因式分解法解一元二次方程
2.4用因式分解法求解一元二次方程
1
正确理解用因式分解法求解一元二次方程的实质.
2
能熟练应用提公因式法、公式法解一元二次方程．
3
了解因式分解法是解一元二次方程时优先选用的.
问题1：用配方法解一元二次方程可分为几个步骤？ 问题2：用公式法解一元二次方程可分为几个步骤？ 问题3：什么叫因式分解，因式分解共有几种方法？ 问题4：你能从AB=0（A、B表示因式）得出什么？
2 2
用因式分解法解下列方程. (1256．
2 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用适当方法解下列方程 （1）x －4x＋3＝0； （2）(2t＋3) ＝3(2t＋3)； （3）x －2x－3＝0．
2 2 2
达标检测 提升自我
A 组： 1．方程(x－16)(x＋8)＝0 的根是 2．方程 t(t＋3)＝28 的解为_______． 3．用适当方法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）x2－6x＋9＝0． B 组： 4．解方程(x＋1)2＋4(x＋1)＝－4． 5．请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864． ．
如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
解 : 设这个数为x 依题意得：x 2 3 x 两边都同时约去x, 得：x 3
题目：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？
如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？ 解：设这个数为x，根 据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 即x(x-3)=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3．
必做题： 习题 2.7 第 1 题（1） （3）第 2 题（2） （4） ． 选做题： 习题 2.7 第 3 题．
谢谢观赏！
用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程【学习目标】1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根． 【主体知识归纳】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23． 设计说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？ 例2：用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27． (3)移项，得3x 2－4x －1＝0， ∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0； ∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0， ∴x －3＝0或4x －1＝0，∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0， ［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0， (11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12．设计说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简． (2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0． 当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程． 分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0， ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba ba -+． 设计说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252yxy x y xy x ++--的值． 剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--． 当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 设计说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用． 小结我们这堂课又学习了一元二次方程的解法――因式分解法。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
在使用因式分解法解一元二次方程时：
①因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0。
②方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法求解。
③因式分解法有提公因式法，公式法，分组分解法等（十字相乘法最常用）。
④利用因式分解法解一元二次方程时，注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a \neq 0$。
为了解二次方程，我们可以使用因式分解法。
下面我们来详细讲解因式分解法的步骤。
Step 1: 化简方程首先，我们需要将二次方程化简为标准的一元二次方程形式，即$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
如果方程中含有分式，我们可以通过消去分母的方式将方程化为整系数的二次方程。
Step 2: 因式分解我们假设可以将二次方程因式分解为 $(px + q)(rx + s) = 0$，其中 $p, q, r, s$ 是实数。
展开上式得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。
我们可以发现，当 $pr = a$，$ps + qr = b$，$qs = c$ 时，上式与原方程相等。
因此，我们需要寻找满足这些条件的 $p, q, r, s$。
Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零，我们可以得到：$px + q = 0$$rx + s = 0$解这两个方程可以得到两个根：$x_1 = -\frac{q}{p}$$x_2 = -\frac{s}{r}$这两个根即为原二次方程的解。
需要注意的是，如果方程无法因式分解或者方程的根不是实数，那么我们不能使用因式分解法来解方程。
下面我们通过一个具体的例子来演示因式分解法的应用：例题：解方程$x^2-5x+6=0$Step 1: 化简方程方程已经是标准的一元二次方程形式，无需化简。
Step 2: 因式分解假设方程可以表示为 $(px + q)(rx + s) = 0$。
展开得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。
与原方程相比较可得：$p=1$$q=-2$$r=1$$s=-3$因此，我们可以将方程表示为$(x-2)(x-3)=0$。
Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零，我们可以得到：$x-2=0$$x-3=0$解这两个方程可以得到两个根：$x_1=2$$x_2=3$因此，原方程的解为$x=2$和$x=3$。
因式分解法求解一元二次方程
因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。
解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。
因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。
根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
3.当Δ<0时，方程没有实根。
此时无法使用因式分解法求解。
对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。
步骤二：将方程左边进行因式分解。
根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。
步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。
将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。
步骤四：求解x的值。
将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。
以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。
例题：解方程2x^2+7x+3=0。
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。
用因式分解法解一元二次方程
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
公式法
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
以上解方程 x10 4.9 x 0
是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x10 4.9 x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种 解法叫做因式分解法．
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是. “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)
x1 2, x2 1.
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
因式分解法解一元二次方程式
结论和要点
通过使用因式分解法，我们可以更容易地解决一元二次方程式。记住要始终从简化方程式开始，并使用 因式分解来找到方程的解。
因式分解法的步骤
1
步骤二
2
根据二次方程式的特性，找到两个数
的乘积等于常数项c且和等于系数b的
二次项。
3
步骤四
4
将方程式分解为两个因子的乘积，并 将每个因子设置为0，解方程得到结
果。
步骤一
将方程式移项，使等式右侧为0。
步骤三
使用这两个数分解二次项并重新排列 方程式。
因式分解法的应用
因式分解法可以帮助我们更轻松地解决一元二次方程式，尤其是对于复杂的 方程式。通过分解方程式，我们可以找到方程的根。
因式分解法的优劣势
优势
因式分解法能够直接得到方程的解，无需使 用复杂的公式。
劣势
对于一些复杂的方程式，因式分解法可能比 其他43; 5x + 6 = 0
例题二
解方程式：2x^2 + 7x + 3 = 0
例题三
求方程式的解：3x^2 - 10x + 3 = 0
因式分解法解一元二次方 程式
在本节中，我们将介绍因式分解法，了解一元二次方程式的定义，并学习因 式分解法的步骤以及如何将其应用于解决一元二次方程式。
因式分解法介绍
因式分解法是一种常用于解决一元二次方程式的方法。通过将方程式分解为 两个因子的乘积，我们可以更容易地求解方程。
一元二次方程式的定义
一元二次方程式是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是实数且a不等于0。
解一元二次方程》(因式分解法)
则 x11 3 5,x21 3 5
精品课件
梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1、方程右边化为 零 。
2、将方程左边分解成两个一次因式
的乘积。 3、至少 有一个
因式为零，得到两
个一元一次方程。 4、两个一元一次方程的解 就是原方程的
解。
精品课件
练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
(1)x(x2)0x10,x22
精品课件
y2 4y
解：移项，得
y2 4y0
因式分解，得
y(y4)0
y0 或 y4 0 则y 1 4 ,y20
精品课件
例题讲解
解方程：
5x22x1x22x3
4
4
分析：等号右边不为0，需要先移
项整理。使方程右边为0，再对方程左边因
式分解。
精品课件
(1 )5x22x1x22x3
4
4
解：移项，合并得：
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根：
x1
x2
b 2a
3、当b2-4ac<0时，一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根：
精品课件
一个数的平方与它本身互
为相反数，问：这个数是多少？
解：设这个数为x，则有：
x2+x=0
你可以有哪些方法 解这个方程？
精品课件
观察
x2+x=0 除了配方法、公式法外，还有没有 更简便的方法解这个方程呢？ 方程右边为0。左边因式分解，得：
精品课件
小结
一元二次方程的解法：
1、配方法； 2、公式法；
适用任何一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为
一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用
因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
5
∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8.
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝
144+36 ＝ 180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
因式分解，得 x5 x 4 0.
x 0, 或5 x 4 0.
4
x1 0，x2
5
（2）移项，得 x 2 xx 2 0,
因式分解，得 x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0.
x1 2，x2 1
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
（2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分
解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2
《用因式分解法求解一元二次方程》教案
（用因式分解法求解一元二次方程）教案（用因式分解法求解一元二次方程）教案一、教学目标（知识与技能）掌握应用因式分解的方法，会正确求一元二次方程的解。
（过程与方法）通过利用因式分解法将一元二次方程转化成两个一元一次方程的过程，体会“等价转化〞“降次〞的数学思想方法。
（感情态度价值观）通过探讨一元二次方程的解法，体会“降次〞化归的思想，逐渐养成主动探究的精神与积极参与的意识。
二、教学重难点（教学重点）运用因式分解法求解一元二次方程。
（教学难点）发觉与理解分解因式的方法。
三、教学过程(一)导入新课复习回忆：和学生一起回忆平方差、完全平方公式，以及因式分解的常用方法。
(二)探究新知问题1：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗如果相等，这个数是几你是怎样求出来的学生小组商量，探究后，展示三种做法。
问题：小颖用的什么法——公式法小明的解法对吗为什么——违背了等式的性质，x可能是零。
小亮的解法对吗其依据是什么——两个数相乘，如果积等于零，那么这两个数中至少有一个为零。
问题2：学生探讨哪种方法对，哪种方法错;错的原因在哪你会用哪种方法简便]师引导学生得出结论：如果a·b=0，那么a=0或b=0(如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零。
)“或〞有以下三层含义①a=0且b≠0 ②a≠0且b=0 ③a=0且b=0问题3：(1)什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解(2)用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么(3)用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么(4)用因式分解法解一元二方程，必需要先化成一般形式吗因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。
老师提示：1.用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零。
2.4用因式分解法求解一元二次方程
a·b=0 a=0或b=0
注意
“二者中至少有一个为0”的意思，包括二者同
时为0；二者不能同时为0。
a·b=0
a=0或b=0
a=0，b≠0 a≠0，b=0
a=b=0
知识点 2 因式分解法的概念
因式分解法的概念： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的 方法称为因式分解法．
解题技巧
解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分 解法，不能用这两种方法时，再用公式法，但对 于系数较大时，一般不适宜用公式法；没有特殊 要求的，一般不用配方法．其中配方法和公式法 适合于所有一元二次方程
解题技巧
解一元二次方程方法的口诀 ①方程没有一次项，直接开方最理想； ②如果缺少常数项，因式分解没商量； ③ b，c相等都为0 ，等根是0不要忘； ④ b，c同时不为0，因式分解或配方，
如果ab=0,那么
.
导入新课
分解因式:ma+mb+mc= m（a+b+c）. 提公因式法
分解因式: x2-y2 = ( x+y )(x－y) 套公式法（平方差公式）
x2+2xy+y2=( x+y )(x+y ) 套公式法
一元二次方程(因式分解法)
一元二次方程（因式分解法）【知识要点】1、 分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
【典型例题】例1、（1）方程)2(2)2)(1(+=+-x x x 的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(=-+-x x x 的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程（1）0632=-x x （2）)5(2)5(32x x -=-（3） 0122=+-x x （4）4842-=+x x（5） 0)3()23(22=+-+x x （6）22)6(16)3(49+=-x x（7）0625412=-+x x （8）(x －1)2－4(x －1)－21＝0．例3、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________. 例4、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 （ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或例5、解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2+4abx ＝a 2－b 2．例6、x 为何值时，等式0232222=--+--x x x x【经典练习】填空题1、用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得 ；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x 1 = ， x 2= 。
2、（1）方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．3、（1）用因式分解法解方程5（x+3）-2x （x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程和 求解。
用因式分解法求解一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程一、因式分解法(重点、难点、掌握)定义：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可使这两个一次式分别等于0，即若(x＋a)(x＋b)＝0，则必有x＋a＝0或x＋b＝0，进而求得方程的解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．【知识拓展】(1)因式分解法是解一元二次方程经常选用的一种方法，其基本思想是转化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程)，基本方法是降次(将二次式转化为两个一次因式的积)．(2)因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0．(3)其一般步骤为：①将方程化为右边为0的形式；②将方程的左边分解成两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④分别解一元一次方程可得原方程的解．规律方法小结（1）一元二次方程的解法的选择顺序：先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，当不能用这两种方法时，再用公式法，没有特殊要求时，一般不用配方法，因为用配方法解方程比较繁琐．(2)对形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，应选用直接开平方法．(3)对于右边是0且左边易于分解因式的方程，应选用因式分解法．(4)用公式法解一元二次方程时，要先求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，方程有实数根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．【新课导读·点拨】x2＋2x－120＝0，则(x＋12)(x－10)＝0，解得x1＝－12(舍去)，x2＝10．【例】解方程x(2x－1)＝3(2x－1)．分析：此方程可用因式分解法解，公因式是多项式2x－1；注意整体思想的运用．解：原方程可化为x(2x－1)－3(2x－1)＝0，∴(x－3)(2x－1)＝0，∴x－3＝0或2x－1＝0，∴11 2x ，x2＝3．整理归纳练习(2013．河南中考)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( ) A．x＝2B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－3答案D##解析##(x－2)(x＋3)＝0，∴x－2＝0或x＋3＝0，∴x1＝0或x2＝－3.故选D.(2013·宁夏中考)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )A．－1B．2C．1和2D．－1和2答案D解析原方程可以化为x(x－2)＋(x＋2)＝0，∴(x－2)(x＋1)＝0，x－2＝0或x＋1＝0∴x1＝2，x2＝－1.故选D.(2013·天水中考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144 m2答案B解析设原来正方形木板的边长为x m.由题意可知x(x－2)＝48，解得x1＝8，x2＝－6(不合题意，舍去).所以8×8＝64.故选B.主观填空题(2013·巴中中考)方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______．答案15解析x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0，∴x－3＝0或x－6＝0，∴x1＝3，x2＝6.由长度为3，3，6的三条线段，不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长是3，6，6，周长是3＋6＋6＝15典型类型一利用提取公因式法解一元二次方程【例1】解方程(x－3)2＋4x(x－3)＝0．分析：方程的左边提取公因式x－3即可分解因式，因此该方程可用因式分解法求解．解：原方程可化为(x－3)(x－3＋4x)＝0，∴x－3＝0或5x－3＝0，解得x1＝3，235x=．【解题策略】公因式可能是单项式也可能是多项式，是多项式时要注意整体思想的运用．类型二利用平方差公式解一元二次方程【例2】解方程(3x－1)2＝(x＋1)2．分析：先移项，然后用平方差公式分解因式．解：原方程可化为(3x－1)2－(x＋1)2＝0，则(3x－1＋x＋1)(3x－1－x－1)＝0，∴4x＝0或2x－2＝0，解得x1＝0，x2＝1．【解题策略】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．类型三利用完全平方公式解一元二次方程【例3】解方程x2－16x＝－64．分析：先移项，然后用完全平方公式进行求解．解：原方程可化为x2－16x＋64＝0，即(x－8)2＝0，∴x1＝x2＝8．【解题策略】首先把一般式配成完全平方的形式，再利用直接开平方法求解．类型四利用“x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)”解一元二次方程【例4】用因式分解法解下列方程．(1)(x－3)(x＋1)＝5；(2)2x2－5x＋2＝0．解：(1)原方程可变形为(x－3)(x＋1)－5＝0，即x2－2x－8＝0，所以(x－4)(x＋2)＝0，所以x－4＝0或x＋2＝0，所以x1＝4，x2＝－2．(2)因为2x2－5x＋2＝0，所以(x－2)(2x－1)＝0，解得x1＝2，212x=．【解题策略】当一元二次方程的一次项系数与常数项分别为两个数的和与积时，就可以利用“x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)”对方程进行因式分解．类型五 一元二次方程与三角形知识的综合应用【例5】一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：原方程可化为(x －5)(x －7)＝0，∴x 1＝5，x 2＝7． 当x ＝5时，三角形的周长为3＋4＋5＝12，当x ＝7时，3＋4＝7，长为3，4，7的线段不能构成三角形， 故三角形的周长为12．规律方法小结：本题考查一元二次方程的解法和三角形的性质，根据实际情况对一元二次方程的根进行选择，是中考常见题型．类型六 利用换元法解一元二次方程【例6】解方程(x 2－2x)2＋(x 2－2x)－2＝0．分析：把x 2－2x 看成一个整体，用y 来代换，原方程可变为y 2＋y －2＝0，解这个方程，再把y 还原成x 2－2x 求解．解：设y ＝ x 2－2x ，则原方程可变为y 2＋y －2＝0． 解这个方程得．y ＝－2或1，所以x 2－2x ＝－2或1． 当x 2－2x ＝－2时，△＜0，方程没有实数根； 当x 2－2x ＝1时，解得1x =±．∴原方程的根是11x =+，21x =-【解题策略】本题主要考查换元法解一元二次方程，就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去替换，这样做，常能使问题化繁为简，化难为易．类型七 解一元二次方程中的“非负数和为0”的问题【例7】已知a ，b ，c 均为实数，且()2130b c ++++=，求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．解：由题意得a 2－3a ＋2＝0，b ＋1＝0，c ＋3＝0， ∴a 1＝1，a 2＝2，b ＝－1，c ＝－3．当a ＝1，b ＝－1，c ＝－3时，ax 2＋bx ＋c ＝0即为x 2－x ＋－3＝0．－－ ∴12x±==∴112x +=，212x -=．当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，ax 2＋bx ＋c ＝0即为2x 2－x －3＝0．∴(2x －3)(x ＋1)＝0，∴32x =或－1．【解题策略】因为0≥，10b +≥，()230c +≥，它们的和为0，所以a 2－3a ＋2＝0，b ＋1＝0，c ＋3＝0．因为a 的取值有两个，所以必须分两种情况对方程进行讨论：类型八 因式分解法解一元二次方程的变形题【例8】先阅读材料，然后解答问题． 【例】解方程2110x x ---=．解：①当x －1≥0，即x ≥1时，x 2－(x －1)－1＝0， 即x 2－x ＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝1；②当x －1＜0，即x ＜1时，x 2＋(x －1)－1＝0，即x 2－x －2＝0， 解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－2．综上所述，原方程的解是x ＝1或x ＝－2．依照上例解法，解方程22240x x ++-=．分析：根据题中所给的材料把绝对值符号内的x ＋2分两种情况讨论(x ＋2≥0和x ＋2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程． 解：①当x ＋2≥0，即x ≥－2时， x 2＋2(x ＋2)－4＝0，即x 2＋2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2．②当x ＋2＜0，即x ＜－2时，x 2－2(x ＋2)－4＝0，即x 2－2x －8＝0，解得x 1＝4(不合题意，舍去)，x 2＝－2(不合题意，舍去)． 综上所述，原方程的解是x 1＝0或x 2＝－2．【解题策略】从题中所给材料找到需要的解题方法是解题的关键，注意在去绝对值符号时要针对绝对值符号内的代数式的正负性分情况讨论．类型九 有关一元二次方程的实际应用【例9】在一块边长为1 m 的正方形铁板上截出一个面积为800 cm 2的矩形铁板，使长比宽多20 cm ，那么矩形铁板的长和宽分别为多少?分析：已知矩形的面积及其长与宽的关系，因此可根据矩形的面积公式列方程求解．解：设矩形铁板的宽为x cm ，则长为(x ＋20)cm ，由题意得x(x ＋20)＝800，解得x 1＝20，x 2＝－40(舍去)． ∴x ＋20＝40．答：矩形铁板的长和宽分别为40 cm 和20 cm ．【解题策略】解题关键是把实际问题转化成数学问题，找出等量关系，建立方程模型．类型十解法规律探究——十字相乘法【例10】根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x2－x－6＝(x＋2)(x－3)，等式右边的两个一次两项式的系数有关系，左边上、下角两数的积是原式左边二次项的系数，右边上、下角两数的积是原式左边的常数项，交叉相乘的积的和是原式左边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题．(1)解方程：①x2＋4x＋3＝0；②x2＋5x－6＝0．(2)填空：①分解因式：2x2－5x＋2＝______．②解方程：3x2＋x－2＝0，左边分解因式得( )( )＝0，∴x1＝_______，x2＝______．解：(1)①解x2＋4x＋3＝0，分解因式得(x＋1)(x＋3)＝0，所以x＋1＝0或x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．②解x2＋5x－6＝0，分解因式得(x＋6)(x－1)＝0，所以x＋6＝0或x－1＝0，解得x1＝－6，x2＝1．(2)①(2x－1)(x－2) ②x＋1 3x－2 －1 2 3中考链接考点透视一元二次方程的解法及其应用是中考的必考内容之一，主要考查对方程思想的理解及应用．本节知识单独考查时，一般以填空题和选择题为主要题型，在探究题、开放题、阅读理解题、综合应用题中也有着广泛的应用．真题剖析【例1】(2013·新疆中考)方程x2－5x＝0的解是( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0分析：直接因式分解得x(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝5．故选C’【例2】(2013·天水中考)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确分析：由方程(x－2)(x－4)＝0可得x－2＝0或x－4＝0，解得x＝2或x＝4．当x＝2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；当x＝4时，3，4，6能构成三角形，此时周长为3＋4＋6＝13．故选C．【例3】(2013·平凉中考)现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a ★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是______．分析：根据题中的新定义将x★2＝6变形得x2－3x＋2＝6，即x2－3x－4＝0，因式分解得(x－4)(x＋1)＝0，解得x1＝4，x2＝－1，则实数x的值是－1或4．故填－1或4．【例4】(2013·广州中考)解方程x2－10x＋9＝0．分析：用因式分解法求解．解：x2－10x＋9＝0，(x－1)(x－9)＝0，∴x－1＝0或x－9＝0，∴x1＝1，x2＝9．。
用因式分解法解一元二次方程详细
用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得 原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候， 才能应用因式分解法解一元二 次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次 方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时， 应选择适合的方法去解． 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时， 一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系 式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－ ， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7． ，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0， ［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程今天，我们将学习如何使用因式分解法来解决一元二次方程。
一元二次方程是一种先进的数学解决方案，它解决了复杂的代数问题。
首先，我们来了解一下什么是一元二次方程，它是一种广义的抽象概念，是通过一个方程来描述特定系统的状态。
它可以用来解决很多代数问题，比如求解一个系统的方程解，计算未知参数的值，以及求出满足某个条件的解。
一个关于一元二次方程的例子是：ax2+bx+c=0，其中a,b,c是任意的实数，而x是未知的数字。
要求未知的数字x，可以使用因式分解法来求解。
因式分解法是一种通用的求解一元二次方程的方法，它通过将原方程的二元一次项分解成两个数的乘积，从而简化问题，使其可以更容易地求解。
例如，对于上述一元二次方程ax2+bx+c=0，其二元一次项bx可以分解成两个数m和n的乘积，即bx = mn。
然后，将原方程以m和n为因式分解，得到m（x+n）=0，从而可以得到x=-n，作为解。
另外，因式分解法还具有重要的因数定理，它认为，如果一元二次方程的二元一次项可以分解为两个数的乘积，那么这两个数也是原方程的正解，即m和n也是解。
此外，因式分解法还有另一个重要特点，它可以帮助我们找出一元二次方程的解，尤其是当方程不是简单的一元二次方程时。
例如，当一元二次方程是ax2+by+c=d+ex+f格式时，可以使用因式分解法来求解，只需将原方程拆分为两个一元二次方程，即ax2+by+c=d，以及ex+f=0，分别求解即可。
最后，我们要牢记，使用因式分解法求解一元二次方程的步骤：首先，将二元一次项分解为两个数的乘积；其次，根据分解结果，将原方程以这两个数为因式分解；最后，求出原方程解，根据因数定理，将分解后的两个数也作为解。
总之，因式分解法是一种简单易懂的方法来求解一元二次方程，不管方程的形式多么复杂，它都能帮助我们有效地求解，使我们能够轻松解决复杂的代数问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是 x1=5 x2= -3 ,
方程x2+px+q=0的两根 3 、 5，
那么多项式
明明
x2+px+q=( x- )( x- )
奇奇
（完成达标检测题）
谢谢观赏
黄 林 (QQ 103751721)
蕲春县大同中学
(3) x2-x-6=0
易于因式分解的，可用因式分解法， 易于配成完成平方式的，可选择配方法， 不易于配方和因式分解的，可用公式法。
我会因式分解，用因式分解 法解一元二次方程我很快学 会了。
这个我也会，我还会通过解一 元二次方程将简单的多项式在 实数范围内因式分解呢！
x2 -2x-15=0则(x-5)(x+3)=0，两根
人教版九年级上册
蕲春县大同中学 主讲：黄 林
课件制作：二木
什么叫因式分解？ 你知道的因式分解的方法有哪些？ 将学案中第3题各式因式分解 两人合作完成学案中第4题 小组合作完成最后一道思考题
4、 乘法法则：两数相乘，有一个因式为零，则积 为零。反之，若ab=0，那么_____________
运用这一结论，快速求解下列方程
（1）x(x-2)+x-2=0
（3）5x2-2x-
1 4
=x2-2x+3
4
（2）(x－1)(x＋2)=2(x＋2) （4）x2-12x+35=0
小组检查，师傅把关
同除以x，
得
x=4
一元二次方程的解法
用适当的方法解下列一元二次方程
（1） x2-2x=99 （2）x2-x-1=0
（1）x(x-1)=0
（2）(x- 3 )(x- 5)=0
（3）(x+1)(x-4)=0
那这个会解吗？ x2=3x
那这个会解吗？ x2=3x
因式分解法
先将一元二次方程通过___因__式__分__解____化为两个一次式 _乘__积__等__于__0__的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现 ___降_，次这种解法叫做因式分解法。