第七章微专题六(新高考数学一轮复习资料)

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2022版新教材高考数学一轮复习第七章课件新人教A版

分.(
)
(4)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的
表面积为3πa2.( × )
2.(2020天津,5)若棱长为2 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表
面积为(
)
A.12π
B.24π
C.36π D.144π
答案 C
解析 ∵2R= (2 3)2 + (2 3)2 + (2 3)2 =6,∴球的表面积为 4πR2=36π.
4.多面体的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
S圆柱侧= 2πrl
S圆锥侧= πrl
S圆台侧= π(r1+r2)l
侧面展开图
侧面积公式
6.柱、锥、台和球的表面积和体积
表面积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底
体积
V= Sh
1
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底
Sh
V= 3
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下
1
V=3(S 上+S 下+
球
S=
4πR2
4
V=
3
πR3
S上 S下 )h
常用结论
1.球的截面的性质
(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为 r= R2 -d2 .
ABCD为矩形,BC⊥CD,则BC⊥平面PCD,过点B有
且只有一条直线与平面PCD垂直,所以选项A错误.

新课标2023版高考数学一轮总复习第7章数列第2节等差数列课件

2
＝ 2 a 中，所以 S 奇－S 偶＝ a中．
n－1 2 a中
n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d．
，S 偶
数列{an}是等差数列⇔数列的前 n 项和公式 Sn＝d2n2＋a1－d2n⇔ Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)，所以当 d≠0 时，等差数列前 n 项和公式可以看成关于 n 的二次函数，且常数项为 0．
D．785＜d≤235
D
解析：由题意可得aa190≤＞11，，
即215＋9d＞1， 215＋8d≤1，
解得785＜d≤235．
5．已知等差数列 5,427，347，…，则前 n 项和 Sn＝_________． 114(75n－5n2) 解析：由题知公差 d＝－57，所以 Sn＝na1＋nn－ 2 1 d＝114(75n－5n2)．
证明：因为 bn＋1－bn＝2an＋21－1－2an2－1＝21－421an－1－2an2－1 ＝2a4na－n 1－2an2－1＝2，
所以数列{bn}是公差为 2 的等差数列．又 b1＝2a12－1＝2，所以 bn＝2＋(n－1)×2＝2n，所以 2n＝2an2－1，解得 an＝n＋ 2n1．
B 解析：方法一：设等差数列{an}的公差为 d，
则3100aa11＋＋31002××2 299dd＝＝1， 5，
解得d＝1150， a1＝1700，
所以 S40＝1700×40＋40×2 39×1150＝8．故选 B．
方法二：设等差数列前 n 项和为 Sn＝An2＋Bn，
100A＋10B＝1，由题意知900A＋30B＝5，
(1)在等差数列{an}中，已知 a3＋a8＝6，则 3a2＋a16 的值为
() A．24
B．18

高考数学一轮复习第七章章末知识总结课件文新人教

高考第一轮复习用书·数学(文科)
第七章章末知识总结
章末知识总结
知识构图线面整合
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第七章章末知识总结
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第七章章末知识总结
例课本题目:(1)人教A版必修2P127例2 已知过点
M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5 ,求直线l的方程.
由点到直线距离公式得: | 2 3k 3 | = k2 1
5 ,解3;9=0,或2x-y+3=0.
(2)所求直线的斜率为 1 ,由点斜式方程得y-0= 1 (x-3),即x-2y-3=0.
2
2
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第七章章末知识总结
高考真题:2010年山东卷已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的
2
又因为圆心在x轴的正半轴上,所以a=3,故圆心坐标为(3,0). 因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直线方程为x+y-3=0.
【答案】x+y-3=0
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第七章章末知识总结
模拟试题:湖北省武汉模拟已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2 3 时,a等于 ()
【解析】如图所示,
第七章章末知识总结
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第七章章末知识总结
当直线l夹在l1和l3之间时,l的斜率大于等于l3的斜率,而l3的斜
率为 3 ;
4
当直线l夹在l1与l2之间时,l的斜率小于等于l2的斜率,而l2的斜

2023年新高考数学一轮复习7-6 数学归纳法(知识点讲解)解析版

专题7.6 数学归纳法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．【知识点展示】数学归纳法1.证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *) 时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k(k≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 2.数学归纳法的框图表示【常考题型剖析】题型一：利用数学归纳法证明不等式例1.（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,nn n nb c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈【答案】（1）12n n a ，1n b n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列{}n a 的通项公式，再由数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅，进而求得{}n b 的通项公式；（2）把{}n b 的通项公式代入*1,nn n n b c c n N c +=+∈，首先利用数学归纳法证得12n c n >+，再利用放缩法及等差数列的前n 项和，即可证明. 【详解】（1）由23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，可得()2343241421a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即324410a a a =⎧⎨+=⎩，即4410q q +=，解得2q或12q =，又因为1q >，所以2q ，又由3121a a q==，所以1112n n n a a q --==，因为数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅，当1n =时，111122a b =⨯=，当2n ≥时，112(1)2(1)2n n n n n a b n n n --=⋅--⋅=+⋅，当1n =时，112a b =满足上式，所以1(1)2n n n a b n -=+⋅，所以11(1)212n n n n b n --+⋅==+.（2）先用数学归纳法证明当*n N ∈，12n c n >+，①当1n =时，1133,22c n =+=，左式>右式，不等式成立； ②假设n k =时，不等式成立，即12k c k >+，当1n k =+时，11k k k k c c c ++=+，因为1()k f x x x+=+在)+∞上单调递增，由12k c k >+>()12k f c f k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即111122k k c k k ++>+++，可得132k c k +>+，不等式也成立. 由①②得证当*n N ∈，12n c n >+，所以1231351(2)2222222n n n n c c c n n ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+++>++++=⋅=⎪⎝⎭. 例2.（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列{}n a 满足：11a =，且211n n n a a na n +=-++，（n 为正整数）．(1)计算：2a ，3a ，4a 的值； (2)猜测{}n a 的通项公式，并证明；(3)设n b 问是否存在使不等式12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2n ≥的正整数均成立的最大整数p ，若存在请求出，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22a =，33a =，44a =(2)()N n a n n *=∈，证明见解析(3)最大整数1p = 【解析】【分析】（1）将1,2,3n =依次代入递推关系式即可；（2）由123,,a a a 可猜想得到n a ；利用数学归纳法可证得猜想；（3）分离变量得111111b p b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪≤，令()111111b b b fn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪=，通过计算()()11f n f n <+可知()()min 1f n f ==p . (1)由题意得：221121122a a a =-+=-+=；2322234433a a a =-+=-+=，2433344a a a =-+=(2)猜想：()N n a n n *=∈；证明：当1n =时，11a =，满足n a n =；假设当()N n k k *=∈时，k a k =成立，那么当1n k =+时，2221111k k k a a ka k k k k k +=-++=-++=+，即当1n k =+时，11k a k +=+成立；综上所述：对于任意n *∈N ，n a n =成立. (3)由（2）得：n b111n b ∴+=；若12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪≤；令()111111b b b f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪=，则()111111111b b b b f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⎪⎪ ⎪⎪+=， ()()1111n f n f n b +∴==++⎪⎭()()2231123f n n f n n ⎡⎤+∴=<=⎢⎥++⎣⎦，()()1f n f n ∴<+，即()f n 递增，()()min 111f n f +∴====p ∴≤ 又p 为整数，∴最大整数1p =.例3．（2017·浙江·高考真题）已知数列{}n x 满足：11x =，()()11ln 1n n n x x x n N *++=++∈证明：当*n N ∈时，（I ）10n n x x +<<；（II ）1122n n n n x x x x ++-≤；（III ）121122n n n x --≤≤. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】【分析】（I ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++，构造函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由()1111ln 1n n n n n x x x x x ++++=++≤+及1122n n n n x x x x ++≥-，递推可得()121122n n n x n N *--≤≤∈. 【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >．当1n =时，110x =>．假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则()110ln 10k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n N *>∈，所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，因此10()n n x x n N *+<<∈．（Ⅱ）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，22'()ln(1)0(0)1x x f x x x x +=++>>+，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故112()2n n n n x x x x n N *++-≤∈．（Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-，得111112()022n n x x +-≥->，所以12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=，故212n n x -≤．综上，1211()22n n n x n *--≤≤∈N ．【名师点睛】本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化题型二：归纳、猜想、证明例4.（2022·全国·高二课时练习）数列{}n a 中，11a =，n S ，1n S +，12S 成等差数列，分别计算2S ，3S ，4S 的值，猜想n S 的表达式为______．【答案】1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得122n n S S +=+，再利用11S =，可依次求出2S ，3S ，4S 的值，从而可猜想n S ，然后利用数学归纳法证明即可【详解】因为数列{}n a 中，11a =，n S ，1n S +，12S 成等差数列，所以122n n S S +=+，得1112n n S S +=+，当1n =时，2113122S S =+=，当2n =时，321137112224S S =+=⨯+=，当3n =时，4311715112248S S =+=⨯+=，由此可猜想1112211222n n n n S ---⋅-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，证明如下：当1n =时，11S =成立，假设当n k =时，成立，即1122k k S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当1n k =+时，1(1)11111111212222222k k k k k S S -+-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当1n k =+时成立，所以1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭故答案为：1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭例5.（2020·全国·高考真题（理））设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．证明如下：当1n =时，13a =成立；假设()n k k *=∈N 时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；［方法二］：构造法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+．［方法三］：累加法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由134n n a a n +=-得1114333n n n n n a a n +++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯，……1114(1)(2)333n n n n n a a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得1123111412(1)33333n n n a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯++-⨯⎢⎥⎣⎦，所以1(21)33n n na n =+⋅．所以21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+．［方法四］：构造法21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．（2）由（1）可知，2(21)2n n n a n ⋅=+⋅［方法一］：错位相减法231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.［方法二］【最优解】：裂项相消法112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n nS a a a a =++++()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-++-11n b b +=-1(21)22n n +=-+．［方法三］：构造法当2n ≥时，1(21)2n n n S S n -=++⋅，设11()2[(1)]2n n n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即122nn n pn q p S S ----=+⋅，则2,21,2pq p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．所以11(42)2[4(1)2]2n n n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，而1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22nn S n +-+⋅=．故12(21)2n n S n +=+-⋅．［方法四］：因为12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠-，()121211(1)()1231(1)nn n n x x nx n x f x x x nx x x +-'⎡⎤-+-+=++++==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦'，所以12n b b b +++21122322n n -=+⋅+⋅++⋅1(2)12(1)2n nf n n +==+-+'⋅．故234(2)2222nn S f =++'+++()1212412(1)212n n nn n +-⎡⎤=+⋅-++⎣⎦-1(21)22n n +=-+．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，从而得出数列{}n a 的通项公式；方法三：由134n n a a n +=-化简得1114333n n n n n a a n+++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式；方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分别求出数列{}{}12,2nn n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠-的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．例6.（2014·广东·高考真题（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =. （1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）13a =，25a =，37a =；（2）21n a n =+. 【解析】【详解】试题分析：（1）由11n n n a S S ++=-代入21234n n S na n n +=--，得到()2122134n n nS n S n n +=+++，然后由3S 的值逐步算出2S 与1S 的值，然后利用11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥求出1a 、2a 、3a 的值；（2）利用（1）中的结论归纳出n a 的通项公式，并以此归纳出n S 的表达式，然后利用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式的正确性.试题解析：（1）由21234n n S na n n +=--得()21234n n n S n S S n n +=---，整理得()2122134n n nS n S n n +=+++，因此有2322453242520S S S =+⨯+⨯=+，即2415520S ⨯=+，解得28S =，同理有21237S S =+，即12837S ⨯=+，解得13S =，113a S ∴==，221835a S S =-=-=，3321587a S S =-=-=；（2）由题意得13222n n S na n +=++，由（1）知13a =，25a =，37a =，猜想21n a n =+，假设当时，猜想成立，即21k a k =+，则有()()()1321222k k k a a k k S k k +++===+，则当1n k =+时，有()()123322232112222k k k k S kk a k k k k ++=++=++=+=++，这说明当1n k =+时，猜想也成立，由归纳原理知，对任意n N *∈，21n a n =+.【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．题型三：利用数学归纳法证明等式例7．（2021·全国·高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【解析】【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n n b b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列; （2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【详解】（1）[方法一]：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-, 由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】：由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ① 于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ② 由①②得1n n n b S b-=． ③ 又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b --=．令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列． [方法三]：由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠．又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ．故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法由已知212n n S b +=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+．下面用数学归纳法证明．当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++．综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+, 当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【整体点评】（1）方法一从212n n S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从n b 的定义，替换相除得到1n n n b S b-=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；例8.（2015·江苏·高考真题）已知集合，，，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,6223{12,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意按a 分类计数：1,1,2,3,4,5,6;a b ==2,1,2,4,6;a b ==3,1,3,6;a b ==共13个（2）由（1）知1,1,2,3,,;a b n ==2,1,2,4,,2;a b k ==*3,1,3,,3;()a b k k N ==∈，所以当6n ≥时，()f n 的表达式要按236⨯=除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：（1）()613f =．（2）当6n ≥时，()2,623112,612322,6223{12,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明：①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k k f k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立； 3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．。

高考数学(全国通用)一轮总复习(文理科)配套课件：第七章立体几何 7.6

主主干干知知识识回回顾顾
名师考点精讲
综合能力提升
-6-
4.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 a=λb . (2)共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组x,y,使得p=xa+yb. (3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c 不共面 ,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc . 我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底 ,a,b,c都叫做基向量 .
则实数λ= ( )
A.8
B.10
C.11
D.12
【解题思路】利用空间向量共面的条件,设出实数 x,y,使 c=xa+yb,列出方程组,求出 λ 的值即可.∵向量 a,b,c
2��-�� = 7,
共面,∴存在实数 x,y 使得 c=xa+yb,即(7,0,λ)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),∴ -�� + 4�� = 0,解得 x=4,y=1,λ=10.
第七章
第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-19-
【变式训练】
已知 ABCD 为矩形,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,G 为△PCD 的重心,若��=x��+y��+z��,
与
b
为共线向量,∴21��
=
1 3

高考数学第一轮复习资料

高考数学第一轮复习资料高考数学第一轮复习资料随着高考的临近，数学复习成为了每个考生必须面对的重要任务。

而数学作为一门理科学科，对于考生来说，既是挑战也是机遇。

为了帮助考生顺利备考，本文将为大家提供一些高考数学第一轮复习的资料和方法。

一、知识点回顾在进行数学复习之前，首先需要回顾高中数学的各个知识点。

这些知识点包括代数、几何、概率与统计等多个方面。

在回顾的过程中，可以通过查阅教材、做习题和参考资料来加深对知识点的理解。

同时，还可以结合往年的高考试题，找出重点和难点，有针对性地进行复习。

二、解题技巧除了知识点的回顾，解题技巧的掌握也是高考数学复习的关键。

在解题过程中，需要注意以下几点：1. 理清题意：仔细阅读题目，理解题目要求，确定解题思路。

2. 分析解题方法：根据题目的特点，选择合适的解题方法。

可以通过代数运算、几何图形的性质、概率的计算等方法来解题。

3. 灵活运用公式：熟练掌握各种公式的使用方法，并能够在题目中灵活运用。

同时，也要注意公式的推导和证明，以增强对公式的理解。

4. 注意细节：解题过程中要注意计算的准确性和步骤的清晰性。

避免粗心错误和计算错误。

三、模拟考试在复习过程中，模拟考试是一个非常重要的环节。

通过模拟考试，可以让考生熟悉考试的形式和节奏，提高应试能力。

在模拟考试中，可以选择一些真题或者模拟题来进行，模拟考试的时间和环境要尽量接近实际考试，以增加考试的真实性。

在模拟考试结束后，考生可以对自己的答题情况进行分析和总结，找出自己的不足之处，并加以改进。

同时，还可以参考一些解析资料，了解标准答案和解题思路，从而提高自己的解题能力。

四、重点难点攻克在复习过程中，考生要特别关注一些重点和难点的知识点。

这些知识点通常是高考中经常考察的内容，也是考生容易出错的地方。

对于这些知识点，可以通过增加练习量、查阅参考书籍和请教老师等方式来攻克。

同时，还可以结合往年的高考试题，找出这些知识点的特点和解题技巧，以增加对这些知识点的掌握程度。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第七章微专题图形的折叠练习课件

2
第3题图③
微专题图形的折叠
∴DH＝CH＝
15 2
.
在Rt△CHG中，GH＝ (17)2 (15)2 ＝4,
22
∴S△CHG＝
1 2
CG·HE＝
1 2
CH·GH＝ 1
2
× 15 ×4＝15，
2
∴四边形MKGA的面积＝AG·HE＝CG·HE＝30.
E
第3题图③
同理可证DG＝AG.
第3题图②
微专题图形的折叠
∵AB＝AC， ∴AE＝DE＝DG＝AG， ∴四边形AEDG是菱形；
第3题图②
微专题图形的折叠
问题解决： (2)如图③，将图②中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG 于点K，求四边形MKGA的面积．
2. (2023赤峰)如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点
C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交
BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ
＝3，③BP＝ 15 ，④BD∥FQ.正确的是( A )
8
A. ①②③
B. ②④
微专题
图形的折叠
微专题图形的折叠
1. (2022营口)如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线
CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂
足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长为( A )
A. 5 －2
B. 3－1
C.
1 3
D. 1
2
第1题图
微专题图形的折叠

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第7章必刷小题13 立体几何

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知直线a，b，l和平面α，β，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，且α⊥β.对于以下命题，判断正确的是 ①若a，b异面，则a，b至少有一个与l相交； ②若a，b垂直，则a，b至少有一个与l垂直. A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①是假命题，②是假命题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为12，则“切面”所在平面与底面所成的角为
π A.12
4.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是
√A.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β C.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β D.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
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设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，则 MN＝ MC21＋C1N2＝ 22a2＋22a2＝ 2a，作点E在平面ABCD内的射影点G，连接EG，GF，所以 EF＝ EG2＋GF2＝ 22a2＋ 2a2＝ 3a，所以 MN≠12EF，故选项 B 正确，A 错误；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(2023·徐州模拟)圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻

2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第7章 §7

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α. 又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点， ∴α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
思维升华
共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线 (或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
跟踪训练1 (1)(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是
因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误.
命题点2 异面直线所成角
例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
π A.2
π B.3
π C.4
√D.π6
DM＝ AD2＋12AB2＝ 25，
DB1＝ AB2＋AD2＋BB21＝ 5.
所以 OM＝12AD1＝1，OD＝12DB1＝ 25，
于是在△DMO中，由余弦定理，
得 cos∠MOD＝12＋2× 251×2－25252＝ 55，
即异面直线
AD1
与
DB1
所成角的余弦值为
5 5.
思维升华
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型. (2)求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角. 二证：证明作出的角是异面直线所成的角. 三求：解三角形，求出所作的角.

2025年高考数学一轮复习-第七章-数列【课件】

(1)常用的简单递推式的变换技巧.
(2)根据递推关系证明等差、等比数列.
(3)常用的求和的基本方法:分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项法等.
(4)利用函数思想研究数列的最值问题.
(5)数列与不等式相结合的综合问题.
3.重视思想方法的应用
(1)函数与方程思想:数列本身就是函数,函数方法可以用来研究数列问题;在
数列的
综合应用
项公式与前n项和公式.
2023年:新高考Ⅱ卷·T18
2.能解决等差与等比数列之间、 2022年:新高考Ⅰ卷·T17(2)
数列与函数、不等式之间的综合 2022年:新高考Ⅱ卷·T17
问题.
2021年:新高考Ⅰ卷·T17
角度
考查内容
课程标准
高考真题
1.题型设置:常以一个小题和一个大题的形式呈现;
数列的计算中,方程思想的应用极为广泛,如等差数列、等比数列基本量的计算
中,几乎处处使用方程思想.
(2)化归与转化思想:把一般数列转化为等差数列、等比数列加以解决,把一
般数列的求和通过分组、分拆、重组化为基本数列求和等.
(3)分类与整合思想:套用等比数列求和公式时,要分公比等于1和不等于1两
种情形;根据an,Sn关系解决问题时,分n=1,n≥2讨论;在含有(-1)n的数列问题中,分n
(1)重视数列概念的理解:深刻把握数列的项、项数、前n项和等概念.同时注
意数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
(2)重视两类特殊数列:等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式和前n
项和公式的理解与记忆.复习时要注意基础,强化落实,切实提高运算能力.
(3)重视Sn与an关系的理解与应用.
2.熟练掌握解决以下问题的方法规律

2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第1讲直线与圆[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823C.3D.833答案 B解析由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. (2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x －3y －12＝0答案 B解析由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3,1)．设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)．则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)． ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0. 易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1 (1)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l 的方程是( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1)．因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________．答案252解析由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0,4)，直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3,0)．易知直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，又M 是两条直线的交点，所以MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25，故|MA |·|MB |≤252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”.考点二圆的方程核心提炼 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析方法一设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 的标准方程为________________________．答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2 解析设圆心C (a ，b )，半径为r ， ∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)， ∴a ＝1，r ＝|b |.又圆C 与y 轴正半轴交于两点， ∴b >0，则b ＝r ，∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1， ∴r ＝2，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55B.255 C.355 D.455答案 B解析由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b )． ∵圆与两坐标轴都相切， ∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2. ∵点(2,1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2， ∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5. 当a ＝1时，圆心坐标为(1,1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×1－1－3|22＋－12＝255；当a ＝5时，圆心坐标为(5,5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×5－5－3|22＋－12＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________．答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，∴9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中点坐标为(2,2)，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3，设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．例3 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2B ．42C ．6D ．210 答案 C解析由题意，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，知圆C 的圆心为C (2,1)，半径为2.方法一因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB |＝6.方法二由题意知，圆心在直线l 上，即2＋a －1＝0，解得a ＝－1，再由图知，|AB |＝6.(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0答案 D解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2. 如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形PAMB ＝12|PM |·|AB |＝|PA |·|AM |＝2|PA |， ∴|PM |·|AB |＝4|PA | ＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1,0)．又∵直线x ＝－1，即PA 与⊙M 相切， ∴PA ⊥x 轴，PA ⊥MA ，∴A (－1,1)．又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠2)，将A (－1,1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1. ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0. 规律方法直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3 (1)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10B ．43C ．8D ．215答案 D解析设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝a44＋16，∵圆M 与x 轴交于A ，B 两点， ∴|AB |＝2r 2－a 2＝2a 44＋16－a 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 答案102解析联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 专题强化练一、单项选择题1．过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0，当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1，代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或y －x ＝1.2．若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32答案 A解析由两直线平行的条件可得－2＋m ＋m 2＝0， ∴m ＝－2(舍)或m ＝1.3．已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( ) A ．－1B ．1C ．±1D．0 答案 A解析化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.4．(2020·厦门模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0与直线l 相切于点P (3，3)，则直线l 的方程为( ) A ．3x －3y －6＝0 B ．x －3y －6＝0 C ．x ＋3y －4＝0 D ．x ＋3y －6＝0 答案 D解析圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0可化为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心C (2,0)，直线PC 的斜率为k PC ＝0－32－3＝3，∵l ⊥PC ，则直线l 的斜率为k ＝－1k PC ＝－33，∴直线l 的点斜式方程为y －3＝－33(x －3)，化为一般式得x ＋3y －6＝0. 5．(2020·长沙模拟)已知直线l 过点A (a,0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( ) A ．3 2 B ．±3 2 C ．±2 D ．± 2答案 D解析直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即|a |2＝1，a ＝± 2.6．已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4 D ．226＋2 答案 C解析取AB 的中点D (2，－3)，则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|，又由题意知，圆C 的圆心C 的坐标为(1,2)，半径为2， |PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ，又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4，即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.7．(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M 的轨迹是圆，若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则M 点的轨迹围成区域的面积为( )A ．πB．2πC．3πD．4π 答案 D解析以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (3,0)．设M (x ，y )，依题意有，x 2＋y 2x －32＋y2＝2，化简整理得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，即(x －4)2＋y 2＝4，则M 点的轨迹围成区域的面积为4π.8．(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －y ＋6＝0，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 B ．(1,2)C ．(－2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，43 答案 A解析设点P (x 0，y 0)，则x 0－y 0＋6＝0.过点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，以CP 为直径的圆的方程为x (x －x 0)＋y (y －y 0)＝0，又圆C ：x 2＋y 2＝4，作差可得直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝4，将y 0＝x 0＋6，代入可得(x ＋y )x 0＋6y －4＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，6y －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝23，故直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.二、多项选择题9．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 AC解析圆x 2＋y 2＝4的圆心是O (0,0)，半径为R ＝2，圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2的圆心是C (3,4)，半径为r ，|OC |＝5，当2＋r ＝5，r ＝3时，两圆外切，当|r －2|＝5，r ＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合A ∩B 中只有一个元素． 10．下列说法正确的是( )A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点P (0,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为P ′(1,1)C ．过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0 答案 AB解析选项A 中直线x －y －2＝0在两坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成的三角形的面积是2，所以A 正确；选项B 中PP ′的中点⎝⎛⎭⎪⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且P (0,2)，P ′(1,1)两点连线的斜率为－1，所以B 正确；选项C 中需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，所以C 错误；选项D 中还有一条截距都为0的直线y ＝x ，所以D 错误．11．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的值可以是( ) A ．6B ．7C ．10D ．15 答案 BCD解析圆C 2关于x 轴的对称圆C 3为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 3(2，－1)，r 3＝1，点N 关于x 轴的对称点N ′在圆C 3上，又圆C 1的圆心C 1(－6,5)，r 1＝2，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|≥|PC 1|－r 1＋|PC 3|－r 3＝|PC 1|＋|PC 3|－3≥|C 1C 3|－3＝2＋62＋－1－52－3＝7，∴|PM |＋|PN |的取值范围是[7，＋∞)．12．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( ) A ．(0，2) B ．(1，2－1) C ．(2，0) D ．(2－1,1)答案 AC 解析如图所示，坐标原点O 到直线l ：x ＋y －2＝0的距离d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y2＝1相切，由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝ 2.设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得t 2－2t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．三、填空题13．若直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是________．答案 3＋2 2解析因为直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2ab≥3＋22，当且仅当a ＝2＋1，b ＝2＋2时等号成立．所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是3＋2 2.14．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______________________．答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 ∵⊙O 的圆心为(0,0)，半径r ＝1，设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2，即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.15．(2020·石家庄长安区期末)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积达到最大时，k ＝________. 答案 ±1解析由圆O ：x 2＋y 2＝1，得到圆心坐标为O (0,0)，半径r ＝1，把直线l 的方程y ＝kx ＋1(k ≠0)，整理为一般式方程得l ：kx －y ＋1＝0，圆心O (0,0)到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1，弦AB 的长度|AB |＝2r 2－d 2＝2k 2k 2＋1，S △AOB ＝12×2k 2k 2＋1×1k 2＋1＝|k |k 2＋1＝1|k |＋1|k |，又因为|k |＋1|k |≥2|k |·1|k |＝2，S △AOB ≤12，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时取等号，S △AOB 取得最大值，最大值为12，此时k ＝±1.16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确的结论是________．(填序号)答案 ①②③解析公共弦所在直线的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确；又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.。

名师伴你行高考一轮总复习新高考版[数学] 第7章

第七章不等式第一节不等关系与不等式[复习要点] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式的实际背景． 2．理解不等式的性质，能运用不等式的性质，比较两数的大小．知识点一比较两个实数的大小(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a b (a ∈R ，b >0)，a b <1⇔a b (a ∈R ，b >0).答案：(1)> ＝ < (2)> ＝ <知识点二不等式的性质同向可加性⎭⎬⎫a >b ，c >d ⇒________ ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0，c >d >0⇒________⇒可乘方性 a >b >0⇔______(n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)答案：b <a a >c a ＋c >b ＋c ac >bc ac <bc a ＋c >b ＋d ac >bd >0 a n >b n链/接/教/材1．[必修5·P74·例1]设a 0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．c a >c b B ．c a －b >c aC ．|a |c >－bcD ．－a c >－b c答案：B 解析：由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ⇒c a －b <ca ，所以B 中式子不成立．2．[必修5·P75·A 组T3]已知x >0，求证1＋x <1＋x 2. 证明：∵x >0，x 24>0， ∴x 24＋x ＋1>x ＋1>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22>(1＋x )2>0，∴1＋x <1＋x2. 易/错/问/题不等式性质的两个易错点：不等号的传递性；可乘性． (1)若a ＞b ，b ≥c ，则a 与c 的大小关系是________． (2)若a ＞b ，则ac 与bc 的大小关系________． (1)答案：a ＞c 解析：由a ＞b ，b ≥c ，得a ＞c .(2)答案：不确定解析：若c ＞0，则ac ＞bc ；若c ＜0，则ac ＜bc ；若c ＝0，则ac ＝bc . 通/性/通/法1．比较两个数大小的方法：差值法；商值法． (1)若ab >0，且a >b ，则1a 与1b 的大小关系是________． (2)1618与1816的大小关系是________. (1)答案：1a <1b 解析：∵a >b ，∴b －a <0，又ab >0，∴1a －1b ＝b －a ab <0，即1a <1b .(2)答案：1618＞1816 解析：16181816＝1616×1621816＝⎝ ⎛⎭⎪⎫161816·162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8916·28＝⎝ ⎛⎭⎪⎫64818·28＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，故1618＞1816.2．不等式性质的两个应用：确定取值范围；求最值. (1)若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围为________．(2)若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．(1)答案：(－π，0) 解析：因为－π2<α<π2，－π2<－β<π2，所以－π<α－β<π. 又α<β，所以α－β<0，所以－π<α－β<0.(2)答案：27 解析：由3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，可得2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值是27.题型不等式的性质角度Ⅰ.不等关系的判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[多选]若a >1>b >0，－1<c <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a c ≥b c B ．a ＋c >b C ．ac <bcD ．a －c >b －c[答案] CD [解析] 由于⎭⎬⎫a >b ，c <0⇒a c b ≥2，则( ) A ．b 2<3b －a B ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2 C ．ab >a ＋bD ．12＋2ab >1a ＋1b[答案] BC [解析] 本题考查利用不等式的性质比较大小．A 项，已知a >b ≥2，不妨取a ＝3，b ＝2，则b 2＝4,3b －a ＝3，b 2<3b －a 不成立．B 项，a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )>0，故B 成立；C 项，ab －a －b ＝a (b －1)－b ＝(b －1)⎝⎛⎭⎪⎫a －b b －1＝(b －1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b －1>0，故C 成立； D 项，12＋2ab －1a －1b ＝(a －2)(b －2)2ab ≥0，故D 不成立．3．设a >b >0，m >0，n >0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n 由小到大的顺序是____________________．[答案] b a <b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <ab[解析] ∵b a －b ＋m a ＋m ＝b (a ＋m )－a (b ＋m )a (a ＋m )＝m (b －a )a (a ＋m )<0，∴b a b ，ab >0⇒1a <1b ； ②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd ； ④0<a <x b >0，m >0，则①真分数的性质：b a b －ma －m (b －m >0)；②假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．角度Ⅱ.待定系数法求代数式的范围试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[2021东北三省四市联考]已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围． [解] 结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，由不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．[解] 由题意知，f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为[5,10]．方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)利用待定系数法求代数式的取值范围已知M 1<f 1(a ，b )<N 1，M 2<f 2(a ，b )<N 2，求g (a ，b )的取值范围． (1)设g (a ，b )＝pf 1(a ，b )＋qf 2(a ，b )； (2)根据恒等变形求得待定系数p ，q ；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g (a ，b )的取值范围．题型代数式的大小比较角度Ⅰ.差值比较法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．若a >1，b <1，则下列两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b .[答案] < [解析] (ab ＋1)－(a ＋b )＝1－a －b ＋ab ＝(1－a )(1－b )，∵a >1，b <1，∴1－a <0,1－b >0，∴(1－a )(1－b )<0，∴ab ＋1<a ＋b .2．[2021福建厦门模拟]已知a >b >0，x ＝a ＋b e b ，y ＝b ＋a e a ，z ＝b ＋a e b ，则( ) A ．x <z <y B ．z <x <y C ．z <y <xD ．y <z <x[答案] A [解析] 解法一：由题意，令a ＝2，b ＝1，则x ＝2＋e ，y ＝1＋2e 2，z ＝1＋2e ，显然有1＋2e 2>1＋2e>2＋e ，即x <z <y .解法二：a >b >0时，e a >e b ， ∴a e a >a e b >b e b ，∴b ＋a e a >b ＋a e b >b ＋b e b ，∴y >z .∵z －x ＝(b －a )＋(a －b )e b ＝(a －b )(e b －1)>0， ∴z >x .∴x <z <y .故选A.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)差值比较法1．原理设a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ；a －b ＝0⇒a ＝b ；a －b <0⇒a 0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． [解] a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，于是a a b b >a b b a ；当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，于是a a b b >a b b a . 故当a >0，b >0，且a ≠b 时，a a b b >a b b a .4．已知a ，b ，c 都为正实数，试比较a a b b c c 与a a ＋b 2b b ＋c 2c c ＋a2的大小．[解] 不妨设：a ≥b ≥c ，则a a b b c ca a ＋b 2b b ＋c 2c c ＋a2＝a a －b 2b b －c 2c c －a 2＝a a －b 2·b b －c 2·c c －b 2＋b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 2，由a≥b≥c知，ac ，bc都不小于1，a－b2≥0，b－c2≥0，故上式≥1，从而aa b b c c≥aa＋b2bb＋c2cc＋a2.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)商值比较法1．原理设a>0，b>0，则ab>1⇒a>b；ab＝1⇒a＝b；ab<1⇒a<b.2．步骤作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论．[注意]作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等．一般幂的形式的代数式比较大小，常采用商值比较法．角度Ⅲ.单调性法比较大小关系试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．[2019全国卷Ⅱ]若a>b，则()A．ln(a－b)>0 B．3a<3bC．a3－b3>0 D．|a|>|b|[答案]C[解析]解法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确．解法二：由a>b，得a－b>0，但a－b>1不一定成立，则ln(a－b)>0 不一定成立，故A不一定成立．因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立．因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立．因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|，所以D不一定成立．故选C.6．[多选][2021山东一模]对于实数a，b，m，下列说法正确的是()A．若am2>bm2，则a>bB．若a>b，则a|a|>b|b|C．若a>b>0且|ln a|＝|ln b|，则2a＋b∈(2，＋∞)D．若b>a>0，m>0，则a＋m b＋m>ab[答案]ABD[解析]本题考查根据不等式性质判断大小、利用作差法比较大小．对实数a，b，m.∵am 2>bm 2，∴m 2>0， ∴a >b ，A 正确． ∵a >b ，分三种情况，当a >0>b 时，a |a |>0>b |b |；当0>a >b 时，a |a |＝－a 2>－b 2＝b |b |；当a >b >0时，a |a |＝a 2>b 2＝b |b |， ∴a |a |>b |b |成立，B 正确．若a >b >0且|ln a |＝|ln b |， ∴1b ＝a ，且a >1. ∴2a ＋b ＝2a ＋1a . 设f (a )＝2a ＋1a (a >1)， ∵f ′(a )＝2－1a 2>0，∴f (a )在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴f (a )>3，即2a ＋b ∈(3，＋∞)，C 错误． ∵b >a >0，m >0，∴a ＋m b ＋m －a b ＝(a ＋m )b －a (b ＋m )b (b ＋m )＝ab ＋bm －ab －am b (b ＋m )＝(b －a )m b (b ＋m )>0，D 正确．解/题/感/悟(小提示，大智慧)1．利用函数性质比较数式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式．2．通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较． 3．导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．角度Ⅳ.中间量和特殊值法比较大小试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)7．已知a ＝log 23，b ＝log 0.20.3，c ＝e －1，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．c <a <bB ．c log 22＝1；log 0.20.2<b ＝log 0.20.3<log 0.20.2，所以12<b <1；c ＝e －1<12.所以 c <b <a ，故选B.8．[2017山东卷]若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) B ．b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b2a D ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a[答案] B [解析] 解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1. ∵b 2a ＝1a2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，又∵b ＝1a ，a ＞b ＞0，∴a ＞1a ，解得a ＞1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a ·(1＋a ln 2)＜0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减． ∴f (a )＜f (1)，即b 2a ＜12.∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b .故选B. 解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b .故选B.9．[2021江西南昌二中月考]若a >1,0<c log b 2 020 B ．log b a <log c a C ．(c －b )c a >(c －b )b a D ．(a －c )a c >(a －c )a b[答案] D [解析] ∵a >1,0<c 0，∴log b 2 020＝log a 2 020log a b <log a 2 020，∴A 正确；∵0>log a b >log a c ，∴1log a b <1log a c ，∴log b a <log c a ，∴B 正确； ∵c a (c －b )b a ，∴C 正确； ∵a c <a b ，a －c >0， ∴(a －c )a c <(a －c )a b ， ∴D 错误．故选D.解/题/感/悟(小提示，大智慧)中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f (x )＝log a x 的单调性判断其与f (1)，f (a )的大小．题型不等式与函数知识的综合试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021江西重点中学联考]定义在(－1,1)上的函数f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当x ∈(－1,0)时，f (x )>0.若P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111，Q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( )A ．R >Q >PB ．R >P >QC ．P >R >QD ．Q >P >R[答案] B [解析] 取x ＝y ＝0，则f (0)－f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0. 设－1<x <y <1，则－1<x －y 1－xy<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy >0，所以f (x )>f (y )，所以函数f (x )在(－1,1)上为减函数．由f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy ，得 f (x )＝f (y )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy ，取y ＝15，x －y 1－xy ＝111，则x ＝27，所以P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27.因为0<27<12，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以R >P >Q .2．[多选]若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )>k >1，其中一定正确的结论的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >0B ．f (k )>k 2C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k <2k －11－k[答案] ACD [解析] 令g (x )＝f (x )－kx ，则g ′(x )＝f ′(x )－k ， ∵f ′(x )>k ，∴g ′(x )>0， ∴g (x )在R 上是增函数，∵k >1，∴0<1k <1，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝f (0)＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >0，∴A 正确； ∵g (k )＝f (k )－k 2>g (1)＝f (1)－k ，f (1)和k 的大小关系不确定， ∴B 不一定正确；由k >1知1k －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－kk －1>g (0)＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，∴C 正确；由k >1知11－k <0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k －k1－k <g (0)＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k <k 1－k －1＝2k －11－k ， ∴D 正确．故一定正确的是ACD. 提醒完成限时跟踪检测(三十二)第二节一元二次不等式及其解法[复习要点] 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式．知识点一一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数________零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)． 2．计算相应的________．3．当________时，求出相应的一元二次方程的根．4．利用二次函数的图象与x 轴的________确定一元二次不等式的解集．答案：1.大于 2.判别式 3.Δ≥0 4.交点知识点二三个二次之间的关系Δ＝b 2－4ac 二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有_______实根x 1，x 2 (x 1<x 2) 有_______实根 x 1＝x 2＝－b2a _______实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 ________ ________ ________ ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集________________________答案：两相异两相等没有 {x |x >x 2或x <x 1} {x |x ≠x 1} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅链/接/教/材1．[必修5·P80·A 组T4]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3答案：D 解析：易知A ＝(1,3)， B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.故选D.2．[必修5·P104·B 组T3]若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集为{x |0<x <2}，则m ＝________. 答案：1 解析：原不等式可化为x 2＋2(m －2)x <0，由题意，得x ＝0与x ＝2即为方程x 2＋2(m －2)x ＝0的两根，所以－2(m －2)＝2，解得m ＝1. 易/错/问/题1．二次不等式的系数的讨论．(1)不等式x (1－2x )＞0的解集是________．(2)不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．(1)答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由不等式x (1－2x )＞0，得不等式x (2x －1)＜0，解得0＜x ＜12.(2)答案：当a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >2；当a ＝0时，{x |x ＞2} 解析：当a ＜0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x >2或x <1a ；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.2．求不等式中参数值的两个方法：判别式；根与系数的关系．(1)若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是________． (2)若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1,2]，则a ＝________，c ＝________. (1)答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14.(2)答案：－1 －2 解析：由题意，得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，由根与系数的关系，得1＋2＝－3a ，1×2＝ca ，解得a ＝－1，c ＝－2.通/性/通/法一元二次不等式的应用：不等式在R 上恒成立．(1)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． (2)函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． (1)答案：(0,8) 解析：∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.(2)答案：(－23，23) 解析：依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，解得－23<a <2 3.题型二次不等式和高次不等式的解法角度Ⅰ.不含参的二次不等式的解法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021河南濮阳模拟]已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |α<x <β}(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1β，1αB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1β∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1α，＋∞C ．(α，β)D ．(－∞，α)∪(β，＋∞)[答案] B [解析] 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |α<x <β}(α>0)，则α，β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根，且a <0，∴α＋β＝－b a ，αβ＝c a .不等式 cx 2＋bx ＋a <0化为c a x 2＋ba x ＋1>0，∴αβx 2－(α＋β)x ＋1>0，化为(αx －1)(βx －1)>0，又0<α<β，∴1α>1β>0，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1β或x >1α，故选B.2．解下列不等式： (1)19x －3x 2≥6； (2)8x －1≤16x 2； (3)0<x 2－x －2≤4.[解] (1)原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0，因为函数 y ＝3x 2－19x ＋6的图象开口向上且与x 轴有两个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0和(6,0)，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤6.(2)8x －1≤16x 2⇔16x 2－8x ＋1≥0⇔(4x －1)2≥0，所以对于任意的x ∈R ，原不等式都成立，所以原不等式的解集为R .(3)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.利用数轴(如图)可知，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．解/题/感/悟(小提示，大智慧)1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．2．解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．角度Ⅱ.含参二次不等式的解法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )． [解] 原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0. 因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <1a；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}． (3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由于1a <2，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1a 或x >2. 综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <2. 4．解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R )． [解] ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0. ②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为 1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解． ③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时，不等式的解为x ＜1＋1－k 2k或x ＞1－1－k 2k；若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ；若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}．综上所述，当k ≥1时，不等式的解集为∅；当0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ；当k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}；当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ；当k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；当k ＜－1时，不等式的解集为R .解/题/感/悟(小提示，大智慧)对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置．二次项系数出现参数，需要讨论系数和零的大小；如果可以通过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判别式进行讨论．总之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根的大小！角度Ⅲ.分式不等式或高次不等式的解法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 5．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) [答案] A [解析] 不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇔－12<x ≤1，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1．分式不等式的转化途径解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式． (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0； (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≤0，g (x )≠0. 2．“穿针引线法”解一元高次不等式如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法(亦称穿针引线法)求解．画出符号波浪线，特点是：(1)最右端的区间符号为正；(2)从右至左符号正负交替，并关注因子的指数奇偶的变化，从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，注意应遵循“奇穿偶切”原则．如(x －1)2(x －2)(x －3)>0在数轴上标根穿线时，点1处的线过而不穿．6．不等式x －2x 2＋3x ＋2>0的解集是________________．[答案] {x |－2<x <－1或x >2} [解析]x －2x 2＋3x ＋2>0⇔x －2(x ＋2)(x ＋1)>0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)>0，∴原不等式对应的方程(x －2)(x ＋2)·(x ＋1)＝0的根为2，－2，－1，在数轴上标根并穿线，如图所示．由穿针引线法，得不等式x －2x 2＋3x ＋2>0的解集是{x |－2<x <－1或x >2}．题型二次不等式的恒成立问题角度Ⅰ.在R 上的恒成立问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)[答案] C2．[2021河南豫西南五校联考]已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案] A [解析] 当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k (k ＋8)≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是0≤k ≤1.故选A.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)不等式在实数范围内恒成立的求解方法(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0； ②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0； ②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.角度Ⅱ.在给定区间内恒成立求参数问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．已知f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，则实数m 的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67 [解析] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6在x ∈[1,3]上恒成立，又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以m <6x 2－x ＋1. 令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.4．[2021内蒙古包头联考]若关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)[答案] A [解析] 关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在(－∞，1]上恒成立，等价于a (x －1)≥x 3－3x 2＋2＝(x －1)(x 2－2x －2)在(－∞，1]上恒成立．当x ＝1时，0≤0成立；当x <1时，x －1<0，则a ≤x 2－2x －2，因为y ＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3>－3在x <1时恒成立，所以a ≤－3. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．故选A.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a<α，f (α)<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f (β)<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (β)>0，f (α)>0.(2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (β)<0，f (α)<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a<α，f (α)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f (β)>0或Δ<0.[提示] 在求解一元二次不等式时，一定要注意二次项系数的正、负及等号对解集的影响．角度Ⅲ.给定参数范围内恒成立，求x 的范围试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．[2021江西八校联考]若对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)[答案] B解/题/感/悟(小提示，大智慧)转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解．题型一元二次方程根的分布问题角度Ⅰ.由根的限制条件求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021安徽黄山模拟]若函数f (x )＝4x －m ·2x ＋m ＋3有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(2，＋∞)，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C ．(7，＋∞)D ．(－∞，－3)[答案] C [解析] 设t ＝2x ，则t >0，则函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋3有两个不同的零点t 1，t 2，且t 1∈(1,2)，t 2∈(4，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)>0，f (2)<0，f (4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋m ＋3>0，4－2m ＋m ＋3<0，16－4m ＋m ＋3<0，解得m >7.故选C.2．设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求a 的取值范围．[解] 设函数f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2，其图象开口向上．由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2<0，7×22－2(a ＋13)＋a 2－a －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3，∴－2<a <－1或3<a <4，∴a 的取值范围为(－2，－1)∪(3,4)．方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af (k )>0，－b 2a >k .定理3：x 1≤x 2<k(即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af (k )>0，－b 2a <k .角度Ⅱ.二次方程在实数范围内有解求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是____________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3][答案] B方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2—4ac >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ，c ∈R .角度Ⅲ.二次不等式在区间内有解求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在[1,4]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(－12，＋∞)D ．(－∞，－12)[答案] A [解析] 令函数f (x )＝2x 2－8x －4－a ，其图象开口向上，且对称轴x ＝－－82×2＝2在区间[1,4]内，∴只需在区间[1,4]的端点处的函数值f (1)，f (4)中的最大值大于0，即可保证不等式2x 2－8x －4－a >0在区间[1,4]上有解．又∵2－1<4－2， ∴只需f (4)>0即可，∴2×42－8×4－4－a >0，∴a <－4，即a 的取值范围为(－∞，－4)，故选A.解/题/感/悟(小提示，大智慧)在区间内有解，可以参变分离为a >f (x )或a <f (x )的形式，转化为a >f (x )min 或a <f (x )max ；也可以通过对立命题转化为在区间内无解，从而转化为恒成立问题．角度Ⅳ.二次不等式有整数解求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)6．[2021广东梅州模拟]关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为 ( )A ．(5,6]B ．(5,6)C ．(2,3]D ．(2,3)[答案] A [解析] 关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0可化为(x －m )(x －2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x |2<x <m }，且 5<m ≤6，即实数m 的取值范围是(5,6]．故选A.7．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，求实数a 的取值范围． [解] 不等式(2x －1)2<ax 2等价于(4－a )x 2－4x ＋1<0， ∵不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a >0，Δ＝(－4)2－4(4－a )>0，解得0<a <4，∴不等式的解集为12＋a <x <12－a .∵14<12＋a<12，∴不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数解一定是1,2,3， ∴3<12－a≤4，解得259<a ≤4916， ∴实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916.解/题/感/悟(小提示，大智慧)本例7中，要使关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有3个，那么此不等式的解集不可能是无限区间，从而由已知条件先确定解集的一端点的取值范围，解集的另一端点的取值范围也就确定下来了．提醒完成限时跟踪检测(三十三)第三节基本不等式及其应用[复习要点] 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识点一重要不等式a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )(当且仅当________时，等号成立)．答案：2ab a ＝b知识点二基本不等式ab ≤a ＋b2 1．基本不等式成立的条件：________.2．等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立．3．其中a ＋b2叫做正数a ，b 的________，ab 叫做正数a ，b 的________．答案：1.a >0，b >0 2.a ＝b 3.算术平均数几何平均数知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题1．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当________时，x ＋y 有最小值2P . (简记：“积定和最小”)2．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24. (简记：“和定积最大”) 答案：1.x ＝y链/接/教/材1．[必修5·P99·例1(2)改编]若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．81答案：A2．[必修5·P100·练习T1改编]设a >0，则9a ＋1a 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案：C3．[必修5·P101·B 组T2]如图，树顶A 离地面a m ，树上另一点B 离地面b m ，在离地面c m 的C 处看此树，离此树多远时看A ，B 的视角最大？解：如图，过C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于D ，设∠BCD ＝α，∠ACB ＝β，CD ＝x ，在△BCD 中，tan α＝b －cx . 在△ACD 中，tan(α＋β)＝a －cx .则tan β＝tan[(α＋β)－α]＝a －b x1＋a －c x ·b －c x＝a －b x ＋(a －c )(b －c )x≤a －b2x ·(a －c )(b －c )x＝a －b 2(a －c )(b －c ).当且仅当x ＝(a －c )(b －c )x ，即x ＝(a －c )(b －c )时，tan β取得最大值，从而看A ，B 的视角也最大．易/错/问/题1．基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件． (1)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.(2)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的最小值为________．(1)答案：36 解析：∵x >0，a >0， ∴f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又∵f (x )在x ＝3时取得最小值， ∴a ＝4×32＝36.(2)答案：5 解析：y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4，当sin x ＝4sin x 时，sin x ＝±2，显然取不到等号．事实上，设t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，则t ∈(0,1]，易知y ＝t ＋4t 在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5.2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时，x 的值为________． (2)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． (1)答案：12 解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，等号成立． (2)答案：5 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．核/心/素/养某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．答案：8 解析：年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋18，因为x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，所以y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤18－10＝8，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立．题型利用基本不等式求最值角度Ⅰ.利用基本不等式求最值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2020江苏卷]已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． [答案] 45 [解析] 由5x 2y 2＋y 4＝1，知y ≠0， ∴x 2＝1－y 45y 2，∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15y 2＋4y 25≥2425＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12，x 2＝310时取等号．故x 2＋y 2的最小值为45.2．[2020天津卷]已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________．[答案] 4 [解析] 本题考查基本不等式的应用．由已知得，12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b 且ab ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＋3，b ＝2－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－3，b ＝2＋3时取等号，故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 3．[多选][2021山东潍坊高密模拟]设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( ) A ．a 2a 9的最大值为10 B ．a 2＋a 9的最大值为210 C ．1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200[答案] ABD [解析] 本题考查利用基本不等式求最值．因为正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，所以(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20.A ．a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时，等号成立，故A 选项正确；B ．由于⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时，等号成立，故B 选项正确；C ．1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时，等号成立，所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 选项错误；D ．结合A 的结论，有a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时，等号成立，故D 选项正确．方/法/总/结利用对勾函数的性质求函数的最值函数y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)叫“对勾函数”，其图象如下：适用范围：求形如y ＝sin x ＋2sin x ，y ＝x 2＋4x 2＋9的函数最值．角度Ⅱ.配凑法求最值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[2021安徽江南十校联考]已知实数x 满足log 12x >1，则函数y ＝8x ＋12x －1的最大值为( ) A ．－4 B ．8 C ．4D ．0[答案] D [解析] 由log 12x >1得0<x <12，∴－1<2x －1<0，y ＝8x ＋12x －1＝4(2x －1)＋12x －1＋4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(1－2x )＋11－2x ＋4≤－4＋4＝0，当且仅当4(1－2x )＝11－2x，即x ＝14时，等号成立，故选D.5．已知0<x <25，则f (x )＝x (2－5x )的最大值为________． [答案] 15 [解析] 因为0<x <25，所以0<5x <2,2－5x >0，则f (x )＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )≤15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x ＋(2－5x )22＝15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，等号成立，此时f (x )取得最大值15.解/题/感/悟(小提示，大智慧)当拼凑和为定值或积为定值时，经常会遇到系数不匹配，或者常数项不匹配的现象，通过加减常数或者乘除系数的形式构造出满足要求的定值现象．角度Ⅲ.常数代换法求最值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 6．[2021福建龙岩模拟]已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9[答案] C [解析] ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12， ∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当yx ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时，等号成立，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C.7．[2021湖南长沙模拟]如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M －P AB 、三棱锥M －PBC 、三棱锥M －PCA 的体积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，且1x ＋a y ≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．。

微专题(六) 与中点有关的辅助线+++课件+2025年中考数学人教版一轮复习(广西)

【方法归纳】
情形1：倍长中线
如图，在△ABC中，AD是BC边的中线．
辅助线作法一：延长AD至点E，使
DE＝AD，连接BE.
辅助线作法二：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
结论：△ACD≌△EBD.
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情形2：倍长类中线
如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AB上一点，连接DE.
辅助线作法一：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF.
辅助线作法二：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
结论：△BDE≌△CDF.
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1．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若∠BAC＝120°，∠DAC＝9
0°，AC＝2，则△ABC的面积为 2 3 .
【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.延长AD至点E，使DE＝AD，
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2．如图，在△ABC中，AC＝2 2，∠ACB＝120°，D是边AB的中点，E
是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 .
【解析】延长BC至点F，使CF＝CA，连接AF，根据等边三角形的性质求
出AF，根据三角形中位线定理得DE的长．
2025版
数学
广西专版
3．如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，D是边BC延长线上一点，∠B
又∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADF(SAS)，
∴∠CAD＝∠FAD，∴AD平分∠CAE.
2025版
数学
广西专版
∴AC＝HB，∠CAD＝∠H，
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE＝∠BFH，
∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF.

新高考数学通用版总复习一轮课件第七章第6讲双曲线

解析：椭圆x82＋y52＝1 的焦点为(± 3，0)，椭圆的顶点为 (±2 2，0)，双曲线中 c＝2 2，a＝ 3，b2＝c2－a2＝5，所以双曲线方程为x32－y52＝1.
答案：x32－y52＝1
题组三真题展现 3.(2020 年全国Ⅲ)设双曲线 C：ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线为 y＝ 2x，则 C 的离心率为________.
所以 SF1F2P ＝12|PF1||PF2|＝3. 故选 B.
答案：B
3.(2020 年押题导航卷)已知点 F1，F2 分别为双曲线 C：ax22－ by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点 M(x0，y0)(x0＜0)为 C 的渐近线与圆 x2＋y2＝a2 的一个交点，O 为坐标原点，若直线 F1M
4
考点 2 求双曲线的标准方程师生互动
[例 1](1)(2020 年押题导航卷)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一个焦点坐标为(2,0)，且两条渐近线的夹角为π3，则双曲
线 C 的标准方程为( )
A.x32－y32＝1 或x32－y2＝1 C.y32－x32＝1 或 x2－y32＝1
A.72
B.3
C.52
D.2
解析：由已知，不妨设 F1(－2,0)，F2(2,0)，则 a＝1，c＝2，因为|OP|＝2＝12|F1F2|，所以点 P 在以 F1F2 为直径的圆上，即△F1F2P 是以 P 为直角顶点的直角三角形，
故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝16－ 2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，

(江西专用)高考数学一轮复习第七章章末知识总结课件文新人教A版

又因为圆心在x轴的正半轴上,所以a=3,故圆心坐标为(3,0). 因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所
求的直线方程为x+y-3=0.
【答案】x+y-3=0
模拟试题:湖北省武汉模拟已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2 ( )
2 . (B)2-
时,a等于 3
(A) 2 .
(C) 2 -1.
(D)
2 +1.
【解析】∵圆C的半径为2,且直线l被圆C截得的弦长为2 ∴圆心到直线l的距离为1,即d=
| a 2 3| 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 ,
=1(a>0),∴a=
-1. 2
【答案】C
【点评】高考命题的宗旨是源于课本而高于课本,通过对比
例
已知点A(2,-3)、B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且 )
与线段AB相交,则直线l的斜率的变化范围为 ( (A)[-4,- ].
3 (B)[- ,4]. 4
3 4
(C)(-∞,-4]∪[ ,+∞).
(D)(-∞,- ]∪[4,+∞).
3 4
3 4
【解析】如图所示,
当直线l夹在l1和l3之间时,l的斜率大于等于l3的斜率,而l3的斜
3 率为 ; 4
当直线l夹在l1与l2之间时,l的斜率小于等于l2的斜率,而l2的斜
3 率为-4.由此可知:直线l的斜率的变化范围为(-∞,-4]∪[ ,+∞) 4
【答案】C
章末知识总结
知识构图
线面整合

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4.锁定垂面破翻折——独挡一面
在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相关
线或面的垂面，化空间为平面，则容易找到问题的核心.
例4 如图5，在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC的中点，N为AC
的中点，D为线段BM上一个动点(异于两端点)，△ABD沿AD翻折至B1D⊥DC，点A在平面B1CD上的投影为点O，当点D在线段BM上运动时，以下说法错误的是 A.线段NO为定长
大一轮复习讲义
微专题六立体几何中的动态问题
解题策略
立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转.就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离.立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力.在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜.
B.CO∈(1， 2 )
√C.∠AMO＋∠B1DA>180°
D.点O的轨迹是圆弧
图5
解析如图6，记B2为B1在平面ADC上的射影，
由B1D⊥DC可得B2D⊥DC.
记B2D交AB于点K，则DC⊥平面B1B2K.
在△B1DC中，作EM∥B1D交B1C于点E，连接AE，
图6
则平面AEM∥平面B1B2K，平面AEM⊥平面B1DC，从而点A在平面B1DC上的
且∠A1AH＝π6.
因为 l 与直线 CC1 所成角的大小为π4，
即 l 与直线 AA1 所成角的大小为π4，
图4
那么 l 与直线 AH 所成角的取值范围为π4－6π，π4＋6π.
又因为l与直线AH所成的角和l与平面A1BD所成的角互余，所以直线 l 与平面 A1BD 所成角的取值范围是1π2，51π2.
最小(如图3)，其正弦值为
2 3
.
综上可知，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的
取值范围为
32，1
.
图3
3.用法向量定平面——定海神针在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角. 例 3 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知二面角 A1－BD－A 的大小为π6，
若空间有一条直线 l 与直线 CC1 所成的角为π4，则直线 l 与平面 A1BD 所成角的取值范围是__1_π2_， __51_π2___.
解析如图 4，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，连接 A1E，则∠A1EA＝π6. 过点 A 作 AH⊥A1E 于点 H，则A→H为平面 A1BD 的法向量，
1 大值是___2__.
图9
解析设M，N分别为AC，AP的中点，因为BA＝BP＝BC，PD＝DA，所以点B在平面PAC上的射影为△PAC的外心O，且点O在直线ND上. 又因为 AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以 AC＝2 3，
BO＝ AB2－OA2≤ AB2－AM2＝1，
当且仅当点O与点M重合时取到等号. 设AD＝x，∠PDC＝θ，
图8
又因为BH⊥AD，B为定点，所以动点H又在过点B且垂直于直线AD的定平面上，
故点H运动的轨迹是圆.
6.构建函数求最值——以数解形在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型(规律)的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形. 例6 如图9，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外一点P 和线段AC上一点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体P－BCD的体积的最
得∠B1DK>∠B1DA，于是∠AMO＋∠B1DA<180°.故选C.
5.觅得定值明轨迹——动中有静
在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决
动态问题的常用手段.
例5 如图7，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，
C是⊙O上的两个点，H是点B在AC上的射影，当点C
运动时，点H运动的轨迹是
解析从图形分化出4个点O，A，B1，P，其中△AOB1为直角三角形，固定A，B1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，从而 OP≤OQ＋QP＝21AB1＋2＝ 2＋2，
当且仅当OQ⊥AB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时
图1
直线AB1与平面α成45°角.
2.极端位置巧分析——穷妙极巧在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案. 例2 在正四面体A－BCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是__ _3_2_，__1_ _.
√A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.不是平面图形
图7
解析如图8，设⊙O的半径为r，取BC的中点M，
则OM⊥BC，MH＝MC.
因为AB⊥平面BCD，所以BC是AC在平面BCD上的射影，
从而OM⊥平面ABC，得OM⊥MH，
于是OH2＝MO2＋MH2＝MO2＋MC2＝r2，
即OH＝r，亦即动点H在以O为球心、r为半径的球面上.
大一轮复习讲义
微专题六立体几何中的动态问题
交于BD.
总之，解立体几何动态问题的过程实质是数学建模的过程，是创新的过程.方程、函数和图形变换是基础，因此夯实基础是解决此类问题的关键. 化整为零的思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等是解决立体几何动态问题的最佳策略.真正破解动态立体几何问题，需要整体把握动态变化过程，更需要深厚的空间想象之内功.如果说招式是术，那么内功就是修行，即不断积累知识与技巧、经验与经历.
射影O在直线EM上. 取 AM 的中点 H，则 NH＝12MC＝12，OH＝21AM＝21，ON＝ 22均为定长. 易知点 O 的轨迹是以点 H 为圆心、21为半径的圆弧，因为 CO2＝MO2＋MC2，且 MO∈(0,1)，所以 CO∈(1， 2).
又∠AMO＋∠AME＝180°，∠AME＝∠B1DK，所以∠B1DB2<180°－∠B1DA，
解析本例可用极端位置法来加以分析.
先寻找垂直：记O为△ACD的中心，G为OC的中点，
则BO⊥面ACD，EG⊥面ACD.
此时，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值为1.
图2
由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，
看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角
因为 AC＝2 3，所以 DC＝2 3－x，
则 S△PDC＝12x·(2 3－x)sin θ≤21x·(2 3－x)≤2122 32＝32，
图10
当且仅当点M与点D重合时取到等号.
因此，四面体 P－BCD 的体积为 VP－BCD＝31S△PCD·OB≤13×32×1＝12，此时点O，M，D重合，即点D为AC的中点，且平面PBD与平面ABC垂直相
1.去掉枝蔓见本质——大道至简在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键.
例1 如图1，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.点A 是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为 ___2_＋__2__.