直线与直线的方程(超经典)

课题：直线与直线方程

考纲要求：

① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

教材复习

1.倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范

围为[)0,π.斜率：当直线的倾斜角不是90︒时，则称其正切值为该直线的斜率，即

tan k α=;当直线的倾斜角等于90︒时，直线的斜率不存在。 2.过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率公式:21

21

tan y y k x x α-==

-

若12x x =，则直线12P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90︒.

3.（课本36P ）直线的方向向量：设,A B 为直线上的两点，则向量AB 及与它平行的向量都 称为直线的方向向量.若()11,A x y ，()22,B x y ，则直线的方向向量为AB =()2121,x x y y --. 直线0Ax By C ++=的方向向量为(),B A -.当12x x ≠时，()1,k 也为直线的一个方向向量.

4.直线方程的种形式：

1.直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角90α≠︒时，tan k α=，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90︒的直线无斜率．

2.求直线方程的方法：

()1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；

()2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

3. ()1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．()2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．

4.直线方程一般要给出一般式.

典例分析：

考点一 直线的倾斜角和斜率

问题1. 已知两点()1,2A -，(),3B m .()1求直线AB 的斜率k 和倾斜角α；

()

2求直线AB 的方程；()3若实数13m ⎡⎤

∈--⎢⎥⎣⎦

，求AB 的倾斜角α的范围.

问题2．()1（01河南）已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --，()1,1B -为

端点的线段相交，求直线l 的斜率及倾斜角α的范围.()2求函数sin 1

3cos y θθ

-=+的值域.

考点二求直线的方程

问题3．求满足下列条件的直线l的方程：

()1过两点()

1,2

A，且以()

B；()2过()

A，()

6,5

2,3

a=为方向向量；

2,3

()3过()

P，倾斜角是直线430

3,2

-+=的倾斜角的2倍；

x y

()4过()

A-，且在x轴，y轴上截距相等；

5,2

()5在y轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6；

考点三 与直线方程有关的最值问题

问题4．()1(06上海春)直线l 过点()2,1P ，且分别与,x y 轴的正半轴于,A B 两点，O

为原点. 求AOB △面积最小值时l 的方程，()2 PA PB ⋅取最小值时l 的方程.

考点四 直线方程的应用

问题5．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA △

内部有一文物保护区不能占用，经测量，100AB m =，80BC m =，30AE m =，

20AF m =，应如何设计才能使草坪面积最大？

课后作业：

1.（01上海春）若直线1x =的倾斜角为α，则α

.A 等于0 .B 等于4

π .C 等于2

π

.D 不存在

2.（95全国）如右图，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 .A 123k k k <<.B 312k k k <<.C 321k k k <<.D 132k k k <<

3.(04合肥模拟)直线l 的方向向量为()1,2-，直线l 的倾斜角为α，则tan 2α= .

A 4

3 .B 43- .C 34

.D 34

-

4.（2012西安五校联考）直线l 经过()2,1A ，()21,B m （m R ∈）两点，那么直线l 的

倾斜角范围是 .A [)0,π.B 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥

⎣⎦⎝⎭.C 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .D ,,422ππππ⎡⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭

5.直线cos 20x α++=()R α∈的倾斜角范围是

.A 5,,6226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .B 50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.C 50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.D 5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

6.（95上海）下面命题中正确的是：

.A 经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示.

.B 经过任意两个不同的点()111,P x y ,()222,P x y 的直线都可以用方程()()121y y x x --=

()()121x x y y --表示；.C 不经过原点的直线都可以用方程

1=+b

y

a x 表示 .D 经过点()0,A

b 的直线都可以用方程y kx b =+表示

7.已知三点()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 共线，则k 的取值是.A 6-.B 7-.C 8-.D 9-

8.（2013常州模拟）过点P ()2,3且在两条坐标轴上的截距相等的直线l 的方程是