北师大版高中数学必修二解析几何初步二《圆与圆的方程》ppt
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高中数学 第2章 2.1 圆的标准方程优质课件 北师大版必修2
第六页，共29页。
探究(tànjiū)点 圆的标准方程
思考(sīkǎo)1：直线可以用一个方程来表示，圆是否也可以 用一个方程来表示？你能推导出圆心为A(a,b)，半径为r的圆的方 程吗？
第七页，共29页。
设点M (x,y)为圆A上任(shàng rèn)
一点，
则 |MA|= r
y 圆上所有(suǒyǒu)点的集 合
A2 B2
y
S
Q l : Ax By C 0
d
P0 (x0,y0)
R
要化为一般
(yībān)式
O
x
第三页，共29页。
(shēngh uó)
一石激起千层浪
生 掠活 影
福建土楼
奥运五环
乐在其中(lè zài qí zhōng)
第四页，共29页。
小憩(xiǎo qì) 片刻
初中学习的圆的定义:
所以
2a 4b 16,
a b 1.
a 2,
得 b 3,
-8
r 5.
所以，所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25.
第十五页，共29页。
【变式练习(liànxí)】已知圆心为C的圆经过点A(1，1)， B(2，-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的 标准方程.
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
·r
C
定点 (dìnɡ 定diǎ长n)
圆心 (yuánxī
半n)径 (bànjìng)
在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？
第五页，共29页。
1.掌握圆的标准方程，能根据(gēnjù)圆心、半径写出 圆
的标准方程.（重点） 2.会用待定系数法求圆的标准方程．（难点）
探究(tànjiū)点 圆的标准方程
思考(sīkǎo)1：直线可以用一个方程来表示，圆是否也可以 用一个方程来表示？你能推导出圆心为A(a,b)，半径为r的圆的方 程吗？
第七页，共29页。
设点M (x,y)为圆A上任(shàng rèn)
一点，
则 |MA|= r
y 圆上所有(suǒyǒu)点的集 合
A2 B2
y
S
Q l : Ax By C 0
d
P0 (x0,y0)
R
要化为一般
(yībān)式
O
x
第三页，共29页。
(shēngh uó)
一石激起千层浪
生 掠活 影
福建土楼
奥运五环
乐在其中(lè zài qí zhōng)
第四页，共29页。
小憩(xiǎo qì) 片刻
初中学习的圆的定义:
所以
2a 4b 16,
a b 1.
a 2,
得 b 3,
-8
r 5.
所以，所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25.
第十五页，共29页。
【变式练习(liànxí)】已知圆心为C的圆经过点A(1，1)， B(2，-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的 标准方程.
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
·r
C
定点 (dìnɡ 定diǎ长n)
圆心 (yuánxī
半n)径 (bànjìng)
在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？
第五页，共29页。
1.掌握圆的标准方程，能根据(gēnjù)圆心、半径写出 圆
的标准方程.（重点） 2.会用待定系数法求圆的标准方程．（难点）
北师大版必修2高中数学第二章解析几何初步2圆与圆的方程第2课时圆的一般方程课件课件
．
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程 不表示任何图形 ．
[问题思考]
1．方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？
提示：此方程不表示圆的一般方程． ∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4＜0. ∴此方程不表示任何图形．
2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么 条件？ 提示：需同时具备三个条件：①A＝C≠0；②B＝0； ③D2＋E2－4AF>0.
讲一讲 2.已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)， C(－3,5)，求这个三角形外接圆的方程．
待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出圆的一般方 程，再根据条件列出方程组求出未知数D，E，F，当已知条件 与圆心和半径都无关时，一般采用设圆的一般方程的方法．
练一练 2．求过点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程．
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的范围是( ) A．0＜m＜1 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
解析：方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆， 须42＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1. 答案：D
3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的 方程为( ) A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0 C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
第2课时 圆的一般方程
[核心必知]
1．圆的一般方程的定义 当 D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以
为圆心，
以
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.1 圆的标准方程课件 北师大版必修2
2.圆的标准方程
(1)圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点叫
作圆的圆心,定长称为圆的半径.
(2)方程:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
(3)当圆心在坐标原点时,有a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.
【做一做1】 圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是 (
∵AC⊥BC,∴k AC·kBC=-1,
而 kAC= ,kBC= ,
+2
-4
∴+2 · =-1,
-4
整理得(x-1)2+y2=9.
∴顶点 C 的轨迹是以(1,0)为圆心,3 为半径的圆.
错因分析:由
· =-1,得(x-1)2+y2=9,只有在 x+2≠0,x-4≠0 及
+2 -4
A.(x- 2)2 +(y-2)2 =3
B.(x+ 2)2 +(y+2)2 =3
C.(x- 2)2 +(y-2)2 = 3
D.(x+ 2)2 +(y+2)2 = 3
答案:B
3
)
4
5
1
2
3
4
5
2.若某圆的标准方程为(x-1)2 +(y+5)2 =3,则此圆的圆心和半径分别为
§2
圆与圆的方程
2 .1
圆的标准方程
1.掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准
方程.
2.能根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径,并运用圆的标准方
程解决简单问题.
(1)圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点叫
作圆的圆心,定长称为圆的半径.
(2)方程:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
(3)当圆心在坐标原点时,有a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.
【做一做1】 圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是 (
∵AC⊥BC,∴k AC·kBC=-1,
而 kAC= ,kBC= ,
+2
-4
∴+2 · =-1,
-4
整理得(x-1)2+y2=9.
∴顶点 C 的轨迹是以(1,0)为圆心,3 为半径的圆.
错因分析:由
· =-1,得(x-1)2+y2=9,只有在 x+2≠0,x-4≠0 及
+2 -4
A.(x- 2)2 +(y-2)2 =3
B.(x+ 2)2 +(y+2)2 =3
C.(x- 2)2 +(y-2)2 = 3
D.(x+ 2)2 +(y+2)2 = 3
答案:B
3
)
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5
1
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2.若某圆的标准方程为(x-1)2 +(y+5)2 =3,则此圆的圆心和半径分别为
§2
圆与圆的方程
2 .1
圆的标准方程
1.掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准
方程.
2.能根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径,并运用圆的标准方
程解决简单问题.
高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程221圆的标准方程课件北师大版必修2(2)
2
2
所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3 圆的位置关系 【典例2】已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)， N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
【解题指南】求出圆的标准方程，将点M，N，P的 坐标代入方程左侧与r2相比较判断.
【拓展】圆心在坐标轴上或过原点或与坐标轴相切的 圆的方程的形式 (1)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程： x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上，半径为r的圆的标准方程： (x-a)2+y2=r2.
(3)圆心在y轴上，半径为r的圆的标准方程： x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上，且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上，且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
【对点训练】 1.圆心为(-2，1)，半径为 2 的圆的标准方程为
() A.(x+2)2+(y+1)2= 2 B.(x+2)2+(y-1)2= 2 C.(x+2)2+(y+1)2=2 D.(x+2)2+(y-1)2=2
【解析】选D.圆心为(-2，1)，排除A，C，半径 为 2 ，故选D.
2.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3，则此圆的
(2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的 标准方程是_(_x_-_a_)_2_+_(_y_-_b_)_2=_r_2_. 当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以_(_0_，__0_)_为圆心， r为半径的圆.
北师大版 高中数学 必修二 2.2 圆的一般方程.ppt(共20张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则 为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴 切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
[例2] 坐标．
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，
－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，
F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；
也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心 坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
方程 x2＋y2＋ Dx＋Ey ＋F＝0
条件
图形
D2＋E2－4F>0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示以 为圆心， 1 D2＋E2－4F 以2 为半径的圆
1．圆的一般方程与标准方程可以互化
形式
转化
标准方程
一般方程
对应关系
D＝－，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2
形式 圆心 半径
标准方程 (a，b) r
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ 5|m－2|.
[一点通]
解决这种类型的题目，一般先看这个方
北师大版高中数学必修二第2章解析几何初步2.2.2圆的一般方程课件
-3-
2.2
圆的一般方程
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做1】 下列方程能否表示圆?若能,求出圆心坐标和半径, 并画出图形. (1)2x2+y2-7x+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-4x=0. 解:根据二元二次方程表示圆的条件判断. (1)不能表示圆,因为方程中x2,y2项的系数不相同. (2)不能表示圆,因为方程中含有xy这样的二次项. (3)不能表示圆,因为(-2)2+(-4)2-4×10=-20<0. (4)能表示圆,方程可化为x2+y2-2x=0,配方得(x-1)2+y2=1,圆心为 (1,0),半径r=1,如图所示.
UITANGYANLIAN
【变式训练1】 将下列圆的方程化为标准方程,并写出圆心坐标 和半径: (1)2x2+2y2+4ax-2=0; 1 (2)x2+y2-2x+y+ =0.
4
解 :(1)将 2x2+2y2+4ax-2= 0 两边同除以 2,得 x2+y2+2ax-1=0, 配方 ,得(x+a)2+y2=1+a2. 故圆心坐标为(-a,0),半径为 1 + ������2 .
-4-
2.2
圆的一般方程
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-2-1圆的标准方程课件
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关
系？
A
A A
O
O
O
OA<r
OA=r
OA>r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆
C：
，如何判断点M在圆
外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
P={M||MA|=r}.
rM A
平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径 为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定 义x，y应满足什么关系？
y
(x-a)2+(y-b)2=r2
rM A
o
x
思考4:对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆， 由上可知，若点M(x，y)在圆上，则点M的坐标 满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ；反之，若点M(x，y) 的坐标合适方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一
(3)求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
定在这个圆上吗？
y rM
A
o
x
思考5:我们把方程
称为圆
心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程，那么
确定圆的标准方程需要几个独立条件？
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆， 那么单位圆的方程是什么？
x2+y2=r2
思考7:方程
，
，
是圆方程吗？
思考8:方程
高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程2232圆与圆的位置关系课件北师大版必修2
跟踪训练 3 (1)若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y ＋m＝0 外切，则 m＝( )
A．21 B．19 C．9 D．－11 (2)求与圆 x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 x＋ 3y＝0 相切于点 M(3，－ 3)的圆的方程．
解析：(1)圆 C2 的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m. 又圆 C1：x2＋y2＝1，所以|C1C2|＝5.
2．圆 C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4 与圆 C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 的 位置关系是( )
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
解析：圆心距 d＝ －2－12＋－2－22＝5，两圆半径的和 r1 ＋r2＝2＋3＝5，则 d＝r1＋r2，即两圆外切．
答案：B
3．已知点 A，B 分别在两圆 x2＋(y－1)2＝1 与(x－2)2＋(y－5)2 ＝9 上，则 A，B 两点之间的最短距离为( )
(3)方法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， ①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝－0，4， 或xy22＝＝02，. 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
方法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， x2＋y2＋2x＋2y－8＝0， 两式相减得 x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． 由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得 (x－1)2＋(y＋5)2＝50， 其圆心为 C1(1，－5)，半径 r1＝5 2. 圆心 C1 到直线 x－2y＋4＝0 的距离
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得 ｒ＝ 3 1－4 3－7 ＝16
因此圆的方程是
32＋－42
ｘ－1 ＋ｙ－3
＝
5
25
2
2 256
解：
因为圆心在ｙ轴上，圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是 ｒ，那么圆的方程是
ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2
因为点（10,0）和（0,4）在圆上。于是得方程组
0 2 ＋4－ｂ2＝ｒ2
2）由于圆的方程含有a、b、r三个参数，因此必须具备 三个独立的条件才能确定一个圆，可用待定系数法求得。
3）可用圆的方程解决一些实际问题。
作业
习题7.7第1（2）、第2（2）、第4题。
例1
解：已知圆心是C（1,3），那么再求出圆的半径ｒ， 就能写出圆的方程。
因为圆C和直线3X－4Y－7＝0相切，所以半径ｒ等于 圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的的距离公式，
X
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的 切线的方程。
2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是
x a2 y b2 r 2；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的
方程就是x2+y2=r2。
（x+3)2+(y+4)2=1
2）方程（x-1）2+（y+4）2 = 25 表示 的圆的圆心和半 径是？
圆心：（1，-4），半径：5
3) 圆x a2 y b2 r 的圆心和半径分别是什么？
（-a，-b）
r
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直 线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。解
解得 ａ＝2，ｒ2＝10 所以这个圆的方程是
ｘ－22＋ｙ2＝10
课题：圆的标准方程
Y
O
X
求曲线方程的主要步骤：
1）建立适当的坐标系,设M（x，y）是曲线上任意一点； 2）用坐标表示点M所适合的条件，列出方程f（x，y）=0； 3）化方程f（x，y）=0为最简形式 4）查缺补漏。
问题： 怎样给出一个圆，又怎样求它的方程？
想一想：
1）圆心在点C（- 3，- 2＝ｒ2
解得 ｂ＝－10.5，ｒ2＝14.52
所以这个圆的方程是 ｘ2＋ｙ＋10.52＝14.52
解： 因为圆心在X轴上，圆心的坐标是（ａ，0），圆的
半径是ｒ，那么圆的方程是 （ｘ－ａ）2＋ｙ2＝ｒ2
因为点（－1，1）和（1，3）在圆上。于是得方程组
－1－ａ2＋12＝ｒ2 1－ａ2＋32＝ｒ2
试一试：1)已知一个圆的圆心在原点，
并且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
例2 1） :已知圆心在Y轴上,且过点（10，0） 和（0，4）的圆的方程. 解
练习：过点C(-1，1)和D（1，3），圆
心在X轴上，求圆的方程。解
某圆拱桥的一孔圆拱，其跨度为20m，高度为4m，在 建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度。
例2； 2） 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱的
跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01my ）
P2 P
A
A1 A2 O A3Y A4
Bx
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求
M
经过圆上一点M（xo，yo）的切线
的方程.
O