理学竖直面的圆周运动临界问题和连接体问题

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竖直、水平面内圆周运动中的临界问题和周期性问题(有解答)

在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
例9：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。
A、最高点水不留出的最小速度？
B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？
答案：（1）（2）2.5N
变式1、如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？
2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：
汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．
例2、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，
如图所示。今给小物体一个水平初速度，则小物体将（）
例3、如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点A时的速度vA;(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离。
变式9-1：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？

高中物理竖直平面内的圆周运动临界问题

注意：对于匀速圆周运动，F向心力就是物体所受的合外力F合
2．一般竖直面内的圆周运动，物体所受的合外力除了具有与速度垂直的向心力以外，还有与速度平行的切向力，那么物体的速度不仅方向变化，大小也会变化.对此，高考只要求解决在最高点和最低点这两个特殊位置上的动力学问题.关系式依然适用，
只是不同位置对应不同的v或ω而已.
②当 0 v rg 时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N
随vห้องสมุดไป่ตู้增大而减小；
③当 v rg 时，N＝0；
④当增大
v
rg ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而
作业：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：
Ａ、a处为拉力，b处为拉力
Ｂ、 a处为拉力，b处为推力
Ｃ、 a处为推力，b处为拉力
Ｄ、 a处为推力，b处为推力
例题3：长度为Ｌ＝0.50m的轻质细杆ＯＡ，Ａ端有一质量为m=3.0kg，通过最高点时小球的速率为2.0m/s，取g=10m/s2,则此
时细杆ＯＡ受到：Ｂ
Ａ、6.0N的拉力
Ｂ、6.0N的压力
竖直面内的圆周运动
绳拉小球杆拉小球专题
1.处理有关圆周运动问题的步骤：
（1）明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找到圆心和半径，计算物体做这样的圆周运动所需要的向心力（2）确定研究对象在某个位置所处的状态，进行具体的受力分析，分析哪些力提供了向心力。(关注径向力) （3）根据“供需平衡”原理列出方程。（4）解方程，对结果进行必要的讨论。
r
临界速度是：v0 gr
在其它位置要能做圆周运动，也必须满足F供=F需。

圆周运动中的临界问题和周期性问题高中物理

圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律r Tm r m r v m ma F n n 222)2(πω====……列方程求解二、临界问题常见类型：1、按力的种类分类：（1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无（2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类：（1）、竖直面内的圆周运动（2）、水平面内的圆周运动三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2）A 、最高点水不留出的最小速度？B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？答案：（1）s m /6 （2）2.5N变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。

竖直面内圆周运动的临界问题分析

ʏ赵世渭吕志华当物体从一种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,叫临界状态㊂出现临界状态时,即可理解为恰好出现 ,也可理解为恰好不出现㊂竖直面内圆周运动的临界问题主要包括绳(环)约束模型㊁杆(管)约束模型和拱桥模型等,下面举例说明㊂一㊁绳(环)约束模型绳(环)约束模型的特点是绳(环)对物体只能产生指向圆心的弹力作用㊂图11.临界条件:在最高点绳(环)对物体恰好没有弹力作用㊂此时重力提供向心力,即m g =m v 2m i nr,解得v m i n =g r (可理解为恰好通过或恰好不通过最高点的速度)㊂2.能够通过最高点的条件:物体在最高点的速度v ȡg r ,绳(环)产生弹力作用㊂3.不能通过最高点的条件:物体在最高点的速度v <g r (实际上物体还没运动到最高点就已经脱离圆周做斜抛运动)㊂图2例1 如图2所示,长度均为L 的两根轻绳,一端共同系住质量为m 的小球,另一端分别固定在等高的A ㊁B 两点,A ㊁B 两点间的距离也为L ,重力加速度大小为g ㊂现使小球在竖直面内以A B 连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的速率为v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v 时,两根绳的拉力大小均为( )㊂A .3m g B .23m gC .3m gD .433m g当两根绳的拉力恰好均为零时,重力提供向心力;当小球在最高点的速率为2v 时,重力和两根绳拉力的合力提供向心力㊂根据等边三角形的几何关系可得,小球做圆周运动的半径r =32L ㊂当小球在最高点的速率为v 时,根据牛顿第二定律得m g =m v2r㊂当小球在最高点的速率为2v 时,设两根绳的拉力大小均为F ,根据牛顿第二定律得m g +2F c o s30ʎ=m(2v )2r㊂联立以上各式解得F =3m g ㊂答案:A解决本题的关键是清楚小球运动到最高点时的临界状态,抓住小球做圆周运动所需向心力的来源,结合牛顿第二定律列式求解㊂二㊁杆(管)约束模型物体在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,轻杆或管道对物体的作用力可以是支持力,也可以是压力,还可能为零㊂图31.临界条件:物体在最高点的速度v =0㊂2.物体运动到最高点:当m g =mv2r,即v =g r 时,轻杆或管道对物体的作用力F =0;当v >g r 时,轻杆或管道对物体产生向下的拉力;当v <g r 时,轻杆或管道对物体产生向上的弹力㊂例2 如图4所示,一轻杆一端A 固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,重力33物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月图4加速度为g ㊂下列说法中正确的是( )㊂A .小球过最高点时,轻杆受到的弹力可以等于零B .小球过最高点的最小速度是g RC .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大D .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而减小小球过最高点时,当m g =mv2R,即v =g R 时,轻杆对小球的作用力F =0,根据牛顿第三定律可知,轻杆受到的弹力为零,选项A 正确㊂因为轻杆能够支撑小球,所以小球过最高点的速度最小可以为零,选项B 错误㊂当小球在最高点的速度v <g R 时,轻杆对小球产生向上的弹力,根据牛顿第二定律得m g -F =m v 2R ,变形得F =m g -m v2R,因此当v 增大时,F 减小,选项C 错误㊂当小球在最高点的速度v >g R 时,轻杆对小球产生向下的拉力,根据牛顿第二定律得m g +F =m v2R,变形得F =mv2R-m g ,因此当v 增大时,F 增大,选项D 错误㊂答案:A轻绳模型与轻杆模型的临界条件不同,对于轻绳模型来说物体能通过最高点的临界速度是v 临=gR ,对轻杆模型来说物体过最高点的临界速度是v 临=0㊂三㊁拱桥模型图5当汽车通过拱形桥顶部的速度v =g R 时,根据m g -N =mv2R可知,汽车对弧顶的压力N =0,汽车将脱离桥面做平抛运动,因此汽车过拱形桥时需限速,即v ɤg R ㊂例3如图6所示,半径为R 的光滑半图6圆球固定在水平面上,顶部有一可视为质点的物体,现给它一个水平初速度v 0=g R ,则该物体将( )㊂A .沿球面下滑至M 点B .先沿球面下滑至某点N ,然后离开球面做斜下抛运动C .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R D .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R假设物体在最高点受重力和球面的支持力N 作用做圆周运动,根据牛顿第二定律得m g -N =mv 2R,解得N =0,即物体只受重力作用,因此物体将立即离开球面做平抛运动㊂根据平抛运动规律可得,物体做平抛运动的时间t =2Rg,水平位移x =v 0t =2R ,因此物体做平抛运动的轨迹曲率半径大于半圆球的半径,物体不可能中途落在球面上㊂答案:C解决本题的关键是利用牛顿第二定律分析出物体在最高点时受到的球面对它的支持力为零,进而判断出物体仅受重力作用,且初速度方向水平,物体离开球面做平抛运动,然后利用平抛运动规律求物体的水平射程㊂拓展:倾斜面内圆周运动的临界问题㊂在斜面上做圆周运动的物体,可能由静摩擦力提供向心力,也可能由轻绳或轻杆的作用力提供向心力㊂图7例4 如图7所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,绕水平固定轴MN 可以调节其与水平面间的夹角㊂平板上一根长度l =0.8m 的轻质细绳的一43 物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月端系住一质量m=0.2k g的小球,另一端固定在平板上的O点㊂当平板的倾角固定为α时,将小球拉至最高点,然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v0=2m/s㊂(取g=10m/s2)(1)若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角α的值应在什么范围内?(2)若细绳所能承受的最大拉力F= 8N,则当平板的倾角α最大时,小球经过最高点的速度最多多大小球在运动过程中,受重力㊁细绳拉力和斜面支持力作用㊂小球运动到最高点时,由细绳的拉力和小球的重力沿斜面分力的合力提供向心力㊂(1)小球恰好能过最高点的临界条件是细绳的拉力F=0,设此时平板的倾角为α0,根据牛顿第二定律得m g s i nα0=m v20l,解得α0=30ʎ,即小球能保持在板面内做圆周运动,平板的倾角α的值应满足0<αɤ30ʎ㊂(2)设小球经过最高点时的最大速度为v m a x,由(1)得平板的最大倾角α0=30ʎ,根据牛顿第二定律得F+m g s i nα0=m v2m a x l,解得v m a x=6m/s㊂与分析竖直面内圆周运动问题类似,分析斜面上的圆周运动问题也是先分析物体在最高点的受力情况,再根据牛顿第二定律列式求解㊂注意:在进行受力分析时,一般需要先将立体图转化为平面图,这是解斜面上圆周运动临界问题的难点㊂图81.如图8所示,一根轻绳系着装有水的小桶,在竖直面内绕O点做圆周运动,小桶的质量M=1k g,水的质量m=0.5k g,绳长L=0.6m,取g=10m/s2㊂求:(1)要使水桶运动到最高点时水不流出,最小速率多大(2)如果水桶运动到最高点时的速率v=3m/s,那么水桶对轻绳的拉力多大?(3)如果水桶运动到最低点时的速率v=3m/s2,那么水对桶底的压力多大?图92.如图9所示,将内壁光滑的导管弯成半径为R的圆周轨道竖直放置,其质量为2m,质量为m的小球在管内滚动㊂当小球运动到最高点时,导管刚好要离开地面,此时小球的速度多大?图103.如图10所示,质量为m的小物体(可视为质点)随水平传送带运动,A为终端皮带轮㊂已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当小物体可被水平抛出时()㊂A.传送带的最小速度为g rB.传送带的最小速度为g rC.皮带轮每秒的转数最少是12πg rD .皮带轮每秒的转数最少是12πg r图114.如图11所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止㊂小物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面间的夹角为30ʎ,取g=10m/s2㊂求ω的最大值㊂参考答案:1.(1)v m i n=6m/s;(2)T=7.5N;(3)N'=12.5N㊂2.v=3g R㊂3.A C4.ωm a x=1r a d/s㊂作者单位:山东省青州第一中学(责任编辑张巧)53物理部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月。

竖直面内圆周运动的临界问题分析(讲解+练习)

竖直面内圆周运动的临界问题分析竖直面内圆周运动特点：1、运动特点：速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

---变速率圆周运动2、受力特点：实质：沿半径方向的合力提供向心力，产生向心加速度，即牛顿第二定律在曲线运动中的运用。

F n 合＝ma n = mv 2/r=mr 2ω1）过最低点：所需的向心力是向上，而重力向下，据：F -mg = mv 2/r 得：F >mg 所以弹力（拉力、支持力）必然向上且大于重力。

2）过最高点：所需的向心力是向下，而重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论临界问题。

讨论：的意义：例题1：（07理科综合）如图所示，质量为m 的小物块位于半径为R 的半球物体顶端，若给小物体水平速度，则物块（）A 、立即做平抛运动， BC 、落地速度大小为；D 、落地速度方向与地成450。

若给小物体水平速度；则小物块对半球物体顶端的压力。

例题2：杂技演员表演的“水流星”，是一根细长绳的一端系着一个盛了水的容器，以绳的另一端不圆心，使容器在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，N 为圆周最低点，M 为圆周最低点，若“水流星”通过最低点的速度为，则下列说法正确的是（）。

gR v =gR v 2=gR v 2=gR v 5=2gR v =A、“水流星”过最高点速度为0；B 、“水流星”过最高点时，有水从容器中流出；C、“水流星”过最高点时，水对容器底没有压力；D、“水流星”过最高点时，绳对容器有向下的拉力。

速度大小v可以取任意值。

但可以进一步讨论：①当v=时，②当时，③当v= 时，④当时，例题3：（04年理综）轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则（）。

A、一定是拉力；B、一定是推力；C、一定等于0；D、可能是拉力可能是推力等于0总结：竖直平面内圆周运动的临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同.例题4：在空间中存在竖直向上的电场，小球带正电，讨论；（1）当E q<mg时：小球过最高点的临界速度？（2）当E q=mg时：小球过最高点的临界速度？课后练习：1、质量是1×103kg的汽车驶过一座拱桥，已知桥顶点桥面的圆弧半径是90m，g=10m/s2。

圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题和临界问题(教案)

圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题、临界问题知识点一】圆周运动中的连接体问题【例1】在一个水平转台上放有质量相等的A、B 两个物体，用一轻杆相连，AB连线沿半径方向． A 与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、 B 到平台转轴的距离分别为L 、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动． A 与平台间的摩擦力大小为F fA，杆的弹力大小为 F.现把转动角速度提高至2ω.A、B 仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速圆周运动，则下面说法正确的是( ) A．F fA、F 均增加为原来的4倍B．F fA、F 均增加为原来的2倍C．F fA大于原来的4倍，F 等于原来的2倍D．F fA、F 增加后，均小于原来的4倍【解析】根据牛顿第二定律，对A：F fA－F＝mω2r A ①，对B：F ＝mω 2r B ②.当ω增大到2ω时，由②式知，F 增加到原来的 4 倍；由①式知：F fA＝F ＋mω2r A，F fA增加为原来的 4 倍．故选 A.【答案】 A【例2】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( )A．1:1 B．1: 2C．2:1 D．1:2解析：两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同．设两球所需的向心力大小为F n，角速度为ω，则对球m1：F n＝m1ω2r1，对球m2：F n＝m2ω2r2，由上述两式得r1 r2＝1:2. 答案：D 例3】如图所示，轻杆长为3L，在杆的 A 、B 两端分别固定质量均为 m 的球 A 和球 B ，杆上距球 A 为 L 处的点 O 装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力．当球 B 运动到最高点时，球 B 对杆恰好无作用力．下列说法正确的是 ( )A. 球B 在最高点时速度为零B. 球 B 在最高点时，球 A 的速度也为零C. 球 B 在最高点时，杆对水平轴的作用力为 1.5mg 156gLC ［解析］球B 在最高点时速度为 v0，有 mg ＝m2v L 20，得 v0＝ 2gL ， A 项错误；此时球 A 的速度为 v 20 v0 v 202所以 FA>FB ，即 AC 线先断．【知识点二】临界问题1. 与绳的弹力有关的临界问题质量为 m 的物体被长为 l 的轻绳拴着 (如图所示 )，D.球 B 转到最低点时，其速度为 vB ＝122gL ，B 错误；设杆对球 A 的作用力为 FA ，则 FA－mg ＝ m L ，得 FA ＝1.5mg ，C 项正确；设球 B 在最低点时的速度为 vB ，据1 1 v0 1 1 机械能守恒定律有 2mgL －mgL ＋2mv20＋2m 2 2＝－ 2mgL ＋mgL ＋2mv2B ＋2 vB m 2 2，解得 vB ＝256gL ，D 项错误．【例 4】如图所示， OO ′为竖直轴， MN 个质量相同的金属球 A 、 B 套在水平杆上，线，C 端固定在转轴 OO ′上．当线拉直时，若转轴的角速度逐渐增大，则 (A ．AC 先断B ． BC 先断 C ．两线同时断D ．不能确定哪根线先断［解析］ A 对A 球进行受力分析，三个力作用，拉力的水平分力提供水平方向 FAcosα＝mrAω2，同理，为固定在 OO ′上的水平光滑杆，有两 AC 和 BC 为抗拉能力相同的两根细 A 、B 两球转动半径之比恒为 2∶1， rA 何关系，可知rB A 球受重力、支持力和拉力 FA A 球做圆周运动的向心力，得：对 B 球：FBcosβ＝mrBω 2.由几 rArBFA ＝rAcos β＝ BC ＝ ACAC ，cos β＝BC ，所以：FB ＝rBcos α＝rBrA ＝BC AC.由于 AC>BC ，且绕绳的另一端O做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值F m时，物体的速度最大，即2v m Fm＝m l，解得v m＝F m l。

5.7-3竖直平面内的圆周运动与临界问题

壁对小球有压力，什么时候内管壁
;
F1
对小球有支持力?什么时候内外管
V1
壁都没有压力？
G
临界速度： F 0,v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力；当v>v0，外壁对球有向下的压力。
第17页，共28页。
例4：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：（１）当小球在最高点的速度为多大时，小球对杆的作用力为零？
第21页，共28页。
轻绳模型
轻杆模型
(1)过最高点时，v≥ gr， FN＋m g＝mvr2，绳、轨道对
球产生弹力 FN
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支持力，沿半径背离圆心
(2)当 0<v< gr 时，－FN＋mg ＝mvr2，FN 背离圆心且随 v
讨论 (2)不能过最高点时 v< gr ，
（２）当小球在最高点的速度分别
为６m/s和1.5m/s时，杆对小球的作用力的大小和方向
（３）小球在最高点的速度能否等于零？
第18页，共28页。
例题5：如图所示，一质量为m
的小球，用长为L轻杆固定住，
使其在竖直面内作圆周运
N
动.(1)若过小球恰好能通过最
高点，则小球在最高点和最低
mg
点的速度分别是多少？小球的
竖直平面内做圆周运动。试分析：
B
（1）当小球在最低点A的速度为 v2时，杆的受力与速度的关系怎
样？
（2）当小球在最高点B的速度为 v1时，杆的受力与速度的关系怎样？
A
第12页，共28页。
问题2：杆球模型：

竖直平面内的圆周运动临界问题(超级经典全面)

a
量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA 受到B （）
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力 B、6.0N的压力 D、24N的压力
例：长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A， A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当A的速率v1＝1m／s时: ②当A的速率v2＝4m／s时:
例：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端
例、长为0.6m的轻杆OA(不计质量),A端插个质量为2.0kg的物体,在竖直平面内绕O点做圆周运动,当球达到最高点的速度分别为3m/s, 6 m/s,2m/s时,求杆对球的作用力各为多少?
A O
例：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：（1）小球在最高点的速度能否等于零？（2）当小球在最高点的速度为多大时，小球对杆的作用力为零？（3）当小球在最高点的速度分别为６m/s和1.5m/s时，杆对小球的作用力的大小和方向
经典案例
[经典案例](9分)一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝ 0.5 kg,水的重心到转轴的距离L＝60 cm. (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率． (2)若在最高点的水桶速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力．(g 取9.8 m/s^2)
例：一根绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长l ＝60 cm，g取10 m/s2 （1）最高点水不流出的最小速率? （2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力?

圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题⑴如图 1、图 2 所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况vvR绳R R 杆Ov0图1图 2图3①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v 临界＝ Rg②能过最高点的条件：v≥ Rg ，当 v＞ Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。

③不能过最高点的条件：v＜ v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。

⑵如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连。

杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力①能过最高点v 临界＝ 0，此时支持力N ＝ mg②当 0＜ v＜Rg 时， N 为支持力，有0＜ N＜ mg，且 N 随 v 的增大而减小③当 v＝Rg 时， N＝ 0④当 v＞Rg ， N 为拉力，有N＞ 0， N 随 v 的增大而增大例 1（99年高考题）如图 4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。

现给小球一初速度，使它做圆周运动。

图中a、 b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）bA 、a 处为拉力， b 处为拉力B 、a 处为拉力， b 处为推力OC、a 处为推力， b 处为拉力D 、a 处为推力， b 处为推力a例 2长度为 L ＝ 0.5m 的轻质细杆 OA ， A端有一质量为m＝ 3.0kg 的小球，如图 5所示，小球以 O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m／ s，g 取 10m／ s2，则此时细杆OA 受到（）mA 、 6.0N 的拉力B、 6.0N的压力ALC、 24N 的拉力D、 24N的压力O例 3长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O图5点，上端连接着一个质量m＝ 2kg 的小球 A ，A 绕 O 点做圆周运动（同图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当 A 的速率 v1＝ 1m／ s 时②当 A 的速率 v2＝ 4m／ s 时2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω 变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。

竖直平面内圆周运动的临界问题

竖直平面内圆周运动的临界问题二、在竖直平面内作圆周运动的临界问题由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同.1、无物体支持的小球圆周运动临界问题（绳或轨道圆周运动问题）（1）过最高点的临界条件：（2）能过最高点的条件：（3）不能过最高点的条件：2、有物体支持的小球圆周运动的临界条件（杆或管道类的问题）（1）当v= 时，F N =0；（2）当v＞时，F N为力，且随v的增大而增大；（3）当v＜时，F N为力，且随v的增大而减小。

（4）过最高点的临界条件：三、例题：例1：如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动。

若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？小球的受力情况如何？练习1：如图所示，一质量为m 的小球，在半径为R 光滑轨道上，使其在竖直面内作圆周运动。

若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为。

（小球的受力情况如何？）例2：长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，小球绕O 点做圆周运动，当经过最高点时，试分别讨论在下列两种情况下杆的受力情况（g 取10 m/s 2）：（1）当A 的速率v 1＝4m ／s 时；（2）当A 的速率v 2＝1m ／s 时。

练习2：（1）如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 轻杆固定住，使其在竖直面内作圆周运动。

若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？小球的受力情况如何？（2）如图所示，一质量为m 的小球，放在一个内壁光滑的封闭管内，使其在竖直面内作圆周运动。

若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度为为。

（小球的受力情况如何？）四、课后作业：1．如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。

现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对小球的作用力可能是（） A ．a 处为推力，b 处为拉力 B ．a 处为拉力，b 处为推力C ．a 处为拉力，b 处为拉力D ．a 处为推力，b 处为推力2．用细绳拴着质量为m 的物体，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是（） A ．小球过最高点时，绳子张力可以为0 B ．小球过最高点时的最小速度是0C ．小球做圆周运动过最高点的最小速度是gRD ．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与所受重力方向相反 3．长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时速率为2.0m/s ，g 取10m/s 2，则此时细杆OA 受到（） A ．6.0N 的拉力 B ．6.0N 的压力 C ．24N 的拉力D ．24N 的压力4．一根绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m ＝0.5 kg ，绳长l ＝60 cm ，g 取10 m/s 2，求：（1）最高点水不流出的最小速率（2）水在最高点速率v ＝3 m/s 时，水对桶底的压力5．如图，轻杆OA 长l ＝0.5m ，在A 端固定一小球，小球质量ｍ＝0.5 kg ，以O 点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为v ＝0.4 m/s ，求在此位置时杆对小球的作用力。

竖直平面内圆周运动的临界问题

N
rg ， F 为拉力，有FN ＞0， F 随v的增大
N N
例题2：一根长L＝0.625
m的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求： (1)小球通过最高点时的最小速度； (2)若小球以速度v1=3.0m／s通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？
在最高点均是有支撑的小球
特点
在最高点时，没有物体支撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉力，又能产生支持力
竖直平面内的圆周运动
1.轻绳模型：
mg
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好等于0，小球的重力充当圆周运动所需的向心力。
F
mg m R v临界 Rg
2
m v2 mg+F= R
例题1：杂技演员在做水流星表演时，用绳系
着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m＝0．5 kg，绳长L=60cm，求： (1)最高点水不流出的最小速率。 (2)水在最高点速率v＝3 m／s时，水对桶底的压力．

解：（1）水在最高点不流出，且速度最小，满足的条件是：在最高点只受重力的作用，即只有重力提供向心力，由向心力公式得
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
特点
临界条件
在最高点时，没有物体支撑，只能产生拉力
能过最高点的条件
轻杆对小球既能产生拉力，又能产生支持力
能过最高点的条件
v gr
v0
文萃微课
专题：竖直平面内圆周运动的临界问题
对于物体在竖直面内所做的圆周运动在生活当中经常见到，它也是高考命题的热点。该类运动有临界问题，题中经常出现“最大”“最小”“刚好”等词语。常见的有两种模型——轻绳模型和轻杆模型。分析比较如下：

高一物理必修2 竖直平面内的圆周运动的临界问题

高一物理必修2 竖直平面内的圆周运动的临界问题【学习目标】1．了解竖直平面内的圆周运动特点。

2．掌握物体在竖直平面内做圆周运动过最高点的运动情况及受力情况分析方法。

3．掌握物体在竖直平面内做圆周运动时临界问题的分析方法。

【教材解读】竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。

一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。

１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m Rv 临界（2）小球能过最高点条件：v（当v（3）不能过最高点条件：v<（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。

）（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）图6-11-1a b图6-11-2 b（2）当0< vF 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）（3）当v=F =0（4）当vF 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）【案例剖析】例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是（）A ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mgC ．开始运动时，绳的拉力为2v m LD解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20v F mg m L -=，20v F m mg L=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L=，v =A 、B 、C 均不正确。

圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题和临界问题(教案)

圆周运动专题二圆周运动中的连接体问题、临界问题【知识点一】圆周运动中的连接体问题【例1】在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体，用一轻杆相连，AB连线沿半径方向．A与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、B到平台转轴的距离分别为L、2L.某时刻一起随平台以ω的角速度绕OO′轴做匀速圆周运动．A与平台间的摩擦力大小为F f A，杆的弹力大小为F.现把转动角速度提高至2ω.A、B仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴匀速圆周运动，则下面说法正确的是()A．F f A、F均增加为原来的4倍B．F f A、F均增加为原来的2倍C．F f A大于原来的4倍，F等于原来的2倍D．F f A、F增加后，均小于原来的4倍【解析】根据牛顿第二定律，对A：F f A－F＝mω2r A①，对B：F＝mω2r B②.当ω增大到2ω时，由②式知，F增加到原来的4倍；由①式知：F f A＝F ＋mω2r A，F f A增加为原来的4倍．故选A.【答案】A【例2】如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为()A．1:1B．1:2C．2:1 D．1:2解析：两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同．设两球所需的向心力大小为F n，角速度为ω，则对球m1：F n＝m1ω2r1，对球m2：F n＝m2ω2r2，由上述两式得r1r2＝1:2.答案：D【例3】如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m 的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力．当球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力．下列说法正确的是()A.球B在最高点时速度为零B.球B在最高点时，球A的速度也为零C.球B在最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mgD.球B转到最低点时，其速度为vB＝165gLC [解析] 球B 在最高点时速度为v0，有mg ＝m v202L ，得v0＝2gL ，A 项错误；此时球A 的速度为v02＝122gL ，B 错误；设杆对球A 的作用力为FA ，则FA －mg ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v022L ，得FA ＝1.5mg ，C 项正确；设球B 在最低点时的速度为vB ，据机械能守恒定律有2mgL －mgL ＋12mv20＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v022＝－2mgL ＋mgL ＋12mv2B ＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫vB 22，解得vB ＝265gL ，D 项错误．【例4】如图所示，OO′为竖直轴，MN 为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A 、B 套在水平杆上，AC 和BC 为抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴OO′上．当线拉直时，A 、B 两球转动半径之比恒为2∶1，若转轴的角速度逐渐增大，则( ) A ．AC 先断 B ．BC 先断C ．两线同时断D ．不能确定哪根线先断[解析] A 对A 球进行受力分析，A 球受重力、支持力和拉力FA 三个力作用，拉力的水平分力提供A 球做圆周运动的向心力，得：水平方向FAcosα＝mrAω2，同理，对B 球：FBcosβ＝mrBω2.由几何关系，可知cosα＝rA AC ，cosβ＝rB BC ，所以：FA FB ＝rAcosβrBcosα＝rArBBC rBrA AC＝ACBC .由于AC>BC ，所以FA>FB ，即AC 线先断．【知识点二】临界问题1. 与绳的弹力有关的临界问题质量为m 的物体被长为l 的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O 做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值F m 时，物体的速度最大，即F m ＝m v 2ml，解得v m ＝F m lm。

竖直面内的圆周运动(解析版)

竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆"模型1。

“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2。

有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动,一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外,物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝m错误!mg±F N＝m错误!临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝错误!v＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥错误!v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则( ）A．小球的质量为错误!B．当地的重力加速度大小为错误!C．v2＝c时,小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】: ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m的绳系着装有m ＝ 0。

5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动,成为“水流星”.G ＝10 m/s2。

求:（1）最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大?【答案】（1) 2.45 m/s (2） 2。

5 N 方向竖直向上【解析】（1) 水做圆周运动,在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。

这是最小速度即是过最高点的临界速度v0。

以水为研究对象，mg＝m错误!解得v0＝错误!＝错误!m/s ≈ 2.45 m/s(2）因为v ＝ 3 m/s>v0,故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。