理论力学9—质点动力学基本方程
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而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。
在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科 学荣誉。
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色 的光合成的，他提出了光的微粒说。
★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了 微积分，给出了二项式定理。
v1
F
v2
棒球在被球棒击打后，其 速度的大小和方向发生了 变化。如果已知这种变化 即可确定球与棒的相互作 用力。
工程实际中的动力学问题
v2 v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程实际中的动力学问题
航空航天器的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。
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0
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9.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：
已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归 结为数学上的求导问题。 第二类基本问题：
已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归 结为数学上的解微分方程或求积分问题。
9.1 动力学的基本定律
必须指出的是：
质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关。 因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。 凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 反之为非惯性坐标系。
随着人们研究问题的不同，所取的惯性参考系也不相同。 例如：研究人造卫星的运动，可取以地心为原点，三轴指向三 颗恒星的坐标系为惯性系。 在一般工程问题中，把固结于地面的坐标系或相对地面作匀速 直线运动的坐标系作为惯性系。
在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得 不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学 位。
在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。
1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他 回到老家。 这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验， 即白光由7种色光构成的实验。
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能长 度，则需要多大的初速度 和一定的时间间隔后才能 达到飞离甲板时的速度。
若已知初速度、一定的时 间间隔后飞离甲板时的速 度，则需要弹射器施加多 大推力，或者确定需要多 长的跑道。
工程实际中的动力学问题
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的 最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。
这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结 了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学 系统称为牛顿力学。
9.1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
v0 F (v)
0
9.3 质点动力学的两类基本问题
例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动
9.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加 速度的方向与力的方向相同。
d
(mv)
F
或
dt
ma F
在经典力学中质点的质量是守恒的，因此上面两式等价，在相 对论力学中，指点的质量与速度有关，质量已不再是常量，上 面两式也不等价。其中第一式仍然成立，第二式则不再成立。
9.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
d2 r n
ma m d t2
Fi
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2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
d2 x
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9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
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2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
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9.2 质点的运动微分方程
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
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动力学引言
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。 质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保 持不变，也称不变的质点系。
g 9.78049 (1 0.0052884 sin2 0.0000059 sin2 2)
Φ为纬度
国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
9.1 动力学的基本定律
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量。 它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。 其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。 第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向 相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。 它认为质点的质量是不变的，时间和空间是绝对的。
9.1 动力学的基本定律
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的 惯性越大。
因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程 的出发点，称为动力学基本方程。
在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。
在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。
由第二定律有
P mg
或
m P g
在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科 学荣誉。
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色 的光合成的，他提出了光的微粒说。
★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了 微积分，给出了二项式定理。
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棒球在被球棒击打后，其 速度的大小和方向发生了 变化。如果已知这种变化 即可确定球与棒的相互作 用力。
工程实际中的动力学问题
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载人飞船的交会与对接
工程实际中的动力学问题
航空航天器的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。
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9.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：
已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归 结为数学上的求导问题。 第二类基本问题：
已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归 结为数学上的解微分方程或求积分问题。
9.1 动力学的基本定律
必须指出的是：
质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关。 因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。 凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 反之为非惯性坐标系。
随着人们研究问题的不同，所取的惯性参考系也不相同。 例如：研究人造卫星的运动，可取以地心为原点，三轴指向三 颗恒星的坐标系为惯性系。 在一般工程问题中，把固结于地面的坐标系或相对地面作匀速 直线运动的坐标系作为惯性系。
在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得 不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学 位。
在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。
1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他 回到老家。 这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验， 即白光由7种色光构成的实验。
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道可能长 度，则需要多大的初速度 和一定的时间间隔后才能 达到飞离甲板时的速度。
若已知初速度、一定的时 间间隔后飞离甲板时的速 度，则需要弹射器施加多 大推力，或者确定需要多 长的跑道。
工程实际中的动力学问题
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的 最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。
这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结 了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学 系统称为牛顿力学。
9.1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
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3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
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9.3 质点动力学的两类基本问题
例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动
9.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加 速度的方向与力的方向相同。
d
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在经典力学中质点的质量是守恒的，因此上面两式等价，在相 对论力学中，指点的质量与速度有关，质量已不再是常量，上 面两式也不等价。其中第一式仍然成立，第二式则不再成立。
9.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
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2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
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1. 力是常数或是时间的简单函数
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2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
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9.2 质点的运动微分方程
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
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动力学引言
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。 质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保 持不变，也称不变的质点系。
g 9.78049 (1 0.0052884 sin2 0.0000059 sin2 2)
Φ为纬度
国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
9.1 动力学的基本定律
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量。 它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。 其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。 第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向 相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。 它认为质点的质量是不变的，时间和空间是绝对的。
9.1 动力学的基本定律
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的 惯性越大。
因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程 的出发点，称为动力学基本方程。
在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。
在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。
由第二定律有
P mg
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