勾股定理公式法

勾股定理重点知识点

勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。

2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。

3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。

B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。

必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。

然后进一步结合其他已知条件来解决问题。

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。

面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。

任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。

数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。

2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。

3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。

三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。

八年级上册数学总复习资料

八年级上册数学总复习资料初二数学上册总复习指导第一章勾股定理1、探索勾股定理① 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c22、一定是直角三角形吗① 如果三角形的三边长a b c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形一定是直角三角形3、勾股定理的应用第二章实数1、认识无理数① 有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示② 无理数：无限不循环小数2、平方根① 算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做a的算数平方根② 特别地，我们规定：0的算数平方根是0③ 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。

那么这个数x就叫做a 的平方根，也叫做二次方根④ 一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根⑤ 正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作±⑥ 开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数3、立方根① 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根，也叫三次方根② 每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数;0立方根是0;负数的立方根是负数。

③ 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数4、估算① 估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数5、用计算机开平方6、实数① 实数：有理数和无理数的统称② 实数也可以分为正实数、0、负实数③ 每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大7、二次根式① 含义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数② =(a≥0，b≥0)，=(a≥0，b0)③ 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式④ 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式第三章位置与坐标1、确定位置① 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据2、平面直角坐标系① 含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系② 通常地，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

海伦公式勾股定理证明法

海伦公式勾股定理证明法好的，以下是为您生成的文章：咱先来说说这海伦公式和勾股定理啊，这俩在数学的世界里可都是大名鼎鼎的角色！海伦公式呢，主要是用来求三角形的面积。

您想想，要是只知道三角形三条边的长度，就能算出它的面积，这多神奇！而勾股定理就更妙啦，它说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

那怎么用勾股定理来证明海伦公式呢？这可得好好琢磨琢磨。

我记得有一次，我在给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸疑惑地问我：“老师，这俩定理感觉八竿子打不着呀，怎么能扯到一块儿去呢？”我笑了笑，跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”咱们先假设一个三角形，三条边分别是 a、b、c。

然后呢，咱们以边 c 为底边，作这条边上的高 h。

这时候，这个三角形就被分成了两个直角三角形。

接下来咱们就可以用勾股定理啦。

对于其中一个直角三角形，一条直角边是 h，另一条直角边是（c + x）/ 2 ，斜边是 a ；对于另一个直角三角形，一条直角边是 h ，另一条直角边是（c - x）/ 2 ，斜边是 b 。

然后根据勾股定理，可以得到两个方程：h² + [（c + x）/ 2 ]² = a²①h² + [（c - x）/ 2 ]² = b²②用① - ②，经过一番整理，就能得到 x 的表达式。

再把 x 的表达式代入其中一个方程，就能求出 h 的表达式。

最后，再根据三角形面积等于底乘以高除以 2 ，就能得到海伦公式啦。

这整个过程啊，就像是解谜一样，一步一步地推导，每一步都充满了惊喜和乐趣。

当学生们终于搞清楚这个证明过程的时候，那脸上露出的兴奋和满足的表情，让我觉得特别有成就感。

其实数学就是这样，看起来复杂的定理和公式，只要咱们耐心地去探索，去推导，总能发现其中隐藏的美妙逻辑。

所以啊，同学们，别害怕数学，勇敢地去探索它的奥秘，说不定会给您带来意想不到的乐趣呢！总之，用勾股定理证明海伦公式，虽然过程有点复杂，但只要咱们理清思路，一步一个脚印，就一定能搞明白。

第一节勾股定理(含答案)...八年级数学学而思

第一节勾股定理1.勾股定理如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么.222c b a =+即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，如图7-1-1所示，注：勾——最短的边，股——较长的直角边，弦——斜边．勾股定理反映了直角三角形中三边间的关系，因此利用它可以解决有关边长的计算问题，也可以解决与直角三角形有关的一些平方关系的证明问题． 2.勾股定理的证明如图7-1-1所示，图①是一个直角三角形，方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形：.,214)(S 22222c b a ab c b a ABCD =+∴⨯+=+=正方形Θ方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图③所示的正方形：.,214)(S 22222EF c b a ab b a c GH =+∴⨯+-==正方形Θ方法三：“总统”法，如图④所示将两个直角三角形拼成直角梯形：.,212122))((S 2222ABCD c b a c ab b a b a =+∴+⨯=++=梯形117--3.直角三角形的性质(1)两锐角互余．(2)三边满足勾股定理．(3)斜边上的中线等于斜边的一半． (4)ο30角所对的直角边等于斜边的一半，另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即.ch ab =4. 直角三角形的判定 (1)有一个角是直角． (2)两锐角互余．(3)勾股定理的逆定理．(4)一条边上的中线等于这条边的一半（用时需证）．1.勾股定理应用常见注意事项(1)勾股定理只适用于直角三角形．(2)运用勾股定理时，要分清直角边和斜边，如果题目没有指明，则需分类讨论． (3)勾股定理将“数”与“形”有机结合，是数形结合思想方法的典范， 2.勾股定理证明方法的注意事项(1)目前已知的勾股定理证明方法有几百种，大多本质是应用面积方法算两次，即利用同一个图形公式法算出的面积和割补法算出的面积相等这一等量关系列出方程进行证明； (2)如图7-1-1所示，图②，③这两个弦图是正方形或者等腰直角三角形证明过程中的常用模型，必须掌握熟练． 3. 构造直角三角形的常用方法(1)作高，如图7-1- 201，②所示．(2)补全，如图7-1 - 2③，④所示．图7- I-2(3)分割，如图7—1—2⑤所示． 4.直角三角形边的关系(1)斜边上的高×斜边=直角边乘积． (2)斜边上的中线等于斜边的一半．(3) 30。

90度勾股定理常用算法

90度勾股定理常用算法
一般常用的90度勾股定理算法有以下几种：
1.暴力枚举法：这种算法就是直接枚举三个数a、b、c，判断它们是否满足勾股定理。

时间复杂度O(n^3)。

2.边界缩减法：因为勾股定理是对称的，所以我们可以将三个数a、b、c中的最大值定为c，然后通过枚举a和b来判断是否满足勾股定理。

时间复杂度O(n^2)。

3.剪枝优化法：在边界缩减法的基础上，我们可以进一步优化，比如通过判断a+b是否大于c来缩小枚举范围，从而减少时间复杂度。

4.欧拉公式法：这种算法利用欧拉公式a^2+b^2=c^2，可以通过变换，转化成a^2=c^2-b^2，b^2=c^2-a^2，c^2=a^2+b^2的形式，然后通过枚举a或b来求解。

时间复杂度O(n)。

5.三角函数法：在直角三角形中，正弦函数sin、余弦函数cos、正切函数tan 之间有着一定的关系，可以利用它们来求解勾股三元组。

时间复杂度O(n)。

线段长度的计算方法探究

线段长度的计算方法探究线段是数学中的一个基本概念，它是由两个端点所确定的一条直线上的一段。

在几何学中，我们经常需要计算线段的长度，这对于解决各种问题和应用都非常重要。

本文将探究线段长度的计算方法，介绍几种常见的计算方式，并分析它们的优缺点。

一、勾股定理勾股定理是计算线段长度最常用的方法之一。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

因此，如果我们知道了线段的两个端点的坐标，就可以利用勾股定理来计算线段的长度。

假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的长度可以通过以下公式来计算：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，√表示开平方根的运算。

勾股定理的优点是简单易用，适用于各种情况下的线段长度计算。

然而，它也存在一些局限性。

首先，它要求我们知道线段的两个端点的坐标，这在某些情况下可能不容易获取。

其次，勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形或其他形状的线段计算就不适用了。

二、坐标差值法坐标差值法是另一种常见的计算线段长度的方法。

它利用线段的两个端点的坐标差值来计算线段的长度。

假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的长度可以通过以下公式来计算：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这与勾股定理的计算公式相同。

坐标差值法的优点是简单直观，适用于各种情况下的线段长度计算。

与勾股定理相比，它不仅适用于直角三角形，也适用于非直角三角形或其他形状的线段计算。

然而，它也有一些局限性。

首先，它要求我们知道线段的两个端点的坐标，这在某些情况下可能不容易获取。

其次，当线段的长度非常大或非常小时，坐标差值法可能会产生较大的误差。

三、直角坐标系下的距离公式直角坐标系下的距离公式是一种更一般化的计算线段长度的方法。

它利用线段的两个端点的坐标差值来计算线段的长度，但不限于二维平面，也适用于三维空间等更高维度的情况。

用勾股定理证海伦公式

在我要用勾股定理来证明海伦公式。在证明之前，我们来先看看什么是广勾股定理。
•
• 钝角三角形仿上法可得出结论，我就不细细讲了
海伦简介
• Heron 海伦生于公元10年到公元75年海伦他是一个非常重要的几何学家和机械学家，他生长在这个对数学家生平不是很注重的年代，以致于虽然有一些文章是以海伦为名，但是后人还是不敢肯定是否真的是海伦本人所著。要确定海伦真正的出生年月日是非常困难的，一派的人认为他出生於公元前150年左右，另一派的人则认为他出生于公元后250年，前一派人的主张是基於目前并未发现有比阿基米得更晚的海伦作品，而后一派的人则认为他生长於托勒密之后，所以应该是公元后
• 才对。可是最近又有第三种证据显示，以上两种说法都是错误的，因为有一个跟他同时代的诗人柯南美拉，他是一位罗马士兵，曾在一篇文章中提过他，史学家也在1938年，找到其他证据支持这个论点。从他的著作中我们知道他曾经在亚历山大博物馆工作过，在那里他传授几何、物理、气体学和机械学，上课的内容有一些是他著作的教科书，有一些他的草稿。他的书可分成两类，一类是理论的部分，包括了几何、算数、天文学和物理，另一类是则是技能指南的部分，包括了物质
• 一书,该书的原稿本於1896年才被发现,全书共分为三卷.第一卷由矩形和三角形开始,讨论了平面图形和立体表面之面积,并给出了著名的三角形面积公式-海龙公式.第二卷探讨立体图形,其中包括圆锥体,圆柱体, 稜柱体等立体体积的求法.第三卷介绍了平面和立体图形案给定比例之分割,并用到了求立方根的近似公式.海龙另一部关於测地学的著作 (Dioptra)也很有名,在这部著作中,海龙对如何在隧道之两端同时动工而能使之衔接提出说明,也解释如何测量两地的距离,包括有一地不能到达以及两地均能看见但均不能到达的情形;另外他也说明如何从已知点到不可及的一线作垂线,以及如何测知一块地的面积而不需进入这块地面上.大家熟知的三角形面积公式(a,b,c为三角形之三边长,s为周长之半),是最后提到的观念(不进入一块地而能测知其面积的依据).这个公式出现於他的测地学(Deodesy),在Dioptra和Metrica中又再度出现, 并且附上证明.海龙的著作之特色是掺合了严密数学和近似方法以及埃及人的公式,

公式法教案

公式法教案教学目标：1. 理解和掌握公式法的定义、原理和应用；2. 能够利用公式法解决实际问题，并进行推广应用；3. 培养学生的数学思维和抽象思维能力，提高其数学能力。

教学重难点：1. 公式法的应用；2. 抽象思维能力的培养。

教学步骤：一、导入老师向学生展示一道数学题目，并让学生自行尝试解决。

例如：在三角形ABC中，∠A=60°，BC=4，AC=6，则AB=？二、引入公式法介绍公式法的定义及作用，为学生打下基础。

公式法是数学中一种解决问题的方法，利用已有的公式或定理来推导出问题的解，从而解决实际问题。

三、公式法的基础知识1. 知识点1：勾股定理介绍勾股定理，以及如何利用勾股定理求解三角形的边长问题。

2. 知识点2：正弦定理介绍正弦定理，以及如何利用正弦定理求解三角形的边长问题。

3. 知识点3：余弦定理介绍余弦定理，以及如何利用余弦定理求解三角形的边长问题。

四、公式法的应用利用各种公式和定理解决实际问题，并让学生通过多次练习掌握公式法的应用技巧，如何通过公式法解决三角形的面积问题等。

五、推广应用根据学生容易犯错的情况，进行公式运用的巩固和加强练习，并让学生尝试自己推导公式，培养其抽象思维能力。

六、作业布置布置相关的作业题目，巩固学生对公式法的掌握和应用。

教学方法：1. 课堂讲解法：运用案例分析和讲解等方式，让学生了解公式法的基础知识和应用方法。

2. 课堂练习法：设置多种不同难度的习题，让学生通过练习掌握公式法的应用技巧。

3. 推广训练法：带领学生进行深度理解和巩固，利用多种方式进行巩固，提高学生的应用能力及抽象思维能力。

教学效果：通过本次课的学习，学生能够熟练掌握公式法的基础知识和应用技巧，同时也能够培养其抽象思维能力，提高其数学能力和解决问题的能力。

勾股定理数学知识提纲

勾股定理数学知识提纲数学是中考重要科目，想要学好数学，首先要找到学习的窍门，这样可以让我们事半功倍。

下面小编给大家分享一些勾股定理数学知识提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读!勾股定理数学知识提纲勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法.关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法.证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2.下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE.因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS).而所以SAEML=b2. ①同理可证SBLMD=a2. ②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2.证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB.由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB为边长是c的正方形.显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即化简得 a2+b2=c2.证法3 如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H.由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=SABDE+2S△ABC，①另一方面S=SACGF+SHGKD+2S△ABC. ②由①，②所以 c2=a2+b2.关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名.利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论.定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示.作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②又BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD=AC2+BC2-2BC?CD，即c2=a2+b2-2a?CD. ④(2)设角C为钝角，如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥又BD2=(BC+CD)2，⑦将⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD=AC2+BC2+2BC?CD，即c2=a2+b2+2a?cd. ⑧综合④，⑧就是我们所需要的结论特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2.因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°;(2)若c2(3)若c2>a2+b2，则∠C>90°.勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.例1 如图2-21所示.已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G.求证：AB2=2FG2.分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE.证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE 的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以AF=AB. ①在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2. ②由①，②得AB2=2FG2.说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了.例2 如图2-22所示.AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2).证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内).由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM?MD. ①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC?MD. ②①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2). ③如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式.推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外).利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式.①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长.例3 如图2-23所示.求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.分析如图2-23所示.对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题.证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P.由例2，在△BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2. ①在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以将②，③代入①得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.说明本题是例2的应用.善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法.下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用.例4 如图2-24所示.已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点.求证：AD2+BE2=AB2+DE2.分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手.证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.如图2-25所示.设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线.求证：4(AM2+BN2)=5AB2.分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况――即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁.证连接MN，利用例4的结论，我们有AM2+BN2=AB2+MN2，所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2. ①由于M，N是BC，AC的中点，所以所以4MN2=AB2. ②由①，②4(AM2+BN2)=5AB2.说明在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示.MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S.由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行.又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN.初中数学要怎么学1、课前预习预习是学习的第一步，通过预习可以更好地听老师讲课，提高学习效率。

勾股定理的证明方法有多少种

勾股定理的证明方法有多少种
勾股定理的证明方法有很多种，下面介绍几种常见的方法：
1. 几何证明：通过构造直角三角形，在平面上利用几何图形进行证明。

常见的几何证明方法包括割圆法、方形法、相似三角形法等。

2. 代数证明：通过代数运算推导勾股定理。

常见的代数证明方法包括平方差公式法、向量法、复数法等。

3. 三角函数证明：利用三角函数的性质进行证明。

常见的三角函数证明方法包括正弦定理法、余弦定理法、正切定理法等。

4. 解析几何证明：通过利用坐标系的性质以及点之间的距离关系进行证明。

常见的解析几何证明方法包括斜率法、中点坐标法、向量法等。

不同的证明方法适用于不同的场景和问题，选择合适的证明方法可以简化证明过程，提高证明的可理解性和可推广性。

平方差公式几何证明6种

平方差公式几何证明6种a²-b²=(a+b)(a-b)下面将给出六种几何证明平方差公式的方法。

1.长方形法证明：考虑一个长方形，其中长为a+b，宽为a-b。

将这个长方形分割成两个正方形，一个边长为a，另一个边长为b。

则长方形的面积可以表示为(a+b)(a-b)。

另一方面，根据长方形的面积公式，面积也可以表示为a²-b²。

因此，我们得到了平方差公式。

2.根据勾股定理证明：考虑一个直角三角形，其中一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。

根据勾股定理，斜边的长度为√(a²+b²)。

另一方面，根据勾股定理的另一个形式，斜边的长度也可以表示为√((a+b)(a-b))。

因此，我们可以得到平方差公式。

3.齐次坐标法证明：考虑一个平面上的点P(a,a²)和Q(b,b²)。

连接P和Q，得到线段PQ。

根据两点间距离公式，PQ的长度为√((a-b)²+(a²-b²)²)。

另一方面，根据斜率公式，PQ的斜率为(a²-b²)/(a-b)=a+b。

因此，我们可以得到平方差公式。

4.几何平均法证明：考虑一个边长为a的正方形，以及一个边长为b的正方形。

边长分别为a和b的两个正方形的面积分别为a²和b²。

将这两个正方形共边放置在一起，形成一个边长为a+b，面积为(a+b)²的正方形。

然后，将边长为b的正方形从这个大正方形中去掉，留下一个边长为a，面积为(a+b)(a-b)的长方形。

另一方面，我们可以推导出，这个留下的长方形的面积也可以表示为a²-b²。

因此，我们得到了平方差公式。

5.抛物线法证明：考虑一个抛物线y=x²。

选择两个点P(a,a²)和Q(b,b²)，其中a>b，并且Q在P的右侧。

连接P和Q，并延长到抛物线上的点R，使得PQ平行于x轴。

三角函数定义及三角函数公式大全

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三角函数定义及三角函数公式大全一：初中三角函数公式及其定理1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方.2、如下图，在Rt△ABC 中,∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B ）：3的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要) a b c 222c b a =+)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=B A cot tan =B A tan cot = )90cot(tan A A -︒=)90tan(cot A A -︒= BA cos sin =B A sin cos =6当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<〈90°时,tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个,其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：;②角的关系:A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意:尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

探索勾股数规律

勾股定理在数学领域中有着广泛的应用，包括代数、三角函数、解析几何等领域。
勾股定理也是数学史上的一个里程碑，标志着人类对于数与形之间关系的深入理解。
勾股数与人类文明的关系
勾股定理在建筑、工程、天文等领域中都有着广泛的应用，是人类文明发展的重要支撑。
勾股定理也是数学教育中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具有重要意义。
勾股数在物理学中的应用
力学中的应用
在物理学中，勾股定理可以用于解决与力矩、力臂、杠杆平衡等相关的力学问题。
光学中的应用
在光学中，勾股定理可以用于计算光的折射角、反射角等，以及解决与光学仪器相关的几何问题。
电磁学中的应用
在电磁学中，勾股定理可以用于计算电场强度、磁场强度等物理量，以及解决与电磁波传播相关的几何问题。
勾股数迭代法
总结词
计算机编程，适用于大量数值
详细描述
通过计算机编程实现迭代计算，不断寻找满足勾股定理的勾和股的数值。这种方法适用于大量数值的计算，能够快速得到大量的勾股数。但需要一定的编程基础和算法设计能
力。
03
CATALOGUE
勾股数的规律探索
勾股数与奇偶性的关系
总结词
勾股数与奇偶性之间存在一定的规律，即勾股数中的勾和股都是奇数，而弦是偶数。
勾股数在计算机科学中的应用
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，勾股定理可以用于计算二维或三维图形中的角度、距离等几何量，以及进行图形变换和动画制作。
计算机算法中的应用
在计算机算法中，勾股定理可以用于优化计算过程和提高算法效率，例如在计算两点之间的距离时可以使用勾股定理进行简化计算
。
05
探索勾股数规律

高中数学公式的推导与证明方法讲解

高中数学公式的推导与证明方法讲解数学作为一门科学，其独特的语言和逻辑性给人们带来了无限的乐趣和挑战。

高中数学作为数学学科的重要组成部分，其中的公式推导和证明方法更是数学思维和逻辑推理的重要体现。

本文将从几个常见的高中数学公式出发，讲解其推导和证明方法，帮助读者深入理解数学的精髓。

一、勾股定理的推导与证明勾股定理是高中数学中最基础也是最重要的公式之一。

其推导和证明方法有多种，其中最常见的是几何法和代数法。

几何法的推导方法是通过构造直角三角形来证明勾股定理。

首先，我们可以构造一个直角三角形ABC，其中∠B为直角，边长分别为a、b、c。

然后，利用勾股定理的假设条件，即a² + b² = c²，我们可以通过几何推理得出结论。

例如，我们可以通过画两个辅助线，将三角形ABC分成两个直角三角形ACD和BCD，利用这两个直角三角形的几何关系来证明勾股定理。

代数法的推导方法是通过代数运算来证明勾股定理。

首先，我们可以假设直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

然后，我们可以利用勾股定理的假设条件，即a² + b² = c²，通过代数运算来证明这个等式。

例如，我们可以将a²和b²分别展开为(a + b)²和(a - b)²，然后将这两个展开式相加，得到c²。

通过这样的代数运算，我们可以证明勾股定理成立。

二、二次函数的顶点坐标推导与证明二次函数是高中数学中的重要内容，其顶点坐标的推导和证明方法可以通过几何法和代数法来进行。

几何法的推导方法是通过几何图形来证明二次函数的顶点坐标。

首先，我们可以将二次函数表示为y = ax² + bx + c的形式，其中a、b、c为常数。

然后，我们可以通过几何图形的性质，如对称性和切线垂直于曲线等，来推导出二次函数的顶点坐标。

例如，我们可以通过画出二次函数的图像，并找出曲线的对称轴，进而确定顶点坐标。

平行四边形对角线的求法

平行四边形对角线的求法平行四边形是一种特殊的四边形，它有两组对边分别平行且相等。

平行四边形的对角线是指连接平行四边形的两个非相邻顶点的线段。

平行四边形对角线的求法是一个重要的数学知识点，下面我们来详细了解一下。

我们需要知道平行四边形的性质。

平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，且对角线所在的平面是平行四边形的一个对称面。

这些性质对于求解平行四边形对角线非常有帮助。

接下来，我们来看如何求解平行四边形的对角线。

假设我们已知平行四边形的两组对边分别为AB和CD，对角线AC和BD。

我们可以通过以下两种方法来求解对角线的长度。

方法一：使用勾股定理我们可以利用勾股定理来求解对角线的长度。

首先，我们可以通过平行四边形的性质得到AC和BD的长度分别为AB和CD的对角线。

然后，我们可以利用勾股定理求解对角线的长度。

具体来说，我们可以使用以下公式：AC² = AB² + BC²BD² = CD² + BC²其中，BC是对角线AC和BD的中垂线，即平行四边形的对称轴。

通过求解上述两个方程，我们可以得到对角线AC和BD的长度。

方法二：使用平行四边形的面积公式我们也可以利用平行四边形的面积公式来求解对角线的长度。

具体来说，我们可以使用以下公式：S = AB × h其中，S是平行四边形的面积，AB是平行四边形的底边长度，h是平行四边形的高。

我们可以通过求解上述公式得到平行四边形的面积。

然后，我们可以利用平行四边形的性质得到对角线的长度为： AC = 2S/ABBD = 2S/CD通过上述两种方法，我们可以求解平行四边形的对角线长度。

需要注意的是，在使用勾股定理求解对角线长度时，我们需要保证平行四边形的两组对边长度已知。

在使用平行四边形的面积公式求解对角线长度时，我们需要保证平行四边形的底边长度和高已知。

平行四边形对角线的求法是一个重要的数学知识点。

等腰三角形的内接圆半径

等腰三角形的内接圆半径等腰三角形的内接圆半径是指一个圆能够刚好与等腰三角形的三条边相切，而且圆心位于三角形的内部。

在计算等腰三角形的内接圆半径时，可以使用不同的方法，包括应用勾股定理、正弦定理、余弦定理和海龙公式等。

一、勾股定理法勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。

因此，在一个等腰三角形中，如果我们知道了底边长和高，则可以使用勾股定理来求出斜边长（即两腰之一），然后再根据斜边长和底边长计算出内接圆半径。

二、正弦定理法正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，有以下公式：a/sinA =b/sinB = c/sinC。

其中a、b、c分别表示三角形ABC中对应的边长，A、B、C分别表示对应的内角度数。

因此，在一个等腰三角形中，如果我们知道了底边长和顶点处的夹角，则可以使用正弦定理来求出两腰之一的长度，然后再根据斜边长和底边长计算出内接圆半径。

三、余弦定理法余弦定理是指在一个任意三角形ABC中，有以下公式：a² = b² + c² - 2bc cosA。

其中a、b、c分别表示三角形ABC中对应的边长，A表示对应的内角度数。

因此，在一个等腰三角形中，如果我们知道了底边长和顶点处的夹角，则可以使用余弦定理来求出两腰之一的长度，然后再根据斜边长和底边长计算出内接圆半径。

四、海龙公式法海龙公式是指在一个任意三角形ABC中，有以下公式：s =(a+b+c)/2；其中s表示半周长。

则该三角形的面积S可以用以下公式计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))。

因此，在一个等腰三角形中，如果我们知道了底边长和两腰之一的长度，则可以使用海龙公式来计算该等腰三角形的面积，然后再根据面积和底边长计算出内接圆半径。

总结以上四种方法都可以用来计算等腰三角形的内接圆半径。

不同方法适用于不同情况下的计算，因此需要根据具体情况选择合适的方法。

在实际应用中，可以结合多种方法进行计算，以提高计算精度和准确性。

《周髀算经》中勾股定理的公式与证明

《周髀算经》中勾股定理的公式与证明首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] ——昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。

故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。

既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。

两矩共长二十有五，是谓积矩。

故禹之所以治天下者，此数之所生也。

”周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。

于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。

”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。

“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。

”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。

“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。

”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。

“两矩共长③二十有五，是谓积矩。

”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。

因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方。

怎样计算四千年的勾股数

怎样计算四千年的勾股数怎样计算四千年的勾股数张胜持武汉大学、武昌首义学院摘要：本文对古巴比伦出土文物上的勾股数进行了计算，结果完全正确，对于揭示和分析这些勾股数的计算秘密有着重要的帮助作用。

该文物为普林顿（Plimpton）322号收藏品，现存于美国哥伦比亚大学，有着4000年的历史。

它是属于美索不达米亚古老文明的辉煌成就以及他们那个时期的科学成果和智慧结晶。

关键字：勾股定理；勾股数计算；揭秘；古巴比伦0引言在4000前的亚细亚西部地区，从东边的幼发拉底河和底格里斯河到西边的黎巴嫩山脉之间，就是今天的伊拉克境内，诞生了一个伟大的古老文明：美索不达米亚。

最近两个世纪以来发现了无数那个古老文明留下的文物----泥板。

上面记录了他们的天文地理、文学艺术、政治法律、商业建筑等行业的伟大成就。

这些泥板分布在世界各地的博物馆中，科学家只研究了它们中的很小一部分，大部分还有待科学家们进一步展开深入全面的研究和探讨，以便揭示出现在那个时代的古老的巴比伦文明。

在这些众多的泥板中有一块编号为普林顿（Plimpton）322号收藏品，现存于美国哥伦比亚大学普林顿博物馆中，如图一所示。

经科学家们研究和鉴别，上面记录的是古巴比伦人在那个时期就已经发现的若干组勾股数。

这些勾股数经翻译并修正抄写错误之后公之于众，如表一所示。

共计15组。

这些内容在文献[1]、文献[2]和文献[3]中都有相应的论述。

图一：普林顿322号Fig. 1 Plimpton 322表一：古巴比伦人发现的勾股数Table 1：Pythagorean Number Find by Ancient Babylon本人分别已于2016-1-22发表了《通用勾股定理求解》[4]和2016-2-18发表了《通用勾股定理补充求解》[5]两篇论文，笔者运用这两篇论文中提出的求解定理和计算公式，对表一中的古巴比伦人发现的这15组勾股数进行了计算，结果完全正确，达到了预期的目的。

勾股定理的无字证明

勾股定理的无字证明在学习勾股定理时，我们学会运用图(1)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。

(1)请你用图(2)(20xx年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)。

(2)请你用(3)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：(x+y)^2=x^2+2xy+y^2(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq2这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。

路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

利用相似三角形的证法利用相似三角形证明有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。

此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。

同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。

这些相似关系衍生出以下的比率关系：因为BC=a,AC=b,AB=c所以a/c=HB/a and b/c=AH/b可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c换句话说:a*a+b*b=c*c[*]----为乘号欧几里得的证法在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。