(完整版)高等数学(复旦大学版)第九章多元函数微分学的应用
高等数学 第九章多元函数微分法及其应用
2 x y 4
2 2
2 x y
所求定义域为
D {( x, y ) | 2 x y 4, x y }.
2 2 2
（6） 二元函数 z f ( x , y )的图形
D ，对于任意 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 y 为纵坐 x 为横坐标、 z f ( x , y ) ，这样，以 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }，这个点集称 为二元函数的图形.
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x , y ) D ，变量z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z 是变量x , y 的二元函数，记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于P0 ( x 0 , y0 ) ，若
k 有关，则可断言极限不存在； 极限值与
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
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51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
高数多元函数微分法及其应用
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
(完整版)《高等数学》课程教学大纲
《高等数学》课程教学大纲授课专业：通信工程专业学时：136学时学分：8学分开课学期：第1、第2学期适用对象：通信工程专业学生一、课程性质与任务本课程是理、工类专业的专业基础课，通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。
掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。
能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。
三、课程教学内容高等数学（上）第一章函数、极限与连续（10学时）第二章导数和微分（12学时）第三章微分中值定理与导数的应用（12学时）第四章函数的积分（16学时）第五章定积分的应用（8学时）第六章无穷级数（10学时）高等数学（下）第七章向量与空间解析几何（6学时）第八章多元函数微分学（14学时）第九章多元函数微分学的应用（10学时）第十章多元函数积分学（I）（16学时）第十一章多元函数积分学（II）（10学时）第十二章常微分方程（12学时）四、教学重点、难点重点：极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。
难点：极限的概念与理论；微分中值定理的应用；一元函数的泰勒定理；二元函数的极限；计算多元复合函数的偏导数与微分；对坐标的曲面积分的概念及计算；高斯公式；斯托克斯公式。
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。
以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。
这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。
2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。
等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。
3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。
4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。
5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。
在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。
总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。
高等数学教材复旦目录
高等数学教材复旦目录复旦大学高等数学教材目录第一章函数与极限1.1 实数与数列1.2 数列极限1.3 函数的概念与运算1.4 函数的极限第二章导数与微分2.1 导数的基本概念2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 复合函数的导数2.6 微分的基本公式2.7 微分中值定理与Taylor公式2.8 函数的增减性与凹凸性第三章微分学应用3.1 高数学函数的近似计算3.2 函数的极值与最优化问题3.3 曲线的几何性质3.4 反常积分第四章不定积分4.1 原函数与不定积分4.2 不定积分的基本性质与运算法则4.3 无穷小代换4.4 有理函数的积分4.5 分部积分法4.6 三角函数的积分4.7 特殊函数的积分4.8 定积分的概念与性质4.9 定积分的计算方法第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 可分离变量的微分方程5.3 齐次方程与一阶线性非齐次方程5.4 二阶线性非齐次常系数微分方程5.5 线性微分方程组第六章无穷级数6.1 数项级数的概念与性质6.2 正项级数6.3 幂级数与Taylor级数6.4 函数项级数与幂级数展开第七章多元函数微分学7.1 函数的极限与连续性7.2 偏导数的概念与计算方法7.3 全微分与微分近似7.4 多元函数的极值与最优化问题7.5 隐函数与参数方程的微分7.6 多元复合函数的导数第八章多重积分学8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分的概念与性质8.4 三重积分的计算方法8.5 曲线、曲面积分与物理应用第九章曲线与曲面积分9.1 第一型曲线积分9.2 第二型曲线积分9.3 曲面的参数方程及曲面积分9.4 曲面积分与高斯公式9.5 斯托克斯公式与高斯-斯托克斯公式第十章偏微分方程10.1 常见偏微分方程的基本概念10.2 一阶偏微分方程10.3 二阶线性偏微分方程10.4 椭圆型偏微分方程10.5 抛物型偏微分方程10.6 双曲型偏微分方程以上是复旦大学高等数学教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分学应用、不定积分、微分方程、无穷级数、多元函数微分学、多重积分学、曲线与曲面积分以及偏微分方程等内容。
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
第九章多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§8 1 多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间1．平面点集 二元的序实数组(x y)的全体 即 R2 R R {(x y)|x y R}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作E {(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C {(x y)| x2 y2 r2} 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成C {P| |OP| r}邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 P (x y)的全体 称为点 P0 的 邻域 记为 U (P0与点 P0(x0 y0)距离小于 的点 即U(P0, ) {P| | PP0 |} 或U(P0, ) {(x, y)| (xx0)2 (y y0)2 }邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为半径的圆 的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心 邻域 记作U (P0, ) 即U(P0, ) {P| 0 | P0P|}注 如果不需要强调邻域的半径邻域记作U (P0)则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心点与点集之间的关系任意一点 P R2 与任意一个点集 E R2 之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P) E 则称 P 为 E 的内点(2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) E则称 P 为 E 的外点(3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作 EE 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于E聚点如果对于任意给定的 0 点 P 的去心邻域U (P, ) 内总有 E 中的点 则称 P 是 E的聚点由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E 例如 设平面点集E {(x y)|1 x2 y2 2} 满足 1 x2 y2 2 的一切点(x y)都是 E 的内点 满足 x2 y2 1 的一切点(x y)都是 E 的 边界点 它们都不属于 E 满足 x2 y2 2 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集 E 以及它的界边 E 上的一切点都是 E 的聚点开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E {(x y)|1<x2 y2<2}闭集的例子 E {(x y)|1 x2 y2 2}集合{(x y)|1 x2 y2 2}既非开集 也非闭集连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称 E 为连通集区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如 E {(x y)|1 x2 y2 2}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如 E {(xy)|1 x2 y2 2}有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得E U(O r)其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{(x y)|1 x2 y2 2}是有界闭区域 集合{(x y)| x y 1}是无界开区域集合{(x y)| x y 1}是无界闭区域2 n 维空间设 n 为取定的一个自然数 我们用 Rn 表示 n 元有序数组(x1 x2 体所构成的集合 即xn)的全Rn R R n}R {(x1 x2xn)| xi R i 1 2Rn 中的元素(x1 x2 xn) 当所有的 xi (i 1 2记为 0 或 O 在解析几何中xn)有时也用单个字母 x 来表示 即 x (x1 x2 n)都为零时 称这样的元素为 Rn 中的零元通过直角坐标 R2(或 R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而 Rn 中的元素 x (x1 x2xn)也称为 Rn 中的一个点或一个 n 维向量 xi 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 Rn 中的零元 0 称为 Rn 中的坐标原点或 n 维零向量为了在集合 Rn 中的元素之间建立联系 在 Rn 中定义线性运算如下设 x (x1 x2 R 规定xn) y (y1 y2yn)为 Rn 中任意两个元素x y (x1 y1 x2 y2xn yn)x ( x1x2xn)这样定义了线性运算的集合 Rn 称为 n 维空间Rn 中点 x (x1 x2 (x y) 规定xn)和点 y (y1 y2yn)间的距离 记作(x, y) (x1 y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2显然 n 1 2 3 时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一 至Rn 中元素 x (x1 x2 R3 中 通常将||x||记作|x|) 即xn)与零元 0 之间的距离 (x 0)记作||x||(在 R1、R2、|| x|| x12 x22 xn2采用这一记号 结合向量的线性运算 便得|| x y|| (x1 y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2 (x, y)在 n 维空间 Rn 中定义了距离以后 就可以定义 Rn 中变元的极限设 x (x1 x2xn) a (a1 a2an) Rn如果||x a|| 0 则称变元 x 在 Rn 中趋于固定元 a显然记作 x ax a x1 a1 x2 a2xn an在 Rn 中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到 n(n 3)维空间中来 例如设 a (a1 a2an) Rn 是某一正数 则 n 维空间内的点集U(a ) {x| x Rn (x a) }就定义为 Rn 中点 a 的 邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例１ 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r2h 这里 当 r、h 在集合{(r h) | r>0 h>0}内取定一对值(r h)时V 对应的值就随之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系其中 R 为常数 这里 对应值就随之确定p RT V当 V、T 在集合{(V T) | V>0T>0}内取定一对值(V T)时 p 的例 3 设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系R R1R2 R1 R2这里 当 R1、R2 在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1 R2)时 R 的对应值就 随之确定 定义 1 设 D 是 R2 的一个非空子集 称映射 f D R 为定义在 D 上的二元函数 通常记为z f(x y) (x y) D (或 z f(P) P D) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 z f(x y)值域 f(D) {z| z f(x y) (x y) D} 函数的其它符号 z z(x y) z g(x y)等 类似地可定义三元函数 u f(x y z) (x y z) D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn 内的点集 D 映射 f D R 就称 为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为u f(x1 x2 或简记为xn) (x1 x2xn) Du f(x) x (x1 x2 也可记为xn) Du f(P) P(x1 x2xn) D关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 u f(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数 z ln(x y)的定义域为{(x y)|x y>0}(无界开区域) 函数 z arcsin(x2 y2)的定义域为{(x y)|x2 y2 1}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|z f(x y) (x y) D}称为二元函数 z f(x y)的 图形 二元函数的图形是一张曲面例如 z ax by c 是一张平面 而函数 z=x2+y2 的图形是旋转抛物面三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y) P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限定义 2设二元函数 f(P) f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 总存在正数使得当 P(x, y)DU(P0, ) 时 都有|f(P) A| |f(x y) A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限 记为也记作lim f (x, y) A(x, y)(x0, y0)或 f(x y) A ((x y) (x0 y0))lim f (P) APP0或 f(P) A(P P0)上述定义的极限也称为二重极限例 4.设f(x,y)(x2y2)sinx21 y2证 因为lim f (x, y) 0求证 (x, y)(0,0)|f(x,y) 0 || (x2y2)sinx21 y20||x2y2||sinx21 y2|x2y2可见 >0 取 则当 0 (x0)2 (y0)2 即 P(x, y)DU(O, ) 时 总有|f(x y) 0|lim f (x, y) 0因此 (x, y) (0,0) 必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论f(x,y) xy x2 y2x2 y2 0函数 0x2 y2 0 在点(0 0)有无极限 提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0(x, y)(0,0)x0x0当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时lim f (x, y) lim f (0, y) lim 0 0(x, y)(0,0)y0y0当点 P (x y)沿直线 y kx 有lim(x, y)(0,0)xy x2 y2limx0k x2 x2 k2x2k 1 k2ykx因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似lim sin(xy) 例 5 求 (x, y)(0,2) x解lim sin(xy) lim sin(xy) y lim sin(xy) lim y(x, y)(0,2) x(x, y)(0,2) xy(x, y)(0,2) xy (x, y)(0,2)122四 多元函数的连续性定义 3 设二元函数 f(P) f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0 D 如果lim(x, y)(x0, y0)f(x, y) f(x0,y0)则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称f (x y)是 D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去例 6 设 f(x,y) sin x 证明 f(x y)是 R2 上的连续函数证 设 P0(x0 y0) R20 由于 sin x 在 x0 处连续 故0当|x x0| 时 有|sin x sin x0|以上述 作 P0 的 邻域 U(P0 ) 则当 P(x y) U(P0 )时 显然|f(x y) f(x0 y0)| |sin x sin x0|即 f(x y) sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在R2 上连续证 对于任意的 P0(x0 y0) R2 因为lim(x, y)(x0, y0)f(x, y) lim sin(x, y)(x0, y0)x sinx0f(x0, y0)所以函数 f(x,y) sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数 在 R2 上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点例如如果函数 f(xy)在点f(x,y) xy x2 y2x2 y2 0函数 0x2 y2 0其定义域 D R2 O(0 0)是 D 的聚点 f(x y)当(x y) (0 0)时的极限不存在 所以点 O(0 0)是该函数的一个间断点又如函数zsinx21 y21其定义域为 D {(xy)|x2 y2 1}圆周 C {(xy)|x2 y2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的x x2 y2 例如 1 y2sin(x y)ex2 y2 z2 都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的 区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又 在此函数的定义区域内 则limp p0f(P) f(P0)lim x y例 7 求 (x, y)(1,2) xyf (x, y) x y解 函数xy 是初等函数 它的定义域为D {(x y)|x 0 y 0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0 的某一邻域 U(P0) D 是 f(x y)的一个定义区域 因此而任何邻域都是区域lim f (x, y) f (1,2) 3(x, y)(1,2)2所以 U(P0)lim f (P)一般地 求 PP0时 如果 f(P)是初等函数 且 P0 是 f(P)的定义域的内点 则f(P)在点 P0 处连续 于是lim f (P) f (P0)P P0lim例 8 求 (x, y)(0, 0) 解xy 11 xylim xy11 lim ( xy11)( xy11) lim1 1(x,y)(0, 0) xy(x,y)(0, 0) xy( xy11)(x,y)(0, 0) xy 11 2多元连续函数的性质性质 1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上 有界 且能取得它的最大值和最小值性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M 0 使得对一 切 P D 有|f(P)| M 且存在 P1、P 2 D 使得f(P1) max{f(P)|P D} f(P2) min{f(P)|P D} 性质 2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间 的任何值§8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 z f(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 z f(x y)对于 x 的偏导数定义 设函数 z f(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时 相应地函数有增量如果极限f(x0 x y0) f(x0 y0)lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)x0x存在 则称此极限为函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作例如zxx x0 y y0fxx x0 y y0zx xx0y y0或 fx(x0, y0)类似地fx(x0,y0)limx0f(x0 x,y0) xf(x0,y0)函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为lim f (x0, y0 y) f (x0, y0)y0y记作zyx x0 y y0fyx x0 y y0zy xx0y y0或 fy(x0 y0)偏导函数 如果函数 z f(x y)在区域 D 内每一点(x y)处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 z f(x y)对自变量 x 的偏导函数 记作z f x x zx 或 fx(x, y)偏导函数的定义式fx(x,y)limx0f(xx, y) xf(x, y)类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为z y偏导函数的定义式f y zy 或 f y(x, y)f y (x,y) limy0f(x,y y) yf(x, y)f 求 x 时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数而对 y 求导数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确f 求 y 时只要把 x 暂时看作常量fx(x0, y0) fx(x, y) xx0y y0f y(x0, y0) f y(x, y) xx0y y0fx(x0,y0)[d dxf(x, y0)] xx0fy(x0,y0)[d dyf(x0, y)] yy0偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 u f(x y z)在点(xy z)处对 x 的偏导数定义为fx(x,y,z)limx0f(xx, y,z) xf(x, y,z)其中(x y z)是函数 u f(x y z)的定义域的内点分法问题它们的求法也仍旧是一元函数的微例 1 求 z x2 3xy y2 在点(1 2)处的偏导数z 2x3y 解 xz 3x2y y例 2 求 z x2sin 2y 的偏导数z xx1 2132 8y2z 2xsin 2y 解 xz 2x2 cos2y y例 3 设 z xy(x 0, x 1)求证x z 1 z 2z y x ln x yz yxy1 证 xz xy ln xyx z 1 z x yxy1 1 xy ln x xy xy 2zy x ln x y yln xz yx1 y2 3122 7例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数r xx解 x x2 y2 z2 rr yyy x2 y2 z2 r例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) p V T 1 求证 V T pp RT 证 因为 Vp VRT V2V RT V R p T pTpV RT V p R所以p VV TT pRT V2R pV RRT pV 1例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数 z f(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0) [f(x y0)]x 是截线 z f(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y 是截线 z f(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 函数在该点连续 例如f(x,y) xy x2 y2 0x2 y2 0 x2 y2 0在点(0 0)有 fx(0 0) 0 fy(0 0) 0 但函数在点(0 0)并不连续提示也不能保证f (x, 0) 0 f (0, y) 0fx(0,0)d dx[f(x,0)]0fy (0,0)d[ dyf(0,y)] 0当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0(x, y)(0,0)x0x0当点 P(x y)沿直线 y kx 趋于点(0 0)时 有lim(x, y)(0,0)xy x2 y2limx0x2k x2 k2x2k 1 k2ykxlim f (x, y)因此 (x, y)(0,0)不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为z f y y zy 或 f y(x, y)偏导函数的定义式f y (x,y) limy0f(x,y y) yf(x, y)二 高阶偏导数设函数 z f(x y)在区域 D 内具有偏导数z xfx(x,y)z yfy(x,y)那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称 它们是函数 z f(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数 z f(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数 z f(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 x(z ) x2z x2fxx(x,y) y( z ) x2z xyfxy(x,y) x(yz )2z yxf yx(x,y) y(z ) y2z y2f yy(x,y)其中 y(z ) x2z xyf xy (x,y) x(z ) y2z yxf yx(x,y)称为混合偏导数 x(z x)2z x2 (z ) 2z y x xy (z ) 2z x y yx y( z y)2z y2同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数2z 3z 2z 2z 例 6 设 z x3y2 3xy3 xy 1 求 x2 、 x3 、 yx 和 xyz 3x2y2 3y3 y 解 xz 2x3y9xy2 x y2z x26xy23z x36y22z 6x2 y 9y2 1 xy2z 6x2 y 9y2 1yx2z 2z 由例 6 观察到的问题 yx xy2z 2z 定理 如果函数 z f(x y)的两个二阶混合偏导数 yx 及 xy 在区域 D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例 7 验证函数 z lnx2y2满足方程2z x22z y20z ln x2 y2 1 ln(x2 y2)证 因为2所以z xx2x y2z yx2y y22z x2(x2 y2) x2x (x2 y2)2y2 x2 (x2 y2)22z y2(x2 y2) y2y (x2 y2)2x2 y2 (x2 y2)2因此2z x22z y2x2 y2 (x2 y2)2y2 x2 (x2 y2)20例8．证明函数u1 r满足方程2u x22u y22u z 20其中 r x2 y2 z2证u x1 r2r x1 r2x rx r3 2u x21 r33x r4r x1 r33x2 r5同理 2u y21 r33y2 r5 2u z21 r33z2 r5因此 2u x22u y22u z2(1 r33x2 r5)(1 r33y2 r5)(1 r33z2 r5)3 r33(x2 y2 r5z2)3 r33r 2 r50提示 2u x2 x(x r3)r3x xr6(r3)r3x3r r62r x§8 3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系 有偏增量与偏微分f(x x y) f(x y) fx(x y) xf(x x y) f(x y)为函数对 x 的偏增量 f x(x y) x 为函数对 x 的偏微分f(x y y) f(x y) fy(x y) yf(x y y) f(x y)为函数)对 y 的偏增量 f y(x y) y 为函数对 y 的偏微分全增量z f(x x y y) f(x y)计算全增量比较复杂 我们希望用 x、 y 的线性函数来近似代替之定义 如果函数 z f(x y)在点(x y)的全增量z f(x x y y) f(x y)可表示为z AxByo() ( (x)2 (y)2 )其中 A、B 不依赖于 x、 y 而仅与 x、y 有关 则称函数 z f(x y)在点(x而称 A x B y 为函数 z f(x y)在点(x y)的全微分 记作 dz 即dz A x B y如果函数在区域 D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续这是因为如果 z f(x y)在点(x y)可微 则z f(x x y y) f(x y) A x B y o( ) y)可微分lim z 0于是 0lim f (xx, yy) lim [ f (x, y)z] f (x, y)从而 (x,y)(0,0) 0因此函数 z f(x y)在点(x y)处连续 可微条件定理 1(必要条件)如果函数 z f(x y)在点(x y)可微分 且函数 z f(x y)在点(x y)的全微分为z z 则函数在该点的偏导数 x 、 y 必定存在dzz xx z yy证 设函数 z f(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点P (x x y y) 有 z A x B y o( ) f (x x y) f(x y) A x o(| x|)上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得特别当 y 0 时有lim f (xx, y) f (x, y) Ax0xzz A从而偏导数 x 存在 且 xzz B同理可证偏导数 y 存在 且 y所以dz z x z y x y简要证明 设函数 z f(x y)在点(x y)可微分 特别当 y 0 时有f (x x y) f(x y) A x o(| x|) 上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得于是有 z A x B y o( )lim f (xx, y) f (x, y) lim [A o(|x|)] Ax0xx0xzz A从而 x 存在 且 xzz Bdz z x z y同理 y 存在 且 y所以 x yz z 偏导数 x 、 y 存在是可微分的必要条件例如 但不是充分条件 xyf(x,y) x2 y2函数 0x2 y2 0 x2 y2 0 在点(00)处虽然有 f x(0 0) 0 及 f y(00) 0 但函数在(0 0)不可微分 即 z [fx(0 0) x fy(0 0) y]不是较 高阶的无穷小这是因为当( x y)沿直线 y x 趋于(0 0)时z [ fx(0, 0)x fy(0, 0)y]x y (x)2 (y)2xx (x)2 (x)21 20定理 2(充分条件)z z 如果函数 z f(x y)的偏导数 x 、 y 在点(x y)连续 则函数在该点可微分定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、 y 分别记作 dx、dy 并分别称为自变量的微分 则函数 z f(xy)的全微分可写作dzz xdxz ydy二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 u f (x y z) 的全微分为du u dx u dy u dz x y z例 1 计算函数 z x2y y2 的全微分z 2xy 解 因为 xz x2 2y y所以 dz 2xydx (x2 2y)dy 例 2 计算函数 z exy 在点(2 1)处的全微分z yexy 解 因为 xz xexy yz xx2 y1e2z yx2 y12e2所以dz e2dx 2e2dyu xsin y eyz例 3 计算函数2 的全微分u 1 解 因为 xu 1 cos y zeyz y 2 2u yeyz zdu dx(1 cos y zeyz)dy yeyzdz所以22*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数 z f (x y)在点 P (x y)的两个偏导数 f x (x y) | x| | y|都较小时 有近似等式f y (x y)连续 并且z dz f x (x y) x f y (x y) y即f (x x y y) f(x y) f x (x y) x f y (x y) y我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例 4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 20 05cm 高度由100cu 减少到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r、h 和 V 则有Vr 2h已知 r 20 h 100 r 0 05 h 1 根据近似公式 有V dV Vr r Vh h 2 rh r r2 h2 20 100 0 05202 ( 1)200 (cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了 200 cm3例 5 计算(1 04)2 02 的近似值解 设函数 f (x y) x y 显然 要计算的值就是函数在 x 1 04 y 2 02 时的函数值 f(1 04 2 02)取 x 1 y 2 x 0 04 y 0 02 由于f (x x y y) f(x y) f x(x y) x f y(x y) y x y yxy 1 x x yln x y所以(1 04)2 02 12 2 12 1 0 04 12 ln1 0 02 1 08例 6 利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是g4 T2l2现测得单摆摆长 l 与振动周期 T 分别为 l=100±、T=2±. 问由于测定 l 与 T 的误差而引起 g 的绝对误差和相对误差各为多少解 如果把测量 l 与 T 所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数g4 2l T2的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl|可以用 dg 来近似地代替 Δg 这样就得到 g 的误差为|ΔT|都很小因此我们|g||dg|| g l g T | l T|g l|l|g T|T42(T12l2l T3T)其中 l 与 T 为 l 与 T 的绝对误差 把 l=100 T=2, 为l=, δT=代入上式得 g 的绝对误差约g 4 2(02.21 2213000.004) 0.5 2 4.93(cm/ s2) .g g0.5 2 4 21000.50 022从上面的例子可以看到 对于一般的二元函数 z=f(x, y), 如果自变量 x 、y 的绝对误差分别为 x、 y, 即|Δx | x, |Δy | y,则 z 的误差|z||dz|| z x z y| x y|z x||x||z y||y||z x|x|z y|y从而得到 z 的绝对误差约为z|z x|x|z y|yz 的相对误差约为z zz | z|x zxy zy§8 4 多元复合函数的求导法则设 z f(u v) 而 u(t) vdz (t) 如何求 dt设 z f(u v) 而 u(x y) vz z (x y) 如何求 x 和 y1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u (t)及 v (t)都在点 t 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (t) (t)]在点 t 可导 且有dz z du z dv dt u dt v dt简要证明 1 因为 z f(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dz z du z dv u v又因为 u (t)及 v (t)都可导 因而可微 即有du du dt dv dv dtdtdt代入上式得dz z u du dtdt z v dv dtdt (uz du dtz vdv)dt dtdz z du z dv 从而 dt u dt v dt简要证明 2 当 t 取得增量 t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量 u、 v 及 z 由 z f(u v)、u (t)及 v (t)的可微性 有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() u dt v dt u vz z du z dv (z z) o(t) o() t u dt v dt u v t t令 t 0 上式两边取极限 即得dz z du z dv dt u dt v dtlim o() lim o() (u)2 (v)2 0(du)2 (dv)2 0注 t0 t t0 tdt dt推广 设 z f (u v w) u (t) v (t) w (t) 则 z f[ (t) (t) (t)] 对 t 的导数为dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dtdz 上述 dt 称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理 2 如果函数 u (x y) v (x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函 数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [ (x y) (x y)]在点 (x y)的两个偏导数存在 且有z xz uu xz vv xz z u z v y u y v y推广 设 z f(u v w ) u (x y) v (x y) w (x y) 则z z u z v z w x u x v x w xz z u z v z w y u y v y w y讨论(1)设 z f(u v) u(x y) v(y)则z xz yz z u 提示 x u xz z u z dv y u y v dy(2)设 z f(u x y) 且 u(x y)则z xz yz f u f 提示 x u x xz f u f y u y yz fz这里 x 与 x 是不同的 x 是把复合函数 z f[ (x y) x y]中的 y 看作不变而对 x的偏导数 似的区别f x 是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数z f y 与 y 也有类3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 定理 3 如果函数 u (x y)在点(x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v y 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有(y)在点 (x y)z z u x u xz z u z dv y u y v dy例 1 设 z eusin v u xy v x yz z u z v 解 x u x v xeusin v y eucos v 1 ex y[y sin(x y) cos(x y)]z z u z v y u y v yz z 求 x 和 yeusin v x eucos v 1 exy[x sin(x y) cos(x y)]例 2 设 u f (x, y, z) ex2 y2z2 而 z x2 sin y u f f z解 x x z x 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y 2x (1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 yu u 求 x 和 yu f f z y y z y 2yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x2 cos y 2( y x4 sin y cos y)ex2 y2 x4 sin2 ydz 例 3 设 z uv sin t 而 u et v cos t 求全导数 dtdz z du z dv z 解 dt u dt v dt tv et u ( sin t) cos t etcos t e tsin t cos t et(cos t sin t) cos t例 4 设 w f(x y z xyz) f 具有二阶连续偏导数 解 令 u x y z v xyz 则 w f(u v)w 2w 求 x 及 xz引入记号f1f(u, uv)f12f (u,v) uv同理有 f2 f11 f22 等w xf uu xf vv xf1yzf22w xz z(f1yzf2)f1 zyf2yzf2 z f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22 f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22注f1 zf1 uu zf1 vv zf11 xyf12例 5 设 u f(x y)的所有二阶偏导数连续f2 zf2 uu zf2 vv zf21 xyf22把下列表达式转换成极坐标系中的形式(u)2 (u)2 (1) x y(2) 2u x22u y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u f(x y) f( cosθ sinθ) F( θ)其中 xcosθ ysinθ x2 y2 arctan y x应用复合函数求导法则 得u xu xu xu x u y 2u cosu ysin u yu yu yu y u x 2u sinu cos 两式平方后相加 得(u x)2(uy)2(u)21 2(u)2再求二阶偏导数 得2u x2 (u x) x ( u ) x x (ucosu sin )cos (ucosu sin )sin 2u 2cos222u sin cos 2u 2sin 2 2u 2sin cos 2u sin2 同理可得2u y22u 2sin22 2u sin cos 2u 2cos 22u 2sin cos 2u cos2 两式相加 得2u x22u y22u 21 1 22u 21 2[ (u )2u 2]全微分形式不变性 设 z f(u v)具有连续偏导数 则有全微分dz z du z dv u v如果 z f(u v)具有连续偏导数 而 u (x y) v (x y)也具有连续偏导数 则dzz xdxz ydy(z u z v)dx(z u z v)dy u x v x u y v yz (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x yz uduz vdv由此可见 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数 它的全微分形式是一 样的 这个性质叫做全微分形式不变性例 6 设 z e usin v u x y v x y 利用全微分形式不变性求全微分dz z du z dv解u ve usin vdu e ucos v dve usin v(y dx x dy ) e ucos v(dx dy)( ye usin v e ucos v)dx (xe usin v e ucos v )dye xy [y sin(x y) cos(x y)]dx e xy [x sin(x y)cos(xy)]dy§8 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1设函数 F(x y)在点 P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0) 0 Fy(x0 y0) 0 则方程 F(x y) 0 在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导 数的函数 y f(x) 它满足条件 y0 f(x0) 并有求导公式证明将 y f(x)代入 F(xdy Fxdx Fyy) 0 得恒等式F(x f(x)) 0等式两边对 x 求导得F F dy 0 x y dx由于 F y 连续 且 Fy(x0 y0) 0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同 Fy 0 于是得dy Fx dx Fy例 1 验证方程 x2 y2 1 0 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在 x 0 的值解 设 F(x y) x2 y2 1 则 Fx 2x Fy 2y F(0 1) 0 Fy(0 1) 2 0 因 此由定理 1 可知 方程 x2 y2 1 0 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、 当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f(x)dy Fx x dx Fy ydy 0 dx x0d2y dx2y xy y2yx( y2x) yy2 x2 y31 y3d 2y dx2x01隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程 F(x y) 0 可以确定一个一元 隐函数 一个三元方程 F(x y z) 0 可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理 2 设函数 F(x y z)在点 P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且 F(x0 y0 z0) 0 Fz(x0 y0 z0) 0 则方程 F(x y z) 0 在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯 一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z f(x y) 它满足条件 z0 f(x0 y0) 并有z Fx x Fz公式的证明 将 z f(x y)代入 F(x y z) 将上式两端分别对 x 和 y 求导 得z Fy y Fz0 得 F(x y f(xy)) 0FxFzz x0FyFzz y0因为 F z 连续且 F z(x0 y0 z0) 0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域得使Fz 0于是z Fx x Fzz Fy y Fz2z 例 2. 设 x2 y2 z2 4z 0 求 x2解 设 F(x y z) x2 y2 z2 4zz Fx 2x x x Fz 2z 4 2 z则 Fx 2xFy 2z 42z x2(2 x) x (2 z)2z x(2x) x( 2(2 z)2x z)(2 x)2 x2 (2 z)3二、方程组的情形在一定条件下 由个方程组 F(x y u v) 0 G(x y u v) 0 可以确定一对二 元函数 u u(x y) v v(x y) 例如方程 xu yv 0 和 yu xv 1 可以确定两个二元函数ux2y y2vx2x y2事实上xu yv 0v xu yyu x x u 1 yux2y y2vx yx2y y2x2x y2如何根据原方程组求u v 的偏导数 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设F (x y u v )、G (x y u v )在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F (x 0 y 0 u 0 v 0)0 G (x 0 y 0 u 0 v 0)0 且偏导数所组成的函数行列式v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)不等于零 则方程组F (x y u v )0 G (x y u v )0在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u u (xy )v v (x y ) 它们满足条件u 0u (x 0 y 0) v 0v (x 0 y 0) 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1vuv ux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1隐函数的偏导数:设方程组F (x y u v )0 G (x y u v )0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u u (x y ) v v (x y )则偏导数xu∂∂ x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定偏导数yu∂∂ y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定例3 设xu yv 0 yu xv 1 求xu∂∂ x v∂∂ y u ∂∂和y v ∂∂ 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u当x 2y 2 0时 解之得22y x yvxu xu ++-=∂∂ 22y x xvyu x v +-=∂∂两个方程两边分别对x 求偏导 得关于y u ∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x当x 2y 2 0时 解之得22y x yuxv y u +-=∂∂ 22y x yvxu yv ++-=∂∂另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=dy yx yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=于是 22y x yv xu xu ++-=∂∂ 22y x yuxv y u +-=∂∂22yx xvyu x v +-=∂∂ 22y x yvxu yv ++-=∂∂例 设函数x x (u v ) y y (u v )在点(u v )的某一领域内连续且有连续偏导数 又0),(),(≠∂∂v u y x(1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点(x y u v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u u (x y ) v v (x y )(2)求反函数u u (x y ) v v (x y )对x y 的偏导数解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论(2)将方程组(7)所确定的反函数u u (x y )v v (x y )代入(7) 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xv v y x u u y x v v x x u u x 01由于J 0 故可解得vyJ x u ∂∂=∂∂1 u yJ x v ∂∂-=∂∂1同理 可得v xJ yu ∂∂-=∂∂1 ux J y v ∂∂=∂∂1§8 6多元函数微分学的几何应用一空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为 x(t )y(t ) z(t )这里假定(t ) (t ) (t )都在[ ]上可导在曲线上取对应于t t 0的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及对应于t t 0t 的邻近一点M (x 0+x y 0+y z 0+z )作曲线的割线MM 0 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线 考虑t zz z t y y y tx x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000当M M 0即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量 T ((t 0) (t 0) (t 0))就是曲线在点M 0处的一个切向量法平面 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 (t 0)(x x 0)(t 0)(y y 0)(t 0)(z z 0)0例1 求曲线x t y t 2 z t 3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程解 因为x t 1 y t2t z t3t 2 而点(111)所对应的参数t 1所以T (1 2 3) 于是 切线方程为312111-=-=-z y x法平面方程为(x 1)2(y 1)3(z 1)0 即x 2y 3z 6讨论1 若曲线的方程为 y (x ) z (x ) 问其切线和法平面方程是什么形式 提示 曲线方程可看作参数方程 x x y(x ) z(x ) 切向量为T (1 (x ) (x ))2 若曲线的方程为F (x y z )0G (x y z )0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示 两方程确定了两个隐函数 y (x ) z(x ) 曲线的参数方程为x x y (x ) z (x )由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz切向量为) ,,1(dxdz dx dy =T例2 求曲线x 2y 2z 26x y z 0在点(12 1)处的切线及法平面方程解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x解方程组得z y x z dx dy --= zy yx dx dz --=在点(1 2 1)处0=dx dy 1-=dx dz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为(x 1)0(y 2)(z 1)0 即x z 0 解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x方程组在点(12 1)处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dxdz dx dydx dz dx dy解方程组得0=dx dy 1-=dx dz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为(x 1)0(y 2)(z 1)0 即x z 0二曲面的切平面与法线设曲面的方程为F (x y z )0M 0(x 0 y 0 z 0)是曲面上的一点 并设函数F (x y z )的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M 0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为 x (t ) y (t ) z (t ) t t 0对应于点M 0(x 0 y 0 z 0) 且(t 0) (t 0) (t 0)不全为零 曲线在点的切向量为T ((t 0) (t 0) (t 0)) 考虑曲面方程F (x y z )0两端在t t 0的全导数 F x (x 0 y 0z 0)(t 0)F y (x 0y 0z 0)(t 0)F z (x 0y 0z 0)(t 0)0 引入向量n (F x (x 0 y 0 z 0) F y (x 0 y 0 z 0) F z (x 0 y 0 z 0))易见T 与n 是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M 0的任意一条曲线 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M 0的切平面 这切平面的方程式是。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
第九章 多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()2[,,]f g x y y = 。
（2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。
（3）设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 。
（4）若22),(y x x y y x f -=+，则(,)_________f x y =。
（5）下列极限中存在的是（ ）A . y x y x y x +-→→)1(lim 00；B . 24200lim y x y x y x +→→； C .22200lim y x y x y x +→→； D . 2200lim y x xy y x +→→. 2.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y→+++； （2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y xy →+； （4）()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→；（5）1(,)(0,1)lim (1)x x y xy →+； （6）22(,)(,)lim ()x y x y x y e --→+∞+∞+。
3.证明极限(,)(0,0)lim x y x yx y →+-不存在。
4. 指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）x y x y z 2222-+=。
§9.2偏导数1.填空选择（1）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,0 。
（2）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f 。
（3）已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂yz x z 。
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
(整理)高等数学-第9章 多元函数微分法极其应用
聚点：设E为平面上的一个点集，P是平面上的一个点，若P点的任一个邻域内总有无限多个点属于E，则称P为E的聚点。
多元函数的极限；设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，若对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对适合不等式 的一切点P(x,y)，都有 成立，则称A为函数f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限，记为 。
这就是说,为了求偏导数,只需固定y=y0,将f(x,y0)看成变量x的一元函数f(x,y0),对于x在点x0求导数就可以了.
因此从纯粹计算的观点看,求多元函数的偏导数于一元函数的导数没有什么区别.
同样,二元函数f(x,y)在点M0(x0,y0)关于变元y的偏导数为： = =fy/(x0,y0)
对于三元函数乃至多元函数,可以类似地定义和计算偏导数。
《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P456-P460
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
9.2偏导数
一、偏导数的定义及计算法
在多元函数的微分运算中,函数的偏导数是最基本的运算.
下面我们就以二元函数为例，给出方向导数与偏导数的概念.
定义1(偏导数):设有二元函数f(x,y),M0(x0,y0)是一个确定的点.固定y=y0,将f(x,y0)看成变量x的一元函数.如果x的函数f(x,y0)在点x0存在导数,也就是极限 存在,则称极限值为二元函数f(x,y)在点M0(x0,y0)关于变元x的偏导数,记作 或fx/(x0,y0)。
定理：.如果函数的两个二阶混合偏导f"xy与f"yx都连续时，求导的结果与求导的先后次序无关，即f"xy=f"yx。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。
221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。
解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用引言在数学中，多元函数微分学是研究多元函数的变化过程的一门学科。
通过微分学的方法，我们可以研究多元函数的局部性质、极值点和方向导数等重要概念。
多元函数微分学在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将介绍多元函数微分学的一些应用，并重点讨论最小二乘法和梯度下降法的实际应用。
最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化实际观测值与理论模型之间的误差平方和，来寻找最佳的参数估计。
在多元函数微分学中，最小二乘法可以用于拟合多元线性回归模型。
假设我们有一组观测数据$(x_1, y_1), (x_2, y_2), \\ldots, (x_n, y_n)$，其中x x是自变量，x x是因变量。
我们的目标是找到一条直线 $y = a + b_1x_1 + b_2x_2 + \\ldots + b_mx_m$，使得所有观测数据到该直线的距离之和最小。
这可以转化为一个最小二乘问题。
在最小二乘法中，我们引入残差$r_i = y_i - (a + b_1x_{i1} +b_2x_{i2} + \\ldots + b_mx_{im})$，其中，x是截距，x x是斜率系数，x xx是第x组数据的第x个自变量的取值。
我们的目标是找到一组最优的x和x x，使得x x的平方和最小。
最小二乘法可以通过求解线性方程组来得到参数的估计值。
具体而言，我们可以通过计算矩阵的逆来得到参数的最小二乘解。
梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过迭代的方式逐步更新参数，以达到函数的最小值。
在多元函数微分学中，梯度下降法可以用于求解多元函数的极值点。
假设我们要求解函数$f(x_1, x_2, \\ldots, x_n)$ 的极小值点，其中x x表示第x个自变量。
梯度下降法的基本思想是：从一个初始点开始，通过迭代更新参数，使得函数的值逐渐减小，直到达到最小值。
梯度下降法的更新规则如下：repeat until convergence {for i from 1 to n {theta_i := theta_i - alpha * (d/dtheta_i J(theta))}}其中，$J(\\theta)$ 是损失函数，$d/d\\theta_iJ(\\theta)$ 是损失函数对第x个参数的偏导数，$\\theta_i$ 是第x个参数的值，$\\alpha$ 是学习率。
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第九章 多元函数微分法的应用在高数上册中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.第一节 空间曲线的切线与法平面教学目的：1、理解空间曲线的切线与法平面的概念；2、掌握空间曲线的切线与法平面的计算 教学重点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学难点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学内容：设曲线Γ的参数方程为)(),(),(t z z t y y t x x ===其中[,]t a b Î，(),(),()x t y t z t 在区间[,]a b 上可导。
曲线Γ在点0P 处的切线方程为.)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 切线的方向向量000('(),'(),'())x t y t z t 称为曲线在点0P 的切向量.过点0P 且与切线垂直的平面称为曲线Γ在点0P 处的法平面. 曲线的切向量就是法平面的法向量，因此法平面的方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x如果曲线Γ的方程为 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 的情形；曲线Γ在点0P 处的切线方程为0000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==抖?抖?曲线在0P 处的法平面方程为00000()'()()'()()0x x y x y y z x z z -+-+-=例1、求螺旋线cos ,sin ,x a t y a t z amt ===在4t p=处的切线方程与法平面方程。
解： 'sin ,'cos ,'x a t y a t z am =-== 故曲线在4t p=处的切线方程为22411am x y z p ---==-法平面方程为()()()0224am x y z p--+-+-= 即2.4x y p -++=例2、求曲线Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在0=t 处的切线和法平面方程.解：当0=t 时，,0=x ,1=y ,2=z ,cos t e x t =',sin cos 2t t y -='t e z 33=' ,1)0(='x ,2)0(='y ,3)0(='z切线方程,322110-=-=-z y x 法平面方程 ,0)2(3)1(2=-+-+z y x 即.0832=-++z y x 例3、求曲线⎩⎨⎧=+=+10102222z y z x 在点)3,1,1(处的切线及法平面方程. 解：设,10),,(22-+=z x z y x F ,10),,(22-+=z y z y x G 则,2x F x =,0=y F ,2z F z =,0=x G ,2y G y =,2z G z = 故)3,1,1(zy z y G G F F )3,1,1(2220z y z=,12-=)3,1,1(xzx z G G F F )3,1,1(0222z xz =,12-=)3,1,1(yx y x G G F F )3,1,1(2002y x =.4=故所求的切线方程为.133131--=-=-z y x 法平面方程为,0)3()1(3)1(3=---+-z y x 即.333=-+z y x例题选讲： 例1 求曲线Γ2cos ,2sin ,x t y t z ===在4t p=处的切线和法平面方程. 例2 求曲线⎩⎨⎧=+=+10102222z y z x 在点)3,1,1(处的切线及法平面方程. 例3 求曲线2216,12y x z x ==对应于12x =点处的切线及法平面方程. 例4 求出曲线 32,x z x y =-=上的点，使在该点的切线平行于已知平面.42=++z y x例5 求曲线⎧⎨⎩9222x +y +z =,z =xy.在点(1,2,2)处的切线方程及法平面方程.小结：空间曲线的切线与法平面（1）曲线Γ的参数方程：)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）曲线Γ的一般式方程：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F作业：习题9-1 1（1）（2）第二节 空间曲面的切平面与法线教学目的：1、理解空间曲面的切平面与法线的概念；2、掌握空间曲面的切平面与法线的计算 教学重点：空间曲面的切平面与法线的计算 教学难点：空间曲面的切平面与法线的计算 教学内容：设曲面S 的方程为,0),,(=z y x F曲面S 在0M 处切平面的方程为,0)()()(0000=-+-+-z z F y y F x x F M zM yM x称曲面在点0M 处切平面的法向量为在点0M 处曲面的法向量. 故在点0M 处曲面的法向量为)}.,,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =ρ过点0M 且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 因此法线方程为00|||000M z M y M x F z z F y y F x x -=-=- 若曲面∑方程为 ),(y x f z =的情形；记(,,)(,)F x y z f x y z =-，则曲面在0M 处的法向量为0000('(,),'(,),1)x y n f x y f x y =-因此曲面在点0M 处切平面和法线方程分别为0000000'(,)()'(,)()()0,x y f x y x x f x y y y z z -+---=0000000.'(,)'(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-例1、求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程. 解：令),,(z y x F z y x --+=122)4,1,2(n ρ)4,1,2(}1,2,2{-=y x },1,2,4{-=切平面方程为,0)4()1(2)2(4=---+-z y x 即 ,0624=--+z y x法线方程为.142142--=-=-z y x 例2、求曲面 32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面及法线方程. 解：令),,(z y x F ,32-+-=xy e z z ,2y F x =',2x F y='z z e F -='1 )0,2,1(n ρ)0,2,1(}1,2,2{z e x y -=},0,2,4{=切平面方程为,0)0(0)2(2)1(4=-⋅+-+-z y x 即,042=-+y x法线方程为.01221-=-=-z y x 例3、求曲面 2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程. 解：设),,(000z y x 为曲面上的切点,则切平面方程为,0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x依题意,切平面方程平行于已知平面,得664412000z y x == .2000z y x == Θ),,(000z y x 是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得,10±=x 故所求切点为),2,2,1(),2,2,1(---切平面方程(1),0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 即;2164=++z y x切平面方程(2),0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 即.2164-=++z y x例4、求曲面03222=--++xy z y x 上同时垂直于平面0=z 与01=++y x 的切平面方程. 解：设),,(z y x F ,3222--++=xy z y x 则,2y x F x -=,2x y F y -=,2z F z = 曲面在点),,(000z y x 的法线向量为.2)2()2(00000k z j x y i y x n ρρρρ+-+-=由于平面0=z 的法线向量,1k n ρρ=平面1++y x 0=的法线向量,2j i n ρρρ+=而n ρ同时垂直于1n ρ与,2n ρ所以n ρ平行于,21n n ρρ⨯但21n n ρρ⨯011100kj i ρρρ=,j i ρρ+-=所以存在数,λ使得},0,1,1{}2,2,2{00000-=--λz x y y x即,200λ-=-y x ,200λ=-x y ,020=z解之得,00y x -=,00=z 将其代入原曲面方程,求得切点为)0,1,1(1-M 和),0,1,1(2-M 因而,所求的切平面方程为:,0)1()1(=++--y x 即,02=--y x 和,0)1()1(=-++-y x 即.02=+-y x例题选讲：例1 求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程. 例2 求曲面 32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.例3 求曲面 2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程.例4 求曲面03222=--++xy z y x 上同时垂直于平面0=z 与01=++y x 的切平面方程. 课堂练习1.求曲线32,,t z t y t x ===在对应于1=t 的点处的切线方程及法平面方程.2.若平面01633=+-+z y x λ与椭球面163222=++z y x 相切, 求.λ 小结：曲面的切平面与法线（1）空间曲面方程为 F(x,y,z)=0； （2）空间曲面方程为 z=f(x,y)作业：习题9-2 2（1）（2）第三节 方向导数教学目的：1、理解方向导数的概念；2、掌握方向导数的计算 教学重点：方向导数的计算 教学难点：方向导数的计算 教学内容：定义：如果极限.),(),(lim 0ρρy x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→ 存在，则称这个极限为函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 沿向量l 的方向导数，记作0P fl∂∂或0'()l f P ，即0000000(cos ,cos ,cos )(,,)=liml P f x l y l z l f x y z f llαβγ∆→+∆+∆+∆-∂∂∆定理 如果函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 处可微，则函数f 在点0P 处沿任意方向l 的方向导数都存在，且=cos cos cos P P P P f u u u lxyzαβγ∂∂∂∂++∂∂∂∂其中cos cos cos αβγ，，为方向l 的方向余弦。