焦点弦焦半径的两个做小题的结论
抛物线焦点弦的二级结论
抛物线焦点弦的二级结论
抛物线中焦点弦的二级结论如下：
1、当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
2、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
3、当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。
抛物线的性质：
1、准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹，这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2、轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。
焦准距：焦点到准线的距离称为焦准距，长度为p。
3、焦半径：连接抛物线上任意一点与抛物线焦点得到的线段，对于抛物线y2=2px，P(x0，y0)，则｜PF|=x0+p/2。
4、弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段，以上就是抛物线离心率e为什么等于1的原因，椭圆的离心率小于1，双曲线的大于1，抛物线等于1，三者合起来就是圆锥曲线。
用焦半径、焦点弦公式秒杀小题快攻大题
日作，４ Ｃ的平行线 交／４ Ｄ于点Ｅ
（１）证明ｌＥＡＩ＋ＩＥＢＩ为定值 ．
图 ２
（２）由题意得焦准距 枷 ： ：Ｊ，设 ，Ｆ￣ｔ的倾斜角
Ｃ
并 写出点Ｅ的轨迹方程 ；
分 别 为 理，卢，则 由焦 半 径 公 式 ，得 ｂ４Ｆ：ｔ＝＿ ：
（２）设点Ｅ的轨迹 为 曲线 ｃ．，直线Ｚ交Ｃ 于 ，Ⅳ两 点 ，
望 ： 望
１－ｅｃｏｓＯ
’１＋ｅｃｏｓ０— １ －
ｅ２ｃ０ｓ２０。
图 １
注 ：当焦点在Ｙ轴上时 ，将ｃｏｓ 换为ｓｉｎ 即可． 性质３：椭 圆焦点 弦中最短的弦为通径．
二 、焦 半 径 、焦 点 弦公 式 的 巧 妙 使 用
例 １ （２０１７年新 课标 Ｉ卷理 １０）已知Ｆ为抛 物 线Ｃ：
（２）求Ａｌ＋Ａ２的值 ；
例３ （２０１６年新 课标 Ｉ卷
（３）求 △ ＡＣ的 面积 ｓ
理 ２０）如 ２，设 圆 ＋３２＋２ｘ一１５＝０
的最 大值．
图 ３
的圆心为．４，直线 上 Ｂ（１，０）且 与
．
轴不重合 ，ｆ交圆Ａ于ｃ，Ｄ两点 ，过
箩 ： 解 析 ：（１）椭 圆，Ｊ的方程 ：１．（过程略 ）
性质 １：椭 圆焦半径 的长度为 ＿皇 ．
士 ｅ ＣＯ Ｓ
如 图１，过 ４作Ａ 。＿Ｅｌ于点Ａ ，贝Ｕ Ｆ Ｉ＝ｅｌＡＡ１Ｉ＝ｅ［ ＋ＨＥ Ｃ０ｓ（叮ｒ～０）］．
／￣ ＩＡＦＩ： 翌 ．
１＋ｅｃｏｓ０
同理 ：
ｅｐ ·
一
Ｊ
＼、
性质２：椭 圆焦 点弦的
长 度 为 ｔＡＢＩ＝Ｌ４ＦＩ＋ＩＢＦＩ＿
．
利用二级结论秒杀抛物线(学生版)
利用二级结论秒杀抛物线考点目录考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论考点分类考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式已知倾斜角为θ直线的l 经过抛物线y 2=2px 的焦点F ，且与抛物线交于A ,B 两点，则①|AF |=p 1−cos θ,|BF |=P 1+cos θ，1|FA |+1|FB |=2p .②|AB |=2p sin 2θ，S ΔOAB =p 22sin θ，|AB |=2p 1+1k2.③|AF |=x A +p 2，|BF |=x B +p2,|AB |=x A +x B +p .【精选例题】1倾斜角为45°的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，则|AB |=()A.43B.4C.6D.82已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :x 2=8y 上的两点，且直线AB 经过C 的焦点，若y 1+y 2=12，则AB =()A.12B.14C.16D.183已知抛物线y 2=6x ，弦AB 过抛物线的焦点F 且满足AF =3FB，则弦AB 的中点到y 轴的距离为()A.32B.3C.52D.44已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(A 在第一象限)，O 为坐标原点，若AF =2BF =6，则()A.p =4B.直线l 的斜率是±22C.线段AB 的中点到y 轴的距离是52D.△OAB 的面积是62【跟踪训练】1已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于两点A ，B ．若弦长|AB |=4p ，则直线l 的斜率为．2在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的倾斜角为π4的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且点A 在第一象限，△OAB 的面积是82，则()A.AB =8B.p =4C.1AF +1BF=12 D.AF =8+423已知直线l ：y =x +m 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，则()A.m =1B.AB =8C.AF =2BFD.抛物线C 上的动点到直线y =x +2距离的最小值为224已知直线l 过抛物线C :y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点，点M 为C 的准线与x 轴的交点，则下列结论正确的是()A.若x 1+x 2=5，则AB =7B.过C 的焦点的最短弦长为4C.当AF =2FB 时，直线l 的倾斜角为π3D.存在2条直线l ，使得AF ⋅BM =BF ⋅AM 成立考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式①抛物线y 2=2px 的焦点为F ，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x 1x 2=p 24,y 1y 2=−p 2.②一般地，如果直线l 恒过定点M (m ,0)与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点，那么x A x B =m 2,y A y B =−2pm .③若OA ⊥OB ⇒AB 恒过定点(2p ,0).【精选例题】1已知抛物线C ：y =2x 2的的焦点为F ，M x 1,y 1 、N x 2,y 2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A.点F 的坐标为18,0B.若直线MN 过点F ，则x 1⋅x 2=-116C.若MF =λNF ，则MN 的最小值为14D.若|MF |+|NF |=32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为582已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点()A.直线l 的方程为x -y -2=0B.原点到直线l 的距离为2C.AB =16D.y 1y 2=-83已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，点A ，B 是抛物线C 上不同两点，下列说法正确的是()A.若AB 中点M 的横坐标为3，则AB 的最大值为8B.若AB 中点M 的纵坐标为2，则直线AB 的倾斜角为π4C.设N 4,0 ，则AN 的最小值为42D.若OA ⊥OB ，则直线AB 过定点4,0【跟踪训练】1过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则说法正确的是()A.AB =x 1+x 2+pB.y 1+y 2=p 2C.1AF +1BF=2p D.OA ⋅OB =-34p 22已知点M (-1,0)在抛物线C :y 2=2px p >0 的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，则()A.抛物线C 的方程是y 2=4xB.x 1x 2=1C.当AF =3FB 时，AB =323D.∠AMF =∠BMF3已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=x 上不同于原点O 的两点，点F 是抛物线C 的焦点，下列说法正确的是()A.点F 的坐标为14,0,B.AB =x 1+x 2+12C.若OA ⊥OB ，则直线AB 经过定点1,0D.若点P -2,1 ,PA ､PB 为抛物线C 的两条切线，则直线AB 的方程为x -2y -2=0考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式①已知AB ,CD 是抛物线E :y 2=2px (p >0)中过焦点F 的两条相互垂直的弦，AB +CD 存在最小值，且最小值为8p .②已知AB ,CD 是抛物线E :y 2=2px (p >0)中过焦点F 的两条相互垂直的弦，则四边形ABCD 的面积的最小值为8p 2.【精选例题】1过抛物线C：y2=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2，设直线l1交抛物线C于A，B两点，直线l2交抛物线C于D，E两点，则AB+DE可能的取值为()A.18B.16C.14D.122在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆x2+y2-2x=0内切，且与直线x=-2相切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点F1,0作两条互相垂直的直线与曲线E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积S的最小值.【跟踪训练】1已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB+DE的最小值为2已知抛物线y2=4x.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形ABCD面积的最小值为．考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式设直线l与抛物线y2=2px相交所得的弦AB的中点坐标为x0,y0，则k AB=p y0【精选例题】1已知抛物线y2=2px的一条弦AB恰好以点P(1,1)为中点，弦AB的长为15，则抛物线的准线方程为()A.x=-12B.x=-1 C.x=-32D.x=-22直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点，AB中点的横坐标为2，则k为()A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是3直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为()A.255B.355C.5D.25【跟踪训练】1已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为1,4，则直线l的方程为()A.4x-y=0B.2x-y=0C.8x-y-6=0D.x-2y+3=02已知抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ，第一象限的A 、B 两点在抛物线上，且满足BF -AF =4，AB =4 2.若线段AB 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.3已知抛物线C :y 2=4x ，过点P 1,1 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为.考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题设AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.【精选例题】1已知A ,B 是抛物线C :y 2=6x 上的两动点，F 是抛物线的焦点，下列说法正确的是()A.直线AB 过焦点F 时，以AB 为直径的圆与C 的准线相切B.直线AB 过焦点F 时，AB 的最小值为6C.若坐标原点为O ，且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点3,0D.与抛物线C 分别相切于A ,B 两点的两条切线交于点N ，若直线AB 过定点32,0，则点N 在抛物线C 的准线上2已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(其中点A 在x 轴上方)，则()A.1AF +1BF=1 B.弦AB 的长度最小值为lC.以AF 为直径的圆与y 轴相切D.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切【跟踪训练】4设O 是坐标原点，直线y =k x -2 k >0 经过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F ，且与C 交于A ，B 西点，△OAF 是以OF 为底边的等腰三角形，l 是抛物线C 的准线，则()A.以AB 直径的圆与准线l 相切B.k =2C.BF =2FAD.△OAB 的面积是625已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 在直线l :y =kx -k 上，直线l 与抛物线交于点A ,B (O 为坐标原点)，则下列说法中正确的是()A.p =2B.准线方程为x =-2C.以线段AB 为直径的圆与C 的准线相切D.直线OA ､OB 的斜率之积为定值考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论①知识要点：如图，假设抛物线方程为x 2=2py (p >0)，过抛物线准线y =−p2上一点P (x 0,y 0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A ,B ，其坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 则以点P 和两切点A ,B 围成的三角形PAB 中，有如下的常见结论:结论1.直线AB 过抛物线的焦点F .结论2.直线AB 的方程为x 0x =2py 0+y2=p (y 0+y ).结论3.过F 的直线与抛物线交于A ,B 两点，以A ,B 分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P (x 0,y 0)的轨迹即为抛物线的准线.证明：过A 点的切线方程为x 1x =p (y 1+y )，过B 点的切线方程为x 2x =p (y 2+y )，两式相除可得：x 1x 2=y +y 1y +y 2⇒y =x 2y 1−x 1y 2x 1−x 2⇒y =x 1x 22p =−p 2.这就证明了该结论.结论4.PF ⊥AB .证明：由结论3，k AB =x0p ，k PF =y 0−p2x 0.那么k AB ⋅k PF =x 0p ⋅y 0−p2x 0=y 0p −12=−1.结论5.AP ⊥PB .证明：k AP =x 1p ,k BP =x 2p ,则k AP ⋅k BP =x 1p ⋅x2p =x 1⋅x 2p2.由抛物线焦点弦的性质可知x 1x 2=−p 2，代入上式即可得k AP ⋅k BP =x 1⋅x 2p 2=−1，故AP ⊥PB .结论6.直线AB 的中点为M ，则PM 平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点A ,B 的切线的交点P 在抛物线准线上.且P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22p，显然PM 平行于抛物线的对称轴.【精选例题】1已知抛物线C ：x 2=2py ，(p >0)的焦点为F ，M x ,y x >0 为C 上一动点，若曲线C 在点M 处的切线的斜率为3，则直线FM 的斜率为()A.32B.33C.34D.352设抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作C 的切线l 1，l 2，若l 1与l 2交于点P ，且满足PF =23，则AB =()A.5B.6C.7D.83(多选题)已知抛物线y =x 2的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，B 在第一象限，过A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，若BP 交x 轴于点Q ，则下列说法正确的有()A.点P 在抛物线的准线上B.∠APB =π3C.FQ ⊥BQD.若k =33，则AF FB的值为134已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 倾斜角为60°，交C 于A ,B 两点，过A ,B 两点分别作C 的切线l 1，l 2，其交点为P ，l 1，l 2与x 轴的交点分别为M ,N ，则四边形PMFN 的面积为.【跟踪训练】1已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，若抛物线上一点P 满足PF =5，则过点P 的切线方程为()A.2x -y -4=0或3x -4y +4=0B.2x -y -4=0或2x +y +4=0C.2x +y +4=0或3x +4y +4=0D.3x -4y +4=0或3x +4y +4=02(多选题)设抛物线C ：y =x 2的焦点为F ，过抛物线C 上不同的两点A ，B 分别作C 的切线，两条切线的交点为P ，AB 的中点为Q ，则()A.PQ ⊥x 轴B.PF ⊥ABC.∠PFA =∠PFBD.AF +BF =2PF3已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ，且F 与圆M :x 2+y +4 2=1上的点的距离的最小值4．(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，PA ,PB 是C 的两条切线，A ,B 是切点，求△PAB 面积的最大值．1已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)，过点P 3,0 且垂直于x 轴的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为9，则p =()A.32B.2C.52D.32已知O 为坐标原点，过抛物线C :y 2=8x 焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF |=|AO |，则|AB |=()A.5B.9C.10D.183已知抛物线Γ:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于A ,B 两点，若AF =3BF ，则k =()A.33B.±33C.3D.±34已知抛物线y 2=4x 与过焦点的一条直线相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点M 的横坐标为32，则弦AB 的长|AB |=5已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x =-1，直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点，若线段MN 的中点为1,1 ，则直线l 的方程为．6已知抛物线C :y 2=6x ，过P 3,2 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点，且PA =PB ，则直线l 的方程为.7已知倾斜角为π3的直线l 经过抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线m 交于点D ，则()A.以AF 为直径的圆与y 轴相切B.准线m 上存在唯一点Q ，使得QA ⋅QB=0 C.BDBF =2D.AFBF =28(多选题)已知抛物线C ：x 2=2py p >0 的焦点为F ，过F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，分别以A 、B 为切点作抛物线C 的切线，两切线交于点T ，设线段AB 的中点为M ．若点T 的坐标为2,-12，则()A.点M 的横坐标为2B.点M 的纵坐标为3C.直线l 的斜率等于2D.TM =5。
抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到：当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若 抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-= 3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421p x x = 结论2：p x x AB ++=21证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时, 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆ 011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OAB S P AB ∆∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知222111ABBFAF BB AA MM =+=+= 故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F结论7：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+ ()()()2121211242MM MM BB AA BF AF ==+=+= 结论8： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oA k p y y p p k =-=-=所以三点共线。
焦点相关的常用结论
解析几何中焦点相关的常用结论解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定则与C1而的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与y轴相切。
结论3、以抛物线y2=2px (p>0)的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。
证明：分别过点A、B、C向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1、C1，与y轴交于A2、B 2，C 2，则C 到l 轴的距离|CC 1|=2||||11BB AA +，由第二定义得：|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|，∴|AA 1|+|BB 1|=|AB|，∴|CC 1|=2||AB ，即点C 到准线l 的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与准线相切。
当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为：y=k(x －p),代入|y 1B 4tg 2x 1结论5、设AB 是椭圆12222=+by a x 的焦点弦，则当AB 垂直x 轴时|AB|min =c b 22。
证明略。
想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称（或椭圆的长轴）时，弦|AB|取得最小值，那么在双曲线中是否有相同的结论？结论6、过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为θ（θ≠0）的直线，且与抛物线交于A 、B⎩⎨⎧|结论8、我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设12222=+by a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF=2π。
证明略。
结论9、设P 是椭圆12222=+by a x 上的一动点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，当P 位于短轴端点时，∠F 1PF 2取到最大值。
证明：设|PF 1|、|PF 2|的长分别为m,n ，则m+n=2a,在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1mn 2+B K co。
运用焦半径公式速解焦点弦问题_马洪炎
在 Rt△MNF 中， | MF | = 于是 | NF | 3 = ， cosα 4 － cos2 α
为定值， 并说明理由． 分析 本题第（ 2 ） 小题 是一个 典 型 的 解 析 几 何 定 图5 值问题， 通常可运用函数的 思想方法解之， 其解题过程可归纳为： 一选， 二求， 三定值． 具体操作程序如下： 一选： 选择参变量． 需要证明为定值的量在通 常情况下应该是变量， 它应该随某一个量的变化而 可选择这个量为参变量． 变化， 二求： 求出函数的解析式． 即把需要证明为定 值的量表示成关于上述参变量的函数 ． 三定值： 化简函数解析式得到定值． 由题目的 结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无 故求出的函数必为常数函数， 因此， 只需对上述 关， 函数的解析式进行必要的化简即可得到定值 ． 1］ 文献［ 介绍的解法 1 （ 复杂解法 ） 选择以直 线 AB 的斜率 k 为目标函数的变量； 解法 2 （ 简捷解 法） 选择线段 AB 的中点 N 的横坐标为目标函数的 变量． 在运用函数的思想方法解决定值问题时， 目 标函数变量的选择显得很重要． 由于角度形式的焦 半径公式与本题相关的线段可直接对话 ， 因此也可 AB x 选择直线 与 轴的夹角 α 为目标函数的变量． 解 π α ＜ ． 不妨设 | AF | ＞ | BF | ， 则由椭圆的焦半径公 2 式可知 b2 3 | AF | = = ； a － ccosα 2 － cosα b2 3 | BF | = = ， a + ccosα 2 + cosα 2 3 + = 从而 | AB | = | AF | + | FB | = 2 － cosα 2 + cosα 12 ． 4 － cos2 α 设 AB 的中点为 N， 则 2 3 2 | FN | = | AF | － | FB | = － = 2 － cosα 2 + cosα 6cosα ， 4 － cos2 α 3cosα | FN | = ． 即 4 － cos2 α （ 2 ） 设直线 AB 与 x 轴的夹角为 α， 则0 ＜
椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值-概述说明以及解释
椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分应该总结并介绍该文的主题和背景。
以下是概述部分的一个可能内容：在数学几何学中，椭圆是一个引人注目的图形。
它有一些独特的性质，其中之一是焦点和弦的关系。
本文将重点研究椭圆焦点弦所分的两段焦半径倒数和的定值。
第一部分将提供一个概述和结构的介绍。
接下来，我们将进入正文部分，讨论椭圆的基本概念和性质。
然后，我们将逐步探究椭圆焦点弦的性质。
其中包括如何通过梯形法则计算焦点弦所分的焦半径倒数和，并证明这个和是一个定值。
结论部分将对前面的讨论进行总结，并强调椭圆焦点弦的重要性。
我们将强调此定值可以应用于实际问题中的几何、物理和工程等领域。
最后，我们将提供对进一步研究的建议，以进一步探索椭圆焦点弦的应用和相关性质。
通过这篇文章，我们希望读者能够加深对椭圆焦点弦性质的理解，并认识到它在数学和实际应用中的重要性。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构主要包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开头部分，主要是对整篇文章的概述和背景进行介绍。
在概述部分，可以简单说明文章所要探讨的问题和目标。
例如，本文主要讨论椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值。
在文章结构部分，可以简要介绍文章的组织结构和各个部分的内容安排。
正文部分是文章的核心部分，展开论述和分析问题。
在本文的正文部分，第一个要点可以是对椭圆的基本性质和定义进行介绍，包括椭圆的焦点、焦半径和弦的相关概念。
然后，可以详细论述椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值的推导和证明过程。
第二个要点可以是对该定值的应用和意义进行讨论，例如在几何问题中的应用或者其他领域中的实际应用。
结论部分是文章的结尾部分，对整篇文章的内容进行总结和归纳。
在本文的结论部分，可以简要概括椭圆焦点弦所分了两段焦半径倒数和的定值，并强调其重要性和实际应用价值。
同时，也可以提出一些可能的研究方向和问题，以期引起读者的思考和进一步研究。
与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧
焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用提示：会推导、会运用，可以简化运算(一）焦半径有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。
1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式椭圆： （图1) （图2）F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A(x ，y)，A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2,根据椭圆第二定义有:2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=+⋅=+ 左焦半径2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=- 右焦半径椭圆的焦半径：左加右减.长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。
左边下边都为负，不足都要加。
双曲线：（图3）（图4）双曲线为双支,焦半径可能在一支上，也可能在两支上.在一支上时，称之为内焦半径，通常也叫焦半径。
在两支上叫外焦半径。
以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式.设内焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有:2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=-=--⋅=--同理，右支2211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c==⇒=⋅=-⋅=-+ 双曲线焦半径,与椭圆有两点相反,左减右加，半长轴取反。
实轴在y 轴上,可以比照，易得上加下减。
联想特征：左边下边都为负,要减一起减。
可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。
以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：2122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=+⋅=+⋅=+同理,以右焦点为起点的外焦半径公式：2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c==⇒=⋅=-+⋅=-双曲线外焦半径，与椭圆相同。
运用焦半径公式 速解焦点弦问题
。
在 Ｒ ｔ Ａ Ｍ Ｆ 寺 ，
Ｉ Ｍ Ｆ Ｉ： ：— ＿
４一Ｃ Ｏ Ｓ
．
Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ｔ
为定值 ， 并说明理由．
分析 本题 第 （ ２ ） 小 题
图 ５
于是
＿ ４ （ 定
评注
直线 Ａ Ｂ与 轴夹角 为 的几何 意义
是一 个 典 型 的解 析 几 何 定
更 加 明确 ， 运算过 程显 得更 简捷． 运用 这 种 解法 ， 不 难 得到 第 （ ２ ） 小题更 一般 的结 论．
值问题 ， 通常可运用 函数 的 思想方 法解 之 ， 其解题过程可归纳为 ： 一选 ， 二求 ，
三定值 ． 具 体操 作程 序 如下 ：
（ ０ ＜ ＜ 詈 ） ， Ｉ Ａ Ｆ Ｉ ＞ Ｉ Ｂ Ｆ Ｉ ， 则
Ｉ ＡＦＩ＝
１
， Ｉ ＢＦ Ｉ
一
＝
ＣＯＳＯＬ
１ Ｃ ＯＳ Ｏ Ｌ ． 十
（ 对 于抛 物线 ＝ ２ ｐ ｙ也有 类 似性 质． ） 推论 ２ 如 图 ３ ， 设Ａ Ｂ是 椭 圆 ＋ Ｙ ＝１ （ 口＞ ｂ＞０ ） 过焦 点 Ｆ的 弦， 直线 Ａ Ｂ 与 的 夹 角 为 Ｏ ｌ
ｅ
（ 定值） ．
值 的量表示成关于上述参变量 的函数． 三定值 ： 化简 函数解析式得到定值． 由题 目的 结论可知要证 明为定值 的量 必与参变量 的大小无
一
结 论１ 过椭圆 ｘ＋ 告＝ １ （ ｏ ＞ ｂ ＞ ｏ ） 的 焦点
Ｆ任作一条与坐标轴 不垂直的直线 １ ， 与椭 圆相交 于 点 Ａ， Ｂ， 线段 Ａ Ｂ 的 中 垂 线 交 轴 于 点 Ｍ， 则
[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案
![[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案](https://img.taocdn.com/s3/m/4d4653f1ec3a87c24028c4c5.png)
[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。
有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用
则f ′()t =-8()4t 2-12t +1()4t 2-12，当t ∈()-12,3-222时，f ′()t <0，函数单调递减；当t ∈()3-222,12时，f ′()t >0，函数单调递增，所以f ()t min =f()3-222=6+42.虽然无法直接运用简单基本函数的性质解答二元函数最值问题，但是我们可以通过换元、构造新函数模型的方式，将问题转化为单变量函数最值问题，再利用简单基本函数的性质、导数的性质解题.解法2.设t =y x ∈()-12,12，则3x 2-2xy x 24-y 2=12-8⋅yx 1-4()y x2=84t 2-1t -32，可将y x 看作双曲线x 24-y 2=1上的点()x,y 与原点()0,0连线的斜率.当直线y -1=k ()x -32与曲线相切时，斜率k 有最大值，此时k =12-82，所以3x 2-2xy 的最小值为812-82=6+42.通过换元将已知关系式变形，并把已知关系式看作双曲线，将y x 看作双曲线x24-y 2=1上的点()x ,y 与原点()0,0连线的斜率，通过讨论直线与曲线的位置关系，确定直线斜率k 的最值，从而求得问题的答案.总之，解答二元函数最值问题，需根据不等式的结构特征构造不等关系，将问题进行合理的转化，才能顺利求得最值.从上述分析可以看出，从不同的角度思考问题，可以得到不同的解法，但无论采用何种方法，都需灵活利用转化思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.（作者单位：江苏省蒋垛中学）解题宝典若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则以这两个点为端点的线段称为抛物线的焦点弦，如图1中的线段AB .以抛物线上的一点及抛物线的焦点为端点的线段称为抛物线的焦半径，如图1中的线段AF 、BF .求焦点弦长和焦半径问题在抛物线试题中比较常见.本文主要谈一谈有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用.一、抛物线的焦半径公式如图1，已知直线AB 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,交抛物线于A ,B 两点，且点A (x 1,y 1)在x 轴的上方，点B (x 2,y 2)在x 轴的下方，直线AB 的倾斜角为α，则||AF =x 1+p 2=p 1-cos α，||BF =x 2+p 2=p1+cos α.证明：作抛物线的准线l :x =-p2,交x 轴于点P ，过点A 作l 的垂线，垂足为N .由于点A 是抛物线上的点，则||AF =||AN .而点A ,N 的横坐标分别是x 1,-p 2,所以||AN =x 1-()-p 2=x 1+p2,故||AF =x 1+p 2，同理可证||BF =x 2+p2.再证||AF =p 1-cos α，||BF =p1+cos α.过点A 作AM ⊥x 轴于M,则四边形AMPN 是矩形，可知||AF =||AN =||PF +||FM ,因为点F ()p2,0,所以||PF =p .在ΔAFM 中，||FM =||AF cos α,所以||AF =p +||AF cos α,得||AF =p1-cos α.同理可得||BF =p1+cos α.当直线AB 的倾斜角为钝（直）角时，上述结论也成立.在运用抛物线的焦半径公式解题时需注意：（1）焦点弦的端点A 、B 分别在x 轴的上方和下方，且焦半径的端点在x 轴上方和下方时所用的公式不一样；（2）当不知道直线AB 的倾斜角时，通常用点A 、B 的横坐标及p 来表示抛物线的焦半径；（3）当已知直线的倾斜角时，可通过倾斜角α和p 来求出抛物线的焦半径.例1.若点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线于A ,B 两点，且 AF =3FB ,则直线l 的倾斜角图143解题宝典为____.解：作出如图2所示的图形，由 AF =3FB 知||AF =3||FB ,由抛物线的方程知p =2,设直线l 的倾斜角为α,则||AF =21-cos α,||BF =21+cos α,可得21-cos α=3×21+cos α,解得cos α=12,因为α∈(0,π),所以α=π3，即直线l 的倾斜角为π3.由于直线l 过抛物线的焦点，所以要求直线l 的倾斜角，可直接利用抛物线的焦半径公式||AF =p1-cos α、||BF =p1+cos α，建立关于α的关系式，即可解题.二、抛物线的焦点弦公式已知直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，且和抛物线交于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的倾斜角为α,则弦AB 的长||AB =x 1+x 2+p =2psin 2α.证明：先证||AB =x 1+x 2+p .因为点A ,B 是抛物线上的点，所以根据抛物线的定义，可得||AF =x 1+p2，||BF =x 2+p2,所以||AB =||AF +||BF =x 1+x 2+p .再证||AB =2psin 2α.由于||AF =p 1-cos α,||BF =p1+cos α,所以||AB =||AF +||BF =p 1-cos α+p1+cos α=p (1+cos α)+p (1-cos α)(1-cos α)(1+cos α)=2psin 2α.综上所述，焦点弦AB 的长为||AB =x 1+x 2+p =2psin 2α.当不确定焦点弦所在直线的倾斜角时，通常可使用公式||AB =x 1+x 2+p 来求焦点弦长；若已知焦点弦所在直线的倾斜角，就要用公式||AB =2psin 2α来表示焦点弦长.例2.设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点，设O 为坐标原点，则S ΔOAB =_____.解：由抛物线C 的方程知2p =3,而焦点弦所在直线的倾斜角α=30°,则||AB =3sin 230°=12,可知原点到直线AB 的距离d =||OF ⋅sin30°=34×12=38,故ΔOAB 的面积为S ΔOAB =12×12×38=94.由于已知过F 的直线的倾斜角，所以可直接根据抛物线的焦点弦公式||AB =2psin 2α来求抛物线的焦点弦长||AB .再根据三角形的面积公式进行求解即可.值得注意的是，抛物线的开口方向不同，参数p 的值和符号不同，所对应的抛物线的焦半径公式和焦点弦公式也会有所不同.上述两个公式都是针对开口向右的抛物线，即抛物线的方程为y 2=2px (p >0)而言的.开口向其他方向的抛物线的焦点弦、焦半径公式如下表所示.同学们在运用抛物线的焦半径公式和焦点弦公式时，要关注抛物线的开口方向和参数p 的值，再选用与之相应的公式进行求解.（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）标准方程图形焦半径公式焦点弦公式y 2=2px (p >0)||AF =x 1+p 2=p1-cos α,||BF =x 2+p 2=p1+cos α.||AB =x 1+x 2+p y 2=2px (p <0)||AF =p 2-x 1=p 1+cos α,||BF =p 2-x 2=p 1-cos α.||AB =p -()x 1+x 2x 2=2yp (p >0)||AF =y 1+p 2=p 1-sin α,||BF =y 2+p 2=p 1+sin α.||AB =y 1+y 2+p x 2=2yp (p <0)||AF =p 2-y 1=p1+sin α,||BF =p 2-y 2=p 1-sin α.||AB =p -()y 1+y 2图244。
抛物线焦点弦8个结论
抛物线焦点弦8个结论抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
抛物线的焦点是其特殊的性质之一，下面将介绍抛物线焦点的八个结论。
一、焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
抛物线的焦半径是从焦点到抛物线的准线的垂直距离，而抛物线的顶点是其最高点。
这个结论表明，焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
二、焦半径与准线垂直。
焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段，而准线是抛物线的对称轴。
这个结论说明，焦半径与准线垂直。
三、焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。
这个结论说明，焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
四、焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的切线的垂直距离。
这个结论表明，焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
五、焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有切线都会经过焦点。
六、抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有切线都会与准线在焦点上相交。
七、焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有法线都会经过焦点。
八、抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有法线都会与准线在焦点上相交。
通过以上八个结论，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。
抛物线焦点的研究不仅对于数学学科有重要意义，也在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对于工程设计、物理实验等方面的问题，我们可以利用抛物线焦点的性质来解决。
抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质
抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.AB⊥x轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)．由方程组消去y，得, 或消去x, 得.结论1：(定值)，,结论2：y1y2＝-p2(定值)，.结论3：弦长.结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．事实上，若AB⊥x轴，则m＝n＝p，.若AB与x轴不垂直，则..结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．证法1：设弦AB所在的直线方程为.由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,∴.,当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则.这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切．结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，.设AF的中点为D，则，∴D到y轴的距离.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．结论8：A1F⊥B1F（如图）事实上，设，则，。
圆锥曲线中的应记的二级结论
(11)SABO
p2
2sin
,
yA
M
O •F
x
B
几何特征： （1）AN BN； (2)PF QF; (3)NF AB; (4) AN是PAF的平分线， BN同理； （5）AN是抛物线的切线， BN同理； （6）A,O,Q三点共线， B,O, P三点共线；
直线和圆锥曲线的位置关系中，应该求出坐标的点：
于准线于N , 直线AB的倾斜角为，A(x1, y1), B(x2, y2 ),
代数特征：
（7）x1x2, y1 y2及OA OB均为定值；
(8)
|
AB
|
x1
x2
p
2p
sin 2
;
(9) | AF | p ,| BF | p ;
1 cos
1 cos
(10) 1 1 2 ; | AF | | BF | p
1.两直线的交点； 2.曲线C与坐标轴的交点； 3.直线与圆锥曲线的特殊的交点
b2
BF1 a c cos
=
a2
2ab2 c2 cos2
（长减、短加； 为直线AB与焦点所在对称轴的夹角）
抛物线C:x2 2 py
焦半径 : AF p ，
1 cos
BF = p
1+ cos
焦点弦 :
AB
2p
1 cos2
2p
= sin2
四.和圆中三个垂直关 系对应椭圆中的类似 性质： （1）椭圆的“垂径” 定理:
B2 4AC A2
（1 k 2 ) =
A
（2）同理:椭x 圆m方y 程n
AB
(1 m2 ) A
三.焦半径和焦点弦:
简证 : AF1F2中, 设AF1 m
焦点弦的常用公式
当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
高考数学抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只与两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只与两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 与04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒与421p x x = 结论2：p x x AB ++=21证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2p AB =证: (1)假设2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆ 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质与抛物线的定义知 222111ABBFAF BB AA MM =+=+= 故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM ︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+ 结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oA k p y y pp k =-=-=所以三点共线。
解析几何中焦点相关的常用结论
解析几何中焦点相关的常用结论解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定义、正、余弦定理等方法求解，熟练掌握有关结论并能加以灵活运用，将有效提高解题速度。
结论1、焦半径公式： 10设P 是椭圆12222=+by a x 上的一点，则焦半径|PF 1|、|PF 2|的长分别为a ±ex 0。
其中a 为长半轴长，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标（图1）。
20 设P 是双曲线12222=-bya x 上的一点，则焦半径|PF 1|、|PF 2|的长分别为ex 0±a 。
其中a 为实半轴长，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标。
证明：对本题的证明只要根据定义，下面以椭圆为例加以证明：设点P 到左准线的距离为d ，则d=x 0+c a 2,由第二定义得dPF ||1=e ，∴|PF 1|=d ·e= (x 0+c a 2)·e= e x 0 +a 。
同理可证|PF 2|= a －e x 0。
结论2、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径|PF|为直径的圆（⊙C ）与y 轴相切（图2）。
证明：分别过点P 、C 、F 向抛物线的准线作垂线，垂足记为P 1、C 1、F 1，与y 轴交于P 2、C 2，O ，则C 到y 轴的距离|CC 2|=2||||2FO PP +，而|PF|=|PP 1|=|PP 2|+|P 2P 1|=|PP 2|+|FO|，∴|CC 2|=2||PF ，即点C 到y 轴的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与y 轴相切。
结论3、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，且A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。
证明：分别过点A 、B 、C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足记为A 1、B 1、C 1，与y 轴交于A 2、B 2，C 2，则C 到l 轴的距离|CC 1|=2||||11BB AA +，由第二定义得：|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|，∴|AA 1|+|BB 1|=|AB|，∴|CC 1|=2||AB ，即点C 到准线l 的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与准线相切。
焦点弦焦半径的两个做小题的结论
一、已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为（0<<π/2），且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
例1、已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）例2、已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）例3、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3例4、已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿例5、已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿二、已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。
过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有：较长焦半径，较短焦半径。
焦点弦的弦长公式为。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。
当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。
例6（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。
（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。
例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。
求四边形面积的最小值。
【椭圆小题突破】第2讲 椭圆焦半径与焦点弦2(用焦半径的长度的范围解题)(教案) 二轮复习专题
椭圆的焦半径和焦点弦2用焦半径的长度的范围解题知识点：设椭圆的焦半径为r ，则a-c≤r ≤a+c1.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1、F 2，若存在点M 使|MF 1|=3|MF 2|,则该椭圆离心率的取值范围是 .法一：用焦半径的范围r 1+r 2=2a,r 1=3r 2,2r 2=a,a-c≤a 2≤a+c,e≥12法二：用焦半径公式＋椭圆上点的坐标的范围a+ex =3(a-ex ),2ex =a ,x =a 2e ，又x ≤a , e≥12法三：用特殊位置＋椭圆离心率的意义当M 点是右顶点时，a+c =3(a-c ),4c =2a ,e =12 , 另外，当椭圆越来越扁时，必存在点M 使|MF 1|=3|MF 2|,所以e ≥122.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆C 上存在一点P 使a sin∠PF1F2＝ c sin∠PF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为___________.【答案】)1,1- 法一：用焦半径公式＋椭圆上点的坐标的范围因为在12PF F ∆中,由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F = 则由已知,得1211a c PF PF =,即12aPF cPF = 设点00(,)x y 由焦点半径公式,得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=-记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==-+由椭圆的几何性质知0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则,整理得2210,e e +->解得11(0,1)e e e <<∈或，又,故椭圆的离心率1,1)e ∈ 法二：用焦半径的范围由法一知12c PF PF a=由椭圆的定义知 212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a+=+==+则即,由椭圆的几何性质知22222,,20,a PF a c a c c c a c a<+<++->+则既所以2210,e e +->以下同解析1.3.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，直线x =a 2c 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】B【详解】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A点的距离相等，即|PF |=|F A |，|F A |= 22,a b c c c-=又[,]PF a c a c ∈-+ 2[,]b a c a c c∴∈-+222ac c b ac c ∴-≤≤+ 222222ac c a c ac c a c ⎧-≤+∴⎨+≥-⎩22210210e e e e ⎧-+≥∴⎨+-≥⎩解得12e ≥或1e ≤-（舍）又1(0,1)[,1)2e e ∈∴∈4.已知椭圆x 24+y 2=1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（ ）A ．[]1,2B． C．4⎤⎦ D ．[]1,4【答案】D 【详解】对于椭圆2214x y +=，2a =，1b =，c = 根据椭圆的定义可得1224PF PF a +==， 设1PF x =，则24PF x =-，且a c x a c -≤≤+，即22x ≤≤ 则()()[]221244241,4PF PF x x x x x ⋅=-=-+=--+∈， 所以，[]121212121141,4PF PF PF PF PF PF PF PF ++==∈⋅⋅.。
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一、已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为（0<<π/2），且。
（1）当焦点内分弦时，有；
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
例1、已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）
例2、已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）
例3、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿
图3
例4、已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿
例5、已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿
二、已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。
过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有：较长焦半径，较短焦半径。
焦点弦的弦长公式为。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。
当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。
例6（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿
例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。
（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。
例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，
交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为
的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，
过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。
求四边形面积的最小值。