随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解：

当时， ＝ ＝

1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布：

试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解：

所以：

2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t

⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球

如果对t e t t

t X t 3)(

.维分布函数族试求这个随机过程的一

2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀

分布，服从瑞利分布，其概率密度为

试证明为宽平稳过程。 解：（1）

与无关 （2）

，

所以 （3）

只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E

.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（

2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且

数。试求它们的互协方差函

2.5，

试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立

为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）

解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的

poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。

40

300

(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解：

法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1

N T 表示1()N t =1N 的发生时

刻，2

N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。

1

11

1111111()exp()(1)!

N N

N T f t t t N λλ-=

-- 2

22

1222222()exp()(1)!

N N

N T f t t t N λλ-=

--

1

2

121

2

1

2

2

1

112,12|1221

1122212(,)(|)()exp()

exp()

(1)!

(1)!

N N N N N N

N

N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--==

---- 1

2

2

121

2

1

11221

11222100

12()exp()

exp()(1)!

(1)!

N

N

t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞

--<=----⎰⎰

（2）当1N =2N 、1λ=2λ时，1

2

1

2

1()()2

N N N N P T T P T T <=>=

法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为1λ+2λ的泊松过程。令1Z 、2Z 分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则1Z 、2Z 分别服从参数为1λ、2λ的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。

2

12211122210

()exp()exp()z p P Z Z dz z z dz λλλλ∞

=<=--⎰⎰

112

λλλ=

+。

故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-p 212

λλλ=

+

上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1λ+2λ的泊松过程时，乘客分别以112λλλ+概率乘坐公共汽车1，以212

λ

λλ+的概率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：

121111

1112112

12

(1=

(

)(

)N N N N k N k k N P C λλλλλλ+----=++∑

路汽车比2路汽车先出发）

（2）当1N =2N 、1λ=2λ时

21

211

111

11111(1=()()2222N N N k N k k k k N k N P C

C -------====∑∑路汽车比2路汽车先出发）

3.3设{(),0}i N t t ≥，(1,2,,)i n =是n 个相互独立的

Poisson 过程，参数分别为

i λ(1,2,

,)i n =。记T 为全部n 个过程中，第一个事件发生的时刻。