4.1总体与样本 《概率论与数理统计》课件

(2) 样本表示同一批n个电子元件的寿命（小时）.
(3) 样本表示同一批n件产品某一尺寸（mm）.
通过分析或经验，我们容易知道：
(1) 服从两点分布，其概率分布为 px(1p)1x,x=0，1,所需确
定的是参数 p [0,1.] (2) 通常服从指数分布，其密度函数
f
(x；)
ex,x0
,
0, x0
所需确定的是参数 >0．
(3) 通常服从正态分布 N (, 2 ) ，其密度函数
f(x； ， 2) 1 e(x22)2,xR 2
所需确定的是参数( , 2 )，其中 R ， 2 0 ，对于每个总体， 我们称其分布中参数的一切可能取值的集合为参数空间，记 为.
今后对于统计推断，如果总体的分布为形式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知， 仅对参数进行推断，我们就称之为参数推断（估计，检 验）；否则，称为非参数推断.
f* (x 1 ,x 2 , ,x n )i n 1f(x i)i n 1x ix !e (x 2 i 2 )2 (2 1)ne 2 1 2 i n 1(x i )2
. 三、 参数与参数空间 如前所述，数理统计问题的分布一般来说是未知的，需要
通过样本来推断.但如果对总体绝对地一无所知，那么，所
的未知参数，这就是数理统计所要解决的首要问题，办 法是什么呢？以上述例子来说，我们要掌握车辆速度的 分布，电视机寿命的分布，次品率的值，就必须对这一 公路上行驶的车辆的速度，电视机的寿命及三极管中的 次品作一段时间的观察或测试一部分，从而对所关心的 问题作出推断.即： 在数理统计学中，我们总是从所要研究的对象全体中抽 取一部分进行观测或试验，以取得信息，从而对我们所 关心的问题(整体)作出推断和估计.于是如何抽取样本如 何合理地获取数据，怎样合理地利用采集的数据资料对 问题作出推断等等就成为数理统计研究的问题.
2) 1,2, ,n是相互独立的随机变量.
称（ 1,2, ,n ）为一组简单随机样本，简称为样本.
若 为离散型随机变量，其分布列为P令x
；
若f(x)为P 连续x型随机变量，其密度函数为 ，令
称为 总体的概率函数.
p(x)
f(x)p(x)
设总体的概率函数为 ,
为取自总体的一组
样本,则
的联合f ( x概) 率(函1,数2 为n)
例如 1) 在一段时间内某段公路上行驶的车辆的速度服从什么概 率分布是完全不知道的. 2) 某工厂生产的一批电视机的寿命遵循何种分布也可能是 不知道的. 3) 某仪器厂向某元件厂购买一批三极管，任抽一件是次品 或正品遵循的是两点分布（即分布概型已知），但是分布 中的参数（即次品率）往往是未知的.
找出一个随机现象所联系的随机变量的分布或分布中
(1,2 n)
n
f*(x1,x2xn) f(xi)
i1
例5.1.1 设总体 服从参数为 的泊松分布，(1,2, ,n)
为取自总体 的一组样本，求(1,2, ,n)的联合概率函
数. 解:
因为 ~P()，所以
f(x)P (x)xe,x0,1 ,2, 从
而(1,2 n)的联合概率函数为
x!
f*(x1,x2
对于样本需要强调:样本并非一堆杂乱无章无规律可循的 数据，它是受随机性影响的一组数据，因此，用概率论的话 说，就是每个样本既可以视为一组数据，又可视为一组随机 变量，这就是所谓样本的二重性.当通过一次具体的试验，得 到一组观测值，这时样本表现为一组数据；但这组数据的出 现并非是必然的，它只能以一定的概率（或概率密度）出现， 这就是说，当考察一个统计方法是否具有某种普遍意义下的 效果时，又需要将其样本视为随机变量，而一次具体试验得 到的数据，则可视为随机变量的一个实现值.今后为行文方便， 我们常交替使用上述两种观点来看待样本，而不去每次声明 此处样本是指随机变量还是其观测值.
第四章 数理统计的 基本概念
§4.1总体与样本
在概率论的讨论中，概率分布通常总是已知的，而一切 计算和推理就是在这已知的基础上得出的.但在实际问题中， 情况就并非如此，一个随机现象所遵循的分布是什么概型可 能完全不知道；或者我们根据随机现象所反映的某些事实能 断定其概型，但却不知道其分布函数中所含的参数.
n
xi
xn)i n1f(xi)i n1xix !ex1!x2i! 1
en. xn!
例5.1.2 设总体 服从 N(,2),(1,2, ,n)为取自总体的一组样
本，求(1,2, ,n)的联合概率函数.
解: 因为 服从 N(,2) ，
所以
f (x)
1
e , (x22)2
2
从而 (1,2, ,n)的联合概率函数为
为了能使抽到的样本能够对总体作出较可靠的推断，就希 望它能很好地代表总体.这就对抽样方法提出一些要求.最简单 的抽取的样本必须具有（1）样本能代表总体；（2）每个个 体都是随机地抽出的.这就是简单随机样本的概念.
若（ 1,2, ,n）为来自总体的一组样本，且满足
1) 1,2, ,n与总体具有相同的分布；
二、简单随机样本
实际上，从总体中抽取样本可以有各种不同的方法. 例如设一组抽奖券共10000张，其中有5张有奖.问连续抽 取3张均有奖的概率为多少？
对于这个问题，我们可以采取“有放回的”或“无放回的” 连续抽取.
显然无放回的抽样方式不是独立的，每次抽样的结果都将 影响下一次抽样的分布，这种抽样不是我们所希望的抽样.而 有放回的抽样，则是多次独立的抽样，它们是同分布的，是我 们通常所采用的抽样.称为的随机抽样.
能做出的推断的可信度一般也极为有限.在很多情况下，往
往是知道总体所具有的分布形式，而不知道的仅仅是分布
中的参数.这在实际中是大量能见到的，因为，分布的总体
形式我们往往可以通过具体的应用背景或以往的经验加以
确定.
例5.1.3 考虑如何由样本的 1,2, ,n实际背景确定统计模型，
即总体 的分布：
(1) 样本记录随机抽取的n件产品的正品、废品情况.