理论力学质点动力学基本方程

vx
0
mvxdvx
x
kxdx
x0
mv
2 x
k
x2
k
x02
2
22
vx
k m
x02
x2
dx dt
（2） my ky
x dx
tk
dt
x0 x02 x2
0m
已知：如图所示，在三棱柱ABC 的粗糙斜面上，放一质量为m 的物体M，三棱柱以匀加速度a 沿水平方向运动。设摩擦
系数为 fs ，且 相对静止，
ma x
mx
m
d2x dt 2
Fx
ma y
my
m
d2y dt 2
Fy
ma z
mz
m
d 2z dt 2
Fz
2、在自然轴上的投影
a a ann ab 0
dv
ma
m dt
F
v 2
ma n m
Fn
ab 0 Fb
dv
ma
m dt
F
man
m v2
Fn
三 、质点动力学的两类基本问题
mx kmvx kmx my kmvy mg kmy mg
x kx
y ky g
（1） x kx
dvx dt
kvx
v
dvx
t
kdt
v v0
x
0
lnvx lnv0 kt
vx
v0ekt
dx dt
ln vx kt v0
x
dx
0
t 0
v0
ektdt
x v0 [ekt 1] v0 [1 ekt ]
ve
vr
s 0.4 t 0.5 t
ve s 0.2t
边界条件定积分常数 t=0 时
x x0 cos
kt m
y
v0
m sin k
kt m
x x0
vx 0
y0 vy v0
A1 x0 B1 0
A2 0
B2 v0
m k
解法二： mx Fx kx
my Fy ky
（1） mx kx
m dvx kx dt
dx dt mdvx kxdt dt dx
k
k
（2） y ky g
dvy
dt
kvy
g
vy 0
1 k
[ln(kvy
g)]
lng
ln kvy g kt
g
dvy kvy g t kvy g ekt
g
t 0
dt
y dy
t ( g ekt g )dt
h
0k
k
y
h
g k2
(1
ekt )
g k
t
物体的运动方程
x v0 [ekt 1] v0 [1 ekt ]
解法一： mx Fx kx my Fy ky x k x 0 m
y k y 0 m
x A1 cos
k m
t
B1
sin
kt m
y
A2
cos
k m
t
B2
s
in
kt m
vx A1
k sin m
k m
t
B1
k cos m
kt m
vy A2
k sin m
k m
t
B2
k cos m
kt m
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律（力与加速度关系定律）：
ma F ——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。
在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关， 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
(1)F不变，a ，m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2)F不变，a ，m
物体的运动状态不易改变——惯性大
力的单位:牛[顿],
1N 1kg 1m s2
二、质点的运动微分方程
ma Fi
m d2r dt 2
Fi
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影 a axi ay j azk
f。s 为tg使物体M 在三棱柱上处于
试求：a 的最大值，以及这时物体M 对三棱柱的压力。
解：设物体M 即将沿斜面上滑时，画受力图
ma cos FS mg sin ma sin FN mg cos
FS fs FN
a sin fs cos g cos fs sin
FN
cos
mg fs
一、质点动力学的基本定律 二、质点的运动微分方程 三、质点动力学的两类基本问题
一、质点动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
F 0 a 0 v 常矢量
不受力作用的质点是不存在的，指作用于质点上合力为零。 质点上作用的是平衡力系
惯性——物体具有保持其原有运动状态的特征
源自文库
k
k
y
h
g k2
(1
ekt
)
g k
t
物体的运动轨迹
y
h
g k2
ln
v0
v0
k
x
gx k v0
已知：图示质点的质量为m ，受指向原点O 的力 F 作k用r ，
力与质点到点O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标
为 x， x0，而y 速0度的分量为
试求：质点的轨迹。
， vx。 0 v y v0
解：画质点受力图（质点在水平面内运动）
s in
习题：质量为2kg的滑块在力F 作用下沿杆AB 运动，杆AB 在
铅直平面内绕A 转动。
已知： s 0，.4 t （ s0的.5单t 位：m； 的单位：rad；
t 的单位：s），滑块与杆AB的摩擦系数为0.1。
求： t 2时，s 推动滑块力F 的大小。
va
解：（1）滑块的速度分析
va ve vr
第一类问题：已知质点的运动,求作用于质点的力。 第二类问题：已知作用于质点的力,求质点的运动。
混合问题：对于多数非自由质点，一般同时存在 以上动力学的两类问题。
第一类问题：比较简单。 已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常未知 的是约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。
第二类问题：比较复杂。 已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动 微分方程的积分过程。
已知：物体由高度h 处以速度v0 水平抛出，如图所示。空气阻 力可视为与速度的一次方成正比，即 F ，其km中v m 为物体的质量，v 为物体的速度，k 为常系数。
求：物体的运动方程和轨迹。 解：以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。 列出物体直角坐标形式的运动微分方程
F kmv km(vxi vy j ) vx x vy y