （ ），可知 ，即 位于 的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明 时刻质点速度方向沿 轴的负方向．同理可判定 时刻质点沿 轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处运动．
A．t=0时刻小球运动到a点
B．t=t1时刻小球的速度为零
C．从t1到t2时间内小球从O点向b点运动
D．从t1到t2时间内小球刚好完成一次全振动
【答案】C
【解析】由图可直观地获得以下信息：t=0和t=t1时刻小球均处于平衡位置，速度最大，方向相反，故A、B均错；从t1到t2时间内小球向x轴正方向运动，即从O点向b点运动，故C正确；从t1到t2时间内小球刚好完成 个全振动，故D错误．
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动．
简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动．
物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动．
简谐运动是最简单、最基本的振动．
振动的特征是运动具有重复性．
要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线．
4．振动图像
（1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间 ，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移 ，建立坐标系，如图所示．
（2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移 随时间 变化的规律．
（3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的．如图所示，在 图像中，某时刻质点位置在 轴上方，表示位移为正（如图中 时刻），某时刻质点位置在 轴下方，表示位移为负（如图中 时刻）．
2．周期
（1）定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫做振动的周期，用 表示．
（2）单位：在国际单位制中，周期的单位是秒（ ）．
（3）意义：周期是表示振动快慢的物理量．
周期越长表示物体运动得越慢，周期越短表示物体运动得越快．
（4）简谐运动的周期公式： ．
要点诠释：公式中 为做简谐运动物体的质量， 为做简谐运动物体受到的合外力跟位移的大小的比例常数．
（4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正负表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．
如图所示，在 坐标轴上，设 点为平衡位置。 为位移最大处，则在 点速度最大，在 两点速度为零．
在前面的 图像中， 时刻速度为正， 时刻速度为负．
要点二、简谐运动
1．简谐运动
C．若规定状态 时 ，则图像为③D．若规定状态 时 ，则图像为④
【思路点拨】把振动图像和振动的情景结合起来，由图像获取信息形成物理情景，或由实际运动情景转化为振动图像．并注意规定正方向和零时刻不同。
【答案】A、D
【解析】振子在状态 时 ，此时的位移为 ，且向规定的正方向运动，故选项A正确．振子在状态 时 ，此时的位移为 ，且向规定的负方向运动。相应的图中初始位移不对．振子在状态 时 ，此时的位移为 ，且向规定的负方向运动，相应的图中运动方向及初始位移均不对．振子在状态 时 ，此时的位移为 ，速度为零，故选项D正确．