教师课件:2020年高中数学第一章导数及其应用1.2第二课时导数的运算法则学案新人教A版选修2-2
2019-2020年人教版高中数学第一章1.2第2课时导数的运算法则
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[类题尝试] 求导 f(x)=(x2-1)(x+3). [规范解法] f′(x)=[(x2-1)]′(x+3)+(x2-1)(x+3)′ =2x(x+3)+x2-1=3x2+6x-1. [巧妙解法] 因为 f(x)=(x2-1)(x+3)=x3+3x2-x -3,所以 f′(x)=(x3+3x2-x-3)′=3x2+6x-1.
答案:C
3.若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过 坐标原点,则 α=________.
解析:y′=αxα-1,则 k=α,故切线方程 y=αx 过点
(1,2)解得 α=2.
答案:2
4.函数 y=x2-sin
x 2cos
x2的导数 y′=________.
解析:因为 y=x2-sin
编后语
• 同学们在听课的过程中,还要善于抓住各种课程的特点,运用相应的方法去听,这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科,前面的知识没学懂,后面的学习就很难继续进行。因此,掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解,
同时,大家要开动脑筋,思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的,要边听边想。为讲明一个定理,推出一个公式,老师讲解顺序是怎样的, 为什么这么安排?两个例题之间又有什么相同点和不同之处?特别要从中学习理科思维的方法,如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物,就要特别重视实验和观察,并在获得感性知识的基础上,进一步通过思考来掌握科学的概念和规律,等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主,比如政治,要注意哪些是观点,哪些是事例,哪些是用观点解释社会现象。听历史课时,首先要弄清楚本节教材的主要观点,然 后,弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实,这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后,也是关键的一环,看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索:这些史料能不能充分说明观点?是否还可以补充新的史料?有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多,在大部分的时间里,进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此,要上好英语课,就应积极参加语言实践活 动,珍惜课堂上的每一个练习机会。
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
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判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析,最外层的 主体函数结构是以基本函数为主要形式,各层的中间变量结构也 都是基本函数关系,这样一层一层分析,最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而 得到的函数.
1.指出下列函数的复合关系: (1)y=cos( 3x+1);(2)y=e3x2+2;(3)y=(1+15x)3.
第1章 导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则 进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax+b)的导数).
1.复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数,称为复合函数.如 y=sin 2x 由 y=sin u 及 u=_2_x__复合而成. 2.复合函数的求导法则 若 y=f(u),u=ax+b,则 yx′=__y_u_′·_u_x_′ _____,即 yx′=___y_u_′·_a___. 其中 yx′,yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数.
1.函数 y=(3x-2)2 的导数 y′=________. 解析:y′=2(3x-2)·(3x-2)′=6(3x-2). 答案:18x-12
2.若 f(x)=sin3x+π4,则 f′π4=________. 解析:f′(x)=3cos3x+π4,所以 f′π4=-3. 答案:-3
3.设曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直, 则 a=________. 解析:由题意知 y′|x=0=aeax|x=0=a=2. 答案:2
(2)设 y=cos u,u=53π-7x.
高中数学一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二2数学
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1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y =f (u )和u =g (x ),如果通过变量u ,y 可以表示成□01x 的函数,那么称这个函数为y =f (u )和u =g (x )的复合函数,记作□02y =f [g (x )]. 在复合函数中,内层函数u =g (x )的值域必须是外层函数y =f (u )的定义域的子集.2.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即y x ′=□03y u ′·u x ′,并且在利用复数的求导法则求导数后,最后结果要把中间变量换成自变量的函数.复合函数,可以是一个中间变量,也可以是两个或多个中间变量,应该按照复合次序从外向内逐层求导.使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,选择适当的中间变量.(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的导数,如(sin2x )′=2cos2x ,不能得出(sin2x )′=cos2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数,如求y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的导数,设y =sin u ,u =2x +π3,则y x ′=y u ′·u x ′=cos u ·2=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.(4)熟练掌握复合函数的求导后,中间步骤可省略不写. 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x )=2x ,则f (x )=x 2.( )(2)函数f (x )=x e x 的导数是f ′(x )=e x(x +1).( ) (3)函数f (x )=sin(-x )的导数为f ′(x )=cos x .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2.做一做(1)若f (x )=2x +3,则f ′(x )=________.(2)函数f (x )=2sin x -cos x ,则f ′(x )=________. (3)函数f (x )=-2x +1,则f ′(x )=________.答案 (1)2 (2)2cos x +sin x (3)2x +12探究1 简单复合函数求导问题 例1 求下列函数的导数.(1)y =(3x -2)2;(2)y =ln (6x +4); (3)y =sin(2x +1);(4)y =3x +5.[解] (1)∵y =(3x -2)2由函数y =u 2和u =3x -2复合而成,∴y x ′=y u ′·u x ′=(u 2)′·(3x -2)′=6u =18x -12.(2)∵y =ln (6x +4)由函数y =ln u 和u =6x +4复合而成,∴y x ′=y u ′·u x ′=(ln u )′·(6x +4)′=6u =66x +4=33x +2.(3)函数y =sin(2x +1)可以看作函数y =sin u 和u =2x +1的复合函数,根据复合函数求导法则有y x ′=y u ′·u x ′=(sin u )′·(2x +1)′=2cos u =2cos(2x +1).(4)函数y =3x +5可以看作函数y =u 和u =3x +5的复合函数,根据复合函数求导法则有y x ′=y u ′·u x ′=(u )′·(3x +5)′=32u =323x +5.拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】 求下列函数的导数. (1)y =1-2x 2;(2)y =esin x;(3)y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3;(4)y =5log 2(2x +1).解 (1)设y =u12 ,u =1-2x 2,则y ′=(u 12 )′(1-2x 2)′=⎝ ⎛⎭⎪⎫12u - 12 ·(-4x )=12(1-2x 2) - 12 (-4x )=-2x 1-2x 2 . (2)设y =e u,u =sin x ,则y x ′=y u ′·u x ′=e u·cos x =e sin xcos x .(3)设y =sin u ,u =2x +π3,则y x ′=y u ′·u x ′=cos u ·2=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.(4)设y =5log 2u ,u =2x +1,则y ′=5(log 2u )u ′(2x +1)x ′=10u ln 2=102x +1ln 2.探究2 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数. (1)y =x (x +1)(x +2)(x >0); (2)y =sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.[解] (1)y ′=[x (x +1)(x +2)]′=x ′(x +1)(x +2)+x (x +1)′(x +2)+x (x +1)(x +2)′=(x +1)(x +2)+x (x +2)+x (x +1)=3x 2+6x +2.(2)设y =u 2,u =sin ν,ν=2x +π3,则y x ′=y u ′·u ν′·νx ′=2u ·cos ν·2=4sin νcos ν=2sin2ν=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +2π3.[解法探究] 此题有没有其他解法呢?[解] (1)因为y =x (x +1)(x +2)=(x 2+x )(x +2)=x 3+3x 2+2x ,所以y ′=(x 3+3x 2+2x )′=3x 2+6x +2.(2)y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3′=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3·[ sin ( 2x +π3 ) ]′=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3′=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +2π3.拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简,然后再求导,以减少运算量;(2)中间变量的选择应是基本函数结构; (3)关键是正确分析函数的复合层次;(4)一般是从最外围开始,由外及里,一层层地求导; (5)善于把一部分表达式作为一个整体; (6)最后要把中间变量换成自变量的函数. 【跟踪训练2】 求下列函数的导数. (1)y =x 1+x2;(2)y =x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2.解 (1)y ′=(x 1+x 2)′=x ′1+x 2+x (1+x 2)′ =1+x 2+x 21+x2=错误!.(2)∵y =x cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2=x (-sin2x )cos2x =-12x sin4x ,∴y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12x sin4x ′=-12sin4x -x 2cos4x ·4=-12sin4x -2x cos4x .探究3 导数的综合应用例3 设函数f (x )=ax -bx,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.[解] (1)由7x -4y -12=0得y =74x -3.当x =2时,y =12,∴f (2)=2a -b 2=12.①又f ′(x )=a +b x 2,∴f ′(2)=a +b 4=74.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧4a -b =1,4a +b =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =3.故f (x )=x -3x.(2)证明:设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3x2知,曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=⎝⎛⎭⎪⎫1+3x 20(x -x 0),即y -⎝⎛⎭⎪⎫x 0-3x 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3x 20(x -x 0).令x =0得y =-6x 0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,-6x 0.令y =x 得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪-6x 0|2x 0|=6.故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.拓展提升根据切线方程求出切点及斜率,代入解方程组即可.利用f (x )上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积.高考中对导数的考查,往往与其他知识点相结合:如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等,解题的关键是能够熟练求出导数,把问题转化为相对应的知识求解.【跟踪训练3】 已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且直线l 与曲线C 相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标.解 因为直线l 过原点,所以直线l 的斜率k =y 0x 0(x 0≠0),由点(x 0,y 0)在曲线C 上,得y 0=x 30-3x 20+2x 0,所以y 0x 0=x 20-3x 0+2.又y ′=3x 2-6x +2,所以k =y ′| x =x 0=3x 20-6x 0+2.又k =y 0x 0,所以3x 20-6x 0+2=y 0x 0=x 20-3x 0+2,整理得2x 20-3x 0=0.因为x 0≠0,所以x 0=32,此时y 0=-38,k =-14.因此直线l 的方程为y =-14x ,切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-38.1.在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不具备求导法则条件的式子,可适当地进行等价变形,以达到化异求同,化繁为简的目的.2.在可能的情况下,求导时应尽量避免使用积商的求导法则,因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简,然后再求导,这样可以减少运算量,同时提高正确率.1.下列函数不是复合函数的是( ) A .y =-x 3-1x+1B .y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4C .y =1ln xD .y =(2x +3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数,B 中的函数可看作函数u =x +π4,y =cos u 的复合函数,C 中的函数可看作函数u =ln x ,y =1u的复合函数,D 中的函数可看作函数u =2x +3,y =u 4的复合函数,故选A .2.函数y =12(e x +e -x)的导数是( )A .12(e x -e -x) B .12(e x +e -x )C .e x-e -xD .e x+e-x答案 A 解析y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e x +e-x′=12[(e x )′+(e -x)′]=12(e x -e -x). 3.函数f (x )=π2x 2的导数是( ) A .f ′(x )=4πx B .f ′(x )=2πxC .f ′(x )=2π2xD .f ′(x )=2πx 2+2π2x答案 C解析 由f (x )=π2x 2得f ′(x )=2π2x ,故选C .4.已知函数f (x )=x 4+ax 2-bx ,且f ′(0)=-13,f ′(-1)=-27,则a +b =________.答案 18解析 f ′(x )=4x3+2ax -b ,由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0=-13,f ′-1=-27⇒⎩⎪⎨⎪⎧-b =-13,-4-2a -b =-27⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =13⇒a +b =5+13=18.5.设f (x )=ln (x +1)+x +1+ax +b (a ,b ∈R ,a ,b 为常数),曲线y =f (x )与直线y =32x 在(0,0)点相切.求a ,b 的值.解 由曲线y =f (x )过(0,0)点,可得ln 1+1+b =0,故b =-1.由f (x )=ln (x +1)+x +1+ax +b ,得f ′(x )=1x +1+12x +1+a ,则f ′(0)=1+12+a =32+a ,此即为曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线的斜率.由题意知32+a =32,故a =0.。
高中数学第一章导数及其应用1.2.1_2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件新
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1. 能根据定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x2,y=1x, y= x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1.几个常用函数的导数
函数 导数 函数
导数
f(x)=c f′(x)=0 f(x)=x f′(x)=1
f(x)=x2 f′(x)=2x f(x)=1x f′(x)=-x12
3.函数 f(x)=sinx,则 f′(6π)=________.
解析:f′(x)=cosx,所以 f′(6π)=1. 答案:1
【解析】 (1)因为 y=sinx,所以 y′=cosx,
曲线在点 Pπ6,12处的切线斜率是
y′|x=π6=cosπ6=
3 2.
所以过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为-
2, 3
故所求的直线方程为 y-12=- 23x-π6,
即 2x+ 3y- 23-π3=0.
(2)因为 y′=(x2)′=2x, 设切点为 M(x0,y0), 则 y′|x=x0=2x0, 又因为直线 PQ 的斜率为 k=42- +11=1,而切线平行于直线 PQ,
切线方程为 y-14=-x+12, 即 4x+4y+1=0.
|素养提升|
1.基本初等函数的导数公式可分为四类 第一类为幂函数,y′=(xα)′=αxα-1(注意幂指数 α 可推广到全体 非零实数); 第二类为三角函数,可记为正弦函数的导数为余弦函数,余弦函 数的导数为正弦函数的相反数; 第三类为指数函数,y′=(ax)′=axlna,当 a=e 时,y=ex 的导 数是指数函数的导数的一个特例; 第四类为对数函数,y′=(logax)′=xl1na,也可写为(logax)′= 1x·logae,当 a=e 时,y=lnx 的导数是对数函数的导数的一个特例.
[精品课件]高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应
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3.已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a =________.
【解析】 ∵f′(x)=3ax2+1, ∴f′(1)=3a+1. 又 f(1)=a+2, ∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1. 【答案】 1
1 A.10
B.10
C.10ln 10
1 D.10ln 10
【解析】 ∵f′(x)=10xln 10,∴f′(1)=10ln 10.
【答案】 C
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________
y′=________
y=logax (a>0,a≠1,x>0)
y=ln x y=sin x y=cos x
y′=________
y′=________ y′=________ y′=________
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修2_2
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(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率 公式进行求解. (2)求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤
4.已知曲线 y=ln x 的一条切线方程为 x-y+c=0, 求 c 的值.
(cos x)′=-sin x,因记不住公式出错较多.
1.下列函数中,导函数是奇函数的是( )
A.y=sin x
B.y=ex
C.y=ln x
D.y=cos x
解析:选 D.y=cos x,y′=-sin x 为奇函数,故选 D.
2.曲线 y=cos x 在点 Pπ3,12处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
在本例(2)中是否存在与直线 PQ 垂直的切线,若有,求出切线方
程,若没有,说明理由. 解:假设存在与直线 PQ 垂直的切线, 因为 PQ 的斜率为 k=42-+11=1, 所以与 PQ 垂直的切线斜率 k=-1, 设切点为(x′0,y′0),则 y′|x=x′0=2x′0, 令 2x′0=-1,则 x′0=-12,y′0=14, 切线方程为 y-14=-x+12,即 4x+4y+1=0.
(2)(ex)′=ex 是(ax)′=axln a(a>0 且 a≠1)当 a=e 时的特例.( √ )
(3)(ln x)′=1x是(logax)′=xln1 a(a>0 且 a≠1)的特例. ( √ )
Байду номын сангаас
(4)sin
π3′=cos
π3=12.(
×)
2.已知 f(x)= x,则 f′(4)=( A.-14 C.-2
4.已知 f(x)=1x,则 ff′15=________. 解析:因为 f(x)=1x,所以 f′(x)=-x12, 所以 f′15=-25,所以 ff′15=-215. 答案:-215
2020版高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件人教A版选修2_2
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-1-(������03 − 2x0)=(3������02 − 2)(1-x0),
解得
x0=1
或
x0=−
1.
2
题型一
题型二
题型三
题型四
∴k=3×12-2=1 或 k=3 ×
-
1 2
2
−
2=−
5.
4
∴切线的斜率为
1或
−
5,
4
故所求的切线方程为
y+1=x-1 或 y+1=− 5 (x-1),
4
即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
典例透析
反思求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数的结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成原自变量的函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 求下列函数的导数:
[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
2.注意两个函数的积与商的求导公式中,符号的异同,积的导数中 是“+”号,而商的导数中分子上是“-”号.
知识梳理
【做一做1-1】 函数y=x3cos x的导数是( ) A.3x2cos x+x3sin x B.3x2cos x-x3sin x C.3x2cos x D.-x3sin x 解析:y'=(x3cos x)'=3x2cos x+x3(-sin x)=3x2cos x-x3sin x,故选B. 答案:B 【做一做1-2】 若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于 () A.-1 B.-2 C.2 D.0
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 导数的四则运算法则课件 新人教B版选修2-2
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【典例】求下列函数的导数.
(1)y=
ex .
x
(2)y=(2x2-1)(3x+1).
45
【解析】 (1)y′= (e x x ) ( e x ) x x 2 e xx e xx x 2 e x e x ( x x 2 1 ). (2)因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, 所以y′=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′ -(1)′=18x2+4x-3.
x- 1
ax+2y+1=0平行,求实数a的值. 世纪金榜导学号
37
【思路导引】由导数的几何意义求出(2,2)处切线的斜 率进而求出a的值.
38
【解析】因为y′= 所以y′|x=2=-1,即 答案:2
x(x1)(x1)x 1
(x1)2
(x1)2,
=a -1,所以a=2.
2
39
【延伸探究】条件不变,(1)求该切线到直线ax+2y +1=0的距离.(2)试求与直线y=-x平行的过曲线的切线 方程.
13
2.函数f(x)=sin x+x的导数是 ( )
A.f′(x)=cos x+1
B.f′(x)=cos x-1
C.f′(x)=-cos x+1
D.f′(x)=-cos x+x
14
【解析】选A.f′(x)=(sin x)′+x′=cos x+1.
15
休息时间到啦
同学们,下课休息十分钟。现在是休息时间,你们休息一下眼睛, 看看远处,要保护好眼睛哦~站起来动一动,久坐对身体不好哦~
高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人
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y=3x-3, (2)解方程组y=-13x-292,
得xy= =-16,52.
所以直线l1和l2的交点坐标为16,-52. l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),-232,0. 所以所求三角形的面积为S=12×235×-52=11225.
导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方 程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用.方法是先求 出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程;若切 点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求 切点坐标.
)
A.-x+xex13
B.x+xex13
C.-x+xex12
D.x+xex12
【答案】D 4.若f(x)=(2x+a)2,f′(2)=20,则实数a=________. 【答案】1
求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数. (1)y=x5-3x3-5x2+6; (2)y=(2x2+3)(3x-2); (3)y=xx- +11; (4)y=-sin2x1-2cos24x.
4.对复合函数的求导,需注意以下几点:
(1)分清复合函数的复合关系,即是由哪些基本函数复合
而成的,适当选定中间变量;
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,如
求y=sin2 2x+π3 的导数,设y=u2,u=sin
v,v=2x+
π 3
,则
y′x=yu′·uv′·vx′=2u·cos v·2=4sin 2x+π3 cos 2x+π3 =
f′xgx-fxg′x (4)gfxx′=_________[_g__x_]_2________(g(x)≠0).
2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间 的关系为___y_′__x_=__y_′__u·_u_′__x __,即y对x的导数等于y对u的导数 与u对x的导数的乘积.
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(二)课件苏教版选修2_2
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4.质点按 s(t)=3t-t2 做直线运动,当其瞬时速度为 0 时,t= ________.
解析:根据导数的定义可求得 s′(t)=3-2t. 令 s′(t)=3-2t=0,得 t=32.
答案:32
求函数 f(x)在点 x=x0 处的导数 (1)f(x)=x2 在 x=1 处的导数为( )
A.2x
B.2
C.2+Δx
D.1
(2)已知 f(x)=2x,且 f′(m)=-12,则 m 的值等于( )
A.-4
B.2
C.-2
D.±2
【解析】
(1) lim Δx→0
ΔΔxy=Δlixm→0
f(1+Δx)-f(1) Δx
= lim Δx→0
1+2Δx+Δx(Δx)2-1=Δlixm→0
(2+Δx)=2.
所以曲线 y=1x在 x=x0 处的切线的斜率为-x120. 故所求直线方程为 y-y0=-x120(x-x0). 由点(2,0)在所求的直线上, 得 x20·y0=2-x0,① 再由 P(x0,y0)在曲线 y=1x上,得 x0y0=1,② 联立①②可解得 x0=1,y0=1, 所以所求直线方程为 x+y-2=0. 【答案】 x+y-2=0
经过点(2,0)且与曲线 y=1x相切的直线方程为________. 【解析】 可以验证点(2,0)不在曲线 y=1x上, 设切点为 P(x0,y0), 因为 Δy=x0+1 Δx-x10=-x0(xΔ0+x Δx), 所以ΔΔxy=-x0(x01+Δx), 当 Δx 无限趋近于 0 时,ΔΔxy趋近于-x120,
2.“函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)”“导函数 f′(x)”“导数”之 间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f′(x0),就是在该点处函数值的改变量与 自变量的改变量之比的无限趋近值,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数是对某一区间内任意点 x 而言的,就是函数 f(x)的 导函数 f′(x). (3)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函 数值.这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一.
高中数学课件 第一章 导数及其应用 1.2导数的概念
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❖ 巧嘴媒婆:
一个姑娘缺一块嘴唇,一个小伙子没有鼻子。
媒婆对小伙子说:“这个姑娘没有别的毛病, 就是嘴不好。”
媒婆对姑娘说:“这个小伙子什么都好,就是 眼下没有什么。”
※多义词的义项:
❖ “意思”真有意思! 辨析一下:这八个“意思”都属于“意思”
在《现代汉语词典》中的哪些义项?
❖ 词的本义、借代引申与比喻引申---❖ “花”的演变:
❖ “而”字趣闻:
近代名士章式之在批改一个学生作文时,发 现这个学生在作文中一连用了十几个“而”字, 都不恰当,让人啼笑皆非,于是章式之在在该生 的作文本上批了一段批语:
“当而而不而,不而而而而,而今而后, 宜而而而也!”
〃议一议:这个绝妙的评语中一共有19个“而”字, 你能准确地说出各自的含义吗?
一般地,
f
'
x0
反映了原油温度在时刻x 附近的变化情况. 0
计算第3(h)和第5(h)时,原油温度的瞬时 变化率,并说明它们的意义。
这说明: 在第3小时附近,原油温度大约以1的速率下降, 在第5小时附近,原油温度大约以3的速率上升。
1.求物体运动的瞬时速度:
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
x
x
x( x0 x x0 )
1
.
x0 x x0
y
1
1
lim lim
,
x0 x x0 x0 x x0 2 x0
由y'|x x0
1 ,得 22
1 x0
1 2 , x0
1.
设f(x)在x=x0附近有定义,且 lim h0
f
( x0
高中数学第一章导数及其应用1.2.1_1.2.2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一课件
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C.2
D.3
解析 令 f(x)=ax-ln(x+1),则 f′(x)=a-x+1 1.
由导数的几何意义,可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)=a-1.
又切线方程为y=2x, 则有a-1=2,∴a=3.
解析答案
2.函数 f(x)= x,则 f′(3)等于( A )
3
1
A. 6
B.0
C.2 x
2019/7/11
最新中小学教学课件
31
解析答案
5.求下列函数的导数:
(1)y=x13; 解 y′=x13′=(x-3)′=-3x-3-1=-3x-4. (2)y=3 x.
解
y′=(3
x)′=(
x
1 3
) = 13
x
1 1 3
=13
x
2 3
.
12345
解析答案
课堂小 结
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编后语
老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
版高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二课件新人教a版选修2_2
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方法归纳 求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再 根据导数的运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个” 函数的积、商的导数计算.
跟踪训练 1 求下列函数的导数. (1)y=3x2+xcosx;
(2)y=lgx-x12; (3)y=(x2+3)(ex+lnx); (4)y=x2+tanx; (5)y=x+ex 1.
解析:(1)y′=6x+cosx+x(cosx)′ =6x+cosx-xsinx.
(2)y′=(lgx)′-(x-2)′=xln110+x23. (3)y′=(x2+3)′(ex+lnx)+(x2+3)(ex+lnx)′
=2x(ex+lnx)+(x2+3)ex+1x =ex(x2+2x+3)+2xlnx+x+3x.
(1)y=3-14x4;(2)y=cos(2 008x+8); (3)y=21-3x; (4)y=ln(8x+6).
【解析】 (1)引入中间变量 u=φ(x)=3-4x. 则函数 y=3-14x4是由函数 f(u)=u14=u-4 与 u=φ(x)=3-4x 复合而成的. 查导数公式表可得 f′(u)=-4u-5=-u45,φ′(x)=-4. 根据复合函数求导法则可得
【解析】 (1)y′=2x-2-4x.
(2)y′=(x·tanx)′=xcsoisnxx′ =xsinx′coscxo-s2xxsinxcosx′ =sinx+xcocsoxsc2xosx+xsin2x =sinxccooss2xx+x. (3)y′=x′ex-exx·2ex′=1-ex x.
【课标要求】 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求(1)函数的和差:[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x). (2)函数的乘积:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). (3)函数的商:gfxx′=f′xg[xg-xf]2xg′x(g(x)≠0).
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第二课时 导数的运算法则预习课本P15~18,思考并完成下列问题(1)导数的四则运算法则是什么?在使用运算法则时的前提条件是什么?(2)复合函数的定义是什么,它的求导法则又是什么?[新知初探]1.导数的四则运算法则 (1)条件:f (x ),g (x )是可导的.(2)结论:①[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ). ②[f (x )g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ). ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′=f ′x g x -f x g ′x [g x ](g (x )≠0).[点睛] 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算. (2)两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导. (3)若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.(4)对于较复杂的函数式,应先进行适当的化简变形,化为较简单的函数式后再求导,可简化求导过程.2.复合函数的求导公式(1)复合函数的定义:①一般形式是y =f (g (x )). ②可分解为y =f (u )与u =g (x ),其中u 称为中间变量.(2)求导法则:复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为:y x ′=y u ′·u x ′.[小试身手]1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x )=2x ,则f (x )=x 2.( )(2)函数f (x )=x e x的导数是f ′(x )=e x(x +1).( ) (3)函数f (x )=sin(-x )的导数为f ′(x )=cos x .( ) 答案:(1)× (2)√ (3)×2.函数y =sin x ·cos x 的导数是( ) A .y ′=cos 2x +sin 2x B .y ′=cos 2x C .y ′=2cos x ·sin x D .y ′=cos x ·sin x答案:B3.函数y =x cos x -sin x 的导数为________. 答案:-x sin x4.若f (x )=(2x +a )2,且f ′(2)=20,则a =________. 答案:1利用导数四则运算法则求导[典例] 求下列函数的导数:(1)y =x 2+log 3x ;(2)y =x 3·e x;(3)y =cos x x.[解] (1)y ′=(x 2+log 3x )′=(x 2)′+(log 3x )′ =2x +1x ln 3. (2)y ′=(x 3·e x )′=(x 3)′·e x +x 3·(e x)′ =3x 2·e x +x 3·e x =e x (x 3+3x 2). (3)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′=cos x ′·x -cos x ·x ′x 2=-x ·sin x -cos x x2=-x sin x +cos xx2.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数.(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. [活学活用] 求下列函数的导数:(1)y =sin x -2x 2;(2)y =cos x ·ln x ;(3)y =exsin x.解:(1)y ′=(sin x -2x 2)′=(sin x )′-(2x 2)′=cos x -4x . (2)y ′=(cos x ·ln x )′=(cos x )′·ln x +cos x ·(ln x )′=-sin x ·ln x +cos xx.(3)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′=e x ′·sin x -e x·sin x ′sin 2x =e x ·sin x -e x ·cos x sin 2x=exsin x -cos xsin 2x. 复合函数的导数运算[典例] 求下列函数的导数: (1)y =11-2x2;(2)y =esin(ax +b );(3)y =sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3;(4)y =5log 2(2x +1). [解] (1)设y =u -12,u =1-2x 2,则y ′=(u-12)′(1-2x 2)′=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12u -32·(-4x )=-12(1-2x 2) -32 (-4x )=2x (1-2x 2) -32.(2)设y =e u,u =sin v ,v =ax +b , 则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=e u·cos v ·a =a cos(ax +b )·esin(ax +b ).(3)设y =u 2,u =sin v ,v =2x +π3,则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2 =4sin v cos v =2sin 2v =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +2π3. (4)设y =5log 2u ,u =2x +1, 则y ′=5(log 2u )′·(2x +1)′ =10u ln 2=102x +1ln 2.1.求复合函数的导数的步骤2.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数.(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点. [活学活用]求下列函数的导数:(1)y =(3x -2)2; (2)y =ln(6x +4); (3)y =e2x +1;(4)y =2x -1;(5)y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x -π4;(6)y =cos 2x .解:(1)y ′=2(3x -2)·(3x -2)′=18x -12; (2)y ′=16x +4·(6x +4)′=33x +2;(3)y ′=e2x +1·(2x +1)′=2e2x +1;(4)y ′=122x -1·(2x -1)′=12x -1.(5)y ′=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π4′=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π4.(6)y ′=2cos x ·(cos x )′=-2cos x ·sin x =-sin 2x .与切线有关的综合问题[典例] (1)函数y =2cos 2x 在x =12处的切线斜率为________.(2)已知函数f (x )=ax 2+ln x 的导数为f ′(x ), ①求f (1)+f ′(1).②若曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线,求实数a 的取值范围.[解析] (1)由函数y =2cos 2x =1+cos 2x ,得y ′=(1+cos 2x )′=-2sin 2x ,所以函数在x =π12处的切线斜率为-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12=-1. 答案:-1(2)解:①由题意,函数的定义域为(0,+∞),由f (x )=ax 2+ln x ,得f ′(x )=2ax +1x,所以f (1)+f ′(1)=3a +1.②因为曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线,故此时切线斜率为0,问题转化为在x ∈(0,+∞)内导函数f ′(x )=2ax +1x存在零点,即f ′(x )=0⇒2ax +1x=0有正实数解,即2ax 2=-1有正实数解,故有a <0,所以实数a 的取值范围是(-∞,0).关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用:导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用.(2)方法:先求出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.[活学活用]若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax 2+154x -9都相切,则a 的值为( )A .-1或-2564B .-1或214C .-74或-2564D .-74或7解析:选A 设过点(1,0)的直线与曲线y =x 3相切于点(x 0,x 30), 则切线方程为y -x 30=3x 20(x -x 0),即y =3x 20x -2x 30. 又点(1,0)在切线上,代入以上方程得x 0=0或x 0=32.当x 0=0时,直线方程为y =0.由y =0与y =ax 2+154x -9相切可得a =-2564.当x 0=32时,直线方程为y =274x -274.由y =274x -274与y =ax 2+154x -9相切可得a =-1.层级一 学业水平达标1.已知函数f (x )=ax 2+c ,且f ′(1)=2,则a 的值为( ) A .1 B. 2 C .-1D .0解析:选A ∵f (x )=ax 2+c ,∴f ′(x )=2ax , 又∵f ′(1)=2a ,∴2a =2,∴a =1.2.函数y =(x +1)2(x -1)在x =1处的导数等于( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选D y ′=[(x +1)2]′(x -1)+(x +1)2(x -1)′=2(x +1)·(x -1)+(x +1)2=3x 2+2x -1,∴y ′|x =1=4.3.曲线f (x )=x ln x 在点x =1处的切线方程为( ) A .y =2x +2 B .y =2x -2 C .y =x -1D .y =x +1解析:选C ∵f ′(x )=ln x +1,∴f ′(1)=1,又f (1)=0,∴在点x =1处曲线f (x )的切线方程为y =x -1.4. 已知物体的运动方程为s =t 2+3t(t 是时间,s 是位移),则物体在时刻t =2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析:选D ∵s ′=2t -3t 2,∴s ′|t =2=4-34=134.5.设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:选D y ′=a -1x +1,由题意得y ′|x =0=2,即a -1=2,所以a =3. 6.曲线y =x 3-x +3在点(1,3)处的切线方程为________. 解析:∵y ′=3x 2-1,∴y ′|x =1=3×12-1=2. ∴切线方程为y -3=2(x -1),即2x -y +1=0. 答案:2x -y +1=07.已知曲线y 1=2-1x与y 2=x 3-x 2+2x 在x =x 0处切线的斜率的乘积为3,则x 0=________.解析:由题知y ′1=1x 2,y ′2=3x 2-2x +2,所以两曲线在x =x 0处切线的斜率分别为1x 20,3x 2-2x 0+2,所以3x 20-2x 0+2x 2=3,所以x 0=1. 答案:18.已知函数f (x )=f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x +sin x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________. 解析:∵f ′(x )=-f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x +cos x , ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=-f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22+22,得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=2-1.∴f (x )=(2-1)cos x +sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=1. 答案:19.求下列函数的导数: (1)y =x sin 2x ;(2)y =e x+1e x -1;(3)y =x +cos xx +sin x;(4)y =cos x ·sin 3x .解:(1)y ′=(x )′sin 2x +x (sin 2x )′=sin 2x +x ·2sin x ·(sin x )′=sin 2x +x sin 2x . (2)y ′=e x+1′e x -1-e x+1e x-1′e x -12=-2e xe x-12.(3)y ′=x +cos x ′x +sin x -x +cos xx +sin x ′x +sin x 2=1-sin x x +sin x -x +cos x1+cos xx +sin x 2=-x cos x -x sin x +sin x -cos x -1x +sin x 2.(4)y ′=(cos x ·sin 3x )′=(cos x )′sin 3x +cos x (sin 3x )′ =-sin x sin 3x +3cos x cos 3x =3cos x cos 3x -sin x sin 3x .10.偶函数f (x )=ax 4+bx 3+cx 2+dx +e 的图象过点P (0,1),且在x =1处的切线方程为y =x -2,求f (x )的解析式.解:∵f (x )的图象过点P (0,1),∴e =1. 又∵f (x )为偶函数,∴f (-x )=f (x ).故ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =ax 4-bx 3+cx 2-dx +e . ∴b =0,d =0.∴f (x )=ax 4+cx 2+1.∵函数f (x )在x =1处的切线方程为y =x -2, ∴切点为(1,-1).∴a +c +1=-1. ∵f ′(x )|x =1=4a +2c ,∴4a +2c =1. ∴a =52,c =-92.∴函数f (x )的解析式为f (x )=52x 4-92x 2+1.层级二 应试能力达标1.若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于( ) A .-1 B .-2 C .2D .0解析:选B ∵f ′(x )=4ax 3+2bx 为奇函数,∴f ′(-1)=-f ′(1)=-2. 2.曲线y =x e x -1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A .2eB .eC .2D .1解析:选C 函数的导数为f ′(x )=ex -1+x ex -1=(1+x )ex -1,当x =1时,f ′(1)=2,即曲线y =x e x -1在点(1,1)处切线的斜率k =f ′(1)=2,故选C.3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .e -1B .-1C .-e -1D .-e解析:选C ∵f (x )=2xf ′(e)+ln x , ∴f ′(x )=2f ′(e)+1x,∴f ′(e)=2f ′(e)+1e ,解得f ′(e)=-1e,故选C.4.若曲线f (x )=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x -y =0,则点P 的坐标为( ) A .(-1,2) B .(1,-3) C .(1,0)D .(1,5)解析:选C 设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为f ′(x )=4x 3-1,所以f ′(x 0)=4x 30-1=3,即x 0=1,把x 0=1代入函数f (x )=x 4-x 得y 0=0,所以点P 的坐标为(1,0).5.已知直线y =2x -1与曲线y =ln(x +a )相切,则a 的值为________________. 解析:∵y =ln(x +a ),∴y ′=1x +a ,设切点为(x 0,y 0), 则y 0=2x 0-1,y 0=ln(x 0+a ),且1x 0+a=2, 解之得a =12ln 2.答案:12ln 26.曲线y =x2x -1在点(1,1)处的切线为l ,则l 上的点到圆x 2+y 2+4x +3=0上的点的最近距离是____________.解析:y ′=-12x -12,则y ′| x =1=-1,∴切线方程为y -1=-(x -1),即x+y -2=0,圆心(-2,0)到直线的距离d =22,圆的半径r =1,∴所求最近距离为22-1.答案:22-17.已知曲线f (x )=x 3+ax +b 在点P (2,-6)处的切线方程是13x -y -32=0. (1)求a ,b 的值;(2)如果曲线y =f (x )的某一切线与直线l :y =-14x +3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)∵f (x )=x 3+ax +b 的导数f ′(x )=3x 2+a , 由题意可得f ′(2)=12+a =13,f (2)=8+2a +b =-6, 解得a =1,b =-16.(2)∵切线与直线y =-14x +3垂直,∴切线的斜率k =4. 设切点的坐标为(x 0,y 0), 则f ′(x 0)=3x 20+1=4,∴x 0=±1.由f (x )=x 3+x -16,可得y 0=1+1-16=-14, 或y 0=-1-1-16=-18.则切线方程为y =4(x -1)-14或y =4(x +1)-18. 即y =4x -18或y =4x -14.8.设f n (x )=x +x 2+…+x n-1,x ≥0,n ∈N ,n ≥2. (1)求f n ′(2);(2)证明:f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0, 23内有且仅有一个零点(记为a n ),且0<a n -12<2n3n +1. 解:(1)由题设f n ′(x )=1+2x +…+nx n -1.所以f n ′(2)=1+2×2+…+(n -1)2n -2+n ·2n -1,①则2f n ′(2)=2+2×22+…+(n -1)2n -1+n ·2n,②①-②得,-f n ′(2)=1+2+22+…+2n -1-n ·2n=1-2n1-2-n ·2n =(1-n )·2n-1, 所以f n ′(2)=(n -1)·2n+1. (2)因为f (0)=-1<0,f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1-23-1=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232>0,因为x ≥0,n ≥2.所以f n (x )=x +x 2+…+x n-1为增函数, 所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0, 23内单调递增, 因此f n (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0, 23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )=x -x n +11-x-1,所以0=f n (a n )=a n -a n +1n1-a n-1,由此可得a n =12+12a n +1n >12,故12<a n <23. 所以0<a n -12=12a n +1n <12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1=2n3n +1.。