最新人教版高中数学选修2-3《排列与组合》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、排列、排列数公式1.排列一般地，从ｎ个不同的元素中任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.(1)“一定的顺序”说明如果两个排列相同，那么不但所有元素相同，而且排列的顺序也要相同.如三个数的排列123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.(2)“ｎ个不同的元素”，所给的ｎ个元素不同，所取出的元素也就各不相同，也就是说如果某个元素被取出，就不能再取了，即无重复的排列.深化升华 判断一个具体问题是不是排列问题，就看从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素后，再安排这ｍ个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列.也就是说，排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列.如取出两个数做乘法就与顺序无关，就不是排列，做除法就与顺序有关，就是排列.2.排列数从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，用符号A m n 表示.排列数概念可以从集合的角度进行解释.例如：从ａ、ｂ、ｃ这三个不同的元素中任取两个元素的排列数的问题，就是集合A={ab,bc,ca,ba,cb,ac}的元素个数问题，显然card(A)=6.这里，由排列的定义知，集合A 中的元素ａｂ与ｂａ应视为不同的元素.辨析比较 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数.它是一个数.在写具体排列时，要按一定规律写，以免造成重复或遗漏.3.排列数公式（1）排列数公式：①连乘表示式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n -m+1).其中,n ，m ∈N *，且ｍ≤ｎ；②阶乘表示式：)!(!m n n A m n -=，其中n,m ∈N *，且ｍ≤ｎ. （2）全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的一个全排列.（3）阶乘：ｎ个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用n!表示，即n n A =n!.规定0!=1.（4）排列数性质：①m n A =n 11--m n A ；②m n A =mn m n A A 111---+. 记忆要诀 排列数的连乘表示式的右边是ｍ个数的连乘积，其特点是：第一个因数是ｎ，后面的每一个因数都比它前面的因数少1；最后一个因数是ｎ-ｍ+1，一共有ｍ个连续自然数的连乘积.方法归纳 对于排列数的两个形式的公式，连乘表示式常用于计算具体的含有数字的排列数的值；阶乘表示式则常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式.二、组合、组合数公式1.组合一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素合成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.组合定义中包含了两点：一是“取出元素”，二是“并成一组”.即与元素的顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同，即使只有一个元素不相同，就不是相同的组合.疑点突破 组合与排列的共同点是都要“从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”.不同点是前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.区分某一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关.在写出某个排列问题的所有排列时，采用“树形图”的写法较好；在写出某个组合问题的所有组合时，设计好程序，一般采用递进式的写法比较好，在书写时，要做到不重不漏.2.组合数从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从ｎ个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个具体的事件，不是一个数；而“组合数”是符合条件的所有组合的个数，它是一个数.方法归纳 处理排列组合应用题常用的方法有：①相邻元素归并法（捆绑法）；②相离元素插空法；③定位元素优先安排法；④有序分配依次分组法；⑤多元素不相容情况分类法；⑥交叉问题集合法；⑦混合问题先组合后排列法；⑧“至少”“至多”问题间接排除法.3.组合数公式（1）组合数的连乘表示式：由于m mm n m n A C A ∙=，因此， !)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n+---== ,这里，n,m ∈N *，并且ｍ≤ｎ. （2）组合数的阶乘表示式：)!(!!m n m n C m n -=，这里，n,m ∈N *，并且ｍ≤ｎ.可得1=n n C ,10=n C . （3）组合数的两个性质：①m n n m n C C -=；②11-+=m nm n m n C C C 深化升华 利用排列数公式和组合数公式进行计算、证明时，要正确地选用公式，同时注意m nm n C A ,中ｍ≤ｎ这个隐含条件.在利用组合数公式计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算m n C 时，若ｍ比较大，可利用性质①，不计算mn C 而改为计算m n n C -，在计算组合数之和时，常利用性质②.问题·探究问题1 某年中国足球超级联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？思路:将参加比赛的12个队看作12个元素，每一场比赛即为从12个不同元素中任取2个元素的一个排列，其中设排在前面的队为主场比赛.总共比赛的场次，就是从12个不同元素中任取2个元素的排列数，则212A =12×11=132场.探究：在解排列、组合应用问题时，要注意三点：①仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合；要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；②深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，不重不漏，要多角度分析，分类考虑；③对于有限制条件的比较复杂的排列组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单问题后运用分类加法或分步乘法计数原理来解决.问题2A 、B 、C 三地之间都有直达的汽车，某客运公司独家经营三地之间的客运直达业务，三地之间距离各不相同，而车票价格取决与路程的远近，并且任意两地之间的来回票价相同，问客运公司需要准备多少种票价的车票？需要准备多少种车票？思路:汽车票的种数与起点站、终点站有关，从A 地到B 地和从B 地到A 地是不同的，所以车票也不相同，也就是票的种数与顺序有关.而无论从哪儿到哪儿，票价不变，如从A 地到B 地和从B 地到A 地的票价相同，也就是票价与顺序无关.所以多少票价的车票，是从三个不同的元素A 、B 、C 中任取两个，不管怎样的顺序并成一组，是一个组合问题，种数为22323⨯=C =3种.而车票的种数相当于从三个元素中任取两个，然后按一定顺序排列，即23A =3×2=6种.探究：对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程进行分步.解决此类的实际应用题，通常从三个途径考虑：一是以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.二是以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.三是先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.典题·热题例1（2005辽宁高考）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有________个（用数字作答）思路分析:组成这样的八位数可以分成三步：第一步是把1与2、3与4、5与6捆绑看作三个整体排成一列，共有33A 种排法；第二步是把7与8插入第一步中的三个整体之间，共有24A 种排法；第三步是第一步当中的1与2、3与4、5与6之间的位置可以交换，共有222222A A A ∙∙种排法.所以组成这样的八位数共有2222222433A A A A A ∙∙∙∙=576个. 答案:576方法归纳 元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列，而元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的元素的普通元素全排列，然后在普通元素之间及两端插入不相邻元素.上述方法可归纳为：元素要相邻，看成一整体；元素不相邻，见缝插进去.例2(2005浙江高考)从集合{P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________________.(用数字作答)思路分析:本题若直接求解，则“每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个”要分“每排中字母Q 和数字0都不出现、只出现字母Q 、只出现数字0”三类考虑；若间接求解，则只须将总数4421024A C C ∙∙减去字母Q 和数字0都出现的排法种数441913A C C ，即不同的排法种数是4419134421024A C C A C C -∙∙=5 832答案:5 832拓展延伸 (2005福建高考)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A.300种B.240种C.144种D.96种思路分析:若直接求解，则“6人中甲、乙两人不去巴黎游览”要分为“甲、乙没有被选中；被选中一人但是去其他三个城市游览；被选中2人但是去其他三个城市游览”三类来考虑，显然较为复杂.若间接求解，则只须将总数46A 中减去甲、乙中有1人去巴黎游览的方案种数352A ，即不同的选择方案共有46A -235A =240种. 答案:B方法归纳 对排列问题或组合问题，当正面考虑较繁或难以下手时，不妨从反面入手，即用间接法.用间接法求解的常见题型有：至少型、至多型、否定型、重复型等. 例3判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（5）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？思路分析:根据排列与组合的定义进行判断，问题的关键是看这一事件有没有顺序.解:（1）是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的.排列数为210A =90种.（2）是组合问题.因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.组合数为210C =45种.（3）是组合问题.因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.组合数为210C =45种.（4）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为310C =120种.（5）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为310A =720种.方法归纳 区别排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合.例4用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个比1 325大的四位数？思路分析:该例中的每一个小题都是有限制条件的排列问题，除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”.我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题.解:（1）符合条件的四位偶数可以分为三类：第一类：0在个位时有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有14A 种.十位和百位从余下的数字中选，有24A 种，于是共有14A ·24A 个.第三类：4在个位时，与第二类同理，也有14A ·24A 个.由分类加法计数原理知，共有四位偶数的个数为35A +14A ·24A +14A ·24A =156个.（2）五位数中5的倍数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有54A 个；个位数上的数字是5的五位数有3414A A ∙个.故满足条件的五位数的个数共有54A +3414A A ∙=216个. （3）比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□,5□□□，共3514A A ∙个； 第二类：形如14□□,15□□，共有2412A A ∙个；第三类：形如134□,135□，共有2312A A ∙个.由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有：3514A A ∙+2412A A ∙+2312A A ∙=270个. 深化升华 不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有：奇偶数、位数关系、大小关系等，也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系等.解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决.例5有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.思路分析:本例集排列组合多种类型于一题，应充分利用元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法、捆绑法、插空法、等机会法等常见的解题思路.解:（1）方法一：元素分析法先排甲有6种，其余有88A 种.故共有6×88A =241 920种排法.方法二：位置分析法中间和两端有38A 种排法，包括甲在内的其余6人有66A 种排法，故共有38A ·66A =336×720=241 920种排法.方法三：等机会法9个人的全排列有99A 种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是99A ×96=241 920种.方法四：间接法99A -3×88A =688A =241 920种.（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有7722A A ∙=10 080种排法. （3）捆绑法：554422A A A ∙∙=5 760种. （4）插空法：先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插空，有55A 种方法，故共有44A ·55A =5 760种.（5）方法一：9人共有99A 种排法，其中甲、乙、丙三人有33A 种排法，因而在99A 种排法中每33A 种对应一种符合条件的排法，故共有3399A A =60 480种排法. 方法二：6639A C ∙=60 480种. 深化升华 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：（1）按事情发生的过程进行分步；（2）按元素的性质进行分类，具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径： ①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素;②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置;③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.例6求证：!111321443322n A n A A A n n-=-++++ 思路分析:等式左边是ｎ-1项的和，右边是两项的差，联想数列求和，与数列求和类似，考虑把它的一般项)!1(+m m 进行拆项，使中间的很多项相消，以求得它们的和. 解:!1!43!32!211321443322n n A n A A A n n-++++=-++++ ∵)!1(1!1)!1(1)1()!1(+-=+-+=+m m m m m m .所以左边=!11]!1)!1(1[)!41!31()!31!21()!211(n n n -=--++-+-+- 方法归纳 关于排列数的恒等式证明，一般都要选用排列数的阶乘表示式n n A =n!和)!(!m n n A m n -=.。