绝对值问题地求解方法

绝对值问题的求解方法

一、定义法

例1 若方程只有负数解，则实数a的取值围是：_________。

分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为：

，

∴，

即

说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。

二、利用非负性

例2 方程的图象是（）

（A）三条直线：

（B）两条直线：

（C）一点和一条直线：（0，0），

（D）两个点：（0，1），（－1，0）

分析与解由已知，根据非负数的性质，得

即或

解之得：或

故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。

说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。

三、公式法

例3 已知，求的值。

分析与解，

∴原式

说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。

四、分类讨论法

例4 实数a满足且，那么

分析与解由可得

且。

当时，

；

当时，

说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。

五、平方法

例5 设实数a、b满足不等式，则

（A）且

（B）且

（C）且

（D）且

分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有

，

整理得

，

由此可知，从而

上式仅当时成立，

∴，即且，

选B。

说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。

六、图示法

例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。

由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。

说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。

七、验证法

例7 是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）

（A）0、2、4全是根

（B）0、2、4全不是根

（C）0、2、4不全是根

（D）0、2、4之外没有根

分析与解从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。

说明运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。

八、代数式零点法

例8 的最小值是_________。

分析与解由可确定零点为－1、2、3。

当时，

原式；

当时，

原式；

当时，

原式；

当时，

原式

综上知所求最小值为4。

说明运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。

九、数形结合法

例9 已知二次函数的图象如图所示，并设

，则（）

（A）（B）（C）（D）不能确定M为正、负或为0

分析与解令中，由图象得：；

令得

∵顶点在第四象限，

∴顶点的横坐标

又，

而，

∴，即

故

选C。

说明运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。

十、组合计数法

例10 方程，共有几组不同整数解

（A）16 （B）14 （C）12 （D）10

分析与解由已知条件可得

当时，；

当时，；

当时，；

当时，。

共有12组不同整数解，故选C。

说明此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。

十一、枚举法

例11 已知a为整数，是质数，试确定a的所有可能值的和。

分析与解设是质数p，则仅有因子±1及。

当时，

，此时，；

当时，

，此时，；

当时，

，此时，；

当时，

，此时，