圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式(优选.)

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圆锥曲线焦奌弦长公式推导

圆锥曲线焦奌弦长公式推导圆锥曲线焦弦长公式是指在圆锥曲线上，焦点到曲线上一点的弦长与该点到曲线直径的比例是一个常数。

下面是推导圆锥曲线焦弦长公式的过程：设在圆锥曲线上有一点P(x, y)，焦点为F(f, 0)，曲线的方程为f(x, y) = 0。

我们要求点P到焦点F的弦长。

首先，我们可以得到点P到焦点F的距离为：PF = √((x - f)^2 + y^2)然后，我们设圆锥曲线的直径为2a，即曲线上的点到直径的距离为a。

因此，点P到直径的距离为：PD = a - x根据圆锥曲线的定义，我们有：PF = e * PD其中，e为离心率。

将PD代入上式，得到：√((x - f)^2 + y^2) = e * (a - x)对上式两边进行平方，得到：(x - f)^2 + y^2 = e^2 * (a - x)^2展开并整理上式，得到：x^2 - 2fx + f^2 + y^2 = e^2 * (a^2 - 2ax + x^2)移项并整理，得到：(1 - e^2) * x^2 + 2fx - 2ax + f^2 - e^2 * a^2 + y^2 = 0由于点P(x, y)在圆锥曲线上，所以上式左边为0，即：(1 - e^2) * x^2 + 2fx - 2ax + f^2 - e^2 * a^2 + y^2 = 0我们可以将上式写成标准形式：(1 - e^2) * x^2 + 2(f - a) * x + (f^2 - e^2 * a^2 + y^2) = 0注意到上式是一个二次方程，其系数满足关系：A = 1 - e^2B = 2(f - a)C = f^2 - e^2 * a^2 + y^2根据二次方程的性质，可以求出x的两个解，即x1和x2。

那么点P到焦点F的弦长为：PF = |x1 - x2|将x1和x2代入上式，即可得到圆锥曲线焦弦长公式的推导结果。

需要注意的是，具体的圆锥曲线焦弦长公式会根据不同的圆锥曲线类型（如椭圆、双曲线、抛物线等）而有所差异。

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标全参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。

由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。

本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=；（2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.推论：（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上；（Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2FOABxy例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.2FABCD Oxy 1F P例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.A ByO F x1l2lN M金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________.2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.B O xy AF4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.yO F x AB5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.O xNPy MQF6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.yO F xA BDEC lαm P7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.FO xA BD C y8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.y2FAO x1l2l B CD参考答案：证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=例1.解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x . 从而点A 的坐标为），（231或），（231-. 点A 在抛物线2C 上，.249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α.抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==a b H ，离心率21=e . ∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，.抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m . 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ；当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2..cos 138sin ||22）（αα-==H AB 2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||，∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x aby =. ∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α 2FABCD Oxy 1F P∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x .1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==ab H ，直线l 的倾斜角4πα=.∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==ace ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. A ByO F x1l2lN M∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即tan tan =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααs i n|s e c ||t a n|1t a n |t a n 0ta n 0|2==++-⨯=d . αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS .当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOBBO xy AF的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=. ∴3442444p pp m p m S ===，是定值.当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即tan tan =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααs i n |s e c ||t a n|1t a n |t a n |2p p p d ==+=. αα22sin 4sin ||pH AB ==. ∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=.∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）.5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，，由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥. 如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==ab H ，离心率22=e .于是有.sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积O xNPy MQFyO F x AB.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(，准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====.∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .∴αcos 14||-=AF .∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ，从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2）两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90.y O F xA BDEClαm P BDy抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F .在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x .（2）两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90.双曲线的通径622==a b H ，离心率2==a ce . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S =18 y2FAO x1l2l B CD当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.。

椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标

当点P在双曲线右支上时，PF1exa，PF2exa；
当点P在双曲线左支上时，PF1aex，PF2aex；
3、若F是抛物线的焦点，PFx
p. 2坐标曲线题
题型研究
题型一坐标曲线题
热点题型精讲
坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。
类型一溶解类
解读：一定温度下，向一定量A物质的饱和溶液中加入A物质。A不再溶解，溶质质量分数不变。
解读：一定温度下，向一定量A物质的接近饱和的溶液中加入A物质。A溶解至饱和后不再溶解，溶解质量分数先增大，后不变。
类型二pH曲线
1.溶液稀释时pH的变化
解读：稀释碱性溶液时，开始时溶液的pH﹥7，随着加水量的增加，pH不断减小，但不会小于7。
ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos
其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PFe，∴PFe(PFcosp)，其中pFH，〈x轴，FP〉∴焦半径PFep．1ecos
解读：同一反应，催化剂只影响化学反应速率，不影响生成物的质量。若横坐标为反应时间，由图像的斜率可以看出加入催化剂后化学反应速率明显加快，但生成物质量不变。化学反应前后物质总质量不变。
3.催化剂质量曲线
解读：化学反应前后，催化剂的质量不变。

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=．当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有ep NF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=；若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。

圆锥曲线的焦半径公式推导

圆锥曲线的焦半径公式推导如下：圆锥曲线的焦半径公式是解决与圆锥曲线相关问题的重要工具。

对于椭圆来说，如果焦点在x轴上，且设点A(x_1, y_1)在椭圆上，那么点A到左焦点F_1的焦半径为a + ex_1，到右焦点F_2的焦半径为a - ex_1。

推导过程可以基于椭圆的标准方程和定义来进行：1. 椭圆的标准方程：对于中心在原点，半长轴为a，半短轴为b的椭圆，其标准方程通常写作：x²/(a²) + y²/(b²) = 1 (其中a > b > 0)2. 离心率：离心率e是描述椭圆形状的一个参数，定义为c/a，其中c是椭圆的焦距。

3. 焦半径的定义：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，到焦点的距离称为焦半径。

4. 使用相似三角形：根据圆锥曲线的第二定义，从椭圆的一个焦点出发到椭圆上一点的射线，与从另一焦点出发到同一点的射线以及与主轴的夹角θ之间存在关系。

通过构建相似三角形，可以得到焦半径的计算公式。

5. 坐标式：当焦点在x轴上时，若已知椭圆上一点的横坐标x_1，则到左焦点F_1的焦半径长度可以用a + ex_1来计算，到右焦点F_2的焦半径长度用a - ex_1来计算。

这里的e是椭圆的离心率。

6. 倾斜角式：利用焦半径与主轴正方向的夹角θ，可以得到更为通用的焦半径表达式，尤其适用于焦点不在坐标轴上的情况。

在这种情况下，焦半径的长度与夹角θ有关，表达式为r = b²/(a±ccosθ)，这里±的选择取决于焦点的位置。

综上所述，圆锥曲线的焦半径公式有多种表达形式，可以根据具体问题的需要选择合适的公式进行计算。

这些公式不仅在理论研究中有着重要作用，在解题和实际应用中也极其重要。

圆锥曲线的焦半径公式及其应用

技法点拨圆锥曲线的焦半径公式及其应用■郭海先摘要：利用圆锥曲线的焦半径公式以及圆锥曲线的第二定义解答圆锥曲线类问题，能起到事半功倍之效果。

关键词：椭圆焦半径公式；双曲线的焦半径公式；抛物线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫作圆锥曲线关于该点的焦半径。

利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

一、椭圆的焦半径公式椭圆上的任意一点到焦点F 的长，称为此曲线上该点的焦半径。

根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。

在涉及焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。

1.若P （x 0，y 0）为椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a>b >0）上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则||PF 1=a+ex 0，||PF 2=a-e x 0.2.若P （x 0，y 0）为椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a>b >0）上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则||PF 1=a+e y 0，||PF 2=a-e y 0.例1．椭圆x 225+y 29=1上三个不同的点A （x 1，y 1）、B （4，95）、C（x 2，y 2）到焦点F （4，0）的距离成等差数列，求x 1+x 2的值.解：在已知椭圆中，右准线方程为x =254，设A 、B 、C 到右准线的距离为d 1、d 2、d 3，则d 1=254-x 1、d 2=254-4、d 3=254-x 2.∵|AF |=d 1·e ，|BF |=d 2·e ，|CF |=d 3·e ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列.∴2d 2=d 1+d 3，即2（254-4）=2×254-（x 1+x 2），x 1+x 2=8.评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A 、B 、C 三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出x 1+x 2的值。

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good

圆锥曲线的极坐标方程知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。

）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=；若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得所以又由得注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。

圆锥曲线的焦半径公式定理及其应用

圆锥曲线的焦半径公式及其应用圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。

利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x0,y)为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上任意一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，则1PF=a+e x0,2PF=a-e x0.(2) 若P(x,y)为椭圆22ya+22xb=1(a>b>0)上任意一点，F2、F1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF=a+e y0,2PF=a-e y0. 2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x,y)为双曲线22xa-22yb=1(a>0，b>0)上任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则①当点P在双曲线的左支上时，1PF=-e x0-a,2PF= -ex+a.②当点P在双曲线的右支上时，1PF=e x0+a,2PF= e x0-a.(2)若P(x0,y)为双曲线22ya-22xb=1(a>0，b>0)上任意一点，F2、F1分别为双曲线的上、下焦点，则①当点P在双曲线的下支上时，1PF=-e y0-a,2PF=-ey 0+a.②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a. 3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF= x 0+2p(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF= -x 0+2p(3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF= y 0+2p(4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF= -y 0+2p下面举例说明上述各公式的应用例1．求椭圆216x +225y =1上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的距离.解：易知a=5,e=35且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35×4=375,2MF = a-e y 0=5-35×4=135。

圆锥曲线焦点弦公式

圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线是指圆锥与平面相交而产生的曲线。

焦点弦是指通过
焦点，并且与曲线相交于两点的直线。

对于圆锥曲线的焦点弦公式，具体的形式取决于所讨论的具体曲线类型，比如椭圆、双曲线或抛
物线。

下面我将分别介绍这三种情况下的焦点弦公式。

对于椭圆而言，焦点弦的公式可以表示为，对于椭圆
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。

对于双曲线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于双曲线
$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = -1$。

对于抛物线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于抛物线$y^2
= 4ax$，焦点弦的公式可以表示为$y = mx + \frac{a}{m}$。

需要注意的是，以上给出的焦点弦公式是简化的形式，实际应
用中可能会根据具体问题的要求进行变形。

焦点弦在几何学和物理
学中有着重要的应用，比如在光学中的折射定律、天体运动中的轨
道分析等方面都有着重要的作用。

希望这些信息能够帮助到你理解焦点弦的公式。

圆锥曲线焦点弦的公式及应用

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。

圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。

焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。

本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。

（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。

由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。

（1）当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。

若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。

过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。

例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。

圆锥曲线焦半径公式

圆锥曲线焦半径公式
圆锥曲线焦半径公式是用来计算圆锥曲线的焦半径的公式。

它是圆锥曲线的重要参数，其长度反映了圆锥曲线的大小。

也就是说，焦半径越大，圆锥曲线越大。

圆锥曲线焦半径公式是一个复杂的数学公式，它是由三个参数组成，分别是离心率e、曲率半径R和弦长S。

e表示圆锥曲线的离心率，R表示圆锥曲线的曲率半径，S表示圆锥曲线的弦长。

圆锥曲线焦半径公式可以用来计算圆锥曲线的焦半径，公式如下： F=R[1-(1-e^2)^(3/2)]/[e(1-e^2)^(1/2)]
其中，F表示圆锥曲线的焦半径，e表示圆锥曲线的离心率，R表示圆锥曲线的曲率半径。

由于圆锥曲线焦半径公式包含三个参数，因此计算出圆锥曲线的焦半径需要计算三个参数的值，即e、R和S的值。

可以根据圆锥曲线的特性来求解这三个参数的值。

当焦半径的值计算出来之后，就可以知道圆锥曲线的大小了。

焦半径的值可以用来衡量圆锥曲线的大小，它可以帮助我们更好的了解圆锥曲线的特性，并用来分析圆锥曲线的性能。

总之，圆锥曲线焦半径公式是一个有用的公式，它可以帮助我们计
算出圆锥曲线的焦半径，从而了解圆锥曲线的大小，并用来分析圆锥曲线的性能。

圆锥曲线必备公式(经典)

圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a 2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ，0 ，A 2a ，0 ，B 10，-b ，B 20，bA 10，-a ，A 20，a ，B 1-b ，0 ，B 2b ，0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ，0 、F 2c ，0F 10，-c 、F 20，c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =ca=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2c y =±a 2c 切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0x b 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c(2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tanθ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之差为常数（大于F 1F 2 ）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yx F 1F2b c 虚轴实轴ayxF 1F 2实轴虚轴标准方程x 2a 2-y 2b 2=1a >0，b >0 y 2a 2-x 2b 2=1a >0，b >0 范围x ≤-a 或x ≥a ，y ∈R y ≤-a 或y ≥a ，x ∈R 顶点A 1-a ，0 、A 2a ，0 A 10，-a 、A 20，a 轴长虚轴长=2b ，实轴长=2a ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2+b 2焦点F 1-c ，0 、F 2c ，0F 10，-c 、F 20，c焦半径|PF 1|=a +e x 0，|PF 2|=-a +e x 0左支添“-”离心率e =ca=1+b 2a2e >1 准线方程x =±a 2c y =±a 2c 渐近线y =±b a xy =±a b x切线方程x 0x a 2-y 0y b 2=1x 0x b 2-y 0y a 2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|-|PF 2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2÷tan θ2=c ∙y(4)离心率：e =F 1F 2 PF 1 -PF 2=sin θsin α-sin β =sin (α+β)sin α-sin βyxF 1F 2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2，0 F -p 2，0 F 0，p 2 F 0，-p2准线方程x =-p 2x =p 2y =-p2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ，(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2p (4)AB =2p sin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ，0)则设直线：x =my +a ，可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ，y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ，韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 23、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn，可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2，x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2，代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法（可以拓展为第三定义）：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0，y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中，有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中，有k MN ⋅y 0=p .。

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

椭圆、曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示曲线，若ρ＞0，方程只表示曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、曲线、抛物线可以统一定义为一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式设 P x,y 是圆锥曲线的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、曲线、抛物线可以统一定义为一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示曲线，若ρ＞0，方程只表示曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=．当P 在曲线的左支时，θcos 1e ep PF +−=. 推论若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、曲线中，若M、N 在曲线同一支，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在曲线同支，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是曲线的左、右焦点，当点P 在曲线右支时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在曲线左支时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。

椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标

椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．当0＜e＜1时，方程表示椭圆；当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PF e，∴PF e(PFcos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep．1ecosep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有112. MFNFep三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，epep2ab2a2b2c1、椭圆中，p，MN222.cc1ecos1ecos()a ccos2、双曲线中，epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN；1ecos1ecos()a2c2co s2epep2ab2若M、N在双曲线不同支上，MN.1ecos1ecos c2cos2a23、抛物线中，MN pp2p. 21cos1cos()sin四、直角坐标系中的焦半径公式设P是圆锥曲线上的点，1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1a exPF2a ex；2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1ex a，PF2ex a；当点P在双曲线左支上时，PF1a ex，PF2a ex；3、若F是抛物线的焦点，PF xp. 2坐标曲线题题型研究题型一坐标曲线题热点题型精讲坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。

圆锥曲线的焦半径公式

圆锥曲线的焦半径公式（一）圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。

利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则1PF =a+e x 0,2PF =a-e x 0.(2) 若P(x 0,y 0)为椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF =a+e y 0,2PF =a-e y 0.2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为双曲线22x a -22y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a.②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.(2)若P(x 0,y 0)为双曲线22y a -22x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a.3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2p(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2p(3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2p(4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2p不能，请说明理由.(答案：点P 不存在)。

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式(优选.)

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椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标

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圆锥曲线的焦半径公式及其应用

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