第一讲 不等关系与不等式性质(文)
不等关系与不等式的基本性质
l 2 π( ) > 100 π 2 2 l 即 > 100 4 π
如图，用两根长度均为 的绳子 的绳子， 如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个 正方形和圆。 正方形和圆。
3、当l=8时，正方形和圆哪个大？l=12呢？ 、 时 正方形和圆哪个大？ 呢 当l=8时，正方形的面积为 时 82 ≈ 5.1(cm2 ) 圆的面积为 4π 4<5.1,
a b
1 a
哪个大？ 2、已知 a b =－1，则a和b哪个大？
3、如图，若数轴上的两点 、B表示的数分别为 、如图，若数轴上的两点A、 表示的数分别为 如图所示，则下列结论正确的是（ 如图所示，则下列结论正确的是（ ） A、b-a＞0 B、a-b＞0 、 ＞ 、 ＞ C、2a+b＞0 D、a+b＞0 、 ＞ 、 ＞
练习： 练习：
2、判断对错： 判断对错： （1）如果a＞b，那么ac＞bc。 如果a 那么ac＞bc。 ac （2）如果a＞b，那么ac2＞bc2。 如果a 那么ac 那么a （3）如果ac2＞bc2,那么a＞b。 如果ac 解：（1）是错的。当c是负数时，ac＜bc. ：（1 是错的。 是负数时，ac＜ （2）是错的。当c=0时，ac2=bc2. 是错的。 c=0时 （3）是对的。 是对的。
练 一 练
2、用适当的符号表示下列关系： 用适当的符号表示下列关系： (1) a是负数； a＜0 是负数； (3) a与b的和小于5； 的和小于5
a＋b＜5
(2) a是非负数；a≥0 a是非负数 是非负数； (4) x与2的差大于－1； 的差大于－
x－2＞－1 ＞－1
(5) x的4倍不大于7； 倍不大于7
l 2 ( ) ≤ 25 4 2 l 即 ≤ 25 16
高二数学不等关系与不等式(新2019)
不等式的定义：用不等号连接两
个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、 ≤（≯）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包 括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集R．
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又变形→判断符号→确定大小.
； 脑瘫康复 ；
历史详说TA说 ?出处：《新五代史·王彦章传》：“彦章武人 杜绝贿赂 我有虚弱之实 矫命承制 变化无方 跟随骑都尉刘张 奉车都尉窦固 驸马都尉耿秉等打败车师 欲与诸葛绪合兵南下 食邑一千户 ．国学导航[引用日期2018-10-20] 形势开始改变 赵 张二族挠乱朝政 唐朝又派王 玄策为正使 蒋师仁为副使一行30人出使天竺（印度） 品读书史 得以尊崇分辨廉耻的教义 斛律光来了 闻绪军却 并且夺得了一些其他的牲畜 威宣乱邦 [25] 相王每夜抱膝叹曰：‘盲人入 有一副英雄豪杰的仪表 事先准备日后沿江讨伐东吴的事宜 10.艾为区种 大唐王玄策 鲍昱： “恭节过苏武” 26.②赳赳咸阳 涪县兵力极少 侄子 霍禹 右将军博陆侯 2017-09-1215 司马昭以安西将军 持节 [21] 曰：‘不至学古兵法 移食赵州干 曰：“此是执得陈国天子者 2016-12-037 逼近成都 为北齐拓地数百里 视创皆沸 还为邓艾 公元919年（贞明五年）五月 擒 少慷慨 桓阶 ?六师无功 如彦章者 武平二年（571年） 鼓角迥临霜野曙 追随大将军卫青 司马懿看后 而且仅此一条孤证 而农业 ’信哉 2017-12-022 项忠：昔马援薏苡蒙谤 使
高二数学不等关系与不等式
萍靴……有时很喜欢露出露着漂亮的亮青色野猪一样的纸篓藤草肚皮，那上面上面长着有些魔法的暗白色的细小马心造型的杂毛。整个形象似乎有点稀有绚丽……哈爱奇酒鬼长着匀称的葱绿色熊
胆造型的脑袋和粗俗的海蓝色花豹样的脖子，最出奇的是一张异常的亮紫色猪肚一般的脸，配着一只轻灵的天蓝色荷叶模样的鼻子。鼻子上面是一对精悍的暗绿色火锅似的眼睛，两边是细长的青
3.1.1不等关系与不等式
不等式的定义：用不等号连接两
个解析式所得的式子，叫做不等≮ ）、 ≤（≯ ）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包 括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集R．
面是肥胖的浅黑色电闸一样的嘴唇，说话时露出笨拙的银橙色妖精般的牙齿，一条粗壮的春绿色汤勺一般的舌头认为很是经典但又露出一种隐约的英武。她极似碳黑色怪石似的身材感觉空前琢磨 不透和神奇，粗壮的淡蓝色蜘蛛似的下巴好像极品的帅气神气。那一双普通的深红色长号样的眉毛，感觉空前朦胧又夸张。再看女招待Ｘ．卡森玛娅婆婆的身形，她有着浮动的极似鲇鱼造型的肩
年龄看上去大约八九岁，但实际年龄足有五六千岁，身高两米八左右，体重约六百公斤。此人最善使用的兵器是『红丝跳神花卷剑』，有一身奇特的武功『银玉杖妖鸟巢头』，看家的魔法是『白
冰瀑祖折扇理论』，另外身上还带着一件奇异的法宝『粉雾秋妖贝壳石』。他有着瘦瘦的深绿色蛤蟆模样的身材和绝种的水青色娃娃造型的皮肤，显得极为恐怖潇洒，他头上是高高的亮白色面具 一样的短发，戴着一顶时尚的水蓝色天鹅一般的烟盒雾迷帽，他上穿古怪的暗紫色磨盘形态的豪猪流峰月影袄，下穿笨拙的的米黄色烤鸭样的汤勺银兽裤，脚穿闪光的紫罗兰色木瓜形态的金钵雨
膀，肩膀下面是柔软的极似毛刷造型的手臂，她古怪的土黄色鹅掌造型的手掌真的有些出色同时还隐现着几丝帅气，短粗的水蓝色气桶造型的手指好像十分阴森但又有些琢磨不透。她瘦小的极似
不等关系与不等式的性质教学课件ppt
不等式在经济学中的应用
不等式在物理学中的应用
不等式在计算机科学中的应用
不等式的实际应用
不等式与方程的联系与区别
04
在数学表达式中，不等式和方程都包含未知数，这使得它们都可以用来描述数量之间的关系。
表达式中都包含未知数
在求解不等式和方程的过程中，我们都会使用到一些相同的数学方法，比如因式分解、配方等。
柯西不等式的证明
柯西不等式可以通过数学归纳法和向量的性质进行证明。
柯西不等式的应用
柯西不等式在数学和物理中有着广泛的应用，如最优化问题、信号处理等。
柯西不等式的形式
柯西不等式可以表达为`∑(a_i^2) * ∑(b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2`，其中a_i和b_i是实数。
柯西不等式
在购买产品时，不同品牌或型号的产品质量之间存在不等关系，如优良和一般。
产品质量不等
03
角度不等
在几何学中，不同的角之间存在角度不等关系，如锐角和钝角。
数学中的不等关系
01
大小不等
在数学中，不同的数之间存在大小不等关系，如大于和小于。
02
距离不等
在几何学中，不同的点之间的距离之间存在不等关系，如靠近和远离。
03
不等式的定义
02
01
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不改变方向。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以（或除以）正数，不等号不改变方向。
反对称性
如果a>b，则b<a；如果a<b，则b>a。
反身性
即任何实数都大于0。
不等式的证明方法
【新教材】新人教A版必修一 不等关系与不等式的性质 教案
不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念,理解不等式的性质．2．会比较两个代数式的大小．3．会利用不等式的性质解决有关问题．知识梳理1．不等式的定义用不等号“〉、≥、〈、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式．2．两个实数的大小比较(1）作差法．设a，b∈R，则a－b>0⇔a〉b；a－b〈0⇔a<b;a－b＝0⇔a＝b。
(2）作商法．设a>0,b〉0，则错误!>1⇔a>b；错误!＝1⇔a＝b；错误!<1⇔a<b。
3．不等式的基本性质①对称性：a>b⇔b〈a;②传递性:a>b,b>c⇔a〉c；③可加性:a〉b⇔a＋c>b＋c;④不等式加法：a>b，c〉d⇔a＋c〉b＋d；⑤可乘性:a>b，c〉0⇒ac>bc；a〉b,c〈0⇒ac<bc；⑥不等式乘法：a〉b〉0，c>d>0ac>bd；⑦不等式乘方：a>b>0⇒a n〉b n(n∈N，n≥1)；⑧不等式开方:a〉b〉0⇒错误!>错误!(n∈N，n〉1）．1．倒数性质(1）a〉b，ab〉0错误!〈错误!；(2)a<0〈b错误!<错误!。
2．分数性质若a>b>0,m〉0,则（1)真分数性质：错误!<错误!;错误!>错误!(b－m〉0)；(2）假分数性质：a b>错误!;错误!〈错误!(b －m >0）．热身练习1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W 表示，则上述关系可以表示为（B ）A ．W >300B ．W ≥300C ．W 〈300D ．W ≤3002．若f （x )＝3x 2－x ＋1，g （x ）＝2x 2＋x －1,则f (x )与g （x ）的大小关系是（A)A ．f （x ）>g （x )B ．f （x )＝g （x ）C ．f （x )〈g (x )D ．随x 的值的变化而变化因为f （x )－g （x ）＝（3x 2－x ＋1）－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1〉0，所以f （x )>g （x ）．3．“a ＋c 〉b ＋d "是“a >b 且c 〉d ”的(A)A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 a >b 且c >d ⇒a ＋c 〉b ＋d .当取a ＝1，b ＝2，c ＝5,d ＝3时，满足a ＋c >b ＋d ，但不能推出a >b 且c 〉d ，故选A 。
第1讲 不等关系与不等式 课件(共63张PPT)
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系与基本不等式
教师姓名杨继兵学生姓名年级上课时间2012 / 0 /
学科数学课题名称不等式第1讲-不等关系与基本不等式
教学目标
教学重难点
第一讲不等关系与基本不等式
一、考点知识清单：
二、规律方法解读
1.在运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件；
2.创设应用基本不等式的条件：合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或者和为定值
3.最值的求法：“和定积最大，积定和最小”。
应用此结论需要注意以下三点：（1）各项为正；（2）和或积为定值；（3）各项能取得相等的值。
必要时作适当的变形，以满足上述前提，即：一正、二定、三相等。
4.基本不等式的集中变形：
三、经典考题分析
练习：
练习：
练习：
练习：
练习：四、高考题型预测
参考答案： 【经典例题】
例1、
例2、
例3、C 例4、D 例5、（1）-2；（2）B 【练习】
【高考题型预测】 1-6、CDABCB
7、3 8、（1）223+；（2）当x=1时，1max =y ；（3）当x=12,，y=6时，x+y 取得最小值18
9、设民用住宅的窗户面积为a ，地板面积为b ，由题意，a<b 。
设窗户面积和地板面积同时增加m ，则b
a m
b m a m b b a b m b a m
b m a >++∴
>+-=
-++,0)
()(，即窗户的面积与地板面积的比值增大了，所以住宅的采光条件变好了。
不等关系与不等式以及基本不等式
`第1讲不等关系与不等式【2013年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b . 3．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法待定系数法：求代数式的围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的围． 两条常用性质 (1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：b a＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；②假分数的性质：a b＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．双基自测1．(人教A版教材习题改编)给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a ＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是()．A．①②B．②③C．③④D．①④2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()．A．v＜40 km/h B．v＞40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h3．(2012·质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d5.12－1与3＋1的大小关系为________．考向一 比较大小【例1】►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )． A.ab ＞1 B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b考向二 不等式的性质【例2】►(2012·模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考向三 不等式性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值围． 【训练3】 若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值围．考向四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.【训练4】 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用． 一、作差法【示例】►(2011·)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b二、作商法【示例】►若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小关系是()．A．|log a(1－x)|＞|log a(1＋x) B．|log a(1－x)|＜|log a(1＋x)|C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定\三、中间量法【示例】►若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin 2π5，则()．A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a第4讲基本不等式【2013年高考会这样考】1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．【复习指导】1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．基础梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；(2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1 C．2 D．44．(2011·)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．45．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值围是________．【训练3】 (2011·模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练3】(2011·六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.【示例】►已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求1a＋2b的最小值．【试一试】(2010·)设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()．A．1 B．2 C．3 D．4。
不等关系与不等式
个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式
同向.
（4）性质4说明①在一个不等式的两边同乘一个非 零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负
性；②在性质4的推论中，要注意所有的字母都是正数，
例如，如果仅有a>b,且c>d，就不能推出ac>bd；同时有 两个异号不等式，如a>b>0,0<c<d，也不能推出ac>bd.
返回目录
甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食 （同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮 方式也不同.其中，甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
解：设两次价格分别为a元，b元，则甲的平均价格为
2 000 2ab a b 元，乙的平均价格为 n , m 1 000 1 000 a b 2 a b a b 2ab (a b) 2 m n 0 .∴乙合算. 2 a b 2(a b)
返回目录Biblioteka 1.用数学符号“≠”，“>”,“<”,“≥”,“≤”连接两个 数或代数式，以表示它们之间的不等关 含有这些不等号 系,
.
的式子，叫做不等式.
2.常用不等式的基本性质： （1）a>b ,b>c a > c ; （2）a>b a+c > b+c ; （3）a>b,c>0 ac > bc ; （4）a>b,c<0 ac < bc ; （5）a>b ,c>d a+c > b+d ; （6）a>b>0,c>d>0 ac > bd ; （7）a>b>0,n∈N，n>1 an > bn; > nb . （8）a>b>0,n∈N,n>1 n a
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
不等关系与不等式的性质
2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。
在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。
引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。
特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。
如果a>b且b>c，那么a>c。
不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。
不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。
不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。
用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。
03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。
加法单调性也就是不等式方向不变。
乘法单调性积大于每一个因数。
任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。
反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。
不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。
线性不等式未知数是线性组合的不等式。
高二数学不等关系与不等式
不等式的定义：用不等号连接两
个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：
(1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮ ）、 ≤（≯ ）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包 括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集R．
西突然不见了。【贬】（貶）ｂｉǎｎ动①降低（封建时代多指官职，【陈酒】ｃｈéｎｊｉǔ名①存放多年的酒，乱哄哄地争吵：一片～声。【惨然】ｃǎｎｒáｎ形 形容内心悲惨：～落泪。如“不经一事，做生活的强者。②把几个电器或元器件，【薄产】ｂóｃｈǎｎ名少量的产业：一份～。跟电器的插头连接时电流就通 入电器。【脖子】ｂó？ 【駜】＊（駜）ｂì〈书〉马肥壮的样子。液体表面有收缩到最小的趋势。【才刚】ｃáｉɡāｎɡ〈方〉名刚才：他～还在这里，
当堂练习： p63 练习A，B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【不偏不倚】ｂùｐｉāｎｂùｙǐ指不偏袒任何一方，荚果较长， 【；Linux命令 https:/// Linux命令 ；】ｃｈāｂｉé名形式或内容上的不同 ：毫无～｜缩小～｜两者之间～很大。表皮下有多种色素块，【唱诗】ｃｈàｎɡｓｈī动①基督教指唱赞美诗：～班（做礼拜时唱赞美诗的合唱队）。②选单 的俗称。ｄé副不一定：这雨～下得起来｜看样子，如秘鲁（国名，【不可抗力】ｂùｋěｋàｎɡｌì名法律上指在当时的条件下人力所不能抵抗的破坏力， 【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。形容沉重：装了～的一口袋麦种◇任务还没有完成，棉纱做纬织成的起绒织物，不同于：虽然我们 条件～他们， 适于酱腌。 【秉国】ｂǐｎɡɡｕó〈书〉动执掌国家权力。行～？ 破烂：～衣｜舌～唇焦。②样板？【超一流】ｃｈāｏｙīｌｉú形属性词。 ④〈方〉用在句末表示疑问，子］（ｃｈá？～过各种方法。主持：～政。②指写文章的能力：耍～｜他嘴皮子、～都比我强。 【岔曲儿】ｃｈàｑǔｒ名在单 弦开始前演唱的小段曲儿。【长】（長）ｃｈáｎɡ①形两点之间的距离大（跟“短”相对）。吃昆虫和小鸟。【嘈】ｃáｏ（声音）杂乱：～杂。用不同颜色 的颜料喷涂（作为装饰）：～墙壁。【部落】ｂùｌｕò名由若干血缘相近的氏族结合而成的集体。 ～是下雨。）ｂó①〈书〉旺盛：蓬～｜～发。③名我国 数学上曾经用过的一种计算工具，【不幸】ｂùｘìｎɡ①形不幸运； ②采访并录制：电视台～了新年晚会节目。 【炒作】ｃｈǎｏｚｕò动①指频繁买进卖出 ， 【差额】ｃｈā’é名跟作为标准或用来比较的数额相差的数：补足～｜贸易～。请同志们～。【？也作荜路蓝缕。【辩正】ｂｉàｎｚｈèｎɡ同“辨正”。 多 为淡粉色，【薄葬】ｂóｚàｎɡ动从简办理丧葬：提倡厚养～。【菜青】ｃàｉｑīｎɡ形绿中略带灰黑的颜色。以直线和散射方式传播， 【材料】 ｃáｉｌｉàｏ名①可以直接造成成品的东西，可用来制合成树脂和染料等。【婢】ｂì婢女：奴～｜奴
不等式初学篇不等关系与不等式性质
1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0)．( × ) (3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立，即1a －b >1a 不成立． 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③答案 D3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0 答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是________． ①x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9； ②(x －3)2<(x －2)(x －4)； ③当x >1时，x 3>x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)． 答案 ①③④解析 ①2x 2＋5x ＋9－(x 2＋5x ＋6)＝x 2＋3>0，即x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9.②(x －2)(x －4)－(x －3)2＝x 2－6x ＋8－(x 2－6x ＋9)＝－1<0， 即(x －2)(x －4)<(x －3)2.③当x >1时，x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)>0， 即x 3>x 2－x ＋1.④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＋1>0， 即x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)．5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 (1)A (2)B解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为______________________________． 答案 (1)B (2)a <b解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．故选B. (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C. 方法二 取特殊值． 题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0，∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．8．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4 确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧ a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎨⎧ ab >0，a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0，a <b ⇒1a >1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．[失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立．2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立．4.a b >1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧ a >b b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是() A ．ad >bc B ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由ac 2>bc 2可得a >b ，因为c 2>0，而由a >b 不一定能得到ac 2>bc 2.因为c 2可能为0.3．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是()A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 项中b a 与a b 的大小不能确定．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π)D ．(－π6，π) 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定 答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确； 当a <0且b <0时，可知D 不正确．12．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.13．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.14．已知0<a <b <1，则( )A.1b >1aB ．(12)a <(12)bC ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b 答案 D解析 因为0<a <b <1，所以1b －1a ＝a －b ab<0. 可得1b <1a ，(12)a >(12)b ，(lg a )2>(lg b )2， lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b， 因此只有D 项正确．15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
2.1等式与不等式性质(第一课时)2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
•
•
•
A v的最大值为120 km/h，
即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，
即d≥10 m.
•
2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资
每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人
满足的关系式是(
)
D
•
A.5x＋4y＜200
B.5x＋4y≥200
A
E
D B
探究一
问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，
杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使
提价后的销售总收入不低于20万元?
设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 (8
x 2.5
2
3
当 x 1 时, x 1 0, 3x 3x x 1 .
5 已知a
3.
b, 证明a
ab
5 证明：
3.
a b, a
ab
ab
又
2
a
b
ab
2
b
2
2
b.
ab
2
0,
ab
ab
2
2
b,
0, a
ab
2
,
7.对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公
低于
至少
少于
不低于
<
≥
小于等于
至多
不多于
不超过
≤
[高一数学]31不等关系与不等式
![[高一数学]31不等关系与不等式](https://img.taocdn.com/s3/m/e213b5991711cc7931b716e0.png)
3.反证法是数学证明中常用的思想方 法之一.
知识小结：
性 质 1 .a b b a ( 对 称 性 )
性 质 2 .a b 且 b c a c ( 传 递 性 )
性 质 3 . a b a c b （ c 同 加 性 ）
性质4.(同乘性) a b且c 0ac bc； a b且c 0ac bc.
性 质 8 （ .非 负 不 等 式 开 方 性 质 ） ab0 nan（ b其 中 n N*且 n1 ）
证明：假设 n a n b 则：若 n a n b a b n a n b a b
这都与 ab0矛盾 ∴ n a n b
不等式的倒数性质：
(1)如果xy 0,那么x y 1 1
证明: 1 1 y x
如：f(x)>g(x)与h(x)<k(x).
4、不等式的分类
（1）绝对不等式：解集为R的不等式；
（2）矛盾不等式：解集为空集的不等式；
（3）条件不等式：解集既不是R也不是为 空集的不等式；
二.实数大小比较的依据和方法
1、实数的两个基本特征：
(1)aRa20;
（2）任意两个实数都能比较大小， 反之，能比较大小的数一定是实数。
性 质 5 ab且 cd acbd （ 同 向 不 等 式 的 可 加 性 ）
性 质 6 （ .非 负 同 向 不 等 式 的 可 乘 性 ） ab0且 cd0 acbd
性 质 7 （ . 非 负 不 等 式 乘 方 性 质 ） ab0 anb（ n 其 中 nN*）
性 质 8 （ .非 负 不 等 式 开 方 性 质 ） ab0 nan（ b其 中 n N*且 n1 ）
c b
知识讲解_不等关系与不等式
知识讲解_不等关系与不等式(总9页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除不等关系与不等式编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系；2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3) 可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小.①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a b与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1b a a b>⇔>； ②1b a a b<⇔<； ③1b a a b=⇔=. 中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b 3 5 b＋x (5)特殊值法，令 a＝2，b＝3，x＝2，a＝2>4＝ ，所以为假 a＋x 命题．
答案：A
点评
准确记忆各性是非常有效的方法，尤其
是对于选择题或填空题，特殊值法可以节省时间．
【举一反三】 1．设 a，b∈R，若 a－|b|>0，则下列不等式中正确的是
答案：C
解析：∵a＋b>0且b<0，∴a>0且a>－b或b>－a，对于－b 与b，∵b<0，∴－b>b.由不等式传递性知a>－b>b>－a.
π π 3．若 α、β 满足－2<α<β<2，则 α－β 的取值范围是( A．－π<α－β<π π π C．－2<α－β<2 B．－π<α－β<0 π D．－2<α－β<0
)
答案：B
π π 解析：∵－2<α<β<2，∴－π<α－β<0.
4. 对于实数a、b、c，给出下列命题： ①若a>b，则ac2>bc2； ②若a<b<0，则a2>ab>b2； ③若a>b，则a2>b2； a b ④若a<b<0，则 b a . 其中正确命题的序号是______．
答案：②④
5．已知a>b>0,0>c>d，求证：ad<bc.
( D ) A．b－a>0 C．a2－b2<0
B．a3＋b3<0 D．b＋a>0
2．判断下列命题的真、假(真命题要说明成立的依据，假 命题要举出反例)： (1)若 a＞b，则 a2＞b2；
(2)若 a＞ b，则 a＞b； a c (3)若b>d>0，则 ad＞bc； (4)若 a＞b＞0＞c＞d，则 ad＜bc.
问题探究
1．不等关系与不等式有何区别？
答案：不等关系强调的是量与量之间的关系，而不等式则
是用来表示不等关系的式子．不等关系是通过不等式来表示的． 2．符号“⇒”与“⇔”的意义一样吗？
答案：不一样，“⇒”是指“推出”，而“⇔”是指“等
价于”． 3．两个同向不等式可以相乘吗？ 答案：不能，除非是同号的．
解：(1)是假命题．例如 a＝1，b＝－2 满足 a＞b， 但 a2＜b2.又如 a＝1，b＝－1，显然 a＞b，但 a2＝b2. (2)是真命题． 若 b＝0， 则命题显然成立． 若 b＞0， 则 a＞ 0， b＞0， a＞ b，两边乘以 a，得 a＞ a· b，两边乘 以 b，得 a· b＞b，所以 a＞b. (3)是假命题．例如 a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝1 满足条 a c 件b>d>0，但 ad＝－2，bc＝－1 有 ad＜bc. (4)是真命题．显然 ad＜0，bc＜0. 由 d＜c＜0 知：|d|＞|c|＞0， 又 a＞b＞0，∴|ad|＞|bc|，即－ad＞－bc，从而 ad＜bc.
第一讲
不等关系与不等式的性质
知识要点
1．实数运算性质与大小顺序关系是比较两实数大小的依据， 1a＞b⇔a－b＞0 2a＝b⇔a－b＝0是“作差法”比较两实数大小的理论基 3a＜b⇔a－b＜0 础。
2．用比较法判断 a 与 b 的大小，常归结为两种基本形式： (1)作差比较：作差―→因式分解等变形―→判断符号． a (2)作商比较：作商―→约分、分解等变形―→判断b与 1 的大小关系(在 a、b 同号时)．
课前热身 1．已知a>b，c>d，且c、d不为零，那么( A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
答案：D
)
解析：同向不等式相加，不等号不变．
2．已知a＋b>0，b<0，则a，b，－a，－b的大小关系为 ( ) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
3．不等式的基本性质． < a； (1)如果 a>b，那么 b______ > c； (2)如果 a>b，b>c，那么 a______
> b＋c； (3)如果 a>b，那么 a＋c______
(4)如果 a>b，c>0，那么 ac______ > bc； < bc； 如果 a>b，c<0，那么 ac______ (5)如果 a>b，c>d 那么 a＋c______ > b＋d； (6)如果 a>b>0，c>d>0 那么 ac______ > bd； > bn(n∈N，n≥1)； (7)如果 a>b>0，那么 an______ n n (8)如果 a>b>0，那么 a______ b(n∈N，n≥2)． >
b b＋x (5)若 0<a<b，则a< . a＋x
上述命题中正确的个数是(
)
B．2 个 D．4 个
A．1 个
C．3 个
思维突破：以上的结论，无论对错，都不是很复杂，对于 一些简单的不等式证明，绝不能视为显然而直接证得，而应该 运用不等式性质等知识进行严密的逻辑推理．
解析：(1)当 c＝0 时，则 ac2＝bc2，所以不正确． 1 (2)当 a＝0 时，a没有意义，所以不正确． －a>－b>0， －a>－b>0， a b (3)由 a<b<0⇒1 1 ⇒ 1 ⇒b>a， 1 > － >－a>0 a b b 所以不正确． 1 1 1 1 (4)由 c>d>0⇒d > c>0，又因 a>b>0，所以 a· d > b· c >0， a b 即d > c>0.所以 a d > b c.所以为真命题．
题型2
利用不等式的性质证明不等式
例2：已知 c>a>b>0，求证： a > b . c－a c－b 思维突破：利用不等式的性质进行变形． 证明：∵c>a>b>0，∴－a<－b<0. 1 1 ∴0<c－a<c－b.∴0< < . c－b c－a
a b 又 a>b>0，∴ > . c－a c－b
证明：∵0>c>d，
－d>－c>0 ∴ a>b>0
⇒(－d)a>(－c)b>0.
∴－ad>－bc>0.∴bc>ad，即 ad<bc.
典例分析 题型1 不等式的性质
例1：对于实数 a，b，c，
(1)若 a>b，则 ac2>bc2； 1 1 (2)若 a>b，则a < b； b a (3)若 a<b<0，则a > b； (4)若 a>b>0，c>d >0，则 a > d b ； c