平面向量学习笔记
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a;坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a|向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0与任意向量平行零向量a =0 |a|=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别)③单位向量:模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 |0a|=1④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a大小相等,方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r(1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ,但这时必须“首尾相连”.3向量的减法① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有: (i ))(a =a ; (ii) a +(a )=(a )+a =0;(iii)若a 、b是互为相反向量,则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差, 记作:)(b a b a求两个向量差的运算,叫做向量的减法③作图法:b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b有共同起点)4实数与向量的积:①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:(Ⅰ)a a;(Ⅱ)当0 时,λa 的方向与a 的方向相同;当0 时,λa 的方向与a的方向相反;当0 时,0a ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理:向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ,使得b =a6平面向量的基本定理:如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数21, 使:2211e e a ,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点例1 给出下列命题:① 若|a r |=|b r |,则a r =b r;② 若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③ 若a r =b r ,b r =c r ,则a r =c r ,④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r;⑤ 若a r //b r ,b r //c r ,则a r //c r ,解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.② 正确.∵ AB DC u u u r u u u r ,∴ ||||AB DC u u u r u u u r且//AB DC u u u r u u u r ,又 A ,B ,C ,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则,//AB DC u u u r u u u r 且||||AB DC u u u r u u u r,因此,AB DC u u u r u u u r.③ 正确.∵ a r =b r ,∴ a r ,b r的长度相等且方向相同;又b r =c r ,∴ b r ,c r的长度相等且方向相同,∴ a r ,c r 的长度相等且方向相同,故a r =c r .④ 不正确.当a r //b r 且方向相反时,即使|a r |=|b r |,也不能得到a r =b r,故|a r |=|b r |且a r //b r 不是a r =b r的充要条件,而是必要不充分条件. ⑤ 不正确.考虑b r =0r这种特殊情况.综上所述,正确命题的序号是②③.点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复习一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点,试化简: ①AB BC CD u u u r u u u r u u u r ,②DB AC BD u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO u u u r u u u r u u u r u u u r解:①原式= ()AB BC CD AC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r②原式= ()0DB BD AC AC AC u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r例3设非零向量a r 、b r 不共线,c r =k a r +b r ,d r =a r +k b r (k R),若c r∥d r ,试求k解:∵c r∥d r∴由向量共线的充要条件得:c r=λd r (λ R) 即 k a r +b r =λ(a r +k b r ) ∴(k λ) a r+ (1 λk ) b r = 0r又∵a r 、b r不共线∴由平面向量的基本定理 1010k k k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ,由于a r 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a r的坐标,记作a r =(x,y),其中x 叫作a r在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算:(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ,则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ,则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y),则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ,则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ,则1212a b x x y y rr若a b rr ,则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ,2v a b rr r ,且//u v r r ,求实数x 的值解:因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r,2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ,2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ,即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB (O 为坐标原点)交点P 的坐标解:设(,)P x y ,则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上,也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得,(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三.平面向量的数量积 1两个向量的数量积:已知两个非零向量a r 与b r ,它们的夹角为 ,则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积(或内积) 规定0a r r2向量的投影:︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ,称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义: a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:22||a a a a r r r r5乘法公式成立: 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ;2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律:①交换律成立:a b b a r r r r②对实数的结合律成立:a b a b a b R r r r r r r③分配律成立: a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意:(1)结合律不成立: a b c a b c r r r r r r;(2)消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r(3)a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r,则a r ·b r =1212x x y y8a r与b r ,作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=(01800 )叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时,θ=00,当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800,同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直:如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直,记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥b a ·b=O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否:(1)00a r;(2)00a r r ;(3)若0,a a b a c r r r r r,则b c r r ;⑷若a b a c r r r r ,则b c r r 当且仅当0a rr 时成立; (5)()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立;(6)对任意向量a r,有22a a r r解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120,若2,3c a b d b a r r r r r r ,试求c r 与d r的夹角解:由题意,1a b r r ,且a r 与b r的夹角为0120,所以,01cos1202a b a b r r r r ,2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ,c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ,设 为c r与d r 的夹角, 则1829117137217cos1829117arccos点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r, 1,2b r ,,m a b r r r 2n a b r r r ,按下列条件求实数的值(1)m n r r ;(2)//m n r r;(3)m n r r 解: 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r (1)m n r r 082374 952;(2)//m n r r 072384 21 ;(3)m n r r 088458723422222点评:此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。
平面向量教案范文
平面向量教案范文一、教学目标1. 了解平面向量的概念,掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的加法、减法和数乘运算。
3. 理解向量的长度(模)和方向,学会计算向量的长度和求向量的方向。
4. 掌握向量共线的性质,学会判断两个向量是否共线。
5. 掌握向量垂直的性质,学会判断两个向量是否垂直。
二、教学内容1. 平面向量的概念:向量的定义、向量的表示方法(几何表示和坐标表示)。
2. 向量的加法、减法和数乘运算:三角形法则、平行四边形法则、数乘运算的定义和性质。
3. 向量的长度(模)和方向:长度的定义和计算、方向的求法。
4. 向量共线的性质:共线的定义、共线向量的性质和判定。
5. 向量垂直的性质:垂直的定义、垂直向量的性质和判定。
三、教学重点与难点1. 教学重点:向量的概念、表示方法、加法、减法和数乘运算、长度和方向的计算、共线和垂直的判定。
2. 教学难点:向量加法、减法和数乘运算的三角形法则和平行四边形法则、向量长度的计算、共线和垂直的判定。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法,讲解向量的概念、性质和运算规律。
2. 利用图形和实物模型,直观展示向量的加法、减法和数乘运算。
3. 运用例题和练习,巩固向量共线和垂直的判定方法。
4. 利用多媒体课件,动态演示向量的运算过程,提高学生的学习兴趣。
五、教学安排1. 第一课时:向量的概念和表示方法2. 第二课时:向量的加法、减法和数乘运算3. 第三课时:向量的长度(模)和方向4. 第四课时:向量共线的性质和判定5. 第五课时:向量垂直的性质和判定教案内容仅供参考,具体实施时请结合学生的实际情况和教学环境进行调整。
六、教学评估1. 课堂提问:通过提问了解学生对向量概念、运算和性质的理解程度。
2. 作业批改:检查学生对向量运算和性质的掌握情况,以及解题方法的运用。
3. 课堂练习:设置一些有关向量的题目,让学生现场解答,以检验其学习效果。
4. 单元测试:进行一次关于向量的测试,全面了解学生对本章节知识的掌握情况。
高一数学人教A版必修4课件:2.3.1 平面向量基本定理
跟踪训练 2 如图,已知△ABC 中,D 为 BC 的 中点,E,F 为 BC 的三等分点,若A→B=a,A→C
=b,用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D=A→B+B→D=A→B+12B→C =a+12(b-a)=12a+12b; A→E=A→B+B→E=A→B+13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解 决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向 量向基底化归,使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图,△ABC 中,A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同? 答 不相同,它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB,而C→A与A→B的夹 角为 π-∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2, b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a和b表示c. 解 ∵a,b不共线,
→→ 以OA,OB为邻边作平行四边形 OACB,则
→
→
OC=a+b,BA=a-b.
∵|a|=|b|,∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC=60°, B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC=30°. ∴a+b与a的夹角为60°,a-b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合,根据向量夹角的概念确定夹角,再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高三文科数学常考知识点整理归纳
高三文科数学常考知识点整理归纳数学已成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。
它应用于不同领域中,包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。
这次小编给大家整理了高三文科数学常考知识点,供大家阅读参考。
一、导数的应用1.用导数研究函数的最值确定函数在其确定的定义域内可导(通常为开区间),求出导函数在定义域内的零点,研究在零点左、右的函数的单调性,若左增,右减,则在该零点处,函数去极大值;若左边减少,右边增加,则该零点处函数取极小值。
学习了如何用导数研究函数的最值之后,可以做一个有关导数和函数的综合题来检验下学习成果。
2.生活中常见的函数优化问题1)费用、成本最省问题2)利润、收益问题3)面积、体积最(大)问题二、推理与证明1.归纳推理:归纳推理是高二数学的一个重点内容,其难点就是有部分结论得到一般结论,破解的方法是充分考虑部分结论提供的信息,从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征,由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征,破解的方法是利用已经掌握的数学知识,分析两类对象之间的关系,通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特征。
2.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理,简而言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。
三、不等式对于含有参数的一元二次不等式解的讨论1)二次项系数:如果二次项系数含有字母,要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论。
2)不等式对应方程的根:如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来,则根据这两个根的大小进行分类讨论,这时,两个根的大小关系就是分类标准,如果一元二次不等式对应的方程根不能通过因式分解的方法求出来,则根据方程的判别式进行分类讨论。
通过不等式练习题能够帮助你更加熟练的运用不等式的知识点,例如用放缩法证明不等式这种技巧以及利用均值不等式求最值的九种技巧这样的解题思路需要再做题的过程中总结出来。
3.2 平面向量基本定理 导学案(学生)
【例3】课本P84【例5】
【我的收获】
【学习笔记】
三、课后知能检测
课本84面第1.第2题
课本85面第5,6,7题
1.已知平行四边形ABCD,下列各组向量中,是该平面内所有向量基底的是()A.,B.,C.,D.,
2.下列关于基底的说法正确的序号是()
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底;
如果e1和e2(如图2-3-7①)是同一平面内的的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在一对实数λ1,λ2,使(如图2-3-7②),其中的向量e1和e2叫作表示这个平面内所有向量的一组.
【预习自测】1.设e1,e2是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是().
A.e1+e2和e1-e2B.3e1-2e2和4e2-6e1
(2)对于平面α内任意一个向量a,使得a=λe1+μe2成立的实数λ,μ有无数对;
(3)线性组合λe1+μe2可以表示平面α内的所有向量;
(4)当λ,μ取不同的值时,向量λe1+μe2可能表示同一向量.
【思路探究】 根据平面向量基本定理和基底的概念加以判断.
变式:设e1、e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2.其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_______.(写出所有满足条件的序号)
(1)若ae1+be2=ce1+de2(a、b、c、d∈R),则a=c,b=d;
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么该平面内的任一向量可以用e1+e2、e1-e2表示出来.
10.已知=λ(λ∈R),O是平面内任意一点(O不在直线AB上).
2023年数学必修二第二章知识点
2023年数学必修二第二章知识点2023年数学必修二第二章知识点1直线与平面有几种位置关系直线与平面的关系有3种:直线在平面上,直线与平面相交,直线与平面平行。
其中直线与平面相交,又分为直线与平面斜交和直线与平面垂直两个子类。
直线在平面内——有无数个公共点;直线与平面相交——有且只有一个公共点;直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。
直线与平面垂直的判定:如果直线L与平面α内的任意一直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
线面平行:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。
直线与平面的夹角范围[0,90°]或者说是[0,π/2]这个范围。
当两条直线非垂直的相交的时候,形成了4个角,这4个角分成两组对顶角。
两个锐角,两个钝角。
按照规定,选择锐角的那一对对顶角作为直线和直线的夹角。
直线的方向向量m=(2,0,1),平面的法向量为n=(-1,1,2),m,n夹角为θ,cosθ=(m_n)/|m||n|,结果等于0.也就是说,l和平面法向量垂直,那么l平行于平面。
l和平面夹角就为0°提高数学成绩的技巧是什么课内重视听讲,课后及时复习接受一种新的知识,主要实在课堂上进行的,所以要重视课堂上的学习效率,找到适合自己的学习方法,上课时要跟住老师的思路,积极思考。
下课之后要及时复习,遇到不懂的地方要及时去问,在做作业的时候,先把老师课堂上讲解的内容回想一遍,还要牢牢的掌握公式及推理过程,尽量不要去翻书。
尽量自己思考,不要急于翻看答案。
还要经常性的总结和复习,把知识点结合起来,变成自己的知识体系。
多做题,养成良好的解题习惯要想学好数学,大量做题是必可避免的,熟练地掌握各种题型,这样才能有效的提高数学成绩。
刚开始做题的时候先以书上习题为主,答好基础,然后逐渐增加难度,开拓思路,练习各种类型的解题思路,对于容易出现错误的题型,应该记录下来,反复加以联系。
数学必修四知识点(15篇)
数学必修四知识点(15篇)数学必修四知识点1平面向量戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2).向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+=+(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律);两个向量共线的充要条件:(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b=.(2)若=(),b=()则‖b.平面向量基本定理:若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只有一对实数,,使得=e1+e2 高考数学必修四学习方法养成良好的课前和课后学习习惯:在当前高中数学学习中,培养正确的学习习惯是一项重要的学习技能。
虽然有一种刻板印象的猜疑,但在高中数学学习真的是反复尝试和错误的。
学生们不得不预习课本。
我准备的数学教科书不是简单的阅读,而是一个例子,至少十分钟的思考。
在使用前不能通过学习知识解决问题的情况下,可以在教学内容中找到答案,然后在教材中考察问题的解决过程,掌握解决问题的思路。
同时,在课堂上安排笔记也是必要的。
在高中数学研究中,建议采用两种形式的笔记,一种是课堂速记,另一种是课后笔记。
这不仅提高了课堂记忆的吸收能力,而且有助于对笔记内容的查询。
高考数学必修四学习技巧养成良好的学习数学习惯多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。
学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的'脑海中。
良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
及时了解、掌握常用的数学思想和方法中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。
有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。
平面向量基本定理及坐标表示
B.(2, 1) 2
D.(1,3)
解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ∴BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D(x,y),∵AD =(x,y-2)B,C =2AD , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=7 .
2
2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x等于(B )
2
8-2x= (16+x)
题型分类 深度剖析
题型一 平面对量基本定理 【例1】如图所示,在平行四边形ABCD中,
M,N分别为DC,BC旳中点,已知AM =c, AN =d,试用c,d表达AB ,AD .
思维启迪 直接用c、d表达AB、AD有难度,可换一 种角度,由 AB、AD表达 AM、AN ,进而解方程组可 求 AB、 A.D
(x-4)2+(y-1)2=1,
2分 4分 6分
8分
解得
x 4
5 5
或x 4
5 5
.
y
1
25 5
y
1
2
5
5
10分
d ( 20 5 , 5 2 5 )或d ( 20 5 , 5 2 5 ). 12分
5
5
5
5
探究提向升量平行旳坐标公式实质是把向量问题转 化为实数旳运算问题.经过坐标公式建立参数旳方 程,经过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程 思想在向量中旳应用.
知能迁移3 已知点O(0,0),A(1,2),B(4, 5)且 OP OA t AB, (1)求点P在第二象限时,实数t旳取值范围; (2)四边形OABP能否为平行四边形?若能,求出 相应旳实数t;若不能,请阐明理由. 解 ∵O(0,0),A(1,2),B(4,5), ∴ OA =(1,2),AB =(4-1,5-2)=(3,3). (1)设P(x,y),则OP =(x,y),若点P在第 二象限, 则 x<0 且(x,y)=(1,2)+t(3,3), y>0
平面向量加减法口诀
向量的加法口诀: 首尾相连,首连尾,方向指向末向量。
以第一个向量的起点为起点,以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的和向量。
二、向量的减法两向量做减法运算,图像如下图所示:向量的减法口诀: 首首相连,尾连尾,方向指向被减向量。
以第一个向量的终点为起点,以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量。
向量的学习是高一数学必修四第二章的内容,要求同学们会向量的基本运算,其中就包括加法、减法、数乘。
要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算,学会运用图像解决向量加减法,向量的数乘等问题。
向量的相关题目难度也不是很大,只要大家认真学习,认真做好笔记,认真做做题目,总结做题规律,那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识,做起来也很顺手,再细心点的话,得满分也没有问题。
学习方法很多,重要的事找到适合自己的方法,当然适合自己方法就是最好的方法。
附一;三角形定则解决向量加减的方法将各个向量依次首尾顺次相接,结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
注:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 3、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质:∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.。
新高一数学知识点笔记整理
新高一数学知识点笔记整理高一是学习数学的重要阶段,本文将整理高一数学的知识点笔记,帮助同学们系统地掌握和复习数学知识。
以下是各个知识点的简要概述:一、函数与方程1. 函数的定义与性质- 函数的定义- 定义域与值域- 函数的性质:奇偶性、单调性和周期性等2. 一次函数与二次函数- 一次函数的特征与性质- 一次函数的图像与应用- 二次函数的特征与性质- 二次函数的图像与应用3. 幂函数与指数函数- 幂函数的性质与图像- 指数函数的性质与图像- 对数函数与指数函数之间的关系二、空间与图形1. 空间几何基础- 点、线、面的基本概念- 平面与空间中的几何关系- 空间几何证明基本方法2. 三角学- 三角函数的定义与性质- 三角函数的图像与应用- 三角恒等式与解三角方程3. 平面向量与立体几何- 平面向量的性质与运算- 点、直线、平面在空间中的位置关系 - 立体几何的基本概念与性质三、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 数列的定义与常见类型- 数列的通项公式与递推关系- 数列的极限与收敛性判定2. 等差数列与等比数列- 等差数列的性质与求和公式- 等比数列的性质与求和公式- 应用场景与解题技巧3. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想与证明方法 - 数学归纳法的应用与扩展四、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件的定义与性质- 概率的计算与性质- 条件概率与事件独立性2. 统计与统计图表- 数据的收集与整理- 统计图表的绘制与解读- 常用的统计量与数据分析方法3. 概率与统计的应用- 随机变量与概率分布- 正态分布的性质与应用- 抽样与假设检验通过对以上知识点的整理与复习,相信同学们能够更好地掌握高一数学的重要内容。
希望同学们能够利用笔记中的知识点进行系统性学习和课外拓展,为今后的学习打下坚实的基础。
祝愿大家在数学学习中取得优异的成绩!。
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是二维空间中的量,可以表示平面上的位移、速度、加速度等物理量。
平面向量的运算和性质有很多,下面是一些平面向量的基本公式。
1.平面向量的定义:设有平面内两点A(x1,y1)和B(x2,y2),则点A到点B的位移向量可以表示为:AB=(x2-x1,y2-y1)。
2.平移:若有向量AB,向量AC的表示式为:AC=AB+BC。
3.等比例划分:若有向量AB,其等比例划分的点是M,AM:MB=λ:μ,则向量AM和向量MB满足:AM=(λ/(λ+μ))AB,MB=(μ/(λ+μ))AB。
4.向量的共线性:若有向量AB和CD,若存在实数k,使得AB=kCD,则称向量AB和CD 共线。
5.向量的平行性:若有向量AB和CD,若存在实数k,使得AB=kCD,则称向量AB和CD 平行。
6.向量的加法:若有向量AB和CD,则AB+CD=AD。
7.向量的减法:若有向量AB和CD,则AB-CD=AD。
8.向量的数量积:设有向量A(x1,y1)和B(x2,y2),其数量积AB=x1x2+y1y29.向量的模长:设有向量A(x,y),其模长,A,=√(x^2+y^2)。
10.向量的单位向量:设有非零向量A(x,y),其单位向量A'=A/,A。
11.向量的夹角:设有非零向量A和B,其夹角θ满足:cosθ = (A·B)/(,A,B,)。
12.向量的垂直性:若有向量A和B,若A·B=0,则称向量A和B垂直。
13.平面向量的线性相关性:若有向量A和B,若存在实数k,使得A=kB,则称向量A和B线性相关。
14.平面向量的线性无关性:若有向量A和B,若只有当k=0时,A=kB,任意实数k都无法使得A=kB,则称向量A和B线性无关。
15.平面向量的正交基:若有向量A和B,若A·B=0,并且,A,≠0,B,≠0,则称向量A和B为正交基。
16.平面向量的投影:若有向量A和B,其夹角为θ,则A在B上的投影长度为:,Acosθ。
2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合,考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算,凸显数学运算、直观想象的核心素养.2.与向量的坐标表示相结合,考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算,凸显数学运算的核心素养. 3.以平面图形为载体,考查向量数量积的应用,凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养.【知识点展示】(一)平面向量基本定理(1)定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.(2)基底:不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (二)平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB →|=x 2-x 12+y 2-y 12.(三)平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中a ≠0,b ≠0,a ,b 共线⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (四)平面向量数量积的坐标表示设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ=〈a ,b 〉. 结论 几何表示 坐标表示模 |a |=a ·a |a |=x 21+y 21数量积 a ·b =|a ||b |cos θ a ·b =x 1x 2+y 1y 2 夹角 cos θ=a ·b|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22a ⊥ba ·b =0 x 1x 2+y 1y 2=0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2+y 1y 2|≤x 21+y 21·x 22+y 22设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__,即a·b =__x 1x 2+y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2+y 1y 2=0__12211212(六)常用结论1.若a 与b 不共线,且λa +μb =0,则λ=μ=0.2.已知P 为线段AB 的中点,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1+x 22,y 1+y 22.3.已知△ABC 的重心为G ,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则G ⎝⎛⎭⎫x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33【常考题型剖析】题型一:平面向量基本定理的应用例1.(2015·四川·高考真题(理))设四边形ABCD 为平行四边形,6AB =,4AD =.若点M ,N 满足3,2BM MC DN NC ==,则AM NM ⋅=( )A .20B .15C .9D .6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==, 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=, 故选C.例2.(2017·天津·高考真题(文))在ABC 中,60A ∠=︒,3AB =,2AC =. 若2BD DC =,()AE AC AB R λλ=-∈,且4AD AE ⋅=-,则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 题型二:平面向量的坐标运算例3.(2022·全国·高考真题(文))已知向量(2,1)(2,4)a b ==-,,则a b -( ) A .2 B .3 C .4 D .5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -,然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-,所以245-=+=a b .故选:D例4.(2022·全国·高考真题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ,若,,<>=<>a c b c ,则t =( ) A .6- B .5- C .5 D .6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解:()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选:C例5.(2018·全国·专题练习)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ,则λ+μ的最大值为( )A .3B .CD .2【答案】A【解析】 【详解】如图所示,建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=,()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=,若满足AP AB AD λμ=+,则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ,,12x y μλ==-,所以12xy λμ+=-+, 设12x z y =-+,即102x y z -+-=,点(),Px y 在圆()22425x y -+=上, 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤,所以z 的最大值是3,即λμ+的最大值是3,故选A.例6.(2018·江苏·高考真题)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,()5,0B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=,则点A 的横坐标为________. 【答案】3 【解析】 【详解】分析:先根据条件确定圆方程,再利用方程组解出交点坐标,最后根据平面向量的数量积求结果. 详解:设(),2(0)A a a a >,则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=,与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭,由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-,因为0a >,所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 题型三:平面向量共线的坐标表示例7.(2021·全国·高考真题(文))已知向量()()2,5,,4a b λ==,若//a b ,则λ=_________.【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程,解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得:2450λ⨯-⨯=, 解方程可得:85λ=.故答案为:85.例8.(2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习)已知()1,3A ,()2,2B -,()4,1C . (1)若AB CD =,求D 点的坐标;(2)设向量a AB =,b BC =,若ka b -与3a b +平行,求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】(1)根据题意设(,)D x y ,写出,C AB D 的坐标,根据向量相等的坐标关系求解;(2)直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ,又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -, 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--, 因为=AB CD ,所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩,得54x y =⎧⎨=-⎩,所以4(5,)D -. (2)由题意得,(1,5)a =-,(2,3)b =, 所以=(2,53)ka b k k ----,3(7,4)a b +=, 因为ka b -与3a b +平行,所以4(2)7(53)0k k ----=,解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.(2)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若1122()()a x y b x y =,,=,,则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便. 题型四:平面向量数量积的运算例9.【多选题】(2021·全国·高考真题)已知O 为坐标原点,点()1cos ,sin P αα,()2cos ,sin P ββ-,()()()3cos ,sin P αβαβ++,1,0A ,则( ) A .12OP OP = B .12AP AP = C .312OA OP OP OP ⋅=⋅ D .123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ,2OP 、1AP ,2AP 的坐标,利用坐标公式求模,即可判断正误;C 、D 根据向量的坐标,应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简,即可判断正误. 【详解】A :1(cos ,sin )OP αα=,2(cos ,sin )OP ββ=-,所以1||cos 1OP ==,2||(cos 1OP==,故12||||OP OP =,正确;B :1(cos 1,sin )AP αα=-,2(cos 1,sin )AP ββ=--,所以1||(cos 2|sin|2AP α===,同理2||(cos 2|sin|2AP β=,故12||,||AP AP 不一定相等,错误;C :由题意得:31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+,12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+,正确;D :由题意得:11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=,23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+,故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误;故选:AC例10.(2019·天津·高考真题(文)) 在四边形ABCD 中,AD BC ∥,AB =,5AD = ,30A∠=︒ ,点E 在线段CB 的延长线上,且AEBE =,则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系,则B ,5)2D . 因为AD∥BC ,30BAD ∠=︒,所以150CBA ∠=︒,因为AE BE =,所以30BAE ABE ∠=∠=︒,所以直线BEy x=-,直线AE的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-, 所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.例11.(2020·北京·高考真题)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足1()2AP AB AC =+,则||PD =_________;PB PD ⋅=_________.【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系,求得点P 的坐标,利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ,()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=, 则点()2,1P ,()2,1PD ∴=-,()0,1PB =-,因此,(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法:已知向量的模与夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即a ·b =|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角).(2)基向量法:计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解.(3)坐标法:若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解. 2.总结提升:公式a·b =|a||b|cos<a ,b >与a·b =x 1x 2+y 1y 2都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b =|a||b|cos<a ,b >求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b =x 1x 2+y 1y 2求解. 题型五:平面向量的模、夹角例12.(2022·四川省内江市第六中学模拟预测(理))已知向量()1,2a =,5a b ⋅=,8a b +=,则b =( ) A .6 B .5 C .8 D .7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ,再将8a b +=两边平方,结合数量积的运算,即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得:2||12a =+,由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=, 即得249,||7b b ==,故选:D例13.(2018·浙江高考真题)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2−4e·b+3=0,则|a −b|的最小值是( ) A .√3−1 B .√3+1 C .2 D .2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n),则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x , 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1,为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹,一个为直线,一个为圆,再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.(2021·湖南·高考真题)已知向量(1,2)a =-,(3,1)b =-,则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示,即可求解.【详解】()21,3a b +=,所以2213a b +=+=例15.(2019·全国·高考真题(文))已知向量(2,2),(8,6)a b ==-,则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+.例16.(2017·山东·高考真题(理))已知1e ,2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°,则实数λ的值是_ _.【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义,列出方程解方程即可求出λ的值.【详解】解:由题意,设1e =(1,0),2e =(0,1),12e -=1), 1e +λ2e =(1,λ);又夹角为60°,12e -)•(1e +λ2e )=λ=2cos60°,λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ,b 是非坐标形式时,求a 与b 的夹角θ,需求出a ·b 及|a |,|b |或得出它们之间的关系;(2)若已知a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),则cos 〈a ,b 〉=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22. 提醒:〈a ,b 〉∈[0,π].2.平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的,求向量a 的模可直接利用公式|a |=x 2+y 2.②若向量a ,b 是以非坐标形式出现的,求向量a 的模可应用公式|a |2=a 2=a ·a ,或|a ±b |2=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法:把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.②几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.题型六:两个向量垂直问题例17.(2016·全国·高考真题(理))已知向量()()1,3,2a m b ==-,,且()a b b +⊥,则m =( ) A .−8B .−6C .6D .8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-,又()a b b +⊥,∴3×4+(﹣2)×(m ﹣2)=0,解得m =8.故选D .例18.(2022·全国·高考真题(文))已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+.若a b ⊥,则m =______________.【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0a b m m ⋅=++=,解得34m =-. 故答案为:34-. 例19.(2022·全国·高三专题练习)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=,则c 的最大值是_________.【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标,设(,)c x y =,利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程,即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量,故不妨设(1,0),(0,1)a b ==,设(,)c x y =,由()()20a c b c -⋅-=得:(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=,即2(1)(12)0x x y y ----=,即22115()()2416x y -+-=,则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20.(2020·全国高考真题(理))已知单位向量a →,b →的夹角为45°,k a b →→-与a →垂直,则k =__________.【解析】 由题意可得:211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=, 由向量垂直的充分必要条件可得:0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭,即:202k a a b k →→→⨯-⋅=-=,解得:2k =.. 【规律方法】1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值(涉及向量垂直问题为高频考点)根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.3.已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下:a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1,即x 1y 2-x 2y 1=0;a ⊥b ⇔x 1x 2=-y 1y 2,即x 1x 2+y 1y 2=0.两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.。
高中数学平面向量学习笔记
高中数学平面向量学习笔记一、基本概念1、把既有大小又有方向的量称为向量2、向量的大小称为向量的长度(或称为模),长度为0的向量称为零向量,长度等于1个单位长度的向量称为单位向量。
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
4、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
5、任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上,故平行向量又称为共线向量。
6、把与向量a长度想等,方向相反的的向量叫做a的相反向量,并且规定零向量的相反向量仍是零向量。
7、求两个向量和的运算叫做向量的加法。
8、根据向量加法定义得出的求向量和的方法叫做向量的加法三角形法则。
9、对于两个不共线的非零向量,我们还可以做平行四边形来求两个向量的和,这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。
10、求两个向量差的运算叫做向量的加法,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
11、一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度和方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与方向相反:当λ=0时,λa =0;当λ=0时,λa =0. 实数λ与向量a 相乘,叫做向量的乘数。
根据向量的乘数定义,可以验证向量乘数满足下列的运算律 (1)λ(a μ)=(λμ)a ;(2)(λ+μ)a=λa+μa (3)λ(a+b )=λa+λb12、 如果有一个实数λ,使b=λa(a ≠0),那么b 与a 是共线向量;反之,如果b 与a (a ≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa 。
13、 平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ,2λ,使a=1λ1e +2λ2e .14、 把不共线的向量1e ,2e ,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
15、 一个平面向量用组基底1e ,2e 表示成a=1λ1e +2λ2e 的形式,我们称它为向量a 的分解。
平面向量知识点易错点归纳
§5.1 平面向量的概念及线性运算1.2.三角形法则3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa . 方法与技巧1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线.如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线,则AB ∥CD ;若AB →∥BC →,则A 、B 、C 三点共线. 失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.§5.2 平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a |=x 21+y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 3.平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. 方法与技巧1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键. 2.平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是a =λb ,这与x 1y 2-x 2y 1=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个向量,然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范1.要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两种信息;两个向量共线有方向相同、相反两种情况.2.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2=y 1y 2,因为x 2,y 2有可能等于0,所以应表示为x 1y 2-x 2y 1=0.§5.3 平面向量的数量积1.平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则数量|a ||b |cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a ·b =|a ||b |cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b =0,两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b =±|a||b|. 2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e·a =a·e =|a |cos θ;(2)非零向量a ,b ,a ⊥b ⇔a·b =0; (3)当a 与b 同向时,a·b =|a||b|;当a 与b 反向时,a·b =-|a||b|,a·a =a 2,|a |=a·a ;(4)cos θ=a·b|a||b|;(5)|a·b |__≤__|a||b|.4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b =b·a (交换律);(2)(λa )·b =λ(a·b )=a ·(λb )(λ为实数); (3)(a +b )·c =a·c +b·c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2,由此得到 (1)若a =(x ,y ),则|a |2=x 2+y 2或|a |=x 2+y 2.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A 、B 两点间的距离|AB |=|AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. (3)设两个非零向量a ,b ,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 方法与技巧1.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法:利用公式|a |2=a 2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 失误与防范1.(1)0与实数0的区别:0a =0≠0,a +(-a )=0≠0,a ·0=0≠0;(2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.2.a·b =0不能推出a =0或b =0,因为a·b =0时,有可能a ⊥b .§5.4 平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.(3)求夹角问题,利用夹角公式cos θ=a·b|a||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22 (θ为a 与b 的夹角).2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积.即W=F·s=|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角).3.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合,当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上,可以解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质.方法与技巧1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.3.向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.失误与防范1.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价.2.注意向量共线和两直线平行的关系;两向量a,b夹角为锐角和a·b>0不等价.。
2021年数学向量知识点10篇
2021年数学向量知识点10篇数学向量知识点1数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣∣a∣。
当0时,a与a同方向;当0时,a与a反方向;当=0时,a=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数,都有a=0。
注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。
实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍;当∣∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:(a)b=(ab)=(ab)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(+)a=a+a.数对于向量的分配律(第二分配律):(a+b)=a+b.数乘向量的消去律:①如果实数0且a=b,那么a=b。
②如果a0且a=a,那么=。
数学向量知识点21、平面向量基本概念有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B 为终点的有向线段记作或AB;向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|;零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。
(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆);相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;平行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量,零向量与任意向量平行,即0//a;单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
2、平面向量运算加法与减法的代数运算:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2)。
向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律:+=+(交换律);+(+c)=(+)+c (结合律);实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。
平面向量加乘法除法口诀
平面向量加乘法除法口诀
一、向量的加法
两个向量做加法运算就是向量的加法,是一种向量的运算。
首先我们来看图像。
向量加法图像
向量的加法口诀:首尾相连,首连尾,方向指向末向量。
二、向量的减法
两向量做减法运算,图像如下图所示:
向量的减法图像
向量的减法口诀:首首相连,尾连尾,方向指向被减向量。
向量的学习是高一数学必修四第二章的内容,要求同学们会向量的基本运算,其中就包括加法、减法、数乘。
要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算,学会运用图像解决向量加减法,向量的数乘等问题。
向量的相关题目难度也不是很大,只要大家认真学习,认真做好笔记,认真做做题目,总结做题规律,那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识,做起来也很顺手,再细心点的话,得满分也没有问题。
学习方法很多,重要的事找到适合自己的方法,当然适合自己方法就是最好的方法。
最后祝同学们学业有成,更上一层楼。
平面向量的基本定理及坐标表示重难点解析版
突破6.3 平面向量的基本定理及坐标表示一、学情分析二、学法指导与考点梳理知识点一 平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 平面向量的坐标运算运算 坐标表示和(差) 已知a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2) 数乘 已知a =(x 1,y 1),则λa =(λx 1,λy 1),其中λ是实数 任一向量的坐标已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ―→=(x 2-x 1,y 2-y 1)设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b≠0,则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.,(1)基底e 1,e 2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)如果对于一组基底e 1,e 2,有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2,则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1=μ1,λ2=μ2.三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念(一) 平面向量的基本定理与坐标表示 知识点1 平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,其中e 1,e 2是一组基底.例1.(1).(2019·江西高一期末)设12,e e 是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是( ) A .21e e -与12e e - B .1223e e +与1246e e -- C .12e e +与12e e - D .121128e e -+与1214e e - 【答案】C 【解析】由12,e e 是平面内的一组基底,所以1e 和2e 不共线,对应选项A :21e e -()12e e =--,所以这2个向量共线,不能作为基底; 对应选项B :1223e e +()121462e e =---,所以这2个向量共线,不能作为基底; 对应选项D :121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,所以这2个向量共线,不能作为基底;对应选项C :12e e +与12e e -不共线,能作为基底. 故选:C .(2).(2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末)如图,等腰梯形ABCD 中,3AB BC CD AD ===,点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点,点F 为线段BC 的中点,则FE =( )A .21318BA BC -+B .21318BA BC +C .41318BA BC +D .21318BA BC -【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解. 【详解】由题可得:FE FC CE =+ 1232BC CD =+ ()1223BC CB BA AD =+++ 121233BC BC BA BC ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭21318BA BC =+. 故选:B .【变式训练1-1】、(2021·全国·高一课时练习)若{}12e e ,是平面内的一个基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A .12e e -,21e e - B .12e e -,12e e + C .212e e -,212e e -+ D .122e e +,124e 2e +【答案】B 【解析】 【分析】不共线的向量能作为基底,逐一判断选项即可. 【详解】不共线的向量能作为基底,因为()1221e e e e -=--,所以向量12e e -,21e e -共线,故排除A ;假设1212(e e e e λ-=+),解得=1=1λλ⎧⎨-⎩,无解,所以向量12e e -,12e e +不共线,故B 正确;因为()212122e e e e =-+--,所以212e e -,212e e +-共线,故排除C ; 因为()121212422e e e e =++,所以122e e +,1224e e +共线,故排除D , 故选:B【变式训练1-2】、(2022·江西上饶·一模(理))如图,在ABM 中,3BM CM =,27AN AM =,若AN AB AC λμ=+,则λμ+=( )A .17-B .17C .27-D .27【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算把AN 用,AB AC 表示出来后可得结论. 【详解】 ()22227777AN AM AB BM AB BM ==+=+ 2232313()7727777AB BC AB BA AC AB AC =+⨯=++=-+, 所以13,77λμ=-=,132777λμ+=-+=,故选:D(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)(b ≠0),则a±b =(x 1±x 2,y 1±y 2). (2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1). (3)若a =(x ,y ),λ∈R ,则λa =(λx ,λy ). (4)a ·b =x 1x 2+y 1y 2.(5)|a |=x 21+y 21.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.例2.(1).(2021·安徽·泾县中学高三阶段练习(文))已知平面向量()()2,3,24,5a a b =--=,则a b =___________.【答案】3 【解析】 【分析】设(),=b x y ,利用()24,5-=a b ,求得b ,再利用数量积公式可得多大啊. 【详解】设(),=b x y ,由已知得224325x y --=⎧⎨-=⎩,解得31x y =-⎧⎨=-⎩,即()3,1b =--,所以()()2,33,1633⋅=-⋅--=-=a b . 故答案为:3.(2).(2022·全国·高一专题练习)已知A (1,2),B (3,-1),C (3,4),则AB AC ⋅等于( ) A .11 B .5 C .-1 D .-2【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量数量积的坐标运算即可解决 【详解】∵()2,3AB =-,()2,2AC = ∴()22322AC AB ⋅=⨯+-⨯=- 故选: D .(3).(2022·山东济南·二模)若平面向量a 与b 同向,(2,1)a =,||25b =,则b =( ) A .(4,2)B .(2,4)C .(6,3)D .(4,2)或(2,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,设()0b a λλ→→=>,进而根据||25b →=b →. 【详解】因为,a b →→同向,所以设()0b a λλ→→=>,则22||215252b λλλ→=+==,于是,()4,2b →=. 故选:A.【变式训练2-1】、(2022·全国·高三专题练习)已知向量()()2,6,1,a b λ==-,若//a b ,则a b λ+=______. 【答案】(5,15) 【解析】 【分析】由向量平行得3λ=-,再进行向量的坐标运算即可得答案. 【详解】解:因为()()2,6,1,a b λ==-,//a b , 所以62λ-=,解得3λ=-, 所以()()()2,631,35,15a b λ+=---=. 故答案为:()5,15【变式训练2-2】、(2022·青海西宁·高一期末)设()3,1OM =,()5,1ON =--,则MN =( ). A .()8,2-- B .()8,2C .()8,2-D .()2,2-【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标的减法运算可得答案. 【详解】因为()3,1OM =,()5,1ON =--,所以()()()5,13,18,2=-=---=--MN ON OM . 故选:A.(三) 平面向量的数量积 知识点3.平面向量数量积1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角:已知两个非零向量a 和b ,记OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义:已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积,记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ.规定:0·a =0.(3)数量积的几何意义:数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质设a ,b 都是非零向量,e 是与b 方向相同的单位向量,θ是a 与e 的夹角,则 (1)e·a =a·e =|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时,a·b =|a||b|;当a 与b 反向时,a·b =-|a||b|. 特别地,a·a =|a|2或|a|=a ·a . (3)cos θ=a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3.平面向量数量积的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a ,b 的夹角为θ,则 (1)a ·b =x 1x 2+y 1y 2.(2)|a |=x 21+y 21.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. (3)cos θ=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.例3.(1).(2022·陕西·高三期末(文))已知向量(1,7a =-,3b =,36a b ⋅=,则a 与b 的夹角为( ) A .6πB .4π C .3π D .23π 【答案】A 【解析】 【分析】先计算向量a 的模,再根据向量数量积的定义,将36a b ⋅=展开,即可求得答案.因为(1,7a =-,所以22||1(7)22a =+-= 又因为36a b ⋅=,设a 与b 的夹角为θ ,[0,]θπ∈ , 所以||||cos 36a b θ=,即23cos 36θ⨯=, 解得3cos θ=,故6πθ= ,故选:A.(2).(2021·重庆一中高三阶段练习)(多选题)已知平面向量()1,2a =,()2,1b =--,则下列命题中正确的有( ) A .a b > B .2a b +=C .a b ⊥D .4cos ,5a b =-【答案】BD 【解析】 【分析】由向量的定义判断A ,由模的坐标表示求出模判断B ,根据垂直的坐标表示判断C ,由数量积求得向量的夹角余弦判断D . 【详解】对于A ,由于向量不能比较大小,故A 错误; 对于B ,∵()1,1a b =-+,∴()22112a b +=-+=B 正确;对于C ,∵()()122140a b ⋅=⨯-+⨯-=-≠,∴a b ⊥不成立,故C 错误; 对于D ,∵(12214cos ,555a b a b a b⨯-+⨯-⋅===-⨯,故D 正确.故选:BD .【变式训练3-1】.(2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习)(多选题)向量(cos ,sin )a θθ=,(3,1)b =,则2a b -的值可以是( ) A .2 B .22C .4D .2【答案】ABC 【解析】 【分析】利用公式表达出2a b -,利用三角函数恒等变换,求出2a b -的范围,进而求出结果.())()22cos ,2sin 3,12cos 3,2sin 1a b θθθθ-=-=-,所以()()22π22cos 32sin 1843cos 4sin 88sin 3a b θθθθθ⎛⎫-=-+----+ ⎪⎝⎭因为[]πsin 1,13θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以[]π88sin 0,163θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,[]20,4a b -∈,显然ABC 均满足题意.故选:ABC【变式训练3-2】.(2022·山东济南·高三期末)(多选题)已知平面向量()1,0a =,()1,23b =,则下列说法正确的是( ) A .16a b +=B .()2a b a +⋅=C .向量a b +与a 的夹角为30°D .向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A ; 根据向量数量积的坐标表示即可判断B ; 根据()cos ,a b a a b aa b a+⋅+=+即可判断C ; 根据投影向量的定义即可判断D. 【详解】解:(2,23a b +=,则4124a b +=+,故A 错误;()2a b a +⋅=,故B 正确;()1cos ,2a b a a b aa b a+⋅+==+,又0,180a b a ︒≤+≤︒,所以向量a b +与a 的夹角为60°,故C 错误;向量a b +在a 上的投影向量为()2a b a a a a+⋅=,故D 正确. 故选:BD.(四) 平面向量的应用(平行与垂直)知识点1 平面向量的平行与垂直若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)(b ≠0),则a±b =(x 1±x 2,y 1±y 2).(1)如果a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件为x 1y 2-x 2y 1=0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2=y 1y 2,因为x 2,y 2有可能等于0.判断三点是否共线,先求每两点对应的向量,然后再按两向量共线进行判定.(2)如果a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.x 1y 2-x 2y 1=0与x 1x 2+y 1y 2=0不同,前者是两向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)共线的充要条件,后者是它们垂直的充要条件.例4.(1)、(2021·安徽·六安一中高三阶段练习(文))已知()1,2a m =+-,()2,3b m =+,若a b ⊥,则m =______. 【答案】1或4- 【解析】 【分析】根据向量垂直得到等量关系,求出结果. 【详解】由题意得:()()1260m m ++-=,解得:1m =或4-,经检验,均符合要求. 故答案为:1或4-(2)、(2022·陕西宝鸡·一模(理))已知平面向量()1,a m =-,()2,3b m =-,若a b ∥,则m =___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由a b ∥,列方程求解即可 【详解】因为平面向量()1,a m =-,()2,3b m =-,且a b ∥, 所以23m m =-,得3m =-, 故答案为:3-(3)、(2022·辽宁·高一期末)已知向量()1,a m =-,()2,4b =,若a 与b 共线,则m =( ) A .1-B .1C .2-D .2【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】由题意得24m =-,即2m =-. 故选:C【变式训练4-1】、(2022·广东湛江·高二期末)已知向量()2,3a =-,()1,2b =-,且()a kb a +⊥,则k =___________.【答案】138【解析】 【分析】求出向量a kb +的坐标,利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数k 的等式,即可解得k 的值. 【详解】由题意可得()2,32a kb k k +=--+,因为()a kb a +⊥,所以()()()223320a kb a k k +=---+=⋅,即1380k -=,解得138k =. 故答案为:138. 【变式训练4-2】.(2022·全国·高三专题练习)已知向量()12a =,,()22b =-,,()1c λ=,.若()//2c a b +,则λ=________. 【答案】12 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可. 【详解】由题可得()24,2a b +=, ()//2c a b +,又()1,c λ=, 4λ20∴-=,1λ2∴=.故答案为:12.【变式训练4-3】.(2022·辽宁葫芦岛·高一期末)已知向量()1,1a =,()2,1b =-,若()a b λ+∥()2a b -,则实数λ=( ) A .12B .12-C .2D .-2【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示出a b λ+,2a b -,再由平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】由已知得()2,1a b =++-λλλ,()23,3a b -=-, 又因为()a b λ+∥()2a b -,所以有()()3231+=--λλ,解得12λ=-.故选:B例5.(2022·重庆八中高一期末)已知3a =,4b =. (1)若a 与b 的夹角为60︒,求()2a b a +⋅;(2)若a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a kb +与a kb -互相垂直? 【答案】(1)21 (2)34k =±【解析】 【分析】(1)结合向量数量积运算与运算律计算求解即可; (2)根据()()0a kb a kb +-=解方程即可得答案. (1)解: ()21229234212a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯⨯= (2)解:∵向量a kb +与a kb -互相垂直,∴()()0a kb a kb +-=,整理得2220a k b -=,又3a =,4b =,∴29160k -=,解得34k =±.∴当34k =±时,向量a kb +与a kb -互相垂直.【变式训练5-1】.(2022·全国·高三专题练习)已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].a x x b x ==-∈ (1)若a b ⊥,求x 的值;(2)记()f x a b =⋅,解不等式()3f x ≥【答案】(1)3π(2)[0,]6π 【解析】 【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算,数量积为零得到关于x 的方程,即可得答案. (2)先根据数量积的坐标运算得到()f x a b =⋅的表达式,确定π31cos()62x -+,再解不等式,结合6x π+的范围,求得结果. (1)因为(cos ,sin )a x x =,(3,3b =-,a b ⊥, 所以3cos 30x x =, 所以tan 3x =因为[0,]x π∈,所以3x π=.(2)()(π()cos ,sin 3,33cos 323)6f x a b x x x x x =⋅=⋅-==+.因为[]0,πx ∈,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π31cos()62x -+. 由()3f x ≥1cos()62x π+≥,所以1π3cos()262x +,所以663x πππ≤+≤,即06x π≤≤,故不等式()3f x ≥[0,]6π.四、课堂定时训练(45分钟)1.(2021·全国·高一课时练习)设12e e ,是不共线的两个向量,则下列四组向量不能构成基底的是( ) A .1e 与12e e + B .12e 2e -与21e 2e - C .12e 2e -与214e 2e - D .12e e +与12e e -【答案】C 【解析】 【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线,就可以作为这个平面的一组基底,逐项判断即可. 【详解】对于A 选项:设121e e e =λ+,12e e ,是不共线的两个向量,1=1=0λ⎧∴⎨⎩,无解,1e ∴与12e e +不共线,1e ∴与12e e +可以构成一组基底;对于B 选项:设()1221=e 2e 2e e λ--,12e e ,是不共线的两个向量,1=22=λλ-⎧∴⎨-⎩,无解,12e 2e ∴-与21e 2e -不共线,12e 2e ∴-与21e 2e -可以构成一组基底;对于C 选项:设()1221=e 24e 2e e λ--,12e e ,是不共线的两个向量,1=21=2=42λλλ-⎧∴∴-⎨-⎩,,()21212e 2e 1=4e 2e ∴---,12e 2e ∴-与214e 2e -共线,12e 2e ∴-与214e 2e -不能构成一组基底; 对于D 选项:设()1212=e e e e λ-+,12e e ,是不共线的两个向量,1=1=λλ⎧∴⎨-⎩,无解, 12e e +∴与12e e -不共线,12e e +∴与12e e -可以构成一组基底; 故选:C2.(2022·全国·高一专题练习)已知向量(1,)a m =,(,2)b m =,若//a b ,则实数m 等于( ) A 2B 2C 22D .0【答案】C 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】由//a b 知:1×2-m 2=0,即2m 2-故选:C.3.(2022·江西·高三期末(文))已知平面向量()1,3a =,()2,1b =-,若()a ab λ⊥+,则实数λ的值为( ) A .10 B .8C .5D .3【答案】A 【解析】 【分析】由()a ab λ⊥+,得()0a a b λ⋅+=,将坐标代入化简计算可得答案 【详解】因为()1,3a =,()2,1b =-, 所以()12,3a b λλλ+=+-. 因为()a ab λ⊥+,所以()12330λλ++-=,解得10λ=. 故选:A.4.(2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习)(多选题)已知平面向量()1,2a =,()2,1b =-,()2,c t =,下列说法正确的是( ) A .若()a b +//c ,则6t = B .若()a b +⊥c ,则23t =C .若1t =,则4cos ,5a c <>=D .若向量a 与向量c 夹角为锐角,则1t >- 【答案】BC 【解析】 【分析】若()()1122,,,a x y b x y ==,根据a ∥b 时1221x y x y =判断A 选项是否正确;根据a b ⊥时12120x x y y +=判断B 选项是否正确;根据121222221122cos ,x a b a b a bx y x y <>==++判断C 选项是否正确;根据向量a 与向量c 夹角为锐角时0a c >,且向量a 与向量c 不平行,判断C 选项是否正确. 【详解】()1,2a =,()2,1b =-,()=1,3a b ∴+-,()2,c t ==22a c t ∴+若()a b +//c ,()2,c t =123t ∴-⨯=⨯6t ∴=-,故A 不正确;若()a b +⊥c ,()2,c t =123=0t ∴-⨯+⨯23t ∴=,故B 正确; 若1t =,则()2,1c =,=22=4a c t +,=5a ,5c =44cos ,555a c a c a c∴<>==⨯,故C 正确; 若向量a 与向量c 夹角为锐角, 则0a c >()1,2a =(),2,c t ==1220a c t ∴⨯+⨯>1t∴>-若向量a 与向量c 平行,则1=22t ⨯⨯,=4t ,故向量a 与向量c 夹角为锐角时1t >-且4t ≠.故D 不正确; 故选:BC5.(2021·广东·仲元中学高一期末)(多选题)已知向量()2,1a =,()3,1b =-,则( ) A .a 与a b -25B .()//a b a +C .向量a 在向量b 10D .若525,5c ⎛= ⎝⎭,则a c ⊥【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A :由已知得()50a b -=,,根据向量夹角的计算公式计算可判断; 对于B :由已知得()+a b a ⊥,由此可判断;对于C :由已知得向量a 在向量b 上的投影,从而可判断; 对于D :由5252+105a c ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭,可判断. 【详解】解:对于A :因为向量()2,1a =,()3,1b =-,所以()50a b -=,,所以a 与a b -的夹角余弦值为2225215+⨯,故A 正确; 对于B :因为()+12a b =-,,所以()+12+120a b a ⋅=-⨯⨯=,所以()+a b a ⊥,故B 不正确; 对于C :向量a 在向量b 上的投影为(()2223+11101031a b b⨯-⨯===-+⋅,所以向量a 在向量b 上的投影向量10C 正确;对于D :因为525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以5252+1055a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭,所以a c ⊥,故D 正确, 故选:ACD.6.(2022·安徽亳州·高三期末(理))如图,在平面四边形ACDE 中,点B 在边AC 上,ABE △是等腰直角三角形,四边形BCDE 是边长为1的正方形,则AD CE ⋅=___________.【答案】-1 【解析】 【分析】以B 为原点,BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系,用坐标法求解. 【详解】如图示,以B 为原点,BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系.则()1,0A -、()1,0C 、()1,1D 、()0,1E ,所以()21AD =,,()11CE =-,, 所以211AD CE ⋅=-+=-. 故答案为:-17.(2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中(文))已知向量()2,1a =-,10a b ⋅=,52a b +=,则b =___________.【答案】5 【解析】 【分析】由已知,利用向量数量积的运算律有22250a b a b ++⋅=,结合向量模的坐标计算求||a ,进而求b . 【详解】∵52a b +=,则250a b +=,即22250a b a b ++⋅=, ∴252050b ++=,可得5b =. 故答案为:58.(2022·全国·高三专题练习)已知平面向量(),0,0αβαβ≠≠,β与αβ-的夹角为23π,且()0t t t αββ-=>,则t 的最小值是____________.【答案】233- 【解析】 【分析】作半径为2的圆O ,圆O 上取三点,,A B C ,(3,1)C --,(3,1)B -,A 在,B C 两点的优弧上,3BAC π∠=,这样CB α=,CA β=,满足β与αβ-的夹角为23π,然后把模式平方求得t ,可得最小值. 【详解】如图,设圆O 半径为2,,,A B C 在圆O ,设(3,1)C --,(3,1)B -,3BAC π∠=,CB α=,CA β=,设(2cos ,2sin )A θθ,7(,)66ππθ∈-,(23,0)α=,(2cos 3,2sin 1)βθθ=++,由t t αββ-=得222()t t αββ-=,因为0t >,所以21233233243(2cos 3)2cos 323t ααβθθ===≥=-⋅+++,cos 1θ=时等号成立.故答案为:233-.【点睛】本题考查由模求平面向量的数量积,解题关键是用图形表示出向量α,β,确定点,,A B C 的关系,引入坐标后用坐标表示向量的数量积,从而得出最值.。
高三数学复习知识点总结归纳
高三数学复习知识点总结归纳高三数学复习知识点总结第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数,这是我们整个高中阶段里最核心的板块,在这个板块里,重点考察两个方面:第一个函数的性质,包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题,重点考察的是二次函数和高次函数,分函数和它的一些分布问题,但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题,这是第一个板块。
第二、平面向量和三角函数。
重点考察三个方面:一个是划减与求值,第一,重点掌握公式,重点掌握五组基本公式。
第二,是三角函数的图像和性质,这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质,第三,正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三、数列。
数列这个板块,重点考两个方面:一个通项;一个是求和。
第四、空间向量和立体几何,在里面重点考察两个方面:一个是证明;一个是计算。
第五、概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴,当然应该掌握下面几个方面,第一……等可能的概率,第二………事件,第三是独立事件,还有独立重复事件发生的概率。
第六、解析几何。
这是我们比较头疼的问题,是整个试卷里难度比较大,计算量的题,当然这一类题,我总结下面五类常考的题型,包括:第一类所讲的直线和曲线的位置关系,这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题,这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题,这类题时往往觉得有思路,但是没有答案,当然这里我相等的是,这道题尽管计算量很大,但是造成计算量大的原因,往往有这个原因,我们所选方法不是很恰当,因此,在这一章里我们要掌握比较好的算法,来提高我们做题的准确度,这是我们所讲的第六大板块。
第七、押轴题。
考生在备考复习时,应该重点不等式计算的方法,虽然说难度比较大,我建议考生,采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
高二数学笔记整理大全
高二数学笔记整理大全一、函数的那些事儿函数就像一个魔法盒,你给它一个输入,它就会按照自己的规则给你一个输出。
咱高二学的函数可不少呢。
比如说二次函数\(y = ax²+bx + c\)(\(a≠0\)),它的图像像个抛物线。
我还记得有一次,同桌问我为啥二次函数的对称轴是\(x = - \frac{b}{2a}\)。
我就给他讲,你看啊,这就好比是这个抛物线的中间线,在这条线上函数有特殊的性质呢。
整理函数笔记的时候,一定要把函数的定义域、值域、单调性、奇偶性这些关键的东西都写清楚。
这就像是给这个魔法盒做一个详细的说明书。
二、数列也不难数列啊,就像是排着队的一群数字士兵。
等差数列就像步伐整齐的士兵,相邻两个数的差是固定的,比如\(1,3,5,7,9\),这个差就是\(2\)。
等比数列呢,更像是一群按比例长大或者缩小的数字精灵,像\(2,4,8,16\),后一个数和前一个数的比例是\(2\)。
我跟我前排的同学讨论过数列的通项公式怎么求,他开始觉得特别难。
我就跟他说,你看等差数列,通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\),就像是每个士兵都有自己在队伍里的编号规则。
等比数列通项公式\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)也一样。
在笔记里,把数列的定义、通项公式、求和公式都整理好,这可是掌握数列的关键。
三、立体几何的世界立体几何可太有趣了。
那些立体图形就像一个个神秘的建筑。
棱柱像高楼大厦,棱锥像金字塔。
有一回,小组讨论的时候,有人问我怎么求棱柱的表面积。
我就说,你想啊,棱柱的表面积就是各个面的面积之和。
就好比你要给这个高楼大厦贴瓷砖,你得把每个墙面和顶面底面的面积都算清楚。
在整理立体几何笔记的时候,要把各种立体图形的定义、性质、表面积和体积公式都详细记录。
像棱柱的体积公式\(V = Sh\)(\(S\)是底面积,\(h\)是高),棱锥的体积公式\(V=\frac{1}{3}Sh\),这些都是很重要的知识宝藏啊。
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平面向量知识要点1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素:大小和方向.(2)向量的表示:几何表示法AB;字母表示:a;坐标表示法a=xi+yj=(x,y).(3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.(4)特殊的向量:零向量a=O⇔|a|=O .单位向量a O为单位向量⇔|a O|=1.(5)相等的向量:大小相等,方向相同(x1,y1)=(x2,y2)⎩⎨⎧==⇔2121yyxx(6) 相反向量:a=-b⇔b=-a⇔a +b=0(7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y+=++a b b a+=+()()a b c a b c++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y-=--()a b a b-=+-AB BA=-,ABOAOB=-数乘向量1.aλ是一个向量,满足:||||||a aλλ=2.λ>0时, a aλ与同向;λ<0时, a aλ与异向;(,)a x yλλλ=()()a aλμλμ=()a a aλμλμ+=+()a b a bλλλ+=+//a b a bλ⇔=λ=0时, 0a λ=.向 量 的 数 量 积a b •是一个数1.00a b ==或时,0a b •=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠=且时,1212a b x x y y •=+a b b a •=•()()()a b a b a b λλλ•=•=•()a b c a c b c +•=•+•2222||||=a a a x y =+即||||||a b a b •≤4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e 1,e 2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=O. (3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b =O ⇔x 1x 2+y 1y 2=O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ,即P P 1=λ2PP ,则OP =λ+111OP +λ+112OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ=1时,得中点公式:=21(1OP +2OP )或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点P (x ,y )按向量a =(h,k)平移后得到点P ′(x ′,y ′),则P O '=OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y =f (x )按向量a =(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为: y -k=f (x -h)(6)正、余弦定理 正弦定理:.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos A , b 2=c 2+a 2-2ca cos B , c 2=a 2+b 2-2ab cos C .(7)三角形面积计算公式:设△ABC 的三边为a ,b ,c ,其高分别为h a ,h b ,h c ,半周长为P ,外接圆、内切圆的半径为R ,r .①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式] ⑥S △=1/2(b+c-a )r a [如下图]=1/2(b+a-c )r c =1/2(a+c-b )r b[注]:到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心. 如图:图1 图2 图3 图4图1中的I 为S △ABC 的内心, S △=Pr图2中的I 为S △ABC 的一个旁心,S △=1/2(b+c-a )r a附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点.外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点.旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆,若BC =a ,AC =b ,AB =c [注:s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++] 则:①AE=a s -=1/2(b+c-a ) ②BN=b s -=1/2(a+c-b ) ③FC=c s -=1/2(a+b-c )AB Oa cI A BC D EF IAB C D EF r ar ar abc a a b c ACN E F综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图4). 特例:已知在Rt △ABC ,c 为斜边,则内切圆半径r =cb a abc b a ++=-+2(如图3). ⑹在△ABC 中,有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明:因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ,所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+,∴结论!⑺在△ABC 中,D 是BC 上任意一点,则DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222.证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=① 在△ABC 中,由余弦定理有 BC AB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222②,②代入①,化简可得,DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222(斯德瓦定理)①若AD 是BC 上的中线,2222221a cb m a -+=; ②若AD 是∠A 的平分线,()a p p bc cb t a -⋅+=2,其中p为半周长; ③若AD 是BC 上的高,()()()c p b p a p p ah a ---=2,其中p 为半周长.⑻△ABC 的判定:⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c <⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B <2π 2c >⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B >2π 附:证明:abc b a C 2cos 222-+=,得在钝角△ABC 中,222222,00cos c b a c b a C +⇔-+⇔⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.)2=空间向量1.空间向量的概念:具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a+=+= b a-=-=DACB图5)(R a ∈=λλ运算律:⑴加法交换律:a b b a+=+ ⑵加法结合律:)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律:b a b aλλλ+=+)(3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于b 记作b a//.当我们说向量a 、b 共线(或a //b )时,表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线. 4.共线向量定理及其推论:共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b的充要条件是存在实数λ,使a=λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a.其中向量a叫做直线l 的方向向量. 5.向量与平面平行:已知平面α和向量a ,作OA a =,如果直线OA 平行于α或在α内,那么我们说向量a 平行于平面α,记作://a α.通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论:空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ,有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7.空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++推论:设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个 有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++8空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量,a b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作,a b <>;且规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>;若,2a b π<>=,则称a 与b 互相垂直,记作:a b ⊥. 9.向量的模:设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作:||a . 10.向量的数量积: a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>.已知向量AB a =和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量,作点A 在l 上的射影A ',作点B 在l 上的射影B ',则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅. 11.空间向量数量积的性质:(1)||cos ,a e a a e ⋅=<>.(2)0a b a b ⊥⇔⋅=.(3)2||a a a =⋅. 12.空间向量数量积运算律:(1)()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅.(2)a b b a ⋅=⋅(交换律)(3)()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律).空间向量的坐标运算一.知识回顾:(1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的x 轴是横轴(对应为横坐标),y 轴是纵轴(对应为纵轴),z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =,则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅∥)(,,332211R b a b a b a ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a222321a a a ++==(=⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式:212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.(2)法向量:若向量a 所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作α⊥a ,如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.(3)用向量的常用方法:①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设n 是平面α的法向量,AB 是平面α的一条射线,其中α∈A ,则点B 到平面α||n ②利用法向量求二面角的平面角定理:设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量,则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小(21,n 方向相同,则为补角,21,n 反方,则为其夹角).③证直线和平面平行定理:已知直线≠⊄a 平面α,α∈⋅∈⋅D C a B A ,,且CDE 三点不共线,则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.(常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕,若μλ,不存在,则直线AB 与平面相交).AB提高学习成绩不论做什么事情都应该讲究方法,科学的方法能够加速问题解决的速度,学生学习更是如此。