期望与方差例题选讲含详解)

概率统计（理）典型例题选讲

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)

()(I card A card ＝n

m ;

等可能事件概率的计算步骤：

① 计算一次试验的基本事件总数n ;

② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n

=求值;

④ 答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );

特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步，判断事件的运算⎧⎨

⎩和事件积事件

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式()()()()()()()()(1)

k k n k n n m P A n

P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧

=⎪⎪⎪+=+⎨

⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

典型例题分析

1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求E ξ与D ξ.

解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取出

的3张卡上都标有2，则P（ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2，一张为5，则P(ξ=9)= . “ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为

2，则P(ξ=12)=.

则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,

方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.

2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到

达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出

迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。令ξ表示走出迷宫所需

的时间，

(Ⅰ)求ξ的分布列；

(Ⅱ)求ξ的数学期望。

解：(Ⅰ)ξ的所有可能取值为：1，3，4，6，

，

(Ⅱ)（小时）．

3 ．（2009高考(陕西理)）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下:

(Ⅰ)求a 的值和ξ的数学期望;

(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率｡

【答案】(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2

ξ∴的概率分布为

(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件2A 表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

4．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））甲乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人

回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分｡假设甲队中每人答对的概率均为

32,乙队中3人答对的概率分别为2

1

,32,32且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示乙队的总得分.

(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;

(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求)|(A B P ｡

【答案】:(1)18

1

213131)0(=

⋅⋅==ξP ;

数学期望18

33

1843188218511810=⋅+⋅+⋅+⋅=ξE

(2)用η表示甲队的总得分

271)321()0(303=-==C P η; 9

2276)321(32)1(213==-⋅==C P η;

∴30

17

12068)()()|(===

A P BA P A

B P 5．（浙江省台州中学09-10学年高二上学期第二次统练（理））在汶川大地震后对唐家山堰

塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是2

3

. (Ⅰ)求油罐被引爆的概率;

(Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ.求ξ的分布列及数学期望E(ξ).(用分数表示) 【答案】:

6 ．（北京市崇文区2009届高三一模文）某学校进行交通安全教育,设计了如下游戏,如图,

一辆车模要直行．．通过十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车模前面已有．．4．辆车模．．．依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车模直行的概率是35,左转行驶的概率是25

,该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟.假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟,一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟,求:

(Ⅰ)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率;

(Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口). 【答案】(Ⅰ)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为

事件A,则 ()222432216()()5

5

625

P A C =⨯=

(Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B,其中4辆车模均 直行通过路口为事件1B ,3辆直行1辆左转为事件2B ,则事件1B 、2B 互斥.